Tài liệu Công thức toán 10 và 11

Đặng Minh Thế x A  x B  xC  xG  3 6. Troïng taâm G :  y A  y B  yC yG  3        0 7. Tröïc taâm H: Giaûi heä: AH.BC BH.AC  0  EB AB 8. E chaân phaân giaùc trong:    , F chaân AC EC  FB AB p.giaùc ngoaøi:   FC AC HÌNH HỌC 10 I. Ñònh lyù:  a  (a1 , a2 ) Cho A( x A , yA ), B ( x B , yB ) , 2.  AB  (x B  x A , y B  y A ) ; (ngoïn – goác).  AB  AB  (x B  x A )2  (y B  y A )2 . 3.  a  a12  a2 2 1. II. Tính chaát Vectô:   Cho a  (a1 ,a2 ) , b  (b1 , b2 ) A   4. a  b  a1  b1 a2  b 2  5. ka  (ka1 , ka2 )   6. a  b  (a1  b1; a2  b 2 )   7. ma  nb  (ma1  nb1; ma2  nb 2 )  8. a.b  a1b1  a2 b 2      a  k.b 9. a cuøng phöông b    a1b2  a2 b1  0    10. a  b  a.b  0  a1b1  a2 b 2  0    a1b1  a2 b2 a.b 11. cos(a; b)     a b a12  a2 2 b12  b2 2   12. AB  (a1 ,a2 ) , AC  (b1 , b 2 )  1 SABC  a1b2  a2 b1 2  F 3. 4. 5. E C 9. Taâm ñöôøng troøn ngoaïi tieáp ABC 2  2 Giaûi heä:  IA 2  IB2  IA  IC ÑÖÔØNG THAÚNG I. Phöông trình ñöôøng thaúng:  qua M(x 0 ; y 0 ) 1. Phöông trình toång quaùt :    pvt : n = (A; B)  : A(x - x 0 ) + B(y - y 0 ) = 0  : Ax + By + C = 0  qua M(x 0 ;y 0 )   vtcp : a = (a1;a2 ) 2. Phöông trình tham soá :  Các dạng toán thường gặp   1. A, B, C thaúng haøng  AB cuøng phöôngAC. 2. B  x = x 0 + a1t (t  R)  y = y 0 + a2 t  :  A, B, C laäp thaønh tam giaùc    AB khoâng cuøng phöông AC.   A,B,C,D laø hình bình haønh  AD  BC.  qua M(x 0 ;y 0 )   vtcp : a = (a1;a2 ) 3. Phöông trình chính taéc :   x  xB yA  yB  M trung ñieåm AB: M  A ;  2   2  : M chia AB theo tæ soá k1:  x  kx B y A  ky B  M A ;  1 k   1 k x - x0 y - y0 = a1 a2 II. Vi trí töông ñoái cuûa hai ñöôøng thaúng: Cho (D1 ) : A1x + B1y + C1 = 0 vaø (D2 ) : A 2 x + B2 y + C2 = 0 1. (D1 )  (D 2 )  Trang 1 A1 B1  A 2 B2 Đặng Minh Thế 2. (Δ1 ) // (Δ 2 )  3. (Δ1 )  (Δ 2 )  A1 B1 C1   A2 B2 C2 ÑÖÔØNG TROØN I. Phöông trình ñöôøng troøn: A1 B1 C1   A2 B2 C2  taâm I(a; b) 1. P.trình chính taéc ñ.troøn (C): baùn kính R  III. Goùc cuûa hai ñöôøng thaúng: cos    (C): ( x  a ) 2  ( y  b)2  R 2 A1 A2  B1 B2 2. P. trình toång quaùt ñường.troøn (C): A12  B12 A22  B22 taâm I(a; b)  2 2  baùn kính R = a2 + b2 - c (ÑK: a  b  c  0 )  IV. Khoaûng caùch töø moät ñieåm ñeán moät ñöôøng thaúng:  (C): x 2  y 2  2ax  2by  c  0 Cho (Δ) : Ax  By  C  0 vaø M ( x0 ; y0 )  d(M, )  II. Phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñöôøng troøn: Ax0  By0  C 1. Phöông trình tieáp tuyeán TAÏI M ( x0 ; y0 ) : A2  B 2  qua M ( x0 ; y0 )  :   pvt : IM  ( x0  a; y0  b ) Chuù yù: ° Truïc Ox coù pttq : y  0  : ( x0  a )( x  x0 )  ( y0  b)( y  y0 )  0 ° Truïc Oy coù pttq : x  0 ° Ñöôøng thaúng song song hoaëc truøng vôùi Oy : ax  c  0  b  0  2. Ñieàu kieän tieáp xuùc: d ( I , )  R ° Ñöôøng thaúng song song hoaëc truøng vôùi Ox : by  c  0  a  0  I. Ñònh nghóa: ELÍP Cho F1 ,F2 coá ñònh vaø F1F2 = 2c (c > 0) ° Ñöôøng thaúng ñi qua goác toïa ñoä : ax  by  0 c  0 M  ( E )  MF1  MF2  2a (a  c  0) II. Phöông trình chính taéc: ° Ñöôøng thaúng caét Ox taïi A  a; 0  vaø Oy taïi x 2 y2   1 (a  b  0) a2 b2 B  0; b   a, b  0  : x y  1 a b III. Hình daïng Elíp: y ° Ñöôøng thaúng qua ñieåm M  x0 ; y0  vaø coù heä b B2 soá goùc k laø : y  y0  k  x  x0  A1  c  a F1 ° Ñöôøng thaúng d qua ñieåm M  x0 ; y0  vaø song song vôùi ñöôøng thaúng  : ax  by  c  0 coù pttq laø : a  x  x0   b  y  y 0   0 O c  F2 A2 a x  b B1 IV. Caùc vaán ñeà ñaëc bieät: ° Ñöôøng thaúng d qua ñieåm M  x0 ; y0  vaø 1. Tieâu ñieåm : F1 (c; o), F2 (c; o) . vuoâng goùc vôùi ñöôøng thaúng  : ax  by  c  0 coù pttq laø : 2. Tieâu cöï : F1 F2  2c . b  x  x0   a  y  y0   0 3. Ñænh truïc lôùn: A1 (a ;0), A2 (a ;0) . ° Cho (Δ) : Ax  By  C  0 4. Ñænh truïc beù : B1 (0; b), B2 (0; b) . 1. ( d ) // (Δ)  ( d ) : Ax  By  m  0 5. Ñoä daøi truïc lôùn: A1 A2  2a . 2. ( d )  (Δ)  ( d ) : Bx  Ay  m  0 6. Ñoä daøi truïc beù : B1 B2  2b . Trang 2 Đặng Minh Thế 7. Taâm sai : e  c 1. a 8. Baùn kính qua tieâu ñieåm :  MF1  a  exM MF  a  ex M  2 9. Phöông trình caïnh hình chöõ nhaät cô sôû:  x  a y  b . 10. Phöông trình ñöôøng chuaån x   a2 c V. Phöông trình tieáp tuyeán cuûa Elíp: 1. Phöông trình tieáp tuyeán TAÏI M ( x0 ; y0 ) : x . x 0 y. y 0  2 1 a2 b 2. Ñieàu kieän tieáp xuùc: x 2 y2   1 (a  b  0) vaø a2 b2 (Δ) : Ax  By  C  0 Cho:  (Δ) tieáp xuùc (E)  A2 a 2  B 2b 2  C 2 * Chuù yù: Cho (Δ) : Ax  By  C  0 (d ) // (Δ) : Ax  By  C  0  (d ) : Ax  By  m  0 (d )  (Δ) : Ax  By  C  0  (d ) : Bx  Ay  m  0 Trang 3 Đặng Minh Thế   0  ° Pt coù 2 nghieäm phaân bieät cuøng aâm   P  0 S  0  ĐẠI SỐ 10 a  0   x   , ax 2  bx  c  0     0 a  0   x   , ax 2  bx  c  0     0 Caùc coâng thöùc cô baûn : A  B  A = B    A  B a  0   x   , ax2  bx  c  0     0 a  0   x   , ax2  bx  c  0     0  B  0  A = B   A  B  A  B   A  B  (A – B) (A + B) < 0 Chuù yù: Cho f(x) = ax2 + bx + c (a  0)  f  x   0 voâ nghieäm  f  x   0, x    A  0 A B   A  B  B  0 A B   A  B  A  0  A  B  B  0  A  B2   f  x   0 voâ nghieäm  f  x   0, x    f  x   0 voâ nghieäm  f  x   0, x    f  x   0 voâ nghieäm  f  x   0, x   2 Cho phöông trình : ax + bx + c = 0 a  0 ° Pt coù 2 nghieäm phaân bieät     0 a  0 ° Pt coù nghieäm keùp     0 A  B  A 0 A  B  A B    A  B ° Pt coù 2 nghieäm traùi daáu  P  0   0 ° Pt coù 2 nghieäm cuøng daáu   P  0   A  0( B  0) A = B  A  B ° Pt coù 2 nghieäm phaân bieät cuøng döông  B  0 A =B   2 A  B  B  0  A  0 A >B   B  0    A  B 2   0   P  0 S  0  4 Đặng Minh Thế ĐẠI SỐ 11  sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb LƯỢNG GIÁC  sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb A.Caùc Haèng Ñaúng Thöùc Löôïng Giaùc Cô Baûn:  tan(a – b) = tan a  tan b 1  tan a.tan b  tan(a + b) = tan a  tan b 1  tan a.tan b  sin2   cos2   1   R      tan .cot   1    k ,k  Z  2     1    1  tan2      k,k  Z  2 2 cos     1  1  cot 2    k,k  Z  sin 2  B. Giaù Trò Caùc Cung Goùc Lieân Quan Ñaëc Bieät: cot        cot  3. Cung – Goùc phuï nhau:   cos     = sin 2       = cot ; 2    cot     = tan 2   tan   cot 2a   sin3a = 3sina – 4sin3a  cos3a = 4cos3a – 3cosa  tan3a = 3tan a  tan3 a 1  3tan2 a  cot3a  cot 3 a  3cot a 3cot 2 a  1 4. Cung– Goùc hôn keùm  :    vaø   sin        sin  cot 2 a 1 2 cot a 3. Coâng thöùc nhaân ba:    vaø  2    sin     = cos ; 2  2 tan a 1  tan 2 a  tan2a = 2. Cung – Goùc buø nhau:    vaø  tan        tan  ; cota.cotb  1 cotb  cota  cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2 sin2a  tan      tan  ; cot      cot  cos        cos   cot(a + b) =  sin2a = 2sina.cosa sin      sin  sin       sin  ; cota.cotb  1 cotb  cota 2. Coâng thöùc nhaân ñoâi: 1. Cung – Goùc ñoái nhau:  vaø  :  cos     cos  ;  cot(a – b) = 4. Coâng thöùc haï baäc: ; tan       tan   cos        cos  ; cot       cot   cos2a = 1  cos 2a 2 5. Cung – Goùc hôn keùm   :   vaø  2 2  sin2a = 1  cos 2a 2 2  tan a  1  cos2a 1  cos2a       cos  ; 2    sin         sin  2    sina.cosa   cos           cot  ; cot       tan  2  2   tan  C. Coâng thöùc löôïng giaùc 1. COÂNG THÖÙC COÄNG 1 sin 2a 2 3  sin a   s in3a  3sin a 4 3  cos a  cos3a  3cos a 4 5. Coâng thöùc tính sinx, cosx,tanx theo t = tan Vôùi moïi cung coù soá ño a, b ta coù:  cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb (Giả sửû: x    k 2 , ñaët t = tan  cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb 5 x ) 2 x 2 Đặng Minh Thế 2  sinx =  tanx = x    k2 cos x  cos    ,k   x    k2 2t 1 t ,  cosx = 2 1 t2 1 t 2t 1 t2 (x  2 tan x  tan   x    k, k    k , k Z ) cot x  cot   x    k, k   6. Coâng thöùc bieán ñoåi toång thaønh tích * TH đặc biệt:  ab  ab  cos a  cos b  2 cos   cos    2   2  sin x  1  x   ab  ab  sin    2   2   cos a  cos b  2 sin  sin x  1  x   sin x  0  x  k  ab ab  sin    2   2  cos x  1  x    k2 cos x  1  x  k2  sin a  sin b  2 cos  cos x  0  x  sin(a  b)   tan a  tan b (a,b   k , k  Z) cos a.cosb 2 vôùi cos   2 cot x  1  x   A B ; sin   A B   k . 2 10. Phương trình bậc hai đối với một hàm lượng giác B 2   k 4 cot x  0  cos x  0  x  A2  B 2 .cos( x   ) 2   k 4 tan x  0  sin x  0  x  k A sin x  B cos x  A2  B 2 .sin( x   ) A   k 2 tan x  1  x   sin(a  b) (a,b  k, k Z)  cot a  cot b sin a.sinb sin(a  b)  cot a  cot b  (a,b  k , k  Z ) sin a.sin b    k2 2  ab  ab  cos    2   2   sin a  sin b  2 sin     k2 2 a sin 2 x  b sin x  c  0 (a  0) . 2 Đặt t  sin x (t  (1,1))  at 2  bt  c  0 7. Coâng thöùc bieán ñoåi tích thaønh toång Rồi từ PT cơ bản sin x  t  x 1  cos( a  b )  cos( a  b )  2 1 sin a.sin b   cos( a  b )  cos( a  b )  2 1 sin a.cos b  sin( a  b )  sin( a  b )  2 cos a.cos b  Tương tự cho các phương trình: a cos 2 x  b cos x  c  0 a tan 2 x  b tan x  c  0 a cot 2 x  b cot x  c  0 11. Phương trình bậc nhất: a sin x  b cos x  c . a 2  b 2 được: Chia hai vế PT cho 8. Các hằng đẳng thức khác : sin 4 x  cos4 x  1  2sin 2 x.cos2 x a sin 6 x  cos6 x  1  3sin 2 x.cos 2 x a b 2 2 sin x  b a b 2 2 cos x  c a  b2 2  sin x cos   cos x sin   t  sin( x   )  t     sin x  cos x  2 sin  x    2 cos  x   4 4       sin x  cos x  2 sin  x     2 cos  x   4 4   là phương trình cơ bản 12. Phương trình thuần nhất: a sin 2 x  b sin x cos x  c cos 2 x  d TH1: cos x  0  sin 2 x  1 pt có dạng a  d     cos x  sin x   2 sin  x    2 cos  x   4 4   Khi a  d (đúng)  x  9. Phương trình lượng giác cơ bản :   k  là nghiệm 2 Khi a  d (sai) thì cos x  0 không thỏa  x    k2 sin x  sin    , k   x      k2 TH2: cos x  0 . Chia 2 vế cho cos 2 x ta được: 6 Đặng Minh Thế a tan x  b tan x  c  d (1  tan x )  ...  tan x  t  x  ... 2 2 2. Quy tắc cộng Quy tắc cộng cho công việc với nhiều phương án: Giả sử một công việc có thể tiến hành theo một trong k phương án, mỗi phương án có thể được thực hiện bởi ni cách (i = 1,…, k ). Khi đó công việc có thể thực hiện bởi n1 + n2 + …+ nk cách * COÂNG THÖÙC ÑAÏO HAØM: 1. (kx)'  k  (ku)'  k.u' . 2. (x  )'  .x 1  (u  )'  .u '.u  ( u)'  3. ( x ) '  1 2 x ' 1 . . 2 u 6. (cos x)'   sin x 1 sin2 x 3. Quy tắc nhaâân:  Quy tắc nhân cho công việc có nhiều công đoạn: Giả sử một công việc bao gồm k công đoạn, mỗi công đoạn có thể được thực hiện theo ni cách (i = 1,…,k ). Khi đó công việc có thể thực hiện theo n1n2…nk cách u' (tan u)'  cos2 u  u' . sin2 u (cot u)'   1 x (e u )'  u'.e u . u'  (ln u)'  u 1 11. (loga x)’ = x ln a u'  (loga u)’ = u ln a 12. (ax )'  ax .ln a  AB  A  B  AB (cos u)'  u'.sin u  9. (e x )'  e x Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn bất kì thì số phần tử của A  B là (sin u)'  u'.cos u .  1 7. (tan x)'  cos2 x (ln x)'  A B  A  B u' 1    2 . u  u  5. (sin x)'  cos x  10. Chú ý: Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn không giao nhau thì số phần tử của A  B là ' 1 1 4.     2 x x 8. (cot x)'  u'  4. Giai thừa: Với n, p  ℕ n! = 1.2.3…(n-1).n Qui ước: 0! = 1 n! = (n–1)!n (au )'  u '.au .ln a n! = (p+1).(p+2)…n p! * TIẾP TUYẾN CỦA (C): y  f ( x ) . Gọi M ( x 0 , y0 )  (C ) (với n>p) n! = (n–p+1).(n–p+2)…n (n  p)! a) PT tiếp tuyến tại M: y  f '( x 0 )( x  x 0 )  y0 b) PTTT có hệ số góc k: Giải phương trình f '( x 0 )  k  x 0 , y0 ?  PTTT (với n>p) Tiếp tuyến (t)//(d)  kt  kd 5. Hoán vị: Kết quả của sự sắp xếp n phần tử khác nhau theo một thứ tự nào đó gọi là một hoán vị của n phần tử đó. Kí hiệu Pn .Ta có công thức tính như sau: Pn = n.(n- 1). . . .2.1= n! (n  N*). Tiếp tuyến (t )  (d )  kt .kd  1 Chú ý: Hoán vị vòng quanh: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP Cho tập A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín được gọi là một hoán vị vòng quanh của n phần tử. y  f '( x 0 )( x  x 0 )  y0 1. Số phần tử của tập hợp Số phần tử của tập hợp A = { a, b, c, d} là Số các hoán vị vòng quanh của n phần tử là: Qn = (n – 1)! n(A) = A = 4 A  B = { a, b, c, d, g, h, k } 6. Chỉnh hợp: Cho A là một tập hợp gồm n phần tử, một tập con của A gồm k (1  k  n) phần tử khác nhau và được sắp xếp theo một thứ tự nào đó gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử, kí hiệu Ank , được tính theo công thức: là n( A  B )  A  B  7 Ank  n( n  1).( n  2).......( n  k  1) B = { a, c, g, h, k} là n(B) = B = 5 A  B = {a, c} là n( A  B )  A  B  2 A\ B = { b, d } là n(A\B)= |A\B| 7 (1) Đặng Minh Thế Ank  n! ,  n  k ! Liên hệ giữa Ann  Pn  n ! (1  k  n) chỉnh hợp và tổ (2) CẤP SỐ CỘNG hợp: (3) 1. Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d. 7. Tổ hợp: Cho A là một tập hợp gồm n phần tử, một tập con của A gồm k (0  k  n) phần tử gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu n! C nk , được tính theo công thức: Cnk  k ! n  k  ! * Số d được gọi là công sai của cấp số cộng . Ta có các tính chất sau: 2. Số hạng tổng quát:  Cnk  Cnn  k 3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng: U  U k 1 với k  2 U k  k 1 2 U n  U 1  n  1 d  d  U n 1  U n   Cnk  Cnk11  Cnk1 (0  k  n)  Cn0  Cnn  1 , Cn1  Cnn 1  n . 4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng n n Sn  U1  U n  hay S n  2U 1  n  1d  2 2 * Công thức liên hệ giữa chỉnh hợp và tổ hợp Ank  k !Cnk CẤP SỐ NHÂN 8. Công thức Newton: ( a  b) n  Cn0 a n  Cn1 a n 1b  .....  Cnk a n  k b k  ....  Cnn b n Tính chất: + Trong khai triển của (a+b)n có n+1 số hạng. * Số q được gọi là công bội + Số mũ của a giảm dần từ n đến 0. + Số mũ của b tăng dần từ 0 đến n . U n 1  U n .q Ta có : + Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn bằng n k n 1. Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số ( hữu hạn hoặc vô hạn ), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q. với n  N * 2. Số hạng tổng quát : U n  U 1 .q n 1 nk n + Các hệ số có tính đối xứng C  C (Hệ số các số hạng cách đều hai biên thì bằng nhau) 3. Tính chất các số hạng của cấp số nhân U k2  U k 1.U k 1 hay U k  U k 1 .U k 1 + Số hạng tổng quát của sự khai triển, kí hiệu là 4. Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân: Cho cấp số nhân có công bội q khác 1. Tk + 1, có dạng Ta có : Tk 1  Cnk an  k bk , k = 0, …, n (chỉ số k + 1 là số thứ tự tính từ trái qua phải của số hạng tương ứng trong sự khai triển). S n  U1  U 2  ...  U n  U1 + Tổng các hệ số trong khai triển (a+b)n là : Cn0  Cn1  Cn2  ........  Cnn  2 n 8 q n  1 q 1 Đặng Minh Thế HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Cho ABC vuông ở A ta có : a) Định lý Pitago : BC 2  AB 2  AC 2 2 2 b) BA  BH .BC ; CA  CH .CB c) AB. AC = BC. AH d) e) f) A 1 1 1   2 2 AH AB AC 2 b c AH 2  HB.HC BC = 2AM b c b c g) sin B  , cosB  , tan B  , cot B  a a c b h) b = a. sinB = a.cosC, c = a. sinC = a.cosB, a = M H B C a b b , b = c. tanB = c.cot C  sin B cos C 2. Hệ thức lượng trong tam giác thường: a 2  b 2  c 2  2bc cos A * Định lý hàm số Côsin: a b c    2R sin A sin B sin C * Định lý hàm số Sin: A MN // BC 3. Định lý Talet N M a) AM AN MN   ; AB AC BC b) AM AN  MB NC B C 3. Diện tích trong hình phẳng 1. Tam giác thường: a) S = 1 ah 2 p(p  a)(p  b)(p  c) (Công thức Hê-rông) b) S = c) S = pr (r: bán kính đường tròn nội tiếp tam giác) 2. Tam giác đều cạnh a: a) Đường cao: h = a 3 ; 2 b) S = a2 3 4 c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực 3. Tam giác vuông: a) S = 1 ab (a, b là 2 cạnh góc vuông) 2 b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền 4. Tam giác vuông cân (nửa hình vuông) a) S = 1 2 a (2 cạnh góc vuông bằng nhau) 2 b) Cạnh huyền bằng a 2 9 Đặng Minh Thế 5. Nửa tam giác đều: A a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30o hoặc 60o a 3 c) AC = 2 b) BC = 2AB 6. Tam giác cân: a) S = a2 3 d) S = 8 B 60 o 30 o C 1 ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) 2 b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực 7. Diện tích hình thang: S  S = ab (a, b là các kích thước) 8. Hình chữ nhật: 9. Hình thoi: 1 (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao 2 1 S  d1d 2 ( d1 , d2 là 2 đường chéo) 2 10. Hình vuông: a) S  a 2 b) Đường chéo bằng a 2 11. Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) 12. Đường tròn: a) C  2 R ; R: bán kính đường tròn) b) S   R 2 (R: bán kính đường tròn) A 4. Các đường trong tam giác 1. Đường trung tuyến: G là trọng tâm của tam giác a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm B 2 1 b) BG = BN; BG = 2GN; GN = BN 3 3 N M G P C 2. Đường cao: Giao điểm của của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm 3. Đường trung trực: Giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 4. Đường phân giác: Giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác 10 Đặng Minh Thế HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 11 A. QUAN HỆ SONG SONG §1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG I. Định nghĩa: a Đường thẳng và mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm nào chung. a / / (P)  a  (P)   (P) II. Các định lý: d ĐL1: Nếu đường thẳng d không nằm trên mp(P) và song song với đường thẳng a nằm trên mp(P) thì đường thẳng d song song với mp(P) ĐL2: Nếu đường thẳng a song song với mp(P) thì mọi mp(Q) chứa a mà cắt mp(P) thì cắt theo giao tuyến song song với a. ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng song song với đường thẳng đó. d  (P)  d / /a  d / /(P) a  (P)  a/ /(P)   d / /a a  (Q) (P)  (Q)  d  a (P) (Q) a d (P) (P)  (Q)  d   d / /a (P)/ /a (Q)/ /a  11 d a Q P Đặng Minh Thế §2. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG I. Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm nào chung. (P)/ /(Q) (P) (Q)  P Q II.Các định lý: ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) và (Q) song song với nhau. a,b  (P)   (P)/ /(Q) a  b  I a / /(Q),b / /(Q)  ĐL2: Nếu một đường thẳng nằm một trong hai mặt phẳng song song thì song song với mặt phẳng kia. (P) / /(Q)  a / /(Q)  a  (P) P a b I Q a P Q R ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) song song thì mọi mặt phẳng (R) đã cắt (P) thì phải cắt (Q) và các giao tuyến của chúng song song. (P) / /(Q)  (R)  (P)  a  a / / b (R)  (Q)  b  a P b Q B. QUAN HỆ VUÔNG GÓC §1. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG I.Định nghĩa: a Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trên mặt a  mp(P)  a  c, c  (P) P 12 c Đặng Minh Thế phẳng đó. II. Các định lý: ĐL1: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mp(P) thì đường thẳng d vuông góc với mp(P). ĐL2: (Ba đường vuông góc) Cho đường thẳng a không vuông góc với mp(P) và đường thẳng b nằm trong (P). Khi đó, điều kiện cần và đủ để b vuông góc với a là b vuông góc với hình chiếu a’ của a trên (P). d d  a ,d  b  a ,b  mp(P) d  mp(P) a,b caét nhau  b a P a a  mp(P), b  mp(P) b  a  b  a' a' P b §2. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC I.Định nghĩa: Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 900. II. Các định lý: ĐL1: Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau. ĐL2: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng a nào nằm trong (P), vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuông góc với mặt phẳng (Q). Q a a  mp(P)  mp(Q)  mp(P)  a  mp(Q) P P (P)  (Q)  (P)  (Q)  d  a  (Q)  a  (P),a  d  a d 13 Q Đặng Minh Thế P ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là một điểm trong (P) thì đường thẳng a đi qua điểm A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P) ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba.  ( P )  (Q )   A  (P )  a  (P )  A  a   a  (Q ) a A Q P  (P)  (Q)  a   a  (R)  (P)  (R)  (Q)  (R)  R §3. KHOẢNG CÁCH 1. Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường thẳng , đến 1 mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng a ( hoặc trên mp(P)) O O a H P d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH 2. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: a Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mp(P). O H P d(a;(P)) = OH 3. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: O P là khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Q d((P);(Q)) = OH 14 H H Q a Đặng Minh Thế 4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: a là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. A b B d(a;b) = AB §4. GÓC a a' 1. Góc giữa hai đường thẳng a và b b' là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt cùng phương với a và b. b 2. Góc giữa đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) a là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên mp(P). a' P Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mp(P) là 900. 3. Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. b a Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm trong 2 mặt phẳng cùng vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm b Q P 4. Diện tích hình chiếu: Gọi S là diện tích của đa giác (H) trong mp(P) và S’ là diện tích hình chiếu (H’) của (H) trên mp(P’) thì a Q P S S'  Scos  A trong đó  là góc giữa hai mặt phẳng (P),(P’). C  B 15