Tài liệu Dạng chuẩn tắc jordan và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN Nguyễn Thị Ngọc DẠNG CHUẨN TẮC JORDAN VÀ ỨNG DỤNG KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN Nguyễn Thị Ngọc DẠNG CHUẨN TẮC JORDAN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Hình học KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Phạm Thanh Tâm Hà Nội – Năm 2016 Mục lục Lời mở đầu 4 1 Kiến thức cơ sở 6 1.1 1.2 Ánh xạ tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Các định nghĩa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Hạt nhân, ảnh của ánh xạ tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . 10 Cấu trúc của tự đồng cấu tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.1 Giá trị riêng và vector riêng, đa thức đặc trưng. . . . . . . . . 11 1.2.2 Không gian con bất biến. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Dạng chuẩn tắc Jordan và ứng dụng. 2.1 2.2 20 Dạng chuẩn tắc Jordan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.1 Thuật toán tìm dạng chuẩn tắc Jordan của ma trận vuông A. 29 2.1.2 Các ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Ứng dụng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.1 Tính lũy thừa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.2 Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính. . . . . . . . . . . . . 41 1 Lời cảm ơn Trước khi trình bày nội dung chính của khoá luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Th.S Phạm Thanh Tâm đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn, tạo điều kiện để em có thể hoàn thành khóa luận này. Qua đây em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô trong tổ Hình học và các thầy cô trong khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa. Nhân dịp này em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn ở bên, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập vừa qua. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Nguyễn Thị Ngọc 2 Lời cam đoan Em xin cam đoan bài khóa luận là kết quả của quá trình làm việc nghiêm túc, sự cố gắng, nỗ lực từ bản thân dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của thầy giáo Th.S Phạm Thanh Tâm. Trong quá trình thực hiện khóa luận em có tham khảo tài liệu của một số tác giả đã nêu trong mục tài liệu tham khảo. Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Nguyễn Thị Ngọc 3 Lời mở đầu 1. Lí do chọn đề tài Đại số tuyến tính là một môn học cơ bản của Toán cao cấp, được áp dụng vào hàng loạt các lĩnh vực khác nhau, từ giải tích tới hình học vi phân, từ cơ học, vật lý tới kĩ thuật. Những kiến thức cơ bản của Đại số tuyến tính như ánh xạ tuyến tính, cấu trúc của tự đồng cấu là những kiến thức không thể thiếu. Hơn nữa, các tự đồng cấu đóng vai trò quan trọng trong việc làm rõ cấu trúc của không gian vector. Để việc tìm cho mỗi tự đồng cấu một cơ sở của không gian được dễ dàng hơn thì ta cần tìm ma trận biểu diễn đơn giản nhất có thể của tự đồng cấu. Ma trận dạng chéo là một ma trận đơn giản, các tự đồng cấu có ma trận với một cơ sở nào đó là ma trận dạng chéo được gọi là các tự đồng cấu chéo hóa được. Nhưng không phải bất kỳ tự đồng cấu nào cũng chéo hóa được. Vì vậy ta cần tìm ma trận có dạng gần với ma trận dạng chéo nhất chính là tìm dạng Jordan của ma trận trong một tự đồng cấu bất kỳ. Thấy được tầm quan trọng của vấn đề, cùng với sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy giáo Th.S Phạm Thanh Tâm tôi đã chọn đề tài "Dạng chuẩn tắc Jordan và ứng dụng". 2. Mục đích nghiên cứu của đề tài Nghiên cứu về dạng chuẩn Jordan và ứng dụng. 4 Khóa luận tốt nghiệp Dạng chuẩn tắc Jordan và ứng dụng 3.Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài Dạng chuẩn Jordan và những ứng dụng quan trọng của nó. 4.Giới hạn và phạm vi nghiên cứu của đề tài Nghiên cứu một số kiến thức chuẩn bị liên quan đến dạng chuẩn Jordan. 5.Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu tham khảo theo phương pháp: hệ thống lại các kiến thức có liên quan, phân tích, tổng hợp. 6.Kết cấu của khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận gồm hai chương: Chương1: Kiến thức cơ sở Chương2: Dạng chuẩn tắc Jordan và ứng dụng Do hạn chế về thời gian, kiến thức nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô và các bạn sinh viên để đề tài được hoàn thiện hơn. Trân trọng cảm ơn! Hà Nội, ngày 02 tháng 05 năm 2016 Sinh viên Nguyễn Thị Ngọc Nguyễn Thị Ngọc 5 K38ASPT-ĐHSP Hà Nội 2 Chương 1 Kiến thức cơ sở 1.1 1.1.1 Ánh xạ tuyến tính. Các định nghĩa. Định nghĩa 1.1.1. Cho V ,W là hai không gian vector trên trường K. Ánh xạ φ : V −→ W được gọi là một ánh xạ tuyến tính nếu: ~ = φ(~ ~ φ(~ α + β) α) + φ(β) φ(k~ α) = kφ(~ α) với mọi α ~ , β~ ∈ V và mọi k ∈ K. Ánh xạ tuyến tính còn được gọi là đồng cấu tuyến tính, hay một cách vắn tắt là đồng cấu. Kí hiệu: Hom(V, W ) là tập các ánh xạ tuyến tính từ V vào W . Ví dụ 1.1.2. a) Ánh xạ không 0 : V −→ W cho bởi: 0(~ α) = ~0, ∀~ α ∈ V là một ánh xạ tuyến tính. b) Ánh xạ đồng nhất idV : V −→ W mà idV (~ α) = α ~ , ∀~ α ∈ V là một ánh xạ tuyến tính. 6 Khóa luận tốt nghiệp c) Ánh xạ đạo hàm Dạng chuẩn tắc Jordan và ứng dụng d dx : R[x] −→ R[x] cho bởi: d (an xn + ... + a1 x + a0 ) = nan xn−1 + ... + a1 dx là một ánh xạ tuyến tính. Định nghĩa 1.1.3. Giả sử V , W là các K không gian vector và φ, ϕ : V −→ W là hai ánh xạ tuyến tính. Ta gọi tổng của φ và ϕ là một ánh xạ, kí hiệu là φ + ϕ xác định bởi: φ + ϕ : V −→ W α ~ 7−→ (φ + ϕ)(~ α) = φ(~ α) + ϕ(~ α) với λ ∈ K và φ : V −→ W là ánh xạ tuyến tính, ta gọi là tích của ánh xạ φ với vô hướng λ là một ánh xạ, kí hiệu là λφ xác định bởi: λφ : V −→ W α ~ 7−→ (λφ)(~ α) = λφ(~ α). Định lý 1.1.4. Giả sử V là một không gian vector n− chiều. Khi đó, mỗi ánh xạ tuyến tính từ V vào W được hoàn toàn xác định bởi ảnh của nó trên một cơ sở. Nói rõ hơn, giả sử (ε) = {ε~1 , ε~2 , ..., ε~n } là một cơ sở của V còn (β) = {β~1 , β~2 , ..., β~n } là n vector nào đó của W . Khi đó có một và chỉ một ánh xạ tuyến tính φ : V −→ W sao cho φ(~ εi ) = β~i , i = 1, 2, ..., n. Chứng minh. • Sự tồn tại: Nếu α ~ = x1 ε~1 + x2 ε~2 + · · · + xn ε~n ∈ V , ta đặt: φ(~ α) = x1 β~1 + x2 β~2 + · · · + xn β~n ∈ W. Nguyễn Thị Ngọc 7 K38ASPT-ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Dạng chuẩn tắc Jordan và ứng dụng Khi đó: φ : V −→ W là một ánh xạ tuyến tính và φ(~ εi ) = β~i , i = 1, 2, ..., n. • Sự duy nhất: Nếu tồn tại ánh xạ f : V −→ W thõa mãn định lí và φ(~ εi ) = f (~ εi ) = β~i , i = P 1, 2, ..., n thì với mỗi α ~ = ni=1 xi ε~i ta đều có: n n n n X X X X φ(~ α) = φ( xi ε~i ) = xi φ(~ εi ) = xi f (~ εi ) = f ( xi ε~i ) = f (~ α). i=1 i=1 i=1 i=1 Suy ra φ = f . Vậy φ tồn tại duy nhất. Định nghĩa 1.1.5. Cho φ : V −→ W là ánh xạ tuyến tính trên trường K khi đó: • φ là một đơn cấu nếu φ là đơn ánh. • φ là một toàn cấu nếu φ là toàn ánh. • φ là một đẳng cấu nếu φ là song ánh. Nếu có một đẳng cấu φ : V −→ W thì ta nói rằng V đẳng cấu với W và viết V ∼ = W. Định lý 1.1.6. Cho V và W là hai không gian vector hữu hạn chiều trên trường K. Khi đó V đẳng cấu với W khi và chỉ khi dimV = dimW . Chứng minh. Giả sử V đẳng cấu với W, khi đó có một đẳng cấu φ : V −→ W . Tức là, nếu {ε~1 , ε~2 , ..., ε~n } là một cơ sở của V thì hệ {φ(ε~1 ), φ(ε~2 ), ..., φ(ε~n )} là một cơ sở của W. Thật vậy: Nguyễn Thị Ngọc 8 K38ASPT-ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Dạng chuẩn tắc Jordan và ứng dụng Giả sử β~ là một vector bất kỳ trong V, khi đó tồn tại α ~ ∈ W để β~ = φ(~ α). Tức là, P nếu có α ~ = ni=1 ai ε~i thì: n n X X β~ = φ(~ α) = φ( ai ε~i ) = ai φ(ε~i ). i=1 i=1 Khi đó β~ biểu thị tuyến tính duy nhất qua hệ {φ(ε~1 ), φ(ε~2 ), ..., φ(ε~n )} nên hệ này là một cơ sở của W. Nói cách khác dimV = dimW . Ngược lại, giả sử dimV = dimW = n. Chọn các cơ sở {α~1 , α~2 , ..., α~n } của V và {β~1 , β~2 , ..., β~n } của W. Ánh xạ duy nhất f : V −→ W được xác định bởi f (α~1 ) = β~1 , ...., f (α~n ) = β~n là một đẳng cấu tuyến tính. Thật vậy, nghịch đảo của f là ánh xạ tuyến tính h : W −→ V được xác đinh bởi điều kiện h(β~1 ) = α~1 , ..., h(β~n ) = α~n . Định nghĩa 1.1.7. Giả sử V , W là những K - không gian vector hữu hạn chiều, (e) = {e~1 , ..., e~n } là một cơ sở của V , (ε) = {ε~1 , ..., ε~m } là một cơ sở của W . Ánh xạ tuyến tính φ : V −→ W được xác định duy nhất bởi một hệ vector φ(e) = {φ(e~1 ), ..., φ(e~n )}. Các vector φ(~ ej ) lại biểu thị tuyến tính một cách duy nhất qua cơ sở (ε) = {ε~1 , ..., ε~m } của W. φ(~ ej ) = m X aij ε~i ; j = 1, ..., n. i=1 trong đó các aij đều thuộc trường K. Đặt A là ma trận xác định bởi:  a a12  11   a21 a22 A=  · · · · · ·  am1 am2 ··· ··· ··· ··· a1n    a2n   = (aij )m×n .  ···   amn Khi đó A được gọi là ma trận của ánh xạ tuyến tính φ : V −→ W đối với cặp cơ sở (e) và (ε). Cho φ : V −→ W là một ánh xạ tuyến tính có ma trận A = (aij )m×n đối với cặp Nguyễn Thị Ngọc 9 K38ASPT-ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Dạng chuẩn tắc Jordan và ứng dụng cơ sở(e)và (ε). Mọi α ~ có tọa độ (x1 , ..., xn ) trong cơ sở (e), viết dưới dạng cột: x  1 . α ~ =  .. . Khi đó tọa độ của vector φ(~ α) ∈ W trong cơ sở (ε) là (y1 , ..., ym ), viết   xn dưới dạng  cột:  y1    .  φ(~ α) =  ..  cho bởi công thức: y = Ax.   ym    y1 = a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn       y2 = a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn .    ....................................................      y = a x + a x + · · · + a x m Hay là m1 1 m2 2 mn n  P  yi = n aij xj j=1  i = 1, 2, ..., m. Ta gọi công thức trên là biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính φ đối với cặp cơ sở (e) và (ε) đã cho. 1.1.2 Hạt nhân, ảnh của ánh xạ tuyến tính. Định nghĩa 1.1.8. Giả sử φ : V −→ W là một ánh xạ tuyến tính. Ta gọi: a) Kerφ = φ−1 (~0) = {~x|φ(~x) = ~0} của V được gọi là hạt nhân (hay hạch) của φ. Số chiều của kerφ gọi là số khuyết của φ. b) Imφ = φ(V ) = {φ(~x)|~x ∈ V } của W được gọi là ảnh của φ. Số chiều của Imφ gọi là hạng của φ và kí hiệu là rankφ. Định nghĩa 1.1.9. Ta gọi ánh xạ tuyến tính từ không gian vector V vào chính nó là một tự đồng Nguyễn Thị Ngọc 10 K38ASPT-ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Dạng chuẩn tắc Jordan và ứng dụng cấu của V . Một tự đồng cấu của V đồng thời là một đẳng cấu được gọi là một tự đẳng cấu của V . Không gian vector tất cả các tự đồng cấu của V được ký hiệu là End(V ). Tập hợp tất cả các tự đẳng cấu của V được kí hiệu là GL(V ). Định nghĩa 1.1.10. Cho φ ∈ End(V ). Gọi A = (aij )m×n là ma trận của φ trong một cơ sở nào đó của V . Ta gọi: a) Det A là định thức của tự đồng cấu φ và kí hiệu là det φ. b) Tổng các phần tử nằm trên đường chéo chính của ma trận A là vết của φ, kí hiệu là tr(φ): tr(φ) = n X aii . i=1 Ta cũng gọi số này là vết của ma trận A, kí hiệu là trA. 1.2 1.2.1 Cấu trúc của tự đồng cấu tuyến tính. Giá trị riêng và vector riêng, đa thức đặc trưng. Định nghĩa 1.2.1. Số thực λ được gọi là giá trị riêng của tự đồng cấu tuyến tính φ nếu tồn tại một vector ~v 6= ~0 sao cho: φ(~v ) = λ~v . Khi đó ~v được gọi là vector riêng của φ ứng với giá trị riêng λ. Định nghĩa 1.2.2. Số thực λ được gọi là giá trị riêng của ma trận vuông A cấp n nếu tồn tại một vector ~v 6= ~0 sao cho: Av = λv. Khi đó ~v được gọi là vector riêng của A ứng với giá trị riêng λ. Định nghĩa 1.2.3. Nguyễn Thị Ngọc 11 K38ASPT-ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Dạng chuẩn tắc Jordan và ứng dụng Đa thức đặc trưng của φ, kí hiệu là Pφ (t), được định nghĩa là định thức của ánh xạ φ − t · id, trong đó id là ánh xạ tuyến tính đồng nhất. Định lý 1.2.4. Số thực λ là giá trị riêng của φ khi và chỉ khi nó là nghiệm của đa thức đặc trưng Pφ (t). Chứng minh. Giả thiết Pφ (t) = 0. Cố định một cơ sở (e) = {e~1 , ..., e~n } của V và kí hiệu A là ma trận của φ, [x] là tọa độ của ~x theo cơ sở này. Khi đó det(A − λIn ) = 0. Từ đó hệ phương trình tuyến tính thuần nhất: (A − λIn )[x] = 0 có nghiệm không tầm thường. Nghiệm của hệ này chính là vector riêng của φ ứng với giá trị riêng λ. Ngược lại, giả sử ~v 6= ~0 là nghiệm của hệ (A − λIn )[x] = 0 ↔ A[v] − λ[v] = 0 ↔ A[v] = λ[v]. Suy ra λ chính là giá trị riêng của φ. Nhận xét 1.2.5. Để tìm giá trị riêng và vector riêng của một tự đồng cấu φ ta làm như sau: Bước 1: Tìm ma trận A của φ trong một cơ sở tùy ý (e) = {e~1 , ..., e~n } của V . Bước 2: Tính đa thức đặc trưng det(A − XEn ). Bước 3: Giải đa thức bậc n đối với ẩn X: det(A − XEn ) = 0. Bước 4: Giả sử λ là một nghiệm của phương trình đó. Giải hệ phương trình tuyến Nguyễn Thị Ngọc 12 K38ASPT-ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Dạng chuẩn tắc Jordan và ứng dụng tính thuần nhất suy biến:    (a11 − λ)x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = 0       a21 x1 + (a22 − λ)x2 + · · · + a2n xn = 0 .    ..........................................................      a x + a x + · · · + (a − λ)x = 0 n1 1 n2 2 nn n Giả sử = (c1 , ..., cn ) là một nghiệm không tầm thường của hệ này. Khi đó, α ~ = c1 e~1 + · · · + cn e~n là một vector riêng của φ ứng với giá trị riêng λ. Định nghĩa 1.2.6. Ánh xạ φ được gọi là chéo hóa được, nếu tồn tại một cơ sở mà ứng với nó ma trận biểu diễn của ánh xạ là ma trận đường chéo, nói cách khác φ chéo hóa được nếu có một cơ sở của V gồm toàn những vector riêng của φ . Định nghĩa 1.2.7. Ma trận A ∈ M at(n×n, K) đồng dạng với một ma trận chéo B ∈ M at(n×n, K) thì A được gọi là ma trận chéo hóa được. Do đó, nếu A chéo hóa được thì mọi ma trận đồng dạng với nó cũng chéo hóa được. Việc tìm một ma trận khả nghịch C (nếu có) sao cho C −1 AC là một ma trận chéo được gọi là việc chéo hóa ma trận A. Định lý 1.2.8. Tự đồng cấu φ chéo hóa được khi và chỉ khi hai điều kiện sau đây được thỏa mãn: a) Đa thức Pφ (t) có đủ nghiệm thực. Tức là đa thức đặc trưng Pφ (t) phân tích được thành: Pφ (t) = (−1)n (t − λ1 )σ1 ...(t − λn )σn . Trong đó λ1 , ..., λn là các số đôi một khác nhau. b) Rank(φ − λi ) = n − σi , i = 1, ..., m, ở đây λi là nghiệm với bội σi của đa thức đặc trưng Pφ (t). Nguyễn Thị Ngọc 13 K38ASPT-ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Dạng chuẩn tắc Jordan và ứng dụng Chứng minh. Giả sử φ chéo hóa được. Khi đó, giả sử ma trận của φ trong một cơ sở nào đó của V là một ma trận chéo D với σ1 phần tử nằm trên đường chéo bằng λ1 , ..., σm phần tử nằm trên đường chéo bằng λm , trong đó n = σ1 + ... + σm . Khi đó: Pφ (t) = PD (t) = (λ1 − t)σ1 · · · (λm − t)σm = (−1)n (t − λ1 )σ1 · · · (t − λm )σm . Ta thấy ma trận (D − λi En ) là ma trận chéo, với σi phần tử nằm trên đường chéo bằng λi − λi = 0, các phần tử còn lại bằng λj − λi 6= 0 với i 6= , j nào đó. Cho nên ta có: Rank(φ − λi idV ) = rank(D − λi En ) = n − σi . Ngược lại, giả sử các điều kiện (a), (b) được thỏa mãn. Xét không gian vector con riêng ứng với giá trị riêng λi : Vi = Ker(φ − λi idV ) (i = 1, ..., m) ta có: dimVi = dimKer(φ − λi idV ) = n − rank(φ − λi idV ) = σi . Mà ta luôn có tổng V1 +...+Vm là một tổng trực tiếp, với số chiều bằng σ1 +...+σm = n. Vậy tổng đó bằng toàn bộ không gian V . V = ⊕ Vi . i Lấy một cơ sở bất kì {e~i1 , ..., ee~i σi } của Vi với i = 1, ..., m. Khi đó {e~11 , .., e~1σi , .., e~m1 , ..., emσ ~ m } là cơ sở của V gồm toàn bộ những vector riêng của φ. Vậy φ chéo hóa được. Hệ quả 1.2.9. Cho φ là một tự đồng cấu của không gian vector V chiều n. Khi đó: • φ chéo hóa được khi và chỉ khi V có cơ sở gồm n vector riêng. • Nếu φ có n giá trị riêng khác nhau thì φ chéo hóa được. Nguyễn Thị Ngọc 14 K38ASPT-ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp 1.2.2 Dạng chuẩn tắc Jordan và ứng dụng Không gian con bất biến. Định nghĩa 1.2.10. Không gian con U ⊆ V được gọi là bất biến đối với φ (hoặc ổn định đối với φ) nếu φ(U ) ⊆ U . Ví dụ 1.2.11. a) Giả sử λ là một giá trị riêng của φ. Khi đó không gian riêng ứng với giá trị riêng λ là một không gian con bất biến đối với φ. b) Ta xét một đa thức theo φ: A(φ) := a0 φk + a1 φk−1 + ... + ak idU ai là các hệ số thực. A(φ) được gọi là một ánh xạ đa thức theo φ. Hạch và ảnh của A(φ) là các không gian con bất biến đối với φ. Mệnh đề 1.2.12. Giả thiết U là không gian con bất biến đối với ánh xạ φ. Khi đó ta có các mệnh đề sau: a) Tồn tại một cơ sở của V để ma trận của ánh xạ φ có dạng:   B C  . O D Với B là ma trận cấp bằng số chiều của U . b) Kí hiệu V /U là không gian thương của V theo U . Khi đó φ cảm sinh một ánh xạ φ̄ trên V /U bởi công thức: φ̄([~v ]) := [φ(~v )] . c) Kí hiệu là φ|U là hạn chế của φ trên U . Khi đó đa thức đặc trưng của φ là tích các đa thức đặc trưng của φ|U và φ̄: Pφ (t) = Pφ|U (t)Pφ̄ (t). Nguyễn Thị Ngọc 15 K38ASPT-ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Dạng chuẩn tắc Jordan và ứng dụng Chứng minh. a) Chọn một cơ sở {u~1 , ..., u~r } của U và mở rộng thành một cơ sở của V bằng cách bổ sung các phần tử (w) = (w~1 , ..., w~s ). Theo giả thiết φ(~ ui ) ∈ U nên có thể biểu diễn được theo các vector u~j bởi một ma trận B. Vì (u, w) là một cơ sở của V nên các vector φ(w~k ) có thể biểu diễn theo cơ sở đó bởi một ma trận dạng   C  . D Vậy theo cở sở (u, w), φ có ma trận với dạng đã khẳng định. b) Trước hết ta đã chứng minh rằng ánh xạ φ̄ được định nghĩa đúng. Thật vậy, nếu v~1 và v~2 có hiệu thuộc U , nghĩa là cũng xác định một phần tử trong V /U thì theo giả thiết φ(v~1 ) − φ(v~2 ) = φ(v~1 − v~2 ) cũng thuộc U , do đó φ(v~1 ) và φ(v~2 ) cũng xác định một phần tử trong V /U . c) Xét cơ sở của V như trong (a). Khi đó ma trận của φ|U theo cơ sở (u) là B và : Pφ|U (t) = det(B − t.Er ). Mặt khác, {[w~1 ], ..., [w~s ]} là cơ sở của V /U . Từ (a) dễ thấy ma trận của φ̄ theo cơ sở này là D. Do đó: Pφ̄ (t) = det(D − t.En−r ). Theo công thức đã biết về định thức ma trận ta có:    B C  − t.En  = det(B − tEr )det(D − tEn−r ) = Pφ|U (t)Pφ̄ (t). det  O D Vế trái chính là Pφ (t). Định nghĩa 1.2.13. Giả thiết λ là một giá trị riêng của φ. Vector ~v ∈ V được gọi là vector nghiệm (vector riêng suy rộng) của φ nếu tồn tại r > 0 sao cho (φ − λ)r (~v ) = 0. Tập hợp Nguyễn Thị Ngọc 16 K38ASPT-ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Dạng chuẩn tắc Jordan và ứng dụng các vector nghiệm lập thành một không gian con của V , gọi là không gian nghiệm ứng với giá trị riêng λ, kí hiệu là V (λ). Bài tập 1.1. Cho φ : V −→ W là ánh xạ tuyến tính giữa các không gian vector. Chứng minh rằng: a) Nếu hệ {φ(α~1 ), ..., φ(α~n )} độc lập tuyến tính, thì hệ {α~1 , ..., α~n } độc lập tuyến tính. b) rank(α~1 , ..., α~n ) ≥ rank(φ(α~1 ), ..., φ(α~n )). Bài tập 1.2. Với số nguyên dương n, xét cơ sở εn = (1, x, ..., xn ) của R không gian vector Vn các đa thức một biến x với hệ số hữu tỉ bậc nhỏ hơn n. a) Chứng minh rằng phép lấy đạo hàm: a0 + a1 x + ... + an xn 7→ a1 + 2a2 x + ... + nan xn−1 là một tự đồng cấu từ Vn đến Vn−1 . Hãy viết ma trận của nó trong cơ sở {1, x, ..., xn }. b) Chứng minh rằng phép lấy nguyên hàm: a0 + a1 x + ... + an xn 7→ a0 x + a1 x 2 an xn+1 + ... + 2 n+1 là một tự đồng cấu từ Vn đến Vn+1 . Hãy viết ma trận của nó trong cơ sở {1, x, ..., xn }. Bài tập 1.3. a)Tìm các giá trị riêng và vector riêng cúa các ma trận:  1 1 0   1 −3 4          A = −1 2 1 ; B = 4 −7 8 .     1 0 1 6 −7 7 Nguyễn Thị Ngọc 17 K38ASPT-ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Dạng chuẩn tắc Jordan và ứng dụng b) Tìm giá trị của λ sao cho ma trận sau có hạng thấp nhất.  3   λ   1  2 1 1 4    4 10 1 .  7 17 3  2 4 3 c) Tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận sau:   1  0 1 3    3   C = 2 3 5 ; D =     2  3 5 7 3   2 −1 −2   8 0 −4 .  2 −4 −3  8 −1 −6 Bài tập 1.4. Chứng minh rằng nếu tự đồng cấu ϕ của không gian vector n chiều V có n giá trị riêng khác nhau và ψ là một tự đồng cấu giao hoán với ϕ, thì mỗi vector riêng của ϕ cũng là 1 vector riêng của ψ và ψ có một cơ sở gồm toàn vector riêng của nó. Bài tập 1.5. a) Cho U ⊆ V là không gian con bất biến của ϕ và W ⊆ U . Chứng tỏ rằng W là không gian con bất biến của ϕ|U khi và chỉ khi nó là không gian con bất biến của ϕ. b) ϕ(U ), ϕ−1 (U ) là các không gian con bất biến của ϕ. Bài tập 1.6. Các ma trận sau có đồng dạng với nhau không:     3 2 −5 6 20 −24         E = 2 6 −10 ; F = 6 32 −51 .     1 2 −3 4 20 −32 Bài tập 1.7. Nguyễn Thị Ngọc 18 K38ASPT-ĐHSP Hà Nội 2