PHUØNG VAÊN TOAÙN
Chuyên toán luyện thi ĐH – bồi dưỡng kiến thức 10,11, 12
Tel: 0985.62.99.66
ĐC: Bắc Lãm – Phú Lương – Hà Đông – Hà Nội
www.thaytoan.com
-----------------***------------------
C«ng thøc
TO¸N
(THCS – THPT – LUYỆN THI CĐ – ĐH)
z
c
.
M (a, b, c)
o
a
x
b
y
(Tái bản lần thứ 7)
Họ tên: …………………………………………………
Trường:…………………………………………………
Lớp: …………………………………………………
LỜI NÓI ĐẦU
Với quãng thời gian dài luyện thi Cao Đẳng – Đại Học cho nhiều thế hệ
học sinh, nhận thấy đa số các em cần phải có một cuốn sổ tay để tra cứu cũng
như tổng hợp lại kiến thức môn Toán. Tài liệu này được biên soạn với mong
muốn tổng hợp toàn bộ lượng kiến môn toán thức từ lớp 7 đến lớp 12 được sử
dụng trong kì thi tuyển sinh Cao Đẳng - Đại Học và Tốt nghiệp THPT, những
công thức không được dùng trong hai kỳ thi trên sẽ không được đề cập ở trong
tài liệu này.
Hy vọng rằng quyển sách này sẽ giúp các em học tốt hơn môn Toán
trong nhà trường và mong rằng các em sẽ tìm được sự hứng thú, niềm đam mê
đối với môn học này.
Trong quá trình biên soạn, mặc dù đã rất cố gắng, nhưng tài liệu cũng
không thể tránh khỏi những thiếu sót ngoài ý muốn. Rất mong nhận được sự
đóng góp ý kiến của bạn đọc.
Xin chân thành cám ơn và xin chúc các em luôn đạt được những thành
tích cao trong quá trình học tập của mình!
Biên soạn:
Địa chỉ:
Điện thoại:
Email:
Website:
Facebook:
Phùng Thanh Toán
Bắc Lãm, Phú Lương, Hà Đông, HN
0985.62.99.66
[email protected]
www.thaytoan.com
www.facebook.com./luyenthi24h
MỤC LỤC
STT
TRANG
Phần I - ĐẠI SỐ
1
Giá trị tuyệt đối
2
Tính chất của hai tỉ số bằng nhau
3
Hằng đẳng thức đẳng thức đáng nhớ
4
Căn bậc hai
5
Tam thức bậc hai
6
Hệ phương trình bậc nhất
7
Phương trình – bất phương trình
8
Bất đẳng thức
9
Cấp số cộng – cấp số nhân
10
Tổ hợp – nhị thức Niutơn
11
Công thức lượng giác
12
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
13
Đạo hàm
14
Nguyên hàm
15
Mũ – logarith
16
Số phức
17
Tập hợp số
Phần II - HÌNH HỌC
1
Công thức trong tam giác
2
Công thức trong đường tròn
3
Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
4
Phương pháp tọa độ trong không gian
Phùng Thanh Toán – 0985.62.99.66 – Bắc Lãm – Phú Lương – Hà Đông – Hà Nội
Phần I - ĐẠI SỐ
1) GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Định nghĩa:
x khi x 0
x
x khi x 0
Tính chât:
| x | 0, x R
x x2
a 0 ta có
x a
| x | a
x a
| x | a a x a
2
2) TÍNH CHẤT CỦA HAI TỈ SỐ BẰNG NHAU
Nếu
a c
b d
ma nc
a c a c a c
...
b d b d b d
mb nd
a
c
ab a b
ad bc,
,
ba cd
b
b
thì
3) HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
(a b) 2 a 2 2ab b2
a 2 b 2 (a b)(a b)
(a b) 2 a 2 2ab b2
(a b)3 a3 3a 2b 3ab2 b3
a 3 b3 (a b)(a 2 ab b 2 )
(a b)3 a3 3a 2b 3ab2 b3
a 3 b3 (a b)(a 2 ab b2 )
Các hằng đằng thức mở rộng
(a b c) 2 a 2 b2 c 2 2ab 2bc 2ca
a n 1 (a 1)(a n1 a n2 ... a 1)
a n bn (a b)(a n1 a n2b ... ab n2 bn1 )
4) CĂN BẬC HAI
A có nghĩa khi A 0
Điều kiện xác định:
Tính chất:
A2 A
A 0, A 0
Công thức:
A2 B | A | B với B 0
A 0
AB A. B nếu
B 0
A 0
A
A
nếu
B
B
B 0
A 0
AB A. B nếu
B 0
A 0
A
A
nếu
B
B
B 0
1
Phùng Thanh Toán – 0985.62.99.66 – Bắc Lãm – Phú Lương – Hà Đông – Hà Nội
5) TAM THỨC BẬC HAI
Cho tam thức bậc hai: f ( x) ax 2 bx c (a 0) .
b
2
Đặt
b' ;
' b ' ac
b 2 4 ac ;
2
1) Nghiệm và dấu
0
NGHIỆM f(x)=0
Vô nghiệm
DẤU f(x)
Luôn cùng dấu hệ số a
0
Nghiệm kép x
b
2a
Luôn cùng dấu hệ số a, x
0
Hai nghiệm x1,2
b
2a
Trong khoảng nghiệm trái dấu hệ số a,
ngoài khoảng nghiệm cùng dấu hệ số a
b
2a
Từ đó suy ra
a 0
a 0
f ( x ) 0, x R
f ( x) 0, x R
0
0
a 0
a 0
f ( x ) 0, x R
f ( x ) 0, x R
0
0
2) Định lí Vi - ét
Gọi x1 , x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình ax 2 bx c 0
b
c
Định lý Vi-ét:
S x1 x2
P x1 x2
a
a
Một số trường hợp áp dụng Vi-ét
x12 x22 ( x1 x2 )2 2 x1 x2 S 2 2P
x13 x23 ( x1 x2 )( x12 x1 x2 x22 ) ( x1 x2 ) ( x1 x2 )2 3 x1 x2 S ( S 2 3P )
2
x14 x24 ( x12 x22 ) 2 2( x1 x2 )2 ( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 2( x1 x2 )2 (S 2 2 P) 2 2 P 2
| x1 x2 | ( x1 x2 ) 2 ( x1 x2 ) 2 4 x1 x2 S 2 4 P
3) Dấu của nghiệm
Phương trình bậc hai: ax 2 bx c 0 ( a 0 ) có:
0
- Hai nghiệm cùng dấu
- Hai nghiệm trái dấu P x1 x2 0
P
x
x
0
1 2
0
- Hai nghiệm dương S x1 x2 0
P x .x 0
1 2
4) So sánh nghiệm của phương trình bậc hai
2
0
- Hai nghiệm âm S x1 x2 0
P x .x 0
1 2
Phùng Thanh Toán – 0985.62.99.66 – Bắc Lãm – Phú Lương – Hà Đông – Hà Nội
Cho tam thức bậc hai ax 2 bx c 0 (a 0) và hai số
x1 x2 af ( ) 0
0
x1 x2 af ( ) 0
S
2
af ( ) 0
x1 x2
af ( ) 0
0
x1 x2 af ( ) 0
S
2
af ( ) 0
x1 x2
af ( ) 0
af ( ) 0
x1 x2
af ( ) 0
0
af ( ) 0
x1 x2 af ( ) 0
S
2
6) HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
a x b1 y c1
Xét hệ phương trình bậc nhất hai ẩn 1
a2 x b2 y c2
a b
c b
Đặt: D 1 1 a1b2 a2b1 Dx 1 1 c1b2 c2b1
a2 b2
c2 b2
- Nếu D 0 hệ có nghiệm duy nhất x
Dy
a1
a2
c1
a1c2 a2c1
c2
D
Dx
, y y
D
D
- Nếu D 0
+ Với Dx 0 hoặc Dy 0 thì hệ vô nghiệm
+ Với Dx Dy 0 thì hệ có vô số nghiệm
7) PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1) Phương trình chứa căn
B 0
AB
2
A B
A 0
A B B 0
AB
2) Bất phương trình chứa căn
A 0
A B B 0
A B2
A 0
A BB 0
A B2
3
Phùng Thanh Toán – 0985.62.99.66 – Bắc Lãm – Phú Lương – Hà Đông – Hà Nội
A 0
B 0
A B
A B2
B 0
A 0
B 0
A B
A B2
B 0
B 0
A B
A B
3) Phương trình có dấu giá trị tuyệt đối
B 0
AB
A B A B
A B
4) Bất phương trình có dấu giá trị tuyệt đối
B 0
AB
B A B
B 0
B 0
A B
A B
A B
B 0
AB
B A B
B 0
B 0
A B
A B
A B
A B A2 B 2
5) Phương trình chứa căn và dấu giá trị tuyệt đối
A B A B2
6) Bất phương trình chứa căn và dấu giá trị tuyệt đối
A B A B2
A 0
A B
2
A B
7) Các bất phương trình khác
A0
B 0
A.B 0
A 0, B 0
A 0, B 0
A B A B2
A 0
A B
2
A B
B 0 A
A B
1 1
A 0
A B
B 0
8) BẤT ĐẲNG THỨC
1) Bất đẳng thức Cosi
Cho x, y 0 thì x y 2 xy . Dấu “=” xảy ra x y
4
Phùng Thanh Toán – 0985.62.99.66 – Bắc Lãm – Phú Lương – Hà Đông – Hà Nội
Mở rộng:
Cho x1 , x2 ,..., xn 0 thì x1 x2 ... xn n. n x1 x2 ... xn
Dấu “=” xảy ra x1 x2 ... xn
2) Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
| x|| y| | x y| | x|| y|
| x|| y| | x y| | x|| y|
9) CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Định nghĩa
Số hạng thứ n
3 số hạng liên tiếp
Tổng n số hạng đầu
(un ) là csc, công sai d
un1 un d
(un ) là csn, công bội q
un1 un .q
un u1 d (n 1)
u u
un n1 n1
2
S n u1 u2 ... un
un u1.q n1
n(u1 un )
2
n[2u1 (n 1)d ]
2
10)
un2 un 1.un1
S n u1 u2 ... un
u1
1 qn
1 q
TỔ HỢP – NHỊ THỨC NIUTƠN
Số các hoán vị
Quy ước
Số các chỉnh hợp
Số các tổ hợp
Tính chất của tổ hợp
n 0, n N
Pn n! 1.2.3...n
0! 1
n!
Ank
(n k )!
n!
Ank
k
Cn
k !(n k )! Pk
k n; k , n N
k n; k , n N
Cnk Cnnk
Cnk Cnk 1 Cnk11
n
Nhị thức Niutơn
( a b) n
Tính chất
n k
bk
k 0
1 n 1
n
C a C a b ... Cnk a nk b k ... Cnn 1ab n1 Cnnb n
Số các số hạng trong khai triển là n+1
Số hạng tổng quát Cnk a n k bk
Số hạng thứ k trong khai triển là Cnk 1a nk 1bk 1
0
n
n
k
n
C a
5
Phùng Thanh Toán – 0985.62.99.66 – Bắc Lãm – Phú Lương – Hà Đông – Hà Nội
11)
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Công thức cơ bản
sin 2 x cos 2 x 1
1 tan 2 x
tan x
1
cos 2 x
sin x
cos x
1 cot 2 x
cot x
1
sin 2 x
cos x
sin x
tan x.cot x 1
Công thức nhân đôi
2 tan x
sin 2 x 2sin x.cos x
tan 2 x
1 tan 2 x
cos 2 x 1 2sin 2 x 2cos 2 x 1 cos 2 x sin 2 x
Công thức nhân ba
sin 3 x 3sin x 4sin 3 x
cot 2 x 1
cot 2 x
2cot x
cos3 x 4cos3 x 3cos x
3tan x tan 3 x
3cot x cot 3 x
tan 3 x
cot 3 x
1 3tan 2 x
1 3cot 2 x
sin n 2sin(n 1) .cos sin(n 2)
cos n 2cos(n 1) .cos cos(n 2)
Công thức hạ bậc
1 cos 2 x
sin 2 x
2
3sin x sin 3 x
sin 3 x
4
1
cos
2x
tan 2 x
1 cos 2 x
1 cos 2 x
2
3cos x cos3 x
cos3 x
4
1
cos
2
x
cot 2 x
1 cos 2 x
cos 2 x
Biểu diễn sin x , cos x , tan x , cot x theo t tan
2t
sin x
1 t2
1 t2
cos x
1 t2
x
2
2t
tan x
1 t2
1 t2
cot x
2t
Công thức cộng
6
sin( x y ) sin x.cos y cos x.sin y
cos( x y ) cos x.cos y sin x.sin y
sin( x y ) sin x.cos y cos x.sin y
tan x tan y
tan( x y )
1 tan x.tan y
tan x tan y
tan( x y )
1 tan x.tan y
cos( x y ) cos x.cos y sin x.sin y
cot x.cot y 1
cot( x y )
cot y cot x
cot x.cot y 1
cot( x y )
cot y cot x
Phùng Thanh Toán – 0985.62.99.66 – Bắc Lãm – Phú Lương – Hà Đông – Hà Nội
Công thức biến đổi tích thành tổng
1
sin x.sin y [cos( x y ) cos( x y )]
2
1
sin x.cos y [sin( x y ) sin( x y )]
2
tan x tan y
tan x.tan y
cot x cot y
Công thức biến đổi tổng thành tích
x y
x y
sin x sin y 2sin
cos
2
2
x y
x y
sin x sin y 2cos
sin
2
2
sin( x y )
tan x tan y
cos x.cos y
sin( x y )
tan x tan y
cos x.cos y
1
cos x.cos y [cos( x y ) cos( x y )]
2
1
cos x.sin y sin( x y ) sin( x y )
2
x y
x y
cos
2
2
x y
x y
cos x cos y 2sin
sin
2
2
sin( x y )
cot x cot y
sin x.sin y
sin( y x)
cot x cot y
sin x.sin y
cos x cos y 2cos
Công thức đặc biệt khác
sin x cos x 2 sin x 2 cos x
4
4
sin x cos x 2 sin x 2 cos x
4
4
x
x
1 sin x 2cos 2
1 sin x 2sin 2
4 2
4 2
1 sin 2 x (sin x cos x )2
Các cung liên kết:
Đối: x và -x
sin( x) sin x
tan( x) tan x
Bù: x và x
sin( x) sin x
tan( x) tan x
Phụ: x và x
2
sin x cos x
2
tan x cot x
2
cos( x) cos x
cot( x) cot x
cos( x) cos x
cot( x ) cot x
cos x sin x
2
cot x tan x
2
7
Phùng Thanh Toán – 0985.62.99.66 – Bắc Lãm – Phú Lương – Hà Đông – Hà Nội
:
2
sin x cos x
2
tan x cot x
2
Hơn kém
sin( x) sin x
tan( x ) tan x
Hơn kém
cos x sin x
2
cot x tan x
2
cos( x) cos x
cot( x ) cot x
Công thức nghiệm
x k 2
sin x sin
x k 2
cos x cos x k 2
tan x tan x k
cot x cot x k
Đặc biệt
sin x 0 x k
cos x 0 x
k 2
2
sin x 1 x k 2
2
k
2
cos x 1 x k 2
sin x 1 x
cos x 1 x k 2
Giá trị lượng giác
Góc
Độ
0
Rad
0
Sin
0
Cos
1
Tan
0
Cot
300
6
1
2
3
2
1
3
3
450
4
2
2
2
2
600
3
3
2
1
2
900
2
1200
2
3
3
2
1
2
1350
3
4
2
2
2
2
1
3
- 3
-1
1
1
3
0
-
1
3
-1
1
0
1500
5
6
1
2
3
2
1
3
1800
- 3
Công thức chuyển đổi đơn vị từ 0 sang x radian và ngược lại
0
x
0
x
1800
0
180
8
0
-1
0
Phùng Thanh Toán – 0985.62.99.66 – Bắc Lãm – Phú Lương – Hà Đông – Hà Nội
12)
KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1) Các công thức phụ cần nhớ
Đường thẳng
a) Phương trình đường thẳng
Phương trình đường thẳng với hệ số góc k :
y kx b
Chú ý:
+ Nếu d tạo với chiều dương trục Ox góc :
k d tan
+ Nếu d tạo với trục Ox góc :
kd tan
Phương trình đường thẳng đi qua điểm M ( x0 ; y0 ) , có hệ số góc k:
y k ( x x0 ) y0
x A xB y A y B
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A, B:
x xB
y yB
b) Các công thức khác
Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng : ax by c 0
ax byM c
d M / M
a 2 b2
Cho hai đường thẳng d1 : y k1 x b1 và d2 : y k2 x b2
+)
k k
d1 / / d 2 1 2
b1 b2
d1 d 2 k1.k2 1
+)
Góc giữa hai đường thẳng:
tan
k1 k2
1 k1k2
Vị trí của điểm và đường thẳng
Cho đường thẳng (d ) : ax by c 0 , và hai điểm A( x A ; y A ) , B ( xB ; yB ) . Điều kiện để
hai điểm trên:
Nằm về hai phía trục Ox
y A . yB 0
Nằm về hai phía trục Oy
x A . xB 0
Nằm về hai phía đường thằng d
axA by A c axB byB c 0
Nằm cùng phía trục Ox
y A . yB 0
Nằm cùng phía trục Oy
x A . xB 0
Nằm cùng phía đường thẳng d
axA by A c axB byB c 0
Nằm phía trên trục Ox
Nằm phía dưới trục Ox
Cách đều trục Ox
Cách đều trục Oy
Cách đều đường thẳng d
Cách đều điểm I
y A yB 0
y A . yB 0
y A yB 0
y A . yB 0
| y A || yB |
| x A || xB |
d ( A/d ) d ( B / d )
IA IB
9
Phùng Thanh Toán – 0985.62.99.66 – Bắc Lãm – Phú Lương – Hà Đông – Hà Nội
Đối xứng nhau qua d
Đối xứng nhau qua phân giác I, III
Đối xứng nhau qua phân giác II, IV
Đối xứng nhau qua điểm M
Công thức khác
Góc tạo bởi hai vectơ
I d
AB ud
x A yB
y A xB
x A yB
y A xB
M là trung điểm A, B
u.v
cos u , v
u.v
Định lý hàm cos trong tam giác ABC
AB 2 AC 2 BC 2
cos A
2. AB. AC
Khoảng cách giữa hai điểm A, B
AB ( xB x A )2 ( y B y A )2
2) Tính đơn điệu của hàm số
Định nghĩa: Cho hàm số y f ( x) xác định trên khoảng (a;b).
x x2
Nếu 1
x1 , x2 (a; b) thì f ( x) đồng biến trên (a;b)
f
(
x
)
f
(
x
)
1
2
x x2
Nếu 1
x1 , x2 (a; b) thì f ( x) nghịch biến trên (a;b)
f
(
x
)
f
(
x
)
1
2
Định lý:
Hàm số y f ( x) đồng biến trên đoạn (a;b) khi:
+ Hàm số xác định trên đoạn (a;b)
+ f '( x ) 0 x (a; b ) , dấu “=” xảy ra tại một số điểm hữu hạn điểm (a; b)
Hàm số y f ( x) đồng biến trên đoạn (a;b) khi:
+ Hàm số xác định trên đoạn (a;b)
+ f '( x ) 0 x (a; b ) , dấu “=” xảy ra tại một số điểm hữu hạn điểm (a; b)
Các trường hợp đặc biệt:
ax b
a) Hàm phân thức:
y
cx d
- TXĐ: D R \ d
c
d (a; b)
- Hàm số đồng biến trên (a;b) c
y ' 0
d (a; b)
- Hàm số nghịch biến trên (a;b) c
y ' 0
b) Hàm số bậc 3 :
y ax 3 bx 2 cx d
10
Phùng Thanh Toán – 0985.62.99.66 – Bắc Lãm – Phú Lương – Hà Đông – Hà Nội
a 0
- Hàm số đồng biến trên R y ' 0, x R
y ' 0
a 0
- Hàm số nghịch biến trên R y ' 0, x R
y ' 0
- Hàm số đồng biến trên đoạn (a;b)
y ' 0, x (a; b )
- Hàm số nghịch biến trên đoạn (a;b) y ' 0, x (a; b )
a 0
- Đồng biến trên miền có độ dài bằng d y ' 0
| x x | d
1 2
a0
- Nghịch biến trên miền có độ dài bằng d y ' 0
| x x | d
1 2
3) Cực trị
Điểm CỰC TRỊ bao gồm điểm CỰC ĐẠI và điểm CỰC TIỂU
Nếu điểm A( x A ; y A ) là điểm cực trị của hàm số y f ( x) , khi đó
- Điểm A thuộc đồ thị của hàm số y f ( x) , tức là y A f ( x A ) .
- Hoành độ của điểm A là nghiệm của phương trình y ' 0 , tức là y '( x A ) 0
Định lý: Cho hàm số y f ( x)
f '( x0 ) 0
- Hàm số đạt cực trị tại x0
(1)
f '( x ) doi dau khi x di qua x0
f '( x0 ) 0
- Hàm số đạt cực đại tại x0
(2)
f ''( x0 ) 0
f '( x0 ) 0
- Hàm số đạt cực tiểu tại x0
(3)
f
''(
x
)
0
0
Cực trị hàm số bậc ba
Xét hàm số y ax 3 bx 2 cx d (a 0)
Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị
Tính y ' . Hàm số có hai cực trị y’=0 có hai nghiệm phân biệt.
Bước 2: Tìm tọa độ các điểm cực trị theo sơ đồ
Nghiệm hữu tỉ
- Tính các nghiệm x1,2
b
được hoành độ 2 cực trị
2a
- Tung độ hai điểm cực trị là y ( x1 ), y ( x2 )
y' 0
- Gọi x1 , x 2 là hoành độ hai điểm cực trị, với x1 , x 2 là hai
nghiệm phương trình y ' 0
Nghiệm vô tỷ
y (ax b) y ' g ( x ) .
g ( x1 ), g ( x2 )
- Viết hàm số dưới dạng
tung độ hai cực trị là
Khi đó
11
Phùng Thanh Toán – 0985.62.99.66 – Bắc Lãm – Phú Lương – Hà Đông – Hà Nội
Bước 3: Làm theo yêu cầu bài toán. Khi tìm ra m cần so sánh với điều kiện ở bước 1.
Cực trị hàm trùng phương
Xét hàm số y ax 4 bx 2 c (a 0)
Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số có ba cực trị
Ta có y ' 4ax 3 2bx 2 x (2ax 2 b) .
x0
Do đó y ' 0
2
(1)
2ax b 0
Để hàm số có 3 cực trị phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0
Bước 2: Tính tất cả các điểm cực trị ra và làm theo yêu cầu bài toán.
Chú ý: Nếu gọi A, B, C là ba điểm cực trị với x A 0 , ta có
Tam giác ABC luôn cân tại A.
1
1
Diện tích tam giác ABC:
S ABC . AH .BC yB y A 2 xB
2
2
Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính R
o Nếu a 0 thì I 0; y A R
o Nếu a 0 thì I 0; y A R
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, có bán kính r
o Nếu a 0 thì I 0; yB r
o Nếu a 0 thì I (0; yB r )
4) Tiệm cận
Tiệm cận đứng và tiệm cận ngang
ĐN: Cho hàm số f f ( x) có đồ thị (C)
+ Đường thẳng y y0 là tiệm cận ngang của đồ thị (C) nếu
lim f ( x) y0
hoặc
lim f ( x) y0
x
x
+ Đường thẳng x x0 là tiệm cận đứng của đồ thị (C) nếu
lim f ( x)
hoặc
lim f ( x )
x x0
x x0
Tiệm cận xiên
ĐN: Cho hàm số f f ( x) có đồ thị (C). Đường thẳng y ax b được gọi là tiệm
cận xiên của đồ thị (C) nếu
lim f ( x) (ax b) 0
hoặc
lim f ( x) (ax b) 0
x
x
Chú ý: Có thể xác định a, b theo cách sau
f ( x)
a lim
và
b lim f ( x ) ax
x
x
x
Hoặc
f ( x)
a lim
và
b lim f ( x ) ax
x
x
x
Dấu hiệu nhận biết:
12
Phùng Thanh Toán – 0985.62.99.66 – Bắc Lãm – Phú Lương – Hà Đông – Hà Nội
P( x)
có đồ thị (C)
Q( x)
o Nếu phương trình Q( x ) 0 có nghiệm x0 thì (C) x x0 có thể là TCĐ
o Nếu bậc( P ( x ) ) bậc( Q( x) ) thì (C) có TCN.
o Nếu bậc( P ( x ) ) = bậc( Q( x) )+1 thì (C) có TCX.
Nhận xét: Tiệm cận ngang và tiệm cận xiên không tồn tại cùng một lúc.
Hàm số y n f ( x) chỉ có tiệm cận xiên.
Hàm số f ( x)
Hàm số y ax b mx 2 nx p
o Nếu a 0 :
x : TCN
o Nếu a 0 :
x : TCX
x : TCX
x : TCN
5) Tiếp tuyến
Cho hàm số y f ( x) có đồ thị (C). Gọi M ( x0 ; y0 ) là điểm thuộc (C).
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M có dạng
y f '( x0 )( x x0 ) f ( x0 )
Trong đó f '( x0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến tại M
Điều kiện để đồ thị 2 hàm số y f ( x) và y g ( x ) tiếp xúc nhau là hệ
f ( x ) g ( x)
phương trình sau có nghiệm
f '( x) g '( x)
6) Các bước vẽ đồ thị của hàm số
Tập xác định
Sự biến thiên
+ Tính y ' , giải phương trình y ' 0 (nếu có nghiệm), xét dấu của y '
+ Tính giới hạn, tiệm cận (nếu có)
+ Lập bảng biến thiên
+ Tìm các cực trị
+ Xét tính đồng biến, nghịch biến
Vẽ đồ thị
+ Tìm giao điểm với trục Ox (nếu có), Oy .
+ Tìm điểm uốn
+ Biểu diễn các điểm cực trị, giao điểm với Ox , Oy , điểm uốn, tiệm cận
và vẽ đồ thị.
7) Vẽ đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
Dạng 1: Dựa vào đồ thị của hàm số (C ) : y f ( x) . Từ đó suy ra đồ thị của
hàm số (C1): y1 f ( x)
y
Ta có (C1 ) : y1 | y |
y
neu y 0
neu y 0
13
Phùng Thanh Toán – 0985.62.99.66 – Bắc Lãm – Phú Lương – Hà Đông – Hà Nội
Do đó đồ thị (C1 ) : y1 f ( x) gồm 2 phần đồ thị:
+ Phần 1: Là phần đồ thị (C ) : y f ( x) nằm phía trên Ox
+ Phần 2: Là phần đồ thị (C ) : y f ( x) nằm phía dưới Ox lấy đối xứng qua Ox
Dạng 2: Dựa vào đồ thị hàm số (C): y f ( x) . Từ đó suy ra đồ thị của hàm
số (C2 ) : y2 f (| x |)
Nhận xét: (C2 ) : y2 f (| x |) là hàm số chẵn nên nhận Oy làm trục đối xứng
f ( x) neu x 0
Ta có: (C2 ) : y2 f (| x |)
f ( x) neu x 0
Do đó (C2 ) : y2 f (| x |) có 2 phần đồ thị:
+ Phần 1: Là phần đồ thị của (C ) : y f ( x) nằm bên phải Oy
+ Phần 2: Là phần đồ thị ở phần 1 lấy đối xứng qua Oy
Dạng 3: Dựa vào đồ thị hàm số (C ) : y f ( x) suy ra đồ thị của hàm số
(C3 ) : y3 f ( x)
Nhận xét: Nếu M ( x0 ; y0 ) (C3 ) M ( x0 ; y0 ) (C3 )
Nên
(C3 ) : y3 f ( x) nhận Ox làm trục đối xứng
Ta có (C3 ) : y3 y y3 y nếu y 0
Do đó đồ thì (C3 ) gồm có 2 phần đồ thị
+ Phần 1: Là phần đồ thị của (C ) : y f ( x) nằm phía trên Ox
+ Phần 2: Là phần đồ thị ở phần 1 lấy đối xứng qua Ox
khi x a
f ( x)
Dạng 4: Nếu g ( x)
thì đồ thị của g(x) bao gồm hai
f
(
x
)
khi
x
a
phần đồ thị:
+ Phần 1: Là phần đồ thị của (C ) : y f ( x) nằm bên phải đường x a
+ Phần 2: Là phần đồ thị của (C ) : y f ( x) nàm bên trái của đường thẳng
x a lấy đối xứng qua Ox.
14
Phùng Thanh Toán – 0985.62.99.66 – Bắc Lãm – Phú Lương – Hà Đông – Hà Nội
13)
ĐẠO HÀM
Các quy tắc tính đạo hàm
c ' 0 (c là hằng số)
(u v )' u ' v '
cu c.u c const
(u v )' u ' v '
'
(u.v)' u ' v uv '
u u ' v uv '
v2
v
Bảng đạo hàm
( x n )' nx n1
1
x '
2 x
1
1
' 2
x
x
(sin x )' cos x
(cos x )' sin x
1
cos 2 x
1
(cot x)' 2
sin x
x
x
(e )' e
(u n )' nu n 1.u '
u'
u '
2 u
u'
1
' 2
u
u
(sin u )' u '.cos u
(cos u )' u '.sin u
u'
cos 2 u
u'
(cot u )' 2
sin u
u
u
(e )' e .u '
(tan x)'
(tan u )'
(a x )' a x .ln a
1
(ln x)'
x
1
(log a x)'
x ln a
(au )' u '.a u .ln a
u'
(ln u )'
u
u'
(log a u )'
u ln a
15
Phùng Thanh Toán – 0985.62.99.66 – Bắc Lãm – Phú Lương – Hà Đông – Hà Nội
14)
NGUYÊN HÀM
Định nghĩa
Cho hàm y = f(x) xác định trên khoảng (a, b). Ta gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x)
trên khoảng (a, b) nếu F ( x) f ( x ) x a, b .
Ký hiệu:
f ( x)dx F ( x) C (C là hằng số)
Tính chất
kf ( x)dx k f ( x)dx
f ( x) g ( x) dx f ( x)dx g ( x)dx
b
b
b
Công thức tích phân từng phần udv uv vdu
a
a
a
Bảng nguyên hàm
x n 1
x dx n 1 C
1
x dx ln | x | C
n
(n 1)
sin xdx cos x C
cos xdx sin x C
1
sin
2
x
dx cot x C
1
cos2 x dx tan x C
x
e dx e
x
C
ax
a dx ln a C
x
1 (ax b)n1
(ax b) dx a n 1 C (n 1)
1
1
dx
ax b a ln | ax b | C
1
sin(
ax
b
)
dx
cos(ax b) C
a
1
cos(
ax
b
)
dx
sin(ax b) C
a
1
1
dx
cot(ax b) C
sin 2 (ax b)
a
1
1
cos2 (ax b) dx a tan(ax b) C
1 ax b
ax b
e dx a e C
1 a mx n
( mx n )
a dx m ln a C
n
Bảng nguyên hàm mở rộng
dx
1
x
x 2 a 2 a arcTan a c
dx
x
arcSin
c
a2 x2
a
dx
2
x2 h ln x x h c
16
a 2 x 2 dx
x 2 h dx
x 2
a2
x
a x 2 arcSin c
2
2
a
x 2
h
x h Ln x x 2 h c
2
2
dx
1
xa
ln
2
x a 2a x a C
2
Phùng Thanh Toán – 0985.62.99.66 – Bắc Lãm – Phú Lương – Hà Đông – Hà Nội
Ứng dụng của tích phân
Diện tích hình phẳng
Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) có đồ thị (C1), (C2).
y
f(x)
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C1), (C2) và
g(x)
hai đường thẳng x=a, x=b được tính bởi công thức:
a
O
b
b
x
S f x g x dx
a
Thể tích
Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi
{(C):y=f(x),y=0,x=a,x=b} quay quanh Ox
được tính bởi công thức:
b
y
y
d
f(x)
2
V f x dx
(x)
a
O
a
b
x
Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi
{(C): x=(y), x=0, y=c, y=d} quay quanh Oy
được tính bởi công thức:
d
c
x
O
2
V y dy
c
Thể tích tròn xoay do hinh phẳng giới hạn bởi hai đường y=f(x), y=g(x) quay
quanh Ox (f(x)g(x), x[a;b]) được tính bởi công thức:
b
2
2
V f x g x dx .
a
15)
MŨ - LOGARIT
Kí hiệu viết tắt
x
nm
n
m
x
xn
log na x log a x
m
n
lg x log x log10 x
ln x log e x
lg10n log10n ln e n n
Từ đó:
1) Công thức mũ
Điều kiện xác định: x n xác định x 0
0
x 1, x
x
n
1
n
x
n m
(x ) x
n .m
n
n
n
( xy ) x . y
n
x
xn
y yn
n
m
x .x x
n m
1
n
x nx
xn
x nm
m
x
17
.PDF 
36 
899 
148 
