Tài liệu Dạng cơ bản thứ nhất trên các mặt cong trơn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ********** PHẠM THỊ HỒNG THẮM DẠNG CƠ BẢN THỨ NHẤT TRÊN CÁC MẶT CONG TRƠN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học HÀ NỘI - 2016 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ********** PHẠM THỊ HỒNG THẮM DẠNG CƠ BẢN THỨ NHẤT TRÊN CÁC MẶT CONG TRƠN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học TS. Nguyễn Thạc Dũng HÀ NỘI - 2016 Lời cảm ơn Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn và kính trọng sâu sắc tới thầy - Tiến sĩ Nguyễn Thạc Dũng - Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và động viên tôi trong suốt quá trình làm khóa luận tốt nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ Hình Học, các thầy cô giáo khoa Toán Trường ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập tại trường bốn năm vừa qua và giúp đỡ tôi thực hiện khóa luận này. Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn nhiệt tình giúp đỡ, động viên, quan tâm, tiếp thêm niềm tin và nghị lực cho tôi trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành khóa luận. Trong quá trình nghiên cứu, không tránh khỏi những điều thiếu sót và hạn chế. Kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô giáo và các bạn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Phạm Thị Hồng Thắm Lời cam đoan Khóa luận được hoàn thành sau quá trình tự tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân và sự hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Thạc Dũng. Trong khóa luận tôi có tham khảo các kết quả nghiên cứu trong cuốn sách chuyên khảo "Elementary Differential Geometry" của tác giả Andrew Pressley do nhà xuất bản Springer ấn hành năm 2010. Tôi xin cam đoan kết quả của khóa luận này được trình bày lại theo kiến thức tôi học được từ cuốn sách trên, hoàn toàn không trùng với kết quả của các tác giả khác. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 05 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Phạm Thị Hồng Thắm i Mục lục Lời mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Đường cong tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Đường cong chính quy và độ dài cung . . . . . . . . . . . 4 1.3 Tham số hóa lại . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Mặt cong trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6 Tiếp tuyến và đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Dạng cơ bản thứ nhất trên các mặt cong trơn 16 2.1 Độ dài của đường cong trên mặt cong . . . . . . . . . . . 16 2.2 Đẳng cự trên mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Ánh xạ bảo giác của mặt cong . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4 Ánh xạ bảo toàn diện tích và định lý Ac-si-met . . . . . 31 2.5 Hình học cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Kết luận 55 Tài liệu tham khảo 56 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán Lời mở đầu Hình học là môn khoa học đi nghiên cứu về tính chất định tính và định lượng của các hình. Tùy vào các phương pháp nghiên cứu khác nhau mà có những ngành hình học khác nhau như Hình học Afin, Hình học xạ ảnh, Hình học Vi phân, Hình học Giải tích, Hình học Đại số, Tôpô... Hình học Vi phân là một nhánh của hình học sử dụng các công cụ và phương pháp của phép tính vi phân và tích phân để nghiên cứu các vấn đề của hình học. Việc nghiên cứu Hình học của đường cong và mặt cong trong không gian Euclide ba chiều đã trở thành cơ sở cho sự phát triển ban đầu của Hình học Vi phân. Rất nhiều kết quả về đường cong và mặt cong là dạng sơ khai của các kết quả tổng quát trong trường hợp chiều cao. Việc nghiên cứu các quan hệ như thế tạo ra một mảng chính của Toán học. Khóa luận này đề cập đến lý thuyết của các mặt cong trơn liên quan đến dạng cơ bản thứ nhất. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về các đối tượng nói trên và được sự định hướng của thầy hướng dẫn, tôi đã quyết định chọn đề tài Dạng cơ bản thứ nhất trên các mặt cong trơn để trình bày trong khóa luận tốt nghiệp đại học. Khóa luận gồm 2 chương. Chương 1 "Kiến thức chuẩn bị" trình bày một số khái niệm về đường cong tham số, đường cong chính quy và độ dài cung, tham số hóa lại, mặt cong, mặt cong trơn, tiếp tuyến tại một điểm trên mặt cong và 1 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán đạo hàm để nghiên cứu cho phần sau. Chương 2 tập trung nghiên cứu về "Dạng cơ bản thứ nhất trên các mặt cong trơn". Dựa vào dạng cơ bản đó, chúng ta xác định được độ dài của đường cong trên mặt cong, ánh xạ đẳng cự và ánh xạ bảo giác đồng thời thấy được mối quan hệ giữa các ánh xạ đó. Bên cạnh đó, khóa luận trình bày về ánh xạ bảo toàn diện tích và ví dụ nổi tiếng nhất về ánh xạ bảo toàn diện tích là ví dụ được tìm bởi Ac-si-met. Và ứng dụng của định lý Ac-si-met được vận dụng vào tam giác cầu trên hình học cầu. 2 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Đường cong tham số Ký hiệu R3 là không gian vectơ 3-chiều gồm bộ ba các số thực (x, y, z). Mục tiêu của phần này là đi mô tả chính xác các tập con đặc biệt của R3 (được gọi là các đường cong) là gì? Để nghiên cứu các đối tượng này, chúng ta cần biết các phép tính vi - tích phân trong không gian một chiều. Chúng ta thường đòi hỏi các đường cong là "trơn" vì thế một cách tự nhiên chúng ta xét lớp các hàm khả vi. Trong toàn bộ khóa luận này, ta nói rằng một hàm số của một biến thực là khả vi (hoặc trơn) trên một miền D ⊂ R nếu nó có đạo hàm mọi cấp tại mọi điểm x ∈ D. Định nghĩa 1.1. Một đường cong tham số là một ánh xạ liên tục γ : I → R3 trên một khoảng mở I = (α, β) của đường thẳng thực R vào R3 . Nếu ánh xạ γ là một hàm khả vi (trơn) thì γ được gọi là một đường cong tham số khả vi (Đường cong tham số trơn). Từ khả vi trong định nghĩa này được hiểu rằng γ là ánh xạ tương ứng với mỗi t ∈ I là một điểm γ(t) = (x(t), y(t), z(t)) ∈ R3 , trong đó các 3 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán hàm số x(t), y(t), z(t) là khả vi. Biến số t được gọi là tham số của đường cong. Từ khoảng được lấy trong trường hợp tổng quát để ta không loại đi trường hợp α = −∞; β = +∞. Nếu ta biểu thị ẋ(t) là đạo hàm bậc nhất của x tại điểm t và đạo hàm của các hàm số y và z cũng được biểu thị giống như vậy, thì vectơ (ẋ(t), ẏ(t), ż(t)) = γ̇(t) ∈ R3 được gọi là vectơ tiếp xúc (hoặc vectơ vận tốc) của đường cong γ tại t. Tập ảnh γ(I) ⊂ R3 được gọi là vết của γ. Lưu ý là ở đây ta cần phân biệt khái niệm một đường cong tham số với vết của nó. Đường cong tham số là một ánh xạ còn vết của nó là một tập con của R3 . 1.2 Đường cong chính quy và độ dài cung Định nghĩa 1.2. Cho γ : (α, β) → R3 là một đường cong tham số khả vi. Điểm γ(t) được gọi là điểm chính quy nếu γ̇(t) 6= 0, ngược lại nó được gọi là điểm kì dị. Một đường cong được gọi là chính quy nếu mọi điểm của nó đều chính quy. Định nghĩa 1.3. Độ dài cung của một đường cong chính quy γ : (α, β) → R3 xuất phát từ điểm γ(to ) là hàm số s(t) được cho bởi Z t s(t) = kγ̇(t)kdt to trong đó kγ̇(t)k là độ dài của vectơ γ̇(t). Vì γ(t) là hàm khả vi nên độ dài cung s là một hàm số khả vi của t và ds dt = kγ̇(t)k Xem γ(t) như là vị trí của một điểm chuyển động tại thời điểm t, 4 Khóa luận tốt nghiệp Đại học thì ds dt Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán là vận tốc của điểm đó. Với lí do này, chúng ta đi đến định nghĩa sau: Định nghĩa 1.4. Giả sử γ : (α, β) → R3 là một đường cong chính quy, khi đó vận tốc của nó tại điểm γ(t) là kγ̇(t)k và γ được gọi là đường cong có vận tốc đơn vị nếu kγ̇(t)k = 1 với mọi t ∈ (α, β). 1.3 Tham số hóa lại Định nghĩa 1.5. Đường cong tham số γ̃ : (α̃, β̃) → R3 là một tham số hóa lại của đường cong tham số γ : (α, β) → R3 nếu có một song ánh trơn φ : (α̃, β̃) → (α, β) (được gọi là ánh xạ tham số hóa lại) sao cho φ−1 : (α, β) → (α̃, β̃) cũng là ánh xạ trơn và γ̃(t̃) = γ(φ(t̃)) với mọi t̃ ∈ (α̃, β̃). Do ánh xạ ngược của φ là ánh xạ trơn, nên γ là một tham số hóa lại của γ̃. γ̃(φ−1 (t)) = γ(φ(φ−1 (t))) = γ(t) với mọi t ∈ (α, β). Hai đường cong là tham số hóa lại với nhau thì có cùng ảnh, vì vậy chúng có các tính chất hình học giống nhau. Bởi định nghĩa của phép tham số lại, ta dễ dàng chứng minh được mệnh đề sau. Mệnh đề 1.1. Mọi tham số hóa lại của một đường cong chính quy đều chính quy. 1.4 Mặt cong Một mặt cong S trong R3 là một tập con của R3 mà mỗi lân cận của một điểm p ∈ S đều giống như là một mảnh của R2 , chẳng hạn bề 5 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán mặt của quả địa cầu, mặc dù nó gần như là một mặt cầu, nhưng đối với người đứng trên mặt đất quan sát thì nó dường như là một mặt phẳng. Để phát biểu một cách chính xác thuật ngữ giống như và lân cận, chúng ta sẽ giới thiệu lại một vài kiến thức cơ bản về topo trong R2 . Chúng ta sẽ phát biểu cho Rn với mọi n ≥ 1 mặc dù chúng ta chỉ xét n = 1, 2 hoặc n = 3. Một tập con U của Rn được gọi là mở, nếu với mỗi điểm a trong U, tồn tại một số dương ε sao cho mọi điểm u ∈ Rn cách điểm a một khoảng cách bằng ε đều nằm trong U a ∈ U và ku − ak < ε ⇒ u ∈ U . Cho X và Y tương ứng là các tập con của Rm và Rn , một ánh xạ f : X → Y được gọi là liên tục tại một điểm a ∈ X nếu các điểm trong X gần với điểm a có ảnh qua f là các điểm trong Y gần với điểm f (a). Hay chính xác hơn, f liên tục tại a nếu với mỗi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho u ∈ X và ku − ak < δ ⇒ kf (u) − f (a)k < ε. Khi đó, f được gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc X. Hợp của hai ánh xạ liên tục là liên tục. Một song ánh f : X → Y liên tục và ánh xạ ngược của nó f −1 : Y → X cũng liên tục, thì f được gọi là một đồng phôi và X được gọi là đồng phôi với Y. Bây giờ chúng ta có thể đi đến khái niệm mặt cong trong R3 . Định nghĩa 1.6. Một tập con S của R3 được gọi là một mặt cong nếu với mọi điểm p ∈ S, tồn tại một tập mở U trong R2 và một tập mở W trong R3 chứa p sao cho S ∩ W đồng phôi với U. 6 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán Như vậy, mỗi một mặt cong được trang bị bởi các đồng phôi σ : U → S ∩ W, mà chúng ta sẽ gọi là các mảnh vá. Tập hợp tất cả các mảnh vá này được gọi là một bản đồ của S. Ví dụ 1.4.1. Mỗi mặt phẳng trong R3 là một mặt cong với bản đồ là một mảnh vá. Thật vậy, giả sử a là một điểm nào đó trên mặt phẳng, p và q là hai vectơ đơn vị, vuông góc với nhau và song song với mặt phẳng đã cho. Khi đó, mỗi vectơ song song với mặt phẳng là một tổ hợp tuyến tính của p và q, có dạng up + vq với các vô hướng u và v. Với r là một điểm bất kỳ trên mặt phẳng, thì vectơ r − a song song với mặt phẳng, nên r − a = up + vq do đó r = a + up + vq với các vô hướng u, v nào đó. Như vậy, có thể xét mảnh vá σ(u, v) = a + up + vq và ánh xạ ngược của nó là σ −1 (u, v) = ((r − a).p, (r − a).q). Trong đó, (r − a).p là tích vô hướng Euclid giữa hai vectơ r − a và p. Dễ thấy, σ và σ −1 là các ánh xạ liên tục, do đó σ là một đồng phôi.  Ví dụ 1.4.2. Hình cầu đơn vị S 2 = (x, y, z) ∈ R3 |x2 + y 2 + z 2 = 1 là một mặt cong Tham số hóa phổ biến nhất của S 2 được cho bởi vĩ độ θ và kinh độ ϕ. Nếu p là một điểm nằm trên mặt cầu, đường thẳng qua p song song 7 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán với trục Oz giao với mặt phẳng Oxy tại điểm q thì θ là góc tạo bởi giữa q và p còn ϕ là góc giữa q và chiều dương của trục Ox. Tham số hóa của mặt cầu S 2 : σ(ϕ, θ) = (cosϕcosθ, sinϕcosθ, sinθ) Nếu không hạn chế (ϕ, θ) thì σ không phải là một song ánh (và do đó nó không phải là một đồng phôi). Để phủ hết mặt cầu, rõ ràng cần 8 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán chọn như sau 0 ≤ ϕ ≤ 2π, −π π ≤θ≤ 2 2 Tuy nhiên, tập hợp các điểm (ϕ, θ) thỏa mãn bất đẳng thức trên không phải là một tập con mở của R2 , vì vậy nó không thể coi như một mảnh vá. Tập mở lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức trên là   π −π <θ< U = (ϕ, θ)|0 < ϕ < 2π, 2 2 nhưng khi đó ảnh của σ : U → R3 không phải là toàn bộ mặt cầu, mà là phần bù của nửa đường tròn lớn C bao gồm các điểm trên mặt cầu có tọa độ (x, 0, z) với x ≥ 0. (hình 1.1) Vì vậy, để chứng tỏ mặt cầu là một mặt cong, chúng ta cần phải xây dựng thêm ít nhất một mảnh vá nữa để phủ nốt phần mặt cầu bị σ bỏ qua. Ví dụ, xét σ̃ là mảnh vá nhận được bằng cách quay σ một góc π quanh trục Oz và sau đó một góc π 2 quanh trục Ox. Cụ thể, σ̃ : U → R3 xác định bởi σ̃(ϕ, θ) = (−cosϕcosθ, −sinθ, −sinϕcosθ) ( tập mở U cũng giống như trong trường hợp của σ). Ảnh của σ̃ là phần bù của nửa đường tròn lớn C̃ bao gồm các điểm trên mặt cầu có tọa độ (x, y, 0) với x ≤ 0. (hình 1.2) Rõ ràng C và C̃ không giao nhau, vì vậy hợp thành của các ảnh của σ và σ̃ là toàn bộ mặt cầu. Chú ý rằng hầu hết các điểm của mặt cầu nằm trên ảnh của cả hai mảnh vá. 9 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán Hình 1.1: 10 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán Hình 1.2: 11 Khóa luận tốt nghiệp Đại học 1.5 Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán Mặt cong trơn Với U là một tập con mở của Rm , ánh xạ f : U → Rn được gọi là trơn nếu trong mỗi hàm thành phần f i , i = 1, n trong số n thành phần của f , là các hàm f i : U → R, có đạo hàm riêng liên tục ở mọi cấp. Khi đó các đạo hàm riêng của f được tính theo mỗi thành phần. Ví dụ, nếu m = 2 và n = 3 và f (u, v) = (f1 (u, v), f2 (u, v), f3 (u, v)) thì ∂f = ∂u  ∂f1 ∂f2 ∂f3 , , ∂u ∂u ∂u  , ∂f = ∂v  ∂f1 ∂f2 ∂f3 , , ∂v ∂v ∂v  và tương tự cho các đạo hàm cấp cao hơn. Chúng ta thường viết ngắn gọn lại như sau ∂f ∂f = fu , = fv ∂u ∂v ∂ 2f ∂ 2f ∂ 2f = fuu , = fuv , = fvv . ∂u2 ∂u∂v ∂v 2 Chú ý rằng fuv = fvu , vì tất cả các đạo hàm riêng của các thành phần của f liên tục. Định nghĩa 1.7. Cho U ⊂ R2 là một tập mở. Một ánh xạ σ : U → R3 được gọi là một mảnh vá chính quy nếu nó là ánh xạ trơn và các vectơ σu và σv độc lập tuyến tính tại mọi điểm (u, v) ∈ U, hay tích vectơ σu × σv khác vectơ không tại mọi điểm của U. Định nghĩa 1.8. Cho S là một mặt cong. Một mảnh vá phù hợp với S là một mảnh vá chính quy σ : U → R3 với U ⊂ R2 là một tập mở của R2 sao cho σ là một đồng phôi từ U lên một tập con mở của S. Mặt cong S 12 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán được gọi là trơn nếu với mọi điểm p ∈ S, tồn tại một mảnh vá phù hợp với S xác định như trên sao cho p ∈ σ(U ). Một họ A gồm các mảnh vá phù hợp với mặt cong S thỏa mãn mọi điểm của S nằm trong ít nhất một mảnh vá trong A được gọi là một bản đồ trơn của S. Ví dụ 1.5.1. Mặt phẳng trong ví dụ 1.4.1 là một mặt trơn. Thật vậy, σ(u, v) = a + up + vq là trơn và σu = p, σv = q độc lập tuyến tính (vì p và q theo cách chọn là các vectơ có độ dài đơn vị vuông góc với nhau). 1.6 Tiếp tuyến và đạo hàm Định nghĩa 1.9. Một vectơ tiếp xúc với mặt cong trơn S tại điểm p ∈ S là vectơ tiếp xúc tại p của một đường cong trơn trên S đi qua p. Không gian vectơ tiếp xúc Tp S của S tại p là tập hợp tất cả các vectơ tiếp xúc với S tại p. Để hiểu rõ hơn về không gian vectơ tiếp xúc Tp S, chúng ta chọn một mảnh vá phù hợp σ : U → R3 của S sao cho σ(uo , vo ) = p. Nếu γ là một đường cong trơn nằm trên S và đi qua p khi t = to , thì tồn tại các hàm số u(t) và v (t) trơn sao cho: γ(t) = σ(u(t), v(t)) (1.1) và u(t0 ) = u0 , v(t0 ) = v0 . Lưu ý rằng, người ta chứng minh được các hàm tọa độ u(t), v(t) cũng là các hàm trơn. Ngược lại, nếu t 7→ (u(t), v(t)) là trơn, thì (1.1) xác định một đường cong nằm trên S. Mệnh đề dưới đây cho chúng ta thấy cấu trúc của không gian tiếp xúc Tp S. 13 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán Mệnh đề 1.2. Cho σ : U → R3 là một mảnh vá trên mặt cong S chứa điểm p ∈ S và cho (u, v ) là tọa độ trong U. Không gian vectơ tiếp xúc với S tại p là không gian vectơ con của R3 sinh bởi σu và σv . Chứng minh của mệnh đề, đọc giả có thể xem trong tài liệu tham khảo [1]. Giả sử σ chính quy, σu và σv độc lập tuyến tính nên không gian vectơ tiếp xúc sinh bởi σu , σv là không gian 2 chiều và được gọi là mặt phẳng tiếp xúc với S tại p. Lưu ý rằng mặt phẳng tiếp xúc không phụ thuộc vào việc chọn mảnh vá chứa điểm p. Ngoài ra, σu và σv là một cơ sở của mặt phẳng tiếp xúc tại σ(uo , vo ) của mặt cong. e Tiếp theo, cho hai mặt cong trơn S, Se và ánh xạ trơn f : S → S. Giả sử w là một vectơ tiếp xúc với mặt cong S tại p ∈ S. Do đó, tồn tại một đường cong trơn γ nằm trong S đi qua p = γ(t0 ) sao cho w = γ̇(t0 ). Khi đó, γ e = f ◦ γ là một đường cong trơn trong Se đi qua f (p) = γ e(t0 ), e e =γ vì vậy w e˙ (t0 ) ∈ Tf (p) S. Định nghĩa 1.10. Đạo hàm Dp f của f tại điểm p ∈ S là ánh xạ e với mọi vectơ w ∈ Tp S. Dp f : Tp S → Tp Se sao cho Dp f (w) = w Đầu tiên, chúng ta cần chỉ ra rằng định nghĩa này có nghĩa, tức là Dp f (w) chỉ phụ thuộc vào f , p và w; tức là nếu có nhiều đường cong γ thì Dp f chỉ phụ thuộc vào cách chọn đường cong. Cho σ : U → R3 là một mảnh vá của S chứa p, p = σ(uo , vo ) và cho α, β là những hàm số trơn trên U sao cho: f (σ(u, v)) = σ e(α(u, v), β(u, v)) Cho w = λσu + µσv là vectơ tiếp xúc tại p của đường cong γ(t) = σ(u(t), v(t)), trong đó u,v là những hàm trơn sao cho u̇(to ) = λ và v̇(to ) = 14 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thị Hồng Thắm - K38D Toán µ. Khi đó, đường cong tương ứng với γ trên e S là γ̃(t) = σ̃(ũ(t), ṽ(t)), trong đó ũ(t) = α(u(t), v(t)), ṽ(t) = β(u(t), v(t)). Ta có: ˙ ũ + ṽσ̃ ˙ ṽ = (u̇αu + v̇αv )σ̃ũ + (u̇βu + v̇βv )σ̃ṽ Dp f (w) = ũσ̃ Khi đó: Dp f (w) = (λαu + µαv )σ̃ũ + (λβu + µβv )σ̃ṽ (1.2) Vế phải của nó chỉ phụ thuộc vào p, f , λ và µ; hay p, f và w. Cuối cùng, chúng ta giới thiệu hai mệnh đề sau. Chứng minh của chúng, độc giả có thể xem tài liệu tham khảo [1]. Mệnh đề 1.3. Giả sử f : S → S̃ là một ánh xạ trơn giữa các mặt cong và p ∈ S, khi đó Dp f : Tp S → Tp S̃ là ánh xạ tuyến tính. Mệnh đề 1.4. Cho S và S̃ là mặt cong và f : S → S̃ là một ánh xạ trơn. Khi đó, f là một vi phôi địa phương khi và chỉ khi ánh xạ tuyến tính Dp f : Tp S → Tp S̃ khả nghịch với mọi p ∈ S. 15