Dãy Farey và ứng dụng trong bài toán xấp xỉ tốt số vô tỷ

  • Số trang: 65 |
  • Loại file: DOC |
  • Lượt xem: 59 |
  • Lượt tải: 0
minhtuan

Đã đăng 15929 tài liệu

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ HẠNH DÃY FAREY VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TOÁN XẤP XỈ TỐT SỐ VÔ TỶ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ HẠNH DÃY FAREY VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TOÁN XẤP XỈ TỐT SỐ VÔ TỶ CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS. NGUYỄN THÀNH QUANG NGHỆ AN - 2014 MỤC LỤC TRANG MỞ ĐẦU 1 CHƯƠNG 1 SỐ VÔ TỶ 4 1.1 Một vài ý nghĩa hình học của số vô tỷ 4 1.2 Số  9 1.3 Số e 13 1.4 Số vô tỷ đại số và số vô tỷ siêu việt 20 CHƯƠNG 2 DÃY FAREY VÀ ỨNG DỤNG TRONG XẤP XỈ TỐT SỐ VÔ TỶ 28 2.1 Dãy Farey 28 2.2 Định lý Pick 39 2.3 Ứng dụng của dãy Farey trong xấp xỉ tốt số vô tỉ 41 2.4 Mô tả hình học của phép xấp xỉ vô tỷ dựa vào liên phân số 55 và dãy Farey KẾT LUẬN 57 TÀI LIỆU THAM KHẢO 58 1 MỞ ĐẦU Trong toán học, số vô tỉ là số thực không phải là số hữu tỷ, nghĩa là nó không thể biểu diễn được dưới dạng phân số a với a, b là các số nguyên, b �0 . b Tập hợp số vô tỉ kí hiệu bởi � I  �x ι � x � a , a, b ι �, b b � 0�. Người ta đã chứng minh được rằng, tập hợp các số vô tỉ có lực lượng lớn hơn tập hợp các số hữu tỉ. Nói khác đi, tập hợp các số vô tỷ có lực lượng quá đếm được. Chúng ta thường quan tâm tới các số e 2 , e ,  e ,  2  ... . và cho rằng những e số này là số vô tỷ. Tuy nhiên những điều này cần phải được chứng minh. Lý thuyết số liên quan tới những vấn đề như vậy. Trừ ra một ít trường hợp đơn giản, các vấn đề nói trên thường cực khó và chúng thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học nổi tiếng (Euler, Liouville, Cantor, Catalan, Napier… ). Vì vậy, việc tìm hiểu những ý nghĩa và kết quả liên quan đến số vô tỷ và tìm tòi các xấp xỉ của số vô tỉ trong Toán học là điều cần thiết và có ý nghĩa trong giảng dạy và nghiên cứu toán học. Một trong những công cụ để tìm các xấp xỉ tốt của số vô tỷ là dãy Farey và liên phân số. Tập các phân số dương tối giản, nhỏ hơn 1, có mẫu số không vượt quá n, sắp xếp theo thứ tự tăng dần được gọi là dãy Farey thứ n. Dãy Farey là một đối tượng nghiên cứu của Số học có nhiều ứng dụng sâu sắc trong các nghiên cứu về xấp xỉ của số vô tỷ. Nếu như trước đây, Số học được xem là một trong những ngành lý thuyết xa rời thực tiễn nhất, thì ngày nay, nhiều thành tựu mới nhất của số học có ứng dụng trực tiếp vào các vấn đề của đời sống, như thông tin, mật mã, kỹ thuật máy tính. 2 Trong số học có những con số đặc biệt mà người ta thường gọi là những con số vàng của toán học. Ngoài những tính chất đẹp đẽ diệu kỳ của nó, những con số này còn có những ứng dụng bất ngờ và sâu sắc trong toán học và các lĩnh vực khác. Việc tìm hiểu những con số vàng của toán học (chẳng hạn số e và số  ) hết sức cần thiết và có ý nghĩa. Chúng ta thử hình dung rằng, nếu trong toán học thiếu vắng các số e và  thì tình hình toán học sẽ phát triển như thế nào? Với lý do trên, trên cơ sở tham khảo các tài liệu số học có liên quan đã công bố trong thời gian gần đây, luận văn “Dãy Farey và ứng dụng trong bài toán xấp xỉ tốt số vô tỷ” nhằm tìm hiểu sâu hơn các ý nghĩa và kết quả sâu sắc của số vô tỷ cũng như các ứng dụng của dãy Farey trong xấp xỉ số vô tỷ. Bố cục luận văn gồm 2 chương, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo. Nội dung chính của luận văn: 1. Giới thiệu khái niệm và trình bày chứng minh chi tiết về a) Một vài tính chất hình học của số vô tỷ. b) Dãy Farey; Định lý Pick. c) Xấp xỉ số vô tỷ. 2. Giải một số bài tập về số vô tỷ và dãy Farey . Phương pháp nghiên cứu của luận văn: - Sử dụng lý thuyết chia hết trên vành số nguyên và tính chất của số hữu tỉ. - Sử dụng công cụ giới hạn của dãy số và hàm số thực. - Sử dụng các tính chất của đa thức và dãy Farey trong xấp xỉ tốt số vô tỉ. 3 Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Thành Quang. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy về sự hướng dẫn tận tình và dạy bảo ân cần, chu đáo. Tác giả xin cảm ơn các thầy cô giáo trong chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số, Khoa Sư phạm Toán học, Phòng Đào tạo Sau đại học của Trường Đại học Vinh đã giảng dạy và tổ chức hướng dẫn cho chúng tôi trong học tập và nghiên cứu. Xin gửi lời cảm ơn Ban giám hiệu trường THPT Cửa Lò 2 – Sở Giáo dục và Đào tạo Nghệ An, gia đình, anh chị em đồng nghiệp của tôi đã quan tâm tạo điều kiện giúp đỡ trong suốt thời gian học tập vừa qua. Tuy đã cố gắng trong quá trình học tập, nghiên cứu và viết luận văn, song chắc chắn vẫn còn có nhiều thiếu sót, tác giả rất mong được sự góp ý, chỉ bảo của các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp. TÁC GIẢ 4 CHƯƠNG 1 SỐ VÔ TỶ 1.1. Một vài ý nghĩa hình học của số vô tỷ 1.1.1. Số vô tỷ. Trong toán học, số vô tỉ là số thực không phải là số hữu tỷ, nghĩa là không thể biểu diễn được dưới dạng phân số a , a, b  �, b b 0 . Nói cách khác, số vô tỉ là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Tập hợp tất cả các số vô tỉ được kí hiệu bởi � I  �x ι � x � a , a, b ι �, b b � 0 �. Ví dụ về số vô tỷ: 1. Số thập phân vô hạn có chu kỳ thay đổi: 0,1010010001000010000010000001... 2. Số 2 = 1,41421 35623 73095 04880 16887 24209 7... 3. Số  = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 693… 4. Số lôgarit tự nhiên e = 2,71828 18284 59045 23536... Chúng ta xuất phát bằng một định lý rất đơn giản về số vô tỉ, mà gần như ai cũng biết, bởi định lý này có một nghĩa ý nghĩa lịch sử to lớn, gắn liền với tên tuổi của nhà toán học Hy-lạp nổi tiếng: Pithagoras, người đầu tiên phát hiện ra 2 là số vô tỉ. Sự kiện này được đánh giá như là một trong những phát minh vĩ đại nhất của nhân loại, tương đương với tầm cỡ như phát minh ra Hình học phi Euclid. Nhờ phát minh này mà phát hiện được rằng độ dài đường chéo bằng 2 của một hình vuông có cạnh đơn vị, là không thể đo được bằng phân số, hay là một số vô tỷ (xem [10]). 1.1.2. Định lý Pithagoras. 2 là số vô tỉ. 5 Chứng minh. Giả sử 2 a với a, b là các số nguyên nào đó, sao cho b ( a , b)  1 a 2  2b 2 . Từ đó suy ra (1) (2) Từ (2) suy ra a 2 chẵn. Vì vậy, a chẵn, bởi nếu a lẻ thì a 2 lẻ. Khi đó cho phép chúng ta đặt a  2a1 với a1 là số nguyên nào đó. Từ đó, chúng ta thu được từ (2): 4a12  2b 2 hay b 2  2a12 . Như vậy cả hai a và b đều là số chẵn. Điều này mâu thuẫn với giả thiết (1), suy ra 2 không biểu thị được dưới dạng a . Định lý được chứng minh.■ b 1.1.3. Định lý. Nếu số nguyên m không phải là luỹ thừa bậc n của một số nguyên nào đó, thì n m là số vô tỉ. Chứng minh. Giả sử phát biểu trên là sai, khi đó có các số nguyên a và b sao cho n Do đó a m  , (a, b)  1. b a n  mb n (3) (4) Nếu b  1 thì a n  m nào đó, mâu thuẫn với giả thiết của định lý, cho nên b �2 . Do đó, tồn tại một nguyên tố p nào đó là ước của b. Do đó, từ (4) suy ra p là ước của a n hay p là ước của a. Như vậy p là ước chung của a và b, nhưng điều này là không thể được vì a và b nguyên tố cùng nhau. Bởi vậy, định lý trên được chứng minh. ■ 1.1.4. Định lý. Giả sử f ( x )  x n  a1x n1  L  an là đa thức đơn hệ với hệ số nguyên. Khi đó, mỗi nghiệm của phương trình f ( x)  0 hoặc là số nguyên hoặc là số vô tỉ. 6 Chứng minh. Giả sử phát biểu trên không đúng. Khi đó, tồn tại một phân số hữu tỉ a , b  1 là nghiệm của phương trình f ( x)  0 . Ta có: b tối giản n n 1 �a � �a � � � a1 � �  L  an  0 �b � �b � a n  a1a n1b  L  anb n  0 . hay a n    a1a n 1b  L  anb n  . Do đó Như vậy, b là ước của a n . Vậy có một số nguyên tố p (ước nguyên tố của b) là ước của a n . Do đó, p là một ước nguyên tố chung của a và b. Điều này trái với giả thiết a là phân số tối giản. Bởi vậy, định lý trên được chứng minh. ■ b 1.1.5. Hệ quả. Cho m, n là những số nguyên dương. Nếu n m không phải là số nguyên thì nó là số vô tỉ Chứng minh. Số lý trên n n m là nghiệm của phương trình x n  m  0 . Như vậy, theo định m sẽ hoặc là số nguyên hoặc là số vô tỉ. Nhưng chúng ta đã giả thiết rằng nó không phải là số nguyên. Vậy từ đó ta có Ví dụ. n m là số vô tỉ. ■ 2, 3, 5, 3 2, 3 3, 3 5,.... là những số vô tỷ. 1.1.6. Dựng đoạn thẳng có độ dài vô tỉ. Cho trước một đoạn thẳng có độ dài 1 đơn vị. Hãy dùng thước và compa dựng các đoạn thẳng với độ dài theo dãy sau: 1, 2, 3,..., n . Đầu tiên chúng ta dựng 1 tam giác vuông cân, cạnh góc vuông có độ dài 1 đơn vị, từ đó dựng được cạnh huyền có độ dài bằng tiếp tục dựng đoạn vuông góc với đoạn 2 . Từ đoạn 2 đã có, ta 2 tại một trong 2 đầu mút, suy ra độ dài cạnh huyền của tam giác vuông nhận 2 cạnh đó làm 2 cạnh góc vuông bằng 3. 7 Cứ thế tiếp tục ta dựng được đoạn thẳng có độ dài căn n (thực ra sau khi dựng được một vài đoạn nhỏ, ta có thể tổ hợp các đoạn nhỏ đó, để dựng một đoạn bất kỳ lớn hơn, mà không cần phải tuần tự). Hình vẽ minh họa ở dưới đây: 1.1.7. Tỷ lệ vàng. Cùng với phát minh Định lý Pithagoras, Tỷ lệ vàng là một trong hai phát minh vĩ đại nhất của loài người trong Hình học. Hai đại lượng được gọi là có tỷ lệ vàng nếu tỷ số giữa tổng hai đại lượng đó với đại lượng lớn hơn bằng tỷ số giữa đại lượng lớn hơn và đại lượng nhỏ hơn. 8 Tỷ lệ vàng được nhà toán học người Mỹ là Mark Barr ký hiệu là  để tưởng nhớ đến Phidias – nhà điều khắc đền Parthenon (Hy Lạp) – Một trong những công trình cổ đại chịu ảnh hưởng của tỷ lệ vàng. Định nghĩa tỷ lệ vàng được minh họa như sau: ab a   . a b Phương trình này có nghiệm đại số xác định là một số vô tỷ  1 5 �1,6180339887... 2 Đến thời phục hưng, các nghệ sĩ và kiến trúc sư bắt đầu tính toán và xây dựng tác phẩm của họ sao cho các tỷ số trong thiết kế xấp xỉ tỷ số vàng, đặc biệt là hình chữ nhật vàng – tỷ số cạnh dài và cạnh ngắn bằng  . Cờ Tổ quốc của các quốc gia trên thế giới (trong đó có Việt Nam) đều được may theo hình chữ nhật với tỷ lệ này. 1.1.8. Điểm vàng. Nhà toán học Euclid cũng đã từng nói đến tỷ lệ vàng trong các tác phẩm bất hủ của ông mang tên “Những nguyên tắc cơ bản”. Theo ông, điểm I nằm trên đoạn thẳng AB được gọi là điểm vàng nếu nó chia đoạn AB theo tỷ lệ vàng, nghĩa là: AB IA   IA IB • A • I 1.1.9. Các tính chất của số vô tỷ  i)  �    1 ii) 1   1  Các tính chất này dễ dàng suy ra từ định nghĩa. • B 9 1.2. Số  1.2.1. Giới thiệu. Số  (đọc là pi) là một hằng số toán học có giá trị bằng tỷ số giữa chu vi của một đường tròn với độ dài đường kính của đường tròn đó. Hằng số này có giá trị xấp xỉ bằng 3,14159. Nó được biểu diễn bằng chữ cái Hy Lạp  từ giữa thế kỉ 18. Số  là một số vô tỉ. Hơn nữa,  còn là một số siêu việt - tức là nó không phải là nghiệm của bất kì đa thức hệ số hữu tỉ khác không nào. Tính siêu việt của  kéo theo sự vô nghiệm của bài toán cầu phương. Các con số trong biểu diễn thập phân của  dường như xuất hiện theo một thứ tự ngẫu nhiên, mặc dù người ta chưa tìm được bằng chứng nào cho tính ngẫu nhiên này. Trong hàng ngàn năm, các nhà toán học đã nỗ lực mở rộng hiểu biết của con người về số  , bằng việc tính ra giá trị của nó với độ chính xác ngày càng cao. Trước thế kỉ XV, các nhà toán học như Archimedes và Lưu Huy đã sử dụng các kĩ thuật hình học, dựa trên đa giác, để ước lượng giá trị của  . Bắt đầu từ thế kỉ XV, những thuật toán mới dựa trên chuỗi vô hạn đã cách mạng hóa việc tính toán số  , và được những nhà toán học như Madhava, Newton, Euler, Gauss và Ramanujan sử dụng. Trong thế kỷ XXI, các nhà toán học và các nhà khoa học máy tính đã khám phá ra những cách tiếp cận mới - kết hợp với sức mạnh tính toán ngày càng cao để mở rộng khả năng biểu diễn thập phân của số  tới 10 nghìn tỉ (1013) chữ số. Các ứng dụng khoa học thông thường yêu cầu không quá 40 chữ số của  , do đó động lực của những tính toán này chủ yếu là tham vọng của con người muốn đạt tới những kỉ lục mới, nhưng những tính toán đó cũng được sử dụng để kiểm tra các siêu máy tính và thuật toán tính nhân với độ chính xác cao. Do định nghĩa của  liên hệ với đường tròn, ta có thể tìm thấy nó trong nhiều công thức lượng giác và hình học, đặc biệt là những công thức liên quan tới đường tròn, đường elip, hoặc hình cầu. Nó cũng xuất hiện trong các công thức của các ngành khoa học khác, như vũ trụ học, lý thuyết số, thống kê, phân dạng, nhiệt 10 động lực học, cơ học và điện từ học. Sự có mặt rộng khắp của số  khiến nó trở thành một trong những hằng số toán học được biết đến nhiều nhất, cả bên trong lẫn bên ngoài giới khoa học: một số sách viết riêng về số  đã được xuất bản; có cả Ngày số pi; và báo chí thường đặt những tin về kỉ lục tính toán chữ số mới của  trên trang nhất. Một số người còn cố gắng ghi nhớ giá trị của  với độ chính xác ngày càng tăng. Sau đây chúng tôi giới thiệu phép chứng minh tính vô tỷ của các số:  2 ,  . n � 0 khi n � �. n! 1.2.2. Định lý. Nếu  là số dương thì Chứng minh: Nếu m là số nguyên dương lớn hơn  thì n        � � �... � � �... � n! 1 2 3 m m 1 n nm m    m � �  � � �... �  �� � m! m  1 m  2 n m! �m  1 � nm  � �  1 . Do đó � Ở đây 0  � � 0 khi n � �. m 1 �m  1 � Vì vậy, chúng ta suy ra 1.2.3. Định lý. Số 2 n � 0 khi n � �. ■ n! là một số vô tỷ. a Chứng minh. Ngược lại, chúng ta giả sử rằng  2 là số hữu tỉ, suy ra  2  với a, b b là số nguyên dương. Xét tích phân xác định I b  n 2 n 1 1 sin  x. f ( x)dx, � 0 11 xn  1  x  với f ( x)  . Lấy tích phân từng phần chúng ta thu được n! n sin  x ' cos x '' cos x 2 n �1 � cos x I  b n 2 n1 �  . f ( x)  . f ( x )  . f ( x )  L � . f ( x) � 2 3  2 n1 �  �0 Mọi số hạng trong biểu diễn này chứa sin  x là bằng 0 bởi vì  sin  x  1  0. Mỗi số 0 hạng chứa cos  x là một số nguyên có dạng: b n 2 n1 1 cos x 2 r . f ( x ) ,0 �r �n 0  2 r 1  b n 2 n 2 r  cos . f 2 r (1)  f 2 r (0)   b r a n r   f 2 r (1)  f 2r (0)  Do đó, I là số nguyên với mọi n. Mặt khác, nếu 0 < x < 1 thì 0  f ( x)  0b  n 2 n 1 �0b  n �0 I  1 . Do đó: n! b n . 2 n1 sin  x. f ( x)  (vì 0 < sin  x <1). n! 2 n 1 b n . 2 n 1 sin  x . f ( x ) dx  dx � n! � 0 0 1 1  a n vì 2 a .   b n! an � 0 khi n � �. Do đó I < 1 với mọi giá trị đủ lớn của n và điều này là mâu Mà n! thuẫn với I là số nguyên với mọi n như đã khẳng định ở trên. Vì vậy, ta suy ra  2 là số vô tỉ. ■ 12 1.2.4. Hệ quả.  là số vô tỉ siêu việt. Chứng minh. Nếu  là số hữu tỉ, khi đó hiển nhiên  2 cũng là số hữu tỉ. Điều đó mâu thuẫn với Định lý 1.2.3 ở trên. Do đó,  là số vô tỉ. ■ 1.2.5. Bài toán cầu phương hình tròn. Dùng thước kẻ và compa dựng một hình vuông có diện tích bằng diện tích một hình tròn đã cho. Giả sử độ dài cạnh hình vuông là x và lấy bán kính R của hình tròn làm đơn vị dài thì bài toán đưa đến giải phương trình: x 2    0. Vì  là số vô tỷ siêu việt trên � nên    cũng vô tỷ siêu việt trên �. Do đó, trường nghiệm �  của phương trình x 2    0 không có bậc hữu hạn trên �, hay phương trình x 2    0 không giải được bằng căn thức bậc hai trên �. Vì vậy, bài toán cầu phương hình tròn không thể thực hiện được.■ 13 1.3. Số e 1.3.1. Giới thiệu về số e Hằng số toán học e là cơ số của lôgarit tự nhiên. Thỉnh thoảng nó được gọi là số Euler, đặt theo tên nhà toán học Thụy Sĩ Leonhard Euler, hoặc hằng số Napier để ghi công nhà toán học Scotland John Napier người đã phát minh ra lôgarit. Số e là một trong những số quan trọng nhất trong toán học. Nó có một số định nghĩa tương đương, một số trong chúng sẽ được đưa ra dưới đây. Chỉ dẫn tham khảo đầu tiên tới hằng số này được xuất bản vào 1618 trong bảng phụ lục của một công trình về lôgarit của John Napier. Thế nhưng, công trình này không chứa hằng số e, mà đơn giản chỉ là một danh sách các lôgarit tự nhiên được tính toán từ hằng số e. Bảng này được soạn bởi William Oughtred. Chỉ dẫn đầu tiên cho biết về hằng số e được phát hiện bởi Jacob Bernoulli, trong khi tìm giá trị của biểu thức: n � 1� lim � 1 � n �� � n� Việc sử dụng đầu tiên ta từng biết của hằng số, biểu diễn bởi chữ cái b, là trong liên lạc thư từ giữa Gottfried Leibniz và Christiaan Huygens giữa 1690 và 1691. Leonhard Euler bắt đầu sử dụng chữ cái e cho hằng số vào 1727, và việc sử dụng e lần đầu tiên trong một ấn bản là cuốn Mechanica của Euler (1736). Lí do chính xác cho việc sử dụng chữ cái e vẫn chưa được biết, nhưng có thể đó là chữ cái đầu tiên của từ exponential (tiếng Anh: nghĩa thông thường là tăng nhanh chóng, nghĩa trong toán học là hàm mũ). Một khả năng khác đó là Euler sử dụng nó bởi vì nó là nguyên âm đầu tiên sau a (xem [10]). 1.3.2. Một số định nghĩa khác tương đương của số e 1. Số e là số thực dương duy nhất mà đạo hàm của hàm số mũ cơ số e chính là hàm số đó 14 d t e  et . dt 2. Số e là số thực dương duy nhất sao cho d 1 log e t  . dt t 3. Số e là giới hạn n � 1� e  lim � 1 � n �� � n� 4. Số e là tổng của chuỗi vô hạn � 1 1 1 1 1 1 e  �      L 0! 1! 2! 3! 4! n 0 n ! trong đó n! là giai thừa của n. 5. Số e là số thực dương duy nhất thỏa mãn e 1 dt  1 � t 1 (nghĩa là, số e là số mà diện tích dưới hyperbol f(t) = 1/t từ 1 tới e là bằng 1). 6. Biểu diễn số e dưới dạng phân số liên tục (hay liên phân số) e  [2;1, 2,1,1, 4,1,1,6,1,1,8,1,...,1, 2n,1,...] e  2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 4 1 O 15 1.3.3. Số chữ số thập phân đã biết của số e Số chữ số thập phân đã biết của số e Thời gian Số chữ số thập phân Tính bởi 1748 18 Leonhard Euler 1853 137 William Shanks 1871 205 William Shanks 1884 346 J. Marcus Boorman 1946 808 ? 1949 2.010 John von Neumann (trên ENIAC) 1961 100.265 Daniel Shanks & John Wrench 116.000 1981 Stephen Gary Wozniak (trên Apple II) 1994 10.000.000 Robert Nemiroff & Jerry Bonnell 18.199.978 Patrick Demichel 50.000.817 Patrick Demichel 2/1999 200.000.579 Sebastian Wedeniwski 10/1999 869.894.101 Sebastian Wedeniwski Birger Seifert5/199 7 9/199720.0 00.000 8/1997 16 21/11/1999 1.250.000.000 Xavier Gourdon 10/7/2000 2.147.483.648 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon 16/7/2000 3.221.225.472 Colin Martin & Xavier Gourdon 2/8/2000 6.442.450.944 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon 16/8/2000 12.884.901.000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon 21/8/2003 25.100.000.000 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon 50.100.000.000 18/9/2003 Shigeru Kondo & Xavier Gourdon 27/4/2007 100.000.000.000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo 6/5/2009 200.000.000.000 Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo Dưới đây chúng tôi giới thiệu phép chứng minh tính vô tỷ của các số: e , e k . 1.3.4. Định lý. Số e  1  1 1 1   L 1! 2! 3! là số vô tỉ. a b Chứng minh. Giả sử mệnh đề trên không đúng. Khi đó, e  , a, b �� . Do đó a 1 1 1 1 1 1  1     ...     ... b 1! 2! 3! b!  b  1 !  b  2  ! Vì vậy: a 1� b! b! � 1 1 1 .b!  � 1   L  � b !  L b b! �  b  1 !  b  2  ! � 1! 2! 3!
- Xem thêm -