Tài liệu Cơ lưu chất 03donghoc

PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay CHÖÔNG I. HAI PHÖÔNG PHAÙP NGHIEÂN CÖÙU CHUYEÅN ÑOÄNG CUÛA LÖU CHAÁT 1. Phöông phaùp Lagrange (J.L de Lagrange, nhaø toaùn hoïc ngöôøi Phaùp,1736-1883) ⎧ d2x dx ⎧ ax = ⎪ ⎪u x = dt dt 2 ⎪ ⎧x = x(x0 , y0 , z0 , t) ⎪ ⎪ dr dy ⎪ ⎪ d2y du d 2 r ⎪ u = ⇔ ⎨u y = r = f (r0 , t) ⇔ ⎨y = x(x0 , y0 , z0 , t) = ⇔ ⎨a y = a= dt dt dt dt 2 dt 2 ⎪ ⎪ ⎪z = x(x , y , z , t) 0 0 0 ⎩ ⎪ dz ⎪ 2 ⎪a z = d z ⎪uz = dt ⎩ ⎪ dt 2 ⎩ Quyõ ñaïo z Trong phöông phaùp Lagrage , caùc yeáu toá chuyeån ñoäng chæ phuï thuoäc vaøo thôøi gian , VD: u = at2+b 2. Phöông phaùp Euler y r0(x0, y0, z0) (L. Euler, nhaø toaùn hoïc ngöôøi Thuïy Só, 1707-1783) ⎧u x = u x ( x, y, z, t ) ⎪ u = u ( x, y, z, t ) ⇔ ⎨u y = u y ( x, y, z, t ) ⎪ ⎩u z = u z (x, y, z, t ) Phöông trình ñöôøng doøng: r(x, y, z) x Caùc ñöôøng doøng taïi thôøi ñieåm t dx dy dz = = ux uy uz (x,y,z) DONG HOC 1 PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví duï 1a: ux=3x2; uy=-6xy; uz=0 Thieát laäp phöông trình ñöôøng doøng: dx dy = 2 3x − 6 xy Chuyeån caùc soá haïng coù bieán x veà veá traùi, bieán y veà veá phaûi: 2 xdx dy 2dx dy = ⇔ = 2 x −y x −y Tích phaân hai veá: ∫ 2dx = x dy ∫ −y ⇔ 2 ln( x ) = − ln( y ) + ln C ⇔ x 2 y = C Vaäy phöông trình ñöôøng doøng coù daïng: x 2 y = C Ví duï 1b: ux=x2y+2x; uy=-(y2x+2y); dx dy = x y + 2x − ( xy 2 + 2 y ) Thieát laäp phöông trình ñöôøng doøng: 2 Trong tröôøng hôïp naøy ta khoâng theå chuyeån caùc soá haïng coù cuøng bieán x, y veà cuøng moät phía, neân khoâng theå laáy tích phaân hai veá ñöôïc, ta seõ giaûi baøi toaùn naøy sau trong chöông theá löu II. CAÙC KHAÙI NIEÄM THÖÔØNG DUØNG oáng doøng dA 1. Ñöôøng doøng, doøng nguyeân toá P 2. Dieän tích maët caét öôùt A, Chu vi öôùt P, Baùn kính thuûy löïc R=A/P A Doøng coù aùp 3. Löu löôïng Q, Vaän toác trung bình m/ caét öôùt V: Q= V= A Doøng khoâng aùp Doøng tia u ∫ u dA = ∫ udA Abaát kyø n Abatky A Am / c.uot Q A Nhận xeùt: Löu löôïng chính laø theå tích cuûa bieåu ñoà phaân boá vaän toác : DONG HOC 2 Am/c öôùtø Bieåu ñoà phaân boá vaän toác PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay III. PHAÂN LOAÏI CHUYEÅN ÑOÄNG: 1. Theo ma saùt nhôùt: Chuyeån ñoäng chaát loûng lyù töôûng, : khoâng coù ma saùt Chuyeån ñoäng chaát loûng thöïc: coù ma saùt - Re = Fquantinh Fmasat Re=VD/ν=V4R/ν:taàng(Re<2300) - roái (Re>2300) 2. Theo thôøi gian: oån ñònh-khoâng oån ñònh. 3 Theo khoâng gian: ñeàu-khoâng ñeàu. 4 Theo tính neùn ñöôïc: soá Mach M=u/a a: vaän toác truyeàn aâm; u:vaän toác phaàn töû löu chaát döôùi aâm thanh (M<1) ngang aâm thanh (M=1) treân aâm thanh (M>1) sieâu aâm thanh (M>>1) Thí nghieäm Reynolds IV. GIA TOÁC PHAÀN TÖÛ LÖU CHAÁT : •Theo Euler: du x ∂u x ∂u ∂u ∂u = + ux x + uy x + uz x dt ∂y ∂t ∂x ∂z du ∂u ∂u ∂u ∂u a y = y = y + ux y + u y y + uz y dt ∂t ∂x ∂y ∂z du ∂u z ∂u ∂u ∂u az = z = + ux z + uy z + uz z dt ∂t ∂x ∂y ∂z ax = t.ph.cuïc - boä thaønh phaàn ñoái löu •Theo Lagrange: u = u (x 0 , y0 , z0 , t) ⇒ a = DONG HOC 3 du ∂u = dt ∂t PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay V. PHAÂN TÍCH CHUYEÅN ÑOÄNG CUÛA LÖU CHAÁT: Trong heä truïc toaï ñoä O(x,y,z), xeùt vaän toác cuûa hai ñieåm M(x,y,z) vaø M1(x+dx,y+dy,z+dz), vì hai ñieåm raát saùt nhau, neân ta coù: ∂u x ∂u x ∂u x dx + dy + dz ∂z ∂x ∂y ∂u y ∂u y ∂u y = uy + dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z ∂u z ∂u z ∂u z = uz + dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z u x1 = u x + u y1 u z1 vaän toác chuyeån ñoäng tònh tieán vaän toác bieán daïng daøi vaän toác bieán daïng goùc vaø vaän toác quay Ñònh lyù Hemholtz 1. Tònh tieán Chuyeån Vaän toác quay: 2. Quay ñoäng 1 ω = Rotu 2 3. Bieán daïng Bieán daïng goùc ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ε zy = ε yz ε xz = ε zx 1 ⎛ ∂u x ∂u z ⎞ = ⎜ + ⎟ 2 ⎝ ∂z ∂x ⎠ ε xy = ε yx ⎛ ∂u y ∂u x ⎜ ⎜ ∂x + ∂y ⎝ k ⎞ ⎟ ∂ ⎟ ∂z ⎟ uz ⎟ ⎠ Suaát bieán daïng daøi 1 = 2 1 = 2 j ∂ ∂y uy Bieán daïng daøi Suaát bieán daïng goùc ⎛ ∂u z ∂u y ⎜ ⎜ ∂y + ∂z ⎝ = ⎛ i ⎜ 1⎜ ∂ 2 ⎜ ∂x ⎜u ⎝ x ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ ε ε ε xx yy zz ∂u x = ∂x = ∂u y ∂y ∂u z = ∂z DONG HOC 4 ωx = 1 ⎛ ∂uz ∂u y ⎞ ⎜ ⎟ − ∂z ⎟ 2 ⎜ ∂y ⎝ ⎠ ωy = 1 ⎛ ∂u x ∂u z ⎞ − ⎜ ⎟ ∂x ⎠ 2 ⎝ ∂z ωz = 1 ⎛ ∂u y ∂u x ⎞ ⎟ ⎜ − 2 ⎜ ∂x ∂y ⎟ ⎠ ⎝ PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay •Chuyeån ñoäng quay cuûa phaàn töû löu chaát: ⎛ ∂ux ⎞ ∂u dyΔt − y dxΔt ⎟ ⎜ α +β 1 1 ⎜ ∂y ⎟ ω=− =− + ∂x ⎟ 2 Δt 2Δt ⎜ dy dx ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1 ⎛ ∂u y ∂ux ⎞ 1 ⎟ = rotuz = ⎜ − 2 ⎜ ∂x ∂y ⎟ 2 ⎝ ⎠ x uxΔt ∂ux/∂ydyΔ t α β dy + ∂uy/∂xdxΔ t uyΔt dx rot ( u ) = 0 rot (u ) ≠ 0 Ví duï 2: chuyeån ñoäng khoâng quay (theá) chuyeån ñoäng quay Xaùc ñònh ñöôøng doøng cuûa moät doøng chaûy coù : ux = 2y vaø uy = 4x dx dy = ux u y dx dy = 2 y 4x 4 xdx = 2 ydy 2 xdx = ydy ⎛ x2 ⎞ y2 2⎜ ⎟ = ⎜ 2 ⎟ 2 +C ⎝ ⎠ 2x2 − y 2 = C DONG HOC 5 y PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Ví duï 3: Doøng chaûy qua moät ñoaïn oáng thu heïp daàn vôùi vaän toác doøng vaøo vaø ra laàn löôït laø 10 m/s vaø 50 m/s. Chieàu daøi cuûa oáng laø 0,5m Giaû thieát doøng moät chieàu, vaø vaän toác bieán ñoåi tuyeán tính doïc theo truïc ngang cuûa oáng. Haõy tìm quy luaät bieán thieân cuûa vaän toác vaø gia toác theo truïc oáng. Töø ñoù suy ra gia toác taïi ñaàu vaøo vaø ra cuûa voøi Lôøi Giaûi: Quy luaät bieán thieân vaän toác tuyeán tính doïc theo truïc oáng: u = ax + b. a, b laø haèng soá Choïn truïc x nhö hình veõ, vôùi goác “0” ôû ñaàu oáng, ta coù taïi x=0, u =10 m/s; taïi x=0,5m, u = 50 m/s. Theá caù ñieàu kieän treân vaøo ta suy ra ñöôïc a=80; b=10. Suy ra quy luaät bieán thieân vaän toác doïc theo truïc x laø: u = (80x + 10) m/s Töø ñoù suy ra quy luaät bieán thieân gia toác nhö sau: Theá giaù trò x=0 vaø x=0,5 vaøo ta suy ra ñöôïc gia toác taïi ñaàu vaøo vaø ra cuûa oáng laàn löôït laø: 800 m/s2 vaø 4000m/s2. DONG HOC 6 PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay VI ÑÒNH LYÙ VAÄN TAÛI REYNOLDS- PHÖÔNG PHAÙP THEÅ TÍCH KIEÅM SOAÙT 1. Theå tích kieåm soaùt, vaø ñaïi löôïng nghieân cöùu: Xeùt theå tích W trong khoâng gian löu chaát chuyeån ñoäng. W coù dieän tích bao quanh laø A. Ta nghieân cöùu ñaïi löôïng X naøo ñoù cuûa doøng löu chaát chuyeån ñoäng qua khoâng gian naøy. Ñaïi löôïng X cuûa löu chaát trong khoâng gian W CV ñöôïc tính baèng: A X = ∫∫∫ kρdW W W W: theå tích kieåm soaùt u dw X : Ñaïi löôïng caàn nghieân cöùu k : Ñaïi löôïng ñôn vò ( ñaïi löôïng X treân 1 ñôn vò khoái löôïng) k=1 ; X = ∫∫∫ ρdW X laø ñoäng löôïng: k=u X = X laø ñoäng naêng: k=u2/2 ; X = Ví duï: X laø khoái löôïng: W ∫∫∫ u ρ dW W ∫∫∫ W u2 ρ dW 2 . Ñònh lyù vaän taûi Reynolds- phöông phaùp theå tích kieåm soaùt: Nghieân cöùu söï bieán thieân cuûa ñaïi löôïng X theo thôøi gian khi doøng chaûy qua W Dieän tích dX ∂X = + ∫∫ kρu n dA Dieän tích A2 dt ∂t W A A1 C A B n n Taïi t: löu chaát vaøo chieám ñaày theå tích kieåm soaùt W. Taïi t+Δt: löu chaát töø W chuyeån ñoäng W1 ñeán vaø chieám khoaûng khoâng gian W1. W t+ t+ t t XW1 −XW (XB Δt + XC Δt ) − (XA + XB) ΔX dX Xt +Δt −Xt = lim = lim = lim = lim Δt Δt Δt dt Δt →0 Δt Δt →0 Δt →0 Δt →0 t+ t+ t t t+ t+ (XB Δt + XA Δt ) − (XA + XB ) XC Δt − XA Δt = lim + lim Δt Δt Δt →0 Δt →0 t + Δt t+ X t + Δt − X t − XA Δt W W + lim XC = lim Δt Δt Δt →0 Δt →0 ∂X = ∂t W ∂X ∂t W = + lim Δ t ∫∫ k ρ u n dA + Δ t ∫∫ k ρ u n dA A2 Δt Δt→ 0 + ∫∫ k ρ u A1 n dA A DONG HOC 7 PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay dX ∂X = + ∫∫ kρu n dA dt ∂t W A VII AÙP DUÏNG PHÖÔNG PHAÙP TTKS 1. PHÖÔNG TRÌNH LIEÂN TUÏC X laø khoái löôïng: theo ñ. luaät baûo toaøn khoái löôïng: dX = dt Hay: ∂ ∫∫∫ ρ dW W + ∂t = ∫∫ ρ u n d A b .d .Gauss ∫∫∫ A W dX =0 dt ∂ρ dW + ∂t ∫∫∫ div ( ρ u ) dW =0 W ∂ρ + div (ρ u ) = 0 : daïng vi phaân cuûa ptr lieân tuïc ∂t •Neáu ρ=const→ ptr vi phaân lieân tuïc cuûa löu chaát khoâng neùn ñöôïc: div ( u ) = 0 ⇔ ∂u x ∂u y ∂u z + =0 + ∂x ∂z ∂y Doøng nguyeân toá chuyeån ñoäng oån ñònh: → ptr lieân tuïc cuûa doøng nguyeân toá chuyeån ñoäng oån ñònh: dA1 ∫∫ ρu n dA = 0 ⇔ ρ1u1dA1 = ρ2u 2dA2 u1 A dA2 u2 •Ñoái vôùi toaøn doøng chuyeån ñoäng oån ñònh (coù moät m/c vaøo, 1 m/c ra) → ptr lieân tuïc cho toaøn doøng löu chaát chuyeån ñoäng oån ñònh daïng khoái löôïng: ∫ ρ1u1dA1 = A1 ∫ ρ2 u 2dA2 ⇔ M1 = M 2 A2 M1: khoái löôïng löu chaát vaøo m/c A1 trong 1 ñv t.gian M2: khoái löôïng löu chaát ra m/c A2 trong 1 ñv t.gian •Ñoái vôùi toaøn doøng chuyeån ñoäng oån ñònh (coù moät m/c vaøo, 1 m/c ra), löu chaát khoâng neùn ñöôïc: → ptr lieân tuïc cho toaøn doøng löu chaát khoâng neùn ñöôïc chuyeån ñoäng oån ñònh: Q1 = Q2 hay Q = const •Trong tröôøng hôïp doøng chaûy coù nhieàu maët caét vaøo vaø ra, c. ñoäng oån ñònh, löu chaát khoâng neùn ñöôïc, taïi moät nuùt, ta coù: → ptr lieân tuïc taïi moät nuùt cho toaøn doøng löu chaát khoâng neùn ñöôïc chuyeån ñoäng oån ñònh: Qñeán = DONG HOC 8 Qñi PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay 2. PHÖÔNG TRÌNH NAÊNG LÖÔÏNG dX = ∂ X dt ∂t + W ∫∫ k ρ u n dA A Khi X laø naêng löôïng cuûa doøng chaûy coù khoái löôïng m (kyù hieäu laø E, bao goàm noäi naêng, ñoäng naêng vaø theá naêng (theá naêng bao goàm vò naêng laãn aùp naêng), ta coù: X = E = Eu + 1/2mu2+ mgZ vôùi Z=z+p/γ p 1 2 Nhö vaäy, naêng löôïng cuûa moät ñôn vò khoái löôïng löu chaát k baèng: k = e u + u + gz + 2 ρ trong ñoù: eu laø noäi naêng cuûa moät ñôn vò khoái löôïng. 1/2u2 laø ñoäng naêng cuûa moät ñôn vò khoái löôïng. gz laø vò naêng cuûa moät ñôn vò khoái löôïng. p/ρ laø aùp naêng cuûa moät ñôn vò khoái löôïng. Ñònh luaät I Nhieät ñoäng löïc hoïc: soá gia naêng löôïng ñöôïc truyeàn vaøo chaát loûng trong moät ñôn vò thôøi gian (dE/dt) , baèng suaát bieán ñoåi trong moät ñôn vò thôøi gian cuûa nhieät löôïng (dQ/dt) truyeàn vaøo khoái chaát loûng ñang xeùt, tröø ñi suaát bieán ñoåi coâng (dW/dt) trong moät ñôn vò thôøi gian cuûa khoái chaát loûng ñoù thöïc hieân ñoái vôùi moâi tröôøng ngoaøi (ví duï coâng cuûa löïc ma saùt): dE dQ dW = − dt dt dt Nhö vaäy 1 1 dQ dW ∂ p p − = ∫∫∫(eu + u2 + gz + )ρdw+ ∫∫(eu + u2 + gz + )ρundA 2 2 dt dt ∂t w ρ ρ A Daïng toång quaùt cuûa P. tr NL 3. PHÖÔNG TRÌNH ÑOÄNG LÖÔÏNG Khi X laø ñoäng löôïng: k=u X = ∫∫∫ u ρ dW W Ñònh bieán thieân ñoäng löôïng: bieán thieân ñoäng löôïng cuûa löu chaát qua theå tích W (ñöôïc bao quanh bôûi dieän tích A) trong moät ñôn vò thôøi gian baèng toång ngoaïi löïc taùc duïng leân khoái löu chaát ñoù: dX = ∑ F ngoaïilöïc dt Nhö vaäy, töø keát quaû cuûa pp TTKS: ∑F = ngoaïilöïc dX ∂X = + ∫∫ kρu n dA dt ∂t W A ∂ (u )ρdw + ∫∫ (u )ρu n dA ∂t ∫∫∫ w A DONG HOC 9 ; ta coù: Daïmg toång quaùt cuûa p.tr ÑL PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Moät doøng chaûy ra khoûi oáng coù vaän toác phaân boá daïng nhö hình veõ, vôùi vaän toác lôùn nhaát xuaát hieän ôû taâm vaø coù giaù trò Umax = 12 cm/s . Tìm vaän toác trung bình cuûa doøng chaûy Ví duï 4: dA=2πrdr Giaûi: Taïi taâm oáng, u=umax; taïi thaønh oáng, u=0. Ta coù treân phöông r,; vaän toác doøng chaûy phaân boá theo quy luaät tuyeán tính: u= Löu löôïng : r Umax dr u max (R − r ) R u max 2πu max ⎡ Rr 2 r 3 ⎤ πu max R 2 Q=∫ (R − r )2πrdr = − ⎥ = ⎢ R R ⎣ 2 3 ⎦ r =R 3 0 Q u V = = max A 3 R V = 4cm / s Ví duï 5: Löu chaát chuyeån ñoäng oån ñònh trong ñöôøng oáng coù ñöôøng kính D. ÔÛ ñaàu vaøo cuûa ñoaïn oáng, löu chaát chuyeån ñoäng taàng, vaän toác phaân boá theo quy luaät : ⎡ r2 ⎤ u1: vaän toác taïi taâm oáng khi chaûy taàng. u = u1 ⎢1 − 2⎥ r : ñöôïc tính töø taâm oáng (0 ≤ r ≤ D/2) ⎣ (R ) ⎦ Khi löu chaát chuyeån ñoäng vaøo saâu trong oáng thì chuyeån sang chaûy roái, vôùi phaân 1/ 7 boá vaän toác nhö sau : u2: vaän toác taïi taâm oáng khi chaûy roái ⎛y⎞ u = u2⎜ ⎟ y : ñöôïc tính töø thaønh oáng (0 ≤ y ≤ D/2) ⎝R⎠ Tìm quan heä giöõa u1 vaø u2 r dA=2π r Giaûi: rdr R Theo phöông trình lieân tuïc: u1 u2 o dr Q1 = Q2 o 1 R ⎡ r2 ⎤ ⎡y⎤ 7 Q1 = ∫ u1 ⎢1 − 2 ⎥ 2πrdr; Q 2 = ∫ u 2 ⎢ ⎥ 2π(R − y)dy ⎣R ⎦ ⎣ R ⎦ 0 0 R ⎡ ⎡ r2 r4 ⎤ πu R 2 r2 ⎤ = 1 2πrdr = 2πu1 ⎢ − Q1 = ∫ u1 ⎢1 − 2⎥ 2⎥ 2 ⎣ 2 4(R ) ⎦ r =R ⎣ (R ) ⎦ 0 1 1 R ⎡R y 7 ⎤ ⎡ 7 y 8 7 6 7 y15 7 −1 ⎤ 49 ⎡ ⎤ ⎡y⎤ 7 ⎥ Q2 = −2πu 2 ⎢∫ R ⎢ ⎥ dy − ∫ y⎢ ⎥ dy = 2πu 2 ⎢ R 7− R 7 ⎥ = πu 2 R 2 R⎦ 15 60 ⎢0 ⎣R ⎦ ⎥ ⎢ 8 ⎥ 0 ⎣ ⎣ ⎦ y=R ⎣ ⎦ 49 ⇒ u1 = u 2 30 R DONG HOC 10 PGS.TS. Nguyen Thi Bay, DHBK tp. HCM; www4.hcmut.edu.vn/~ntbay Chaát loûng lyù ltöôûng quay quanh truïc thaúng ñöùng (oz). Giaû söû vaän toác Ví duï 5: quay cuûa caùc phaân toá chaát loûng tyû leä nghòch vôùi khoaûng caùch töø truïc quay treân phöông baùn kính (V=a/r; a>0 laø haèng soá. Chuùng minh raèng ñaây laø moät chuyeån ñoäng theá. Tìm phöông trình caùc ñöôøng doøng Giaûi: ⎛ ∂u y ∂u x ⎞ rot ( u ) z = 0 chuyeån ñoäng khoâng quay (theá) ⎜ ⎟ ⎜ ∂x − ∂y ⎟ = 0 − ay a − y − ay ⎠ ⎝ = = u = u cos(u, ox) = ; x ∂x x2 + y 2 r2 u a ⎛ x ⎞ ax ax uy = u cos(u, oy) = ⎜ ⎟ = 2 = 2 r⎝r⎠ r x + y2 Suy ra: ∂uy r r = y r ∂ ⎛ ax ⎞ a(x2 + y 2 ) − ax(2x) a(y 2 − x2 ) ⎜ ⎟= = 2 2 2; ( x 2 + y 2 )2 (x + y ) ∂x ⎜ x2 + y 2 ⎟ ⎝ ⎠ O x ∂ux ∂ ⎛ − ay ⎞ − a(x2 + y 2 ) + ay(2y) a(y 2 − x2 ) ⎟= = 2 2 2 = ⎜ ( x 2 + y 2 )2 (x + y ) ∂y ∂y ⎜ x2 + y 2 ⎟ ⎝ ⎠ ∂u y ∂u x = 0 ⇔ rot ( u ) z = 0 ∂x ∂y Ñaây laø chuyeån ñoäng Moät chuyeån ñoäng theá treân maët phaúng xOy Vaäy: − Phöông trình caùc ñöôøng doøng: u x dy = u y dx ⇔ ⇔ (x 2 + y 2 ) = C DONG HOC 11 ax − ay dy = 2 dx 2 2 x +y x + y2