Đăng ký Đăng nhập

Tài liệu Công phá toán 11

.PDF
60
9069
70

Mô tả:

Công Phá Toán – Lớp 11 The best or nothing MỤC LỤC CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ........................................ 15 Góc lượng giác và công thức lượng giác ................................................................................... 15 Hàm số lượng giác ................................................................................................................... 17 A. Lý thuyết .................................................................................................................... 17 B. Các dạng toán liên quan đến hàm số lượng giác ......................................................... 22 C. Bài tập rèn luyện kỹ năng .......................................................................................... 49 Phương trình lượng giác ........................................................................................................... 63 Bài tập rèn luyện kỹ năng ............................................................................................... 94 CHỦ ĐỀ 2: TỔ HỢP – XÁC SUẤT . .................................................................................................. 107 Quy tắc đếm ......................................................................................................................... 107 Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp ............................................................................................... 107 A. Lý thuyết .................................................................................................................. 107 B. Các dạng toán về phép đếm ..................................................................................... 110 C. Bài tập rèn luyện kỹ năng ........................................................................................ 116 Nhị thức Newton ................................................................................................................... 124 A. Lý thuyết .................................................................................................................. 124 B. Các dạng toán sử dụng công thức tổ hợp và nhị thức Newton ................................... 125 C. Bài tập rèn luyện kỹ năng ........................................................................................ 135 Xác suất ................................................................................................................................ 142 A. Lý thuyết .................................................................................................................. 142 B. Các dạng toán về xác suất ........................................................................................ 144 C. Bài tập rèn luyện kỹ năng ........................................................................................ 152 CHỦ ĐỀ 3: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN .................................................................. 159 Phương pháp quy nạp toán học .............................................................................................. 159 A. Lý thuyết .................................................................................................................. 159 B. Các bài toán điển hình ............................................................................................. 159 C. Bài tập rèn luyện kỹ năng ........................................................................................ 163 Dãy số ................................................................................................................................... 166 A. Lý thuyết .................................................................................................................. 166 B. Các bài toán điển hình ............................................................................................. 168 MỤC LỤC More than a book C. Bài tập rèn luyện kỹ năng ........................................................................................ 173 Cấp số cộng .......................................................................................................................... 179 A. Lý thuyết ................................................................................................................. 179 B. Các dạng toán về cấp số cộng .................................................................................. 181 C. Bài tập rèn luyện kỹ năng ........................................................................................ 186 Cấp số nhân .......................................................................................................................... 191 A. Lý thuyết ................................................................................................................. 191 B. Các dạng toán về cấp số nhân ................................................................................. 194 C. Bài tập rèn luyện kỹ năng ........................................................................................ 199 CHỦ ĐỀ 4: GIỚI HẠN ................................................................................................................... 204 Giới hạn dãy số ..................................................................................................................... 204 A. Lý thuyết ................................................................................................................. 204 B. Các dạng toán về giới hạn dãy số ............................................................................. 206 C. Bài tập rèn luyện kỹ năng ........................................................................................ 222 Giới hạn của hàm số ............................................................................................................. 231 A. Lý thuyết ................................................................................................................. 231 B. Các dạng toán về giới hạn hàm số ............................................................................ 234 C. Bài tập rèn luyện kỹ năng ........................................................................................ 258 Hàm số liên tục ..................................................................................................................... 269 A. Lý thuyết ................................................................................................................. 269 B. Các dạng toán về hàm số liên tục ............................................................................. 270 C. Bài tập rèn luyện kỹ năng ........................................................................................ 277 CHỦ ĐỀ 5: ĐẠO HÀM .................................................................................................................. 280 Khái niệm đạo hàm ............................................................................................................... 280 A. Lý thuyết ................................................................................................................. 280 B. Các dạng toán tính đạo hàm bằng định nghĩa .......................................................... 280 C. Bài tập rèn luyện kỹ năng ........................................................................................ 286 Các quy tắc tính đạo hàm ..................................................................................................... 289 A. Lý thuyết ................................................................................................................. 289 B. Các dạng toán về quy tắc tính đạo hàm ................................................................... 289 C. Bài tập rèn luyện kỹ năng ........................................................................................ 299 Vi phân. Đạo hàm cấp cao .................................................................................................... 306 Công Phá Toán – Lớp 11 The best or nothing A. Lý thuyết .................................................................................................................. 306 B. Các dạng toán về vi phân và đạo hàm cấp cao ......................................................... 307 C. Bài tập rèn luyện kỹ năng ........................................................................................ 316 Tiếp tuyến với đồ thị hàm số .................................................................................................. 321 A. Lý thuyết .................................................................................................................. 321 B. Các dạng toán về tiếp tuyến với đồ thị hàm số .......................................................... 321 C. Bài tập rèn luyện kỹ năng ........................................................................................ 325 CHỦ ĐỀ 6: PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG .............................. 329 Phép biến hình ...................................................................................................................... 329 Phép tịnh tiến ....................................................................................................................... 329 A. Lý thuyết .................................................................................................................. 329 B. Các dạng toán về phép tịnh tiến ............................................................................... 330 C. Bài tập rèn luyện kỹ năng ........................................................................................ 337 Đọc thêm: Phép đối xứng trục – Phép đối xứng tâm ............................................................... 343 A. Lý thuyết .................................................................................................................. 343 B. Các dạng toán về đối xứng trục, đối xứng tâm .......................................................... 344 Phép quay ............................................................................................................................. 351 A. Lý thuyết .................................................................................................................. 351 B. Các dạng toán về phép quay .................................................................................... 352 C. Bài tập rèn luyện kỹ năng ........................................................................................ 358 Phép dời hình và hai hình bằng nhau .................................................................................... 363 A. Lý thuyết .................................................................................................................. 363 B. Các dạng toán về phép dời hình ............................................................................... 363 C. Bài tập rèn luyện kỹ năng ........................................................................................ 366 Phép vị tự .............................................................................................................................. 369 A. Lý thuyết .................................................................................................................. 369 B. Các dạng toán về phép vị tự ..................................................................................... 370 C. Bài tập rèn luyện kỹ năng ........................................................................................ 374 Phép đồng dạng .................................................................................................................... 378 A. Lý thuyết .................................................................................................................. 378 B. Các dạng toán về phép đồng dạng ........................................................................... 378 C. Bài tập rèn luyện kỹ năng ........................................................................................ 381 MỤC LỤC More than a book CHỦ ĐỀ 7: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG.. 384 Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng ............................................................................... 384 A. Lý thuyết ................................................................................................................. 384 B. Các dạng toán về đường thẳng và mặt phẳng ........................................................... 387 C. Bài tập rèn luyện kỹ năng ........................................................................................ 391 Đường thẳng song song với đường thẳng ................................................................................ 403 A. Lý thuyết ................................................................................................................. 403 B. Các dạng toán về đường thẳng song song với đường thẳng ........................................ 404 C. Bài tập rèn luyện kỹ năng ........................................................................................ 409 Đường thẳng song song với mặt phẳng .................................................................................. 417 A. Lý thuyết ................................................................................................................. 417 B. Các dạng toán về đường thẳng song song với mặt phẳng .......................................... 418 C. Bài tập rèn luyện kỹ năng ........................................................................................ 422 Mặt phẳng song song với mặt phẳng ...................................................................................... 431 A. Lý thuyết ................................................................................................................. 431 B. Các dạng toán về mặt phẳng song song với mặt phẳng ............................................. 433 C. Bài tập rèn luyện kỹ năng ........................................................................................ 438 CHỦ ĐỀ 8: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC .......................................... 446 Vectơ trong không gian ......................................................................................................... 446 A. Lý thuyết ................................................................................................................. 446 B. Các bài toán về vectơ trong không gian .................................................................... 447 C. Bài tập rèn luyện kỹ năng ........................................................................................ 451 Góc giữa hai đường thẳng. Hai đường thẳng vuông góc .......................................................... 455 Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng .................................................................................. 458 Hai mặt phẳng vuông góc. Góc giữa hai mặt phẳng ............................................................... 462 Bài tập rèn luyện kỹ năng tính góc trong không gian ..................................................... 467 Khoảng cách ......................................................................................................................... 474 A. Lý thuyết ................................................................................................................. 474 B. Các bài toán về khoảng cách ................................................................................... 476 C. Bài tập rèn luyện kỹ năng ........................................................................................ 487 Bài tập ôn tập chủ đề 8 ......................................................................................................... 493 TRA CỨU THUẬT NGỮ TOÁN ........................................................................................................ 508 Công Phá Toán – Lớp 11 More than a book CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Góc lượng giác và công thức lượng giác y 1. Giá trị lượng giác của cung  B M K Trên đường tròn lượng giác (hình 1.1) cho cung AM có sđ AM   : α A’ O H Gọi M  x; y  với tung độ của M là y  OK , hoành độ của M là x  OH thì ta có: A x sin   OK sin  cos  ;  cos   0  cot   ,  sin   0  cos  sin  Các giá trị sin , cos , tan , cot  được gọi là các giá trị lượng giác của cung . tan   B’ Hình 1.1 Các hệ quả cần nắm vững y 1. Các giá trị sin ; cos  xác định với mọi   . Và ta có: B II I O A’ sin    k 2   sin  , k  ; cos    k 2   cos  , k  . H A α K B’ 2. 1  sin   1;  1  cos   1. x M III 3. tan  xác định với mọi   IV Hình 1.2   k,  k  2 4. cot  xác định với mọi   k  ,  k  . . Dấu của các giá trị lượng giác của cung  phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của y cung AM   trên đường tròn lượng giác (hình 1.2). Ta có bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác như sau: I II cos   OH Góc phần tư I x III O Giá trị lượng giác cos IV sin cot  tan  Hình 1.3 II III IV + + + +    +    +   + + Ở hình 1.3 là một cách nhớ khác để xác định dấu của các giá trị lượng giác. 2. Công thức lượng giác Công thức cơ bản Cung đối nhau sin x  cos x  1 sin   x    sin x 1 cos 2 x 1 cot 2 x  1  sin 2 x Công thức cộng cos   x   cos x Cung bù nhau cos  x  y   cos x cos y sin x sin y cos x   cos  x    2 2 tan 2 x  1  sin  x  y   sin x cos y  cos x sin y tan   x    tan x sin x  sin    x  LOVEBOOK.VN| 15 Chủ đề 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác tan  x  y   tan x  tan y 1 tan x tan y The best or nothing tan x  tan  x    Công thức đặc biệt     sin x  cos x  2 sin  x    2 cos  x   4 4   STUDY TIP Ở đây từ các công thức góc nhân đôi, góc nhân ba ta có thể suy ra công thức góc chia đôi, chia ba mà không cần nhớ nhiều công thức.     sin x  cos x  2 sin  x     2 cos  x   4 4   Góc nhân đôi Góc chia đôi 1 sin2 x  1  cos 2x  2 1 cos2 x  1  cos 2 x  2 Góc chia ba 1 sin3 x   3sin x  sin 3x  4 1 3 cos x   3cos x  cos 3x  4 sin 2 x  2 sin x cos x cos 2 x  2 cos 2 x  1  1  2 sin 2 x  cos 2 x  sin 2 x Góc nhân ba sin 3x  3 sin x  4 sin 3 x cos3x  4 cos 3 x  3 cos x 3 tan x  tan 3 x 1  3 tan 2 x Biến đổi tích thành tổng tan 3x  Biến đổi tổng thành tích xy xy cos 2 2 xy xy cos x  cos y  2 sin sin 2 2 xy xy sin x  sin y  2 sin cos 2 2 xy xy sin x  sin y  2 cos sin 2 2 1 cos x cos y  cos  x  y   cos  x  y   2 1 sin x sin y  cos  x  y   cos  x  y   2 1 sin x cos y  sin  x  y   sin  x  y   2 STUDY TIP Từ bảng giá trị lượng giác các cung đặc biệt ở bên ta thấy một quy luật như sau để độc giả có thể nhớ các giá trị lượng giác của các cung đặc biệt: 3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt  (độ) 30 45 60 90  6 1 2  4  3 2 2 2 2 1 3 2 1 2  2 1  (radian) 0 0 4 2 sin 0 Các giá trị ở tử số tăng dần từ cos 1 tan  3 2 0 3 3  sin  30 45 60 90 1 2 2 2 3 2 0 đến 4. Ngược lại đối với giá trị cos , tử số giảm dần từ 4 về 0. LOVEBOOK.VN | 16 cos x  cos y  2 cos 3 0 Không xác định 180  0 1 0 Công Phá Toán – Lớp 11 More than a book Hàm số lượng giác A. Lý thuyết Khái niệm: 1. Hàm số y  sin x và hàm số y  cos x Hàm số f  x  xác định trên D gọi là hàm tuần hoàn nếu tồn tại một số T  0 sao cho với mọi x thuộc D Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với sin của góc lượng giác có số đo rađian bằng x được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y  sin x. Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với côsin (cos) của góc lượng giác có số đo rađian bằng x được gọi là hàm số côsin, kí hiệu là y  cos x.  x  T  D; x  T  D  ta có   f  x  T   f  x  Tập xác định của các hàm số y  sin x; y  cos x là Số dương T nhỏ nhất (nếu có) thỏa mãn tính chất trên gọi là chu kỳ của hàm tuần hoàn. . a) Hàm số y  sin x Nhận xét: Hàm số y  sin x là hàm số lẻ do hàm số có tập xác định D là tập đối xứng và  sin x  sin  x  . Hàm số y  sin x tuần hoàn với chu kì 2. Sự biến thiên: Sự biến thiên của hàm số y  sin x trên đoạn ;  được biểu thị trong sơ đồ   (hình 1.4) phía dưới: y B Khi x tăng từ A’ O A x N + thì điểm M chạy trên đường tròn lượng giác theo chiều dương từ A’ đến B’ và điểm N x M đến chạy dọc trục sin từ O đến B’, ta thấy dần từ 0 đến giảm B’ y B Khi x tăng từ A’ A O x x M N đến thì điểm M chạy trên đường tròn lượng giác theo chiều dương từ B’ đến B và điểm N chạy dọc trục sin từ B’ đến B, ta thấy dần từ đến 1. tăng + B’ y B + M N Khi x tăng từ x A’ thì điểm M chạy trên đường tròn lượng giác theo chiều dương từ B đến A’ và điểm N chạy A x O đến dọc trục sin từ B đến O, ta thấy đến 0. giảm dần từ 1 B’ Hình 1.4 Bảng biến thiên: Từ đây ta có bảng biến thiên của hàm số y  sin x trên đoạn ;  như sau:   LOVEBOOK.VN| 17 Chủ đề 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác The best or nothing B. Các dạng toán liên quan đến hàm số lượng giác Dạng 1 Bài toán tìm tập xác định của hàm số lượng giác Cách 1 Tìm tập D của x để f  x  có nghĩa, tức là  tìm D  x  STUDY TIP Ở phần này chúng ta cần nhớ kĩ điều kiện xác định của các hàm số cơ bản như sau: 1. Hàm số y  sin x và y  cos x xác định trên f  x  . Cách 2 Tìm tập E của x để f  x  không có nghĩa, khi đó tập xác định của hàm số là D  \ E. CHÚ Ý A. Với hàm số 1. . cho bởi biểu thức đại số thì ta có: , điều kiện: * có nghĩa 2. Hàm số y  tan x xác định *   \   k k   2  3. Hàm số y  cot x xác định trên trên  \ k k  có nghĩa và 2. có nghĩa và 3.  , điều kiện: * điều kiện: có nghĩa và B. Hàm số xác định trên . như vậy xác định khi và chỉ khi xác định. * có nghĩa khi và chỉ khi xác định và * có nghĩa khi và chỉ khi xác định và 1 là 2cos x  1    5 A. D  \   k 2,  k 2 k   . B. D  \   k 2 k  3 3   3    5 5 C. D    k 2,  k 2 k   . D. D  \   k 2 k  3 3  3 Đáp án A. Lời giải Cách 1: Hàm số đã cho xác định khi     cos x  cos 3 x  3  k 2   2 cos x  1  0    ,k  . cos x  cos 5  x  5  k 2    3 3   Ví dụ 1: Tập xác định của hàm số y  STUDY TIP Đối với hàm côsin, trong một chu kỳ tuần hoàn của hàm số 0,2   tồn tại hai    5 góc có số đo là và 3 3 cùng thoả mãn  5 1 cos  cos  chính vì 3 3 2 thế ta kết luận được điều kiện như vậy. Từ đây bạn đọc có thể đưa ra lập luận cho sin, tan, cot, từ đó đưa ra tổng kết ban đầu cho giải phương trình lượng giác cơ bản chúng ta sẽ được học trong các bài tiếp theo. LOVEBOOK.VN | 22 Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay tính giá trị của hàm số y  x  .   .  1 tại 2cos x  1  5 và x  ta thấy hàm số đều không xác định, từ đây ta chọn A. 3 3 Công Phá Toán – Lớp 11 More than a book Cách bấm như sau: Nhập vào màn hình 1 : 2 cos  X   1  5 thì máy báo lỗi, tương tự với trường hợp X  . Từ đây 3 3  5 suy ra hàm số không xác định tại x  ; x  . 3 3 Ấn rgán X  Ví dụ 2: Tập xác định của hàm số y  cot x là sin x  1 A. D    \   k 2 k   . 3  B. D     \ k k  .  2  C. D    \   k 2; k k   . 2  D. D    \   k 2 k   . 2  Đáp án C. Lời giải Hàm số đã cho xác định khi STUDY TIP Trong bài toán này, nhiều độc giả có thể chỉ sử dụng điều kiện để hàm phân thức + cot x xác định  sin x  0 + sin x  1  0  x  k sin x  0    , k .  sin x  1  0  x   k 2 2  xác định ( sin x  1  0 ) chứ không chú ý điều kiện để hàm cot x xác định, sẽ bị Ví dụ 3: Tập hợp thiếu điều kiện và chọn D là sai. A. y   \ k k  1  cos x . sin x  không phải là tập xác định của hàm số nào? B. y  1  cos x . 2sin x C. y  1  cos x 1  cos x . D. y  . sin 2 x sin x Đáp án C Lời giải Phân tích: Với các bài toán dạng này nếu ta để ý một x  k sin 2 x  sin 0 2 x  k 2  k  sin 2 x  0     x ,k .  2 sin 2 x  sin  2 x    k 2  x   k  2  chút thì sẽ thấy hàm cosx xác định với mọi x  . Nên ta chỉ xét mẫu số, ở đây có đến ba phương án có sin x  sin 0 x  k 2 sin x  0     x  k, k  . sin x  sin   x    k 2 mẫu số có chứa sin x như nhau đó là A; D và B. Do đó ta chọn luôn được đáp án C. Trong ví dụ trên ta có thể gộp hai họ nghiệm k 2 và   k2 thành k dựa theo lý thuyết sau: Mỗi cung (hoặc góc) lượng giác được biểu diễn bởi một điểm trên đường tròn lượng giác. * x    k 2, k  y được biểu diễn bởi một điểm trên đường tròn lượng giác. * x    k  , k  được biểu diễn bởi hai điểm đối xứng nhau qua O trên đường tròn lượng giác. O Hình 1.11 k 2 , k  được biểu diễn bởi ba điểm cách đều nhau, tạo thành 3 đỉnh của 3 một tam giác đều nội tiếp đường tròn lượng giác. k 2 , k  , n  * được biểu diễn bởi n điểm cách đều nhau, tạo thành n đỉnh * x  n của một đa giác đều nội tiếp đường tròn lượng giác. * x 0 x Giải thích cách gộp nghiệm ở ví dụ 3 ta có: LOVEBOOK.VN| 23 Chủ đề 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác The best or nothing Đọc thêm Dạng 5 Dạng đồ thị của hàm số lượng giác Các kiến thức cơ bản về dạng đồ thị của hàm số lượng giác được đưa ra ở phần 1: Lý thuyết cơ bản: Sau đây ta bổ sung thêm một số kiến thức lý thuyết để giải quyết bài toán nhận dạng đồ thị hàm số lượng giác một cách hiệu quả. Sơ đồ biến đổi đồ thị cơ bản: Đối xứng qua gốc O Tịnh tiến theo trục Ox a đơn vị Tịnh tiến theo trục Oy b đơn vị Đối xứng qua trục Ox Tịnh tiến theo vectơ Tịnh tiến theo trục Ox a đơn vị Đối xứng qua trục Oy Tịnh tiến theo trục Oy b đơn vị Các kiến thức liên quan đến suy diễn đồ thị hàm số chứa trị tuyệt đối: Cho đồ thị hàm số y  f  x  . Từ đồ thị hàm số y  f  x  ta suy diễn: Đồ thị hàm số y  f  x  gồm * Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị y  f  x. * Đối xứng phần đồ thị của hàm số y  f  x    gồm Đồ thị hàm số y  f x phía dưới trục hoành qua trục hoành. * Phần đồ thị của hàm số y  f  x  nằm bên phải trục Oy. * Đối xứng phần đồ thị trên qua trục Oy. Đồ thị hàm số y  u  x  .v  x  với f  x   u  x  .v  x  gồm * Phần đồ thị của hàm số y  f  x  trên miền thỏa mãn u  x   0. * Đối xứng phần đồ thị y  f  x  trên miền u  x   0 qua trục hoành. LOVEBOOK.VN | 44 Công Phá Toán – Lớp 11 More than a book C. Bài tập rèn luyện kỹ năng Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số Câu 1: Tìm tập xác định của hàm số y  A. D  C. D  1  cos x . sin x   . B. D    k k   . \  k 2 k   . D. D  k 2 k   . \ k k  Câu 2: Tập xác định của hàm số y  sin 5x  tan 2x là A. C.   \   k , k  . 2  B.   \   k  1  , k  . D. 2   k  \   , k  . 4 2  . A. C. 1  cos 3 x là 1  sin 3 x   \   k 2 k   . 2  B.  k  k  . \  2 2  D.   \   k k   . 2   k  k  . \ 2    Câu 4: Tập xác định của hàm số y  tan  2 x   là 3  A.   \   k k   . 2  B.   \   k k   . 6  (2) Hàm số y  cos x có tập xác định là . C. 3 B. D   0;   .  C. D  . D. D  Câu 7: Tập xác định của hàm số y   . B.  \0 . 1 1 là  sin x cos x \ k 2 k  .       \   k k   . D. \  k k   .  2   2  Câu 8: Tìm tập xác định của hàm số: y  3tan x  2cot x  x. C. A. D    \   k k   . 2    \   k k   . 2  B.    \ k k   .  2     D. \   k k   . 2 4  Câu 10: Tìm tập xác định của hàm số: 2017 tan 2 x y . sin 2 x  cos 2 x . A.   \   k k   . 2  B.  \  2    \  k k   . 4 2   sin x Câu 11: Tập xác định của hàm số y  . sin x  cos x C. . D. A. D     \   k  k   .  4  B. D     \ k k   .  4  C. D     \   k;  k k   . 2 4    \   k 2 k   . 4  B. D     \ k k   .  4  C. D  sin x . cos x  sin x    \   k 2 k   .  4     \   k;  k k   . 2 4  D. D  D. 4 A. D   0; 2 .   \ k k  A. A. D  Câu 6: Tập xác định của hàm số y  cos x là A. D. D  . Câu 9: Tìm tập xác định của hàm số: 1 y . sin 2 x  cos 2 x Câu 12: Tìm tập xác định của hàm số y  (4) Hàm số y  cot x có tập xác định là    \ k k   . 2   Số mệnh đề đúng là A. 1 B. 2    \  k k   . 2 4  . (3) Hàm số y  tan x có tập xác định là  C. D  D. D       D. \   k k   . \   k k   . 2  12   12  Câu 5: Xét bốn mệnh đề sau (1) Hàm số y  sin x có tập xác định là . C. \ k k     \ k k   . 2   C. Câu 3: Tập xác định D của hàm số y  tan x  B. D    \   k k   . 4  Câu 13: Tập xác định của hàm số y  sin 2 x  1 là A. D   \ k k  . B. D  . C. D     \   k;  k k   . 2 4    \   k 2 k   . 2  Câu 14: Tìm tập xác định của hàm số: D. D  LOVEBOOK.VN| 49 Công Phá Toán – Lớp 11 More than a book Phương trình lượng giác I. Công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản STUDY TIP Không được dùng đồng thời 2 đơn vị độ và radian cho một công thức về nghiệm phương trình lượng giác.  f  x   g  x   k 2 a) sin f  x   sin g  x    k   f  x     g  x   k 2   f  x   g  x   k 2 b) cos f  x   cos g  x    k   f  x    g  x   k 2   f  x   g  x   k  c) tan f  x   tan g  x    k     f  x    k 2   f  x  g  x   k  d) cot f  x   cot g  x    k    f  x   k    Ví dụ 1: Trong các phương trình sau, phương trình nào nhận x   k   là nghiệm?   A. sin 3x  sin   2 x  . 4  B. cos x  sin2x. C. cos4x   cos6x.  2 k 6 3  D. tan 2x   tan . 4 Đáp án B. Lời giải STUDY TIP   sin f  x   sin   f  x    tan f  x    tan   f  x     cot f  x    cot   f  x   cosf  x    cos    f  x   Lưu ý Bạn có thể biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác rồi dùng máy tính để thử nghiệm và kết luận. phần này sẽ được trình bày kỹ hơn trong cuốn Công phá kỹ thuật giải toán CASIO.     3x  4  2 x  k 2 x      A. sin 3 x  sin   2 x    3x       2 x   k 2 4  x      4      2 k 20 5 3  k 2 4 k       2  x  2  2 x  k 2 x  6  k 3    B. cos x  sin 2 x  cos x  cos   2 x    k   x      2 x   k 2   2  x   k 2     2  2    C. cos4x   cos6x  cos4x  cos    6x      x  10  k 5  4 x    6 x  k 2    x    k  4 x      6 x   k 2   2  D. tan 2 x   tan k         tan 2 x  tan     x    k  k  4 8 2  4  So sánh ta được đáp án là B. Ví dụ 2: Phương trình sin 2 x   sin    có nghiệm dạng x    k và x    k  3  k       ;   34  Khi đó tích . 4  2 A.  . 9 Đáp án A.   B.  . 9 bằng: C.  4 2 . 9 D. 2 . 9 Lời giải LOVEBOOK.VN| 63 Chủ đề 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác  The best or nothing Lời giải  Ta có: sin x  cos x  sin x  cos x sin 4 x  sin 2 x cos 2 x  cos 4 x 6 STUDY TIP 1 sin 4 a  cos 4 a  1  sin 2 2 a 2 3 sin 6 a  cos6 a  1  sin 2 2 a 4 1  sin 2 a   sin a  cos a  1  sin 2 a   sin a  cos a  2 2  6 2 2   2 3  sin2 x  cos2 x  3sin2 x cos2 x  1  sin2 2 x 4 3 1  cos 4 x 5  3cos 4 x  1 .  4 2 8 5  3cos4x 7 1 2    cos4x    cos4x  cos 8 16 2 3     2  4 x  3  k 2 x  6  k 2   k    4 x   2  k 2 x     k    3 6 2    Có 2 nghiệm dương nhỏ nhất là x1    và x2  6 3  Vậy x1  x2  . 2 Dạng 2 STUDY TIP Phương trình bậc hai (hoặc phương trình đưa về phương trình bậc hai) đối với một hàm số lượng giác Có dạng: at 2  bt  c  0 với a, b, c  ; a  0 t là một hàm số lượng giác Dạng: a sin f  x   b sin f  x   c  0 2 a cos 2 f  x   b cos f  x   c  0 a tan 2 f  x   b tan f  x   c  0 a cot 2 f  x   b cot f  x   c  0 Phương pháp giải: - Bước 1: Đặt ẩn phụ, tìm điều kiện của ẩn phụ. - Bước 2: Giải phương trình ẩn phụ. - Bước 3: Từ nghiệm tìm được đưa về phương trình lượng giác cơ bản. Ví dụ 1: Các điểm A , A, B , B được biểu diễn trên đường tròn lượng giác thì các STUDY TIP Một số công thức hay sử dụng: sin 2 a  1  cos 2 a cos 2 a  1  sin 2 a 1  1  tan 2 a cos 2 a 1  1  cot 2 a sin 2 a 1 sin a cos a  sin 2 a 2 cos 2 a  2 cos 2 a  1 cos 2 a  1  2 sin 2 a Lưu ý Bạn có thể nhẩm nghiệm nhanh để được: nghiệm của phương trình sin2 x  4sin x  3  0 là: B A. sđ AB B. sđ AA. x C. sđ AB D. sđ AB và sđ AB . LOVEBOOK.VN | 70 A’ O A B’ Đáp án C. Lời giải Đặt sin x  t  t  1;1 x    t  1 Phương trình sin 2 x  4 sin x  3  0  t 2  4t  3  0   t  3  loai    Với t  1  sin x  1  x    k 2; k  2 Vậy nghiệm của phương trình là sđ AB . Ví dụ 2: Nghiệm âm lớn nhất của phương trình kết quả. y  A.  . 2 B.  5 . 6 3  3cot x  3 là: sin 2 x  C.  . 6 D.  2 . 3 Chủ đề 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác The best or nothing - TH1: x      13      k . Chọn k  0;1  x   ;    0;  48 4  48 48   2  - TH2: x      13 5     ;    0;   k . Chọn k  0;1; 2  x   ; 60 5  60 60 12   2    Vậy phương trình có 5 nghiệm thuộc  0;  .  2 Phương trình đẳng cấp Dạng 4 Là phương trình dạng f  sin x;cos x   0 trong đó lũy thừa của sin x và cos x cùng bậc chẵn hoặc lẻ. Phương pháp giải: STUDY TIP - a sin x  b sin x cos x 2 PT c cos x  d là phương trình đẳng cấp bậc 2. 2  - Số thực d  d sin 2 x  cos 2 x  có thể hiểu là một biểu thức bậc 2 với sin x;cos x . - Bước 1: Xét cos x  0  Kết luận nghiệm. - Bước 2: Xét cos x  0, ta chia 2 vế của phương trình cho cosn x (n là bậc cao nhất) đưa về phương trình bậc cao của tan x. Ví dụ 1: Nghiệm của phương trình 2sin2 x  5sin x cos x  cos2 x  2 (1) là:  3 A. x  arctan     k  k   5  3 B. x  arctan     k 2  k   5 .    x  2  k C.  k   x  arctan   3   k     5     x  2  k 2 D.  k   x  arctan   3   k 2      5  . . . Đáp án C. Lời giải + Với cos x  0  sin2 x  1. Thay vào phương trình (1)  2  2 luôn đúng   k là nghiệm của (1). 2 STUDY TIP sin 2 x  2sin x cos x  cos x  0  x  1  1  tan 2 x cos2 x + Với cos x  0, chia 2 vế cho cos2 x ta được: (1)  2 tan 2 x  5tan x  1  2.  1 cos2 x  2 tan 2 x  5 tan x  1  2 1  tan 2 x   3 3  tan x    x  arctan     k  k  5  5     x  2  k Kết luận: Nghiệm của phương trình (1) là  k   x  arctan   3   k     5  . Lưu ý: - Khi nhìn các phương án trả lời của bài này bạn phải chia 2 vế cho cos2 x  0 để đưa về phương trình bậc 2 theo tan x. - Tuy nhiên đối với các phương án trả lời có nghiệm biểu diễn dạng khác. Bạn đọc có thể giải theo các cách sau: + Xét sin x  0 không thỏa mãn phương trình (1) + Với sin x  0 , chia cả 2 vế cho sin2 x đưa về phương trình bậc 2 theo cot x. LOVEBOOK.VN | 74 Chủ đề 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác The best or nothing Bài tập rèn luyện kỹ năng Phương trình lượng giác cơ bản Câu 10: Nghiệm âm lớn nhất của phương trình Câu 1: Phương trình sin  x  10   x  cot x  tan    là: 2 2 1 với 0  x  180 2 A. x   A. x  30 và x  150. B. x  20 và x  140. C. x  40 và x  160. D. x  30 và x  140. Câu 2: Số nghiệm của phương trình   2 cos  x    1 4  B. 1. B. x   4 . 3 D. x  0.  . 3 Câu 11: Trong các phương trình sau, phương trình nào vô nghiệm? với 0  x  2  là: A. 0. 2 . 3 C. x   có nghiệm là: C. 2. A. tan x  99.   Câu 3: Phương trình sin  5x    m  2 có nghiệm 2  B. cot 2018 x  2017. 3 C. sin 2 x   . 4 D. 3.    2 . D. cos  2 x    2 3  khi: A. m  1; 3  .   B. m  1;1 .   Một số phương trình lượng giác thường gặp C. m  . D. m   1; 3  . Câu 12: Số nghiệm phương trình 2sin x  3  0 trên Câu 4: Phương trình tan  3 x  60   m2 có nghiệm khi: A. m  1;1 .   A. 1. D. m  . B. x  1  arctan 2  k   k  C. x  arctan 2  k 2   k  C. 3. D. 4. khi: A. m  0. Câu 5: Phương trình tan  x  1  2 có nghiệm là: A. x  1  arctan 2  k   k  B. 2. Câu 13: Phương trình m tan x  3  0 có nghiệm B. m  0;1 .   C. m  . 0; 2  là:   C. 1  . B. m  . 3  1. m D. 1  3  1. m Câu 14: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để . phương trình 2 cos 2 x  m  1  0 có nghiệm? . A. 1. k  k  . 2 Câu 6: Tổng các nghiệm của phương trình tan x  1 D. x  1  arctan 2  trên khoảng  0; 10  là: B. 2. C. 3. D. Vô số. Câu 15: Tổng các nghiệm của phương trình 2 sin  x  20   1  0 trên  0;180  là: A. 210. B. 200. C. 170. D. 140. Câu 16: Phương trình sin x  3 cos x  0 có nghiệm 15 3 7 A. B. C. D. 8 . . . . 4 2 2 Câu 7: Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình cos x  0 ? A. sin x  1. 1 A. m  . 3 B. m  3. thì giá trị m là: C. m  3. 1 D. m   . 3 Câu 17: Tổng 2 nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất của B. sin x  1. C. tan x  0. dạng x  arccot m  k; k  D. cot x  0. phương trình 2 sin 2 x  7 sin x  4  0 là:    Câu 8: Phương trình cos  x    sin 3 6  A. . có các B. 4 . 3 C.  . 6 nghiệm dạng x    k2 và x    k 2   0   ,     . Câu 18: Tập nghiệm của phương trình Khi đó    bằng: D. 5 . 6 tan x  3 0 2cos x  1 là: A. 0.  B.  . 6 C. 2 . 3 D.  2 . 3   Câu 9: Phương trình cos 2 x   cos  x   có bao 2  nhiêu nghiệm thuộc  0; 10   ? A. 14. B. 15. LOVEBOOK.VN | 94 C. 16.   A. S    k; k   . 3    B. S     2k  1 ; k   . 3    C. S    k 2; k   . 3      D. S    k ; k   . 3 2   Câu 19: Nghiệm của phương trình D. 17. 2 tan 2 x  3  3 là: cos x Công Phá Toán – Lớp 11 More than a book CHỦ ĐỀ 2: TỔ HỢP – XÁC SUẤT A. Lý thuyết Quy tắc đếm 1. Quy tắc cộng Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất thì công việc đó có m  n cách thực hiện. Công việc Hành động 2 Hành động 1 Chú ý: Số phần tử của tập hợp hữu hạn X được kí hiệu là: X hoặc n  X  . Quy tắc cộng được phát biểu ở trên thực chất là quy tắc đếm số phần tử của hợp hai tập hợp hữu hạn không giao nhau: Có m cách Có n cách Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn không giao nhau, thì n  A  B  n  A  n  B . Mở rộng Một công việc được hoàn thành bởi một trong k hành động A1 , A2 , A3 ,..., Ak . Nếu hành động A1 có m1 cách thực hiện, hành động A 2 có m 2 cách thực hiện,…, hành động A k có m k cách thực hiện và các cách thực hiện của các hành động trên Có m+n cách thực hiện công việc 2. Quy tắc nhân Công việc Hành động 1 không trùng nhau thì công việc đó có m1  m2  ...  mk cách thực hiện. Hành động 2 Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai thì công việc đó có m.n cách thực hiện. Mở rộng Có m cách Có n cách Một công việc được hoàn thành bởi k hành động A1 , A2 , A3 ,..., Ak liên tiếp. Nếu hành động A1 có m1 cách thực hiện, ứng với mỗi cách thực hiện hành động A1 có m 2 cách thực hiện hành động A2 ,..., có m k cách thực hiện hành động A k Có m.n cách thực hiện thì công việc đó có m1 .m2 ...mk cách hoàn thành. Hoán vị - chỉnh hợp – tổ hợp 1. Hoán vị STUDY TIP Hai hoán vị của n phần tử chỉ khác nhau ở thứ tự sắp xếp. Chẳng hạn, hai hoán vị abc và acb của ba phần tử a, b, c là khác nhau. Cho tập hợp A có n phần tử ( n  1 ). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. Số các hoán vị của tập hợp có n phần tử được kí hiệu là Pn . Định lý 1 Pn  n. n  1 ...2.1  n! với Pn là số các hoán vị. Chứng minh Việc sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A là một công việc gồm n công đoạn. Công đoạn 1: chọn phần tử xếp vào vị trí thứ nhất: n cách. Công đoạn 2: chọn phần tử xếp vào vị trí thứ hai:  n  1 cách. LOVEBOOK.VN| 107 Công Phá Toán – Lớp 11 More than a book Vậy số các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là 8! 7!   5880 số. 3! 3! Ví dụ 12: Cho 8 bạn học sinh A, B, C, D, E, F, G, H. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 8 ĐỌC THÊM Hoán vị vòng quanh: Cho tập A gồm n phần tử. Một cách sắp xếp n phần tử của tập A thành một dãy kín được gọi là một hoán vị vòng quanh của n phần tử. Số các hoán vị vòng quanh của n phần tử là Qn   n  1! bạn đó ngồi xung quanh 1 bàn tròn có 8 ghế? A. 40320 cách. B. 5040 cách. C. 720 cách. D. 40319 cách. Đáp án B Lời giải Ta thấy ở đây xếp các vị trí theo hình tròn nên ta phải cố định vị trí một bạn. Ta chọn cố định vị trí của A, sau đó xếp vị trí cho 7 bạn còn lại có 7 ! cách. Vậy có 7!  5040 cách. Ví dụ 13: Một thầy giáo có 10 cuốn sách khác nhau trong đó có 4 cuốn sách Toán, 3 cuốn sách Lí và 3 cuốn sách Hóa. Thầy muốn lấy ra 5 cuốn và tặng cho 5 em học sinh A, B, C, D, E mỗi em một cuốn. Hỏi thầy giáo có bao nhiêu cách tặng cho các em học sinh sao cho sau khi tặng sách xong, mỗi một trong ba loại sách trên đều còn ít nhất một cuốn. A. 204 B. 24480 C. 720 D. 2520 Đáp án B. Lời giải Ta thấy với bài toán này nếu làm trực tiếp thì sẽ khá khó, nên ta sẽ làm theo cách gián tiếp. Tìm bài toán đối đó là tìm số cách sao cho sau khi tặng sách xong có 1 môn hết sách. TH1: Môn Toán hết sách: STUDY TIP Ở đây có nhiều độc giả không xét đến công đoạn sau khi chọn sách còn công đoạn tặng sách nữa. Do các bạn A, B, C, D, E là khác nhau nên mỗi cách tặng sách các môn cho các bạn là khác nhau, nên ta phải xét thêm công đoạn đó. Số cách chọn 4 cuốn sách Toán là 1 cách. Số cách chọn 1 cuốn trong số 6 cuốn còn lại là 6 cách. Vậy có 6 cách chọn sách. 5 Số cách tặng 5 cuốn sách đó cho 5 em học sinh là A5  120 cách. Vậy có 6.120  720 cách TH2: Môn Lí hết sách: Số cách chọn 3 cuốn sách Lí là 1 cách. 2 Số cách chọn 2 cuốn trong số 7 cuốn còn lại là C7 cách. Vậy có 21 cách chọn. 5 Số cách tặng 5 cuốn sách đó cho 5 em học sinh là A5  120 Vậy có 21.120  2520 cách chọn sách. TH3: Môn Hóa hết sách: Tương tự trường hợp 2 thì có 2520 cách. Số cách chọn 5 quyển bất kì trong số 10 quyển sách đó và tặng cho 5 em học 5 5 5 sinh là C10 . A5  252. A5  30240 cách. Vậy số cách chọn sao cho sau khi tặng sách xong, mỗi loại sách trên đều còn lại ít nhất một cuốn là 30240  720  2520  2520  24480 cách. LOVEBOOK.VN| 115 Chủ đề 2: Tổ hợp – Xác suất The best or nothing C. Bài tập rèn luyện kỹ năng Câu 1: Trong một lớp có 17 bạn nam và 11 bạn nữ. Câu 6: Một đội văn nghệ chuẩn bị được 2 vở kịch, 3 a) Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra hai bạn, trong đó có điệu múa và 6 bài hát. Tại hội diễn, mỗi đội chỉ được một bạn nam và một bạn nữ? trình diễn một vở kịch, 1 điệu múa và 1 bài hát. Hỏi b) Hỏi có bao nhiêu cách chọn một bạn làm lớp đội văn nghệ trên có bao nhiêu cách chọn chương trưởng? trình diễn, biết chất lượng các vở kịch, điệu múa, bài A. a. 187 cách và b. 28 cách hát là như nhau? B. a. 28 cách và b. 187 cách. A. 11 B. 36 C. 25 D. 18 C. a. 17 cách và b. 11 cách. Câu 7: Có bao nhiêu cách sắp xếp 8 viên bi đỏ khác D. a. 11 cách và b. 17 cách. nhau và 8 viên bi đen khác nhau xếp thành một dãy Câu 2: Các thành phố A, B, C, D được nối với nhau bởi sao cho hai viên bi cùng màu không được ở cạnh nhau. các con đường như hình dưới. Hỏi có bao nhiêu cách A. 3251404800 B. 1625702400 đi từ A đến D rồi quay lại B. C. 72 D. 36 Câu 8: Sắp xếp 5 học sinh học lớp A và 5 học sinh học A D C B lớp B vào hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy 5 ghế sao cho 2 học sinh ngồi đối diện nhau thì khác lớp. Khi đó số cách xếp là A. 460000 B. 460500 A. 576 B. 24 C. 144 D. 432 C. 460800 D. 460900 Câu 9: Có 20 cặp vợ chồng tham dự chương trình Câu 3: Một lớp học có 25 học sinh khá môn Toán, 24 Gameshow truyền hình thực tế. Có bao nhiêu cách học sinh khá môn Ngữ Văn, 10 học sinh khá cả môn chọn ra 2 cặp đôi sao cho 2 cặp đó là hai đôi vợ chồng? Toán và môn Ngữ Văn và 3 học sinh không khá cả Toán và Ngữ Văn. Hỏi lớp học đó có bao nhiêu học sinh? A. 39 B. 42 C. 62 D. 52 Câu 4: Trong kì thi tuyển nhân viên chuyên môn cho công ty cổ phần Giáo dục trực tuyến VEDU, ở khối A có 51 thí sinh đạt điểm giỏi môn Toán, 73 thí sinh đạt điểm giỏi môn Vật lí, 64 thí sinh đạt điểm giỏi môn Hóa học, 32 thí sinh đạt điểm giỏi cả hai môn Toán và Vật lý, 45 thí sinh đạt điểm giỏi cả hai môn Vật lí và Hóa học, 21 thí sinh đạt điểm giỏi cả môn Toán và môn Hóa học và 10 thí sinh đạt điểm giỏi cả ba môn Toán, Vật lí, Hóa học. Có 767 thí sinh mà cả ba môn đều không có điểm giỏi. Hỏi có bao nhiêu thí sinh tham dự tuyển nhân viên chuyên môn cho công ty? A. 867 B. 776 C. 264 D. 767 Câu 5: Người ta phỏng vấn 100 người về ba bộ phim A, B, C đang chiếu thì thu được kết quả như sau Bộ phim A: có 28 người đã xem. Câu 10: Cho tập A  2; 5 . Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 10 chữ số sao cho không có chữ số 2 nào đứng cạnh nhau? A. 144 số B. 143 số C. 1024 số D. 512 số. Câu 11 : Có 6 học sinh và 3 thầy giáo A, B, C. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ cho 9 người đó ngồi trên một hàng ngang có 9 ghế sao cho mỗi thầy giáo ngồi giữa 2 học sinh? A. 43200 B. 720 C. 60 D. 4320 Câu 12: Trong một tổ học sinh có 5 em gái và 10 em trai. Thùy là một trong 5 em gái và Thiện là một trong 10 em trai đó. Thầy chủ nhiệm chọn một nhóm 5 bạn tham gia buổi văn nghệ tới. Hỏi thầy chủ nhiệm có bao nhiêu cách chọn mà trong đó có ít nhất một trong hai em Thùy hoặc Thiện không được chọn. A. 286 B. 3003 C. 2717 D. 1287 Câu 13: Một nhóm học sinh có 7 em nam và 3 em nữ. A. 241920 B. 30240 Có 4 người đã xem hai bộ phim B và C. C. 5040 D. 840 Câu 14: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập Có 3 người đã xem hai bộ phim A và C. Có 2 người đã xem cả ba bộ phim A; B và C. Số người không xem bất cứ phim nào trong cả ba bộ phim A, B, C. LOVEBOOK.VN | 116 D. 5040 em nam nào? Có 8 người đã xem hai bộ phim A và B. C. 32 C. 90 ngang sao cho giữa hai em nữ bất kì đều không có một Bộ phim C: có 14 người đã xem. B. 45 B. 116280 Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 em này trên một hàng Bộ phim B: có 26 người đã xem. A. 55 A. 380 D. 51 được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8. A. 720 số. B. 504 số. C. 936 số. D. 1440 số. Chủ đề 2: Tổ hợp – Xác suất The best or nothing Nhị thức Newton A. Lý thuyết 1. Công thức nhị thức Newton Khai triển  a  b  được cho bởi công thức sau: n Định lý 1 STUDY TIP Trong biểu thức ở VP của công thức  1 a) Số các hạng tử là n  1. b) Các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến n, nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n. c) Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau. Với a, b là các số thực và n là số nguyên dương, ta có n  a  b  C a n k 0 0 1 k n b  Cn an  Cn an1b  ...  Cn a n k b k  ...  C n bn .  1 k n k k n Quy ước a  b0  1 0 Công thức trên được gọi là công thức nhị thức Newton (viết tắt là Nhị thức Newton). Hệ quả 0 1 Với a  b  1, thì ta có 2n  Cn  Cn  ...  Cn . n 1 k n Với a  1; b  1, ta có 0  C n0  Cn  ...   1 Cn  ...   1 Cn k n Các dạng khai triển cơ bản nhị thức Newton  x  1 1  x   x  1 n 0 1 2 k n n  Cn xn  Cn xn1  Cn xn 2  ...  Cn xn k  ...  Cn 1 x  Cn n 0 1 2 k n n  Cn  Cn x  Cn x 2  ...  Cn x k  ...  Cn 1 x n1  Cn x n n 0 1 2 k  Cn xn  Cn x  Cn x 2  ...   1 Cn x k  ...   1 k n 1 n n Cn 1 x n1   1 Cn x n n k n Cn  Cn  k k k k 1 Cn  Cn 1  Cn1 ,  n  1 k k.Cn  n  n  1 ! k.n!   nC k 1  n  k ! k !  n  k ! k  1! n1  n  1! n! 1 1 k k 1   Cn  Cn  1 k 1  k  1 n  k ! k !  n  1 n  k ! k  1! n  1 2. Tam giác Pascal. 1 n 0 1 1 n 1 1 2 1 n 2 1 3 3 1 n 3 1 4 6 4 n 4 6 10 10 5 n 5 1 Tam giác Pascal được thiết lập theo quy luật sau 1 1 - Đỉnh được ghi số 1. Tiếp theo là hàng hứ nhất ghi hai số 1. - Nếu biết hàng thứ n  n  1 thì hàng thứ n  1 tiếp thoe được thiết lập bằng cách cộng hai số liên tiếp của hàng thứ n rồi viết kết quả xuống hàng dưới ở vị trí giữa hai số này. Sau đó viết số 1 ở đầu và cuối hàng. Nhận xét: Xét hàng thứ nhất, ta có: 0 1 1  C1 , 1  C1 . STUDY TIP Các số ở hàng thứ n trong tam giác Pascal là dãy gồm 0 1 2 n n n  1 số Cn ,Cn ,Cn ,...,Cn 1 ,Cn . Ở hàng thứ hai, ta có 0 1 2 1  C2 , 2  C2 , 1  C2 . Ở hàng thứ ba, ta có 0 1 2 3 1  C3 , 3  C3 , 3  C3 , 1  C3 . LOVEBOOK.VN | 124 Công Phá Toán – Lớp 11 More than a book B. Các dạng toán sử dụng công thức tổ hợp và nhị thức Newton Dạng 1 Xác định điều kiện của số hạng thỏa mãn yêu cầu cho trước Phương pháp chung: k - Xác định số hạng tổng quát của khai triển Tk 1  Cn an k b k (số hạng thức k  1 ). - Từ Tk 1 kết hợp với yêu cầu bài toán ta thiết lập một phương trình (thông thường theo biến k). - Giải phương trình để tìm kết quả. 7  1 Ví dụ 1: Trong khai triển  a 2   , số hạng thứ năm là b  6 4 A. 35a b B. 35a6b4 C. 21a4 b5 D. 21a4b5 Đáp án B. Lời giải Theo công thức tổng quát ở lý thuyết thì ta có số hạng thứ 5 là 4 7   C a 2 3 4  1 6 4     35a b .  b 10  3  Ví dụ 2: Trong khai triển  2 3 x   ,  x  0  số hạng không chứa x sau khi x  khai triển là A. 4354560 B. 13440 C. 60466176 D. 20736 Đáp án A. Lời giải STUDY TIP Trong các bài toán tìm số hạng trong khi khai triển các nhị thức, ta chú ý các công thức sau x  m n  x m. n , x m x n  x m  n m xm  xm  n , n xm  x n n x 10 1  1    3  3 2 Ta có  2 3 x     2.x  3.x    x    10 Từ lý thuyết ở trên ta có số hạng thứ k  1 trong khai triển là k C10 .210  k .3 k .x 10  k 3 .x  k 2 k  C10 .210  k .3 k .x 20  5 k 6 Theo yêu cầu đề bài ta có 20  5k  0  k  4. Vậy số hạng không chứa x trong 4 khai triển là C10 .26.34  210.256.81  4354560. Cho bài toán: Cho nhị thức P   a  x   b  x   tìm số hạng chứa x (không chứa x khi   n   0 ) trong khai triển đa thức P. - Giải phương trình tổ hợp hoặc sử dụng phép tính tổng để tìm n (nếu giả thuyết chưa cho n) f n ,k - Số hạng tổng quát trong khai triển Tk 1  g  n, k  .x   - Theo đề thì f  n, k     k  k0 . Thay k  k0 vào g  n, k  thì ta có số hạng cần tìm. LOVEBOOK.VN| 125
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan