Tài liệu đa thức bất khả quy và đa giác newton

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ----o0o---- HOÀNG THỊ LỆ ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY VÀ ĐA GIÁC NEWTON KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Người hướng dẫn khoa học: Th.s ĐỖ VĂN KIÊN HÀ NỘI – 2014 LỜI CẢM ƠN Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành khóa luận này em nhận được sự quan tâm, động viên, khích lệ của các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số nói riêng và các thầy cô giáo trong khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 nói chung. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với các thầy giáo, cô giáo, đặc biệt là thầy giáo Th.S Đỗ Văn Kiên – người đã tận tình hướng dẫn em trong suốt thời gian qua để em hoàn thành khóa luận này. Do trình độ và thời gian nghiên cứu còn hạn chế nên những vấn đề mà em trình bày trong khóa luận này sẽ không tránh khỏi thiếu sót. Em kính mong nhận được sự chỉ bảo và đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh viên Hoàng Thị Lệ LỜI CAM ĐOAN Trong quá trình nghiên cứu khóa luận “Đa thức bất khả quy và đa giác Newton” em có sử dụng một số tài liệu tham khảo để hoàn thành khóa luận của mình. Danh sách tài liệu tham khảo em đã đưa vào mục tài liệu tham khảo của khóa luận. Em xin cam đoan khóa luận được hình thành bởi sự cố gắng, nỗ lực của bản thân cùng với sự hướng dẫn tận tình của thầy giáoTh.sĐỗ Văn Kiên cũng như các thầy cô trong tổ Đại số. Đây là đề tài không trùng với đề tài của các tác giả khác. Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn. Hà Nội, tháng 5 năm 2014 Sinh viên Hoàng Thị Lệ MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU ...................................................................................... 1 CHƢƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................. 3 1.1. Vành đa thức một ẩn........................................................................ 3 1.1.1. Xây dựng vành đa thức một ẩn ............................................... 3 1.1.2. Định lý phép chia với dư......................................................... 5 1.1.3. Nghiệm của một đa thức ......................................................... 6 1.2. Vành đa thức nhiều ẩn ..................................................................... 7 CHƢƠNG 2: ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY ....................................... 10 2.1. Khái niệm đa thức bất khả quy ...................................................... 10 2.2. Các tính chất.................................................................................. 10 2.3. Đa thức bất khả quy trên các trường số.......................................... 12 2.3.1. Đa thức bất khả quy trên các trường số phức ........................ 12 2.3.2. Đa thức bất khả quy trên các trường số thực ......................... 13 2.4. Đa thức bất khả quy trên các trường số hữu tỷ............................... 14 2.4.1. Các tính chất ......................................................................... 15 2.4.2. Tiêu chuẩnEisenstein ............................................................ 18 2.4.3.Một số tiêu chuẩn khác .......................................................... 20 2.5. Đa thức bất khả quy trên trường hữu hạn....................................... 28 2.5.1. Đa thức bất khả quy trên trường hữu hạn .............................. 28 2.5.2. Số đa thức monic trên một trường hữu hạn ........................... 32 CHƢƠNG 3: ĐA GIÁC NEWTON................................................... 36 3.1. Đa thứcEisenstein .......................................................................... 36 3.2. Kết thức......................................................................................... 36 3.3. Ứng dụng ...................................................................................... 38 3.4. Đa giác Newton và tiêu chuẩn bất khả quy .................................... 40 3.4.1. Đa giác Newton .................................................................... 40 3.4.2. Tiêu chuẩn bất khả quy ......................................................... 42 3.5. Một số bài tập ................................................................................ 49 KẾT LUẬN ......................................................................................... 51 TÀI LIỆU THAM KHẢO.................................................................. 52 LỜI NÓI ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Toán học là một môn học cơ bản làm nền tảng cho các ngành khoa học khác, là thành phần không thể thiếu của văn hóa phổ thông. Môn Toán có tiềm năng to lớn trong việc khai thác và phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện các thao tác và phẩm chất tư duy con người. Đa thức có vị trí quan trọng trong Toán học không những là đối tượng nghiên cứu của Đại số mà còn là công cụ đắc lực của giải tích trong lý thuyết sấp xỉ, lý thuyết tối ưu…. Ngoài ra lý thuyết về đa thức còn được sử dụng nhiều trong toán cao cấp và toán ứng dụng. Trong các cuộc thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic thì các bài toán về đa thức được xem là dạng khó. TrongToán học khi nghiên cứu về đa thức, đa thức bất khả quy là một đối tượng quan trọng, còn đa giác Newton được coi là một công cụ để hiểu hành vi của đa thức trên các lĩnh vực địa phương. Tuy nhiên, tài liệu viết về các đối tượng này còn rất ít.Vì vậy em đã mạnh dạn chọn đề tài “Đa thức bất khả quy và đa giác Newton”. Em mong rằng khóa luận này sẽ có ích cho những ai quan tâm đến đa thức, đặc biệt là đa giác Newton và tính bất khả quy của đa thức. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu tính bất khả quy của đa thức trên các trường số và trường hữu hạn,tìm hiểu về đa giác Newton và một số kết quả của đa giác Newton. 3. Đối tƣợng nghiên cứu Đa thức một biến. ~1~ 4. Phƣơng pháp nghiên cứu Tham khảo tài liệu, phân tích, so sánh, hệ thống hóa. 5.Nội dung khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận gồm có 3 chương: Chương1. Kiến thức chuẩn bị Chương 2. Đa thức bất khả quy Chương 3. Đa giác Newton ~2~ CHƢƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.Vành đa thức một ẩn 1.1.1. Xây dựng vành đa thức một ẩn Cho A là vành giao hoán có đơn vị 1. Đặt  P   a0 , a1 , a2 ,... | ai  A, ai  0 haàu heát  Trên P ta định nghĩa hai phép toán:  a0 , a1,...  (b0 , b1,...) :  a0  b0 , a1  b1,...  a0 , a1,... (b0 , b1,...) : (c0 , c1,...) Trong đó ck :  aib j , k  0,1,..., n. i j k Khi đó P cùng với hai phép toán trên lập thành một vành giao hoán, có đơn vị 1,0,,0,... Xét đồng cấu : A P a  a,0,...,0,... Khi đó  là một đơn cấunên ta có thể nhúng vành A trong P bằng cách đồng nhất a với   a    a,0,...,0,... , tức là coi a   a,0,...,0,... Đặt x :  0,1,0,...,0,...  P thì x 2  xx   0,0,1,0,...,0,... x3  (0,0,0,1,0,...,0,...) x n  (0,0,0,...,0,1,0,...) n Bây giờ lấy phần tử  a0 , a1, a2 ,... bất kỳ thuộc P thì ai  0 hầu hết nên có số tự nhiên n sao cho  a0 , a1, a2 ,...   a0 , a1,..., an ,0, và ta có, ~3~  a0 , a1,..., an ,0,...   a0 ,0,...   0, a1,0,...  ...   0,0,..., an ,0,...     a0 ,0,...   a1 ,0,... 0,1,0,...  ...   an ,0,...  0,0,...,0,1,0,...    n   n  a0  a1 x  ...  an x Vậy P  a0  a1x  ...  an x n | ai  A, n  . Vành P được gọi là vành đa thức một ẩn x lấy hệ số trên A , kí hiệu là A x . Định nghĩa 1.1.1. Mỗi phần tử của A x  được gọi là mộtđa thức, kí hiệu là f  x  , g  x  , p  x  , Nếu f  x   a0  a1x  ...  an x n thì a0 được gọi là hệ tử tự do, an được gọi là hệ tử bậc cao nhất, an  0 thì n được gọi là bậc của đa thức, kí hiệu deg f  x . Nhận xét 1.1.1.Cho f  x  , g  x  là hai đa thức khác 0 của vành. Khi đó: i)Nếu f  x   g  x   0 thì deg  f  x   g  x    max deg f  x  , deg g  x  ii) Nếu f  x  g  x  0 thì deg  f  x  g  x    deg f ( x)  deg g ( x) Nhận xét 1.1.2: i) Nếu A là miền nguyên thì A x  cũng là miền nguyên. ii) Nếu A là một trường thì trong vành A x  các hằng khác không là khả nghịch. ~4~ 1.1.2. Định lý phép chia với dƣ Định lý 1.1.1.Cho A là một miền nguyên và f ( x), g ( x) là hai đa thức trong A x  , hệ tử cao nhất của g ( x) khả nghịch trong A . Khi đó tồn tại duy nhất cặp đa thức q( x), r (x)  A x  sao cho f  x  g  x q  x  r  x với deg r  deg g nếu r ( x)  0. Chứng minh a) Sự tồn tại Giả sử f ( x)  a0  a1x  ...  an x n , an  0 g  x   b0  b1x  ...  bm x m bm  0 Nếu n  m thì ta đặt q  x   0, r  x   f  x . Nếu n  m thì đặt: f1  x   f  x   bm1an x nm g  x   f  x   q1  x  g  x  Bậc của đa thức này không lớn hơn m  1 bởi các hệ tử cao nhất của f  x  và q1  x  g  x  trùng nhau và bằng bm1anbm  an . Tiếp tục quá trình trên ta được f k  x   f k 1  x   qk  x  g  x  , k  1,2,... Rõ ràng sau không quá n  m  1 bước ta sẽ thu được đa thức f k  x  mà deg f  x   deg g  x  . Khi đó đặt q  x   q1  x   q2  x   ...  qk  x  , Ta có điều phải chứng minh. ~5~ r  x   fk  x  b) Tính duy nhất Giả sử ta cũng có f  x   q'  x  g  x   r '  x  Với deg r '  deg g nếu r '  x   0 . Khi đó r  x   r '  x   (q '  x   q  x ) g  x . Nếu r  x   r '  x , ta cũng có q  x   q '  x  và khi đó deg  r  r '   deg  q'  q   deg g  deg g Điều này vô lý vì deg  r  r '   max  deg r,deg r '   deg g. Do đó ta phải có r  x   r '  x  . Mặt khác A x  là miền nguyên nên từ đó phải có q  x   q '  x . Nếu trên vành A các đa thức p  x  , a  x   0 thỏa mãn đẳng thức p  x   a  x  b  x  , với b  x   A x Khi đó a  x  được gọi là ước của p  x  , p  x  gọi là bội của a  x  . Ta cũng nói a  x  chia hết p  x  còn p  x  chia hết cho a  x  . 1.1.3.Nghiệm của một đa thức Định nghĩa 1.1.2.Giả sử A là vành con của vành K và f  x   A x  có dạng f  x   a0  a1x  ...  an x n . Một phần tử c thuộc K sao cho f  c   a0  a1c  ...  anc n  0 thì c được gọi là một nghiệm của f  x  . Ví dụ 1.1.1. Số 2 là số đại số trên trường hữu tỷ đa thức x 2  2 trong vì nó là nghiệm của [x] . Định lý 1.1.2(Định lý Bezout). Cho A là miền nguyên, K là trường chứa A, c  K , p  x   A[ x] . Khi đó trong K [ x] , x  c là ước của đa thức p(x) khi và chỉ khi p  c   0 . ~6~ Chứng minh. Chia p  x  cho x  c trong K [ x] ta có dư là đa thức r  x   r  K . Từ đó p  c   r . Bởi vậy x  c là ước của p  x  khi và chỉ khi p  c   0. Định nghĩa 1.1.3. Chok là số tự nhiên khác 0 . Phần tử u của vành K  A gọi là nghiệm bội k của đa thức f  x   A x  nếu f  x  chia hết cho  x  u  và không chia hết cho  x  u  k k 1 . Định lý 1.1.3. Giả sử A là một miền nguyên, f  x  là một đa thức khác 0 thuộc vành A x  và u1, u2 ,..., ur là các nghiệm trong A của nó với số bội tương ứng là k1, k2 ,..., kr . Khi đó f  x    x  u1  1  x  u2  2 ... x  ur  r g  x  , k k k với g  x   A và g  ui   0 với i  1, 2,..., r. Hệ quả 1.1.1.Cho A là miền nguyên, f  x   A x  có bậc n  1 . Khi đó f có không quá n nghiệm trong A . Chứng minh.Theo định lý trên ta có deg f  x   k1  k2  ...  kr  degg  x  Do đó n  k1  k2  ...  kr . Chú ý 1.1.1. Nếu A không là miền nguyên thì kết quả trên không đúng, chẳng hạn đa thức x 2  1 trong 15 [ x] có 4 nghiệm là 1,4,11,14. 1.2. Vành đa thức nhiều ẩn Định nghĩa1.2.1.Giả sử A  A0 là một vành giao hoán có đơn vị 1. Theo 1.1.1,ta đã xây dựng được các vành đa thức một ẩn Ai  Ai 1  xi , i  1,2,..., n lấy hệ tử trên Ai 1 . Vành An  An1  xn  , kí hiệu là A x1, x2 ,..., xn  , được gọi là vành đa thức của n ẩn x1, x2 ,..., xn lấy trong vành A. ~7~ Một phần tử của An gọi là một đa thức của n ẩn x1, x2 ,..., xn lấy hệ tử trong vành A , người ta kí hiệu nó bằng f  x1, x2 ,..., xn  hay g  x1, x2 ,..., xn  ,… Từ định nghĩa 1.2.1ta có dãy các vành A0  A  A1  A2  ...  An Trong đó Ai 1 là vành con của Ai , i  1,2,..., n. Ta xét vành A1  x2   A x1, x2  . Đây là vành đa thức của ẩn x2 lấy hệ tử trong A1  A x1  . Vậy mỗi phần tử của A x1 , x2  có thể viết dưới dạng (1) f  x1, x2   a0  x1   a1  x1  x2  ...  an  x1  x2n với các ai  x1   A x1  (2) ai  x1   bi 0  bi1x1  ...  bimi x mi , i  0,1,..., n Do A x1 , x2  là một vành nên phép nhân phân phối đối với phép cộng, do đó f  x1 , x2  có thể viết (3) f  x1, x2   c1x1a x2a  c2 x1a  ...  cm x1a x2a 11 12 m1 22 m2 Với ci  A, ai1, ai 2 là những số tự nhiên,  ai1, ai 2    a j1 , a j 2  khi i  j , ci gọi là các hệ tử, ci x1ai1 x2ai 2 gọi là các hạng tử của f  x1 , x2  . Bằng quy nạp ta có mỗi đa thức f  x1, x2 ,..., xn  của vành A x1, x2 ,..., xn  có thể viết dưới dạng (4) với các f  x1, x2 ,..., xn   c1x1a11 ...xna1n  ...  cm x1am1 ...xnamn ci  A, ai1,..., ai 2 , i  1,..., m  ai1,..., ain    a j1,..., a jn  khi i  là những số tự nhiên và j , ci là các hệ tử, các ci x1ai1 ...xnain là các hạng tử. Nhận xét 1.2.1. Đa thức f  x1, x2 ,..., xn   0 khi và chỉ khi các hệ tử của nó bằng không tất cả. ~8~ Định nghĩa 1.2.2.Cho f  x1, x2 ,..., xn   A x1, x2 ,..., xn  là một đa thức khác không. f  x1, x2 ,..., xn   c1x1a11 ...xna1n  ...  cm x1am1 ...xnamn với các ci  A, ai1,..., ai 2 , i  1,..., m và  ai1,..., ain    a j1,..., a jn  khi i  j . Khi đó ta định nghĩa: Bậc của đa thức f  x1, x2 ,..., xn  đối với ẩn xi là số mũ cao nhất mà xi mà có được trong hạng tử của đa thức. Bậc của hạng tử ci x1ai1 ...xnain là tổng các số mũ ai1  ...  ain . Bậc của đa thức là số mũ lớn nhất trong các bậc của hạng tử của nó. Ví dụ 1.2.1. Đa thức f  x1, x2 , x3   2 x1x23 x35  x12 x2  3x39  x12  5x1x23 x32  4 x25 x3  6 có bậc là 9 , nhưng đối với x1 nó có bậc là 2 . ~9~ CHƢƠNG 2 ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY 2.1. Khái niệm đa thức bất khả quy Định nghĩa 2.1.1. Đa thức P  x  T  x,T là miền nguyên gọi là đa thức bất khả quy nếu P( x)  0, P( x) khác khả nghịch và P(x) không có ước thực sự. (Khi đó ta cũng nói P( x) là đa thức không phân tích được trên T ). Nhận xét 2.1.1.Đa thức P  x    x , T là miền nguyên, P( x)  0, deg P  x   1 là không phân tích được trên T nếu P( x) không biểu diễn được dưới dạng P  x   g  x h  x , 1  bậc g  x  , bậc h  x  - Xem thêm -