ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
----------------------------
LÊ THỊ MAI QUỲNH
ĐẶC TRƯNG CỦA MÔĐUN COHEN–MACAULAY DÃY
QUA TÍNH CHẤT PHÂN TÍCH THAM SỐ
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60.46.05
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
GS.TSKH NGUYỄN TỰ CƯỜNG
THÁI NGUYÊN NĂM 2008
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên
http://www.lrc-tnu.edu.vn
1
Môc lôc
Môc lôc
1
Lêi c¶m ¬n
2
PhÇn më ®Çu
3
Ch¬ng I. KiÕn thøc chuÈn bÞ
5
1.1. HÖ tham sè
5
1.2. D·y chÝnh quy vµ m«®un Cohen-Macaulay
7
1.3. M«®un Cohen-Macaulay d·y
Ch¬ng II. Ph©n tÝch tham sè vµ m«®un Cohen-Macaulay d·y
10
14
2.1. §Æc trng cña m«®un Cohen-Macalay d·y
14
2.2. §a thøc Hilbert-Samuel cña m«®un Cohen-Macaulay d·y
27
2.3. VÝ dô
31
Tµi liÖu tham kh¶o
38
2
Lêi c¶m ¬n
LuËn v¨n ®îc hoµn thµnh díi sù híng dÉn cña GS.TSKH NguyÔn
Tù Cêng. T«i xin bµy tá lßng kÝnh träng vµ biÕt ¬n s©u s¾c nhÊt cña m×nh
®Õn thÇy.
T«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n tíi PGS.TS Lª ThÞ Thanh Nhµn, PGS.TS
NguyÔn Quèc Th¾ng cïng toµn thÓ c¸c thÇy c« gi¸o ë Khoa To¸n vµ Phßng
§µo t¹o sau §¹i häc trêng §¹i häc S ph¹m - §¹i häc Th¸i Nguyªn ®·
tËn t×nh gi¶ng d¹y vµ gióp ®ì t«i trong suèt thêi gian häc tËp t¹i trêng.
T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n sù gióp ®ì nhiÖt thµnh vµ chu ®¸o cña NCS
TrÇn Nguyªn An, b¹n Hoµng Lª Trêng phßng ®¹i sè trong qu¸ tr×nh thùc
hiÖn luËn v¨n nµy.
3
Lêi nãi ®Çu
Cho
R lµ vµnh ®Þa ph¬ng Noether víi i®ªan tèi ®¹i m vµ M lµ R−
m«®un h÷u h¹n sinh víi dim M = d. Cho x = x1 , . . . , xd lµ hÖ tham sè
cña M vµ q = (x1 , . . . , xd ) lµ i®ªan tham sè cña M sinh bëi x. Víi mçi
sè nguyªn d¬ng n, ký hiÖu
d
Λd,n = {(α1 , . . . , αd ) ∈ Z | αi ≥ 1, ∀1 ≤ i ≤ d,
d
X
αi = d + n − 1}
i=1
q(α) = (xα1 1 , . . . , xαd d ) víi ∀α = (α1 , . . . , αd ) ∈ Λd,n .
Ta nãi r»ng hÖ tham sè x cã tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè nÕu ®¼ng thøc
T
qn M =
q(α)M ®óng víi ∀n ≥ 1. VËy khi nµo mét hÖ tham sè
vµ
α∈Λd,n
cho tríc cña
M cã tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè. VÊn ®Ò nµy Heinzer,
Ratliff vµ Shah ®· chøng minh r»ng mét d·y c¸c phÇn tö R− chÝnh quy
lu«n cã tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè. Sau ®ã, Goto vµ Shimoda ®· chØ ra
r»ng ®iÒu ngîc l¹i còng ®óng khi mçi phÇn tö cña d·y kh«ng lµ íc cña
kh«ng trong
R. H¬n n÷a, hä cßn ®a ra mét ®Æc trng kh¸c cña R víi
dim R ≥ 2, trong ®ã mäi hÖ tham sè cña R cã tÝnh chÊt ph©n tÝch tham
sè. Ta nãi m«®un M lµ m«®un Cohen-Macaulay d·y khi vµ chØ khi tån
t¹i mét hÖ tham sè x nµo ®ã sao cho x cã tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè.
B©y giê, ta h¹n chÕ sù quan t©m cña c©u hái trªn cho hÖ tham sè tèt cña
M . Khi ®ã mét m«®un Cohen-Macaulay d·y cã thÓ ®îc ®Æc trng bëi
tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè cña mét hÖ tham sè tèt nh thÕ nµo. Néi dung
®ã ®îc tr×nh bµi trong bµi b¸o Parametric decomposition of powers of
parameter ideals and sequentially Cohen-Macaulay modules
cña t¸c gi¶
NguyÔn Tù Cêng vµ Hoµng Lª Trêng. Bµi b¸o sÏ ra ë t¹p chÝ " Proc.
Amer. Math. Soc."
Môc ®Ých cña luËn v¨n nµy lµ tr×nh bµy l¹i mét c¸ch hÖ thèng vµ chi
tiÕt kÕt qu¶ cña bµi b¸o trªn. LuËn v¨n ®îc chia lµm
Ch¬ng
2 ch¬ng.
1 "KiÕn thøc chuÈn bÞ" lµ ch¬ng giíi thiÖu mét sè kiÕn thøc
c¬ b¶n vÒ ®¹i sè giao ho¸n nh hÖ tham sè, d·y chÝnh quy, m«®un CohenMacaulay, m«®un Cohen-Macaulay d·y.
4
Ch¬ng
2 "Ph©n tÝch tham sè vµ m«®un Cohen-Macaulay d·y" tr×nh
bµy mét sè bæ ®Ò tõ ®ã ®i ®Õn ®Þnh lý chÝnh cña ch¬ng nãi vÒ ®Æc trng
cña m«®un Cohen-Macaulay d·y qua ph©n tÝch tham sè vµ hÖ qu¶ cña nã.
§Þnh lý ph¸t biÓu r»ng
§Þnh lý 2.1.6. Cho
(R, m) lµ vµnh ®Þa ph¬ng Noether. M
lµ
R− m«®un
h÷a h¹n sinh. Khi ®ã c¸c mÖnh ®Ò sau lµ t¬ng ®¬ng:
(i)
M
lµ m«®un Cohen-Macaulay d·y.
(ii) Mäi hÖ tham sè tèt cña
M
(iii) Tån t¹i hÖ tham sè tèt cña
cã tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè.
M
cã tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè.
Ngoµi ra ch¬ng nµy cßn tr×nh bµy mèi quan hÖ gi÷a m«®un CohenMacaulay d·y
M vµ biÓu thøc cña hµm Hilbert-Samuel th«ng qua ®Þnh
lý
§Þnh lý 2.2.3. Cho
D : D0 ⊂ D1 ⊂ . . . ⊂ Dt = M lµ läc chiÒu cña M
vµ ®Æt Di = Di /Di−1 víi mäi i = 1, . . . , t, D0 = D0 . Khi ®ã c¸c mÖnh ®Ò
sau lµ t¬ng ®¬ng:
(i)
M
lµ m«®un Cohen-Macaulay d·y.
q cña M , ®¼ng thøc
t
X
n
+
d
i
l(M/qn+1 M ) =
l(Di /qDi )
d
i
i=0
(ii) Víi bÊt kú i®ªan tham sè tèt
®óng víi mäi
n ≥ 0.
q cña M sao cho ®¼ng thøc
t
X
n
+
d
i
l(M/qn+1 M ) =
l(Di /qDi )
d
i
i=0
(iii) Tån t¹i i®ªan tham sè tèt
®óng víi mäi
n ≥ 0.
PhÇn cuèi cïng cña ch¬ng sÏ x©y dùng vÝ dô nh»m lµm s¸ng tá c¸c
kÕt qu¶ chÝnh ®· nªu ë trªn.
Ch¬ng 1
KiÕn thøc chuÈn bÞ
Môc ®Ých cña ch¬ng nµy lµ nh¾c l¹i mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n vÒ ®¹i sè
giao ho¸n ®îc sö dông trong luËn v¨n bao gåm ®Þnh nghÜa, c¸c mÖnh ®Ò
vµ bæ ®Ò vÒ hÖ tham sè, d·y chÝnh quy, m«®un Cohen-Macaulay, m«®un
Cohen-Macaulay d·y.
1.1
HÖ tham sè
Trong phÇn nµy ta sÏ ®a ra kh¸i niÖm vµ mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n vÒ hÖ
tham sè, ®©y lµ mét kh¸i niÖm quan träng xuyªn suèt qu¸ tr×nh thùc hiÖn
luËn v¨n nµy.
1.1.1 §Þnh nghÜa.
Cho
(R, m) lµ vµnh ®Þa ph¬ng Noether, M lµ R−
m«®un h÷u h¹n sinh víi dim M
= d. TËp c¸c phÇn tö x = (x1 , x2 , . . . , xd ),
xi ∈ m , ∀i = 1, . . . , d tho¶ m·n lR (M/xM ) < ∞ ®îc gäi lµ mét
tham sè
cña
Gi¶ sö
sinh víi
hÖ
M.
(R, m) lµ vµnh ®Þa ph¬ng Noether, M lµ R− m«®un h÷u h¹n
dim M = d. MÖnh ®Ò sau ®©y nªu lªn mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n
cña hÖ tham sè.
5
6
1.1.2 MÖnh ®Ò. [1, MÖnh ®Ò A.4] Cho
x1 , x2 , . . . , xt ∈ m khi ®ã
dim(M/(x1 , . . . , xt )M ) ≥ dim M − t.
§¼ng thøc s¶y ra khi vµ chØ khi
cña
x1 , x2 , . . . , xt lµ mét phÇn cña hÖ tham sè
M.
1.1.3 MÖnh ®Ò. [8, Chó ý 15.20] NÕu
víi mäi sè nguyªn d¬ng
cña
x1 , . . . , xd lµ hÖ tham sè cña M
α1 , . . . , αd ta cã xα1 1 , . . . , xαd d
th×
còng lµ hÖ tham sè
M.
NhËn xÐt.
(1) Cho
khi
x ∈ m khi ®ã x lµ mét phÇn tö cña hÖ tham sè cña M khi vµ chØ
x 6∈ p víi mäi p ∈ Ass R sao cho dimR/p = d.
(2) Cho
x1 , . . . , xd ∈ m x¸c ®Þnh bëi
xi+1 6∈ p, ∀p ∈ Ass R(M/(x1 , . . . , xi )M ), dim R/p = d − i
víi
i = 0, . . . , d − 1. Khi ®ã {x1 , . . . , xd } lµ hÖ tham sè cña M .
TiÕp theo ta sÏ ®a ra ®Þnh nghÜa vÒ hµm Hilbert-Samuel vµ ®Þnh lý ®a
thøc Hilbert, ®©y lµ mét ®Þnh lý næi tiÕng vµ cã øng dông nhiÒu trong ®¹i
sè giao ho¸n. Trong luËn v¨n nµy ta chØ nh¾c l¹i ®Þnh nghÜa vµ ®Þnh lý
dïng cho ch¬ng sau mµ kh«ng chøng minh.
1.1.4 §Þnh nghÜa.
Noether
Cho
M lµ m«®un h÷u h¹n sinh trªn vµnh ®Þa ph¬ng
(R, m) víi dim M = d, q lµ i®ªan ®Þnh nghÜa cña M ( tøc lµ
l(M/qM ) < ∞). Khi ®ã ta ®Þnh nghÜa mét hµm sè gäi lµ
Samuel
Fq,M (n) = l(M/qn+1 M ).
hµm Hilber-
7
1.1.5 MÖnh ®Ò. [7, §Þnh lý 13.2] Cho
Noether.
sö r»ng
R0
R =
L
t≥0 Rt lµ vµnh ph©n bËc
lµ vµnh Artin vµ M lµ R- m«®un ph©n bËc h÷a h¹n sinh. Gi¶
R = R0 [x1 , . . . , xr ]
vµ
xi
tû cña n h¬n n÷a tån t¹i ®a thøc
bËc
di
khi ®ãFq,M (n) lµ mét hµm h÷u
Pq,M (n)
víi hÖ sè h÷u tû bËc
d
sao cho
n ®ñ lín th×
víi
Fq,M (n) = Pq,M (n).
vµ tån t¹i nh÷ng sè nguyªn
e0 (q, M )(> 0), e1 (q, M ), . . . , ed (q, M )
sao
cho
n+d
n+d−1
Pq,M (n) = e0 (q, M )
+e1 (q, M )
+· · ·+ed (q, M ).
d
d−1
Sè
e0 (q, M ) ®îc gäi lµ sè béi Zaziski-Samuel. Khi q sinh bëi mét hÖ tham
sè
x = {x1 , x2 , . . . , xd } ta ký hiÖu e0 (q, M ) = e( x, M ).
1.2
D·y chÝnh quy vµ m«®un Cohen-Macaulay
Trong phÇn nµy ta sÏ tr×nh bµy mét sè kh¸i niÖm vÒ d·y chÝnh quy, ®ã lµ
kh¸i niÖm c¬ b¶n ®Ó ®Þnh nghÜa ®é s©u cña mét m«®un tõ ®ã ®a ®Õn ®Þnh
nghÜa cña vµnh vµ m«®un Cohen-Macaulay.
1.2.1 §Þnh nghÜa.
tö
Cho R lµ vµnh giao ho¸n vµ M lµ R− m«®un. Mét phÇn
x ∈ R ®îc gäi lµ M −
chÝnh quy
nÕu
0 :M x = 0, tøc lµ xa 6= 0 víi
∀a ∈ M, a 6= 0. Mét d·y c¸c phÇn tö x1 , . . . , xn cña R ®îc gäi lµ M −d·y
chÝnh quy
nÕu
quy víi mäi
(x1 , . . . , xn )M 6= M vµ xi lµ M/(x1 , . . . , xi−1 )M − chÝnh
i = 1, . . . , n.
C¸c mÖnh ®Ò sau ®©y nªu lªn c¸c tÝnh chÊt c¬ b¶n cña d·y chÝnh quy.
1.2.2 MÖnh ®Ò. [8, Bæ ®Ò 16.4] Cho
®Ò sau t¬ng ®¬ng:
M
lµ
R−
m«®un khi ®ã c¸c mÖnh
8
(i) D·y
x1 , . . . , xn
lµ d·y
M − chÝnh quy.
(ii) D·y
x1 , . . . , xi
lµ d·y
M − chÝnh quy vµ xi+1 , . . . , xn
lµ d·y
M/(x1 , . . . , xi )M − chÝnh quy víi mäi 1 ≤ i ≤ n − 1.
1.2.3 MÖnh ®Ò. [7, §Þnh lý 16.1] NÕu
th× víi mäi sè nguyªn d¬ng
α1 , . . . , α n
x1 , . . . , xn
ta cã
lµ d·y
M−
chÝnh quy
{xα1 1 , . . . , xαnn } còng lµ d·y
M − chÝnh quy.
1.2.4 MÖnh ®Ò. [8, §Þnh lý 16.9] NÕu
th× víi mäi ho¸n vÞ cña c¸c phÇn tö
x1 , . . . , x n
x1 , . . . , x n
lµ d·y
M−
chÝnh quy
ta vÉn ®îc mét d·y
M−
chÝnh quy.
1.2.5 MÖnh ®Ò. [1, MÖnh ®Ò 1.2.12] NÕu
trªn vµnh ®Þa ph¬ng Noether vµ
x1 , . . . , xt
M
lµ
x1 , . . . , xt
lµ mét phÇn cña hÖ tham sè cña
R− m«®un h÷u h¹n sinh
lµ d·y
M−
chÝnh quy th×
M.
Víi ®Þnh nghÜa vÒ d·y chÝnh quy nªu trªn cho phÐp ®i ®Õn kh¸i niÖm ®é
s©u cña mét m«®un, ®Ó tõ ®ã ®i ®Õn kh¸i niÖm m«®un Cohen-Macaulay.
1.2.6 §Þnh nghÜa.
sinh sao cho
Cho
I lµ i®ªan cña vµnh R, M lµ R− m«®un h÷u h¹n
M 6= IM . Khi ®ã ®é dµi cùc ®¹i cña d·y M − chÝnh quy cña
I gäi lµ ®é s©u cña i®ªan I ®èi víi R− m«®un M , kÝ hiÖu depth R(I, M ).
NÕu
(R, m) lµ vµnh ®Þa ph¬ng Noether, ta cã thÓ kÝ hiÖu ®é s©u cña R−
m«®un
M lµ depthR M hoÆc cã thÓ ®¬n gi¶n h¬n lµ depth M .
1.2.7 MÖnh ®Ò. [1, MÖnh ®Ò 1.2.13] Cho
Noether,
M
lµ
(R, m)
lµ vµnh ®Þa ph¬ng
R− m«®un h÷u h¹n sinh. Ta cã kh¼ng ®Þnh sau.
depth M ≤ dim R/p ≤ dim M, ∀p ∈ Ass M .
Vµ tiÕp theo ta nh¾c l¹i kh¸i niÖm m«®un Cohen- Macaulay.
9
1.2.8 §Þnh nghÜa.
M«®un
M ®îc gäi lµ
m«®un Cohen-Macaulay
M = 0 hoÆc M 6= 0 vµ depth M = dim M. Vµnh R gäi lµ
Macaulay
nÕu nã lµ
nÕu
vµnh Cohen-
R− m«®un Cohen-Macaulay.
MÖnh ®Ò sau nªu lªn c¸c ®Æc trng c¬ b¶n cña m«®un Cohen-Macaulay.
1.2.9 MÖnh ®Ò. [7, §Þnh lý 17.3] (1) NÕu
th× víi
∀p ∈ Ass M
(2) NÕu
ta cã
x1 , . . . , xd ∈ m
Macaulay khi vµ chØ khi
M
lµ d·y
M−
chÝnh quy th×
M/(x1 , . . . , xd )M
lµ d·y
vµ
M/N
M
M
lµ m«®un Cohen-
lµ m«®un Cohen-Macaulay.
lµ m«®un Cohen-Macaulay th×
M − chÝnh quy.
1.2.11 Bæ ®Ò. [3, Bæ ®Ò 2.2] Cho
dim N < dim M
lµ m«®un Cohen-Macaulay
dim R/p = dim M .
1.2.10 MÖnh ®Ò. [7, Chó ý 136] NÕu
mäi hÖ tham sè cña
M
N
lµ m«®un con cña
lµ m«®un Cohen-Macaulay. Cho
mét phÇn cña hÖ tham sè cña M khi ®ã (x1 , . . . , xi )M ∩N
Chøng minh.
Víi
M
tho¶ m·n
x1 , . . . , x i
lµ
= (x1 , . . . , xi )N .
Ta chøng minh b»ng quy n¹p theo i.
i = 1 ta ph¶i chøng minh x1 M ∩ N = x1 N . Ta lu«n cã x1 N ⊆
x1 M ∩ N ta chøng minh x1 M ∩ N ⊆ x1 N . ThËt vËy, lÊy y ∈ x1 M ∩ N
khi ®ã
y ∈ x1 M vµ y = x1 m víi m ∈ M suy ra y = x1 m ∈ N hay
x1 m + N = 0 + N trong M/N tøc x1 (m + N ) = 0 suy ra m + N = 0
hay
m ∈ N . Do ®ã y = x1 m ∈ x1 N
Gi¶ sö
LÊy
i > 1. Ta lu«n cã (x1 , . . . , xi )N ⊆ (x1 , . . . , xi )M ∩ N
(1).
a ∈ (x1 , . . . , xi )M ∩ N khi ®ã a = x1 a1 + · · · + xi ai trong ®ã aj ∈ M
víi mäi
j = 1, . . . , i v× a ∈ N nªn ai ∈ (N + (x1 , . . . , xi−1 )M ) : xi . MÆt
kh¸c, v× d·y
x1 , . . . , xi lµ M/N − chÝnh quy vµ
(N + (x1 , . . . , xi−1 )M ) :M xi = N + (x1 , . . . , xi−1 )M
10
nªn ta cã ai
®ã bj
∈ N + (x1 , . . . , xi−1 )M , ai = x1 b1 + · · · + xi−1 bi−1 + c trong
∈ M , j = 1, · · · , i − 1 vµ c ∈ N . Suy ra theo gi¶ thiÕt quy n¹p ta cã
a − xi c ∈ (x1 , . . . , xi−1 )M ∩ N = (x1 , . . . , xi−1 )N
Do ®ã a
∈ (x1 , · · · , xi )N . VËy (x1 , . . . , xi )M ∩N ⊆ (x1 , . . . , xi )N
Tõ (1) vµ (2) ta cã
1.3
(2).
(x1 , . . . , xi )M ∩ N = (x1 , . . . , xi )N
M«®un Cohen-Macaulay d·y
Trong phÇn nµy ta ®a ra ®Þnh nghÜa vµ mét sè tÝnh chÊt c¬ b¶n vÒ läc
chiÒu vµ m«®un Cohen-Macaulay d·y, tríc tiªn ta nh¾c l¹i kh¸i niÖm läc
chiÒu cña m«®un.
1.3.1 §Þnh nghÜa.
(1) Mét läc c¸c m«®un con cña
M lµ mét hä
F : M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mt = M
trong ®ã
Mi lµ c¸c m«®un con cña M . Läc c¸c m«®un con F cña M
®îc gäi lµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu nÕu
dim Mi−1 < dim Mi víi mäi
i = 1, 2, . . . , t.
(2) Mét läc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu
D : D0 ⊂ D1 ⊂ . . . ⊂ Dt = M
®îc gäi lµ läc chiÒu cña
(a)
D0 = Hm0 (M ) lµ m«®un ®èi ®ång ®iÒu ®Þa ph¬ng thø 0 cña M øng
víi i®ªan tèi ®¹i
(b)
M nÕu nã tho¶ m·n 2 ®iÒu kiÖn sau
m.
Di−1 lµ m«®un con lín nhÊt cña Di sao cho dim Di−1 < dim Di víi
mäi
i = 1, 2, . . . , t.
11
MÖnh ®Ò sau sÏ cho ta thÊy sù tån t¹i cña läc chiÒu.
1.3.2 MÖnh ®Ò. [2, Chó ý 2.3] Läc chiÒu cña m«®un
duy nhÊt. H¬n n÷a nÕu
M
víi
dim Di = di
M
D : D0 ⊂ D1 ⊂ . . . ⊂ Dt = M
lu«n tån t¹i vµ
lµ läc chiÒu cña
th× ta cã
\
Di =
Nj
dim(R/pj )≥di+1
víi mäi
i = 1, 2, . . . , t − 1 trong ®ã
0=
n
\
Nj
j=1
lµ ph©n tÝch nguyªn s¬ thu gän cña m«®un
s¬ víi mäi
vµ
Nj
lµ
pj − nguyªn
j = 1, 2, . . . , n.
NhËn xÐt.
Cho
N lµ m«®un con cña M vµ dim N < dim M . Tõ ®Þnh
nghÜa läc chiÒu, tån t¹i m«®un
Do ®ã nÕu F
th× víi mçi
0 cña M
Di sao cho N ⊆ Di vµ dim N = dim Di .
: M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mt = M lµ läc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu
Mj lu«n tån t¹i Di sao cho Mj ⊆ Di vµ dim Mj = dim Di .
HÖ tham sè tèt lµ mét kh¸i niÖm quan träng ®îc sö dông trong luËn
v¨n nµy, tõ ®Þnh nghÜa vÒ läc chiÒu nªu trªn ta cã ®Þnh nghÜa vÒ hÖ tham
sè tèt nh sau.
1.3.3 §Þnh nghÜa.
®iÒu kiÖn chiÒu vµ
Cho
F : M0 ⊂ M1 ⊂ . . . ⊂ Mt = M lµ läc tho¶ m·n
dim Mi = di . Mét hÖ tham sè x = {x1 , x2 , . . . , xd } cña
M ®îc gäi lµ hÖ tham sè tèt t¬ng øng víi läc F nÕu
Mi ∩ (xdi +1 , xdi +2 , . . . , xd )M = 0
víi mäi
i = 1, 2, . . . , t − 1.
12
Mäi hÖ tham sè tèt t¬ng øng víi läc chiÒu ®îc gäi lµ hÖ tham sè tèt
cña
M.
NhËn xÐt
(1) NÕu hÖ tham sè
läc
x = {x1 , x2 , . . . , xd } lµ hÖ tham sè tèt t¬ng øng víi
F th× xα1 1 , . . . , xαd d còng lµ hÖ tham sè tèt t¬ng øng víi läc F víi mäi
sè nguyªn d¬ng
α1 , . . . , α d .
(2) Mét hÖ tham sè tèt cña
M còng lµ hÖ tham sè tèt t¬ng øng víi bÊt
kú läc tho¶ m·n tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chiÒu nµo cña
M.
1.3.4 Bæ ®Ò. [2, Bæ ®Ò 2.5] Lu«n tån t¹i hÖ tham sè tèt cña
M.
D : D0 ⊂ D1 ⊂ . . . ⊂ Dt = M lµ läc chiÒu cña M víi
T
dim Di = di . Theo mÖnh ®Ò 1.3.2 ta cã Di =
Nj trong ®ã
Chøng minh.
Cho
dim(R/pj )≥di+1
n
T
0=
j=1
Ni =
Nj lµ sù ph©n tÝch nguyªn s¬ thu gän cña m«®un 0 cña M . §Æt
T
Nj khi ®ã Di ∩ Ni = 0 vµ dim M/Ni = di . Theo ®Þnh lý
dim(R/pj )≤di
Tr¸nh nguyªn tè sÏ tån t¹i mét hÖ tham sè
x = {x1 , x2 , . . . , xd } tho¶ m·n
xdi +1 , xdi +2 , . . . , xd ∈ Ann M/Ni . Suy ra Di ∩ (xdi +1 , xdi +2 , . . . , xd )M ⊆
Di ∩ Ni = 0.
1.3.5 Bæ ®Ò. [3, Bæ ®Ò 2.1] Cho
M
khi ®ã
vµ do ®ã
Di = 0 :M xj
víi mäi
j = di + 1, . . . , di+1 , i = 0, 1, . . . , t − 1
0 :M x1 ⊆ 0 :M x2 ⊆ . . . ⊆ 0 :M xd .
Chøng minh.
v×
x = {x1 , x2 , . . . , xd } lµ hÖ tham sè tèt cña
Ta cã
Di ⊆ 0 :M xj víi mäi j ≥ di . ThËt vËy, lÊy x ∈ Di
Di lµ m«®un con cña M nªn x ∈ M . Suy ra xj x ∈ (xdi +1 , . . . , xd )M ,
∀j = di +1, . . . , d h¬n n÷a xj x ∈ Di . Nªn suy ra xj x = 0 hay x ∈ 0 :M xj .
Ta cßn ph¶i chøng minh r»ng
0 :M xj ⊆ Di víi mäi di < j < di+1 .
13
Gi¶ sö
0 :M xj 6⊆ Di vµ s lµ sè nguyªn lín nhÊt sao cho 0 :M xj 6⊆ Ds−1
khi ®ã
t ≥ s > i vµ 0 :M xj = 0 :Ds xj . V× ds ≥ di+1 ≥ j , xj lµ phÇn tö
tham sè cña
Ds vµ dim 0 :M xj < ds do ®ã 0 :M xj ⊆ Ds−1 ®iÒu nµy v«
lý víi viÖc chän s. Do vËy
0 :M xj = Di .
Trong phÇn tiÕp theo ta sÏ tr×nh bµy kh¸i niÖm vµ mét vµi tÝnh chÊt ®Æc
trng cña m«®un Cohen-Macaulay d·y ®îc sö dông trong luËn v¨n nµy.
Tríc hÕt ta cã ®Þnh nghÜa sau.
1.3.6 §Þnh nghÜa.
nÕu víi läc chiÒu
M«®un
M ®îc gäi lµ
m«®un Cohen-Macaulay d·y
D : D0 ⊂ D1 ⊂ . . . ⊂ Dt = M mçi m«®un Di /Di−1 lµ
Cohen-Macaulay víi
i = 1, 2, . . . , t.
MÖnh ®Ò tiÕp theo coi nh ®iÒu kiÖn t¬ng ®¬ng víi ®Þnh nghÜa m«®un
Cohen-Macaulay d·y.
1.3.7 MÖnh ®Ò. [2, §Þnh lý 3,9] Cho
läc chiÒu cña
M
víi
dim Di = di
vµ
D : D0 ⊂ D1 ⊂ . . . ⊂ Dt = M
x = (x1 , x2 , . . . , xd )
tèt cña
M . Khi ®ã c¸c mÖnh ®Ò sau lµ t¬ng ®¬ng:
(1) M
lµ m«®un Cohen-Macaulay d·y.
(2) (x1 , . . . , xdi ) lµ d·y chÝnh quy trªn M/Di−1
(3) depth M/Di−1 = di
víi
Cho
Chøng minh.
i = 1, . . . , t.
x = {x1 , x2 , . . . , xd }
tèt cña m«®un Cohen-Macaulay d·y
víi mäi
lµ hÖ tham sè
i = 1, . . . , t.
1.3.8 Bæ ®Ò. [3, HÖ qu¶ 2.3]
(x1 , . . . , xdi )Di
víi
lµ
M.
Khi ®ã
lµ hÖ tham sè
(x1 , . . . , xd )M ∩ Di =
i = 1, . . . , t − 1.
Ta cã Di lµ m«®un con cña M , dim Di
< M vµ M lµ m«®un
14
Cohen-Macaulay d·y nªn
(x1 , . . . , xd )M ∩ Di = (x1 , . . . , xdi , xdi+1 , . . . , xd )M ∩ Di
= (x1 , . . . , xdi )M ∩ Di + (xdi+1 , . . . , xd )M ∩ Di
= (x1 , . . . , xdi )M ∩ Di
mµ
(x1 , . . . , xdi ) lµ mét phÇn cña hÖ tham sè cña M nªn theo bæ ®Ò 1.2.11
ta cã
(x1 , . . . , xdi )M ∩ Di = (x1 , . . . , xdi )Di .
Ch¬ng 2
Ph©n tÝch tham sè cña luü thõa i®ªan
tham sè vµ m«®un Cohen-Macaulay
d·y
Trong ch¬ng nµy ta sÏ tr×nh bµy néi dung chÝnh cña luËn v¨n. Néi dung
ch×nh ®îc chia lµm ba tiÕt. TiÕt mét tr×nh bµy vÒ ®Æc trng cña m«®un
Cohen-Macaulay d·y qua ph©n tÝch tham sè. TiÕt hai sÏ tr×nh bµy vÒ ®a
thøc Hilbert-samuel cña m«®un Cohen-Macaulay d·y vµ trong tiÕt ba sÏ
®a ra mét sè vÝ dô nh»m lµm s¸ng tá c¸c kÕt qu¶ ®· nªu ë trªn.
2.1
§Æc trng cña m«®un Cohen-Macaulay d·y qua ph©n
tÝch tham sè
Cho
víi
vµ
(R, m) lµ vµnh ®Þa ph¬ng Noether, M lµ R− m«®un h÷a h¹n sinh
dim M = d. Cho x = {x1 , x2 , . . . , xd } lµ hÖ tham sè cña m«®un M
q lµ i®ªan sinh bëi x1 , x2 , . . . , xd . Víi sè nguyªn d¬ng n, s ta cã tËp
d
Λd,n = {(α1 , . . . , αd ) ∈ Z | αi ≥ 1, ∀1 ≤ i ≤ d,
d
X
αi = d + n − 1}
i=1
víi
α = (α1 , . . . , αd ) ∈ Λd,n . Ký hiÖu q(α) = (xα1 1 , . . . , xαd d ).
15
16
2.1.1 Bæ ®Ò. Víi c¸c ký hiÖu trªn ta cã
qnM ⊆
T
q(α)M
α∈Λd,n
q(α)M = (xα1 1 , . . . , xαd d ) nªn q n M ®îc sinh bëi c¸c
d
P
β1
βd
βi = n.
phÇn tö cã d¹ng x1 . . . xd m trong ®ã βi ∈ N, ∀i = 1, . . . , d vµ
V×
Chøng minh.
i=1
LÊy tuú ý
α = (α1 , . . . , αd ) ∈ Λd,n . Ta cã
d
P
i=1
βi >
d
P
(αi − 1) nªn tån t¹i
i=1
βi > αi víi i nµo ®ã. Suy ra xβ1 1 . . . xβd d m ∈ q(α)M . VËy víi mäi n ta cã
T
qnM ⊆
q(α)M .
α∈Λd,n
NÕu ë mÖnh ®Ò trªn dÊu b»ng x¶y ra víi mäi n tøc qn M
=
T
q(α)M
α∈Λd,n
®óng víi mäi n th× ta nãi
x = x1 , . . . , xd cã tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè.
Ta sÏ chøng minh trong tiÕt nµy r»ng
M lµ m«®un Cohen-Macaulay d·y
khi vµ chØ khi tån t¹i mét hÖ tham sè tèt
x nµo ®ã cña M ®Ó sao cho x cã
tÝnh chÊt ph©n tÝch tham sè . Ta b¾t ®Çu b»ng bæ ®Ò vÒ tÝnh chÊt ph©n tÝch
tham sè cña d·y c¸c phÇn tö chÝnh quy.
2.1.2 Bæ ®Ò. Cho
s lµ mét sè nguyªn d¬ng vµ y1 , . . . , ys lµ M − d·y chÝnh
m. Khi ®ã
\
n
(y1 , . . . , ys ) M =
(y1α1 , . . . , ysαs )M
quy cña c¸c phÇn tö trong
α∈Λs,n
víi mäi
n ≥ 1.
Chøng minh.
Ta kÝ hiÖu
y = (y1 , . . . , ys ) vµ y(α) = (y1α1 , . . . , ysαs ).
ViÖc chøng minh bæ ®Ò trªn trong vµnh
xÐt trong vµnh ®a thøc
R lµ hoµn toµn t¬ng tù nh
Z[X1 , . . . , Xs ] vµ do ®ã ta cã thÓ thay thÕ y bëi
X = X1 , . . . , Xs . Ta biÕt r»ng d·y X lµ Z[X1 , . . . , Xs ]− chÝnh quy, vËy
cã thÓ gi¶ sö
y lµ Z[X1 , . . . , Xs ]− chÝnh quy.
17
§Æt
S = R n M lµ i®ªan ho¸ cña M trªn R. Khi ®ã S = R n M lµ
nhãm céng vµ phÐp nh©n trong
S ®îc ®Þnh nghÜa nh sau
(a, x)(b, y) = (ab, ay + bx), ∀a, b ∈ R, ∀x, y ∈ M.
§Æt
fi = (yi , 0), (i = 1, . . . , s), ta sÏ chøng minh d·y f = f1 , . . . , fs lµ
S− chÝnh quy, tøc lµ
(f1 , . . . , fi )S : fi+1 = (f1 , . . . , fi )S, i = 0, . . . , s − 1.
Ta lu«n cã
(f1 , . . . , fi )S : fi+1 ⊇ (f1 , . . . , fi )S do ®ã ta chØ cÇn ph¶i
chøng minh
(f1 , . . . , fi )S : fi+1 ⊆ (f1 , . . . , fi )S, i = 0, . . . , s − 1 lµ ®ñ.
LÊy bÊt kú
vµ
gfi+1
g ∈ (f1 , . . . , fi )S : fi+1 , tøc lµ g = (u, x), u ∈ R, x ∈ M
i
P
∈ (f1 , . . . , fi )S , suy ra (u, x)(yi+1 , 0) =
(yj , 0)(uj , xj ) hay
j=1
lµ
(uyi+1 , xyi+1 ) = (
i
P
yj uj ,
j=1
uyi+1 =
i
P
yj uj vµ xyi+1 =
j=1
i
P
yj xj ), trong ®ã uj ∈ R, xj ∈ M . VËy
j=1
i
P
yj xj . Tõ ®ã uyi+1 ∈ (y1 , . . . , yi )R vµ
j=1
xyi+1 ∈ (y1 , . . . , yi )M tøc lµ
u ∈ (y1 , . . . , yi )R : yi+1 = (y1 , . . . , yi )R
x ∈ (y1 , . . . , yi )M : yi+1 = (y1 , . . . , yi )M
víi i
= 0, . . . , s−1. Suy ra (u, x) ∈ (f1 , . . . , fi )S do ®ã g ∈ (f1 , . . . , fi )S .
VËy
(f1 , . . . , fi )S : fi+1 ⊆ (f1 , . . . , fi )S , víi mäi i = 0, . . . , s − 1 nªn
(f1 , . . . , fi )S : fi+1 = (f1 , . . . , fi )S, ∀i = 0, . . . , s − 1 tøc lµ ta cã f =
f1 , . . . , fs lµ S− chÝnh quy. Tõ ®©y ¸p dông [6, §Þnh lý 2.4] ta cã
\
n
(f ) S =
f (α)S, ∀n ≥ 1
α∈Λs,n
(1)
18
TiÕp theo ta sÏ chøng minh r»ng
(f )n S = (y)n R × (y)n M.
P
ThËt vËy, lÊy tuú ý t =
Cβ f1β1 . . . fsβs ∈ (f )n S , trong ®ã βi ≥ 0, i =
s
P
1, . . . , s, βi = n, Cβ = (rβ , mβ ) ∈ R × M . Ta cã
i=1
X
(rβ , mβ )(y1β1 . . . ysβs , 0)
X
X
=(
rβ y1β1 . . . ysβs ,
mβ y1β1 . . . ysβs ) ∈ (y)n R × (y)n M.
P
P
β0
β0
β
Ngîc l¹i, cho t ∈ (y)n R×(y)n M , tøc lµ t = ( rβ y1 1 . . . ysβs ,
mβ y1 1 . . . ys s ),
s
s
P
P
βi = n, βi0 = n, r ∈ R, m ∈ M . §Æt fiβi =
trong ®ã βi , βi0 ≥ 0,
t=
i=1
βi0
(yi , 0), 1
β0
(yiβi , 0), fi i
i=1
=
≤ i ≤ s. Ta cã
X
X
0
β0
β1
βs
t=
(rβ y1 . . . ys , 0) + (0,
mβ y1 1 . . . ysβs )
X
X
β0
β0
=
(rβ , 0)(f1β1 . . . fsβs ) +
(0, mβ )(f1 1 . . . fi i ) ∈ (f )n S.
VËy
(f )n S = (y)n R × (y)n M
(2)
T¬ng tù nh chøng minh ®¼ng thøc (2) ta còng cã
f (α)S = y(α)R × y(α)M, n ≥ 1, α ∈ Λs,n .
T
T
T
Suy ra
(3)
f (α)S =
y(α)R ×
y(α)M
α∈Λs,n
α∈Λs,n
α∈Λs,n
Tõ (1),(2),(3) dÉn ®Õn kÕt qu¶ sau
n
n
(y) R × (y) M =
\
y(α)R ×
α∈Λs,n
Tõ ®©y suy ra
(y)n M =
T
\
y(α)M.
α∈Λs,n
y(α)M, n ≥ 1 hay
α∈Λs,n
(y1 , . . . , ys )n M =
\
α∈Λs,n
víi mäi
n ≥ 1.
(y1α1 , . . . , ysαs )M
19
2.1.3 Bæ ®Ò. Cho
phÇn tö cña
s
lµ mét sè nguyªn d¬ng vµ
m tho¶ m·n (y1 , . . . , ys )n M =
y1 , . . . , y s
lµ mét d·y c¸c
(y1α1 , . . . , ysαs )M
T
víi mäi
α∈Λs,n
n ≥ 1. Khi ®ã
(i)
(y1 , . . . , yi )n M =
k
(ii) yi+1 M
∩
(y1α1 , . . . , yiαi )M
T
α∈Λi,n
(y1 , . . . , yi )m M
víi mäi
n ≥ 1 vµ i < s.
⊆ (y1 , . . . , yi , yi+1 )k+m M
víi
∀k, m ≥ 1
vµ
i < s.
Chøng minh.
(i) Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta cã thÓ gi¶ sö
s ≥ 2 vµ chØ
cÇn chøng minh bæ ®Ò ®óng víi
i = s − 1 lµ ®ñ.
T
αs−1
Ta lu«n cã (y1 , . . . , ys−1 )n M ⊆
(y1α1 , . . . , ys−1
)M víi mäi n ≥ 1.
α∈Λs−1,n
αs−1
α1
ThËt vËy, v× y(α) = (y1 , . . . , ys−1 ) nªn y n = (y1 , . . . , ys−1 )n ®îc sinh
βs−1
β
bëi c¸c phÇn tö cã d¹ng y1 1 . . . ys−1
, trong ®ã βi ∈ N, ∀i = 1, . . . , s − 1
s−1
P
βi = n. LÊy tuú ý phÇn tö α = (α1 , . . . , αs−1 ) ∈ Λs−1,n . Khi
vµ
i=1
s−1
P
s−1
P
(αi − 1) nªn tån t¹i i(1 ≤ i ≤ s − 1) sao
i=1
βs−1
β
cho βi > αi . Suy ra y1 1 . . . ys−1
∈ y(α). VËy (y1 , . . . , ys−1 )n M ⊆
T
αs−1
(y1α1 , . . . , ys−1
)M.
α∈Λs−1,n
®ã ta cã
βi = n >
i=1
Gi¶ sö ph¶n chøng r»ng kh«ng x¶y ra bao hµm thøc trªn, khi ®ã sÏ tån
t¹i
x∈
T
α
s−1
(y1α1 , . . . , ys−1
)M mµ x 6∈ (y1 , . . . , ys−1 )n M . Ta chän sè
α∈Λs−1,n
tù nhiªn
k ®ñ lín sao cho
x ∈ (y1 , . . . , ys−1 )n M + ysk M, x 6∈ (y1 , . . . , ys−1 )n M + ysk+1 M.
ViÖc chän nh vËy lµ hoµn toµn x¸c ®Þnh v× nÕu
k = 0 th× hiÓn nhiªn ta cã
x ∈ (y1 , . . . , ys−1 )n M +ys0 M = M . MÆt kh¸c, nÕu x ∈ (y1 , . . . , ys−1 )n M +
- Xem thêm -
.PDF 
40 
105 
129 
