Cơ sở lý thuyết hàm biến phức
Nguyễn Thủy Thanh
NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2006, 565 Tr.
Từ khoá: Mặt phẳng phức, Hàm số phức, số phức, Hàm biến phức, Điểm tụ,
Biên của tập hợp, Tập hợp compact, Hàm phức biến thực, Miền đơn liên, Đa
liên, Hàm chỉnh hình, Ánh xạ bảo giác, Ánh xạ chỉnh hình, Nguyên lý thác triển
giải tích, tập hợp mờ, Hàm đa trị, Diện đa liên, Lý thuyết thặng dư, Hàm đơn
diệp, Phiến hàm liên tục, Diện Riemann.
Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể sử dụng cho mục
đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn
phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và
tác giả.
˜ N THUY
’ THANH
NGUYÊ
. ’.
´T
CO SO LÝ THUYÊ
.
´
HÀM BIÊN PHÚ C
´T BA
´C GIA HÀ NÔI
’ N DAI HOC QUÔ
NHÀ XUÂ
.
.
.
Hà Nô.i – 2006
Mu.c lu.c
`u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lò.i nói dâ
1 Mă.t phă’ng phú.c và hàm biê´n phú.c
1.1 Tâ.p ho..p sô´ phú.c, mă.t phă’ng phú.c . .
- i.nh nghı̃a sô´ phú.c . . . . . . .
1.1.1 D
1.1.2 Da.ng da.i sô´ cu’a sô´ phú.c . . . .
1.1.3 Phép trù. và phép chia sô´ phú.c
1.1.4 Mă.t phă’ng phú.c . . . . . . . .
1.1.5 Môdun và acgumen cu’a sô´ phú.c
1.1.6 Phép khai căn sô´ phú.c . . . . .
1.2
10
. . . . . . . . . . . . . 11
. . . . . . . . . . . . . 12
. . . . . . . . . . . . . 16
. . . . . . . . . . . . . 18
. . . . . . . . . . . . . 19
. . . . . . . . . . . . . 20
. .
.
1.1.7 Da.ng mũ cu’a sô´ phú c . . . . . . .
` mă.t phă’ng mo’. rô.ng .
1.1.8 Khái niê.m vê
1.1.9 Khoa’ng cách trên C . . . . . . . .
Các khái niê.m tôpô co. ba’n trên mă.t phă’ng
1.2.1
1.2.2
1.2.3
1.2.4
1.2.5
1.2.6
1.2.7
1.2.8
1.2.9
Tôpô
`n
Phâ
- iê’m
D
8
. . . . . . . . . . . 28
. . . . . . . . . . . 29
. . . . . . . . . . . 30
. . . . . . . . . . . 33
phú.c . . . . . . . 35
trên C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
` n ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . 38
trong và phâ
tu.
Biên cu’a
Tâ.p ho..p
Tâ.p ho..p
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
tâ.p ho..p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
compă´c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
liên thông . . . . .
.
Hàm phú c biê´n thu..c. Tuyê´n
` ng luân . . . . . . .
Phép dô
` n do.n liên và da liên . .
Miê
. . . . . . . . . . . . . . . 42
và du.ò.ng cong . . . . . . 46
. . . . . . . . . . . . . . . 53
. . . . . . . . . . . . . . . 56
2
MU
. C LU
.C
1.3
1.4
1.5
1.6
Hàm biê´n phú.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
- i.nh nghı̃a hàm biê´n phú.c . . . . . . . . .
1.3.1 D
` ánh xa. do.n diê.p . . . . . . .
1.3.2 Các vı́ du. vê
1.3.3 Gió.i ha.n cu’a hàm . . . . . . . . . . . . . .
`u . . . . . . . .
1.3.4 Tı́nh liên tu.c và liên tu.c dê
` n phú.c . . . . .
Lý thuyê´t dãy và chuô˜ i trong miê
1.4.1 Gió.i ha.n cu’a dãy diê’m . . . . . . . . . . .
1.4.2 Chuô˜ i sô´ phú.c và su.. hô.i tu. cu’a nó . . . .
1.4.3 Dãy và chuô˜ i hàm . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Chuô˜ i lũy thù.a . . . . . . . . . . . . . . .
` u trên tù.ng compă´c . . . . . .
1.4.5 Su.. hô.i tu. dê
Hàm arg z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Tı́nh liên tu.c cu’a hàm arg z . . . . . . . .
1.5.2 Sô´ gia cu’a acgumen do.c theo du.ò.ng cong .
1.5.3 Nhánh do.n tri. liên tu.c cu’a hàm arg z . . .
Bài tâ.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Hàm chı’nh hı̀nh
2.1 Hàm kha’ vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Hàm R2 - kha’ vi . . . . . . . . . . . .
- a.o hàm theo phu.o.ng . . . . . . . . .
2.1.2 D
2.1.3 Hàm C - kha’ vi . . . . . . . . . . . . .
2.1.4 Mô´i liên hê. giũ.a C - kha’ vi và R2 - kha’
2.1.5 Hàm chı’nh hı̀nh . . . . . . . . . . . . .
2.1.6 Không gian các hàm chı’nh hı̀nh . . . .
2.2 Mô.t sô´ hàm chı’nh hı̀nh so. câ´p . . . . . . . . .
- a thú.c và hàm hũ.u ty’ . . . . . . . .
2.2.1 D
√
2.2.2 Hàm w = z n và z = n w, n ∈ N . . . .
2.2.3 Hàm ez . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Hàm lôgarit . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Hàm lũy thù.a z α, α ∈ R . . . . . . . .
2.2.6 Các hàm so. câ´p khác . . . . . . . . . .
. .
. .
. .
. .
vi
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
. .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
59
59
62
64
67
72
72
75
79
85
92
95
95
96
98
100
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
105
. 106
. 106
. 108
. 110
. 114
. 115
. 121
. 122
. 122
. 122
. 124
. 126
. 130
. 131
MU
. C LU
.C
2.3
2.4
2.5
2.2.7 Nhánh chı’nh hı̀nh cu’a hàm da tri. . . .
Hàm chı’nh hı̀nh và ánh xa. ba’o giác . . . . . .
2.3.1 Ý nghı̃a hı̀nh ho.c cu’a acgumen cu’a da.o
2.3.2 Ý nghı̃a hı̀nh ho.c cu’a môdun da.o hàm
2.3.3 Ánh xa. ba’o giác . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Ánh xa. liên tu.c và ánh xa. chı’nh hı̀nh .
Các d ă’ng câ´u so. câ´p . . . . . . . . . . . . . .
- ă’ng câ´u phân tuyê´n tı́nh . . . . . . .
2.4.1 D
2.4.2 Ánh xa. w = ez và z = log w . . . . . .
2.4.3 Hàm Jukovski . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4 Các dă’ng câ´u so. câ´p khác . . . . . . .
2.4.5 Mô.t sô´ vı́ du. . . . . . . . . . . . . . . .
Bài tâ.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
. . .
. . .
hàm
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
134
138
138
140
141
143
146
147
160
164
172
175
183
3 Lý thuyê´t tı́ch phân hàm chı’nh hı̀nh
188
.
` n phú c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
3.1 Tı́ch phân trong miê
- i.nh nghı̃a tı́ch phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
3.1.1 D
.
3.1.2 U ó.c lu.o..ng tı́ch phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
3.1.3 Tı́nh tı́ch phân bă`ng phu.o.ng pháp qua gió.i ha.n . . . . 194
3.1.4 Da.ng vi phân dúng và da.ng vi phân dóng . . . . . . . 200
3.1.5 Tı́ch phân du.ò.ng phu. thuô.c tham sô´ . . . . . . . . . . 213
3.2 Lý thuyê´t Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
3.2.1 Nguyên hàm di.a phu.o.ng cu’a hàm chı’nh hı̀nh . . . . . 217
3.2.2 Nguyên hàm cu’a hàm chı’nh hı̀nh theo tuyê´n . . . . . . 223
` ng luân227
3.2.3 Tı́nh bâ´t biê´n cu’a tı́ch phân dô´i vó.i các tuyê´n dô
3.2.4 Công thú.c tı́ch phân co. ba’n thú. nhâ´t cu’a Cauchy . . . 231
` n do.n liên . . . . . . . . . . . . 234
3.2.5 Nguyên hàm trong miê
3.2.6 Công thú.c tı́ch phân Cauchy (công thú.c co. ba’n thú.
hai cu’a Cauchy) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
3.2.7 Biê’u diê˜ n tı́ch phân dô´i vó.i da.o hàm cu’a hàm chı’nh hı̀nh241
- iê
` u kiê.n du’ dê’ hàm f chı’nh hı̀nh . . . . . . . . . . . . 250
3.2.8 D
` u hòa và mô´i liên hê. vó.i hàm chı’nh hı̀nh . . . 250
3.2.9 Hàm diê
4
MU
. C LU
.C
3.3
3.2.10 Tı́ch phân da.ng Cauchy. Công thú.c
Sokhotski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
` u hòa . . . . . . . . . . . . 270
3.2.11 Biê’u diê˜ n tı́ch phân hàm diê
Bài tâ.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
278
4 Các tı́nh châ´t co. ba’n cu’a hàm chı’nh hı̀nh
.
4.1 Các kê´t qua’ quan tro.ng nhâ´t rút ra tù tı́ch phân Cauchy . . . 279
- i.nh lý giá tri. trung bı̀nh . . . . . . . . . . . . . . . . 279
4.1.1 D
- .inh lý Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
4.1.2 D
- i.nh lý Weierstrass vê
` chuô˜ i hàm hô.i tu. dê
` u . . . . . . 284
4.1.3 D
4.1.4 Tı́nh châ´t di.a phu.o.ng cu’a hàm chı’nh hı̀nh. Chuô˜ i Taylor288
4.1.5 Các quan diê’m khác nhau trong viê.c xây du..ng lý
thuyê´t hàm chı’nh hı̀nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
4.2 Tı́nh châ´t duy nhâ´t cu’a hàm chı’nh hı̀nh . . . . . . . . . . . . 310
4.2.1 Không diê’m (0-diê’m) cu’a hàm chı’nh hı̀nh . . . . . . . 310
4.2.2 Tı́nh châ´t duy nhâ´t cu’a hàm chı’nh hı̀nh . . . . . . . . 313
4.2.3 Nguyên lý thác triê’n gia’i tı́ch . . . . . . . . . . . . . . 317
4.2.4 Nguyên lý môdun cu..c da.i . . . . . . . . . . . . . . . . 320
- iê’m bâ´t thu.ò.ng cô lâ.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
4.3 D
4.3.1 Chuô˜ i Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
- iê’m bâ´t thu.ò.ng cô lâ.p do.n tri. . . . . . . . . . . . . . 337
4.3.2 D
4.3.3 Dáng diê.u cu’a hàm ta.i diê’m vô cùng . . . . . . . . . . 348
4.3.4 Phân loa.i hàm chı’nh hı̀nh . . . . . . . . . . . . . . . . 350
4.4 Tı́nh bâ´t biê´n cu’a tâ.p ho..p mo’. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
4.4.1 Nguyên lý acgumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
- .inh lý Rouché . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
4.4.2 D
4.4.3 Tı́nh bâ´t biê´n cu’a tâ.p ho..p mo’. . . . . . . . . . . . . . . 363
4.5 Bài tâ.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
5 Hàm d a tri. và diê.n Riemann
369
.
.
5.1 Phu o ng pháp thác triê’n cu’a Weierstrass . . . . . . . . . . . . 370
` n tu’. chı́nh tă´c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
5.1.1 Phâ
MU
. C LU
.C
5
- iê’m bâ´t thu.ò.ng cu’a phâ
` n tu’. chı́nh tă´c . .
D
5.1.3 Phu.o.ng pháp thác triê’n cu’a Weierstrass . .
5.1.4 Hàm không cho phép thác triê’n gia’i tı́ch . .
Các phu.o.ng pháp khác . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2
5.2
Thác triê’n gia’i tı́ch theo tuyê´n . . . .
5.2.2 Thác triê’n dô´i xú.ng . . . . . . . . .
Hàm gia’i tı́ch d u’ . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Khái niê.m hàm gia’i tı́ch du’ . . . . .
5.2.1
5.3
5.3.2
5.3.3
5.3.4
5.3.5
5.4
5.5
. . . . . . 372
. . . . . . 373
. . . . . . 378
. . . . . . 380
. . . . . . . . . . 380
. . . . . . . . . . 386
. . . . . . . . . . 391
. . . . . . . . . . 391
Mô.t vài vı́ du. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tı́nh do.n tri. và da tri..
- i.nh lý do.n tri. (monodromie) . . . . . . . . . .
D
Nhánh và phu.o.ng pháp tách nhánh chı’nh hı̀nh
` diê’m bâ´t thu.ò.ng . . . . . . . . .
Khái niê.m vê
` diê.n Riemann . . . . . . .
Khái niê.m vê
`u . . . . . . .
5.4.1 Mô.t sô´ vı́ du. mo’. dâ
5.4.2 Phu.o.ng pháp du..ng diê.n Riemann
Bài tâ.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 393
. . . . 396
. . . . 399
. . . . 405
. . . . . . . . . . . . 412
. . . . . . . . . . . . 413
. . . . . . . . . . . . 419
. . . . . . . . . . . . 420
6 Lý thuyê´t thă.ng du. và ú.ng du.ng
6.1 Co. so’. lý thuyê´t thă.ng du. . . . . . . . . . . . . . .
- i.nh nghı̃a thă.ng du. . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 D
6.1.2 Phu.o.ng pháp tı́nh thă.ng du. . . . . . . . . .
- i.nh lý co. ba’n cu’a lý thuyê´t thă.ng du. . . .
6.1.3 D
6.1.4 Tı́nh tı́ch phân theo chu tuyê´n dóng . . . .
6.2 Mô.t sô´ ú.ng du.ng cu’a lý thuyê´t thă.ng du. . . . . . .
6.2.1 Phu.o.ng pháp tı́nh tı́ch phân . . . . . . . . .
Z2π
6.2.2 Tı́nh tı́ch phân da.ng I = R(cos ϕ, sin ϕ)dϕ
422
. . . . . . 423
. . . . . . 423
. . . . . . 425
. . . . . . 436
. . . . . . 444
. . . . . . 448
. . . . . . 448
. . . . . . 451
0
6.2.3
Z+∞
R(x)dx . . . . . . . . . . . . . 454
Tı́ch phân da.ng I =
−∞
6
MU
. C LU
.C
6.2.4
6.2.5
Tı́ch phân da.ng I =
Tı́ch phân da.ng I =
Z
R
Z
eiax R(x)dx . . . . . . . . . . . . 459
R(x)xα dx . . . . . . . . . . . . 463
R+
6.3
6.4
6.2.6 Mô.t sô´ vı́ du. khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.7 Tı̀m tô’ng cu’a chuô˜ i . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Hàm nguyên và hàm phân hı̀nh . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Hàm phân hı̀nh. Bài toán Cousin thú. nhâ´t trong mă.t
phă’ng phú.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2 Hàm nguyên. Bài toán Cousin thú. hai trong mă.t
phă’ng phú.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bài tâ.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 Ánh xa. ba’o giác
7.1 Các khái niê.m chung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Hàm do.n diê.p . . . . . . . . . . . . . . . . . .
- iê
` u kiê.n du’ dê’ hàm do.n diê.p . . . . . . . . .
7.1.2 D
7.1.3 Su.. hô.i tu. cu’a dãy hàm do.n diê.p . . . . . . . .
7.1.4 Tı́nh châ´t di.a phu.o.ng cu’a ánh xa. chı’nh hı̀nh
hàm bă`ng 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.5 Tı́nh châ´t chung cu’a ánh xa. ba’o giác . . . . .
- ă’ng câ´u và tu.. dă’ng câ´u . . . . . . . . . . . .
7.1.6 D
- iê
` n ta.i dă’ng câ´u . . . . . . .
` u kiê.n câ
` n dê’ tô
7.1.7 D
- iê
` u kiê.n chuâ’n . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.8 D
- i.nh lý co. ba’n cu’a lý thuyê´t ánh xa. ba’o giác . . . .
7.2 D
7.2.1 Tâ.p ho..p bi. chă.n trong H(D) . . . . . . . . .
` ng bâ.c . . . . . . . . . . .
7.2.2 Tâ.p ho..p liên tu.c dô
7.2.3 Nguyên lý compă´c . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.4 Phiê´m hàm liên tu.c . . . . . . . . . . . . . . .
- o.n gia’n hóa cách dă.t bài toán Riemann . . .
7.2.5 D
- i.nh lý Riemann . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.6 D
- .inh lý duy nhâ´t cu’a ánh xa. ba’o giác . . . . .
7.2.7 D
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
có da.o
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. 478
. 490
. 495
. 495
. 503
. 513
515
. 516
. 517
. 522
. 524
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
525
527
528
532
534
537
538
539
540
544
546
548
553
MU
. C LU
.C
Su.. tu.o.ng ú.ng
Schwarz . . .
7.3 Bài tâ.p . . . . . . . .
Tài liê.u tham kha’o . .
7.2.8
7
giũ.a các
. . . . .
. . . . .
. . . . .
biên và công thú.c Christoffel. . . . . . . . . . . . . . . . . . 554
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 560
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 563
`u
Lò.i nói dâ
` n móng tù. giũ.a thê´
Co. so’. lý thuyê´t hàm biê´n phú.c (LTHBP) du.o..c dă.t nê
ky’ XVIII bo’.i các công trı̀nh cu’a L. Euler. Vó.i tu. cách mô.t nhánh dô.c lâ.p,
LTHBP du.o..c hı̀nh thành vào giũ.a thê´ ky’ XIX nhò. các công trı̀nh cu’a O.
Cauchy, C. Weierstrass và B. Riemann.
` n quan tro.ng nhâ´t cu’a toán
Ngày nay LTHBP là mô.t trong nhũ.ng phâ
ho.c. Dó là khoa ho.c vù.a cô’ diê’n vù.a hiê.n da.i, vù.a gă´n bó mâ.t thiê´t vó.i
` u bài
các nhánh hiê.n da.i nhâ´t cu’a toán ho.c lý thuyê´t la.i vù.a gă´n bó vó.i nhiê
toán vâ.t lý và co. ho.c cu. thê’. Tu. tu.o’.ng và kê´t qua’ cu’a nó dã thâm nhâ.p sâu
` u phâ
` n khác nhau cu’a toán ho.c. Các phu.o.ng pháp cu’a LTHBP dã
vào nhiê
` u ngành ú.ng du.ng nhu. thu’y dô.ng ho.c,
tro’. thành quen thuô.c ca’ trong nhiê
` i,... Vı̀ lý do dó mà LTHBP là môn ho.c
và khı́ dô.ng ho.c, lý thuyê´t dàn hô
` n tâ´t yê´u cu’a giáo du.c toán ho.c dô´i vó.i các hê. dào ta.o:
bă´t buô.c, là mô.t phâ
Toán, Toán - Co., Toán - Tin ú.ng du.ng cu’a tru.ò.ng Da.i ho.c Khoa ho.c Tu..
nhiên (Da.i ho.c Quô´c gia Hà Nô.i).
Giáo trı̀nh “Co. so’. lý thuyê´t hàm biê´n phú.c” này du.o..c biên soa.n theo
sát chu.o.ng trı̀nh Hàm biê´n phú.c du.o..c Da.i ho.c Quô´c gia Hà Nô.i ban hành.
Khô´i lu.o..ng và câ´u trúc chung cu’a cuô´n sách là hoàn toàn tu.o.ng ú.ng vó.i nô.i
dung và câ´u trúc cu’a chu.o.ng trı̀nh hiê.n hành cu’a Da.i ho.c Quô´c gia Hà Nô.i.
Nó du.o..c biên soa.n du..a trên nô.i dung cuô´n sách “Co. so’. lý thuyê´t Hàm biê´n
phú.c” tru.ó.c dây cu’a tác gia’ và kinh nghiê.m trı̀nh bày LTHBP o’. tru.ò.ng Da.i
ho.c Tô’ng ho..p Hà Nô.i tru.ó.c dây và Da.i ho.c Quô´c gia Hà Nô.i ngày nay.
Nhă`m mu.c dı́ch giúp sinh viên hiê’u thâ´u dáo co. so’. lý thuyê´t cu’a LTHBP,
` u vı́ du. minh
khi biên soa.n giáo trı̀nh này chúng tôi dã cô´ gă´ng du.a vào nhiê
`u
Lò.i nói dâ
9
ho.a du.o..c cho.n lo.c kỹ càng và du.o..c gia’i mô.t cách chi tiê´t.
˜n
Chúng tôi hy vo.ng ră`ng giáo trı̀nh này cùng vó.i giáo trı̀nh “Hu.ó.ng dâ
gia’i Bài tâ.p Hàm biê´n phú.c” (Nhà Xuâ´t ba’n Da.i ho.c Quô´c gia Hà Nô.i, 2003)
` u co. ba’n vê
` LTHBP
cu’a chúng tôi sẽ là bô. sách dáp ú.ng du.o..c nhũ.ng yêu câ
cu’a DHQG Hà Nô.i.
Chúng tôi chân thành bày to’ lòng biê´t o.n dê´n Bô. môn Gia’i tı́ch, Khoa
Toán - Co. - Tin ho.c tru.ò.ng Da.i ho.c Tô’ng ho..p Hà Nô.i tru.ó.c dây và tru.ò.ng
` u kiê.n cho tôi hoàn thành
Da.i ho.c Khoa ho.c Tu.. nhiên ngày nay dã ta.o diê
ba’n tha’o giáo trı̀nh này.
Chúng tôi chân thành ca’m o.n GS. TSKH Nguyê˜ n Văn Mâ.u và PGS. TS
` u ý kiê´n quý báu
Nguyê˜ n Minh Tuâ´n dã có nhũ.ng trao dô’i và dóng góp nhiê
cho tác gia’ khi chuâ’n bi. ba’n tha’o giáo trı̀nh này.
Tác gia’ chân thành mong nhâ.n du.o..c su.. quan tâm và góp ý cu’a ba.n do.c
` n vê
` nô.i dung và hı̀nh thú.c dê’ giáo trı̀nh ngày du.o..c hoàn thiê.n ho.n.
xa gâ
Hà Nô.i, Mùa thu 2005
Tác gia’
Chu.o.ng 1
Mă.t phă’ng phú.c và hàm biê´n
phú.c
1.1
11
Tâ.p ho..p sô´ phú.c, mă.t phă’ng phú.c . . . . . . . .
- i.nh nghı̃a sô´ phú.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.1 D
1.1.2
1.1.3
1.1.5
Mă.t phă’ng phú.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Môdun và acgumen cu’a sô´ phú.c . . . . . . . . . . 20
1.1.6
Phép khai căn sô´ phú.c . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.1.7
1.1.8
Da.ng mũ cu’a sô´ phú.c . . . . . . . . . . . . . . . . 29
` mă.t phă’ng mo’. rô.ng . . . . . . . . . 30
Khái niê.m vê
1.1.9
Khoa’ng cách trên C . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.1.4
1.2
Da.ng da.i sô´ cu’a sô´ phú.c . . . . . . . . . . . . . . . 16
Phép trù. và phép chia sô´ phú.c . . . . . . . . . . . 18
Các khái niê.m tôpô co. ba’n trên mă.t phă’ng phú.c 35
1.2.1
Tôpô trên C
1.2.2
` n trong và phâ
` n ngoài . . . . . . . . . . . . . . 38
Phâ
1.2.3
- iê’m tu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
D
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.1. Tâ.p ho..p sô´ phú.c, mă.t phă’ng phú.c
1.2.7
Biên cu’a tâ.p ho..p . . . . . . . .
´c . . . . . . . .
Tâ.p ho..p compă
Tâ.p ho..p liên thông . . . . . . .
Hàm phú.c biê´n thu..c. Tuyê´n và
1.2.8
` ng luân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
Phép dô
1.2.9
` n do.n liên và da liên . . . . . . . . . . . . . . . 56
Miê
1.2.4
1.2.5
1.2.6
1.3
11
. . . . . . . . . . . 40
. . . . . . . . . . . 41
. . . . . . . . . . . 42
du.ò.ng cong . . . . 46
Hàm biê´n phú.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1
1.3.2
1.3.3
59
- .inh nghı̃a hàm biê´n phú.c . . . . . . . . . . . . . 59
D
` ánh xa. do.n diê.p . . . . . . . . . . . . 62
Các vı́ du. vê
Gió.i ha.n cu’a hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
` u . . . . . . . . . . . . 67
Tı́nh liên tu.c và liên tu.c dê
˜ i trong miê
` n phú.c . . . .
Lý thuyê´t dãy và chuô
72
1.3.4
1.4
1.4.2
Gió.i ha.n cu’a dãy diê’m . . . . . . . . . . . . . . . . 72
˜ i sô´ phú.c và su.. hô.i tu. cu’a nó . . . . . . . . . 75
Chuô
1.4.3
˜ i hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Dãy và chuô
1.4.4
˜ i lũy thù.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Chuô
1.4.5
´c . . . . . . . . . . 92
` u trên tù.ng compă
Su.. hô.i tu. dê
1.4.1
1.5
Hàm arg z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1
1.5.2
1.5.3
1.6
1.1
95
Tı́nh liên tu.c cu’a hàm arg z . . . . . . . . . . . . . 95
Sô´ gia cu’a acgumen do.c theo du.ò.ng cong . . . . . 96
Nhánh do.n tri. liên tu.c cu’a hàm arg z . . . . . . . 98
Bài tâ.p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100
Tâ.p ho..p sô´ phú.c, mă.t phă’ng phú.c
` ng
Tâ.p ho..p sô´ phú.c có hai câ´u trúc: câ´u trúc da.i sô´ cu’a mô.t tru.ò.ng và dô
` u,
thò.i nó có câ´u trúc tôpô cu’a mô.t không gian (không gian Euclide hai chiê
Chu.o.ng 1. Mă.t phă’ng phú.c và hàm biê´n phú.c
12
tú.c là mă.t phă’ng). Do dó tâ.p ho..p các sô´ phú.c có ca’ tı́nh châ´t da.i sô´ l☠n
tı́nh châ´t tôpô. Trong mu.c này ta sẽ nghiên cú.u các tı́nh châ´t da.i sô´ cu’a tâ.p
ho..p sô´ phú.c.
1.1.1
- i.nh nghı̃a sô´ phú.c
D
Ta xét phu.o.ng trı̀nh
x2 + 1 = 0.
Rõ ràng là phu.o.ng trı̀nh này không có nghiê.m thuô.c R vı̀ x2 +1 > 1, ∀ x ∈ R.
` tu.. nhiên dă.t ra là tı̀m mô.t tâ.p ho..p (ta ký hiê.u là C) tho’a
Do dó mô.t vâ´n dê
` u kiê.n sau dây:
mãn các diê
1. C là mô.t tru.ò.ng;
2. R ⊂ C;
3. Phu.o.ng trı̀nh x2 + 1 = 0 có nghiê.m trong C.
Vı̀ tâ.p ho..p các sô´ thu..c R là mô.t tâ.p ho..p con cu’a C nên khi xác di.nh các
` n dòi ho’i ră`ng khi áp du.ng cho
phép tı́nh sô´ ho.c co. ba’n trên các sô´ phú.c ta câ
các sô´ thu..c các phép toán dó du.a la.i kê´t qua’ nhu. kê´t qua’ thu du.o..c trong sô´
ho.c các sô´ thu..c. Mă.t khác, nê´u ta mong muô´n các sô´ phú.c có nhũ.ng ú.ng
` cu’a gia’i tı́ch thı̀ ta câ
` n dòi ho’i ră`ng các phép toán co.
du.ng trong các vâ´n dê
` thông thu.ò.ng cu’a sô´ ho.c các
ba’n du.o..c du.a vào dó pha’i tho’a mãn các tiên dê
sô´ thu..c.
- i.nh nghı̃a 1.1.1. Mô˜ i că.p sô´ thu..c có thú. tu.. (a, b) ∀ a ∈ R, ∀ b ∈ R du.o..c
D
go.i là mô.t sô´ phú.c nê´u trên tâ.p ho..p các că.p dó quan hê. bă`ng nhau, phép
` ) sau dây:
cô.ng và phép nhân du.o..c du.a vào theo các di
.nh nghı̃a (tiên dê
a = c
I.
(a, b) = (c, b) ⇔
b = d.
def
II. Phép cô.ng: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) 1 và că.p (a + c, b + d) du.o..c
go.i là tô’ng cu’a các că.p (a, b) và (c, d).
1
´t cu’a tù. tiê´ng Anh definition (di.nh nghı̃a)
Def. là cách viê´t tă
1.1. Tâ.p ho..p sô´ phú.c, mă.t phă’ng phú.c
13
def
III. Phép nhân: (a, b)(c, d) = (ac − bd, ad + bc) và că.p (ac − bd, ad + bc)
.
du o..c go.i là tı́ch cu’a các că.p (a, b) và (c, d).
` ng nhâ´t vó.i sô´ thu..c a, nghı̃a là
IV. Că.p (a, 0) du.o..c dô
def
(a, 0) ≡ a.
Tâ.p ho..p các sô´ phú.c du.o..c ký hiê.u là C.
` u du.o..c phát biê’u bă`ng ngôn
` n cu’a di.nh nghı̃a sô´ phú.c dê
Nhu. vâ.y mo.i phâ
ngũ. sô´ thu..c và các phép toán trên chúng.
` dâ
` u thu..c châ´t là di.nh nghı̃a các khái
Trong di.nh nghı̃a này ba tiên dê
niê.m khác nhau: di.nh nghı̃a khái niê.m bă`ng nhau, tô’ng và tı́ch các sô´ phú.c.
` dó vó.i nhau sẽ không d☠n dê´n bâ´t cú. mâu
Do dó viê.c dô´i chiê´u các tiên dê
` u duy nhâ´t có thê’ gây ra dôi chút lo nga.i là tiên dê
` IV. Vâ´n
thu☠n nào. Diê
` là o’. chô˜ : vô´n dı̃ các khái niê.m bă`ng nhau, tô’ng và tı́ch các sô´ thu..c có ý
dê
nghı̃a hoàn toàn xác di.nh và do dó nê´u các khái niê.m này không tu.o.ng thı́ch
` câ.p dê´n trong các tiên dê
` I - III khi xét các sô´
vó.i nhũ.ng khái niê.m du.o..c dê
` IV.
thu..c vó.i tu. cách là các că.p da.ng dă.c biê.t thı̀ buô.c pha’i loa.i trù. tiên dê
.
` n dô´i chiê´u tiên dê
` IV vó i các tiên dê
` I, II và III.
Do dó ta câ
1) I - IV. Gia’ su’. hai sô´ thu..c a và b bă`ng nhau nhu. nhũ.ng că.p da.ng
` ng nhâ´t vó.i chúng: (a, 0) = (b, 0). Khi dó theo tiên dê
` I ta có
dă.c biê.t dô
.
(a, 0) = (b, 0) ⇔ a = b, tú c là nê´u chúng bă`ng nhau theo nghı̃a thông thu.ò.ng.
` II, tô’ng hai sô´ thu..c a và c du.o..c xét nhu. nhũ.ng
2) II - IV. Theo tiên dê
`
că.p (a, 0) và (c, 0) là bă`ng că.p (a + c, 0 + 0) = (a + c, 0). Nhu.ng theo tiên dê
.
IV thı̀ (a + c, 0) ≡ a + c. Nhu vâ.y
(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0 + 0) = (a + c, 0) ≡ a + c
` ng nhâ´t bă`ng tô’ng a + c theo nghı̃a thông thu.ò.ng.
tú.c là dô
` III, tı́ch các sô´ thu..c a và b du.o..c xét nhu. nhũ.ng
3) III - IV. Theo tiên dê
că.p (a, 0) và (c, 0) là bă`ng că.p
(ac − 0 · 0, a · 0 + 0 · c) = (ac, 0)
Chu.o.ng 1. Mă.t phă’ng phú.c và hàm biê´n phú.c
14
` IV ta có (ac, 0) ≡ ac. Nhu. vâ.y
và theo tiên dê
(III)
(IV )
(a, 0)(c, 0) = (ac, 0) = ac
` ng nhâ´t bă`ng tı́ch a vó.i c theo nghı̃a thông thu.ò.ng.
tú.c là dô
` IV tu.o.ng thı́ch vó.i các tiên dê
` I, II và III.
Nhu. vâ.y tiên dê
Ta cũng lu.u ý công thú.c sau dây du.o..c suy tru..c tiê´p tù. III và IV:
m(a, b) = (ma, mb),
m ∈ R.
Thâ.t vâ.y tù. IV và III ta có
m(a, b) = (m, 0)(a, b) = (ma − 0 · b, mb + 0 · a)
= (ma, mb).
Nê´u m ∈ N thı̀ theo II ta có
(a, b) + (a, b) = (2a, 2b);
(2a, 2b) + (a, b) = (3a, 3b), . . .
tú.c là (ma, mb) là kê´t qua’ cu’a phép cô.ng liên tiê´p m sô´ ha.ng bă`ng (a, b).
` u dó phù ho..p vó.i biê’u tu.o..ng thông thu.ò.ng là phép nhân vó.i sô´ tu.. nhiên
Diê
tu.o.ng ú.ng vó.i phép cô.ng m sô´ ha.ng bă`ng nhau.
` II và III là tu.o.ng thı́ch vó.i nhau và các
Dê˜ dàng thâ´y ră`ng các tiên dê
quy luâ.t thông thu.ò.ng cu’a các phép tı́nh thu..c hiê.n trên các sô´ v☠n du.o..c
ba’o toàn khi chuyê’n sang sô´ phú.c (du.o.ng nhiên pha’i că´t bo’ mo.i quy luâ.t có
quan hê. tó.i dâ´u >).
- i.nh nghı̃a 1.1.2. Gia’ su’. z = (a, b) ∈ C. Khi dó sô´ phú.c (a, −b) du.o..c go.i
D
là sô´ phú.c liên ho..p vó.i sô´ phú.c z và du.o..c ký hiê.u là z:
z = (a, −b).
Ta có di.nh lý sau dây:
1.1. Tâ.p ho..p sô´ phú.c, mă.t phă’ng phú.c
15
- i.nh lý 1.1.1. Tâ.p ho..p C lâ.p thành mô.t tru.ò.ng tho’a mãn các diê
` u kiê.n:
D
1. C ⊃ R;
` n tu’. i này du.o..c go.i là
` n tu’. i vó.i tı́nh châ´t i2 = −1; phâ
2. C chú.a phâ
do.n vi. a’o.
` n tu’. do.n vi. cu’a C là că.p
Chú.ng minh. 1. C là mô.t tru.ò.ng. Hiê’n nhiên, phâ
` n tu’. (1, 0) vı̀ ră`ng (a, b)(1, 0) = (a · 1 − b · 0, a · 0 + b · 1) = (a, b); và phâ
không cu’a C là că.p (0, 0) vı̀ ră`ng (a, b) + (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b).
` n kiê’m nghiê.m su. tô
` n ta.i phâ
` n tu’.
Dê’ chú.ng to’ C là mô.t tru.ò.ng ta chı’ câ
` còn la.i dô´i vó.i mô.t tru.ò.ng là hiê’n
nghi.ch da’o (viê.c kiê’m nghiê.m các tiên dê
nhiên). Gia’ su’. z = (a, b) 6= (0, 0) (tú.c là a2 + b2 > 0). Ta sẽ tı̀m z 0 = (a0, b0 )
sao cho
(a, b)(a0, b0) = (1, 0).
Tù. I và III suy ra
aa0 − bb0 = 1,
ba0 + ab0 = 0.
Tù. dó rút ra a0 =
)
a
b
0
,
b
=
−
. Nhu. vâ.y
a2 + b2
a2 + b2
a
b
,
,
−
z0 = 2
a + b2
a2 + b2
và rõ ràng là
a
b
z · z 0 = (a, b) 2
,
−
a + b2
a2 + b2
a2 + b2
−ab + ab
,− 2
= (1, 0).
=
a2 + b2
a + b2
` sau phâ
` n tu’. nghi.ch da’o z 0 cu’a z thu.ò.ng du.o..c ký hiê.u là z −1 .
Vê
2. R ⊂ C. Xét các că.p da.ng (a, 0). Dê˜ dàng thâ´y ră`ng tâ.p ho..p R0 =
{(a, 0), a ∈ R} lâ.p thành mô.t tru.ò.ng con cu’a C. Ta xét ánh xa. tù. R vào R0
a 7→ (a, 0).
Chu.o.ng 1. Mă.t phă’ng phú.c và hàm biê´n phú.c
16
` ng thò.i
Hiê’n nhiên ră`ng nê´u (a, 0) = (a0 , 0) thı̀ a = a0 và ngu.o..c la.i, dô
a + b 7→ (a + b, 0) = (a, 0) + (b, 0),
ab 7→ (ab, 0) = (a, 0)(b, 0).
Do dó ánh xa. vù.a xét là mô.t dă’ng câ´u giũ.a R và R0 và phép dă’ng câ´u này
cho phép ta xem R nhu. là mô.t tru.ò.ng con cu’a C.
` n tu’. i
3. Phu.o.ng trı̀nh x2 + 1 = 0 có nghiê.m trong C, tú.c là C chú.a phâ
mà i2 = −1.
Thâ.t vâ.y, gia’ su’. x = (a, b) ∈ C. Khi dó trong C phu.o.ng trı̀nh x2 + 1 = 0
có da.ng:
(a, b)(a, b) + (1, 0) = (0, 0),
hay là
a2 − b2 + 1 = 0,
2ab = 0.
Tù. dó rút ra a = 0, b = 1 và a = 0, b = −1. Ta ký hiê.u hai nghiê.m dó là
i = (0, 1) và −i = (0, −1).
1.1.2
Da.ng da.i sô´ cu’a sô´ phú.c
Ta có di.nh lý sau dây
- .inh lý 1.1.2. Mo.i sô´ phú.c z = (a, b) ∈ C dê
˜ n du.ó.i da.ng
` u có thê’ biê’u diê
D
z = (a, b) = a + ib.
Chú.ng minh. Thâ.t vâ.y, ta có
z = (a, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = a + ib.
Phép biê’u diê˜ n sô´ phú.c z = (a, b) du.ó.i da.ng a + ib du.o..c go.i là da.ng da.i
` n thu..c cu’a sô´ phú.c
sô´ hay da.ng Descartes cu’a sô´ phú.c. Sô´ a du.o..c go.i là phâ
1.1. Tâ.p ho..p sô´ phú.c, mă.t phă’ng phú.c
17
` n a’o cu’a nó và ký hiê.u là
z và ký hiê.u là a = Re [z], sô´ b du.o..c go.i là phâ
2
b = Im [z].
Nê´u z = Re [z] thı̀ z là mô.t sô´ thu..c. Nê´u z = iIm [z] thı̀ z là mô.t sô´
`n
` n a’o. Vó.i quan diê’m các phép toán trong tru.ò.ng các sô´ phú.c, sô´ thuâ
thuâ
a’o bi có thê’ hiê’u nhu. là tı́ch cu’a sô´ thu..c b vó.i do.n vi. a’o i và mô˜ i sô´ phú.c
` n a’o ib.
a + ib nhu. là tô’ng cu’a sô´ thu..c a vó.i sô´ thuâ
.
.
Do dó trong cách xây du. ng sô´ phú c này ta dã su’. du.ng các ký hiê.u có
mô.t ý nghı̃a hoàn toàn cu. thê’ và vı̀ thê´ tránh du.o..c tı́nh hı̀nh thú.c do ký
hiê.u do.n vi. a’o i mang la.i.
Hê. qua’. Gia’ su’. z = a + ib ∈ C. Khi dó sô´ phú.c liên ho..p z có thê’ biê’u diên
du.ó.i da.ng z = a − ib.
Phép chuyê’n tù. sô´ phú.c dã cho sang sô´ phú.c liên ho..p vó.i nó du.o..c go.i là
phép lâ´y liên ho..p.
- i.nh lý 1.1.3. Gia’ su’. z, z1 và z2 ∈ C. Khi dó
D
1.
z1 + z2 = z 1 + z2 ;
z1z2 = z 1 · z2 , αz = αz, ∀ α ∈ R;
2.
z = z.
3.
Chú.ng minh. 1. Thâ.t vâ.y, gia’ su’. z1 = a1 + ib1 , z2 = a2 + ib2. Khi dó
z1 + z2 = (a1 + a2) − i(b1 + b2 )
= (a1 − ib1) + (a2 − ib2) = z 1 + z2 .
2. Tu.o.ng tu..
z1z1 = (a1 a2 − b1b2 ) − i(a1b2 + a2 b1)
= (a1 − ib1)(a2 − ib2) = z1 · z 2 .
3. Hiê’n nhiên.
´t các tù. tiê´ng Pháp Reel (thu..c) và
Các ký hiê.u Re và Im xuâ´t hiê.n do viê.c viê´t tă
Imaginaire (a’o)
2
Chu.o.ng 1. Mă.t phă’ng phú.c và hàm biê´n phú.c
18
Mô.t sô´ phú.c trùng vó.i sô´ liên ho..p vó.i nó khi và chı’ khi nó là sô´ thu..c.
Dê˜ thâ´y ánh xa. tù. tâ.p ho..p tâ´t ca’ các sô´ phú.c vào tâ.p ho..p các sô´ phú.c
liên ho..p vó.i chúng:
C 3 z 7→ z ∈ C
là mô.t tu.. dă’ng câ´u cu’a C (Ba.n do.c hãy tu.. kiê’m tra !).
1.1.3
Phép trù. và phép chia sô´ phú.c
Các phép toán trù. và chia du.o..c di.nh nghı̃a nhu. các phép toán ngu.o..c vó.i
phép cô.ng và nhân. Dô´i vó.i phép trù. ta có
- i.nh lý 1.1.4. Gia’ su’. z1 và z2 ∈ C. Khi dó tô
` n ta.i mô.t và chı’ mô.t sô´ phú.c
D
z sao cho z1 + z = z2 , cu. thê’ là z = (−z1 ) + z2.
Chú.ng minh. 1. Ta có z1 + ((−z1) + z2) = (z1 + (−z1)) + z2 = 0 + z2 = z2
và nhu. vâ.y z = (−z1) + z2 tho’a mãn dòi ho’i cu’a di.nh lý.
2. Ngu.o..c la.i, nê´u z1 + z = z2 thı̀ (−z1) + (z1 + z) = (−z1) + z2. Tù. dó
z = (−z1) + z2 và nhu. vâ.y di.nh lý du.o..c chú.ng minh.
Sô´ phú.c z = (−z1) + z2 du.o..c go.i là hiê.u cu’a các sô´ phú.c z2 và z1. Thông
thu.ò.ng hiê.u dó du.o..c ký hiê.u là
z = z2 − z1,
và nê´u z1 = a1 + ib1, còn z2 = a2 + ib2 thı̀
z = z2 − z1 = (a2 − a1) + i(b2 − b1 ).
Dô´i vó.i phép chia ta có
- i.nh lý 1.1.5. Gia’ su’. z1 và z2 ∈ C, z2 =
` n ta.i mô.t và chı’ mô.t
D
6 0. Khi dó tô
sô´ phú.c z sao cho z2z = z1 , cu. thê’ là: z = z2−1 z1 .
Chú.ng minh. 1. Nê´u z = z2−1 z1 thı̀ z2 z = z2 (z2−1 z1) = z1.
2. Nê´u z2 z = z1 ⇒ z = z2−1 (z2 z) = z2−1 z1 .
- Xem thêm -
.PDF 
567 
405 
68 
