Tài liệu Đánh thức tài năng toán học quyển 5

TÁC GIẢ: TERRY CHEW TÁC NGUYỄN GIẢ: TERRY CHEW DỊCH GIẢ: THÀNH KHANG NGƯỜI DỊCH: NGUYỄN THÀNH KHANG NHÀ XUẤT BẢN THẾ GIỚI LỜI TỰA ĐÁNH THỨC TÀI NĂNG TOÁN HỌC - 5 MATHS OLYMPIAD - UNLEASH THE MATHS OLYMPIAN IN YOU Advanced ALL RIGHTS RESERVED Vietnam edition copyright © Online Education Game JSC, Lantabra, 2015 All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system or transmitted in any form or by any means, electronic, mechanical, photocopying, recording or otherwise, without the prior Bộ sách Đánh thức Tài năng Toán học nhằm giúp những học sinh say mê toán học có thể trau dồi kỹ năng giải những bài toán hóc búa. Các bài toán trong sách đã được phân loại rõ ràng nhằm giúp các em có thể hiểu và áp dụng một cách dễ dàng. Ngoài ra, trong mỗi chương lại có rất nhiều ví dụ hướng dẫn các em cách giải toán. Những phân tích và diễn giải dễ hiểu trong các ví dụ chắc chắn sẽ giúp các em hiểu rõ vấn đề hơn. permission of the publishers. Sau khi hiểu bài, các em có thể áp dụng những kiến thức đó vào việc giải ISBN: 978-604-77-1492-6 các bài toán được đưa ra trong từng chương. Printed in Viet Nam Bản quyền tiếng Việt thuộc về Công ty Cổ phần Trò chơi Giáo dục Trực tuyến, xuất bản theo hợp đồng chuyển nhượng bản quyền giữa Singapore Asia Publishers Pte Ltd và Công ty Cổ phần Trò chơi Giáo dục Trực tuyến, nhãn hiệu Lantabra 2015. Bản quyền tác phẩm đã được bảo hộ, mọi hình thức xuất bản, sao chụp, phân phối dưới dạng in ấn, văn bản Chúng tôi hy vọng rằng cuốn sách sẽ cung cấp cho các em học sinh những kiến thức hữu ích và giúp các em cảm thấy tự tin hơn trong việc giải toán. điện tử, đặc biệt là phát tán trên mạng internet mà không được sự cho phép của đơn vị nắm giữ bản quyền là hành vi vi phạm bản quyền và làm tổn hại tới lợi ích của tác giả và đơn vị đang nắm giữ bản quyền. Không ủng hộ những hành vi vi phạm bản quyền. Chỉ mua bán bản in hợp pháp. XUẤT BẢN VÀ PHÁT HÀNH: Công ty Cổ phần Trò chơi Giáo dục Trực tuyến Tầng 10 - Tòa nhà Center Building Số 01 - Nguyễn Huy Tưởng - P. Thanh Xuân Trung - Q. Thanh Xuân - TP. Hà Nội Điện thoại: (04) 3782 4288 Website: http://egame.vn/ LANTABRA 149 Trung Kính - P. Yên Hòa - Q. Cầu Giấy - TP. Hà Nội Điện thoại: (04) 3782 3782 Hotline: 0979 919 926 Email: [email protected] Website: http://www.hocgioitoan.vn Terry Chew MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU “Những bản nhạc khó chơi thường rất tuyệt vời, nhưng nếu chia bản nhạc thành từng phần đơn giản thì dù là những người mới học đàn cũng có thể chơi được. Toán học cũng như vậy.” Giáo sư Sherman K. Stein ĐÁNH THỨC TÀI NĂNG TOÁN HỌC - 5 Chương 1: .......................................................................................................... 2 Chapter 1:........................................................................................................... 3 Chương 2:......................................................................................................... 20 Chapter 2:......................................................................................................... 21 Bộ sách Đánh thức Tài năng Toán học đã được phổ biến rộng rãi ở nhiều quốc gia bởi những đặc trưng sau: • Chủ đề đa dạng, liên hệ toán học với các sự kiện hàng ngày; • Sự dí dỏm và phức tạp của các bài toán giúp khơi dậy kỹ năng tư duy và trí tưởng tượng đầy sáng tạo; • Khuyến khích sử dụng nhiều phương pháp giải toán khác nhau, kích thích lối tư duy đột phá. • Cung cấp kiến thức giải toán dựa trên những hướng dẫn và trình bày bao quát. Cuốn sách bao gồm những tài liệu đã được tôi sử dụng trong nhiều năm giảng dạy. Dù các bài toán đều thuộc dạng bài thi Olympic Toán học, song tôi nhận thấy tất cả các học sinh đều thu được nhiều lợi ích khi luyện tập chúng. Trong việc học toán dạng này, việc bổ sung và làm những bài tập nâng cao cùng với tinh thần và niềm say mê còn quan trọng hơn năng lực bẩm sinh. Rất nhiều học sinh mà tôi hướng dẫn, thậm chí cả cha mẹ các em cũng đều bị thu hút bởi những kiến thức được giới thiệu trong bộ sách này. Hy vọng rằng bạn và con bạn cũng sẽ có niềm say mê như vậy! Terry Chew Chương 3:......................................................................................................... 40 Chapter 3:......................................................................................................... 41 Chương 4:......................................................................................................... 52 Chapter 4:......................................................................................................... 53 Chương 5:......................................................................................................... 68 Chapter 5:......................................................................................................... 69 Chương 6:......................................................................................................... 86 Chapter 6:......................................................................................................... 87 Chương 7:....................................................................................................... 108 Chapter 7:....................................................................................................... 109 Chương 8:....................................................................................................... 126 Chapter 8:....................................................................................................... 127 Chương 9:....................................................................................................... 142 Chapter 9:....................................................................................................... 143 Chương 10:..................................................................................................... 158 Chapter 10:..................................................................................................... 159 Chương 11:...................................................................................................... 174 Chapter 11:..................................................................................................... 175 Chương 12:..................................................................................................... 192 Chapter 12:..................................................................................................... 193 Chương 13:..................................................................................................... 208 Chapter 13:..................................................................................................... 209 Chương 14:..................................................................................................... 232 Chapter 14:..................................................................................................... 233 Chương 15:..................................................................................................... 246 Chapter 15:..................................................................................................... 247 Chương 16:..................................................................................................... 262 Chapter 16:..................................................................................................... 263 Chương 17:..................................................................................................... 280 Chapter 17:..................................................................................................... 281 Chương 18:..................................................................................................... 294 Chapter 18:..................................................................................................... 295 Chương 19:..................................................................................................... 306 Chapter 19:..................................................................................................... 307 Chương 20:..................................................................................................... 320 Chapter 20:..................................................................................................... 321 ĐÁP ÁN.......................................................................................................... 335 1 1 SOÁ TÖÏ NHIEÂN Whole Numbers Kỹ thuật quan trọng nhất và phức tạp nhất mà chúng ta sẽ được học trong chương The most important and sophisticated technique that we will learn from this chapter này là khả năng biểu diễn số, ta viết số tự nhiên có 4 chữ số dưới dạng sau: is to be able to express, say, abcd, which denotes a 4-digit number, in the form of 1000a + 100b + 10c + d. 1000a + 100b + 10c + d. Tính hữu dụng của phép biểu diễn số đơn giản này có thể giúp chúng ta đánh giá The usefulness of this simple expression is to help us solve and appreciate a unique và giải quyết một tập hợp các bài toán đặc biệt như Ví dụ 3, Ví dụ 4 và Bài tập 10 set of mathematical problems such as Example 3, Example 4 and Question 10 in trong chương này. this chapter. Một loại bài tập khác là nhân hai số có rất nhiều chữ số, thường sử dụng một nhận The other category of mathematical problems, namely multiplication of two thức đơn giản ( ) để giải quyết bài toán. Khái niệm trên được thể hiện trong Ví dụ 2. extremely long string of numbers, uses a simple concept (10 – 1 = 9) for problemsolving. This concept is demonstrated in Example 2. Cuối cùng, chúng ta sẽ học cách đơn giản hóa cách tính tổng hoặc hiệu của hai biểu thức tích qua việc tìm các thừa số. Kỹ thuật này được minh họa trong Ví dụ 1 và Bài tập 7. Last but not least, we will learn to simplify the computation of the sum or difference of two sets of products through skilful factorisation. Example 1 and Question 7 illustrate this technique. VÍ DỤ 1 999 999 × 222 222 + 333 333 × 333 334 = ? Cách giải: 999 999 × 222 222 + 333 333 × 333 334 = 333 333 × 3 × 222 222 + 333 333 × 333 334 = 333 333 × 666 666 + 333 333 × 333 334 = 333 333 × (666 666 + 333 334) = 333 333 × 1 000 000 = 333 333 000 000 Đánh thức tài năng Toán học - 5 2 Chương 1 EXAMPLES 1 999 999 × 222 222 + 333 333 × 333 334 = ? Solution: 999 999 × 222 222 + 333 333 × 333 334 = 333 333 × 3 × 222 222 + 333 333 × 333 334 = 333 333 × 666 666 + 333 333 × 333 334 = 333 333 × (666 666 + 333 334) = 333 333 × 1 000 000 = 333 333 000 000 3 Chapter 1 Terry Chew 2 Tìm tổng tất cả các chữ số của phép nhân 333 … 333 × 666 … 666. 2008 chữ số 3 Phân tích: Chúng ta không thể tiến hành nhân trực tiếp 2 số lớn như vậy. Toàn bộ thủ thuật để giải quyết bài toán này nằm ở mối quan hệ đơn giản sau: 10 – 1 = 9. Cách giải: 333 … 333 × 666 … 666 2008 chữ số 2 2007 chứ số 7 2 + 7 = 9 (có 2007 cặp chữ số có tổng bằng 9 như vậy) 1 + 8 = 9 (có thêm 1 cặp chữ số có tổng bằng 9) 2008 × 9 = 18 072 Tổng tất cả các chữ số của số 333 … 333 × 666 … 666 là 18 072. 2008 chữ số 6 3 Tổng tất cả các chữ số của một số tự nhiên có 3 chữ số là 21. Chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng chục. Nếu đổi chỗ chữ số hàng đơn vị và chữ số hàng trăm ta sẽ nhận được một số tự nhiên mới lớn hơn số ban đầu 198 đơn vị. Tìm số đã cho. Phân tích: Không quá khó để nhận thấy rằng: 876 – 678 = 198. Suy ra đáp số của bài toán là 876 – 678 = 198. Câu hỏi đặt ra là liệu đây có phải là đáp số duy nhất của bài toán hay không? Cách giải: 100a + 10b + c = abc ––– (1) Đổi chỗ chữ số hàng đơn vị và chữ số hàng trăm, ta nhận được số mới: 100c + 10b + a ––– (2) (2) – (1) Đánh thức tài năng Toán học - 5 4 Chương 1 = 999 … 999 × 222 … 222 2008 2s = (1000 … 000 – 1) × 222 … 222 2008 2s = 222 … 222 000 … 000 – 222 … 222 2008 2s = 222 … 222 1 777 … 778 2008 chữ số 3 2008 2s 2008 0s = 222 … 222 000 … 000 – 222 … 222 2007 chữ số 2 2008 6s = 333 … 333 × 3 × 222 … 222 2008 9s 2008 chữ số 2 2008 chữ số 0 Solution: 333 … 333 × 666 … 666 = (1000 … 000 – 1) × 222 … 222 2008 chữ số 2 Analysis: It is not possible to multiply two numbers of such magnitude. The whole trick to this question lies in a simple relationship: 10 – 1 = 9. 2008 3s 2008 chữ số 2 2008 6s 2008 chữ số 2 2008 chữ số 0 2008 3s 2008 3s = 999 … 999 × 222 … 222 2008 chữ số 9 2008 chữ số 6 = 333 … 333 × 3 × 222 … 222 2008 chữ số 3 Find the sum of all the digits of 333 … 333 × 666 … 666. 2008 chữ số 6 2008 chữ số 3 2 2008 2s = 222 … 222 1 777 … 778 2007 2s 2008 0s 2007 7s 2 + 7 = 9 (there are 2007 pairs of 9) 1 + 8 = 9 (there is one more pair of 9) 2008 × 9 = 18 072 The sum of all the digits of 333 … 333 × 666 … 666 is 18 072. 2008 3s 2008 6s 3 The sum of all the digits of a three-digit number is 21. The digit in the ones place is greater than the digit in the tens place. A new number, which is 198 more than the original one, is formed by interchanging the digit in the ones place with the digit in the hundreds place. What is the original number? Analysis: It will not take us long to figure out that 876 – 678 = 198. Hence, the answer is 678. The question lies with whether this is the only answer. Solution: 100a + 10b + c = abc ––– (1) Interchange the digits in the ones and hundreds places, it will become 100c + 10b + a ––– (2) (2) – (1) 5 Chapter 1 Terry Chew 100c + 10b + a – abc = 198 100c + 10b + a – 100a – 10b – c = 198 99c – 99a = 198 99(c – a) = 198 c – a = 198 ÷ 99 = 2 100c + 10b + a – abc = 198 100c + 10b + a – 100a – 10b – c = 198 99c – 99a = 198 99(c – a) = 198 c – a = 198 ÷ 99 = 2 Vì chữ số hàng đơn vị lớn hơn chữ số hàng trăm 2 đơn vị, ta thử số 597. Tuy nhiên khi đó chữ số hàng chục là 9 lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 7. Since the digit in the ones place is greater than the digit in the hundreds place by 2, we try 597. However, 9 is greater than 7. Tiếp theo, ta thử số 759. Next, we try 759. 957 – 759 = 198 957 – 759 = 198 Suy ra, số đã cho có thể là 678 hoặc 957. Hence, the original number can be 678 or 957. 4 Cô Cussler sinh ngày 1 tháng Giêng của nhiều năm về trước. Năm 2002, tuổi của cố ấy bằng tổng của 4 chữ số trong năm sinh của cô ấy. Hỏi năm 2002 cô Cussler bao nhiêu tuổi? Analysis: Một lần nữa ta sẽ biểu diễn năm sinh của cô Cussler dưới dạng: 1000 + 100a + 10b + c, nếu chúng ta giả sử năm sinh của cô Cussler là: 1abc. Cách giải: 2002 – (1000 + 100a + 10b + c) = 1 + a + b + c 1002 – 100a – 10b – c = 1 + a + b + c 1001 = 101a + 11b + 2c Lấy a = 9, khi đó số cần tìm có dạng 19bc. 1001 = 101 × 9 + 11b + 2c 1001 – 909 = 11b + 2c 92 = 11b + 2c 92 – 2c _______ b = ​   ​    11 92 – 2 × 2 _________ Khi c = 2, b = ​   ​    11 ___ 88 = ​   ​   11 =8 Miss Cussler was born on the 1st of January many years ago. In 2002, her age was the sum of all the four digits of the year that she was born in. How old was Miss Cussler in 2002? Analysis: Again, we express the year that she was born in as 1000 + 100a + 10b + c, if we assume it is 1abc. Solution: 2002 – (1000 + 100a + 10b + c) = 1 + a + b + c 1002 – 100a – 10b – c = 1 + a + b + c 1001 = 101a + 11b + 2c Take a = 9, so that it becomes 19bc. 1001 = 101 × 9 + 11b + 2c 1001 – 909 = 11b + 2c 92 = 11b + 2c 92 – 2c _______ b = ​   ​    11 When c = 2, Cô Cussler sinh năm 1982. 1 + 9 + 8 + 2 = 20 Vì 1982 + 20 = 2002. Vậy năm 2002, cô Cussler 20 tuổi. Đánh thức tài năng Toán học - 5 4 6 Chương 1 92 – 2 × 2 _________ b = ​   ​    11 ___ 88 = ​   ​   11 =8 Miss Cussler was born in 1982. 1 + 9 + 8 + 2 = 20 as 1982 + 20 = 2002. Miss Cussler was 20 years old in 2002. 7 Chapter 1 Terry Chew LUYEÄN TAÄP PRACTICE 1 Với mỗi câu hỏi dưới đây, chỉ thực hiện 3 phép tính nhân đầu tiên. Viết kết quả của 3 phép tính tiếp theo dựa trên những phán đoán của mình. 1 For each question below, do only the first three multiplication problems. Write out the next three products based on your conjecture. (a) 3 × 4 = (b) 33 × 34 = 333 × 334 = 3333 × 3334 = 33 333 × 33 334 = 333 333 × 333 334 = 6×7= 66 × 67 = 666 × 667 = 6666 × 6667 = 66 666 × 66 667 = 666 666 × 666 667 = (a) 3 × 4 = (b) 33 × 34 = 333 × 334 = 3333 × 3334 = 33 333 × 33 334 = 333 333 × 333 334 = 6×7= 66 × 67 = 666 × 667 = 6666 × 6667 = 66 666 × 66 667 = 666 666 × 666 667 = (c) 5 × 9 = (d) 55 × 99 = 555 × 999 = 5555 × 9999 = 55 555 × 99 999 = 555 555 × 999 999 = 8×9= 88 × 99 = 888 × 999 = 8888 × 9999 = 88 888 × 99 999 = 888 888 × 999 999 = (c) 5 × 9 = (d) 55 × 99 = 555 × 999 = 5555 × 9999 = 55 555 × 99 999 = 555 555 × 999 999 = 8×9= 88 × 99 = 888 × 999 = 8888 × 9999 = 88 888 × 99 999 = 888 888 × 999 999 = 2 Tìm giá trị của: 1 111 111 122 222 222 ÷ 33 333 334. Đánh thức tài năng Toán học - 5 8 Chương 1 2 Find the value of 1 111 111 122 222 222 ÷ 33 333 334. 9 Chapter 1 Terry Chew 3 Tìm giá trị của: 666 … 666 × 666 … 667. 2008 chữ số 6 2007 chữ số 6 4 Tính: 11 111 111 × 99 999 999. Đánh thức tài năng Toán học - 5 3 Find the value of 666 … 666 × 666 … 667. 2008 6s 2007 6s 4 Compute 11 111 111 × 99 999 999. 10 Chương 1 11 Chapter 1 Terry Chew 5 Tìm giá trị của: 888 … 888 × 333 … 334 + 666 … 666 × 888 … 888. 5 Find the value of 888 … 888 × 333 … 334 + 666 … 666 × 888 … 888. 20 8s 6 Tính 333 … 333 × 888 … 888 ÷ 666 … 666. 12 Chương 1 20 6s 20 8s 6 Compute 333 … 333 × 888 … 888 ÷ 666 … 666. 2008 3s Đánh thức tài năng Toán học - 5 19 3s 2008 8s 2008 6s 13 Chapter 1 Terry Chew 7 Tính 2007 2008 × 2008 2007 – 2007 2007 × 2008 2008. 7 Compute 2007 2008 × 2008 2007 – 2007 2007 × 2008 2008. 8 Tìm giá trị của: 999 … 999 × 999 … 999 + 1 999 … 999. 8 Find the value of 999 … 999 × 999 … 999 + 1 999 … 999. 2008 9s Đánh thức tài năng Toán học - 5 14 Chương 1 2008 9s 15 Chapter 1 2008 9s Terry Chew 9 Lấy tổng tất cả các chữ số của một số tự nhiên có 2 chữ số nhân với 8. Kết quả nhận được lớn hơn số đã cho 8 đơn vị. Tìm số tự nhiên có 2 chữ số đó. 9 The sum of the digits of a two-digit number is multiplied by 8. The result is 8 more than the number. Find the two-digit number. 10 Năm 2008, tuổi của James bằng tổng tất cả các chữ số trong năm sinh của James. Hỏi năm 2008, James bao nhiêu tuổi? 10 James’ age in 2008 was the sum of all the digits of his year of birth. How old was James in 2008? Đánh thức tài năng Toán học - 5 16 Chương 1 17 Chapter 1 Terry Chew 2 2 Solve by Comparison and Replacement Kỹ thuật của phương pháp so sánh và thay thế (còn được gọi là phương pháp thế) The techniques of comparison and replacement, also known as substitution, have được đề cập chi tiết trong Tập 3 của bộ sách Đánh thức Tài năng Toán học. been studied in detail in Maths Olympiad – Beginner. Trường hợp thứ nhất, chúng ta sẽ viết hai mệnh đề về bài toán. Sau đó, chúng ta đem hai mệnh đề này ra so sánh với một mệnh đề khác bởi ban đầu hai mệnh đề này không thể so sánh trực tiếp với nhau. Trường hợp thứ hai, chúng ta coi hai đối tượng hoặc hiện tượng là một. Nói cách In the first case, we will write two statements about the problems. We then bring the statements to a comparable stage when they cannot be compared directly in the first place. khác, ta thay thế đối tượng này bằng đối tượng kia. Sau đó chúng ta cần điều chỉnh In the second case, we treat two items or events as if they are the same. In other lại để giải bài toán. words, we substitute one item for another. Adjustments need to be made to facilitate the solving of such problems. EXAMPLES 1 5 chiếc bàn và 18 chiếc ghế có giá 594 đô-la. Giá của một chiếc bàn bằng giá của 3 chiếc ghế. Hỏi mỗi chiếc bàn giá bao nhiêu? Mỗi chiếc ghế giá bao nhiêu? Cách giải: “Đổi” tất cả các đối tượng ra ghế. 1 chiếc bàn → 3 chiếc ghế 5 chiếc bàn → 15 chiếc ghế 15 + 18 = 33 chiếc ghế 594 : 33 = 18 đô-la Mỗi chiếc ghế có giá là: 18 đô-la. 3 x 18 = 54 đô-la Mỗi chiếc bàn có giá là: 54 đô-la. EXAMPLES 1 Solution: ‘Change’ all items to chairs. 1 table → 3 chairs 5 tables → 15 chairs 15 + 18 = 33 chairs $594 ÷ 33 = $18 Each chair costs $18. 3 × $18 = $54 Đánh thức tài năng Toán học - 5 18 Chương 1 5 similar tables and 18 similar chairs cost $594. The cost of one such table is the same as the cost of 3 such chairs. How much does each table cost? How much does each chair cost? Each table costs $54. 19 Chapter 1 Terry Chew