Tài liệu Cơ lưu chất Ch6_08

THEÁ LÖU Chöông 6 www4.hcmut.edu.vn/~hchoai/baigiang I. ÑÒNH NGHÓA THEÁ LÖU: ∫ r khoâng phuï thuoäc vaøo ñöôøng ñi töø A ñeán B Ñeå ñieàu kieän treân thoûa maõn, caàn coù moät haøm ϕ(x,y) sao cho r = ϕ = ∂ϕ ∂ vaø = ∂ϕ ∂ ϕ(x,y) : Haøm theá vaän toác Ngoaøi ra r ω= r ω= v Chuy n ñoäng theá laø moät chuyeån ñoäng khoâng quay ϕ = II. MOÄT SOÁ Ø KHAÙI NIEÄM 1. Haøm theá vaän toác (ϕ): Trong toïa ñoä descarde ux = Trong toïa ñoä cöïc ∂ϕ ∂ϕ ; uy = ∂x ∂y ur = + Phöông trình ñöôøng ñaúng theá: ∂ϕ ∂ϕ ; uθ = r ∂θ ∂r Khi cho ϕ = Const => ñöôøng ñaúng theá Haøm soá theá thoûa maõn Phöông trình Laplace ∂ ϕ ∂ ϕ + = ∂ ∂ PT Laplace ∇ ϕ = Δϕ = Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com Toùm taét baøi giaûng - TS Huyønh coâng Hoaøi ÑHBK tp HCM 1 2. Haøm doøng (ψ) : ux = ∂y ; uy = − y trong toïa ñoä cöïc trong toïa ñoä Descarte ∂ψ ∂ψ ur = ∂x 1 ∂ψ ∂ψ ; uθ = − r ∂θ ∂r uθ u ur r x θ Moät soá tính chaát cuûa haøm doøng: +Trong baát kyø doøng chaûy naøo cuõng coù theå tìm ñöôïc haøm doøng Luoân luoân coù ∂ ∂ So saùnh vôùi pt lieân tuïc ⎛ ∂ψ ⎜ ⎜∂ ⎝ ∂ ∂ ⎞ ∂ ⎟− ⎟ ∂ ⎠ ∂ + ∂ ⎛ ∂ψ ⎞ ⎜ ⎟= ⎝∂ ⎠ ux = ∂ψ ∂y uy = − ∂ψ ∂x Luoân tìm ñöôïc ψ(x,y) = + Trong chuyeån ñoäng theá ψ thoaû maõn phöông trình Laplace ∂ψ ∂ψ + = ∂x ∂y Töø v Rot (u ) = 0 ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ ⎛ ∂ψ ⎞ ∂ ⎛ ∂ψ ⎜− ⎟− ⎜ ∂ ⎝ ∂ ⎠ ∂ ⎜∂ ⎝ ∂ψ ∂ψ + = ∂x ∂y ⎞ ⎟= ⎟ ⎠ -Khi cho ψ = C thì ñaây chính laø phöông trình moät ñöôøng doøng y ψ(x,y) = C Söï thay ñoåi giaù trò ψ taïi 2 ñieåm (x,y) vaø ñieåm (x+dx, y+dy) treân ñöôøng ψ = C ψ = o ψ =− x maø ψ(x,y) = C ψ = = ∂ψ ∂ − + + ∂ψ ∂ + = Phöông trình ñöôøng doøng Vaäy caùc ñieåm naày thoûa maõn pt ñöôøng doøng hay noùi caùch khaùc ñöôøng ψ(x,y) = C laø moät ñöôøng doøng Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com Toùm taét baøi giaûng - TS Huyønh coâng Hoaøi ÑHBK tp HCM 2 + Löu löôïng (q) ñi qua giöõa 2 ñöôøng doøng A,B baèng q = ψB - ψA dq = ux dy-uydx = = ∂ψ ∂ + ∂ψ ∂ ∂ψ ∂ ⎛ ∂ψ ⎞ − ⎜− ⎟ ⎝ ∂ ⎠ ψ =∫ Nhö vaäy ux y dq = dψ dy ψ+ dψ dq ψ x ψ =ψ − ψ ψ ψB uy dx ψA 3. Moái quan heä giöõa haøm doøng vaø haøm theá: ∂ϕ ∂ψ ∂ϕ ∂ψ + = ∂ ∂ ∂ ∂ Löôùi thuûy ñoäng Ñöôøng doøng vaø caùc ñöôøng ñaúng theá tröïc giao vôùi nhau II.MOÄT SOÁ CAÙC CHUYEÅN ÑOÄNG THEÁ ÑÔN GIAÛN 1. Chuyeån ñoäng ñeàu naèm ngang = ϕ ϕ ϕ ϕ ψ = ψ - Ñaây laø moät chuyeån r = ñoäng theá vì ψ ψ ψ Haøm theá : ϕ(x,y) = ∂ϕ ∂ ∂ϕ = ∂ = ∂ϕ ∂ ∂ϕ = ∂ ϕ = ϕ= + ϕ= ϕ=ϕ Haøm doøng : ψ (x,y) = ∂ψ ∂ =− ∂ψ ∂ ∂ψ = ∂ ∂ψ = ∂ ψ = ϕ= + ψ = Uo y ψ=ψ Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com Toùm taét baøi giaûng - TS Huyønh coâng Hoaøi ÑHBK tp HCM 3 2. Ñieåm nguoàn vaø gieáng Xeùt moät ñieåm nguoàn coù cöôøng ñoä q (m2/s) Töø phöông trình lieân tuïc = = θ π = θ= = θ= θ= π = π θ= π r • ( + ) π = π π ( + ) Veà nhaø ?? = Haøm theá : Trong toïa ñoä cöïc ϕ(r,θ) = θ ∂ϕ = ∂θ ∂ϕ ∂θ = ϕ ∂ϕ = ∂ π ∂ϕ ∂ θ q = ϕ= π ϕ= + π ϕ=ϕ Trong toïa ñoä descarte ϕ= π Haøm doøng: Trong toïa ñoä cöïc ψ(r,θ) ψ= π π ψ= θ ( ) + (Trong toïa ñoä descarte) π Löôùi thuûy ñoäng: Ñöôøng theá : ϕ = ϕ= π π π πψ ψ3 o ψ2 r ψ1= 0 ϕ1 ϕ 2 ϕ3 ψ6 ψ7 Phöông trình voøng troøn taâm O baùn kính θ θ= θ ψ4 ψ5 πϕ = Ñöôøng doøng : ψ = ψ = π Phöông trình ñöôøng thaúng qua taâm nghieâng moät goùc θ ψ3 ψ4 o ψ2 r ψ1 ϕ1 ϕ 2 ϕ3 ψ8 Ñieåm nguoàn Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com Ñieåm huùt : töông töï ϕ = − ñieåm nguoàn thay -q π ψ= − π θ Toùm taét baøi giaûng - TS Huyønh coâng Hoaøi ÑHBK tp HCM 4 3. Xoaùy töï do Doøng chaûy treân nhöõng ñöôøng troøn ñoàng taâm, coù vaän toác θ = Γ = π Γ : löu soá vaän toác ( haèng soá) r o - Ñaây laø moät chuyeån ñoäng theá - Haøm theá: Toïa ñoä cöïc ϕ= Toïa ñoä Descarte ϕ= - Haøm doøng : Toïa ñoä cöïc ψ = Toïa ñoä Descarte ψ = −Γ π −Γ π ϕ Γ θ π ϕ ϕ Γ ⎛y⎞ arctg⎜ ⎟ 2π ⎝x⎠ ln( r ) ϕ ϕ ϕ ϕ xoaùy döông Γ ψ ln( x + y ) Ghi chuù: Γ>0: xoaùy döông ngöôïc chieàu kim ñoàng hoà; Γ<0: xoaùy aâm thuaän chieàu kim ñoàng hoà; 4. Löôõng cöïc: q - Haøm theá y Nguoàn - Ñieåm nguoàn + huùt coù cuøng löu löôïng q ñaët caùch nhau moät ñoaïn ε voââ cuøng nhoû treân truïc hoaønh ε/2 ε/2 o ϕ = ϕN + ϕH Huùt -q x Vôùi ñieåm nguoàn vaø ñieåm huùt naèm ôû taâm ϕN = q Ln x 2 + y 2 4π ( Ñoåi truïc ϕN = ) ϕH = ( −q Ln x 2 + y 2 4π q 2 Ln (x + ε / 2 ) + y 2 4π ( ) ) ϕH = ( −q 2 Ln (x − ε / 2 ) + y 2 4π ⎡⎛ ⎤ ε⎞ ⎢⎜ x + ⎟ + y ⎥ ⎝ ⎠ ⎥ ln⎢ ⎥ π ⎢⎛ ε⎞ x− ⎟ + y ⎥ ⎢⎜ ⎠ ⎣⎝ ⎦ ⎞⎤ ⎛⎛ ⎞ q ⎡ ⎛⎛ ε⎞ ε⎞ ϕ = ϕn + ϕh = ⎢ln⎜ ⎜ x + ⎟ + y ⎟ − ln⎜ ⎜ x − ⎟ + y ⎟⎥ ⎟⎥ ⎜⎝ ⎟ ⎜⎝ π⎢ ⎝ ⎠ ⎠ ⎠⎦ ⎝ ⎠ ⎣ = ⎡ ⎤ ε +y ⎥ ⎢ x + xε + ln⎢ ⎥ ε π ⎢ +y ⎥ x − xε + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ q π ⎡ ⎢ ⎣ q + ε+ − ε+ ⎤ ⎥ ⎦ q ⎡ x 2 − xε + y 2 + 2 x ε ⎤ ln ⎢ ⎥ 4 π ⎣ x 2 − xε + y 2 ⎦ Maø: ln(1+x) = x-x2 /2 + x3 /3 - . . . . Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com ) ϕ= q ⎡ x 2 − xε + xε + xε + y 2 ⎤ ln ⎢ ⎥ 4π ⎣ x 2 − xε + y 2 ⎦ ⎡ ⎤ xε ln⎢ + π ⎣ x − xε + y ⎥ ⎦ q ⎤ q ⎡ xε ⎢ x − xε + y ⎥ π⎣ ⎦ Toùm taét baøi giaûng - TS Huyønh coâng Hoaøi ÑHBK tp HCM 5 Löôõng cöïc ñöôïc ñònh nghóa - Khi ε → 0 thì εq → m0 ( mo: cöôøng ñoä cuûa löôõng cöïc) ϕ= ⎤ q ⎡ xε ⎢ x − xε + y ⎥ π⎣ ⎦ Löôõng cöïc ϕ = lim iε − > ⎤ q ⎡ xε ⎢ x − xε + y ⎥ π⎣ ⎦ ϕ= ϕ= Trong toïa ñoä cöïc m cos θ πr ψ = - Haøm doøng : Töông töï coù Trong toïa ñoä cöïc y m0 ⎡ x ⎤ 2π ⎢ x 2 + y 2 ⎥ ⎣ ⎦ −m ψ =− π ψ o y x +y x ϕ m sin θ πr III CHOÀNG CHAÄP CAÙC CHUYEÅN ÑOÄNG THEÁ Choàng chaäp chuyeån ñoäng theá seõ cho ra moät chuyeån ñoäng theá Caùc theá löu ñeàu thoûa maõn pt Laplace 1. Chuyeån ñoäng qua nöûa coá theå Haøm theá vaän toác Doøng ñeàu + nguoàn ϕ = ϕu+ ϕs = + ϕ = ϕu+ ϕs = q Uo + π θ+ (Toïa ñoä descartes) (Toïa ñoä cöïc) π Haøm doøng ψ= ψ u+ ψs = ψ = ψu+ ψs = Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com + (Toïa ñoä descartes) π θ+ π θ (Toïa cöïc) Toùm taét baøi giaûng - TS Huyønh coâng Hoaøi ÑHBK tp HCM 6 Thaønh phaàn vaän toác ϕ= = θ+ π θ Ñieåm döøng (u = 0) ∂ϕ = ∂ = ∂ϕ =− ∂θ θ+ π ( θ)= − Nhöõng ñieåm treân treân truïc x : uθ = 0 ( ur = 0 vaø uθ = 0 ) vaø ur = 0 khi ⎛ ⎜ ⎜ π ⎝ Ñieåm döøng S − + θ+ ψ = π π = = ⎞ = ⎠ θ ψ π π Nöûa coá theå = Ñieåm döøng q/(2Uo) π= • θ+ = π π π⎟ ⎟ Phöôøng trình ñöôøng doøng ñi ngang qua ñieåm döøng S ψ = θ π θ= ⎛π −θ ⎞ ⎜ ⎟ θ ⎠ ⎝ π Keát hôïp moät chuyeån ñoäng ñeàu vaø moät ñieåm nguoàn coù theå duøng ñeå moâ taû doøng chaûy bao quanh nöûa coá theå 2. Chuyeån ñoäng bao quanh truï troøn y x Doøng ñeàu (Uo) + Löôõng cöïc (m0) o Uo Haøm theá vaän toác Toïa ñoä descartes m ⎡ x ⎤ ϕ = ϕu+ ϕd = Uo x + 0 ⎢ 2 2 ⎥ 2π ⎣ x + y ⎦ Haøm doøng Toïa ñoä descartes ψ= ψ u+ ψd = U 0 y − m0 y 2 2π x + y 2 Toïa ñoä cöïc Toïa ñoä cöïc ϕ = ϕu+ ϕd = U 0r cos θ + m0 cos θ 2πr m ⎞ ⎛ = cos θ⎜ U 0r + 0 ⎟ 2πr ⎠ ⎝ Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com ψ = ψu+ ψd = U 0r sin θ − m0 sin θ 2πr m ⎞ ⎛ = sin θ⎜ U 0r − 0 ⎟ 2πr ⎠ ⎝ Toùm taét baøi giaûng - TS Huyønh coâng Hoaøi ÑHBK tp HCM 7 Töø haøm doøng Ñöôøng doøng m ⎞ ⎛ ψ = sin θ⎜ U 0r − 0 ⎟ 2πr ⎠ ⎝ ψ= 0 Ñöôøng doøng vôùi ψ = 0 m ⎞ ⎛ sin θ⎜ U 0r − 0 ⎟ = 0 2πr ⎠ ⎝ ψ= 0 q ψ =ψ1 m ⎞ ⎛ sin θ = 0 → θ = kπ or ⎜ U 0r − 0 ⎟ = 0 2πr ⎠ ⎝ = Uo Moät doøng ñeàu keát hôïp vôùi moät löôõng cöïc coù theå duøng ñeå moâ taû doøng chaûy bao quanh moät truï troøn Neáu truï troøn coù baùn kính ro thì löôõng cöïc coù cöôøng ñoä mo laø π Ñöôøng doøng laø 1 voøng troøn taâm O baùn kính r Caùc ñöôøng doøng ψ = ψ1, ψ = ψ2, …. Coù daïng nhu treân hình veõ Nhö vaäy doøng chaûy bao quanh truï troøn baùn kính r0 coù haøm theá vaän toác vaø haøm doøng ⎛ r2 ⎞ ϕ = U or cos θ⎜1 + 02 ⎟ ⎜ r ⎟ ⎝ ⎠ = = π π ⎛ r2 ⎞ ψ = U or sin θ⎜1 − 02 ⎟ ⎜ r ⎟ ⎝ ⎠ Thaønh phaàn vaän toác ⎛ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ θ⎜ + ⎜ ϕ= ⎝ ⎛ θ⎜ + ⎜ ⎝ = = θ ∂ϕ = ∂ = =− ψ= 0 A ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ θ⎜ − ⎜ ⎝ ⎛ ∂ϕ =− ∂θ θ⎜ + ⎜ ⎝ ⎛ θ⎜ + ⎜ ⎝ ψ= ψ2 ψ =ψ2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ D q C B Uo ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ Treâân beà maët hình truï ( r = r0) = and θ =− θ Vaän toác cöïc ñaïi A and B ( θ = ±π/2) uθA = −2U 0 Ñieåm döøng C vaø D ( θ = 0, π) uθC = uθD = 0 Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com uθB = 2U 0 Toùm taét baøi giaûng - TS Huyønh coâng Hoaøi ÑHBK tp HCM 8 AÙp suaát phaân boá treân maët truï Xeùt moät ñieåm ôû xa maët truï coù vaän toác Uo, aùp suaát p0 and vaø moät ñieåm treân maët truï vaän toác us, aùp suaát ps ψ= 0 AÙp duïng pt Bernoulli + ρ + A = + ρ + Boû qua söï thay ñoåi (z) vaø thay uS + = ρ = θ − C B Uo ρ (− ρ + + q D ψ= ψ2 ψ =ψ2 θ) Neáu p0 laø aùp suaát khí trôøi po= 0 ρ (− ρ θ) = = AÙp suaát cöïc tieåu taïi A vaø B = Aùp suaát cöïc ñaïïi taïi C vaø D = =− ρ AÙp suaát phaân boá treân maët truï 1 2 pS − p0 = ρU 0 1 − 4 sin 2 θ 2 ( pS − p0 = C p ) 1 2 ρU 0 2 Doøng chaûy theá ( C p = 1 − 4 sin 2 θ ) Ñöôøng maøu ñoû , ñoái xöùng Doøng chaûy coù quay Cp khoâng ñoái xöùng , thí nghieäm cho ñöôøng maøu xanh Quan saùt doøng chaûy theá vaø doøng chaûy coù quay qua moät xe ñang chuyeån ñoäng Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com Toùm taét baøi giaûng - TS Huyønh coâng Hoaøi ÑHBK tp HCM 9 3. Doøng chaûy bao quanh truï troøn vôùi moät xoaùy töï do Doøng chaûy bao quanh truï troøn r0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ θ⎜ + ⎜ ϕ = ⎝ Xoaùy töï do : ϕ = ψ = Γ π θ ⎛ θ⎜ − ⎜ ⎝ −Γ ψ = π ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ r0 Doøng chaûy bao quanh truï troøn + Xoaùy töï do Uo Haøm theá vaän toác ⎛ θ⎜ + ⎜ ϕ = ϕ +ϕ = ⎝ ⎞ Γ ⎟+ ⎟ πθ ⎠ Haøm doøng ⎛ θ⎜ − ⎜ ψ = ψ +ψ = ⎝ ⎞ Γ ⎟− ⎟ π ⎠ Thaønh phaàn vaän toác treân maët truï = ∂ϕ ∂ = = θ = ∂ϕ ∂θ = Γ θ+ =− π Ñieåm döøng ( ur = 0 vaø uθ=0) treân maët truï r Vaän toác treân maët truï = Taïi ñieåm θ= Γ= uθ = 0 Γ π θ 0 θ+ =− θ+ − Γ U π Γ π o θ= = Γ π Γ< π 2 ñieåm döøng Γ = π 1 ñieåm döøng Γ > π Khoâng coù ñieåm döøng treân maët truï ( ñieåm döøng naèm ngoaøi maët truï) Γ< π Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com Γ = π Γ > π Toùm taét baøi giaûng - TS Huyønh coâng Hoaøi ÑHBK tp HCM 10 AÙp suaát treân maët truï y Töø pt Bernoulli equation, xeùt ñieåm o ôû xa maët truï vaø ñieåm s naèm treân maët truïï + + ρ = + ρ Fy r0 + U Boû qua söï thay ñoåi (z) vaø thay us vaøo + ρ ⎛ ⎜− ⎜ =⎝ θ+ Γ ⎞ ⎟ π ⎟ ⎠ + • ps x θ o dA = r0dθ ρ ⎞ ⎛ Γ θ Γ ⎟ ⎜ − θ+ − ⎟ ⎜ π π ⎠ ⎝ Toàng löïc taùc duïng treâân maët truï ( cho 1 ñôn vò chieàu daøi tru )ï = ρ + = −∫ π = −∫ π θ θ= θ θ = −ρ Γ (Kutta – Jouskowky law) Löïc naâng Fy ñöôïc goïi goïi laø hieäu öùng Magnus Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com Söï phaân boá aùp suaát treân maët truï khi Re lôùn Doøng chaûy qua moät caùnh Toùm taét baøi giaûng - TS Huyønh coâng Hoaøi ÑHBK tp HCM 11 Thí duï 1: ϕ yB ϕ ϕ ϕ B ψ ψ ψ ψ yA A xB ψ xA ψ = Uo y Xaùc ñònh l u l ng qua A-B ? Printed with FinePrint - purchase at www.fineprint.com Toùm taét baøi giaûng - TS Huyønh coâng Hoaøi ÑHBK tp HCM 12