Cơ sở groebner và một áp dụng cho phân tích nguyên sơ

  • Số trang: 47 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 66 |
  • Lượt tải: 0
nhattuvisu

Đã đăng 26946 tài liệu

Mô tả:

i Lêi cam ®oan T«i xin cam ®oan r»ng c¸c kÕt qu¶ nghiªn cøu trong luËn v¨n nµy lµ hoµn toµn trung thùc vµ kh«ng trïng lÆp víi ®Ò tµi kh¸c. Nguån tµi liÖu sö dông cho viÖc hoµn thµnh luËn v¨n ®· ®­îc sù ®ång ý cña c¸ nh©n vµ tæ chøc. C¸c th«ng tin, tµi liÖu trong luËn v¨n nµy ®· ®­îc ghi râ nguån gèc. Th¸i Nguyªn, th¸ng 9 n¨m 2013 Häc viªn NguyÔn Thïy Trang X¸c nhËn X¸c nhËn cña Tr­ëng khoa chuyªn m«n cña ng­êi h­íng dÉn khoa häc TS. TrÇn Nguyªn An Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ii Lêi c¶m ¬n LuËn v¨n ®­îc hoµn thµnh d­íi sù chØ b¶o vµ h­íng dÉn tËn t×nh cña TS. TrÇn Nguyªn An. ThÇy ®· dµnh nhiÒu thêi gian h­íng dÉn vµ gi¶i ®¸p c¸c th¾c m¾c cho t«i trong suèt qu¸ tr×nh lµm luËn v¨n. T«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c ®Õn thÇy. T«i xin göi tíi c¸c thÇy c« Khoa To¸n, Khoa Sau ®¹i häc Tr­êng §¹i häc S­ ph¹m - §¹i häc Th¸i Nguyªn còng nh­ c¸c thÇy c« ®· tham gia gi¶ng d¹y khãa häc 2011-2013, lêi c¶m ¬n s©u s¾c nhÊt vÒ c«ng lao d¹y dç trong suèt qu¸ tr×nh gi¸o dôc, ®µo t¹o cña nhµ tr­êng. T«i xin c¶m ¬n Tr­êng §¹i häc C«ng nghÖ th«ng tin vµ TruyÒn th«ng §¹i häc Th¸i Nguyªn, n¬i t«i ®ang c«ng t¸c, ®· t¹o ®iÒu kiÖn cho t«i hoµn thµnh khãa häc nµy. T«i xin c¶m ¬n gia ®×nh, b¹n bÌ vµ ng­êi th©n ®· quan t©m, t¹o ®iÒu kiÖn, ®éng viªn, cæ vò ®Ó t«i cã thÓ hoµn thµnh nhiÖm vô cña m×nh. Th¸i Nguyªn, th¸ng 9 n¨m 2013 Häc viªn NguyÔn Thïy Trang Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ iii Môc lôc Trang Lêi cam ®oan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Lêi c¶m ¬n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Môc lôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Më ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Ch­¬ng 1. KiÕn thøc chuÈn bÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1. Ph©n tÝch nguyªn s¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2. ChiÒu vµ ®é cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Ch­¬ng 2. C¬ së Groebner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1. Thø tù tõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2. C¬ së Groebner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3. ThuËt to¸n Buchberger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Ch­¬ng 3. Ph©n tÝch nguyªn s¬ cña c¸c i®ªan trong K[x, y] theo c¬ së Groebner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.1. C¬ së Groebner cña vµnh K[x, y] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27 3.2. TÝnh to¸n c¸c thµnh phÇn nguyªn s¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 KÕt luËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 1 Më ®Çu N¨m 1964, Hironaka ®· giíi thiÖu kh¸i niÖm c¬ së chuÈn t¾c cho i®ªan c¸c chuçi lòy thõa h×nh thøc. Mét n¨m sau, n¨m 1965, Buchberger ®· ®Þnh nghÜa ®éc lËp mét kh¸i niÖm t­¬ng tù cho i®ªan c¸c ®a thøc mµ «ng gäi lµ c¬ së Groebner, tªn ng­êi thÇy h­íng dÉn cña Buchberger, h¬n n÷a «ng cßn ®­a ra mét thuËt to¸n tÝnh c¬ së Groebner, lµ thuËt to¸n Buchberger. C¬ së Groebner nhanh chãng trë thµnh trung t©m cña §¹i sè m¸y tÝnh (Computer Algebra) vµ lµ c«ng cô h÷u hiÖu trong rÊt nhiÒu bµi to¸n cña §¹i sè giao ho¸n vµ H×nh häc ®¹i sè. Trong luËn v¨n nµy, chóng t«i tr×nh bµy vÒ c¬ së Groebner vµ mét ¸p dông cña c¬ së Groebner ®Ó ph©n tÝch nguyªn s¬ mét i®ªan trong vµnh ®a thøc K[x, y], víi K lµ mét tr­êng, theo bµi b¸o "Ideal bases and primary decomposition: case of two variables" cña Lazard [3]. Còng cÇn ph¶i nãi thªm r»ng, ph©n tÝch nguyªn s¬ cña mét i®ªan lµ mét bµi to¸n quan träng trong §¹i sè giao ho¸n vµ H×nh häc §¹i sè, ®Æc biÖt lµ ph©n tÝch nguyªn s¬ cña i®ªan trong vµnh ®a thøc víi hÖ sè trªn mét tr­êng. LuËn v¨n bao gåm ba ch­¬ng. Ch­¬ng mét tr×nh bµy mét sè kiÕn thøc chuÈn bÞ cña luËn v¨n nh­ ph©n tÝch nguyªn s¬ cña i®ªan trªn vµnh giao ho¸n, chiÒu cña vµnh, ®é cao cña i®ªan. Ch­¬ng hai tr×nh bµy chi tiÕt vÒ c¬ së Groebner vµ thuËt to¸n Buchberger ®Ó t×m c¬ së Groebner theo thuËt ng÷ cña Robbiano [5]. Ch­¬ng ba tr×nh bµy mét thuËt to¸n cña Lazard vÒ mét ¸p dông cña c¬ së Groebner trong viÖc t×m ph©n tÝch nguyªn s¬ cña mét i®ªan trong vµnh ®a thøc hai biÕn Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu K[x, y] víi K lµ mét tr­êng. http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 2 Ch­¬ng 1 KiÕn thøc chuÈn bÞ Trong ch­¬ng nµy vµ toµn bé luËn v¨n, ta lu«n gi¶ thiÕt A lµ vµnh giao ho¸n cã ®¬n vÞ. 1.1 Ph©n tÝch nguyªn s¬ 1.1.1 §Þnh nghÜa. s¬ cña (i) Cho Q lµ mét i®ªan cña A. Ta nãi r»ng Q lµ i®ªan nguyªn A nÕu: Q lµ i®ªan thËt sù cña A; (ii) Víi a, b bÊt kú thuéc A mµ ab ∈ Q; a 6∈ Q, tån t¹i n ∈ N sao cho bn ∈ Q. 1.1.2 VÝ dô. (ii) Trong (i) Mäi i®ªan nguyªn tè lµ i®ªan nguyªn s¬. Z, i®ªan 4Z lµ nguyªn s¬ nh­ng kh«ng lµ i®ªan nguyªn tè. lµ i®ªan P lµ i®ªan lµ i®ªan nguyªn tè cña A; Q1 , Q2 , ..., Qn (n ≥ n - nguyªn s¬ cña A. Khi ®ã, ∩ Qi còng lµ P - nguyªn s¬. i=1 1) lµ c¸c Cho nguyªn tè cña A Q lµ i®ªan nguyªn s¬ cña vµ ta nãi r»ng nguyªn tè nhá nhÊt cña 1.1.4 Bæ ®Ò. i®ªan P Cho 1.1.5 MÖnh ®Ò. tèi ®¹i cña Q lµ P A. Khi ®ã, P = √ Q 1.1.3 Bæ ®Ò. - nguyªn s¬. H¬n n÷a, A chøa Q. P Cho Q lµ mét i®ªan cña A sao cho √ Q=m lµ mét i®ªan A. Khi ®ã, Q lµ i®ªan nguyªn s¬ hay i®ªan m - nguyªn s¬ cña A. Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 3 1.1.6 §Þnh nghÜa. Cho I lµ i®ªan thùc sù cña A. Mét ph©n tÝch nguyªn s¬ cña I lµ mét biÓu diÔn cña I nh­ lµ giao cña h÷u h¹n c¸c i®ªan nguyªn s¬ cña A. Mét ph©n tÝch nguyªn s¬ I = Q1 ∩ Q2 ∩ ... ∩ Qn , víi √ Qi = Pi hay Qi lµ Pi - nguyªn s¬, i = 1, 2, ..., n ®­îc gäi lµ ph©n tÝch nguyªn s¬ tèi tiÓu cña (i) I nÕu tháa m·n hai ®iÒu kiÖn sau: P1 , P2 , ..., Pn lµ n i®ªan nguyªn tè ®«i mét kh¸c nhau cña A, (ii) n ∀j = 1, ..., n ta cã Qj + ∩ Qi . Ta nãi i=1 i6=j lµ i®ªan ph©n tÝch ®­îc cña I A nÕu nã cã mét ph©n tÝch nguyªn s¬. 1.1.7 §Þnh lý ®­îc cña (§Þnh lý duy nhÊt thø nhÊt). Cho I lµ mét i®ªan ph©n tÝch A. Gi¶ sö I = Q1 ∩ Q2 ∩ ... ∩ Qn víi √ Qi = Pi ; i = 1, 2, ..., n vµ I = Q01 ∩ Q02 ∩ ... ∩ Q0n0 víi p 0 Qi = Pi0 ; i = 1, 2, ..., n0 ®ã, n = n0 vµ ta cã: 1.1.8 §Þnh nghÜa. ... ∩ Qn , √ lµ hai ph©n tÝch nguyªn s¬ tèi tiÓu cña I . Khi {P1 , P2 , ..., Pn } = {P10 , P20 , ..., Pn0 }. Gi¶ sö I lµ i®ªan ph©n tÝch ®­îc cña A, vµ I = Q1 ∩ Q2 ∩ Qi = Pi , i = 1, ..., n lµ mét ph©n tÝch nguyªn s¬ tèi tiÓu cña I. Khi ®ã, tËp {P1 , ..., Pn } ®éc lËp víi c¸ch chän ph©n tÝch nguyªn s¬ tèi tiÓu cña i®ªan nguyªn tè liªn kÕt cña 1.1.9 §Þnh nghÜa. tiÓu cña Gi¶ sö I vµ ®­îc gäi lµ tËp I , ký hiÖu Ass(I). I lµ i®ªan ph©n tÝch ®­îc cña A. C¸c phÇn tö tèi Ass(I) ®­îc gäi lµ c¸c i®ªan nguyªn tè tèi tiÓu cña I hay c¸c i®ªan nguyªn tè c« lËp, nguyªn tè nhóng c¸c i®ªan nguyªn tè liªn kÕt cßn l¹i ®­îc gäi lµ c¸c i®ªan cña I . Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 4 (§Þnh lý duy nhÊt thø hai). Cho 1.1.10 §Þnh lý ®­îc cña I lµ mét i®ªan ph©n tÝch A, Ass(I) = {P1 , ..., Pn }. Gi¶ sö I = Q1 ∩ Q2 ∩ ... ∩ Qn √ víi Qi = Pi ; i = 1, 2, ..., n vµ I = Q01 ∩ Q02 ∩ ... ∩ Q0n p 0 Qi = Pi ; i = 1, 2, ..., n0 víi ®ã, víi mçi i mµ Pi lµ hai ph©n tÝch nguyªn s¬ tèi tiÓu cña lµ i®ªan nguyªn tè tèi tiÓu cña I phÇn nguyªn s¬ øng víi i®ªan nguyªn tè c« lËp cña bëi th× I Qi = Q0i I . Khi hay thµnh lµ x¸c ®Þnh duy nhÊt I , kh«ng phô thuéc vµo c¸ch chän ph©n tÝch nguyªn s¬ tèi tiÓu. 1.1.11 §Þnh lý. Mäi i®ªan thùc sù trong vµnh Noether ®Òu cã ph©n tÝch nguyªn s¬, do ®ã cã ph©n tÝch nguyªn s¬ tèi tiÓu. 1.1.12 §Þnh lý vµnh ®a thøc 1.1.13 VÝ dô. c¸c biÕn (§Þnh lý c¬ së Hilbert). Gi¶ sö A lµ vµnh Noether. Khi ®ã, A[x1 , ..., xn ] còng lµ vµnh Noether. Gi¶ sö K lµ mét tr­êng vµ A = K[x, y] lµ vµnh ®a thøc cña x, y. Ta cã: xy, y 2 = hx, yi2 ∩ hyi = x, y 2 ∩ hyi q lµ hai ph©n tÝch nguyªn s¬ tèi tiÓu cña I = xy, y . L¹i cã, hx, yi2 = p hx, y 2 i = hx, yi nªn Ass(I) = {hyi , hx, yi}, trong ®ã hyi lµ i®ªan nguyªn tè c« lËp (tèi tiÓu) cña 2 I vµ hx, yi lµ i®ªan nguyªn tè nhóng cña I. MÖnh ®Ò sau ®­a ra mèi liªn hÖ gi÷a i®ªan nguyªn s¬ víi ®Þa ph­¬ng hãa. Chó ý, víi S = A \ P lµ tËp ®ãng nh©n cña A, I lµ i®ªan cña A, ta ký hiÖu IP = S −1 I . 1.1.14 MÖnh ®Ò. Gi¶ sö Q lµ i®ªan nguyªn s¬ cña A víi √ Q = P, P ∈ Spec(A). Khi ®ã: (i) NÕu (ii) NÕu P *P P ⊆P th× th× PP = QP = AP . PP ∩ A = P Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu vµ QP = Q. http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 5 1.2 ChiÒu vµ ®é cao 1.2.1 §Þnh nghÜa. (ChiÒu Krull) Mét d·y gi¶m thùc sù c¸c i®ªan nguyªn tè P0 ⊃ P1 ⊃ P2 ⊃ ... ⊃ Pn cña vµnh A ®­îc gäi lµ mét xÝch nguyªn tè cã ®é dµi lµ n. CËn trªn cña ®é dµi tÊt c¶ c¸c xÝch nguyªn tè trong A ®­îc gäi lµ chiÒu Krull cña A, hay chiÒu cña vµnh A. KÝ hiÖu lµ dim A. 1.2.2 §Þnh nghÜa. Gi¶ sö P lµ mét i®ªan nguyªn tè cña A. ChiÒu cña i®ªan P lµ chiÒu cña vµnh A/P , ký hiÖu dim P. Gi¶ sö I lµ mét i®ªan bÊt kú cña A th× dim I = sup {dimP | P ∈ V (I)} , trong ®ã V (I) lµ tËp c¸c i®ªan nguyªn tè cña A chøa I . 1.2.3 §Þnh nghÜa. Gi¶ sö P lµ mét i®ªan nguyªn tè cña A. ChiÒu dµi lín nhÊt cña mäi d·y gi¶m thùc sù c¸c i®ªan nguyªn tè P xuÊt ph¸t tõ i®ªan cña = P0 ⊃ P1 ⊃ P2 ⊃ ... ⊃ Pr P , ®­îc gäi lµ ®é cao cña P , kÝ hiÖu lµ ht P. Gi¶ sö I lµ mét A. §é cao cña i®ªan I , kÝ hiÖu ht I , ®­îc cho bëi c«ng thøc ht I = inf {ht P | P ∈ V (I)}. MÖnh ®Ò sau nh¾c l¹i mét sè tÝnh chÊt cña chiÒu vµ ®é cao. 1.2.4 MÖnh ®Ò. vµ nÕu (i) Gi¶ sö K lµ mét tr­êng. Khi ®ã, dim K[x1 , ..., xn ] = n m lµ i®ªan tèi ®¹i cña K[x1 , ..., xn ] th× ht m = n. (ii) NÕu (A, m) lµ mét vµnh ®Þa ph­¬ng th× dim A = ht m. (iii) Cho P lµ mét i®ªan nguyªn tè cña vµnh A, khi ®ã dim AP = ht P AP = ht P . (iv) Trong miÒn ph©n tÝch duy nhÊt D, mäi i®ªan nguyªn tè cã ®é cao 1 lµ i®ªan chÝnh. 1.2.5 §Þnh lý I (§Þnh lý i®ªan chÝnh cña Krull). Gi¶ sö A lµ mét vµnh Noether, lµ i®ªan thùc sù cña 1.2.6 §Þnh nghÜa. i®ªan nguyªn tè A sinh bëi n phÇn tö. Khi ®ã ht(I) ≤ n. Cho Q ⊂ P lµ c¸c i®ªan nguyªn tè cña A. Mét d·y c¸c Q = P0 ⊂ P1 ⊂ . . . Pn = P sao cho Pi 6= Pi+1 , ∀i, ®­îc gäi lµ mét d·y nguyªn tè b·o hoµ gi÷a mét i®ªan nguyªn tè chÌn gi÷a Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu Q vµ P nÕu víi mäi i, kh«ng tån t¹i Pi vµ Pi+1 . http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 6 Ta nãi r»ng vµnh A lµ catenary nÕu víi mäi i®ªan nguyªn tè Q ⊂ P cña A lu«n tån t¹i mét d·y nguyªn tè b·o hoµ gi÷a Q vµ P vµ mäi d·y nguyªn tè b·o hoµ gi÷a Q vµ P ®Òu cã chung ®é dµi. NÕu A lµ mét vµnh catenary vµ P ∈ Spec(A) th× ta cã dim A = dim A/P + ht P . VÝ dô, vµnh K[x1 , ..., xn ] lµ mét vµnh catenary. §Æc biÖt, K[x, y] lµ vµnh catenary nªn nÕu P ∈ Spec(K[x, y]) lµ i®ªan nguyªn tè chiÒu 1 th× ht P = 1. Do ®ã, theo MÖnh ®Ò 1.2.4(iv) th× P lµ i®ªan chÝnh. Tõ ®ã, ta chøng minh ®­îc kÕt qu¶ sau. 1.2.7 MÖnh ®Ò. K[x, y], K Gi¶ sö 0 6= I = hf0 , ..., fk i 6= K[x, y], lµ mét tr­êng. Khi ®ã, víi f0 , ..., fk ∈ U CLN {fi } = 1 nÕu vµ chØ nÕu dim I = 0. Chøng minh. (⇒) V× I 6= 0 nªn dim I = 1 hoÆc dim I = 0. NÕu dim I = 1 th× tån t¹i i®ªan nguyªn tè P sao cho I ⊆ P vµ dim P = 1. V× K[x, y] lµ miÒn ph©n tÝch duy nhÊt nªn Do ®ã q|fi víi mäi i V× vËy P lµ i®ªan chÝnh. Do ®ã P = hqi, q ∈ K[x, y]. = 0, ..., k . §iÒu nµy v« lý víi gi¶ thiÕt U CLN {fi } = 1. dim I = 0. (⇐) Gi¶ sö U CLN {fi } = 6 1. Khi ®ã tån t¹i ®a thøc bÊt kh¶ quy d ∈ K[x, y] tháa m·n d|fi víi mäi i = 0, ..., k. §iÒu nµy kÐo theo I ⊆ hdi. V× d bÊt kh¶ quy nªn hdi lµ i®ªan nguyªn tè. MÆt kh¸c dim I = 0 nªn hdi lµ i®ªan tèi ®¹i. Do ®ã ®ã ht hdi = 2. V« lý víi §Þnh lý i®ªan chÝnh cña Krull. Do U CLN {fi } = 1. Gi¶ sö I lµ i®ªan chiÒu 0 cña A. NhËn xÐt r»ng, chØ cã i®ªan tèi ®¹i lµ i®ªan nguyªn tè chøa I . Do ®ã, nÕu A lµ vµnh Noether th× I chØ cã i®ªan nguyªn tè liªn kÕt lµ c¸c i®ªan tèi ®¹i vµ kh«ng cã i®ªan nguyªn tè nhóng. Hay nãi c¸ch kh¸c, I biÓu diÔn duy nhÊt thµnh giao cña c¸c i®ªan nguyªn s¬. §Æc biÖt, mét i®ªan cña vµnh K[x, y] cã ph©n tÝch nguyªn s¬ duy nhÊt nÕu c¸c ®a thøc trong tËp sinh cña nã nguyªn tè cïng nhau. Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 7 Ch­¬ng 2 C¬ së Groebner Trong ch­¬ng nµy, ta nghiªn cøu c¬ së Groebner giíi h¹n trong vµnh ®a thøc A = K[x1 , x2 , ..., xn ] = K[x], trong ®ã K lµ mét tr­êng. C¸c i®ªan trong A cã thÓ ®­îc biÓu diÔn bëi mét tËp sinh gåm h÷u h¹n c¸c ®a thøc, gäi lµ c¬ së. Ta cã thÓ chØ ra r»ng, víi bÊt kú mét tËp sinh h÷u h¹n nµo cña mét i®ªan I trong A ®Òu cã thÓ dïng thuËt to¸n ®Ó biÕn ®æi thµnh mét c¬ së Groebner cña I . 2.1 Thø tù tõ 2.1.1 §Þnh nghÜa. thøc cña Gi¶ sö ≤ lµ mét thø tù toµn phÇn trªn tËp T tÊt c¶ c¸c ®¬n K[x]. Thø tù ≤ ®­îc gäi lµ thø tù tõ nÕu nã tháa m·n c¸c tÝnh chÊt sau: (i) Víi mäi (ii) NÕu m ∈ T, 1 ≤ m, m1 , m2 , m ∈ T mµ m1 ≤ m2 th× mm1 ≤ mm2 . 2.1.2 Bæ ®Ò. Mét thø tù toµn phÇn ≤ trªn T lµ thø tù tèt khi vµ chØ khi mäi d·y ®¬n thøc thùc sù gi¶m: m1 > m2 > m3 > . . . ®Òu dõng (sau h÷u h¹n phÇn tö). Chøng minh. NÕu ≤ kh«ng lµ thø tù tèt th× tån t¹i tËp con B ⊆ T sao cho B kh«ng cã phÇn tö nhá nhÊt. LÊy Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu m1 lµ phÇn tö tïy ý thuéc B . V× B kh«ng cã http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 8 phÇn tö nhá nhÊt nªn tån t¹i m2 ®­îc < m1 trong B . TiÕp tôc nh­ vËy, sau khi t×m n ®¬n thøc m1 > m2 > . . . > mn trong B , ta l¹i t×m ®­îc mn+1 ∈ B sao cho mn > mn+1 . B»ng quy n¹p, ta x©y dùng ®­îc mét d·y v« h¹n c¸c ®¬n thøc thùc sù gi¶m. Ng­îc l¹i, nÕu cã mét d·y v« h¹n c¸c ®¬n thøc thùc sù gi¶m th× d·y ®ã kh«ng cã phÇn tö nhá nhÊt. VËy thø tù ®· cho kh«ng ph¶i lµ thø tù tèt. 2.1.3 Bæ ®Ò. Mäi thø tù tõ lµ thø tù tèt. Ng­îc l¹i, mäi thø tù tèt trªn m·n ®iÒu kiÖn Chøng minh. T tháa (ii) cña §Þnh nghÜa 2.1.1 lµ thø tù tõ. Cho ≤ lµ thø tù tõ. Gi¶ sö ∅ 6= B ⊆ T . Gäi I ⊆ K[x] lµ i®ªan ®¬n thøc sinh bëi B . Theo Bæ ®Ò Dickson (mäi i®ªan ®¬n thøc ®Òu h÷u h¹n sinh), tån t¹i mét sè h÷u h¹n phÇn tö m1 , . . . , mn ∈ B sao cho I = hm1 , . . . , mn i. V× ≤ lµ thø tù toµn phÇn nªn cã thÓ gi¶ thiÕt m1 ≤ mi , víi mäi i ≤ n. Ta chøng tá m1 lµ phÇn tö nhá nhÊt cña B . Cho m ∈ B tïy ý. V× víi I = hm1 , . . . , mn i nªn ta t×m ®­îc i ≤ n sao cho m = m0 mi , m0 lµ ®¬n thøc nµo ®ã. V× 1 ≤ m0 nªn theo §Þnh nghÜa 2.1.1(ii) th× m1 ≤ mi ≤ m0 .mi = m. Do ®ã, m1 lµ phÇn tö nhá nhÊt cña B vµ ≤ lµ thø tù tèt. Ng­îc l¹i, cho ≤ lµ thø tù tèt. Gi¶ sö tån t¹i ®¬n thøc m sao cho 1 > m. Khi ®ã theo tÝnh chÊt (ii), m = 1.m > m.m = m2 , m2 = m.m > m2 .m = m3 , . . . Cø nh­ vËy sÏ nhËn ®­îc d·y v« h¹n ®¬n thøc thùc sù gi¶m: 1 > m > m2 > m3 > . . . Theo Bæ ®Ò 2.1.2 th× ®iÒu nµy tr¸i víi gi¶ thiÕt ≤ lµ thø tù tèt. VËy ≤ tháa m·n hai ®iÒu kiÖn (i) vµ (ii) cña §Þnh nghÜa 2.1.1, hay ≤ lµ mét thø tù tõ. Sau ®©y ta giíi thiÖu mét sè thø tù tõ hay dïng. Cho ≤ lµ mét thø tù tõ. Sau khi ®æi chØ sè c¸c biÕn lu«n cã thÓ gi¶ thiÕt: x1 > x2 > . . . > xn . Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 9 2.1.4 §Þnh nghÜa. Thø tù tõ ®iÓn lµ thø tù ≤lex x¸c ®Þnh nh­ sau: xα1 1 . . . xαnn βi . 2.1.7 MÖnh ®Ò. 2.1.8 VÝ dô. (i) Ba thø tù kÓ trªn lµ thø tù tõ. x1 x32 x23 glex x1 x24 nh­ng x1 x24 >rlex x1 x2 x4 . (ii) Nh­ vËy ba thø tù tõ trªn lµ thùc sù kh¸c nhau. 2.2 C¬ së Groebner Gi¶ sö deg(f ) nÕu lt(g) >T lt(f ). 2.2.2 §Þnh nghÜa. Cho F = {f1 , f2 , .., ft } ⊆ A\ {0} vµ I = hf1 , f2 , ..., ft i. F ®­îc gäi lµ mét c¬ së Groebner cña I nÕu hlt(f1 ), lt(f2 ), ..., lt(ft )i = lt(I). Bæ ®Ò d­íi ®©y sÏ chØ ra r»ng lu«n tån t¹i c¬ së Groebner cña mét i®ªan I tïy ý trong A. 2.2.3 MÖnh ®Ò. trong ®ã K Cho I 6= h0i lµ mét i®ªan thËt sù cña A = K[x1 , x2 , ..., xn ] lµ mét tr­êng. Khi ®ã lu«n tån t¹i c¬ së Groebner cña Chøng minh. Cho I. I lµ mét i®ªan cña A. V× A lµ vµnh Noether nªn I lµ h÷u h¹n sinh. Do ®ã tån t¹i {f1 , f2 , .., ft } ⊆ A\ {0} sao cho I = hf1 , f2 , ..., fr i . Gi¶ sö kh«ng tån t¹i c¬ së Groebner cña I , khi ®ã ta cã: lt(I) 6⊆ hlt(f1 ), lt(f2 ), ..., lt(fr )i , vµ v× vËy tån t¹i phÇn tö kh¸c kh«ng fr+1 ∈ I sao cho lt(fr+1 ) 6∈ hlt(f1 ), lt(f2 ), ..., lt(fr )i vµ {f1 , f2 , ..., fr+1 } kh«ng ph¶i lµ c¬ së Groebner cña I . TiÕp tôc qu¸ tr×nh nµy, ®Õn b­íc thø i ta ®­îc: fr+i ∈ I vµ lt(fr+i ) 6∈ hlt(f1 ), lt(f2 ), ..., lt(fr+i−1 )i . Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 11 §Æt Hi = hlt(f1 ), lt(f2 ), ..., lt(fr+i )i víi i = 1, 2, .... Khi ®ã ta ®­îc d·y t¨ng c¸c i®ªan cña A, H0 ⊆ H1 ⊆ ... ⊆ Hi ⊆ ... kh«ng dõng, m©u thuÉn víi §Ó xem tËp A lµ vµnh Noether. F cã lµ c¬ së Groebner cña i®ªan I = hF i kh«ng, ta cÇn xÐt quan hÖ thø tù toµn phÇn cña c¸c ®¬n thøc trong vµnh. Trong c¸c vÝ dô sau, ta gi¶ thiÕt c¸c ®¬n thøc cña (x A ®­îc s¾p xÕp theo quan hÖ thø tù tõ ®iÓn < y) : 1 < x < x2 < ... < y < xy < x2 y < ... < y 2 < xy 2 < .... 2.2.4 VÝ dô. Cho F = {x, y} ⊆ A = K[x, y] vµ cho I = hx, yi. V× lt(I) = hx, yi nªn F lµ c¬ së Groebner cña I . Trong vÝ dô tíi, chóng ta sÏ xÐt mét tËp sinh kh¸c cña I . 2.2.5 VÝ dô. Cho H = {y + x, y} ⊆ A = K[x, y]. Ta cã I = hy + x, yi. lt(H) = lt(y + x) = lt(y) = y vµ do x ∈ I nªn x = lt(x) ∈ lt(I) nh­ng x 6∈ lt(H). Do ®ã H kh«ng ph¶i lµ c¬ së Groebner cña I . Trong vÝ dô trªn nÕu c¸c ®¬n thøc cña A ®­îc cho bëi thø tù: 1 < y < y 2 < ... < x < xy < xy 2 < ... < x2 < x2 y < ... th× H sÏ lµ c¬ së Groebner cña I . V× vËy c¬ së Groebner phô thuéc vµo quan hÖ thø tù toµn phÇn. H¬n n÷a, víi quan hÖ thø tù tõ ®iÓn ng­îc, cña F vµ H ®Òu lµ c¬ së Groebner I = hx, yi. V× vËy chóng ta nhËn thÊy r»ng c¬ së Groebner cña mét i®ªan kh«ng ph¶i lµ duy nhÊt. Cho mét tËp sinh tïy ý c¸c ®a thøc kh¸c kh«ng F = {f1 , f2 , ..., ft } cña I , khi ®ã lt(F ) = hlt(f1 ), lt(f2 ), ..., lt(ft )i ⊆ lt(I). Ta sÏ t×m c¸ch biÕn ®æi F ®Ó ®­îc c¬ së Groebner b»ng viÖc thªm vµo F mét sè c¸c ®a thøc {ft+1 , ..., fs } nµo ®ã thuéc I ®Ó ®¶m b¶o r»ng lt(I) ⊆ hlt(f1 ), lt(f2 ), ..., lt(fs )i. §Ó lµm ®­îc ®iÒu nµy, tr­íc hÕt ta ®­a ra ®Þnh nghÜa sau. Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 12 2.2.6 §Þnh nghÜa. nãi Cho f, g ∈ K[x1 , x2 , ..., xn ] vµ F = {f1 , f2 , ..., ft }. Ta f ®­îc gäi lµ dÉn vÒ g theo F , hoÆc g lµ viÕt l¹i cña f , kÝ hiÖu f RF g nÕu tån t¹i fi ∈ F vµ T ∈ T sao cho g = f− ci lc(fi ) .T.fi , trong ®ã ci = coef (f, T.lt(fi )). L­u ý r»ng khi f RF g , víi g 6= f , th× tån t¹i fi ∈ F sao cho lt(fi ) chia hÕt mét ®¬n thøc nµo ®ã cña cña f vµ ta chän T sao cho T.lt(fi ) khö tõ ®ã f ®Ó ®­îc g . Nh×n chung lt (g) ≤T lt (f ), tuy nhiªn tr­êng hîp ®Æc biÖt lt (g) T lt(hj ) = Tj+1 .lt(pj+1 ). ThËt vËy, nÕu tr¸i l¹i th× tån t¹i r < m sao cho víi mäi T ∈ T vµ p ∈ F ; lt(hr ) 6= T.lt(p) ta cã: lt(hr ) = lt(hr+1 ) = ... = lt(hm ). §iÒu nµy m©u thuÉn víi hm = 0. ThÕ ng­îc trë l¹i c¸c ph­¬ng tr×nh ë (∗) ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh. Trong c¸c vÝ dô sau ®©y, c¸c ®¬n thøc cña thø tù tõ ®iÓn (x 2.2.9 VÝ dô. Khi ®ã A ®­îc s¾p xÕp theo quan hÖ < y ). Cho F = {f1 , f2 } trong ®ã f1 = x vµ f2 = y . Cho f = xy 2 +x2 . F F F f → x2 v× x2 = f − xy.f2 vµ x2 → 0 v× 0 = x2 − x.f1 . Khi ®ã: f → 0. 2.2.10 VÝ dô. Cho H = {h1 , h2 } trong ®ã h1 = y + x vµ h2 = y . Cho H H f = x.y 2 + x2 . Khi ®ã: f → x2 v× x2 = f − xy.h2 , nh­ng x2 9 0 v× x2 kh«ng lµ béi cña lt(h1 ) hay lt(h2 ). Nh­ vËy mét tËp sinh thøc trong F lµ c¬ së Groebner cña I khi vµ chØ khi mäi ®a I ®Òu cã thÓ dÉn vÒ 0 theo F . Chóng ta kh¼ng ®Þnh ®iÒu nµy trong ®Þnh lý sau. 2.2.11 §Þnh lý. trong ®ã K Cho F = {f1 , f2 , ..., ft } ⊆ A\ {0} = K[x1 , x2 , ..., xn ]\ {0}, lµ mét tr­êng. Gi¶ sö I = hf1 , f2 , ..., ft i. Khi ®ã c¸c mÖnh ®Ò sau t­¬ng ®­¬ng: (i) F lµ c¬ së Groebner cña (ii) NÕu f ∈ I\ {0} I; th× tån t¹i g1 , g2 , ..., gt ∈ A sao cho f = t P gj fj , j=1 trong ®ã víi mäi sao cho (iii) j , lt(f ) ≥T lt(gj ).lt(fj ). §iÒu nµy kÐo theo tån t¹i i≤t lt(f ) = lt(gi ).lt(fi ); f ∈I Chøng minh. khi vµ chØ khi F f → 0. Tr­íc hÕt ta chøng minh sù kÐo theo trong I\ {0} sao cho tån t¹i g1 , g2 , ..., gt ∈ A ®Ó f = t P (ii). Gi¶ sö f ∈ gj fj trong ®ã víi mäi j , j=1 Soá hoùa bôûi trung taâm hoïc lieäu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 14 lt(f ) ≥T lt(gj ).lt(fj ). Khi ®ã, lt(f ) ≥T lt(gj ).lt(fj ). V× vËy lt(f ) ≥T max {lt (gj ) .lt (fj )} . Tuy nhiªn, ta lu«n cã lt(f ) ≤T max {lt (gj ) .lt (fj )} . Suy ra tån t¹i i ≤ t sao cho lt(f ) = lt(gi ).lt(fi ) = max {lt (gj ) .lt (fj )} . (i ⇒ ii) Gi¶ sö (ii) kh«ng ®óng. Khi ®ã tån t¹i f ∈ I\ {0} nhá nhÊt sao cho (ii) kh«ng ®óng. Theo gi¶ thiÕt lt(f ) ∈ hlt (f1 ) , lt (f2 ) , ..., lt (ft )i. V× vËy tån t¹i ci ∈ K vµ Ti ∈ T sao cho X lt(f ) = cj Tj lt (fj ) . fj ∈F V× lt(f ) ∈ T ∈ T vµ T nªn nã kh«ng thÓ b»ng tæng cña c¸c ®¬n thøc v× thÕ tån t¹i k ≤ t, sao cho lt(f ) = T.lt(fk ). KÐo theo tån t¹i mét phÇn tö c ∈ K víi lt(f − cT fk ) - Xem thêm -