Copula và ứng dụng trong tài chính

  • Số trang: 64 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 32 |
  • Lượt tải: 0
nhattuvisu

Đã đăng 26946 tài liệu

Mô tả:

„I HÅC QUÈC GIA H€ NËI TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC TÜ NHI–N KHOA TON - CÌ - TIN HÅC Nguy¹n Hçng Sìn Copula v  ùng döng trong t i ch½nh LUŠN V‹N TH„C Sž KHOA HÅC Chuy¶n ng nh: Lþ thuy¸t X¡c su§t v  Thèng k¶ to¡n håc M¢ sè : 60 46 15 Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: TS. Tr¦n Trång Nguy¶n H  Nëi - 2011 Möc löc 1 Ki¸n thùc chu©n bà 1.1 1.2 1.3 Copula cho ph¥n phèi nhi·u chi·u v  sü phö thuëc . . 1.1.1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Giîi thi»u v· copula . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Mët v i ành ngh¾a v  t½nh ch§t cõa copula . . . 1.1.4 C¡c h m ph¥n phèi çng thíi Fr²chet-Hoeffding 1.1.5 Copula v  bi¸n ng¨u nhi¶n . . . . . . . . . . . . C¡c kh¡i ni»m sü phö thuëc . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 T÷ìng quan tuy¸n t½nh . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 ë o sü t÷ìng th½ch . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 ë o sü phö thuëc . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Nhúng kh¡i ni»m phö thuëc kh¡c . . . . . . . . Sì l÷ñc v· c¡c h m copula . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Ph¥n phèi elliptic . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Copula li¶n quan ¸n ph¥n phèi elliptic . . . . . 1.3.3 Copula Archimedean . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Gi¡ trà cüc trà c¡c copula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 C¡c k¸t luªn thèng k¶ v· copula 2.1 2.2 2.3 Kÿ thuªt mæ phäng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ×îc l÷ñng khæng tham sè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Copula thüc nghi»m. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Ph²p çng nh§t cõa copula Archimedean . . . . . . . . . . ×îc l÷ñng tham sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 ×îc l÷ñng hñp lþ cüc ¤i (Maximum likelihood estimation: 2.3.2 Ph÷ìng ph¡p moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Ùng döng copula trong o l÷íng rõi ro t i ch½nh 3.1 3.2 Tên th§t têng hñp v  ph¥n t½ch gi¡ trà rõi ro . 3.1.1 Tr÷íng hñp ríi r¤c . . . . . . . . . . . 3.1.2 Tr÷íng hñp li¶n töc . . . . . . . . . . . Gi¡ trà cüc trà nhi·u chi·u v  rõi ro thà tr÷íng 3.2.1 Lþ thuy¸t gi¡ trà cüc trà . . . . . . . . 3.2.2 C¡c ph÷ìng ph¡p ÷îc l÷ñng . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ML) . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 2 3 7 10 12 12 12 16 17 20 20 21 25 26 28 28 29 29 31 31 31 35 37 37 37 38 43 43 48 3.3 3.2.3 Ùng döng vîi dú li»u LME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T¦n sè t÷ìng quan v  t½nh to¡n rõi ro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T i li»u tham kh£o 2 50 55 59 Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà 1.1 Copula cho ph¥n phèi nhi·u chi·u v  sü phö thuëc 1.1.1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n 1.1.1.1 ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n Mët ¤i l÷ñng (hay mët bi¸n) nhªn c¡c gi¡ trà cõa nâ vîi x¡c su§t t÷ìng ùng n o §y gåi l  ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n hay bi¸n ng¨u nhi¶n. Chóng ta th÷íng kþ hi»u c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n bði c¡c chú in hoa X, Y, Z, . . . ho°c ξ, η, ζ, . . .. C¡c gi¡ trà m  bi¸n ng¨u nhi¶n nhªn th÷íng vi¸t b¬ng chú in th÷íng: x, y, z, . . . 1.1.1.2 H m ph¥n phèi Cho bi¸n ng¨u nhi¶n ξ , ta x¡c ành h m ph¥n phèi cõa ξ nh÷ sau: Fξ (x) = P {ξ < x}. (1.1) Trong ành ngh¾a tr¶n x l  bi¸n cõa h m F , x nhªn gi¡ trà thüc, x thuëc (−∞, +∞). T¤i mët iºm x b§t ký h m F (x) ch½nh l  x¡c su§t º bi¸n ng¨u nhi¶n nhªn gi¡ trà nhä hìn x ho°c º bi¸n ng¨u nhi¶n nhªn gi¡ trà b¶n tr¡i x. Ch¿ sè cõa h m Fξ (x) º ch¿ h m ph¥n phèi cõa bi¸n ng¨u nhi¶n ξ . Tr÷íng hñp khæng c¦n thi¸t câ thº bä qua khæng c¦n vi¸t ch¿ sè â. 1.1.1.3 Ph¥n phèi çng thíi Gi£ sû ξ = (ξ1 , ξ2, . . . , ξn ) trong â ξi , i = 1, 2, . . . , n l  c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n mët chi·u, ξ ÷ñc gåi l  v²c tì ng¨u nhi¶n n chi·u. H m ph¥n phèi cõa v²ctì ng¨u nhi¶n ξ ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau: Fξ (x1 , x2 , . . . , xn ) = P {ξ1 < x1 , ξ2 < x2 , . . . , ξn < xn }, xi ∈ R, i = 1, . . . , n . 1 N¸u c¡c th nh ph¦n ξi , i = 1, . . . , n cõa v²ctì ng¨u nhi¶n ëc lªp vîi nhau th¼: Fξ (x1 , x2 , . . . , xn ) = P {ξ1 < x1 }.P {ξ2 < x2 } . . . P {ξn < xn } = Fξ1 (x1 )Fξ2 (x2 ) . . . Fξn (xn ). Trong tr÷íng hñp n y, n¸u ξi câ h m mªt ë th¼: f (x1 , x2 , . . . , xn ) = ∂ n F (x1 , x2 , . . . xn ) = fξ1 (x1 ).fξ2 (x2 ) . . . fξn (xn ) ∂x1 ∂x2 . . . ∂xn trong â f, fξi l  kþ hi»u h m mªt ë cõa v²ctì ξ v  th nh ph¦n ξi . 1.1.1.4 Ph¥n phèi thüc nghi»m Gi£ sû ta câ m¨u ng¨u nhi¶n (x1 , x2 , . . . , xn ). Xu§t ph¡t tø n gi¡ trà cö thº m  bi¸n ng¨u nhi¶n nhªn ta x¥y düng h m sè. Fn (x) = f {xi < x} n trong â f {xi < x} l  sè c¡c gi¡ trà m¨u xi m  nhä hìn x. Khi x thay êi, ta nhªn ÷ñc h m Fn (x) theo bi¸n sè thüc x. H m sè n y ÷ñc gåi l  h m ph¥n phèi thüc nghi»m. Xu§t ph¡t tø c¡c m¨u cö thº kh¡c nhau ta nhªn ÷ñc c¡c h m ph¥n phèi thüc nghi»m kh¡c nhau. ç thà cõa chóng ·u l  c¡c ÷íng bªc thang. C¡c ÷íng bªc thang kh¡c nhau ·u câ chung mët t½nh ch§t l : Khi cï m¨u t«ng væ h¤n c¡c h m ph¥n phèi thüc nghi»m ti¸n ¸n h m ph¥n phèi lþ thuy¸t c¦n t¼m. 1.1.2 Giîi thi»u v· copula ành ngh¾a 1.1.1. Gi£ sû S , . . . , S l  c¡c tªp con khæng réng cõa R, ð ¥y R ÷ñc kþ hi»u l  ÷íng th¯ng thüc mð rëng [−∞, +∞]. Gi£ sû H l  mët h m thüc vîi n bi¸n tr¶n mi·n x¡c ành DomH = S1 × · · · × Sn v  cho a ≤ b (trong â a = (a1 , . . . , an ), b = (b1 , . . . , bn ) v  ak ≤ bk vîi måi k = 1, n), gi£ sû B = [a, b] = [a1 , b1 ] × · · · × [an , bn ] l  mët n-hëp câ c¡c ¿nh trong DomH . Ta ành ngh¾a thº t½ch-H cõa B l : X VH (B) = sgn(c)H(c) 1 n trong â c ch¤y tr¶n c¡c ¿nh cõa B, v  sgn(c) l  d÷ìng n¸u trong c¡c tåa ë cõa nâ câ mët sè ch®n c¡c ck = ak vîi måi k , v  l  ¥m trong tr÷íng hñp ng÷ñc l¤i. Nâi c¡ch kh¡c, thº t½ch-H cõa mët n-hëp B = [a, b] l : VH (B) = ∆ba H(t) = ∆bann . . . ∆ba11 H(t) trong â ∆bakk H(t) = H(t1 , . . . , tk−1, bk , tk+1 , . . . , tn ) − H(t1 , . . . , tk−1 , ak , tk+1, . . . , tn ). 2 Ch¯ng h¤n, n¸u H(x1 , . . . , xn ) = P (X1 ≤ x1 , . . . , Xn ≤ xn ) l  h m ph¥n phèi x¡c su§t çng thíi cõa mët bë n bi¸n ng¨u nhi¶n X1 , . . . , Xn th¼ ta câ: VH (B) = P (a1 ≤ X1 ≤ b1 , . . . , an ≤ Xn ≤ bn ). ành ngh¾a 1.1.2. H m thüc H cõa n bi¸n ÷ñc gåi l  n-t«ng n¸u V ≥ 0 cho måi n-hëp B câ c¡c ¿nh n¬m trong mi·n x¡c ành DomH hay câ thº nâi thº t½ch cõa nâ tr¶n hëp b§t ký l  khæng ¥m. H (B) Gi£ sû mi·n x¡c ành cõa mët h m thüc H vîi n bi¸n x¡c ành bði DomH = S1 × · · · × Sn , ð â méi Sk câ mët ph¦n tû nhä nh§t ak . Chóng ta nâi r¬ng H câ ¡y (ground) n¸u H(t) = 0 vîi måi t trong DomH sao cho tk = ak t¤i sè k b² nh§t. N¸u méi Sk kh¡c réng v  câ ph¦n tû lîn nh§t bk , th¼ H câ ph¥n phèi bi¶n duy¶n v  ph¥n phèi bi¶n duy¶n mët chi·u cõa H l  h m Hk vîi DomHk = Sk v  vîi Hk (x) = H(b1 , . . . , bk−1 , x, bk+1 , . . . , bn ) vîi x ∈ Sk , ph¥n phèi bi¶n duy¶n mët-chi·u gåi l  ph¥n phèi bi¶n duy¶n. ành lþ 1.1.1. Gi£ sû S1 , . . . , Sk l  c¡c tªp kh¡c réng cõa R, v  gi£ sû h m H câ ¡y n-t«ng vîi mi·n x¡c ành S1 × · · · × Sn . Th¼ H l  t«ng theo méi èi sè, tùc l  n¸u (t1 , . . . , tk−1 , x, tk+1 , . . . , tn ) v  (t1 , . . . , tk−1, y, tk+1, . . . , tn ) n¬m trong mi·n x¡c ành DomH v  x ≤ y , th¼ H(t1 , . . . , tk−1 , x, tk+1 , . . . , tn ) ≤ H(t1 , . . . , tk−1 , y, tk+1, . . . , tn ). ành lþ 1.1.2. Gi£ sû S , . . . , S 1 k l  c¡c tªp kh¡c réng cõa R, v  gi£ sû h m H câ ¡y n-t«ng vîi ph¥n phèi bi¶n duy¶n v  mi·n x¡c ành S1 × · · · × Sn . Khi â, n¸u b§t ký iºm x = (x1 , . . . , xn ) v  y = (y1 , . . . , yn ) trong S1 × . . . × Sn th¼: |H(x) − H(y)| ≤ n X k=1 |Hk (xk ) − Hk (yk )|. ành ngh¾a 1.1.3. Mët h m ph¥n phèi n-chi·u l  mët h m H vîi mi·n x¡c ành n R sao cho H câ ¡y, n-t«ng v  H(+∞, . . . , +∞) = 1. Tø ành lþ 1.1.1 v  ành ngh¾a 1.1.3 th¼ bi¶n duy¶n cõa mët h m ph¥n phèi n-chi·u l  mët h m ph¥n phèi, m  chóng ta kþ hi»u F1 , . . . , Fn . 1.1.3 Mët v i ành ngh¾a v  t½nh ch§t cõa copula C¡c copula N chi·u l  c¡c h m N bi¸n tø [0, 1]N v o [0, 1], v  h m copula l  mët h m ph¥n phèi nhi·u chi·u (multivariate distribution function) x¡c ành tr¶n h¼nh lªp ph÷ìng ìn và IN = [0, 1]N , nâ thº hi»n sü phö thuëc v o nhau cõa mët bë N bi¸n ng¨u nhi¶n. C¡c copula l  c¡c h m °c bi»t vîi nhi·u t½nh ch§t thó và, v  khi ta bi¸t copula th¼ công câ thº t½nh to¡n ÷ñc sü phö thuëc cõa c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n tr¶n hi»p ph÷ìng sai (covariance) v  sü t÷ìng quan (correlation). ành ngh¾a 1.1.4. (Nelsen (1998), trang 39) Mët Copula N -chi·u l  mët h m C vîi nhúng t½nh ch§t sau: 1. Mi·n x¡c ành (domain) cõa h m C : DomC = IN = [0, 1]N ; 3 2. H m C câ ¡y (ground) v  h m N -t«ng; 3. H m C câ c¡c bi¶n duy¶n Cn , thäa m¢n Cn (u) = C(1, . . . , 1, u, 1, . . . , 1) = u, ∀u ∈ I. Chó þ r¬ng b§t ký N -copula C , N ≥ 3, méi ph¥n phèi bi¶n duy¶n k -chi·u cõa C l  k -copula. Nâi mët c¡ch kh¡c, mët N -copula l  mët h m C tø [0, 1]N v o [0, 1] vîi nhúng t½nh ch§t sau: 1. Méi u ∈ [0, 1]N , C(u) = 0 n¸u mët tåa ë nhä nh§t cõa u l  0 v  C(u) = uk n¸u t§t c£ c¡c tåa ë cõa u b¬ng 1 trø ra uk . 2. Méi a v  b trong [0, 1]N sao cho ai ≤ bi vîi måi i, VC ([a, b]) ≥ 0. Mët copula t÷ìng ùng công l  mët h m vîi nhúng t½nh ch§t ri¶ng. Trong tr÷íng hñp ri¶ng, do t½nh ch§t 2, v  3, ImC = I, v  C công l  ph¥n phèi ·u nhi·u chi·u. N¸u F1 , . . . , FN l  c¡c h m ph¥n phèi mët chi·u th¼ C(F1 (x1 ), . . . , Fn (xn ), . . . , FN (xN )) l  h m ph¥n phèi nhi·u chi·u vîi ph¥n phèi bi¶n duy¶n F1 , . . . , FN , bði v¼ un = Fn (xn ) l  mët bi¸n ng¨u nhi¶n vîi ph¥n phèi ·u. H m copula l  mët cæng cö th½ch hñp º x¥y düng ph¥n phèi nhi·u chi·u. ành lþ 1.1.3. Gi£ sû C l  mët N -copula. Khi â vîi méi u v  v trong [0, 1] N |C(v) − C(u)| ≤ N X k=1 : |vk − uk | hìn núa C l  li¶n töc ·u tr¶n [0, 1]N . ành lþ 1.1.4. (ành lþ Sklar [1959]) Cho F l  mët h m ph¥n phèi N -chi·u vîi ph¥n phèi bi¶n duy¶n li¶n töc F1 , . . . , FN . Khi â F câ mët biºu di¹n copula duy nh§t: F (x1 , . . . , xn , . . . , xN ) = C(F1 (x1 ), . . . , Fn (xn ), . . . , FN (xN )). (1.2) Þ t÷ðng cõa ành lþ Sklar l  èi vîi mët v²ctì ng¨u nhi¶n N -chi·u, th¼ ph¦n phö thuëc giúa c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n trong â ÷ñc x¡c ành bði copula v  câ thº ÷ñc t¡ch ríi nâ ra khäi ph¦n c¡c ph¥n phèi bi¶n duy¶n (hai ph¦n n y k¸t hñp vîi nhau th¼ cho ph¥n phèi chung N -chi·u). Do vªy ành lþ Sklar r§t l  quan trång, bði v¼ nâ cung c§p c¡ch ph¥n t½ch c§u tróc phö thuëc cõa ph¥n phèi nhi·u chi·u m  khæng nghi¶n cùu ph¥n phèi bi¶n duy¶n. Gi£ sû F l  h m ph¥n phèi mët chi·u, chóng ta ành ngh¾a h m ng÷ñc cõa F l  F −1 (t) = inf{x ∈ R|F (x) ≥ t} vîi t ∈ [0, 1], quy ÷îc inf ∅ = −∞. ành lþ 1.1.5. Gi£ sû H l  h m ph¥n phèi n-chi·u vîi ph¥n phèi bi¶n duy¶n li¶n töc F1 , . . . , Fn v  copula C , (ð ¥y C thäa m¢n i·u ki»n (1.2) ). Khi â b§t ký u trong [0, 1]n C(u1 , . . . , un ) = H(F1−1 (u1 ), . . . , Fn−1 (un )). 4 V½ dö 1.1.1. Chóng ta x²t h m ph¥n phèi Gumbel logistic hai chi·u F (x , x ) = (1+ 1 2 2 e−x1 +e−x2 )−1 . Chóng ta câ thº th§y R , ÷ñc x¡c ành tr¶n R−x R r¬ng ph¥n phèi bi¶n duy¶n l  F1 (x1 ) = R F (x1 , x2 )dx2 = (1+e 1 )−1 v  F2 (x2 ) = R F (x1 , x2 )dx1 = (1+e−x2 )−1 . H m copula t÷ìng ùng: C(u1 , u2 ) = F (F1−1 (u1), F2−1 (u2 )) = u1 u2 . u1 + u2 − u1 u2 (1.3) Tuy nhi¶n, khæng ph£i lóc n o ta công luæn d¹ d ng º nhªn ra mët copula. Thüc vªy, nhi·u b i to¡n t i ch½nh, khæng sû döng cho ph¥n phèi nhi·u chi·u nh÷ng bao gçm c¡c k¸t luªn mët ph¥n phèi th½ch hñp º mæ t£ mët sü vi»c, ch¯ng h¤n li¶n h» giúa lñi su§t cõa c¡c t i s£n kh¡c nhau. Trong nhi·u ùng döng, ph¥n phèi ÷ñc gi£ ành l  ph¥n phèi gauss nhi·u chi·u ho°c mët ph¥n phèi loga-chu©n º d¹ t½nh to¡n, ngay c£ n¸u gi£ ành gauss th÷íng khæng th½ch hñp. Trong tr÷íng hñp â ng÷íi ta dòng copula l  mët cæng cö. Mæ h¼nh b i to¡n câ thº ÷ñc chia th nh hai b÷îc: *B÷îc thù nh§t: çng nh§t cõa c¡c ph¥n phèi bi¶n duy¶n (marginal distribution) *B÷îc thù hai: Sû döng nhúng ành ngh¾a th½ch hñp cõa copula º biºu di¹n c§u tróc sü phö thuëc trong cæng thùc. º minh håa iºm n y, chóng ta x²t v½ dö cõa thà tr÷íng trao êi kim lo¤i London (dú li»u l§y tr¶n web site http://www.Ime.co.uk). V½ dö 1.1.2. Chóng ta sû döng dú li»u cõa thà tr÷íng trao êi kim lo¤i London: LME (London Metal Exchange) v  chóng ta x²t gi¡ hi»n câ cõa h ng hâa hñp kim nhæm (Al); çng (Cu); ni-ken (Ni); ch¼ (Pb) v  gi¡ cõa hñp kim nhæm 15 th¡ng tr÷îc (Al - 15), v o th¡ng 1 n«m 1988. Chóng ta gi£ thi¸t r¬ng ph¥n phèi lñi su§t cõa c¡c t i s£n l  ph¥n phèi gauss. Trong tr÷íng hñp n y, ma trªn t÷ìng quan ÷ñc cho bði b£ng 1.1. Al Al-15 Cu Ni Pb Al 1.00 Al-15 Cu 0.82 0.44 1.00 0.39 1.00 Ni 0.36 0.34 0.37 1.00 Pb 0.33 0.30 0.31 0.31 1.00 B£ng 1.1: Ma trªn t÷ìng quan ρ cõa dú li»u LME H¼nh 1.1 biºu di¹n biºu ç t¡n x¤ lñi su§t cõa Al v  Cu, t÷ìng ùng cho gauss 2-chi·u, covariance ellipse èi vîi ë tin cªy 95% v  99% v  x¡c su§t h m mªt ë. H¼nh 1.2 chùa h¼nh chi¸u cõa si¶u ellipse 5-chi·u cho lñi su§t t i s£n. Vîi gi£ thi¸t ph¥n phèi gauss nâi chung l  cùng nh­c bði v¼ bi¸n cè th÷íng hi¸m khi x£y ra ð si¶u ph¯ng (ta th§y ph½a ngo i ÷íng covariance ellipse cho mùc tin cªy 99.99% tr¶n h m mªt ë cõa h¼nh 1.1). H¼nh 1.3 l  mët biºu ç QQ cõa lþ thuy¸t mùc tin cªy tr¡i ng÷ñc mùc tin cªy theo thüc nghi»m cõa sai sè ellipse. i·u â cho th§y gi£ thi¸t gauss ch÷a õ. Trong nhúng ph¦n sau, ta s³ tr¼nh b y sü phö thuëc v  mèi li¶n h» vîi copula. 5 B¥y gií, ta tr¼nh b y mët v i t½nh ch§t c¦n thi¸t º hiºu v· copula nh÷ th¸ n o v  t¤i sao chóng l  mët cæng cö hay ¸n nh÷ vªy. Mët trong nhúng t½nh ch§t cì b£n l  s­p x¸p thù tü phò hñp. H¼nh 1.1: Gi£ thi¸t gauss (I) H¼nh 1.2: Gi£ thi¸t gauss (II) 6 H¼nh 1.3: QQ ç thà cõa covariance ellipse 1.1.4 C¡c h m ph¥n phèi çng thíi Fr²chet-Hoeffding Chóng ta x²t c¡c h m C − , C + v  C ⊥ x¡c ành tr¶n [0, 1]N nh÷ sau: N X un − N + 1, 0) (1.4) C (u1 , . . . , un , . . . , uN ) = min(u1 , . . . , un , . . . , uN ) (1.5) C − (u1 , . . . , un , . . . , uN ) = max( n=1 + ⊥ C (u1 , . . . , un , . . . , uN ) = N Y un (1.6) n=1 H m ph¥n phèi çng thíi C − , C + gåi l  c¡c cªn d÷îi v  cªn tr¶n Fr²chet-Hoeffding, cán h m C ⊥ gåi l  t½ch copula. H m C + , C ⊥ l  N - copula vîi måi N ≥ 2, trong khi h m C − khæng l  copula cho b§t ký N ≥ 3, x²t v½ dö: V½ dö 1.1.3. X²t n-h¼nh lªp ph÷ìng [1/2, 1] n ⊂ [0, 1]n : VC − ([1/2, 1]n ) = max(1 + · · · + 1 − n + 1, 0) − n max(1/2 + 1 + · · · + 1 − n + 1, 0)   n max(1/2 + 1/2 + 1 + · · · + 1 − n + 1, 0) + 2 ··· + max(1/2 + · · · + 1/2 − n + 1, 0) = 1 − n/2 + 0 + · · · + 0. 7 Do â C − khæng l  copula cho n ≥ 3 ành ngh¾a 1.1.5. Chóng ta nâi r¬ng copula C l  nhä hìn copula C2 (ho°c C2 l  lîn hìn C1 ) v  vi¸t l  C1 ≺ C2 (ho°c C2  C1 ) n¸u: 1 ∀(u1 , . . . , un , . . . , uN ) ∈ IN , C1 (u1 , . . . , un , . . . , uN ) ≤ C2 (u1 , . . . , Cn , . . . , CN ) (1.7) hay ∀(u1 , . . . , un , . . . , uN ) ∈ IN , C 1 (u1 , . . . , un , . . . , uN ) ≤ C 2 (u1 , . . . , un , . . . , uN ) Ch¯ng h¤n tr÷íng hñp hai chi·u: C1 (u1 , u2 ) ≤ C2 (u1 , u2) ⇔ 1 − u1 − u2 + C1 (u1 , u2) ≤ 1 − u1 − u2 + C2 (u1 , u2) ⇔ C1 (u1 , u2 ) ≤ C(u1 , u2) Chóng ta kþ hi»u C l  h m sèng sât çng thíi (joint survival function) cho n bi¸n ng¨u nhi¶n vîi h m ph¥n phèi çng thíi C , tùc l  n¸u (U1 , . . . , Un )T câ h m ph¥n phèi C , th¼ C(u1 , . . . , un ) = P{U1 > u1 , . . . , Un > un }. ành lþ 1.1.6. Vîi b§t ký n-copula C cè ành n o th¼ méi u ∈ [0, 1] n C − (u) ≤ C(u) ≤ C + (u) ành lþ 1.1.7. B§t ký n ≥ 3 v  måi u ∈ [0, 1] u) th¼: n ·u cho bði (1.8) câ n-copula C (m  phö thuëc tr¶n C(u) = C − (u) Kh¡i ni»m s­p thù tü phò hñp câ thº minh håa vîi v½ dö cõa copula gauss 2-chi·u C(u1 , u2, ρ) = Φρ (Φ−1 (u1 ); Φ−1 (u2 )) (Joe [1997], trang 140). Cho hå n y, chóng ta câ: C − = Cρ=−1 ≺ Cρ<0 ≺ Cρ=0 = C ⊥ ≺ Cρ>0 ≺ Cρ=1 = C + (1.9) Chóng ta câ biºu di¹n copula n y v  copula Fr²chet trong h¼nh 1.4. Mùc ÷íng cong {(u1 , u2) ∈ I2 |C(u1 , u2) = C} câ thº ÷ñc hiºu l  kh¡i ni»m s­p thù tü phò hñp. X²t cæng thùc (1.8) mùc ÷íng cong n¬m trong ph¦n giîi h¤n bði cªn tr¶n v  cªn d÷îi Fr²chet. Trong h¼nh 1.5, chóng ta x²t copula Frank, copula n y ành ngh¾a bði: C(u1 , u2) = (exp(αu1) − 1)(exp(αu2) − 1)  1  ln 1 + α (exp(α) − 1) (1.10) vîi α ∈ R? . Chóng ta th§y rã r ng copula Frank câ thù tü d÷ìng bði tham sè α. Tuy nhi¶n, công chó þ r¬ng t½ch copula Fr²chet d÷îi, Fr²chet tr¶n l  tr÷íng hñp °c bi»t cõa copula Frank khi α ti¸n ¸n −∞, 0 v  +∞. T½nh ch§t n y câ li¶n quan ¸n 8 nhau, bði v¼ trong tr÷íng hñp n y hå c¡c tham sè câ thº phõ to n bë mi·n gi¡ trà phö thuëc. H¼nh 1.4: T½ch copula Fr²chet d÷îi v  Fr²chet tr¶n H¼nh 1.5: Mùc ÷íng cong cõa copula Frank 9 Chó þ 1.1.1. H m mªt ë c li¶n k¸t vîi copula ÷ñc x¡c ành bði : c(u1 , . . . , un , . . . , uN ) = ∂C(u1 , . . . , un , . . . , uN ) . ∂u1 . . . ∂un . . . ∂uN º ¤t ÷ñc h m mªt ë f cõa ph¥n phèi N -chi·u F , chóng ta sû döng h» thùc sau: f (x1 , . . . , xn , . . . , xN ) = c(F1 (x1 ), . . . , Fn (xn ), . . . , Fn (xN )) N Y fn (xn ) n=1 trong â fn l  h m mªt ë cõa h m ph¥n phèi bi¶n duy¶n Fn . 1.1.5 Copula v  bi¸n ng¨u nhi¶n Gi£ sû X1 , . . . , Xn t÷ìng ùng l  c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n vîi c¡c h m ph¥n phèi li¶n töc F1 , . . . , Fn , v  h m ph¥n phèi çng thíi H . Th¼ (X1 , . . . , Xn )T câ duy nh§t mët copula C , ð ¥y C x¡c ành bði (1.2). Copula bi¹u di¹n ph¥n phèi cõa v²ctì ng¨u nhi¶n (X1 , . . . , Xn )T trð th nh: H(x1 , . . . , xn ) = P{X1 ≤ x1 , . . . , Xn ≤ xn } = C(F1 (x1 ), . . . , Fn (xn )) Ph²p bi¸n êi Xi 7→ F (Xi ) sû döng trong biºu di¹n tr¶n th÷íng l  ph²p bi¸n êi x¡c su§t v  t¤o th nh cæng cö chu©n trong ph÷ìng ph¡p mæ phäng. Hìn núa X1 , . . . , Xn l  ëc lªp n¸u v  ch¿ n¸u H(x1 , . . . , xn ) = F1 (x1 ) . . . Fn (xn ) vîi måi x1 , . . . , xn trong R. ành lþ 1.1.8. Gi£ sû (X , . . . , X ) l  mët v²ctì cõa bi¸n ng¨u nhi¶n li¶n töc vîi copula C , khi â X1 , . . . , Xn l  ëc lªp n¸u v  ch¿ n¸u C = C ⊥ . 1 n T Mët t½nh ch§t µp cõa copula ch½nh l  ph²p bi¸n êi ìn i»u ng°t cõa bi¸n ng¨u nhi¶n, copula công l  b§t bi¸n. N¸u h m ph¥n phèi cõa bi¸n ng¨u nhi¶n X l  li¶n töc v  α l  mët h m ìn i»u ng°t m  mi·n x¡c ành chùa mi·n gi¡ trà RanX (mi·n gi¡ trà :Range), th¼ h m ph¥n phèi cõa bi¸n ng¨u nhi¶n α(X) công l  li¶n töc. ành lþ 1.1.9. Gi£ sû (X , . . . , X ) l  mët v²ctì cõa bi¸n ng¨u nhi¶n li¶n töc vîi copula C . N¸u α1 , . . . , αn t«ng ng°t tr¶n RanX1 , . . . , RanXn , th¼ (α1 (X1 ), . . . , αn (Xn ))T công câ copula C . 1 n T Chùng minh: Gi£ sû F1 , . . . , Fn t÷ìng ùng kþ hi»u l  h m ph¥n phèi cõa X1 , . . . , Xn v  gi£ sû G1 , . . . , Gn t÷ìng ùng kþ hi»u l  ph¥n phèi cõa α1 (X1 ), . . . , αn (Xn ). Gi£ sû X1 , . . . , Xn câ copula C v  gi£ sû (α1 (X1 ), . . . , αn (Xn ))T câ copula Cα . Tø â αk l  t«ng ng°t vîi méi k , Gk (x) = P{αk (Xk ) ≤ x} = P{Xk ≤ αk−1 (x)} = Fk (αk−1 (x)) cho b§t ký x trong R, tø â: Cα (G1 (x1 ), . . . , Gn (xn )) = P{α1 (X1 ) ≤ x1 , . . . , αn (Xn ) ≤ xn } = P{X1 ≤ α1−1 (x1 ), . . . , Xn ≤ αn−1 (xn )} = C(F1 (α1−1 (x1 )), . . . , Fn (αn−1 (xn ))) = C(G1 (x1 ), . . . , Gn (xn )) 10 Tø â X1 , . . . , Xn l  li¶n töc, RanG1 = . . . = RanGn = [0, 1]. Hìn núa Cα = C tr¶n [0, 1]n . Tø ành lþ 1.1.4, chóng ta bi¸t r¬ng h m copula C t¡ch ÷ñc mët h m ph¥n phèi n-chi·u tø ph¥n phèi bi¶n duy¶n mët chi·u. ành lþ sau chùng tä r¬ng công câ mët h m copula Ĉ , t¡ch mët h m sèng sât (survival function) n-chi·u tø ph¥n phèi bi¶n duy¶n mët chi·u. Hìn núa h m n y công chùng tä l  mët h m copula. ành lþ 1.1.10. Gi£ sû (X , . . . , X ) l  mët v²ctì cõa bi¸n ng¨u nhi¶n li¶n töc vîi copula CX1 ,...,Xn . Gi£ sû α1 , . . . , αn t÷ìng ùng ìn i»u ng°t tr¶n RanX1 , . . . , RanXn , v  gi£ sû (α1 (X1 ), . . . , αn (Xn ))T câ copula Cα1 (X1 ),...,αn (Xn ) . Hìn núa αk gi£m ng°t cho mët v i k (khæng m§t t½nh têng qu¡t gi£ sû k = 1). Khi â: 1 n T Cα1 (X1 ),...,αn (Xn ) (u1 , u2, . . . , un ) = Cα2 (X2 ),...,αn (Xn ) (u2 , . . . , un ) − CX1 ,α2 (X2 ),...,αn (Xn ) (1 − u1 , u2 , . . . , un ). Chùng minh: Gi£ sû X1 , . . . , Xn t÷ìng ùng câ h m ph¥n phèi F1 , . . . , Fn v  gi£ sû α1 (X1 ), . . . , αn (Xn ) t÷ìng ùng câ h m ph¥n phèi G1 , . . . , Gn . Th¼: Cα1 (X1 ),α2 (X2 ),...,αn (Xn ) (G1 (X1 ), . . . , Gn (Xn )) = P{α1 (X1 ) ≤ x1 , . . . , αn (Xn ) ≤ xn } = P{X1 > α1−1 (x1 ), α2 (X2 ) ≤ x2 , . . . , αn (Xn ) ≤ xn } = P{α2 (X2 ) ≤ x2 , . . . , αn (Xn ) ≤ xn } − P{X1 ≤ α1−1 (x1 ), α2 (X2 ) ≤ x2 , . . . , αn (Xn ) ≤ xn } = Cα2 (X2 ),...,αn (Xn ) (G2 (X2 ), . . . , Gn (Xn )) − CX1 ,α2 (X2 ),...,αn (Xn ) (F1 (α1−1 (x1 )), G2 (x2 ), . . . , Gn (xn )) = Cα2 (X2 ),...,αn (Xn ) (G2 (X2 ), . . . , Gn (Xn )) − CX1 ,α2 (X2 ),...,αn (Xn ) (1 − G1 (x1 ), G2 (x2 ), . . . , Gn (xn )). Tø â ta câ i·u ph£i chùng minh. V½ dö 1.1.4. X²t tr÷íng hñp hai chi·u: Gi£ sû α1 gi£m nghi¶m ng°t tr¶n RanX1 , α2 t«ng nghi¶m ng°t tr¶n RanX2 .Th¼ Cα1 (X1 ),α2 (X2 ) (u1 , u2) = u2 − CX1 ,α2 (X2 ) (1 − u1 , u2 ) = u2 − CX1 ,X2 (1 − u1 , u2 ). Gi£ sû α1 v  α2 gi£m nghi¶m ng°t. Th¼: Cα1 (X1 ),α2 (X2 ) (u1 , u2 ) = u2 − CX1 ,α2 (X2 ) (1 − u1 , u2) = u2 − (1 − u1 − CX1 ,X2 (1 − u1 , 1 − u2 )) = u1 + u2 − 1 + CX1 ,X2 (1 − u1 , 1 − u2 ). Ð ¥y (X1 , X2 )T l  v²ctì cõa bi¸n ng¨u nhi¶n li¶n töc vîi copula Ĉ t¡ch tø h m sèng sât Cα1 (X1 ),α2 (X2 ) tùc l : H(x1 , x2 ) = P{X1 > x1 , X2 > x2 } = Ĉ(F 1 (x1 ), F 2 (x2 )). 11 Chó þ r¬ng h m sèng sât çng thíi vîi n bi¸n ng¨u nhi¶n U(0, 1) câ h m ph¥n phèi çng thíi l  copula C th¼ C(u1 , . . . , un ) = Ĉ(1 − u1 , . . . , 1 − un ). 1.2 C¡c kh¡i ni»m sü phö thuëc Copula cung c§p mët c¡ch thùc nghi¶n cùu tü nhi¶n ë o sü phö thuëc giúa c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n. Chóng ta công bi¸t mët h» qu£ cõa copula câ t½nh ch§t b§t bi¸n d÷îi qua ph²p bi¸n êi t«ng nghi¶m ng°t cõa c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n. T÷ìng quan tuy¸n t½nh th÷íng xuy¶n ÷ñc ¡p döng nh÷ ë o phö thuëc. Tuy nhi¶n, t÷ìng quan tuy¸n t½nh khæng l  copula-cì sð ë o sü phö thuëc. Tr÷îc h¸t chóng ta nh­c l¤i t½nh ch§t cì b£n cõa t÷ìng quan tuy¸n t½nh v  mët v i ë o sü phö thuëc cì sð cõa copula. 1.2.1 T÷ìng quan tuy¸n t½nh ành ngh¾a 1.2.1. Gi£ sû (X, Y ) l  mët v²ctì cõa c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n vîi c¡c ph÷ìng sai húu h¤n kh¡c khæng. H» sè t÷ìng quan tuy¸n t½nh cho (X, Y )T l : T ρ(X, Y ) = p Cov(X, Y ) p V ar(X) V ar(Y ) ð ¥y Cov(X, Y ) = E(XY )−E(X)E(Y ) l  hi»p ph÷ìng sai (covariance) cõa (X, Y )T , v  V ar(X) v  V ar(Y ) l  c¡c ph÷ìng sai cõa X v  Y. T÷ìng quan tuy¸n t½nh l  mët ë o sü phö thuëc tuy¸n t½nh. Trong tr÷íng hñp cõa t÷ìng quan tuy¸n t½nh ¦y õ, tùc l  Y = aX + b vîi a ∈ R\{ 0}, b ∈ R, chóng ta câ |ρ(X, Y )| = 1. M°t kh¡c, −1 < ρ(X, Y ) < 1, t÷ìng quan tuy¸n t½nh câ t½nh ch§t r¬ng: ρ(αX + β, γY + δ) = sign(αγ)ρ(X, Y ) α, γ ∈ R\{ 0}, δ ∈ R. Hìn núa t÷ìng quan tuy¸n t½nh l  b§t bi¸n d÷îi qua ph²p bi¸n êi tuy¸n t½nh t«ng nghi¶m ng°t. T÷ìng quan tuy¸n t½nh d¹ d ng thao t¡c vîi ph²p to¡n tuy¸n t½nh d÷îi. Gi£ sû A, B l  c¡c ma trªn cï m × n; a, b ∈ Rm , v  gi£ sû X, Y l  n-v²ctì ng¨u nhi¶n. Th¼: Cov(AX + a, BY + b) = ACov(X, Y )B T tø ¥y vîi α ∈ R V ar(αT X) = αT Cov(X)α ð ¥y Cov(X) := Cov(X, X). Hìn núa ph÷ìng sai cõa tê hñp tuy¸n t½nh l  ho n to n x¡c ành bði c°p hi»p ph÷ìng sai (covariance) giúa c¡c th nh ph¦n, mët lþ thuy¸t quan trång trong danh möc ¦u t÷. 1.2.2 ë o sü t÷ìng th½ch Gi£ sû (x, y)T v  (x̃, ỹ)T l  hai quan s¡t tø mët v²ctì ng¨u nhi¶n li¶n töc (X, Y )T . Khi â (x, y)T v  (x̃, ỹ)T l  t÷ìng th½ch n¸u (x − x̃)(y − ỹ) > 0, v  khæng t÷ìng th½ch n¸u (x − x̃)(y − ỹ) < 0. 12 ành lþ 1.2.1. Gi£ sû (X, Y ) v  (X̃, Ỹ )T l  c¡c v²c tì ëc lªp cõa c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n li¶n töc vîi h m ph¥n phèi çng thíi H v  H̃ vîi bi¶n duy¶n chung F (cõa X v  X̃ ) v  G (cõa Y v  Ỹ ). Gi£ sû C v  C̃ ÷ñc kþ hi»u l  copula cõa (X, Y )T v  (X̃, Ỹ )T , t÷ìng ùng, sao cho H(x, y) = C(F (x), G(y)) v  H̃(x, y) = C̃(F (x), G(y)), Q kþ hi»u l  hi»u sè giúa hai x¡c su§t sü t÷ìng th½ch v  sü khæng t÷ìng th½ch cõa (X, Y )T v  (X̃, Ỹ )T , tùc l  : T Q = P{(X − X̃)(Y − Ỹ ) > 0} − P{(X − X̃)(Y − Ỹ ) < 0} th¼ Q = Q(C, C̃) = 4 ZZ [0,1]2 C̃(u, v)dC(u, v) − 1. Chùng minh: Do c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n l  li¶n töc, P{(X − X̃)(Y − Ỹ ) < 0} = 1 − P{(X − X̃)(Y − Ỹ ) > 0} v  tø â Q = 2P{(X − X̃)(Y − Ỹ ) > 0} − 1. Nh÷ng P{(X − X̃)(Y − Ỹ ) > 0} = P{X > X̃, Y > Ỹ } + P{X < X̃, Y < Ỹ }, v  x¡c su§t câ thº ÷ñc ÷îc l÷ñng b¬ng c¡ch l§y t½ch ph¥n tr¶n.Ta câ: P{X > X̃, Y > Ỹ } = P{X̃ < X, Ỹ < Y } ZZ = P{X̃ < x, Ỹ < y}dC(F (x), G(y)) 2 R ZZ = C̃(F (x), G(y)) d(F (x), G(y)). R2 Sû döng ph²p bi¸n êi x¡c su§t-t½ch ph¥n: u = F (x) v  v = G(y) ta ÷ñc ZZ P{X > X̃, Y > Ỹ } = C̃(u, v) dC(u, v). [0,1]2 T÷ìng tü: P{X < X̃, Y < Ỹ } = = = ZZ 2 Z ZR 2 Z ZR {X̃ > x, Ỹ > y} dC(F (x), G(y)) {1 − F (x) − G(y) + C̃(F (x), G(y))} dC(F (x), G(y)) [0,1]2 {1 − u − v + C̃(u, v)} dC(u, v). Nh÷ng v¼ C l  h m ph¥n phèi çng thíi cõa v²ctì (U, V )T cõa bi¸n ng¨u nhi¶n câ ph¥n phèi ·u U(0, 1), E(U) = E(V ) = 1/2, v  tø â ZZ ZZ 1 1 C̃(u, v) dC(u, v) = C̃(u, v) dC(u, v). P{X < X̃, Y < Ỹ } = 1 − − + 2 2 [0,1]2 [0,1]2 Do â: P{(X − X̃)(Y − Ỹ ) > 0} = 2 ZZ C̃(u, v) dC(u, v) [0,1]2 v  chóng ta câ k¸t luªn sau: Gi£ sû C, C̃, v  Q ÷ñc x¡c ành nh÷ bði ành lþ tr¶n, khi â: 13 1. Q l  èi xùng: Q(C, C̃) = Q(C̃, C); 2. Q khæng gi£m: n¸u C ≺ C 0 , th¼ Q(C, C̃) ≤ Q(C 0 , C̃); 3. Copula câ thº ÷ñc thay th¸ bði copula sèng sât trong Q, tùc l : Q(C, C̃) = ˆ . Q(Ĉ, C̃) ành ngh¾a 1.2.2. (Nelsen (1998), trang 136) Mët ë o κ li¶n k¸t giúa hai bi¸n ng¨u nhi¶n li¶n töc X1 v  X2 cõa copula C l  mët ë o sü t÷ìng th½ch n¸u nâ thäa m¢n c¡c t½nh ch§t sau: 1, κ ÷ñc ành ngh¾a cho måi c°p X1 , X2 cõa bi¸n ng¨u nhi¶n li¶n töc; 2, −1 = κX,−X ≤ κC ≤ κX,X = 1; 3, κX1 ,X2 = κX2 ,X1 ; 4, N¸u X1 , X2 l  ëc lªp, th¼ κX1 ,X2 = κC ⊥ = 0; 5, κ−X1 ,X2 = κX2 ,−X1 = −κX1 ,X2 ; 6, N¸u C1 ≺ C2 , th¼ κC1 ≤ κC2 ; 7, N¸u { (X1,n ; X2,n )} l  mët d¢y bi¸n ng¨u nhi¶n li¶n töc vîi copula Cn , v  n¸u {Cn } hëi tö theo tøng iºm tîi C , th¼ lim κCn = κC . n→∞ Chó þ 1.2.1. Mët t½nh ch§t quan trång kh¡c cõa κ trð th nh h m copula cõa c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n (X1 , ..., Xn , ..., XN ) l  b§t bi¸n d÷îi, t«ng thüc sü qua ph²p ¡nh x¤ CX1 ,...,Xn ,...,XN = Ch1 (X1 ),...,hn (Xn ),...,hN (XN ) n¸u ∂x hn (x) > 0. (1.11) Trong sè t§t c£ ë o sü t÷ìng th½ch, ba ë o âng vai trá quan trång trong thèng k¶ khæng câ tham bi¸n: τ cõa Kendall, ρ cõa Spearman v  γ cõa Gini. T§t c£ chóng ÷ñc biºu di¹n d÷îi d¤ng copula (Schweitzer v  Wolff [1981]), v  chóng ta câ: ZZ τ =4 C(u1 , u2)dC(u1 , u2) − 1 (1.12) I2 ZZ ρ = 12 u1 u2 dC(u1, u2 ) − 3 I2 ZZ γ=2 (|u1 + u2 − 1| − |u1 − u2 |)dC(u1, u2 ) I2 (1.13) (1.14) Chóng ta ÷a ra mët v i h» thùc giúa ë o τ v  ρ (Nelsen [1998]), nâ câ thº ÷ñc biºu di¹n b¬ng mët mi·n bà ch°n (h¼nh 1.6). Trong h¼nh 1.7 v  h¼nh 1.8 chóng ta câ biºu ç k¸t nèi giúa c¡c ë o τ, ρ v  γ cho c¡c copula kh¡c. Ch¯ng h¤n, n¸u khæng ph¥n t½ch ÷ñc biºu thùc, ta s³ t½nh to¡n vîi cæng thùc t÷ìng ÷ìng: ZZ τ =1−4 (1.15) ∂u1 C(u1 , u2 )∂u2 C(u1, u2 )du1 du2 I2 ZZ ρ = 12 C(u1, u2 )du1 du2 − 3 I2 Z γ = 4 (C(u, u) + C(u, 1 − u) − u)du I 14 (1.16) (1.17) Chóng ta chó þ r¬ng c¡c h» thùc l  gièng nhau. Tuy vªy, mët v i copula khæng H¼nh 1.6: Mi·n bà ch°n bði τ v  ρ H¼nh 1.7: Quan h» giúa τ, ρ v  γ cho mët v i h m copula (I) phõ to n bë mi·n [−1, 1]. Ch¯ng h¤n, c¡c copula Kimeldorf - Sampson, Gumbel, 15 Galambos v  H usler - Reiss phõ tr¶n mi·n [0, 1]. H¼nh 1.8: Quan h» giúa τ, ρ v  γ cho mët v i h m copula (II) 1.2.3 ë o sü phö thuëc ành ngh¾a 1.2.3. (Nelsen (1998), trang [170]) Mët ë o δ li¶n k¸t giúa hai bi¸n ng¨u nhi¶n li¶n töc X1 v  X2 cõa copula l  ë o sü phö thuëc n¸u nâ thäa m¢n c¡c t½nh ch§t sau: 1, δ ÷ñc ành ngh¾a cho måi c°p X1 , X2 cõa bi¸n ng¨u nhi¶n li¶n töc; 2. 0 = δC ⊥ ≤ δC ≤ δC + = 1; 3, δX1 ,X2 = δX2 ,X1 ; 4, δX1 ,X2 = δC ⊥ = 0 n¸u v  ch¿ n¸u X1 v  X2 ëc lªp; 5, δX1 ,X2 = δC + = 1 n¸u v  ch¿ n¸u X1 v  X2 l  h m ìn i»u ng°t h¦u ch­c ch­n cõa c¡c bi¸n kh¡c; 6, N¸u h1 v  h2 l  h m ìn i»u ng°t h¦u ch­c ch­n tr¶n ImX1 v  ImX2 th¼ : δh1 (X1 ).h2 (X2 ) = δX1 ,X2 ; 7, N¸u {(X1,n , X2,n )} l  mët d¢y bi¸n ng¨u nhi¶n li¶n töc bði copula Cn hëi tö theo tøng iºm ¸n C , th¼ lim δCn = δC . n→∞ Chóng ta câ hai ë o khæng th÷íng dòng m  thäa m¢n c¡c t½nh ch§t tr¶n (Schweitzer v  Wolff [1981]): ZZ σ = 12 |C(u1, u2 ) − C ⊥ (u1 , u2)|du1 du2 (1.18) I2 16
- Xem thêm -