Tài liệu Cơ lưu chất 06theluu

PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay CHÖÔNG Giôùi haïn: doøng chaûy phaúng, löu chaát lyù töôûng khoâng neùn ñöôïc chuyeån ñoäng oån ñònh I. CAÙC KHAÙI NIEÄM CÔ BAÛN 1. Haøm theá vaän toác: ∂ϕ ∂ϕ Ta ñònh nghóa haøm ϕ sao cho: u x = ; u y = ∂x Tröôøng veùctô u laø tröôøng coù theá khi: Ta coù: B B A B A ⇒ 1 ∂ϕ ∂ϕ ; uθ = ∂r r ∂θ (1) ∫ u ds chæ phuï thuoäc vaøo hai vò trí A vaø B. A toàntaïi ϕ thoaû (1) ∫ uds = ∫ ( u x dx + u y dy ) ∂y hay u r = B B ∫ uds = ∫ ( A A ∂ϕ ∂ϕ dx + dy ) ∂y ∂x B Roõ raøng töø chöùng minh treân, Vaäy: = ∫ dϕ = ϕ A − ϕ B B ∫ uds A A chæ phuï thuoäc vaøo giaù trò haøm theá taïi A vaø B. Doøng chaûy coù theá ⇔∃ϕ/thoaû ñ.k. (1) ⇔ ∂u y ∂u x ∂ ⎛ ∂ϕ ⎞ ∂ ⎛ ∂ϕ ⎞ − =0 ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ = 0⇔ ⎜ ∂y ⎟ ∂y ∂x ∂x ∂y ∂x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2. Phöông trình ñöôøng ñaúng theá: dϕ = 0 ⇔ u x dx + u y dy = 0 3. YÙ nghóa haøm theá vaän toác: ΓAB = ϕ B − ϕ A 4. Tính chaát haøm theá: u ∂ B ΓAB = ∫ u s ds A laø löu soá vaän toác n un u A us ∂u y ∂2ϕ ∂ 2ϕ ∂ ⎛ ∂ϕ ⎞ ∂ ⎛ ∂ϕ ⎞ + =0⇔ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟=0⇔ 2 + 2 =0 Töø ptr lieân tuïc, ta coù: ∂x ∂y ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎜ ∂y ⎟ ∂x ∂y ⎝ ⎠ x ⇔ rot(u)=0 ⇔ Haøm theá thoaû phöông trình Laplace THE LUU 1 B PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay 5. Haøm doøng: Khi doøng chaûy löu chaát khoâng neùn ñöôïc toàn taïi, thì caùc thaønh phaàn vaän toác cuûa noù thoaû ptr lieân tuïc : ∂u x ∂u y ∂ψ ∂ψ 1 ∂ψ ∂ψ + = 0 ⇔ ∃ψ / u x = ; uy = − ∂x ∂y ∂y ∂x ψ goïi laø haøm doøng. hay ur = r ∂θ ; uθ = − ∂r Nhö vaäy ψ toàn taïi trong moïi doøng chaûy, coøn ϕ chæ toàn taïi trong doøng chaûy theá. 6. Haøm doøng trong theá phaúng: ∂u y ∂u x ∂2ψ ∂ 2ψ ∂ ⎛ ∂ψ ⎞ ∂ ⎛ ∂ψ ⎞ Vì laø doøng chaûy theá neân: ⎜ ⎟=0⇔ 2 + 2 =0 − =0⇔− ⎜ ⎟− ∂x ∂y ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎜ ∂y ⎟ ∂x ∂y ⎝ ⎠ Vaäy trong doøng theá thì haøm ψ thoaû ptr Laplace. 7. Ñöôøng doøng vaø ptr: Töø ptr ñöôøng doøng: u x dy − u y dx = 0 ⇔ ∂ψ ∂ψ dy + dx = 0 ⇔ dψ = 0 ∂y ∂x Nhö vaäy treân cuøng moät ñöôøng doøng thì giaù trò ψ laø haèng soá. 8. YÙ nghóa B m doøng: haø B Ta coù: Vaäy: y B B ny q AB = ∫ u n ds = ∫ unds = ∫ u x n x ds + u y n y ds = ∫ u x cos αds + u y sin αds A A A A B B ∂ψ ∂ψ = ∫ u x dy − u y dx = ∫ dy − dx = ∫ dψ = ψ B − ψ A ∂y ∂x A A A q AB = ψ B − ψ A α dy B n dx nx ds (-dx=ds.sinα) O 9. Söï tröïc giao giöõa hoï caùc ñöôøng doøng vaø ñöôøng ñaúng theá: ∂ϕ ∂ψ ∂ϕ ∂ψ = u x (− u y ) + u y ( u x ) = 0 + ∂x ∂x ∂y ∂y Suy ra hoï caùc ñöôøng doøng vaø caùc ñöôøng ñaúng theá tröïc giao vôùi nhau. 10. Coäng theá löu: ϕ = ϕ1 + ϕ2 + ... ψ = ψ1 + ψ 2 + ... 11. Bieãu dieãn doøng theá: Ñeå bieåu dieãn doøng chaûy theá, ta coù theå bieãu dieãn rieâng töøng haøm doøng vaø haøm theá, ta cuõng coù theå keát hôïp haøm doøng vôùi haøm theá thaønh moät haøm theá phöùc nhö sau:: Theá phöùc f(z): Nhö vaäy: vôùi z = x+iy = eiα . f ( z ) = ϕ + iψ df dϕ dψ = u x − iu y = +i dz dx dy THE LUU 2 x PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay II. CAÙC VÍ DUÏ VEÀ THEÁ LÖU 1. Chuyeån ñoäng thaúng ñeàu: töø xa voâ cöïc tôùi, hôïp vôùi phöông ngang moät goùc α. ux = V0cosα; uy = V0sinα dψ = uxdy - uydx ψ=3 ψ = V0ycosα - V0xsinα + C ψ=2 Choïn:ψ=0 laø ñöôøng qua goác toaï ñoä ψ=1 ψ=0 ⇒ C=0. ψ=-1 Vaäy: ψ = V0ycosα - V0xsinα ψ=-2 Töông töï: ϕ = V0xcosα + V0ysinα ψ=-3 y V0 O α ϕ=-3 x ϕ=3 ϕ=2 ϕ=1 ϕ=0 ϕ=-1 ϕ=-2 Bieãu dieãn baèng haøm theá phöùc: F(z) = ϕ+iψ = (V0xcosα + V0ysinα) + i(V0ycosα - V0xsinα) = x(V0cosα- iV0sinα)+yi(V0cosα - iV0sinα) = az vôùi: a=(V0cosα -iV0sinα) laø soá phöùc; z=x+iy laø bieán phöùc. 2. Ñieåm nguoàn, ñieåm huùt: vôùi löu löôïng q taâm ñaët taïi goác toaï ñoä. (q>0:ñieåm nguoàn; q<0:ñieåm huùt). Haøm doøng: Haøm theá vaän toác: q ⎫ ∂ψ ∂ψ ⎪ dr + d θ = − u θ dr + ru r d θ = ru r d θ 2 πr ⎬ ⇒ d ψ = ∂r ∂θ uθ = 0 ⎪ ⎭ u r= q θ + C ; choïn ψ = 0 2π q q ⎛y⎞ ⇒ψ= θ= arctg ⎜ ⎟ 2π 2π ⎝x⎠ ⇒ψ= khi dϕ= θ=0 q ∂ϕ ∂ϕ dr+ dθ = urdr+ ruθdθ = ur dr= dr 2πr ∂θ ∂r q ⇒ϕ= ln( ) + C; choïn ϕ= 0 khi r =1 r 2π q q ⇒ϕ= ln( ) = ln( 2 + y2 ) r x 2π 4π ψ=(q/4) ⇒ Hoï caùc ñöôøng doøng laø nhöõng ñöôøng thaúng qua O. q q ⎧ ⎛y⎞ ⎪ψ = 2 π θ = 2 π arctg⎜ x ⎟ ⎝ ⎠ ⎪ q q ⎪ 2 2 ψ=0 ψ=q/2 ⎪ϕ = 2π ln( r ) = 4 π ln( x + y ) Keát luaän: ⎪ O ⎨ ⎪f (z) = q (ln r + iθ) = q (ln r + ln e iθ ) ⎪ 2π 2π ⎪ ϕ q q ⎪ ln( re iθ ) = ln z = a ln z = ⎪ ψ=3q/ 2π 2π Ghi chuù: ⎩ Tröôøng hôïp ñieåm nguoàn (huùt) coù taâm ñaët taïi moät vò trí khaùc goác toaï ñoä4 ví duï ñaët taïi , A(x0; y0) thì trong coâng thöùc tính haøm doøng (hoaëc theá vaän toác), tai vò trí naøo coù caùc bieán x phaûi thay baèng (x=x0) ; taïi vò trí naøo coù bieán y phaûi thay baèng (y-y0). THE LUU 3 PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay 3. Xoaùy töï do: ñaët taïi goác toaï ñoä vaø coù löu soá vaän toác Γ = ∫ uds = const C ⎧ Γ Γ ⎛y⎞ ⎪ ϕ = 2 π θ = 2 π arctg ⎜ x ⎟ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ −Γ −Γ ⎧u r = 0 ln( r ) = ln( x 2 + y 2 ) ⎪ψ = ⎪ ⎪ 2π 4π ⇒ ⎨ ⎨ Γ ⎪ f ( z ) = Γ ( θ − i ln r ) = − i Γ (ln r + i θ ) ⎪ u θ = 2 π r = const ⎩ ⎪ 2π 2π ⎪ − iΓ − iΓ ⎪ = ln( re i θ ) = ln z = a ln z ⎪ 2π 2π ⎩ ϕ=Γ/4 Ghi chuù: Γ>0: xoaùy döông ngöôïc chieàu kim ñoàng hoà; Γ<0: xoaùy aâm thuaän chieàu kim ñoàng hoà; ϕ = Γ/2 Töông töï, ta coù treân ñaây laø xoaùy ñaët taïi O(0,0). Muoán bieãu dieãn cho xoaùy coù taâm ñaët taïi ñieåm baát kyø, ta cuõng thöïc hieän nhö trong phaàn ghi chuù cuûa ñieåm nguoàn, huùt. ϕ=0 O ψ ϕ=3Γ/4 Γ>0: xoaùy döông 4. Löôõng cöïc: laø caëp ñieåm nguoàn + huùt coù cuøng löu löôïng qñaët caùch nhau moät ñoaïn ε voââ cuøng nhoû (cho ε→0 vôùi ñieàu kieän εq→m0 , laø moment löôõng cöïc). Ví duï ta xeùt tröôøng hôïp naèm treân truïc hoaønh: ⎛ ⎞ Tìm haøm doøng: ⎜ ⎟ y ⎟ y q ⎜ q arctg − arctg (θ n − θ h ) = ε⎟ ε 2π ⎜ 2π x− ⎟ x+ ⎜ ⎝ 2⎠ 2 ⎛ ⎛ ⎞⎞ ⎞ ⎛ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ y ⎟⎟ ⎜ ⎜ y ⎟−⎜ ⎟⎟ ε⎞ ε⎞⎞ ⎛ ⎛ ⎛ ε⎟ ⎜ ε⎟⎟ ⎜ ⎜ ⎜ y⎜ x − ⎟ − y⎜ x + ⎟ ⎟ ⎜x + ⎟ ⎜x − ⎟ ⎟ q ⎜ ⎝ q 2⎠ 2⎠⎟ ⎝ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ arctg ⎜ arctg ⎜ = ⎟= 2 ⎟ ⎜ 2π 2π ⎞ ⎞⎛ ⎛ ε ⎜ ⎜ y ⎟⎜ y ⎟ ⎟ x2 − + y2 ⎟ ⎜ ⎜ 4 ⎠ ⎝ ⎟⎟ ⎟⎜ 1+ ⎜ ⎜ ε ⎟⎟ ε ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜ x + ⎟⎜ x − ⎟ ⎟ ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠⎠ ⎝ ψ = ψn + ψh = Khi ε→0 töû soá trong daáu arctg tieán tôùi 0 neân ta coù theå vieát: ε⎞⎞ ε⎞ ⎛ ⎛ ⎛ ⎛ ⎜ y⎜ x − ⎟ − y ⎜ x + ⎟ ⎟ ⎜ q ⎜ ⎝ − yε 2⎠ 2⎠⎟ q ⎜ ⎝ ψ= = ⎟ 2π ⎜ 2π ⎜ ε2 ε2 x2 − x2 − + y2 + y2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 4 4 ⎝ ⎠ THE LUU 4 ⎞ ⎟ y ⎟ → − m0 ⎟ 2π x 2 + y 2 ⎟ ⎠ PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay 2 2 ⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤ Tìm haøm theá vaän toác: ϕ = ϕ n + ϕ h = q ⎢ln⎜ ⎛ x + ε ⎞ + y 2 ⎟ − ln⎜ ⎛ x − ε ⎞ + y 2 ⎟⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜⎝ ⎟⎥ 4π ⎢ ⎜ ⎝ 2⎠ 2⎠ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎝ 2 ⎡⎛ ⎤ ⎡ ⎤ ε⎞ x + ⎟ + y2 ⎥ ⎢⎜ ⎢ ⎥ q ⎢⎝ 2 εx 2⎠ ⎥ = q ln ⎢1 + ⎥ = ln 2 2 ⎥ 4π ⎢ ⎛ ⎥ 4π ⎢ ⎛ ε⎞ ε⎞ ⎢⎜ x − ⎟ + y 2 ⎥ ⎢ ⎜x − ⎟ + y2 ⎥ 2⎠ 2⎠ ⎢ ⎥ ⎢ ⎝ ⎥ ⎣⎝ ⎦ ⎣ ⎦ x2 + ... vaø boû qua caùc soá haïng baäc cao voâ cuøng beù, ta coù: 2 ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ q ⎜ ⎟ m0 2 εx x khi ε → 0 ϕ= ⎟ → 2π 2 ⎜ 2 2π ⎛ x + y2 ε⎞ 2 ⎟ ⎜ ⎜x − ⎟ y ⎟ ⎜ 2⎠ ⎠ ⎝⎝ Trieån khai ln(1 + x) = x − Vaäy toùm laïi, ñoái vôùi chuyeån ñoäng löôõng cöïc thì: − m0 − m 0 sin θ y = 2π r 2π x 2 + y 2 m m cos θ x ϕ= 0 2 = 0 2π x + y 2 2π r ψ ψ= m 0 cos θ − i sin θ m 0 cos 2 θ + sin 2 θ m 0 1 f (z) = = = 2π r 2 π r (cos θ + i sin θ) 2π z -q +q 5. Doøng chaûy quanh nöûa coá theå: Laø choàng nhaäp cuûa chuyeån ñoäng thaúng ñeàu ngang (U0)+ nguoàn taïi goác toaï ñoä (q) q q ln( x 2 + y 2 ) = u 0 r cos θ + ln r 4π 2π q y q ψ = u0y + arctg( ) = u 0 r sin θ + θ 2π x 2π Ñieåm döøng ϕ = u0x + Ñieåm döøng A: u A = 0 ⇔ u xA = 0; u yA = 0 q q 2x ⎧ ∂ϕ ⎪ ∂ x = u 0 + 4 π x 2 + y 2 = 0 ⇔ x A = − 2 πu ⎪ 0 ⇔⎨ ⇑ ⎪ ∂ϕ = q 2 y = 0 ⇔ yA = 0 ⎪ ∂y 4π x 2 + y 2 ⎩ THE LUU 5 A PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay 6. Doøng chaûy quanh coá theå daïng Rankin Laø toå hôïp cuûa doøng chuyeån ñoäng thaúng ngang ñeàu (u0) + nguoàn (+q) + huùt(-q). Trong ñoù ñieåm nguoàn vaø huùt naèm treân truïc hoaønh, caùch nhau moät ñoaïn 2a höõu haïn, u0 A B 2a q (x + a)2 + y 2 ϕ = uo x + ln 4π ( x − a ) 2 + y 2 ψ = uoy + +q -q q ⎡ ⎛ y ⎞ ⎛ y ⎞⎤ ⎢arctg⎜ x + a ⎟ − arctg⎜ x − a ⎟ ⎥ 2π ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ Coù hai ñieåm döøng A vaø B: ⎧ ∂ϕ q ⎛ ⎞ 2y 2y ⎜ ⎟ ⎪ = ⎜ (x + a) 2 + y 2 − (x − a) 2 + y 2 ⎟ = 0 ⇔ {y = 0 ⎠ ⎪ ∂y 4 π ⎝ ⎪ ⎪ ∂ϕ = u + q ⎛ 2(x + a) − 2(x − a) ⎞ = 0 ⎜ ⎟ 0 ⎪ ∂x 4π ⎜ (x + a) 2 + y 2 (x − a) 2 + y 2 ⎟ ⎧u x = 0 ⎪ ⎝ ⎠ ⇔⎨ u=0⇔⎨ ⎩u y = 0 ⎪theá y = 0 ⇔ u + q ⎛ 2 − 2 ⎞ = 0 ⎜ ⎟ 0 ⎪ 4π ⎝ (x + a) (x − a) ⎠ ⎪ ⎪ ⎧ q ⎛ 4a ⎞ aq ⇔ u0 + + a2 ⎜ 2 ⎟ = 0 ⇔ ⎨x = ± ⎪ 2 πu 0 4π ⎝ x − a ⎠ ⎪ ⎩ ⎩ 7. Doøng chaûy quanh truï troøn (Γ=0) Xeùtø toå hôïp cuûa chuyeån ñoäng thaúng ñeàu, naèm ngang (u0)+löôõng cöïc (m0) ϕ = uox + ⎛ m0 m cos θ m0 x = u o r cos θ + 0 = u o r cos θ⎜1 + 2 2 ⎜ 2π x + y 2π r 2πu 0 r 2 ⎝ ⎛ m sin θ − m0 m0 y ψ = uo y + = u o r sin θ − 0 = u o r sin θ⎜1 − 2 2 ⎜ 2π x + y 2π r 2πu 0 r 2 ⎝ Do khoâng coù söï trao m 0 baèng ñöôøng Thay ñöôøng ñoåi löu chaát giöõa r= R= troøn troøn 2 πu 0 trong vaø ngoaøi ñöôøng doøng ψ=0 ⎛ R2 ⎞ ϕ = u o r cos θ⎜ 1 + 2 ⎟ ⎜ r ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ R2 ⎞ ψ = u o r sin θ⎜ 1 − 2 ⎟ ⎜ r ⎟ ⎝ ⎠ Ñieåm döøng THE LUU 6 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ Xeùt ñöôøng doøng ψ=0 ⇔ θ=0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ vaø m0 2 πu 0 r= m0 2 πu 0 thì baûn chaát doøng chaûy vaãn khoâng ñoåi Ta coù hình aûnh cuûa doøng chaûy bao quanh truï troøn. (truï khoâng xoay) PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Tìm phaân boá vaän toác treân maët truï r=R: 1 ∂ϕ ⎧ = −2 u 0 sin θ ⎪u θ = r ∂θ r = R ⇒ ϕ = 2 u 0 R cos θ ⇒ ⎨ ⎪u = 0 ⎩ r Tìm hai ñieåm döøng treân maët truï: uθ = 0 ⇔ θ = 0 vaø θ=π ⇒ coù hai ñieåm döøng A. B tröôùc vaø sau maët truï. Tìm hai ñieåm coù giaù trò vaän toác lôùn nhaát treân maët truï: 3π π u θ = u max ⇔ θ = ; θ = 2 2 u C = −2 u 0 ; u D = 2 u 0 pA = pB = ρu02/2 uC = -2u0 C B A D uD = 2u0 pC = pD = -3ρu02/2 ⇒ C, D naèm treân vaø döôùi maët truï coù giaù trò vaän toác lôùn nhaát. Khaûo saùt phaân boá aùp suaát reân maët truï: AÙp duïng P.Tr NL treân ñöôøng doøng ψ=0 töø ñieåm xa voâ cöïc ñeán ñieåm treân maët truï: 2 2 2 2 ρu 2 ρu 2 ρu 0 u tr ρu 0 4u 0 sin 2 θ 0 dö p∞ + = p tr + tr (1 − 2 ) = (1 − ) Giaû sö û p∝=pa p tr = 2 2 2 2 u0 2 u0 ρu 2 ρu 2 pA = pB = 0 Taïi A, B: p dö = 0 (1 − 4 sin 2 θ) tr 2 2 2 Taïi C, D: p = p = − 3ρu 0 D D Do bieåu ñoà phaân boá aùp suaát ñoái xöùng qua ox laãn oy neân 2 Nhaän xeùt: toång löïc taùc duïng leân maët truï trong tröôøng hôïp naøy = 0 7. Chuyeån ñoäng quanh truï troøn xoay (Γ≠0): Doøng ñeàu Bao goàm chuyeån ñoäng quanh truï troøn + xoaùy töï do (Γ +) ⎛ R2 ⎞ Γ ϕ = u o r cos θ⎜1 + 2 ⎟ + θ ⎜ r ⎟ 2π ⎝ ⎠ ⎛ R2 ⎞ Γ ψ = u o r sin θ⎜1 − 2 ⎟ − ln r ⎜ r ⎟ 2π ⎝ ⎠ Phaân boá vaän toác treân maët truï : Vì r = R neân u r = 0; u θ = −2 u 0 sin θ + L cöïc Xoaùy töï do 1 Γ R 2π ⎧Γ < 4 πRu 0 → 2.ñieåm.döøng suy ra: Γ Γ ⎪ ⇔ sin θ = ⇒ ⎨Γ = 4πRu 0 → 1.ñieåm.döøng u = 0 ⇔ 2 u 0 sin θ = 2 πR 4 πRu 0 ⎪Γ > 4πRu → 0.ñieåm.döøng 0 ⎩ Phaân boá aùp suaát treân maët truï : 2 2 ρu ρu 1 Γ vôùi uθ = −2u0 sinθ + p ∞ + 0 = p tr + tr 2 2 R 2π 2 2 2 2 ⎡ ⎛ ⎞ ⎤ ρu 0 ρu 0 u tr Γ Giaû sö û p∝=pa p dö = ⎟ ⎥ ⎢ 1 − ⎜ 2 sin θ − (1 − 2 ) = tr ⎜ 2 u0 2 ⎢ 2 π Ru 0 ⎟ ⎥ ⎝ ⎠ ⎦ ⎣ Löïc taùc duïng treân maët truï: Löu yù : Phöông x: Fx =0 2π 2π Phöông y: dö n --Löïc naâng Jukovs ⇒ Fy = − ∫ p tr R sin θ.dθ = − ρΓU 0 ∫ sin θ.dθ =0 0 THE LUU 7 0 PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Caùc tröôøng hôïp xoaùy Γ>0 Γ/2πRu0=1 Ñieåm döøng Γ/2πRu0=2 Ñieåm döøng Fy Γ/2πRu0=3 Ñieåm döøng Caùc tröôøng hôïp xoaùy Γ< 0 y Fy y Γ Γ r r Stagnation Ñieåm döøng Point y | Γ | /2πRu0=1 Stagnation Ñieåm döøng Point | Γ | /2πRu0=2 Γ r Stagnation ÑieåPoint g m döøn | Γ | /2πRu0=3 THE LUU 8 PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví duï 1: Chuyeån ñoäng theá cuûa chaát loûng hai chieàu treân maët phaúng naèm ngang xoy vôùi haøm theá vaän toác ϕ = 0,04x3 + axy2 + by3 , x,y tính baèng m, ϕ tính baèng m2/s. 1. Tìm a, b. 2. Tìm ñoä cheânh aùp suaát giöõa hai ñieåm A(0,0) vaø B(3,4), bieátb khoái löôïng rieâng loûng baèng 1300kg/m3 Giaûi: Töø haøm theá vaän toác ϕ = 0,04x3 + axy2 + by3 ta coù: ∂ϕ ∂ϕ ux = = 0,12x 2 + ay 2 ; uy = = 2axy + 3by 2 ∂x ∂y Caùc thaønh phaàn vaän toác phaûi thoaû phöông trình div(u)=0 neân: ∂u x ∂u y + = 0 ⇔ 0,24x + 2ax + 6by = 0 ⇔ (0,24 + 2a )x + 6by = 0 ∂x ∂y Vì div(u)=0 ñuùng vôùi moïi ñieåm neân theá (x=0; y=1) vaøo ta ñöôïc b = 0 (x=1; y=0) vaøo ta ñöôïc a = -0,12 ⇒ uA=0; uB = ((0,12*32 -0,12*42)2+(-0,24*3*4)2)1/2 = 3 m/s Vì ñaây laø chuyeån ñoäng theá neân p.tr Ber ñuùng cho hai ñieåm baát kyø A vaø B, ta coù: 2 2 2 pA u2 pB uB ρ(uB − u2 ) A A + = + ⇔ (pA − pB ) = ⇔ Δ p AB = 1300 ( 3 ) = 5,85 KN / m 2 ρ 2 ρ 2 2 2 Ví duï 2: Doøng chaûy theá uoán cong moät goùc 900 vôùi haøm theá vaän toác ñöôïc cho nhö sau: 1 ϕ( x, y ) = ( y 2 − x 2 ) 2 (x,y tính baèng m).Tìm löu löôïng phaúng qua ñöôøng thaúng noái hai ñieåm A(1,1) vaø B(2,2) y x Giaûi: y(phi=70) 25 y(phi=60) ∂φ ux = = −x ∂x ∂φ ; uy = = y ∂y 20 y(phi=50) y(phi=40) 15 y(phi=30) ∂ψ = −uy ⇒ ∂ψ = − y∂x ∂x ⇒ ψ = − yx + C(y) ∂ψ = u x ⇒ − x + C'(y) = − x ∂y 10 y(phi=20) y(phi=10) 5 y(phi=0) 0 -30 -20 -10 y(phi=-10) 0 -5 10 20 30 y(phi=-20) y(phi=-30) ⇒ C(y) = const ⇒ ψ = − xy + const ⇒ qAB = ψB − ψA = −2 * 2 + 1*1 = −3m2 / s THE LUU 9 PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví duï 3: Fy dF Gioù thoåi qua maùi leàu daïng baùn truï R=3m vôùi V=20m/s, khoâng khí coù khoái löôïng rieâng θ baèng 1,16 kg/m3 . Tìm löïc naâng taùc duïng leân 1m beà daøi leàu. Giaûi: Ñeå tìm löïc naâng Fy taùc duïng leân 1m beà daøi leàu, treân baùn truï ta chon moät vi phaân dieân tích ds, tìm löïc dF taùc duïng leân ds, sau ñoù chieáu dF leân phöông y →dFy. Vaø tích phaân (dFy) treân toaøn baùn truï 2 ρu 0 dö p tr = (1 − 4 sin 2 θ) AÙp suaát dö treân maët truï baèng: 2 π π π 2 ρu 0 (1 − 4 sin 2 θ) cos( θ)Rdθ = 0 2 0 0 0 π π π 2 ρu 0 ⇒ Fy = ∫ dFy = − ∫ pds sin( θ) = − ∫ (1 − 4(1 − cos 2 θ)) sin( θ)Rdθ 2 0 0 0 ⇒ Fx = ∫ dFx = − ∫ pds cos( θ) = − ∫ π 2 π 2 π ⎤ Rρu 0 ⎡ Rρu 0 2 2 ⇒ Fy = − (4 cos θ − 3) sin( θ)dθ = − ⎢ ∫ (4 cos θ( − d(cos(θ)) − ∫ 3 sin( θ)dθ⎥ 2 ⎣0 2 ∫ 0 0 ⎦ π 2 2 2 Rρ u 0 ⎡ 4 Rρu 0 ⎡⎛ 4⎞ ⎛ 4 ⎞ ⎤ 5Rρu 0 3 ⎤ ⇒ Fy = − ⎢ 3 cos θ − 3 cos θ⎥ = − 2 ⎢⎜ − 3 + 3 ⎟ − ⎜ 3 − 3 ⎟ ⎥ = 3 2 ⎣ ⎠⎦ ⎦0 ⎠ ⎝ ⎣⎝ ⇒ Fy = 2320 N Ví duï 4: Moät xi lanh hình truï troøn di chuyeån trong nöôùc vôùi vaän toác u0 khoâng ñoåi ôû ñoä saâu 10m. Tìm u0 ñeå treân beà maët xi lanh khoâng xaûy ra hieän töôïng khí thöïc , bieát nöôùc ôû 200C Giaûi: ÔÛ 200C aùp suaát hôi baõo hoaø cuûa nöôùc : pbh = 0,25m nöôùc Ñeå treân beà maët xi lanh khoâng xaûy ra hieän töôïng khí thöïc thì ptru tñ > pbh = 0,25m nöôùc ⇒ ptru ck < 9,75m nöôùc hay pA = pB = ρu02/2 uC = -2u0 C B A D uD = 2u0 pC = pD = -3ρu02/2 ptru dö > - 9,75m nöôùc AÙp suaát dö nhoû nhaát treân maët tru (neáu truï di chuyeån treân maët thoaùng )ï, nhö ta ñaõ bieát, taïi vò trí C vaø D, baø baèng: pC = pD = -3ρu02/2 Vaäy neáu truï di chuyeån ôû ñoä saâu 10m thì : pC = pD = 10γn -3ρu02/2 Suy ra, vaän toác toái ña maø truï coù theå di chuyeån ñöôïc ñeå khoâng coù hieän töôïng khí thöïc xaûy ra treân maët truï phaûi giaûi töø baát p.tr : Ptru dö = 10γn -3ρu02/2 > - 9,75 γn ⇔ 3ρu02/2 < 19,75 γn ⇔ u0 < 11,365 m/s THE LUU 10 PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví duï 5: Hai nöûa xi lanh ñöôïc noái vôùi nhau vaø ñaët trong tröôøng chaûy ñeàu coù theá nhö hình veõ. Ngöôøi ta khoeùt 1 loã nhoû taïi vò trí goùc α ñeå cho khoâng coù löïc taùc duïng leân hai moái noái. Giaû thieát raèng aùp suaát beân trong xi lanh baèng aùp suaát beân ngoaøi xi lanh taïi loã khoeùt. Xaùc ñònh goùc α π/2 α dF ds θ 0 dFx Giaûi: Ñeå cho khoâng coù löïc taùc duïng leân hai moái noái thì toång löïc Fx taùc duïng leân moãi nöûa maët truï phaûi baèng khoâng. Do bieåu ñoà aùp suaát treân maët truï phaân boá ñoái xöùng qua truïc ox, neân ta chæ caàn xeùt toång löïc Fx treân ¼ maët tr. Ta xeùt treân ¼ maët truï töø 0 ñeán π/2: 2 AÙp suaát dö treân maët truï: ρu 0 dö p tr = (1 − 4 sin 2 θ) 2 Treân ¼ maët truï ta choïn vi phaân ds, goïi dFn laø löïc taùc duïng leân ds töø beân ngoaøi maët truï, ta coù: dFn=pds ⇒ dFnx= - pdscosθ = -pRcosθdθ π/2 ⇒ Fnx = − ∫ 0 π/2 2 ρu 0 ρu 2 R ⎡ 4 ⎤ (1 − 4 sin 2 θ) cos θRdθ = − 0 ⎢sin θ − sin 3 θ⎥ 3 2 2 ⎣ ⎦0 = 2 ρu 0 R 6 Nhaän xeùt: Löïc F nx >0 höôùng theo chieàu döông⇒löïc Ftx töø beân trong maët truï phaûi höôùng theo chieàu aâm. Nhö vaäy, aùp suaát taïi loã khoeùt phaûi laø aùp suaát chaân khoâng Goïi pα laø aùp suaát taïi loã khoeùt, ta coù: p π/2 ⇒ Ftx = ∫p π/2 α ds = 0 ∫p dö α 2 ρu 0 = (1 − 4 sin 2 α ) 2 cos θRdθ = p α R[sin θ]0 π/2 α = pαR 0 ρu 2 R ⇒ Ftx = o (1 − 4 sin 2 α ) 2 Ta coù: Fnx + Ftx = 0 2 2 Suy ra: Fnx = − Ftx ⇒ ρu o R = − ρu o R (1 − 4 sin 2 α ) 6 2 4 1 ⇒ 4 sin 2 α = ⇒ sin 2 α = 3 3 1 ⇒ sin α = 3 α = 35,260 THE LUU 11 π/2 α Ftx Fnx 0 PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví dụ 6 (tự giải) Xoáy tự do âm có cường độ 12m2/s chồng nhập với một nguồn cường độ 10m2/s. Cả hai đặt tại gốc tọa độ. Cho khối lượng riêng của không khí bằng 1,23 kg/m3. Nếu áp suất khí ở xa vô cực bằng áp suất khí trời và xem như không khí tĩnh. Tính áp suất tại điểm A(3,4) ĐS: pckA=0,512 N/m2 HD: Tìm vận tốc tại A. Áp dụng phương trình năng lượng để suy ra áp suất tại A Ví dụ 7 (tự giải) Dòng thẳng đều ngang với vận tốc 3m/s từ xa vô cực đến gặp một điểm nguồn cường độ 2m2/s đặt tại điểm A(1,2). Biết áp suất xa vô cực bằng không, Tìm vị trí và và áp suất tại điểm dừng B ĐS: B(0,89; 2); pB=0,46 m lưu chất. HD: Vị trí điểm dừng B trong hệ trục tọa độ mới XOY là: Y=0; X= - q/(2πu) Tọa độ của B trong xoy tìm được nhờ áp dụng công thức chuyển trục tọa độ. Áp suất pB tìm từ ph. tr năng lượng Ví dụ 8 (tự giải) Dòng chảy đều song song trục hoành bao quanh trụ tròn (không xoay) đặt tại gốc tọa độ. Vận tốc dòng đều V=2m/s. Áp suất xa vô cực bằng 5m nước. Tìm vận tốc và áp suất tại điểm A trên mặt trụ hợp với phương Ox một góc 1500 . ĐS: VA=2m/s và pA=49050 N/m2 HD: A trên mặt trụ chính là điểm có áp suất dư bằng 0 nếu xem áp suất xa vô cực =0 THE LUU 12