Tài liệu Đánh thức tài năng toán học quyển 6

MỤC LỤC Foreword.......................................................................................4 Đánh thức tài năng toán học - 6 Maths Olympiad - The Next Lap (Tuổi 13 - 14) Lời nói đầu.....................................................................................5 Chapter 1: Simple equation.........................................................6 Chương 1: Phương trình đơn giản.................................................7 Chapter 2: Absolute value..........................................................20 ALL RIGHTS RESERVED Vietnam edition copyright © Online Education Game JSC, Lantabra, 2016. All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system or transmitted in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording or otherwise, without the prior permission of the publishers. ISBN: 978 - 604 - 62 - 5150 - 7 Printed in Viet Nam Bản quyền tiếng Việt thuộc về Công ty Cổ phần Trò chơi Giáo dục Trực tuyến, xuất bản theo hợp đồng chuyển nhượng bản quyền giữa Singapore Asia Publishers Pte Ltd và Công ty Cổ phần Trò chơi Giáo dục Trực tuyến, nhãn hiệu Lantabra 2016. Bản quyền tác phẩm đã được bảo hộ, mọi hình thức xuất bản, sao chụp, phân phối dưới dạng in ấn, văn bản điện tử, đặc biệt là phát tán trên mạng internet mà không được sự cho phép của đơn vị nắm giữ bản quyền là hành vi vi phạm bản quyền và làm tổn hại tới lợi ích của tác giả và đơn vị đang nắm giữ bản quyền. Không ủng hộ những hành vi vi phạm bản quyền. Chỉ mua bán bản in hợp pháp. Chương 2: Giá trị tuyệt đối..........................................................21 Chapter 3: Operation of Rational numbers..............................38 Chương 3: Phép toán với các số hữu tỉ........................................39 Chapter 4: Operation of indices................................................56 Chương 4: Phép tính lũy thừa......................................................57 Chapter 5: Simultaneous equations, a system of equations......74 Chương 5: Hệ phương trình.........................................................75 Chapter 6: Multiplication of polynomial..................................94 Chương 6: Phép nhân đa thức......................................................95 Chapter 7 : Divisibility..............................................................108 Chương 7: Quan hệ chia hết.......................................................109 Chapter 8: Prime numbers and composite numbers.............124 ĐƠN VỊ PHÁT HÀNH: Chương 8: Số nguyên tố và hợp số.............................................125 Công ty Cổ phần Giáo dục Sivina Chapter 9: Square number......................................................146 Địa chỉ: Số 1, Ngõ 814, Đường Láng, Phường Láng Thượng, Quận Đống Đa, TP. Hà Nội Điện thoại: (04) 8582 5555 Hotline: 097 991 9926 Website: http://lantabra.vn http://hocgioitoan.com.vn Chương 9: Số chính phương.......................................................147 Chapter 10: Even and odd numbers.......................................166 Chương 10: Số chẵn và số lẻ......................................................167 Chapter 11: GCD and LCM....................................................184 Chương 11: Ước chung lớn nhất (ƯCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN).................................................185 Solutions....................................................................................204 Foreword Lời nói đầu Wrote British philosopher and mathematician Bertrand Russell in his 1917 essay Mysticism and Logic: “Mathematics, when rightly viewed, possesses not only truth, but supreme beauty – a beauty cold and austere, like that of sculpture.” Mathematics problems are not alike in the way they come to the students’ attention. As interesting as the diversified nature of Maths Olympiad questions is the constant curious nature of our minds. As a writer and coach of MO for many years, my curiosity intensifies each time I ask my students to present their solutions to problems as part of the training, that is, to articulate their thinking process and reasoning skills. In moments like these, I become the student – my mind filled with childlike anticipation and my students, in turn, become the master. The verbalisations of their thoughts are so full of imagination, fantasy and creativity that this exchange becomes an enjoyment. Perhaps there is as much for me to learn from them as they from me. Two things are obvious how some students have arrived at this state of mastery. Firstly, their tremendous acquisition of knowledge and the ability to make connection through this knowledge is highly remarkable. Secondly, and quite evidently, they have interest in what they persevere and are apparently gifted. Which attribute precedes the other, though, I cannot be too sure. Psychologists over the years have agreed on one thing, the like of which Canadian journalist Malcolm Gladwell mentioned in his book Outliers: The Story of Success: To be exceptionally good, or to reach the state of professional, one must put in something like 10,000 hours of effort in the practice. Though not immediately and readily comparable, the moral is nevertheless the same: practice, practice, practice. This book is written specially for my students and others alike who also enjoy mathematics. Chapter 1 Simple Equation 4 Terry Chew Terry Chew Năm 1917, nhà triết học và toán học người Anh Bertrand Russel đã viết trong tiểu luận Mysticism and Logic (tạm dịch: Các bí ẩn và suy luận) của mình rằng: “Khi nhìn nhận đúng đắn Toán học, ta không chỉ tìm được sự thật, mà còn thấy vẻ đẹp tối cao, vẻ đẹp lạnh lùng và khắc khổ, tựa như vẻ đẹp của các tác phẩm điêu khắc.” Đối với học trò, các bài toán không hề giống nhau. Những câu hỏi thú vị và phong phú trong bộ đề thi Olympic Toán luôn khiến chúng ta phải hiếu kì, phải bỏ công sức và tư duy để tìm hiểu. Là tác giả và thầy luyện thi Olympic Toán trong nhiều năm, sự hiếu kì của tôi tăng lên mỗi khi tôi yêu cầu học sinh của mình trình bày lời giải của các em về mỗi phần của bài tập, việc đó là tổng hoà của quá trình tư duy và kỹ năng lập luận của các em. Trong những khoảnh khắc như thế, tôi trở thành học sinh, tâm trí của tôi đầy những dự đoán ngây thơ, và khi đó học sinh của tôi trở thành người thầy. Việc thể hiện những suy nghĩ của các em rất giàu sức tưởng tượng và sự sáng tạo, chúng dung hòa với nhau tạo nên sự hứng thú. Có lẽ tôi học được nhiều điều từ các em hơn là các em học được từ tôi. Có hai điều hiển nhiên về cách thức một số học sinh đạt đến mức độ thành thạo. Thứ nhất, việc tiếp thu kiến thức của học sinh và khả năng kết hợp các kiến thức với nhau vô cùng quan trọng. Thứ hai, rõ ràng học trò phải có hứng thú với những gì các em kiên trì theo đuổi và các em cũng phải có năng khiếu nữa. Tuy nhiên, tôi không dám chắc niềm yêu thích hay năng khiếu quan trọng hơn. Trong những năm trở lại đây, các nhà tâm lý đã đồng ý về một điều, như nhà báo người Canada, Malcolm Gladwell đề cập trong cuốn Outliers: The Story of Success (Những kẻ xuất chúng) của ông: Để được đặc biệt xuất sắc hoặc để đạt được những điều lớn lao, chúng ta phải dành hết sức lực vào việc đó như dành 10.000 giờ tập trung vào việc thực hành. Mặc dù kết quả không thể thấy ngay lập tức và được kiểm chứng dễ dàng, nhưng cách thức vẫn như nhau: thực hành, thực hành và thực hành. Cuốn sách này được viết riêng cho học sinh của tôi và những người bạn yêu thích toán học khác. 5 Terry Chew Đánh thức tài năng toán học - 6 1 Simple Equation 1 Phương trình đơn giản Where a and b are constants, the most fundamental equation takes the form of ax = b. b __ We get x = ​ a ​, where a ≠ 0. Cho a và b là các hằng số, phương trình cơ bản nhất có dạng ax = b. b __ Ta nhận được x = ​ a ​, khi a ≠ 0. Example 1 Ví dụ 1 1 __ If x = ​   ​  satisfies the equation 4x – 3a = 0, find the value of a. 2 1 __ Nếu x = ​   ​  thoả mãn phương trình 4x – 3a = 0, tính giá trị của a. 2 Solution: 4x – 3a = 0 4x = 3a 1 __ Substituting x = ​    ​, 2 1 __ 4 × ​   ​   = 3a 2 3a = 2 2 __ a =​    ​ 3 Lời giải: Example 2 Ví dụ 2 It is given 3 – a = 4 – b = 2, c = 499. Also, a + b + c = 2008m. Find the value of m. Cho 3 – a = 4 – b = 2, c = 499. Đồng thời, a + b + c = 2008m. Tính giá trị của m. Solution: Lời giải: 4x – 3a = 0 4x = 3a 1 __ Thay x = ​    ​, 2 1 __ 4 × ​   ​   = 3a 2 3a = 2 2 __ a =​    ​ 3 3 – a = 2, a = 1 4 – b = 2, b = 2 a + b + c = 1 + 2 + 499 = 502 502 = 2008m 502 _____ m = ​    ​  2008 1 __ =​   ​  4 Chapter 1 Simple Equation 6 3 – a = 2, a = 1 4 – b = 2, b = 2 a + b + c = 1 + 2 + 499 = 502 502 = 2008m 502 _____ m = ​    ​  2008 1 __ =​    ​ 4 Terry Chew 7 Đánh thức tài năng toán học - 6 Example 3 Ví dụ 3 Find the value of m if x = 3 satisfies the equation Tính giá trị của m nếu x = 3 thoả mãn phương trình m – x ______ 3x – 6 ______ 4x + 5 _____ ​   ​   + ​   ​   = ​   ​  .  3 4 12 m – x ______ 3x – 6 ______ 4x + 5 _____ ​   ​   + ​   ​   = ​   ​  .  3 4 12 Solution: Substituting the value of x = 3 into the equation, 9 – 6 ______ m – 3 _____ 12 + 5 _____ ​   ​   + ​   ​     = ​   ​    3 4 12 17 m – 3 __ 3 ___ _____ ​   ​   + ​    ​ = ​   ​  3 4 12 4m – 12 + 9 ___ 17 __________ ​   ​     = ​   ​  12 12 4m = 17 + 3 = 20 m =5 Lời giải: Thay giá trị x = 3 vào phương trình, 9 – 6 ______ m – 3 _____ 12 + 5 _____ ​   ​   + ​   ​     = ​   ​    3 4 12 17 m – 3 __ 3 ___ _____ ​   ​   + ​   ​   = ​   ​  3 4 12 4m – 12 + 9 ___ 17 __________ ​   ​     = ​   ​  12 12 4m = 17 + 3 = 20 m =5 Example 4 Ví dụ 4 Find the smallest possible value of a, where a is a whole number, in Tìm giá trị nhỏ nhất của a, biết a là một số nguyên dương trong: 33x 5x ____ ___ ​   ​  – a = ​   ​ + 184. 33x 5x ____ ___ ​   ​  – a = ​   ​ + 184. 2 6 33x 5x ____ ___ Solution: ​   ​  – a = ​   ​ + 184 2 6 33x ___ 5x ____ ​   ​  – ​   ​ – 184 = a 2 6 x must be an even number. When x = 10, 2 6 33x 5x ____ ___ Lời giải: ​   ​  – a = ​   ​ + 184 2 6 33x ___ 5x ____ ​   ​  – ​   ​ – 184 = a 2 6 x phải là một số chẵn. Khi x = 10, 330 ___ 50 50 ____ ___ ​   ​  – ​   ​ – 184 = 165 – ​   ​ – 184 (rejected) 2 6 6 When x = 12, 330 ___ 50 50 ____ ___ ​   ​  – ​   ​ – 184 = 165 – ​   ​ – 184 (không thoả mãn) 2 6 6 Khi x = 12, 33 • 12 _____ 5 • 12 ______ ​   ​   – ​   ​   – 184 = 198 – 10 – 184 2 6 a =4 33 • 12 _____ 5 • 12 ______ ​   ​   – ​   ​   – 184 = 198 – 10 – 184 2 6 a =4 Chapter 1 Simple Equation 8 Terry Chew 9 Đánh thức tài năng toán học - 6 Example 5 Ví dụ 5 If (a + 1) satisfies 2(x + 1) = 3(x – 1), find the solution to 2[3(2 + x) – 2(a – x)] = 4a. Nếu nghiệm (a + 1) thỏa mãn 2(x + 1) = 3(x – 1), tìm nghiệm của 2[3(2 + x) – 2(a – x)] = 4a. Solution: 2x + 2 = 3x – 3 x = 5 Since (a + 1) is a solution, a + 1 = 5 a = 4 Substitute the value of a into the equation. 2[3(2 + x) – 2(4 – x)] = 16 12 + 6x – 16 + 4x = 16 10x = 16 + 16 – 12 = 20 x =2 Lời giải: 2x + 2 = 3x – 3 x = 5 Vì (a + 1) là nghiệm nên, a + 1 = 5 a = 4 Thay giá trị của a vào phương trình. 2[3(2 + x) – 2(4 – x)] = 16 12 + 6x – 16 + 4x = 16 10x = 16 + 16 – 12 = 20 x =2 Example 6 Ví dụ 6 7 13 4 ___ __ __ Solve ​   ​ (x – 3) + ​   ​ (3 – x) = ​   ​ (x – 3) + 8. 6 3 6 7 13 4 ___ __ __ Giải phương trình ​   ​ (x – 3) + ​   ​ (3 – x) = ​   ​ (x – 3) + 8. 6 3 6 Solution: Let x – 3 = a, then 3 – x = –a. 7 13 4 ___ __ __ ​   ​ a – ​   ​ a = ​   ​ a + 8 6 3 6 13 – 8 – 7 _________ ​ ​   ​     ​a = 8 6 2 __ – ​   ​ a = 8 6 a = –24 x – 3 = –24 x =–21 Lời giải: Đặt x – 3 = a, khi đó 3 – x = –a. 7 13 4 ___ __ __ ​   ​ a – ​   ​ a = ​    ​a + 8 6 3 6 13 – 8 – 7 _________ ​ ​   ​     ​a = 8 6 2 __ – ​   ​ a = 8 6 a = –24 x – 3 = –24 x =–21 (  Chapter 1 Simple Equation (  ) 10 Terry Chew ) 11 Đánh thức tài năng toán học - 6 Luyện tập Practice 1 2 If x = 2 satisfies the equation px + q = 91 and p – q = 2, the value of pq is . (A) (B) (C) (D) (E) 415 581 682 899 none of the above a – b __ a 3 If ​ _____     ​= ​ 5 ​ , the value of __   ​   ​ is b b 6 (A) ​ __ 5 ​  7 (B) ​ __ 5 ​  8 (C) ​ __ 5 ​  9 (D) ​ __ 5 ​  ( ) ( ) 3 The value of x in x x x x _____ _____ ___________ ​ _____ = 1 is 1 × 2 ​ + ​ 2 × 3 ​ + ​ 3 × 4 ​ + ... + ​ 1999 ×  2000 ​  (A) 1 (B) 1999 (C) 2000 2000 (D) ​ _____ 1999 ​  (E) none of the above 4 If an operation is defined as a * b = 3a – b, the value of x in x * (1 * 2) = 2 is a – b __ a 3 Nếu ​ _____     ​= ​ 5 ​ , giá trị __   ​   ​ là b b 6 (A) ​ __ 5  ​ 7 (B) ​ __ 5  ​ 8 (C) ​ __ 5  ​ 9 (D) ​ __ 5  ​ ( ) ( ) . (E) Không phải là các đáp án trên . ( ) . Giá trị của x trong: x x x x _____ _____ ___________ ​ _____ = 1 là 1 × 2 ​ + ​ 2 × 3 ​ + ​ 3 × 4 ​ + ... + ​ 1999 ×  2000 ​  (A) 1 (B) 1999 (C) 2000 2000 (D) ​ _____ 1999 ​  (E) Không phải là các đáp án trên 12 415 581 682 899 Không phải là các đáp án trên 3 (A) 1 1 ​  (B) ​ __ 2 3 __ (C) ​ 2 ​  Chapter 1 Simple Equation Nếu x = 2 thoả mãn phương trình px + q = 91 và p – q = 2, giá trị của pq là . (A) (B) (C) (D) (E) 2 . (E) none of the above 1 Terry Chew 4 Nếu một phép toán được thể hiện như sau: a * b = 3a – b, giá trị của x trong x * (1 * 2) = 2 là . ( ) . (A) 1 1  ​ (B) ​ __ 2 3 __ (C) ​ 2  ​ 13 Đánh thức tài năng toán học - 6 (D) 2 5 (E) ​ __   2 ​ 5 ( ) 5 What can be the smallest value of a in 6x – a = 5x + 8? (A) (B) (C) (D) (E) 1 2 3 4 5 (D) 2 5 (E) ​ __ 2  ​ ( ) ( Số nào có thể là giá trị nhỏ nhất của a trong 6x – a = 5x + 8? (A) (B) (C) (D) (E) 1 2 3 4 5 ( 6 Solve for the value of x when 17x – 85 = 85 – 17x. 6 Tìm giá trị của x biết 17x – 85 = 85 – 17x. 7 Solve for the value of x in (x + 2) : 2 = (5x – 8) : 4. 7 Tìm giá trị của x biết (x + 2) : 2 = (5x – 8) : 4. 8 An operation is defined as a * b = 3 × a – 5 × b. Find the value of x in 7 * (x * 4) = 1. 8 Một phép toán được thể hiện như sau a * b = 3 × a – 5 × b. Tìm giá trị của x trong 7 * (x * 4) = 1. Chapter 1 Simple Equation 14 Terry Chew ) 15 ) Đánh thức tài năng toán học - 6