Tài liệu Cơ lưu chất 04dongluchoc

PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay CHÖÔNG V PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CHO CHAÁT LOÛNG LYÙ TÖÔÛNG CHUYEÅN ÑOÄNG (P.Tr EULER) ⎫ (1) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ (2)⎬ ⎪ ⎪ (3) ⎪ ⎪ ⎭ ∂u x ∂u x ∂u x 1 ∂p du x ∂u x ⎧ ⎪Fx − ρ ∂x = dt = ∂t + u x ∂x + u y ∂y + u z ∂z ⎪ 1 du ∂u y ∂u y ∂u y ⎪ 1 ∂p du y ∂u y F − grad( p) = ⇔ ⎨Fy − = = + ux + uy + uz ρ dt ρ ∂y ∂t ∂x dt ∂y ∂z ⎪ ⎪ 1 ∂p du z ∂u z ∂u ∂u ∂u = = + ux z + u y z + uz z ⎪Fz − dt ρ ∂z ∂t ∂x ∂y ∂z ⎩ Daïng Lamb-Gromeco cuûa phöông trình Euler: Sau khi saép xeáp, treân phöông x ta ñöôïc: ± uy ∂u y ∂x vaø ± uz 2 ⎛ ∂u y ∂u x ⎞ ∂u ⎞ 1 ∂p ∂u x ∂ ⎛ u 2 u y u 2 ⎞ ⎛ ∂u x = + ⎜ + + z ⎟ + uz ⎜ x − z ⎟ − uy ⎜ Fx − ⎜ ∂x − ∂y ⎟ ⎟ ρ ∂x ∂t ∂x ⎜ 2 ∂z ∂x ⎠ 2 2 ⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 ∂u x ∂ ⎛ u ⎞ ⎜ ⎟ + u rot(u) − u rot(u ) = + z y y z ∂t ∂x ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ Ta bieán ñoåi töông töï cho p.tr (2) vaø (3). DONG LUC HOC 1 ∂u z ∂x PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Cuoái cuøng ta ñöôïc Daïng Lamb-Gromeco cuûa phöông trình Euler: ⎛ u2 ⎞ 1 ∂u F − grad p = + grad ⎜ ⎟ + rot ( u ) ∧ u ⎜ 2 ⎟ ρ ∂t ⎝ ⎠ i j rot ( u ) ∧ u = rot ( u ) x ux rot ( u ) y uy ⎧ ( rot ( u ) ∧ u ) x = u z rot ( u ) y − u y rot ( u ) z ⎪ rot ( u ) z ⇔ ⎨ ( rot ( u ) ∧ u ) y = u x rot ( u ) z − u z rot ( u ) x ⎪( rot ( u ) ∧ u ) = u rot ( u ) − u rot ( u ) uz z y x x y ⎩ k II TÍCH PHAÂN P. TR. LAMB-GROMECO→ PHÖÔNG TRÌNH BERNOULLI ⎧ ⎫ ∂ ⎛ u2 ⎞ 1 ∂p ∂u x ⎜ ⎟ + u z rot ( u ) y − u y rot ( u ) z × dx ⎪ = + ⎪Fx − ρ ∂x ∂t ∂x ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ 2 ⎞ ⎪ ⎪ ∂ ⎛u 1 ∂p ∂u y ⎪ ⎜ ⎟ + u x rot ( u ) z − u z rot ( u ) x × dy ⎪ + = + ⎨ Fy − ⎬ ρ ∂y ∂t ∂y ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ 2 ⎞ ⎪ ⎪ 1 ∂p ∂u z ∂ ⎛ u = + ⎜ ⎟ + u y rot ( u ) x − u x rot ( u ) y × dz ⎪ Fz − ⎪ ρ ∂z ∂t ∂z ⎜ 2 ⎟ ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎩ ⎭ •Ñoái vôùi doøng oån ñònh, löu chaát naèm trong tröôøng troïng löïc, khoâng neùn ñöïôïc: dx ⎛ p u2 ⎞ − d⎜ gz + + ⎟ = rot (u ) x ⎜ ρ 2 ⎟ ⎝ ⎠ ux dy rot (u ) y uy dz rot (u ) z uz Trong moät soá caùc tröôøng hôïp cuï theå sau, ta coù tích phaân phöông trình treân vôùi veá phaûi = 0 ⇒P. tr. Bernoulli p u2 gz + + =C ρ 2 hay p u2 z+ + =C γ 2g Löu chaát chuyeån ñoäng theá toaøn mieàn: rot(u)=0 :(C laø haèng soá cho toaøn mieàn) Tích phaân doïc theo ñöôøng doøng (C laø haèng soá treân ñöôøng doøng) Tích phaân doïc theo ñöôøng xoaùy (C laø haèng soá treân ñöôøng xoaùy). Tích phaân doïc theo ñöôøng xoaén oác (C laø haèng soá treân ñöôøng xoaén oác) DONG LUC HOC 2 PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay •Trong tröôøng hôïp doøng chaûy löu chaát khoâng neùn ñöôïc, oån ñònh vôùi rot(u)≠0, xeùt treân phöông phaùp tuyeán n vôùi ñöôøng doøng: Neáu löïc khoái laø moät haøm coù theá, ta ñöa haøm theá π vaøo vôùi ñònh nghóa sau: Fx = − ∂π ∂π ∂π ; Fy = − ; Fz = − ∂x ∂y ∂z hay F = −grad π Vieát laïi phöông trình vi phaân daïng Lamb-Gromeco: ⎛ u2 ⎞ 1 ∂u − gradπ − gradp = + grad ⎜ ⎟ + rot ( u) ∧ u ⎜ 2 ⎟ ρ ∂t ⎝ ⎠ Treân phöông phaùp tuyeán n vôùi ñöôøng doøng (ngöôïc chieàu vôùi phöông baùn kính r): ∂ ⎛ u2 ⎞ p⎞ ∂ ⎛ ⎜ π + ⎟ = − ⎜ ⎟ − 2 ω . u . sin( ω, u) ∂n ⎜ 2 ⎟ ∂n ⎜ ρ⎟ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ∂r u2 u2 u2 u2 = − uω −2 = −2 =− ∂n r r r r Neáu löu chaát chòu taùc duïng cuûa löïc troïng tröôøng: ∂ ⇒ ∂r ⎛ p ⎞ u2 ⎜π + ⎟ = ⎜ ρ⎟ r ⎝ ⎠ ∂ ⇒ ∂r ⎛ p⎞ u2 ⎜ gz + ⎟ = ⎜ ρ⎟ r ⎝ ⎠ Nhaän xeùt: Theo phöông r (höôùng töø taâm quay ra): r caøng lôùn, Khi r→∝; z+ p = const γ z + aùp suaát phaân boá treân maët caét öôùt theo quy luaät thuûy tónh (khi aáy caùc ñöôøng doøng song song vaø thaúng, m/c öôùt laø maët phaúng) - ñaây laø tröôøng hôïp chaát loûng chuyeån ñoäng ñeàu hoaëc bieán ñoåi daàn •YÙ nghóa naêng löôïng cuûa phöông trình Bernoulli: z + p γ u2 2g p caøng lôùn γ : laø theá naêng cuûa moät ñôn vò troïng löôïng löu chaát (bao goàm vò naêng ñôn vò z vaø aùp naêng ñôn vò p/γ). : laø ñoäng naêng cuûa moät ñôn vò troïng löôïng löu chaát. DONG LUC HOC 3 PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Bình luaän: Doøng chaûy vôùi caùc ñöôøng doøng nhö hình veõ, ta coù: zA + p pA = zD + D γ γ b) zC + pC p = zD + D γ γ c) zC + pC p = zB + B γ γ d) zA + pA p = zB + B γ γ a) A B C D Caâu naøo ñuùng? III. PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN CHO CHAÁT LOÛNG THÖÏC CHUYEÅN ÑOÄNG (P.Tr Navier-Stokes) 1 1 du F − grad(p) + ν∇2 u + νgrad(div(u) = ρ 3 dt Tích phaân phöông trình Navier-Stokes cho toaøn doøng chaûy, ta ñöôïc phöông trình Bernoulli vieát cho toaøn doøng chaát loûng thöïc khoâng neùn ñöôïc chuyeån ñoäng oån ñònh. Ñaây laø moät daïng cuûa phöông trình naêng löôïng, maø ta chöùng minh ñöôïc baèng pp TTKS trong chöông ñoäng hoïc: IV. PHÖÔNG TRÌNH NAÊNG LÖÔÏNG p p 1 1 dQ dW ∂ − = ∫∫∫(eu + u2 + gz + )ρdw+ ∫∫(eu + u2 + gz + )ρundA 2 2 dt dt ∂t w ρ ρ A Ñaây chính laø phöông trình naêng löôïng cho doøng chaát loûng khoâng oån ñònh coù khoái löôïng rieâng ρ thay ñoåi. DONG LUC HOC 4 PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay 1.Ñoái vôùi doøng oån ñònh, khoâng coù söï trao ñoåi nhieät vôùi moâi tröôøng beân ngoaøi: − dW 1 p = ∫∫ (e u + u 2 + gz + )ρu n dA dt 2 ρ A chuù yù raèng: Z = z+p/γ laø theá naêng ñôn vò dW 1 = − ∫∫ ( u 2 + gZ)ρu n dA dt 2 A A dW Nhaän xeùt thaáy: ∫∫ euρundA + dt chuyeån A ⇒ ∫∫ e u ρu n dA + laø phaàn bieán ñoåi naêng löôïng do ñoäng cuûa caùc phaàn töû beân trong khoái löu chaát gaây ra vaø do ma saùt cuûa khoái löu chaát vôùi beân ngoaøi. Ñaïi löôïng naøy khoù xaùc ñònh ñöôïc baèng lyù thuyeát, thoâng thöôøng, noù ñöôïc tính töø thöïc nghieäm, tuyø theo tröôøng hôïp cuï theå. Ta ñaët: dW chính g löôïng ∫∫ eu u n dA + dt = ρgh f Q ñaâytích W laø naênmoät ñôn bò maátiñi cuûa löu chaát qua theå trong vò thôø gian. A hf laø maát naêng trung bình cuûa moät ñôn vò troïng löôïng löu chaát. 1 ⇒ γQh f = − ∫∫ ( u 2 + gZ)ρu n dA 2 A Neáu xeùt cho moät ñoaïn doøng chaûy vaøo maët caét 1-1 vaø ra taïi m/c 2-2 (ρ=const) ⎛ 1 ⎞ 1 ρgh f Q = −⎜ ∫∫ ( u 2 + gZ)ρu 2 n dA − ∫∫ ( u 2 + gZ)ρu1n dA ⎟ ⎜ 2 ⎟ 2 A1 ⎝ A2 ⎠ Ta tính rieâng caùc tích phaân: •Neáu treân m/c öôùt A, aùp suaát phaân boá theo quy luaät thuûy tónh. p (gZ )ρdQ = gZ ρQ = (gz + )ρQ ∫∫ ρ A •Tích phaân thaønh phaàn ñoäng naêng:. 1 2 1 u ρu n dA = ÑN thaät > V 2ρQ = ÑN V ∫∫ 2 2 A Ñöa vaøo heä soá hieäu chænh ñoäng naêng α: vôùi αtaàng =2; Nhö vaäy: hay: αroái=1,05 - 1,1 1 1 ∫∫ 2 u ρu n dA = ÑN thaät = 2 αV ρQ = αÑN V 2 2 A 1 1 2 2 ρgh f Q = ( α1V1 + gZ1 )ρQ − ( α 2 V2 + gZ 2 )ρQ 2 2 2 2 p 1 α 1 V1 p 2 α 2 V2 z1 + + = z2 + + + h f1− 2 γ γ 2g 2g Ñaây chính laø ph.tr. naêng löôïng cho toaøn doøng chaûy oån ñònh chaát loûng thöïc khoâng neùn ñöôïc naèm trong tröôøng troïng löïc töø m/c/1 tôùi m/c 2 (khoâng coù nhaäp hoaëc taùch löu) DONG LUC HOC 5 PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Neáu doøng chaûy coù nhaäp hoaëc taùch löu (ρ=const) ∑ ivaøo 1 1 2 2 ( α i Vi + gZ i )ρQ i − ∑ ( α jVj + gZ j )ρQ j = ∑ H f 2 2 jra ΣHf laø toång naêng löôïng doøng chaûy bò maát ñi khi chaûy töø caùc m/c vaøo ñeán caùc m/c ra (trong 1 ñ.vò thôøi gian). 2. Trong tröôøng hôïp doøng chaûy coù söï trao ñoåi naêng löôïng vôùi beân ngoaøi (ñöôïc bôm cung caáp naêng löôïng Hb ; hay doøng chaûy cung caáp naêng löôïng Ht cho turbine), thì ph. tr treân coù daïng toång quaùt hôn: 2 2 p αV p α V H B + z1 + 1 + 1 1 = H T + z 2 + 2 + 2 2 + h f1− 2 γ γ 2g 2g Hb laø naêng löôïng do bôm cung caáp cho moät ñôn vò troïng löôïng doøng chaûy khi doøng chaûy qua bôm - Ta goïi laø coät aùp bôm . Ht laø naêng löôïng maø moät ñôn vò troïng löôïng doøng chaûy cung caáp cho turbine khi qua turbine. A B V. AÙP DUÏNG PHÖÔNG TRÌNH NAÊNG LÖÔÏNG Ví duï 1: Ño löu toác ñieåm cuûa doøng khí baèng oáng Pito voøng AÙp duïng ph.tr Bernoulli treân ñöôøng doøng töø A tôùi B 2 (boû qua maát naêng): pA uA pB u2 B zA + γk + 2g = zB + γk + A’ h B’ 2g p ⎞ ⎛ p ⎞ u2 ⎛ vôùi uB=0, suy ra: A = ⎜ z B + B ⎟ − ⎜ z A + A ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ γk ⎠ ⎝ γk ⎟ 2g ⎝ ⎠ AÙp duïng phöông trình thuyû tónh laàn löôït cho caùc caëp ñieåm AA’ (trong moâi tröôøng khí), A’B’ (trong moâi tröôøng loûng); BB’ (trong moâi tröôøng khí) ta coù: ⎛ p ⎞ ⎛ p ⎞⎫ ⎜ z A' + A' ⎟ = ⎜ zA + A ⎟⎪ ⎜ γk ⎟ ⎜ γ k ⎟⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎬ ⎛ pB' ⎞ ⎛ pB ⎞ ⎪ ⎜ z B' + ⎟ = ⎜ z B + ⎟ ⎜ γk ⎟ ⎜ γk ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎭ Nhö vaäy: u A = ⎛ p ⎞ ⎛ p ⎞ p −p ⎜ zB + B ⎟ − ⎜zA + A ⎟ = (zB' − zA' ) + B' A' ⎜ γk ⎟ ⎜ γk ⎟ γk ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Suy ra ⎞ γ h ⎛γ = −h + l = h⎜ l −1⎟ ⎜γ ⎟ γk ⎝ k ⎠ ⎞ ⎛ γ 2 gh ⎜ l − 1 ⎟ ⎟ ⎜γ ⎠ ⎝ k Thực tế do mất năng neân vaän toác thöïc taïi ñieåm A lôùn vaän toác tính töø coâng thöùc beân. DONG LUC HOC 6 PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví duï 2: Ño Löu löôïng qua oáng Ventury AÙp duïng p. tr naêng löôïng cho doøng chaûy töø m/c 1-1 ñeán 2-2 (boû qua maát naêng): p z1 + 1 + γn α 1 V12 2g p = z2 + 2 + γn 1 D 1 α 2 V 22 2g γn (α1,α2=1): Suy ra: 2 d 2 γd A h B p ⎞ ⎛ p ⎞ Q2 ⎛ 1 1 ⎞ ⎛ ⎜ − 2 ⎟ = ⎜ z1 + 1 ⎟ − ⎜ z 2 + 2 ⎟ γn ⎟ ⎜ γn ⎟ 2g ⎜ A 2 A 1 ⎟ ⎜ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ Hay: 2 ⎛ A 2 A1 ⎞ ⎛ γ ⎞ ⎜ 2 ⎟ 2gh ⎜1 − d ⎟ Q= ⎜ 2 2⎟ ⎜ γ ⎟ n ⎠ ⎝ ⎝ A1 − A 2 ⎠ Löu löôïng Q ôû treân tính ñöôïc khoâng keå tôùi toån thaát naêng löôïng, Thöïc teá löu löôïng Qthöïc nhoû hôn, neân caàn hieäu chænh laïi löu löôïng sau khi Qthöïc = CQtính tính Qtính Hieäu chænh baèng coâng thöùc treân nhö sau: vôùi C<1 laø heä soá hieäu chænh Ventury (do maát naêng sinh ra). Câu 17: Ví duï 2b: Baøi 3: Nöôùc chaûy trong ñöôøng oáng coù tieát D dieän co heïp ñöôøng kính d nhö hình veõ, cuoái d oáng nöôùc chaûy ra ngoaøi khí trôøi vôùi ñöôøng V2 A kính D = 2d. Taïi maët caét co heïp coù gaén moät h oáng nhoû thoâng vôùi bình ñöïng nöôùc töø ngoaøi. Maët thoaùng cuûa nöôùc ôû ngoaøi tieáp xuùc vôùi khí Hình caâu 17 trôøi vaø thaáp hôn truïc oáng moät ñoaïn h. Cho d=10 cm; h=0,5m. Boû qua maát naêng. Goïi pmin laø aùp suaát toái thieåu trong ñoaïn oáng co heïp ñeå nöôùc coù theå bò huùt leân. Löu löôïng öùng vôùi aùp suaát pmin laø: bao nhiêu? ĐS: pmin = 0,5 m nước; Q=25,41 lít/s: HD: Lưu chaát chæ ch. ñoäng töø choã coù e cao tôùi e thaáp, vì vaäy ñeå nöôùc khoâng bò huùt len thì năng lượng tại mặt thoáng của bình nước: z0=e0 < =eA= zA+pA/γ; Ta ghi nhaän (pA/γ)min = -(h). suy ra pA/γ > = -(h); Lưu ý rằng trên mặt cắt ướt 1-1 tại A áp suất phân bố theo quy luật thủy tĩnh, nghĩa là: z1+p1/γ= zA+pA/γ. Để tìm Q ứng với (pA/γ)min = -(h), ta viết p.tr năng lượng cho dòng chảy từ mặt cắt 1-1 (chỗ co hẹp) tới mặt cắt 2-2 (chỗ mở rộng) DONG LUC HOC 7 PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví duï 3: Doøng chaûy oån ñònh qua loã thaønh moûng: 0 p 0 α 0 V 02 p c α c V c2 z0 + + = zc + + + hf γ 2g γ 2g H Naêng löôïng cuûa doøng chaûy töø bình ra ngoaøi chuû yeáu bò maát ñi laø do co heïp khi qua loã, ñaây laø loaïi maát naêng cuïc boä, noù tyû leä vôùi Vc2 taïi maët caét co heïp c-c (hoïc trong chöông ñöôøng oáng). Ta coù theå vieát laïi: α V2 α V2 p p z0 + 0 γ + 0 2g 0 = zc + c γ + 0 c 2g c A c c V c2 +ξ 2g ⎛ 1 ⎞ ⎟ 2gH = CV 2gH Vc = ⎜ ⎜α + ξ⎟ ⎠ ⎝ vôùi CV < 1 goïi laø heä soá löu toác. V0 =0, p0=0; Suy ra: Löu löôïng: Vôùi ⎛ 1 ⎞ Q = AcVc = Ac ⎜ ⎜ α + ξ ⎟ 2gH = AcCV 2gH = εCVA 2gH = CdA 2gH ⎟ ⎝ ⎠ A laø dieän tích loã thaùo, ε laø heä soá co heïp, Cd ( Vcloã ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ c ⎠ Nhö vaäy, löu löôïng qua voøi lôùn hôn löu löôïng qua loã thaønh moûng vaø baèng: (vieát phöông trình naêng löôïng cho doøng chaûy töø m/c 0-0 ñeán 1-1 ñeå tìm ra vaän toác 1 taïi maët caét ra 1-1).trong tröôøng hôïp naøy :Cd = CV: Q = CV A 2gH = Cd A 2gH Ví duï 5b: Câu 18: Q Một bình chứa nước tới độ cao H. Nước chảy ra ở đáy bình qua một lỗ nhỏ đường kính d. Để mực nước trong bình ổn định, người ta đổ thêm vào bình một lưu lượng Q. Bỏ qua co hẹp. Cho H=4m; Q= 5 lít/s; d=3 cm. Hệ số mất năng cục bộ tại lỗ tháo là: H ĐS: hệ số mất năng cục bộ tại lỗ tháo =0,57 d Ví duï 6: Doøng chaûy khoâng oån ñònh ra ngoaøi bình: Q = C d a 2gh A trong ñoù h giaûm theo thôøi gian Sau thôøi gian dt, theå tích trong bình giaûm: H dW = − Adh = Qdt = C d a 2 gh dt dt = − dh A dh C d a 2gh h a Vaäy thôøi gian ñeå nöôùc chaûy heát bình laø: 0 0 A A A 2 h = 2 H dh = − T = −∫ Cd a 2g Cd a 2g Cd a 2gh H H DONG LUC HOC 9 PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay 2 Ví duï 7a: Doøng chaûy qua maùy thuûy löïc: 2 p0 α 0 V 02 p 1 α 1 V12 z0 + + = z1 + + + h f 0 −1 1 γ γ 2g 2g p0=0; V0=0; z0=0 1 Suy ra taïi maët caét 1-1 tröôùc bôm coù aùp suaát chaân khoâng: 0 B H chuaån 0 p1 α 1 V 12 = − (z1 + + hf) < 0 γ 2g p 0 α 0 V 02 p 2 α 2 V 22 z0 + + + H B = z2 + + + h f0−2 γ γ 2g 2g Suy ra: H B = H + h f 0− 2 Coâng suaát höõu ích cuûa bôm: N = γQH B Hieäu suaát bôm: η= Ví duï 7b γQH B N truc Bôm huùt nöôùc töø gieáng leân nhö hình veõ.Bieát löu löôïng Q=30 lít/s, ñöôøng kính oáng huùt D=0,12m.Taïi choã uoáng con coù heä soá toån thaát laø ξ=0,5. Chieàu daøi ñöôøng oáng huùt L = 5m. OÁng coù heä soá ma saùt ñöôøng daøi laø λ=0,02. Neáu nöôùc coù nhieät ñoä laø 200C vaø boû qua toån thaát cuïc boä vaøo mieäng oáng. Tìm chieàu cao ñaët bôm zB toái ña 1 Giaûi: ÔÛ 200C, aùp suaát hôi baõo hoaø cuûa nöôùc laø 0,25 m nöôùc. Vaäy aùp suaát chaân khoâng taïi maët caét tröôùc bôm cho pheùp toái ña laø 9,75 m nöôùc. Ta coù: V= zB Q = 2.653m/s A p 1 α 1 V12 =− − γ 2g z B = 9 , 75 − 1 0 gieáng L ⎞ ⎛ + ξ)⎟ ⎜1 + λ D ⎠ ⎝ α 1 2 . 653 2 5 ⎛ ⎞ + 0 .5 ) ⎟ ⎜ 1 + 0 . 02 0 . 12 2 * 9 . 81 ⎝ ⎠ z B = 8.91m DONG LUC HOC 10 0 B zB PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Caáu taïo boä phaän caûi tieán cuûa bôm Q Q 2 Q 1 DONG LUC HOC 11 PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay 1 1 Q 1 Q Q 2 hbom 2 2 Ví duï 8:Ñoä cheânh möïc thuyû ngaân trong oáng chöõ U noái hai ñaàu vôùi cuoái oáng huùt vaø ñaàu oáng ñaåy laø. Ñöôøng kính oáng huùt laø D1=8 cm. Döôøng kính oáng ñaåy laø D2=6 cm. Q=17 lít/s. Coâng suaát höõu ích cuûa bôm laø 1261 W. 1. Boû qua maát naêng, xaùc ñònh ñoâ cheânh aùp suaát tröôùc vaø sau bôm. 2. Xaùc ñònh h trong oáng chuõ U 2 1 Q Q . 4 17 * 10 − 3 * 4 = = = 3.38 m/s V1 = A1 π D12 π * ( 0 . 08 ) 2 −3 Q Q .4 17 * 10 * 4 V2 = = = = 6.01 m/s A1 πD22 π * (0 .06 ) 2 z1 + 1 B α V2 p 1 α 1 V12 p + + HB = z2 + 2 + 2 2 γ γ 2g 2g Töø : N = γQH B Suy ra: Vaäy cheânh leäch aùp suaát: ⎛ p ⎞ ⎛ p ⎞⎫ ⎜ z2 + 2 ⎟ = ⎜ zA + A ⎟⎪ ⎜ γn ⎟ ⎜ γn ⎟⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎬⇒ ⎛ p1 ⎞ ⎛ pB ⎞ ⎪ ⎜ z1 + ⎟ = ⎜ zB + ⎟ ⎜ γn ⎟ ⎪ γn ⎟ ⎜ ⎠⎭ ⎝ ⎠ ⎝ D2 B D1 2 h nöôùc A Hg N 1261 HB = = = 7.56m γQ 9.81*103 *17 *10−3 ⎛α V2 α V2 ⎛ p ⎞ ⎛ p ⎞ ⎜ z 2 + 2 ⎟ − ⎜ z1 + 1 ⎟ = H B + ⎜ 1 1 − 2 2 ⎜ ⎜ 2g γ ⎟ ⎜ γ ⎟ 2g ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎞ ⎟ = 6.30m ⎟ ⎠ ⎛ p ⎞ ⎛ p ⎞ p −p ⎛ p ⎞ ⎛ p ⎞ ⎜ z2 + 2 ⎟ − ⎜ z1 + 1 ⎟ = (zA − zB ) + A B ⎜ z 2 + 2 ⎟ − ⎜ z1 + 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ γn ⎠ ⎝ γn ⎠ γn γn ⎟ γn ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⇒h = ⎝ γ Hg ⎞ γHgh ⎛ γHg ⎞ ⎛ ⎜ = h⎜ = −h + ⎜ γ −1⎟ ⎟ ⎜ γ −1⎟ ⎟ γn ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ Tính ñöôïc: h=0.50 m DONG LUC HOC 12 PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví duï 9: Nöôùc chaûy töø beå chöùa qua turbin. Hieäu suaát caû heä thoáng laø 80%. Cho H=60m, V=4,24m/s. 1. Xaùc ñònh löu löôïng Q chaûy qua turbine 2. Tính coâng suaát ñieän phaùt ra, boû qua maát naêng Q = VA = V πD 2 4 .24 * π * 3 2 = = 29.97 m 3 /s 4 4 p 1 α 1 V12 p 2 α 2 V 22 z1 + + = z2 + + + HT γ γ 2g 2g 1 1 d=3m ⇒ HT = H H 2 2 T ⇒ N T = γQH T * 80% = 9.81*103 * 29.97 * 60 * 0.8 = 14.11*106 W Ví duï10: Xaùc ñònh löu löôïng Q vaø toån thaát naêng löôïng khi doøng chaûy ra ngoaøi khoâng khí. Boû qua co heïp z1 + p 1 α 1 V12 p α V2 + = z2 + 2 + 2 2 + hf γ 2g γ 2g 1 H=6m V1 = 0 ; p 1 = 0 ; p 2 = 0 ⇒ H = 1 h=5.75m 2 2 α 2 V 22 + hf 2g Maët khaùc tia nöôùc baén ra vôùi ñoäng naêng α V 2g 2 2 ñaäp 2 d=0.08 m vaøo oáng nghieäm, döøng laïi, vaäy toaøn boä ñoäng naêng naøy chuyeån hoaù thaønh aùp naêng ñaåy coät nöôùc trong oáng nghieäm leân moät ñoä cao h=5,75m. Vaäy: Vaø: α 2 V 22 h = ⇒ V 2 = 2 gh = 10.62m/s 2g πd 2 π * 0 . 08 2 ⇒ Q = AV = V = * 10 . 62 = 0.0534m 4 4 h f = 6 − 5 . 75 = 0 . 25 m nöôùùc DONG LUC HOC 13 3 /s PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví duï10b: Beân hoâng moät bình chöùa nöôùc coù hai loã thaùo nöôùc A vaø B nhö hình veõ. Loã A naèm döôùi maët thoaùng nöôùc moät ñoä saâu HA; loã B naèm döôùi maët thoaùng nöôùc moät ñoä saâu HB. Tia nöôøc baén ra töø hai loã giao nhau taïi O. Giaû söû heä soá löu toác cuûa hai loã laø nhö nhau vaø baèng CV. Tìm khoaûng caùch x töø O ñeán thaønh bình Giaûi: phöông trình ñöôøng quyõ ñaïo cuûa tia nöôùc baén ngang ra khoûi loã vôùi vaän toác V cho döôùi daïng: x2=2V2y/g; vôùi goác toïa ñoä taïi loã, x höôùng ngang vaø y höôùng xuoáng, g laø gia toác troïng tröôøng. Suy ra: 2 Pa HA A HB B yB 2 2V y 2V y x = A A = B B g g 2 yA x O 4C 2 gH A y A 4C 2 gH B y B V V ⇒x = = g g ⇒ HA yA = HB yB 2 Maët khaùc ta coù: HA+yA=HB+yB Giaûi ra ñöôïc: HA=yB ; Suy ra: x = 2C V H A H B HB=yA Ví duï10c: Beân hoâng moät bình chöùa nöôùc coù một loã thaùo nöôùc nhö hình veõ. Loã phải naèm döôùi maët thoaùng nöôùc một độ h bằng bao nhiêu để tia nước bắn ra va rơi xuống một vị trí xa nhất tính từ bình?Cột nước trong bình là H, bỏ qua mất năng Giaûi: Chọn x höôùng ngang vaø y höôùng xuoáng, goác toïa ñoä taïi loã, g laø gia toác troïng tröôøng. phöông trình ñöôøng quyõ ñaïo cuûa tia nöôùc baén ngang ra khoûi loã vôùi vaän toác V cho döôùi daïng: x2=2V2y/g. Gọi x0 , y0 là tọa độ tia nước tại vị trí chạm mặt đất: Pa H h o V = 2gh y0 2V 2 y0 4 gh y0 x0 = ⇒ x0 2 = = 4hy0 = 4h( H − h) = −4h 2 + 4 Hh g g y x x0 2 Đặt Y=x02, khảo sát Y theo h ta thấy : dY dY H = −8h + 4 H → =0⇔h= dh dh 2 Vậy Y đạt giá trị max khi h=H/2 hay vị trí của lổ tháo nằm ở độ sâu H/2 thì nước sẽ bắn ra xa nhất DONG LUC HOC 14 PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay VI. PHÖÔNG TRÌNH ÑOÄNG LÖÔÏNG Daïng toång quaùt cuûa p.tr ÑL (chöùng minh töø chöông Ñoäng Hoïc): ∑ Fngoaïilöïc = Ñoái vôùi doøng oån ñònh: ∂X ∂t ∂ (u )ρdw + ∫∫ (u )ρu n dA ∂t ∫∫∫ w A ⇒ ∑ F ngoaïilöïc = ∫∫ uρu n dA = ∫∫ uρdQ = 0 W A A Ñoái vôùi doøng nguyeân toá chuyeån ñoäng oån ñònh (vaøo ôû dA1; ra ôû dA2): u 2 ρ 2 u 2 n dA 2 − u 1ρ 1 u 1 n dA 1 = ∑F ngoaïilöïc Ñoái vôùi toaøn doøng chaûy töø maët caét 1-1 ñeán 2-2, ta caàn chieáu phöông trình ÑL treân leân moät phöông s baát kyø, roài sau ñoù laáy tích phaân treân töøng m/c A1, A2: ∫u A2 2s ρ 2 dQ 2 − ∫ u1 s ρ 1 dQ 1 = s ngoailuc A1 ∫ u ρdQ = ÑL Ta coù: ∑F s thaät / S > ρQVS = ÑL V / S A Ta ñöa vaøo heä soá α0 : ÑLthaät = ∫ usρdQ = α0ÑLV = α0VsρQ A α0 laø heä soá hieäu chænh ñoäng löôïng; α0taàng=4/3; α0roái =1,02-1,05 Nhö vaäy ph.trình Ñoäng löôïng chieáu treân moät phöông s baát kyø ñoái vôùi toaøn doøng chaûy oån ñònh löu chaát khoâng neùn ñöôïc ñi vaøo m/c 1 ra m/c 2 vieát döôùi daïng sau: (∑ F) s = ρQ(α 02 V2s − α 01V1s ) = ÑL ra / s − ÑL vaøo / s Tröôøng hôïp doøng chaûy coù nhieàu m/c ra vaø nhieàu m/c vaøo: (∑ F )s = ∑ ÑL ra / s − ∑ ÑL vaøo / s DONG LUC HOC 15 PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay VII. AÙP DUÏNG PHÖÔNG TRÌNH ÑOÄNG LÖÔÏNG (∑ F )s = ρQ(α 02 V2s − α 01V1s ) = ÑL ra / s − ÑL vaøo / s Phaân tích ngoaïi löïc, thoâng thöôøng goàm coù caùc löïc sau ñaây: Troïng löïc G Löïc ma saùt Fms giöõa chaát loûng vôùi thaønh raén. Phaûn löïc N vuoâng goùc vaø töø thaønh raén taùc duïng vaøo khoái löu chaát. AÙp löïc Fi töø caùc phía taùc duïng vaøo caùc m/c (maø doøng chaûy ra hoaëc vaøo khoái theå tích kieåm soaùt. (tính nhö aùp löïc thuyû tónh). Hai löïc giöõa (Fms vaø N) thoâng thöôøng gom chung thaønh moät löïc R goïi laø phaûn löïc cuûa thaønh raén taùc duïng vaøo khoái löu chaát. Löïc troïng tröôøng G thoâng thöôøng bò trieät tieâu khi chieáu leân phöông naèm ngang (vì G theo phöông thaúng ñöùng), hoaëc giaû thieát nhoû neân khoâng tính tôùi (tröø tröôøng hôïp coù giaù trò lôùn ñaùng keå vaø khi chieáu p.tr ÑL leân phöông thaúng ñöùng) Ví duï (töï giaûi): Lưu chất khối lượng rieâng ρ chảy trong trong ống troøn baùn kính ro coù phaân bố vận tốc như sau: ⎛ r2 ⎞ u = u max ⎜1 − 2 ⎟ ⎜ r ⎟ o ⎠ ⎝ Trong đoù umax laø vận tốc cực ñại tại taâm ống. Chọn trục chuẩn trùng với trục ống và nếu áp suất tại tâm ống là áp suất khí trời Tìm ñộng lượng và năng lượng ñi qua mặt cắt thẳng goùc với doøng chảy trong ñơn vị thôøi gian ÑS: ĐN= ρumax3 πro2/8 ĐL= ρumax2 πro2/3 DONG LUC HOC 16 PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví duï 11. Löïc F t/duïng leân voøi cöùu hoaû: 1 F1 AÙp duïng p. tr ÑL cho theå tích KS nhö hình veõ: ρQ(α02V2 − α01V1 ) = R x + F1 − F2 Choïn α0=1: 2 F F2=0 2 1 x ⇒ R x = ρQ(V2 − V1 ) − F1 F1=p1A1; F2=0; aùp duïng theâm p.tr naêng löôïng cho doøng chaûy töø 1-1 tôùi 2-2, ta coù: ( ) 2 2 p1 V2 − V12 ρ V2 − V12 = ⇒ F1 = A1 γ 2g 2 ρ(V22 − V12 ) A1 ⇒ R x = ρA1V1 (V2 − V1 ) − 2 V + V1 ⎞ ⎛ = ρA1 ( V2 − V1 )⎜ V1 − 2 ⎟<0 2 ⎠ ⎝ Nhö vaäy löïc F cuûa löu chaát taùc duïng vaøo voøi höôùng tôùi vaø baèng R. Ví duï 12. Löïc F cuûa doøng chaûy taùc duïng leân voøi uoáng cong 900: Treân phöông x: ρQ(α 02 V2 ) = R x Choïn α0=1: ⇒ R x = ρQ(V2 ) > 0 Treân phöông y: ρQ(−α 01V1 ) = R y + F1 F Fy Rx Q=0,25 m3/s Fx Ry y D1=27cm 1 1 F1 V1; p1=194 Kpa 2 F2=0 2 D1=13cm x ⇒ R y = ρQ(− V1 ) − F1 < 0 Ta suy ra: Rx höôùng tôùi tröôùc, Ry höôùng xuoáng döôùi. Nhö vaäy löïc cuûa doøng chaûy taùc duïng leân voøi: Fx höôùng ra sau ; Fy höôùng leân treân Theá soá vaøo ta ñöôïc: Fx=4709 N; Fy=11109 N; F=12065N DONG LUC HOC 17 V2 PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví duï 13. Löïc cuûa doøng chaûy taùc duïng leân ñaäp traøn: AÙp duïng p. tr ÑL cho theå tích KS nhö hình veõ: R x = ρQ(Vc − V1 ) − F1 + F2 (∗) F1=p1A1=[γ(H+L2)/2]A1; F2=p2A2=[γ(hc)/2]A2 1 Boû qua maát naêng: p 1 α 1 V12 p c α c V c2 z1 + + = zc + + 2g 2g γ γ ⇔ H + L1 + ⇔ Q = α 1Q 2 2 2 gA 1 2 2 A c A1 2 2 A1 − A c = hc + α cQ H F1 L1 2 2 2 gA c F L2 1 c F2 hc c 2g(H + L1 − h c ) Sau khi tính ñöôïc löu löôïng ta tính Vc =Q/Ac ; V1=Q/A1; Sau ñoù theá vaøo p.tr (*) ñeå tìm Rx; vaø F=-Rx. Ví duï 14. . Löïc taùc duïng cuûa tia nöôùc ñaäp vaøo caùnh gaùo a.Khi giöõ xe ñöùng yeân, A 1V 1 Fx 2 2V Löïc taùc duïng leân xe Fx = -Rx R x = ρQ ( − V2 − V1 ) − F1 − F2 u* = ρVA ( − V − V ) = − 2ρV 2 A F1vaø F2 ñeàu baèng 0 vì ñaây laø doøng tia, chung quanh ñeàu laø aùp suaát khí trôøi b. Khi xe chuyeån ñoäng tôùi vôùi vaän toác u*, Löïc taùc duïng Fx=-Rx vaøo xe seõ nhoû hôn vaø baèng: R x = ρ(V − u*)A(−(V − u*) − (V − u*)) = −2ρ(V − u*) 2 A ∗ * 2 ∗ Nhö vaäy, coâng suaát haáp thuï bôûi gaàu baèng: N gaàu = Fx u = 2ρ(V − u ) Au Coâng suaát cung öùng bôûi voøi nöôùc: Hieäu suaát caû heä thoáng (ñaët x=u*/V): η= N gaàu N voøi V2 V3 = ρA 2 2 2 * 2 * *⎛ 2ρ( V − u ) Au u V − u* ⎞ 2 ⎟ = =4 ⎜ 3 ⎜ V ⎟ = 4 x (1 − x ) V⎝ ρAV / 2 ⎠ N voi = ρQ Khaûo saùt haøm soá treân, ta thaáy η daït giaù trò cöïc ñaïi khi x=1(loaïi boû) vaø x=1/3. DONG LUC HOC 18 PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví duï 15 . OÁng Borda thaúng ñöùng: Ab 0 0 H G − R y = ρA c V1V1 A 1 + 1 Ac Xem nhö oáng Borda ñuû daøi ñeå ôû saùt ñaùy bình nöôùc yeân laëng. Ta coù: G=ρgAbH; Suy ra: Ry=ρg(Ab-A)H; V1 = 2gH ρgAH = ρA c 2gH ⇒ A = 2A c Ví duï 16 . Q=12 lít/s. Tìm V1; V2. Boû qua maát naêng, xaùc ñònh p1 Xaùc ñònh Fx taùc duïng leân oáng Q Q.4 12 *10 −3 * 4 = = = 2.39 m/s 2 A1 πD1 π * (0.08) 2 Q Q.4 12 *10−3 * 4 V2 = = = = 6.12 m/s A1 πD 2 π * (0.05) 2 2 D2=5cm V1 = Rx P1? p 1 α 1 V12 p 2 α 2 V 22 + = z2 + + z1 + γ γ 2g 2g V2 12m D1=8cm p1 α 2 V 22 α 1 V12 ⇒ = z 2 − z1 + − = 13 . 61 m ⇒ F1 = p 1 A 1 = 671.2747N γ 2g 2g R x = ρQ(V2 − V1 ) − F1 3 .14 * ( 0 .08 ) 2 R x = 1000 * 12 * 10 ( 6 .12 − 2 .39 ) − 13 .61 * 9 .81 * 10 3 4 = -626.584N −3 ⇒ Fx = 626.58N DONG LUC HOC 19 PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví duï 17 . V=30m/s. Tính löïc naèn ngang caàn giöõ cho xe ñöùng yeân Neáu ñeå xe chaïy tôùi vôùi u=5m/s, thì löïc taùc ñoäng vaøo xe laø bao nhieâu? Tìm hieäu suaát πD 2 Q = VA = V = 0.059m 3 / s 4 R x = ρQ(−V1 cos(300 )) R x = 1000 * 0.059 * (−30 cos(300 )) = -1530.39N V 1 1 D=50mm 300 Vaäy löïc Fx ñeå giöõ xe ñöùng yeân laø 1530N Khi xe chuyeån ñoäng tôùi vôùi vaän toác u=5 m/s, thì ph. Tr ÑL seõ vieát laïi nhö sau: R x = −ρQ[ V1 cos( 30 0 ) − u ] x = −1000 * 0.059 * (30 * cos( 30 0 ) − 5) = 1235.8689N V2 V3 = ρA = 26507.19W 2 2 Coâng suaát tia nöôùc: N tia = ρ Q Coâng suaát xe: N xe = Fx u = 1235.8689 * 5 = 6179.345W Hieäu suaát: η = N N xe = 0 . 233 tia Ví duï 19: Câu 17b Tia nước diện tích A bắn vào thùng nước đặt trên xe. Bên hông dưới đáy thùng có lỗ tháo nhỏ thành mỏng cũng diện tích A. Cột nước H trong thùng không đổi và bỏ qua mất năng. Cho A=100cm2; H=3m. Để xe không chuyển động, cần tác động vào xe một lực nằm ngang Fx bằng: bao nhiêu. Góc α=300 ĐS: 78,85 N α H A Hình câu 19 DONG LUC HOC 20