Tài liệu đạo hàm và phương pháp giải bài tập hay

ÑAÏI SOÁ 11 Tröôøng THPT Nguyeãn Höõu Thaän CHƯƠNG V : ĐẠO HÀM Bài 1: Dùng định nghĩa tìm đạo hàm các hàm số sau: a) y  x3 b) y  3x 2  1 c) d) y  y  x 1 Bài 2: Tính đạo hàm các hàm số sau: x3 x2 1) y    x 5 3 2 2) y  2 x 5  x 3 2 3) y  4) y  5 x 2 (3x  1) 1 x 1 2 4 5 6  2 3 4 x x x 7x 6) y  ( x 2  5) 3 9) 5) y = (x3 – 3x )(x4 + x2 – 1) y  ( x 2  1)(5  3 x 2 ) 8) y  x ( 2 x  1)( 3 x  2) 7) y  ( x  1)( x  2) 2 ( x  3) 3 2   3x  x  10) y   13) y   3x  x 4  x 1 11) y 16) y  2x2  5 14) y   2 x  1  x  2   3 x  7  15) y  x2 3 2 x  2x  x  7x  5 17) y  2 18) y  x 2  3x x  x 1 1 2 x  3x  5 19) y  x 2  6x  7 2 x 2  2x  3 2x  1 25) y x  x  2 20) y  23) y   12) y = ( 5x3 + x2 – 4 )5 2 2 y  2 x3 3 x 1  21) x2 1 x 1 x 24) y  x  2x y  (1  cot x ) 2 x 2 10) y  sin 2 (cos 3x) 13) y  2  tan 2 x y = sin 4 p - 3 x y sin x x  x sin x  22) x2  x 1   2x2  3 x 1 3 3 3 26) y = x 2 (x - x  x  7) y   2 x 2  3 x    x  2   +1) Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau: 1) y = 5sinx – 3cosx 2) y = cos (x3) y  sin 4 y  ( x  1) 3) y = x.cotx 6) y  cos x  5) y  cos x. sin 2 x 8) y  sin x  cos x sin x  cos x 4) 3 9) y  cot (2x   ) 4 1 cos3 x 3 7) 12) y  3 sin x. sin 3x y  cot 3 1  x 2 cos x 4  cot x 15) y  sin(2 sin x ) 14) y   16) 3sin3 x 3 11) 17) y  20) 2 1 (1  sin 2 2 x ) 2 18) y x sin x 1  tan x 19) y  1  2 tan x Bài 4: Cho hai hàm số : f ( x )  sin 4 x  cos 4 x và g ( x)  Chứng minh rằng: f '( x )  g '( x ), (x  R ) . Bài 5: Cho y  x 3  3 x 2  2 . T×m x ®Ó: a) y’ > 0 GV: Nguyeãn Quang Taùnh 1 cos 4 x 4 b) y’ < 3 1 ÑAÏI SOÁ 11 Tröôøng THPT Nguyeãn Höõu Thaän x  0 x  2  ĐS: a) b) 1  2  x  1 2 Bài 6: Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng: a) f(x) = cos x + sin x + x. c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x f(x)  1  x. T� nh : Bài 7: Cho hàm số Bài 8: a) Cho hàm số: y  f(3)  (x  3)f '(3) x2  2x  2 . Chứng minh rằng: 2y.y’’ – 1 =y’2 2 x 3 . Chứng minh rằng: 2(y’)2 =(y -1)y’’ x4 b) Cho hàm số y c) Cho hàm số y  2x  x 2 Bài 9: Chứng minh rằng a/ b) f(x) = 3 sin x  cos x  x d) f(x) = 2x4 – 2x3 – 1 . Chứng minh rằng: f '( x )  0 y3 y" 1  0 x  R , biết: 2 9 x  x6  2 x3  3x 2  6 x  1 3 f ( x)  f ( x )  2 x  sin x b/ Bài 10: Tính vi phân các hàm số sau: b) y  sin 4 a) y  x 3  2 x  1 x 2 c) y x 2  6x  7 d) y  cos x. sin 2 x e) y  (1  cot x ) 2 Bài 11: Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: x 1 x2 1) y 4) y  x x2  1 2) 7) y = x.cos2x ĐS: 1) y ''  4) y ''  x 3) 2 x x 1 y  (1  x 2 ) cos x y 6) 2 8) y = sin5x.cos2x 6  x  2 2) y ''  3 2 x3  3x 2 2x  1 x  x2 5) y  x 2 sin x y 5)  1 x  1 2 4 x 3  10 x 2  30 x  14 x 2  x2  3 3) y ''   2x x2  3 x 2  1  3 y ''   2  x 2  sin x  4 x cos x 6) y ''  4 x sin x  ( x 2  3) cos x 7) y’’ = -4sin2x – 4xcos2x 8) y’’ = -29sin5x.cos2x – 20cos5x.sin2x Bài 12: Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau: a) y 1 x 1  n ĐS: a) y   1 b) y = sinx n! n  x  1 n 1 b) y  n    sin  x  n  2  Bài 13: Tìm đạo hàm các hàm số sau: a) y  ( x 2  3 x  3)( x 2  2 x  1) ; b) y  ( x 2  3 x  2)( x 4  x 2  1) y ( x  1)( 1 x c)  1) GV: Nguyeãn Quang Taùnh 2 ÑAÏI SOÁ 11 Tröôøng THPT Nguyeãn Höõu Thaän 2 d) y  x2  1 x 2 y e) y  (1  2 x 2 ) 5 f)  2x  1  y   x 1  3 g) y  1 ( x  2 x  5) 3 2 k) x3  x2  5 l) y  sin 3 (2 x 3  1) m) n) y  2 sin 2 4 x  3 cos 3 5 x o) y  (2  sin 2 2 x ) 3 2x x x p) y  sin 2 (cos 2 x) g) y  tan 2 r) y  tan  cot 3 2 2 5 3 Bài 14: Cho hàm số f(x) = x + x – 2x - 3. Chứng minh rằng: f’(1) + f’(-1) = - 4f(0) y  sin 2  x2 VẤN ĐỀ 2: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) LÝ THUYẾT : Dạng 1 : Tiếp tuyến tại điểm M( x0 ; y0 )  ( C ) Phương pháp : Xác định x0 , y0 , f’( x0 ) và sử dụng công thức y = f’( x0).(x – x0) + y0 Dạng 2 : Tiếp tuyến qua điểm A( xA ; yA ) Phương pháp : B1 :Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến  phương trình tiếp tuyến có dạng : y = k.(x – xA) + yA = g(x)  f  x   g  x  B2 : Dùng điều kiện tiếp xúc :   f ' x  k ( nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến ) Giải hệ phương trình trên ta tìm được x  k  PTTT Dạng 3 : Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước ( song song hoặc vuông góc đường thẳng cho trước ) Phương pháp : Gọi (x0 , y0 ) là tiếp điểm  f’(x0) = k với x0 là hoành độ tiếp điểm. Giải phương trình trên ta tìm được x0  y0 .  PTTT y = k.(x – x0) + y0 Chú ý : i. Đường phân giác thứ nhất của mặt phẳng tọa độ có phương trình là y = x ii. Đường phân giác thứ hai của mặt phẳng tọa độ có phương trình là y = -x iii. Hai đường thẳng song song nhau thì có hệ số góc bằng nhau . iv. Hai đường thẳng vuông góc nhau thì tích hai hệ số góc bằng -1 . Tức là nếu đường thẳng  có hệ số góc a thì : + Đường thẳng d song song với   d có hệ số góc k = a 1 + Đường thẳng d vuông góc với   d có hệ số góc k =  a 3 2 Baøi 1: Cho haøm soá (C): y  x  3x . Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò (C) taïi ñieåm I(1, –2). Bài 2: ViÕt ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®êng cong y  x 3 : a) T¹i ®iÓm (-1 ;-1) ; b) T¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng 2 ; c) BiÕt hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn b»ng 3. Bài 3: Cho hàm số y  f(x)  a) Tại điểm A(2; –7); 3x  1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) 1 x b) Tại giao điểm của (C) với trục hoành. 1 2 d) Biết tiếp tuyến song song với d: y  x  100 . c) Tại giao điểm của (C) với trục tung; e) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với : 2x + 2y – 5 = 0. Bài 4: Gọi (C) là đồ thị của hàm số y  x  5 x  2 . Viết pttt của (C) sao cho tiếp tuyến đó: 3 GV: Nguyeãn Quang Taùnh 2 3 ÑAÏI SOÁ 11 Tröôøng THPT Nguyeãn Höõu Thaän a) song song với đường thẳng y  3 x  1 ; b) vuông góc với đường thẳng y  1 x4 7 c) đi qua điểm A(0;2) x2 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) x2 1 a) tại điểm có hoành độ bằng 1; b) tại điểm có tung độ bằng ; c) biết tiếp tuyến đó có hệ số góc là 4 . 3 Bài 5. Cho đường cong (C): y  2x 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C): x 1 1 1 a.Tại điểm có hoành độ x  ; b. Tại điểm có tung độ y   ; c. Biết hệ số góc của tiếp tuyến k  3 . 2 2 Bài 6. Cho hàm số y  x 1 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C): x 1 9 1 a. Tại điểm có tung độ y  ; b. Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng  d1  : y   x  2013 ; 2 2 1 c. Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  d 2  : y  x  1 . 8 x 1 Bài 8. Cho hàm số y  (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C): x 1 a. Tại giao điểm của (C) và trục hoành . b. Tại giao điểm của (C) và trục tung . 8 1 c. Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng  d1  : y   x  . 9 3 Bài 7. Cho hàm số y  x2  x Bài 10: Cho hàm số y  (C) x2 a. Tính đạo hàm của hàm số tại x = 1. b. Viết PTTT của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = -1. Bài 11: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 (C) a) Tìm f’(x). Giải bất phương trình f’(x) > 0. b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x0 = 2. c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = - x + 2. Bài 12: Gọi ( C) là đồ thị hàm số : y  x3  5 x 2  2 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) : a) Tại M (0;2). b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 1. 1 c) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x – 4. 7 GV: Nguyeãn Quang Taùnh 4