Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ đánh giá cận trên, dưới và xấp xỉ tính hệ số dẫn của vật liệu nhiê...

Tài liệu đánh giá cận trên, dưới và xấp xỉ tính hệ số dẫn của vật liệu nhiều thành phần và đa tinh thể (tt)

.PDF
27
227
123

Mô tả:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ----------------------------- NGUYỄN VĂN LUẬT ĐÁNH GIÁ CẬN TRÊN, DƯỚI VÀ XẤP XỈ TÍNH HỆ SỐ DẪN CỦA VẬT LIỆU NHIỀU THÀNH PHẦN VÀ ĐA TINH THỂ Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật Mã sỗ: 62 52 01 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ CƠ KỸ THUẬT Hà Nội - 2017 Công trình được hoàn thành tại: Học viện Khoa học và Công nghệ Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam. Người hướng dẫn khoa học 1: PGS.TSKH Phạm Đức Chính Người hướng dẫn khoa học 2: TS Nguyễn Trung Kiên Phản biện 1: GS.TS Hoàng Xuân Lượng Phản biện 2: PGS.TS Trần Minh Tú Phản biện 3: TS Trần Thanh Tuấn Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp Học viện, họp tại Học viện Khoa học và Công nghệ - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam vào hồi … giờ ….’, ngày ..… tháng ..… năm 201…. Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Học viện Khoa học và Công nghệ - Thư viện Quốc gia Việt Nam DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ 1. Pham, D.C., Vu, L.D., Nguyen, V.L (2013), Bounds on the ranges of the conductive and elastic properties of randomly inhomogeneous materials. Philosophical Magazine 93, 2229-2249. 2. Nguyen Trung Kien, Nguyen Van Luat, Pham Duc Chinh (2013), Estimating effective conductivity of unidirectional transversely isotropic composites. Tạp chí Cơ học Việt Nam (Vietnam Journal of Mechanics), 203-213, Volume 35.. 3. Nguyen Van Luat, Nguyen Trung Kien (2015), FFT-simulations and multi-coated inclusion model for macroscopic conductivity of 2D suspensions of compound inclusions. Tạp chí Cơ học Việt Nam (Vietnam Journal of Mechanics), 169-176, Volume 37. 4. Nguyễn Văn Luật,Vương thị Mỹ Hạnh, Phạm Đức Chính (2012), Đánh giá hệ số dẫn đa tinh thể hỗn độn. Hội nghị Cơ học toàn quốc lần thứ IX, Hà Nội 8-9/12/2012. 5. Nguyễn Văn Luật, Nguyễn Trung Kiên, Phạm Đức Chính (2013), Các đánh giá bậc ba và mô phỏng số FFT cho hệ số dẫn một số vật liệu nhiều thành phần. Hội nghi Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ XI, TP Hồ Chí Minh 7-9/11/2013. 6. Nguyễn Trung Kiên, Nguyễn Văn Luật (2015), Xấp xỉ hệ số dẫn vật liệu composite ba pha dạng quả cầu lồng nhau. Hội nghị Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ XII, Đà Nẵng 8/2015. MỞ ĐẦU Cơ sở khoa học và ý nghĩa của luận án Vật liệu nhiều thành phần hay vật liệu không đồng nhất nói chung và vật liệu đa tinh thể hỗn độn là những vật liệu được sử dụng chủ yếu trong các lĩnh vực khoa học, kỹ thuật và đời sống hiện nay. Vì vậy việc nghiên cứu các tính chất của các loại vật liệu này là rất cần thiết và có tính thời sự cho việc ứng dụng thực tế. Khác với vật liệu thuần nhất vật liệu không đồng nhất có cấu trúc vi mô khác nhau giữa các thành phần trong đó và sự tương tác giữa chúng là rất phức tạp. Vật liệu nhiều thành phần về mặt vi mô có cấu tạo các thành phần khác nhau nhưng về mặt vĩ mô là đồng nhất. Hướng nghiên cứu trong luận án tập trung vào việc tìm các tính chất dẫn vĩ mô (dẫn nhiệt, điện, thấm từ, tán xạ....) của vật liệu nhiều thành phần và đa tinh thể hỗn độn. Các tính chất dẫn này có vai trò đặc biệt quan trọng trong việc chế tạo vật liệu và ứng dụng các vật liệu tổ hợp trong kỹ thuật. Ví dụ như các loại vật liệu nền polyme cốt sợi, hạt, tấm được sử dụng rất nhiều trong các lĩnh vực hàng không, công nghiệp ô tô, hàng hải, vi điện tử, bảng mạch điện tử, dân dụng... khi gia cố các loại cốt sợi khác nhau như sợi thủy tinh, cacbon, kim loại... dẫn đến các tính chất cơ-lý như tính dẫn điện, dẫn nhiệt, độ từ thẩm, tán xạ... khác nhau. Để ứng dụng được trong thực tế thì cần xác định được các tính chất dẫn này. Trong kỹ thuật hiện nay thường sử dụng các đánh giá của Wiener, Voigt, Reuss và Hill là lấy trung bình cộng số học và trung bình cộng điều hòa làm giá trị hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu tổ hợp. Tuy nhiên khi các hệ số dẫn thành phần khác nhau nhiều thì các đánh giá này cho kết quả xấp xỉ không chính xác. Luận án đã xây dựng được các đánh giá trên, dưới của hệ số dẫn vĩ mô tốt hơn các đánh giá trước đây cho phép tìm ra được các hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu tổ hợp chính xác hơn. Các kết quả đó cũng giúp cho việc thiết kế các loại vật liệu tổ hợp mới theo các tính chất dẫn phù hợp với yêu cầu thực tế đặt ra. Đối tượng của luận án Các hệ số dẫn vĩ mô (hệ số dẫn hiệu quả) như hệ số dẫn nhiệt, điện, tán xạ, từ thẩm, điện môi, thấm nước... của vật liệu đẳng hướng nhiều thành phần và đa tinh thể hỗn độn. 1 Mục tiêu của luận án Xây dựng các đánh giá trên, dưới cho hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu tổ hợp nhiều thành phần và đa tinh thể hỗn độn. Áp dụng kết quả đánh giá mới cho một số mô hình vật liệu cụ thể. Sử dụng công cụ số dựa trên phép biến đổi Fourier nhanh (FFT) như một cách tính chính xác thay cho thực nghiệm để so sánh với đánh giá mới tìm được cho một số mô hình vật liệu có cấu trúc tuần hoàn. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp giải tích và phương pháp số. • Phương pháp giải tích (phương pháp theo đường hướng biến phân) dựa trên nguyên lý biến phân (nguyên lý năng lượng cực tiểu) và nguyên lý biến phân đối ngẫu (nguyên lý năng lượng bù cực tiểu). Từ đó xây dựng các biên trên, biên dưới cho hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu. • Phương pháp số sử dụng phương pháp biến đổi Fourier nhanh để đưa ra thuật toán lặp và sử dụng chương trình Matlab để tính cho một số mô hình vật liệu có cấu trúc tuần hoàn trong khuôn khổ của phương pháp FFT. Kết quả FFT được coi như một cách tính chính xác để so sánh với kết quả đánh giá theo đường hướng biến phân. Những đóng góp của luận án • Xây dựng được đánh giá mới bao gồm cận trên và cận dưới hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu nhiều thành phần. • Xây dựng được đánh giá mới bao gồm cận trên và cận dưới hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu đa tinh thể hỗn độn. • Áp dụng các đánh giá mới cho một số mô hình vật liệu nhiều thành phần đã biết thông tin bậc ba về hình học pha. Kết quả cho thấy đánh giá mới tốt hơn (gần hơn với kết quả chính xác) so với các đánh giá đã công bố trước đó. • Sử dụng phương pháp FFT để tính cho một số mô hình vật liệu có cấu trúc tuần hoàn nhằm mục đích so sánh với đánh giá mới tìm được. Bên cạnh đó cũng bước đầu xây dựng được thuật toán và chương trình số như một hướng đi trong bài toán đồng nhất hóa vật liệu. 2 Các kết quả chính của luận án đã được công bố trên các tạp chí bao gồm: quốc tế (01 bài SCI), tạp chí quốc gia (02 bài trên Vietnam Journal of Mechanics) và tuyển tập các báo cáo hội nghị quốc gia (03 báo cáo hội nghị). Cấu trúc của luận án Nội dung của luận án bao gồm: Chương 1: Tổng quan Trình bày về lịch sử quá trình đánh giá hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu trong đó đưa ra các kết quả nổi bật đã được công bố trước đây. Chương 2: Đánh giá biến phân cận trên, dưới hệ số dẫn của vật liệu đẳng hướng nhiều thành phần trong không gian d chiều Đi sâu vào trình bày chi tiết để xây dựng được đánh giá trên, dưới cho hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu đẳng hướng nhiều thành phần. Sử dụng kết quả đánh giá mới áp dụng cho một số mô hình vật liệu đã biết thông tin bậc ba hình học pha và có so sánh với các đánh giá trước đây. Chương 3: mô phỏng số FFT và so sánh với các đánh giá cho một số mô hình vật liệu Xây dựng thuật toán số FFT để tính toán hệ số dẫn vĩ mô cho một số mô hình vật liệu tổ hợp trong giới hạn của phương pháp là vật liệu có cấu trúc tuần hoàn có so sánh với kết quả đánh giá ở chương 2. Chương 4: Đánh giá hệ số dẫn cho vật liệu đa tinh thể hỗn độn trong không gian d chiều Sử dụng nguyên lý năng lượng cực tiểu và nguyên lý năng lượng bù cực tiểu để xây dựng đánh giá trên, dưới cho vật liệu đa tinh thể hỗn độn. Trong đó đưa ra các trường khả dĩ có chứa thông tin hình học pha của vật liệu, tổng quát hơn trường khả dĩ của Hashin-Shtrikman và Pham D.C. Áp dụng vào cho một số loại đa tinh thể có trong tự nhiên cho thấy kết quả đánh giá mới tốt hơn các đánh giá đã công bố trước đó. Kết luận chung Trình bày các kết quả chính đã thu được trong luận án và các hướng nghiên cứu cứu tiếp theo. 3 Chương 1 TỔNG QUAN 1.1 MỞ ĐẦU Tính chất cơ-lý của vật liệu có nhiều vấn đề cần nghiên cứu nhưng trong luận án này tác giả đề cập đến một phần trong các tính chất đó là các hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu bao gồm nhiều dạng: Hệ số dẫn nhiệt C là tenxơ bậc hai đặc trưng cho khả năng dẫn nhiệt của vật liệu, nói chung là khác nhau cho các hướng khác nhau đối với vật liệu dị hướng, được biểu diễn thông qua phương trình truyền nhiệt Fourier J(x) = −C(x) · E(x) (1.1) trong đó E = ∇T (x) là vectơ gradient nhiệt, T (x) là trường nhiệt độ, dòng nhiệt J thỏa mãn phương trình cân bằng nhiệt: ∇·J=0 (1.2) Điều kiện biên có thể là cho trước trường nhiệt độ T(x) = T0 (x), hoặc dòng nhiệt J(x).n(x) = q 0 (x) trên toàn phần hoặc một phần biên vật thể, n(x) là pháp tuyến ngoài trên biên, T 0 (x) và q 0 (x) là các giá trị cho trước. Trong trường hợp vật liệu đẳng hướng ta có C = CI, trong đó I là tenxơ bậc hai đơn vị và C là giá trị vô hướng thể hiện hệ số dẫn đẳng hướng. Từ các phương trình (1.1) và (1.2) ta nhận được phương trình Laplace: ∆T = 0. (1.3) Trong luận án này các mặt tiếp xúc giữa các thành phần được giả thiết là lý tưởng nghĩa là các hàm số T(x) và J(x) · n(x) là liên tục qua mặt tiếp xúc, n(x) là pháp tuyến tại mặt tiếp xúc. Hệ số tán xạ D đặc trưng cho khả năng lan truyền của dòng vật chất (đổi hướng lan truyền của dòng vật chất khi đi qua một đơn vị độ dày), có thể được 4 xác định thông qua định luật lan truyền Fick: J = −D · ∇φ (1.4) trong đó J là dòng lan truyền thỏa mãn phương trình cân bằng (1.2), φ là mật độ vật chất Hệ số dẫn điện c thỏa mãn định luật Ohm J(x) = −c(x)E(x) = −c(x) · ∇φ(x) (1.5) trong đó J là trường dòng điện thỏa mãn phương trình cân bằng (1.2), φ là trường điện thế. Hệ số thấm nước k được xác định thông qua định luật Darcy k q(x) = − · ∇P (x) η (1.6) trong đó P là áp lực nước, η là hệ số nhớt của nước, q là trường dòng ( tỉ lệ với tốc độ thấm v và độ rỗng của môi trường vật chất ρ , q = ρv) thỏa mãn phương trình cân bằng ∇ · q = 0 Hệ số điện môi (thấm điện)  đặc trưng cho tính chất điện của môi trường điện môi được xác định qua phương trình: D(x) =  · E(x) (1.7) trong đó D là vectơ dịch chuyển điện từ thỏa mãn phương trình cân bằng ∇ · D = 0, E là trường điện từ Tất cả các tính dẫn trên đều có cấu trúc toán học chung, đều dẫn tới thỏa mãn phương trình Laplace và các kết quả đều có thể sử dụng chung với các chỉnh lý tương ứng cho từng trường hợp cụ thể. Từ đây về sau để cho đồng nhất chúng ta sẽ sử dụng ngôn ngữ của bài toán dẫn nhiệt. Để đánh giá hệ số dẫn hiệu quả vĩ mô của vật liệu tổ hợp không đồng nhất chỉ cần đánh giá trên phần tử đặc trưng V (RVE: Representative Volume Element) của vật liệu đó Trong luận án này tác giả sử dụng phương pháp năng lượng hay phương pháp theo đường hướng biến phân, đó là xác định hệ số dẫn hiệu quả thông qua việc tìm cực trị của các phiếm hàm năng lượng trên V. Đặc điểm của bài toán tính chất vĩ mô là các thông tin hình học pha của vật liệu rất hạn chế nên trong phần lớn các trường hợp khó xác định chính xác một tính chất nào đó của vật liệu tổ hợp mà chỉ có thể tìm được đánh giá cận trên và dưới đối với tính chất đó. Nguyên lý năng lượng cực tiểu để tìm đánh giá trên cho vật liệu 5 đẳng hướng vĩ mô n pha C ef f 0 0 E · E = inf Z hEi=E0 E · C · Edx (1.8) V và nguyên lý năng lượng bù cực tiểu (nguyên lý biến phân đối ngẫu) để tìm đánh giá dưới Z −1 (C ef f ) J0 · J0 = inf 0 J · C−1 · Jdx (1.9) hJi=J V trong đó E trong (1.8) là vectơ gradient của một hàm liên tục (nhiệt, điện, điện môi, thấm từ...) trên V, E0 là vectơ hằng cho trước, h•i là trung bình trên V, R h•i = V1 •dx. Trường dòng J trong (1.9) thỏa mãn điều kiện cân bằng: V ∇·J=0 Hệ số dẫn C(x) liên kết trường gradient E và trường dòng J J(x) = C(x)E(x) C(x) = Cα khi x ∈ Vα , α = 1, . . . , n (1.10) (1.11) Điểm nổi bật của phương pháp theo đường hướng biến phân là trường khả dĩ lựa chọn (E, J) chỉ cần thỏa mãn một số phương trình cơ học nhất định nào đó, nếu như phiếm hàm (1.8) hoặc (1.9) đạt cực trị thì sẽ thỏa mãn hoàn toàn các phương trình cơ học còn lại. Với mỗi cách chọn trường khả dĩ đều cho được kết quả đánh giá tương ứng, vì vậy bằng cách xây dựng khéo léo các trường khả dĩ với đầy đủ tới mức có thể các thông tin về cấu trúc hình học của vật liệu ta sẽ cho ra đánh giá tốt nhất gần với các giá trị thực. 1.2 LỊCH SỬ TIẾP CẬN ĐỒNG NHẤT HÓA VÀ QUÁ TRÌNH ĐÁNH GIÁ HỆ SỐ DẪN CỦA VẬT LIỆU Vào năm 1892, Maxwell [35] và Rayleigh [67] đã tìm ra được lời giải tiệm cận cho hệ số dẫn của hỗn hợp dạng nền cốt liệu với pha nền là chủ đạo (vM ' 1) và tỷ lệ nhỏ các hạt cốt liệu cầu (vI  1) sắp xếp theo trật tự lập phương tuần hoàn. 2CM + CI + 2vI (CI − CM ) C ef f = CM · (vI  1) (1.12) 2CM + CI − vI (CI − CM ) Wiener (1912-[77]), Voigt (1928- [75]), Reuss (1929-[68]) đã đưa ra các công thức trung bình cộng số học (Voigt) và trung bình công điều hòa (Reuss) để 6 tính xấp xỉ các tính chất vĩ mô của các loại vật liệu tổ hợp n thành phần và đa tinh thể hỗn độn với hình học pha và tỷ lệ thể tích bất kỳ ở các pha. Đối với hệ số dẫn của vật liệu đẳng hướng (tổng theo α chạy từ 1 tới n): !−1 X X vα C ef f ' vα Cα = CV hoặc C ef f ' = CR C α α α (1.13) Cho vật liệu đa tinh thể ta có các trung bình tương ứng Hill (1952-[27]) Cef f = hCi = CV I hoặc Cef f = hC−1 i−1 = CR I  d −1 d P P trong đó Cef f = C ef f I, CV = d1 Ci , CR = d1 Ci−1 i=1 (1.14) i=1 với d là số chiều của không gian, I là ma trận đơn vị, Ci (i = 1, 2, ..., d) là các hệ số dẫn chính của đơn tinh thể cơ sở. Nguyên lý năng lượng cực trị lần đầu tiên được đề xuất bởi Hill (1952-[27]) trong nghiên cứu tính chất hiệu quả của vật liệu đa tinh thể và chọn trường khả dĩ hằng số, ông đã chứng minh được tính chất hiệu quả luôn nằm giữa trung bình cộng số học CV và trung bình cộng điều hòa CR , đối với hệ số dẫn của vật liệu tổ hợp đẳng hướng n thành phần và vật liệu đa tinh thể hỗn độn: CV ≤ C ef f ≤ CR (1.15) Nghiên cứu tiếp theo đã để lại dấu ấn quan trọng trong cơ học vật liệu là của Hashin-Shtrikman (1963-[24])(HS), đã xây dựng tính chất hiệu quả dựa trên nguyên lý biến phân riêng dẫn tới trường khả dĩ phân cực (polarization fields). Kết quả HS đã tìm ra đánh giá hệ số dẫn vĩ mô cho vật liệu tổ hợp tốt hơn các đánh giá trước đó của Voigt, Reuss, Hill, Wiener. Đánh giá của HS được coi là một trong những thành tựu chính của cơ học vật liệu. Phạm D.C (1996-[83]) xuất phát từ các nguyên lý năng lượng cực tiểu đã nói trên (không phải từ các nguyên lý HS), trong khi tìm trường khả dĩ đã xây dựng được các trường khả dĩ phân cực dạng HS cho vật liệu tổ hợp đẳng hướng. Từ đó nhận được các đánh giá mới tốt hơn đánh giá của HS nhờ xuất hiện thành phần nhiễu chứa thông tin bậc ba hình học pha của vật liệu Aαβ γ Z Z 1 βγ α Aαβ ϕαγ ϕαγ ϕα,ij dx (1.16) γ = ij ϕij dx, ij = ϕ,ij − vγ Vγ Vγ Một hướng nghiên cứu hiện nay cũng thường được sử dụng trong lĩnh vực đồng nhất hóa vật liệu đó là các phương pháp số sẽ được đề cập ở chương 3. 7 Chương 2 ĐÁNH GIÁ BIẾN PHÂN CẬN TRÊN, DƯỚI HỆ SỐ DẪN CỦA VẬT LIỆU ĐẲNG HƯỚNG NHIỀU THÀNH PHẦN TRONG KHÔNG GIAN d CHIỀU 2.1 Đánh giá trên Xây dựng đánh giá trên cho hệ số dẫn vĩ mô C ef f sử dụng nguyên lý năng lượng cực tiểu trong (1.8), với trường khả dĩ mở rộng so với trường phân cực của Hashin-Shtrikman có dạng Ei = Ei0 + n X aα Ej0 ϕα,ij với i, j = 1, ..., d (2.1) α=1 trong đó E0 là vectơ hằng cho trước, aα là các hệ số vô hướng tự do, ϕα hàm thế điều hòa là tích phân của hàm Green trên pha α. Đặt (2.1) vào (1.8) rút gọn ta nhận được biểu thức năng lượng   Z 1X 1 X 2 2X aα Cα vα + aα aβ Cγ Aαβ + aγ C γ v γ  , WE = CE·Edx = Ei0 Ei0 CV + γ 2 d α d d γ α,β,γ V (2.2) Phiếm hàm năng lượng WE phụ thuộc vào các hệ số aα , Cα , vα và tham số bậc ba hình học pha của vật liệu Aαβ γ . Để tìm được đánh giá trên tốt nhất ta đi tìm cực tiểu phiếm hàm bằng phương pháp nhân tử Lagrange với ràng buộc từ điều kiện trung bình trong (1.8). Từ đó nhận được biểu thức năng lượng 1X 0 0 WE = Ei Ei [CV + aα Cα vα ] = Ei0 Ei0 [CV − v0 c · A−1 (2.3) c · vc ], d α 8 n 1 vα Cα ; với vc = [v1 (C1 − CR ), v2 (C2 − CR ), ..., vn (Cn − CR )] , v c = d α=1 X X  n 1 Ac = Acαβ α,β=1 , Acαβ = Cγ [Aαβ − Cδ−1 vα CR Aδβ γ γ ] + Cα vα δαβ d γ δ T 0  Từ (1.8), (2.3) xây dựng được biểu thức đánh giá trên có dạng   ef f 0 −1 U βγ C ≤ CV − v c · Ac · vc = CA {Cα }, {vα }, {Aα } 2.2 (2.4) Đánh giá dưới Sử dụng nguyên lý năng lượng bù cực tiểu (1.9) với trường khả dĩ có dạng Ji = Ji0 + n X aα Jj0 (ϕα,ij − δij Iα (x)), (2.5) α=1 trong đó aα là các hệ số vô hướng tự do, ϕα là hàm thế điều hòa, Iα (x) là hàm chỉ số pha, J0 là vectơ hằng cho trước. Tương tự như đánh giá trên, đặt (2.5) vào (1.9) rút gọn và sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange ta nhận được biểu thức năng lượng Z WJ = J · C−1 · Jdx = Ji0 Ji0 [CR−1 − v̄0 c · Ā−1 c · v̄c ] (2.6) V 1−d [v1 (C1−1 − CV−1 ), v2 (C2−1 − CV−1 ), ..., vn (Cn−1 − CV−1 )]T d n   n 1 − d vα Cα−1 , Āc = Ācαβ α,β=1 v̄0 c = d α=1 X X 1 1 −1 (1 − d)2 −1 −1 αβ −1 δβ = C A − CV vα Cγ Cδ Aγ + Cα vα δαβ 2 d γ γ γ d d γ,δ với v̄c = Ācαβ Từ (1.9), (2.6) xây dựng được biểu thức đánh giá dưới có dạng   ef f −1 −1 −1 L βγ 0 C ≥ [CR − v̄ c · Āc · v̄c ] = CA {Cα }, {vα }, {Aα } , 2.3 (2.7) Áp dụng tính toán hệ số dẫn (HSD) vĩ mô cho một số mô hình vật liệu Các đánh giá cận trên, dưới HSD vĩ mô (2.4), (2.7) chứa các hệ số dẫn thành phần Cα , tỷ lệ thể tích vα của các pha, và thông tin bậc ba hình học pha Aβγ α . khi áp dụng ở chương này chỉ xem xét các mô hình đã biết thông tin hình học bậc ba của vật liệu. 9 2.3.1 Mô hình quả cầu lồng nhau 1. Quả cầu lồng nhau hai pha Các khoảng trống được lấp đầy bằng các quả cầu lồng nhau đồng dạng nhưng kích thước thay đổi tới vô cùng bé. Có thể coi quả cầu bên trong là pha cốt liệu (pha 1) quả cầu lồng bên ngoài là pha nền (pha 2), thông tin hình học bậc ba của vật liệu Aβγ α được biểu diễn phụ thuộc vào một thông số ζα được xác định chính xác (Pham D.C, 1997-[50]): 22 12 A11 α = Aα = −Aα = d−1 v1 v2 ζα , d (a) α = 1, 2; ζ1 = 0; ζ2 = 1. (2.8) (b) Hình 2.1: (a) mô hình quả cầu lồng nhau 2 pha. (b) Đánh giá HSD vĩ mô quả cầu lồng nhau 2 pha: pha cốt liệu C1 = 2, pha nền C2 = 20, trong không gian 2 chiều Hình 2.2: Đánh giá HSD vĩ mô quả cầu lồng nhau 2 pha: pha cốt liệu C1 = 2, pha nền C2 = 20, trong không gian 3 chiều Trên các hình 2.1 b; hình 2.2 cho kết quả chính xác cận trên, dưới của đánh giá mới trùng nhau và trùng với cận trên của HS. 10 2. Quả cầu lồng nhau ba pha Quả cầu lồng nhau 3 pha (hình 2.3a): Từ trong ra ngoài là các pha 1,2,3 tương ứng. Kết quả đánh giá được thể hiện trên các hình 2.3b, 2.4 với cận trên và dưới trùng nhau cho kết quả chính xác và nằm trong các đánh giá trước đó của Wiener-Voigt-Reuss, HS. (a) (b) Hình 2.3: (a) mô hình quả cầu lồng nhau 3 pha. (b) Đánh giá HSD vĩ mô quả cầu lồng nhau 3 pha: 2 pha cốt liệu C1 = 1, C2 = 5, pha nền C3 = 20, trong không gian 2 chiều Hình 2.4: Đánh giá HSD vĩ mô quả cầu lồng nhau 3 pha: 2 pha cốt liệu C1 = 20, C2 = 5, pha nền C3 = 1, trong không gian 3 chiều 2.3.2 Mô hình vật liệu đối xứng ba pha Vật liệu tổ hợp đối xứng 3 pha trong không gian d chiều, pha i có tỉ lệ thể tích của là vi và hệ số dẫn Ci , i = 1, 2, 3. Giả định trong không gian 3 chiều C1 = 1, C2 = 5, C3 = 20; Tỉ lệ thể tích của các pha v1 = 0.1 → 0.9. v2 = d−1 d (1 − v1 ), v3 = d1 (1 − v1 ). Kết quả đánh giá HSD trên hình 2.5 (d=3) 11 cho thấy đánh giá mới (2.4),(2.7) cho kết quả tốt hơn các đánh giá trước đó của Voigt-Reuss và HS. (a) (b) Hình 2.5: (a) Vật liệu tổ hợp đẳng hướng đối xứng. (b) Đánh giá HSD vĩ mô vật liệu dối xứng 3 pha C1 = 1, C2 = 5, C3 = 20 trong không gian 3 chiều 2.3.3 Mô hình vật liệu tổ hợp hai pha dạng nền, cốt liệu tròn Xem xét hai mô hình có cốt liệu là các quả cầu cùng kích cỡ sắp xếp ngẫu nhiên không chồng lấn và chồng lấn. Thông tin hình học bậc ba của các mô hình này được xác định bởi Torquato (2002). Giả sử hệ số dẫn pha nền C1 = 5, pha cốt liệu (C2 = 15), tỉ lệ thể tích v1 = 1 − v2 . (a) (b) Hình 2.6: Mô hình quả cầu cùng kích cỡ phân bố ngẫu nhiên trong không gian 3 chiều. (a) Quả cầu không chồng lấn ngẫu nhiên. (b) Quả cầu chồng lấn ngẫu nhiên 12 Hình 2.7: Kết quả đánh giá HSD cho vật liệu 2 pha trong không gian 3 chiều có cấu trúc quả cầu ngẫu nhiên không chồng lấn với pha nền C1 = 5, pha cốt liệu C2 = 15 Hình 2.8: Kết quả đánh giá HSD cho vật liệu 2 pha trong không gian 3 chiều có cấu trúc quả cầu ngẫu nhiên chồng lấn với pha nền C1 = 5, pha cốt liệu C2 = 15 2.4 Kết luận Sử dụng nguyên lý năng lượng cực tiểu và nguyên lý năng lượng bù cực tiểu trong đó đưa vào trường khả dĩ mở rộng (có nhiều hệ số tự do hơn) so với trường khả dĩ phân cực của Hashin-Shtrikman. Từ đó tìm được đánh giá mới cho các HSD vĩ mô của vật liệu nhiều thành phần trong không gian d chiều. Mô hình bài toán được xây dựng tổng quát trong không gian d chiều nên kết quả đánh giá áp dụng được cho các mô hình không gian khác nhau. Kết quả áp dụng vào các mô hình cụ thể cho thấy tính hiệu quả của phương pháp theo đường hướng biến phân, thể hiện bằng đánh giá mới cho kết quả tốt hơn các đánh giá trước đó của Wiener-Voigt-Reuss và Hashin-shtrikman. Kết quả nghiên cứu trong chương này đã được công bố trên các tạp chí khoa học [1], [2] trong mục các công trình đã công bố của luận án. 13 Chương 3 MÔ PHỎNG SỐ FFT VÀ SO SÁNH VỚI CÁC ĐÁNH GIÁ CHO MỘT SỐ MÔ HÌNH VẬT LIỆU Mục đích chính của luận án là sử dụng phương pháp FFT như một cách tính chính xác thay cho thực nghiệm nhằm so sánh với kết quả đánh giá ở chương 2, để làm rõ kết quả chính xác luôn nằm trong đánh giá trên và đánh giá dưới. Bên cạnh đó do trong trường hợp các pha có hệ số dẫn khác nhau nhiều thì khoảng cách giữa cận trên, dưới là khá lớn, vì vậy để trong một số trường hợp đảm bảo việc xác định HSD vĩ mô chính xác hơn thì FFT có thể xem như công cụ bổ trợ cho việc xác định. Phương pháp biến đổi Fourier nhanh (FFT)trong cơ học vật liệu được đề xuất đầu tiên bởi Moulinec và Suquet (1994-[38]). Ưu điểm của phương pháp so với phương pháp số khác (phần tử hữu hạn FEM) là không phải chia lưới và giải các hệ phương trình tuyến tính mà dựa trên thuật toán tính lặp, điều này làm cho thời gian tính toán giảm đi rất nhiều so với phương pháp FEM theo Michel(1999-[41]). Hạn chế của FFT là chỉ áp dụng hạn chế trong một số mô hình vật liệu đặc biệt như vật liệu có cấu trúc tuần hoàn. 3.1 Phương pháp biến đổi Fourier nhanh (FFT) Xét vật liệu có cấu trúc tuần hoàn như hình 3.1. Do tính chất tuần hoàn nên có thể xét một phần tử đặc trưng V (unit cell) bao gồm pha nền (M) và cốt liệu (I). Nội dung chính của phương pháp là dựa trên các phương trình đã biết, điều kiện cân bằng và phép biến đổi Fourier đối với trường gradient E, trường dòng J, hệ số dẫn C(x) để thiết lập được phương trình tích phân Lippmann-Schwinger đối với bài toán không đồng nhất và sử dụng toán tử 14 Hình 3.1: Mô hình vật liệu tuần hoàn và phần tử đặc trưng Green tuần hoàn. Từ đó rút ra thuật toán số để xác định hệ số dẫn của vật liệu nhiều thành phần có cấu trúc tuần hoàn: b 1 (ξ) = 0 ∀ξ 6= 0; E b 1 (0) = E0 Bước i=1 : E b1 (ξ) = C(ξ) ∗ E b 1 (ξ) J Bước i : b i (ξ) và J bi (ξ) đã biết E kiểm tra điều kiện hội tụ b i+1 (ξ) = E b i (ξ) − Γ b 0 (ξ).J bi (ξ) E bi+1 (ξ) = C(ξ) ∗ E b i+1 (ξ) J Điều kiện hội tụ được xác định bằng biểu thức sau: bi+1 (ξ) − J bi (ξ)k kJ <, bi (ξ)k kJ (3.1) với  là sai số cho trước ( = 10−3 trong luận án này). 3.2 3.2.1 Áp dụng phương pháp số FFT cho một số mô hình vật liệu Mô hình vật liệu hai pha đẳng hướng ngang Với hai mô hình vật liệu nền, cốt liệu tròn có các cấu trúc: hình vuông (square), hình lục giác (hexagonal) (hình 3.2), giả sử hệ số dẫn pha nền (matrix) CM = 1, pha cốt liệu (inclusion) CI = 10, tỉ lệ thể tích vI = 0.1 → 0.9; vM = 1 − vI . Kết quả tính toán sử dụng phương pháp số FFT được cho bởi các hình 3.3, 3.4 tương ứng cho thấy kết quả FFT nằm trong đánh giá mới ở chương 2. (a) (b) Hình 3.2: Mô hình vật liệu hai pha đẳng hướng ngang đối với hệ số dẫn. (a) Cốt liệu tròn sắp xếp dạng hình vuông. (b) Cốt liệu tròn sắp xếp dạng hình lục giác 15 Hình 3.3: Kết quả FFT hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu hai pha có cốt liệu sắp xếp dạng hình vuông trong không gian 2 chiều, CM = 1, CI = 10 Hình 3.4: Kết quả FFT hệ số dẫn vĩ mô của vật liệu hai pha có cốt liệu sắp xếp dạng hình lục giác trong không gian 2 chiều, CM = 1, CI = 10 3.2.2 Mô hình vật liệu hai pha gồm các quả cầu sắp xếp tuần hoàn Giả sử CM = 1, CI = 10. Kết quả tính được biểu diễn trên các hình 3.5; 3.6 và 3.7. Các giá trị hệ số dẫn vĩ mô xác định theo phương pháp biến đổi Fourier đều nằm giữa đánh giá trên và dưới được thiết lập ở chương 2. 16 (a) (b) Hình 3.5: Mô hình vật liệu tuần hoàn trong không gian 3 chiều. (a) Cấu trúc của vật liệu có cốt liệu hình tròn sắp xếp dạng lập phương đơn giản. (b)Kết quả số FFT với CM = 1, CI = 10 (a) (b) Hình 3.6: Mô hình vật liệu tuần hoàn trong không gian 3 chiều. (a) Cấu trúc của vật liệu có cốt liệu hình tròn sắp xếp dạng lập phương tâm khối. (b)Kết quả số FFT với CM = 1, CI = 10 (a) (b) Hình 3.7: Mô hình vật liệu tuần hoàn trong không gian 3 chiều. (a) Cấu trúc của vật liệu có cốt liệu hình tròn sắp xếp dạng lập phương tâm mặt. (b)Kết quả số FFT với CM = 1, CI = 10 17
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan