Tài liệu Công thức lượng giác đầy đủ

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC GV: Nguyễn Phỉ Đức Trung Các hệ thức cơ bản Hai cung đối nhau ( ) 2/ cos( - a ) = cosa 3/ tan ( - a ) = - tan a 4/ cot ( - a ) = - cot a sin a cosa 1 4/ 1+ tan2 a = 5/ cos2 a 1/ sin - a = - sin a 1/ sin2 a + cos2 a = 1 2/ tan a = cosa sin a 1 6/ tan a.cot a = 1 1+ cot2 a = sin2 a 3/ cot a = Hai cung phụ nhau � � p 2 � � � � p � = sin a 2/ cos� � - a� � � � 2 � � � � p � � a = cot a 3/ tan � � � � � 2 � � � - a� = cosa 1/ sin � � � � � � p 2 � � � - a� = t ana 4/ cot � � � � � � Hơn kém nhau p /2 � p � � � p 2 � � � � p � +a � = - t ana 4/ cot � � � � � 2 � � � = - cot a 3/ tan � � + a� � � � 2/ cos( a �b) = cosa.cosb msina.sinb 3/ tan ( a �b) = tana �tanb 1mtana.tanb Công thức biến đổi tích thành tổng 1 cos( a - b) + cos( a + b) � 1/ cosa.cosb = � � 2� 1 cos a - b) - cos( a + b) � 2/ sina.sinb = � � ( � 2 1 sin ( a - b) + sin ( a + b) � 3/ sina.cosb = � � 2� 3/ tan ( p - a ) = - tan a 4/ cot ( p - a ) = - cot a ( ) 2/ cos( p + a ) = - cosa 3/ tan ( p + a ) = tan a 4/ cot ( p + a ) = cot a 1/ sin p + a = - sin a � � p � = - sin a 2/ cos� � + a� � � � 2 � � 1/ sin ( a �b) = sina.cosb �cosa.sinb 2/ cos( p - a ) = - cosa Hơn kém nhau p � + a� = cosa 1/ sin � � � � � 2 � � Công thức cộng - trừ Hai cung bù nhau 1/ sin ( p - a ) = sin a Công thức nhân đôi 1/ sin2a = 2sina.cosa 2/ cos2a = cos2 a - sin2 a = 2cos2 a - 1 = 1- 2sin2 a 2tana 3/ tan2a = 1- tan2 a cot2 a - 1 4/ cot2a = 2cot a x Với t  tan 2 2t 1+ t2 1- t2 2/ cosx = 1+ t2 1/ sin x = sin ( a + k2p) = sin a cos( a + k2p) = cosa tan ( a + kp) = tan a cot ( a + kp) = cot a Công thức nhân ba 1/ sin3a = 3sina - 4sin3 a 3sin a  sin 3a � sin 3 a  4 3 2/ cos3a = 4cos a - 3cosa � cos3 a  cos3a  3cos a 4 Công thức hạ bậc 1- cos2a 2 1+ cos2a 2/ cos2a = 2 1- cos2a 3/ tan2 a = 1+ cos2a 1/ sin2 a = a sin u  b cos u  a 2  b2 sin  u     a 2  b 2 cos  u    � � � � � � � � u  � 2 cos � u  �; sin u  cos u  2 sin � u  � 2 cos � u � + sin u  cos u  2 sin � � 4� � 4� � 4� � 4� 0 0 cos3a  4cos a.cos  600  a  .cos  600  a  + sin 3a  4sin a.sin  60  a  .sin  60  a  ; Lưu ý: Công thức biến đổi tổng thành tích 1/ cosa + cosb = 2cos a + b .cos a - b 2/ cosa - cosb = - 2sin a + b .sin a - b 2 2 3/ sina + sinb = 2sin a + b .cos a - b 2 2 sin ( a �b) 5/ tana �tanb = cosa.cosb 2 2 4/ sina - sinb = 2cos a + b .sin a - b 2 2 - sin ( a �b) 6/ cot a �cot b = sina.sinb PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  2 Đặc biệt: cos u 0  u   k , cot u  0 � u  sin u 1  u    k , sin u 0  u k , tan u  0 � u  k 2    k 2 , sin u  1  u   k 2 , cos u 1  u k 2 , cos u  1 � u    k 2 2 2  cot u  �1 � u  �  k 4  tan u  �1 � u  �  k 4 Phương trình lượng giác cơ bản Pt bậc 2,3 đối với một hàm số lg. cos u  cos v � u  �v  k 2 Đặt t  sinx ,cos x, tan x, cot x �u  v  k 2 sin u  sin v � � u    v  k 2 � Đưa phương trình đã cho về phương trình đại số theo t. ***Chú ý: với t  sinx ,cos x tan u  tan v � u  v  k thì điều kiện 1 �t �1 co t u  co t v � u  v  k Phương trình bậc I đối với sin và cos Dạng pt: a.sin x  b.cos x  c (1) Điều kiện có nghiệm: a 2  b 2 �c 2 Chia 2 vế pt (1) cho a 2  b 2 rồi đưa về dạng sin  x     c a 2  b2 Phương trình thuần nhất Phương trình đối xứng , phản xứng đối với sin và cos asin2x + bsinx.cosx + c.cos2x = 0. (2) hoặc a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 . (4) 2 2 asin x + bsinx.cosx + c.cos x = d .(3)   Kiểm tra x   k có phải là nghiệm của 2 phương trình ? + Giả sử cosx  0 . Chia hai vế phương trình cho cos2x rồi đưa về PT theo tanx.  + x   k là nghiệm của (3) khi a = d. 2 + Có thể giải (2),(3) bằng cách dùng công thức hạ bậc đưa về phương trình bậc nhất đối với sin và cos. Phương trình đối lập Chặn trên và chặn dưới hai vế  A M  A M   B M    B M  A B  Gv: Nguyễn Phỉ Đức Trung � � Đặt t = sinx + cosx = 2sin �x  �; t � 2 � Suy ra sinx.cosx = 4� 2 t 1 thay vào (4) rồi tìm t , so 2 sánh điều kiện của t rồi từ đó tìm nghiệm x . + a( sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 . (5) � � Đặt t = sinx - cosx = 2 sin �x  �; t � 2 � Suy ra sinx.cosx = 1 t 2 2 4� thay vào (5) rồi tìm t , so sánh điều kiện của t rồi từ đó tìm nghiệm x . Phương trình dạng tích Phương trình tổng bình phương  A 0  h1 ( x ) 0 2 2  h ( x ) 0 A  B 0   B 0  h1 ( x ).h2 ( x )...hn ( x ) 0   2 .......... .....   hn ( x ) 0 Trường THPT Thu Xà