Tài liệu Cơ học lý thuyết 2

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT CÔNG NGHIỆP KHOA CƠ KHÍ BỘ MÔN CƠ HỌC BÀI GIẢNG HỌC PHẦN CƠ LÝ THUYẾT 2 Theo chương trình đào tạo 150 TC Số tín chỉ: 2 Thái Nguyên, năm 2011 Tên tác giả biên soạn : LÊ LƢƠNG TÀI – NGUYỄN VĂN TUẤN – NGUYỄN THỊ HOA BÀI GIẢNG HỌC PHẦN:CƠ LÝ THUYẾT 2 Theo chương trình đào tạo 150 TC Số tín chỉ: 2 Thái Nguyên, ngày10 tháng 07 năm 2011 Trƣởng bộ môn (ký và ghi rõ họ tên) Trƣởng khoa, giám đốc trung tâm….. (ký và ghi rõ họ tên) MỤC LỤC ĐỀ CƢƠNG CHI TIẾT HỌC PHẦN CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2 .....................................- 5 MỞ ĐẦU .........................................................................................................................- 12 Chƣơng I. .........................................................................................................................- 14 Các khái niệm cơ bản. Hệ tiên đề động lực học ..............................................................- 14 §1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN .................................................................................- 14 1.Mô hình các vật thể chuyển động. ........................................................................- 14 2.Hệ quy chiếu quán tính. ........................................................................................- 15 3.Khái niệm cơ bản về lực .......................................................................................- 15 §2. HỆ TIÊN ĐỀ ĐỘNG LỰC HỌC ..........................................................................- 15 1.Hệ tiên đề động lực học ........................................................................................- 15 2.Cơ hệ không tự do ................................................................................................- 17 3.Tiên đề giải phóng liên kết ...................................................................................- 17 Chƣơng II.........................................................................................................................- 18 Phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm ..........................................................- 18 và cơ hệ ............................................................................................................................- 18 §1. PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM .................- 18 1.Phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm. ..............................................- 18 2.Các bài toán động lực học chất điểm ....................................................................- 20 3.Phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm trong hệ quy chiếu không quán tính. ..........................................................................................................................- 26 §2. PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CƠ HỆ ...........................- 31 1. Phân loại các lực tác dụng lên cơ hệ....................................................................- 31 2. Hệ phƣơng trình vi phân chuyển động của cơ hệ. ...............................................- 32 Chƣơng III .......................................................................................................................- 34 Phƣơng pháp Đalămbe ....................................................................................................- 34 §1. NGUYÊN LÝ Đ’ALEMBERT .............................................................................- 35 1. Lực quán tính. ......................................................................................................- 35 2. Nguyên lý Đa lam be đối với chất điểm ..............................................................- 35 3 Nguyên lý Đa lam be đối với cơ hệ. .....................................................................- 35 §2. CÁC ĐẶC TRƢNG HÌNH HỌC KHỐI LƢỢNG CỦA VẬT RẮN ....................- 38 1. Khối tâm của cơ hệ ..............................................................................................- 38 2.Mô men quán tính của vật rắn. .............................................................................- 39 §3. THU GỌN HỆ LỰC QUÁN TÍNH .......................................................................- 45 TRONG MỘT VÀI CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT RẮN ...........................................- 45 1. Vectơ chính của hệ lực quán tính. .......................................................................- 45 2. Mô men chính của các lực quán tính trong một vài chuyển động của vật rắn. ...- 46 3. Phản lực ổ trục của các vật quay xung quanh một trục cố định. .........................- 51 §4. CÁC ĐỊNH LÝ ĐỘNG LƢỢNG VÀ MÔMEN ĐỘNG LƢỢNG .......................- 54 1. Định lý chuyển động khối tâm ............................................................................- 54 2. Định lý động lƣợng ..............................................................................................- 54 3. Định lý mômen động lƣợng .................................................................................- 57 Chƣơng IV .......................................................................................................................- 60 Phƣơng pháp Lagrange ....................................................................................................- 60 § 1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN ................................................................................- 61 1. Cơ hệ không tự do. Liên kết và phân loại liên kết. ..............................................- 61 2. Di chuyển khả dĩ và số bậc tự do của cơ hệ. .......................................................- 64 3. Toạ độ suy rộng của cơ hệ. ..................................................................................- 66 4. Lực suy rộng. .......................................................................................................- 67 5. Liên kết lý tƣởng .................................................................................................- 73 - §2. NGUYÊN LÝ D’ALEMBERT - LAGRANGE ....................................................- 74 1.Nguyên lý D’Alembert - Lagrange. ......................................................................- 74 2.Định lý động năng. ...............................................................................................- 76 § 3. NGUYÊN LÝ DI CHUYỂN KHẢ DĨ .................................................................- 84 1.Vị trí cân bằng của cơ hệ. .....................................................................................- 85 2.Nguyên lý di chuyển khả dĩ ..................................................................................- 85 3.Các ví dụ ...............................................................................................................- 85 §4. PHƢƠNG TRÌNH LAGRANGE LOẠI HAI .......................................................- 88 1. Thiết lập phƣơng trình Lagrange loại hai. ...........................................................- 88 2. Biểu thức của động năng trong các toạ độ suy rộng. ...........................................- 90 3. Phƣơng trình Lagrange loại hai trong trƣờng hợp lực có thế. .............................- 91 4. Các tích phân chuyển động. .................................................................................- 97 Chƣơng V ......................................................................................................................- 101 Va chạm .........................................................................................................................- 101 §1. ĐẶT BÀI TOÁN VA CHẠM .............................................................................- 101 1. Hiện tƣợng va chạm...........................................................................................- 101 2. Các đặc điểm của quá trình va chạm .................................................................- 102 §2. ÁP DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT VÀO LÝ THUYẾT ........................- 106 VA CHẠM ................................................................................................................- 106 1. Định lý động lƣợng của hệ khi va chạm ............................................................- 106 2.Định lý mômen động lƣợng của hệ khi va chạm ................................................- 107 §3. VA CHẠM THẲNG XUYÊN TÂM CỦA HAI VẬT ........................................- 108 1.Va chạm thẳng xuyên tâm của hai vật ................................................................- 108 2.Định lý Cacsno cho hai vật va chạm thẳng xuyên tâm .......................................- 109 §4. TÁC DỤNG LỰC VA CHẠM VÀO VẬT QUAY QUANH MỘT TRỤC CỐ ĐỊNH VÀ CHUYỂN ĐỘNG SONG PHẲNG ....................................................................- 111 1. Tác dụng lực va chạm vào vật quay quanh trục cố định. ..................................- 111 2. Tác dụng lực va chạm vào vật chuyển động song phẳng ..................................- 111 3. Ví dụ ..................................................................................................................- 112 §5. TÂM VA CHẠM CỦA VẬT QUAY .................................................................- 117 1. Xác định xung lực va chạm tại trục quay ..........................................................- 117 2. Tâm va chạm của vật quay ................................................................................- 118 - ĐỀ CƢƠNG CHI TIẾT HỌC PHẦN CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2 (Học phần bắt buộc) 1. Tên học phần: CƠ HỌC LÝ THUYẾT 2 Mã số: BAS202 2. Số tín chỉ: 2 3. Trình độ cho sinh viên: Năm thứ hai 4. Phân bố thời gian: - Lên lớp lý thuyết: 24 tiết - Thảo luận: 12 tiết - Hƣớng dẫn bài tập lớn: Không - Khác: Không 5. Các học phần học trƣớc: Toán cao cấp 1 & 2, Vật lý đại cƣơng 1& 2 6. Học phần thay thế hoặc tƣơng đƣơng: Không 7. Mục tiêu học phần: Làm cho sinh viên nắm vững các định luật cân bằng và chuyển động của vật rắn chịu lực, các đặc trƣng động lực học của các mô hình điểm và vật rắn chuyển động. Biết cách áp dụng các kiến thức đó tính toán các bài toán cân bằng cũng nhƣ các bài toán động lực học điểm và vật rắn. Các kiến thức đƣợc trang bị là cơ sở cho hầu hết các lĩnh vực công nghệ, kỹ thuật công nghiệp. 8. Mô tả vắn tắt nội dung của học phần. Học phần trình bày các đặc trƣng động lực học của các mô hình điểm và vật rắn chuyển động. Khảo sát chuyển động của điểm và vật rắn dƣới tác dụng của lực bằng phƣơng pháp D’Alembert và phƣơng pháp Lagrange. Nghiên cứu bài toán va chạm trong kỹ thuật . 9. Nhiệm vụ của sinh viên 9.1. Tham dự các bài giảng trên lớp  80% tổng số thời lƣợng của học phần; 9.2. Thời gian tự học thực hiện theo tỷ lệ: mỗi tiết trên lớp phải có tối thiểu 3 giờ tự học bao gồm: Củng cố bài đã học- làm bài tập, chuẩn bị các tài liệu cho các buổi thảo luận và đọc trƣớc tài liệu của bài giảng lần sau. Các sinh viên cần đề xuất các bài tập khó đề nghị giáo viên bố trí thời gian giải đáp. Các sinh viên phải hoàn thành tất cả các bài tập (bắt buộc) giáo viên yêu cầu ra vở bài tập và cần xuất trình vở bài tập khi giáo viên yêu cầu 9.3. Tham dự thảo luận và tất cả các bài kiểm tra thƣờng xuyên và định kỳ của học phần. 10. Tài liệu học tập * Sách giáo khoa [1]. Lê Lƣơng Tài, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Thị Hoa. Các bài giảng Cơ học kỹ thuật. Trƣờng ĐHKTCN, Thái Nguyên, 2009. [2] Đỗ Sanh, Nguyễn Văn Đình, Nguyễn Văn Khang. Cơ học, T1, NXB GD, Hà Nội, 1996. [3]. Nguyễn Văn Khang. Cơ sở Cơ học Kỹ thuật, T1. và T2. NXB ĐHQGHN, Hà Nội, 2005. [4] GS TSKH Đỗ Sanh. Cơ học kỹ thuật, Tập hai ĐỘNG LỰC HỌC, NXBGD, 2008. * Sách tham khảo [5]. Nguyễn Văn Khang. Động lực học hệ nhiều vật. NXB KH&KT, Hà Nội, 2006. [6] Mc Lean and Nelson. Schaum’s online theory and problems of engineering mechanics. Statics and Dynamics. 1994 [7] R.C. Hibbler . Engineering Mechanics, Statics [8]. J.M. Krodkiewski. Dynamics of Machine, The University of Melbourne, 2006. [9]. J.M. Krodkiewski. Mechanics of a rigid body, The University of Melbourne, 2006. [10]. R.J. Schilling. Fundamentals of Robotics. Prentice – Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1990. 11. Các tiêu chuẩn đánh giá sinh viên và thang điểm 11.1. Các học phần lý thuyết - Tiêu chuẩn đánh giá i) Thảo luận, bài tập, chuyên cần ii) Kiểm tra định kỳ và thường xuyên iii)Thi kết thúc học phần. - Thang điểm i) Điểm đánh giá bộ phận theo thang điểm 10 với trọng số như sau + Điểm thảo luận, bài tập, chuyên cần: 20% + Điểm kiểm tra thường xuyên và định kỳ (Trung bình cộng): 20% + Điểm thi kết thúc học phần: 60% ii) Điểm học phần là điểm trung bình chung với các trọng số của các điểm đánh giá bộ phận và điểm thi kết thúc học phần làm tròn đến một chữ số thập phân. 11.2. Các học phần thực nghiệm: Không 12. Nội dung chi tiết học phần. Chƣơng I. Các khái niệm cơ bản và hệ tiên đề động lực học. §1. Các khái niệm cơ bản. 1. Các mô hình chất điểm và hệ chất điểm. 2. Hệ quy chiếu quán tính. 3. Lực. §2. Hệ tiên đề động lực học. 1. Tiên đề 1: Định luật quán tính 2. Tiên đề 2: Định luật cơ bản động lực học 3. Tiên đề 3: Định luật tác dụng và phản tác dụng 4. Tiên đề 4: Định luật độc lập tác dụng Chƣơng II. Phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm và cơ hệ. §1. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm và cơ hệ. 1. Phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm 2. Các bài toán cơ bản động lực học và cách giải. Các ví dụ. 3. Phƣơng trình vi phân chuyển động của cơ hệ. a. Phân loại các lực tác dụng lên cơ hệ b. Các dạng phƣơng trình chuyển động của cơ hệ. §2. Phương trình vi phân chuyển động trong hệ quy chiếu không quán tính. 1. Phƣơng trình vi phân chuyển động trong hệ quy ciếu không quán tính. 2. Cân bằng tƣơng đối. 3. Ví dụ. Chƣơng III. Phƣơng pháp D’Alembert §1.Các đặc trưng hình học khối lượng. 1. Khối tâm của cơ hệ. a.Định nghĩa. b.Liên hệ giữa khối tâm và trọng tâm của các cơ hệ đặt trên mặt đất. 2. Mô men quán tính của vật rắn a.Định nghĩa b.Tính mô men quán tính của một số vật đồng chất. c.Các định lý về mô men quán tính. d.Mô men quán tính chính và các trục quán tính chính của vật rắn. §2. Nguyên lý D’Alembert. Hệ phương trình tĩnh động. 1. Nguyên lý D’Alembert a. Lực quán tính D’Alembert. b. Đối với chất điểm c. Đối với cơ hệ. 2. Hệ phƣơng trình tĩnh động. a. Hệ phƣơng trình tĩnh động. b. Các ví dụ. §3. Tính vectơ chính của lực quán tính và mô men chính của lực quán tính trong một số chuyển động thường gặp. 1. Chuyển động tịnh tiến 2. Chuyển động quay xung quanh một trục cố định 3. Chuyển động song phẳng. §4. Các phương trình vi phân chuyển động của vật rắn. 1. Vật chuyển động quay xung quanh một trục cố định a. Hệ phƣơng trình tĩnh động cho vật rắn chuyển động quay xung quanh một trục cố định. Phƣơng trình chuyển động của vật rắn quay xung quanh một trục cố định.. b. Phản lực động lực của các ổ trục. Điều kiện để phản lực động bằng phản lực tĩnh. c. Ví dụ. 2. Vật chuyển động song phẳng. a. Phƣơng trình vi phân chuyển động của vật chuyển động song phẳng. b. Ví dụ. §5. Định lý động lượng. 1. Định lý động lƣợng. a. Định nghĩa động lƣợng của chất điểm và cơ hệ. b. Định lý. c. Trƣờng hợp bảo toàn. d. Ví dụ. 2. Định lý chuyển động khối tâm của cơ hệ. a. Định lý. b. Sự bảo toàn khối tâm c. Ví dụ. §6. Định lý mô men động lượng. 1. Định nghĩa. 2. Định lý mô men động lƣợng. 3. Sự bảo toàn mô men động lƣợng. 4. Các ví dụ. Chƣơng IV. Phƣơng pháp Lagrange §1. Các khái niệm cơ bản. 1. Liên kết và phân loại các liên kết 2. Di chuyển khả dĩ và số bậc tự do của cơ hệ 3. Toạ độ suy rộng 4. Công khả dĩ. Lực suy rộng. 5. Liên kết lý tƣởng. §2. Nguyên lý D’Alembert – Lagrange 1. Nguyên lý D’Alembert – Lagrange 2. Các ví dụ. §3. Nguyên lý di chuyển khả dĩ. 1. Nguyên lý di chuyển khả dĩ 2. Các ví dụ. §4. Phương trình Lagrange loại II. 1. Phƣơng trình Lagrange loại II. 2. Chuyển động của cơ hệ trong trƣờng lực thế 3. Các tích phân chuyển động. a. Tích phân xyclic b. Tích phân năng lƣợng. Chƣơng V. Va chạm. §1. Đặt bài toán va chạm 1. Hiện tƣợng va chạm. 2. Các đặc điểm của quá trình va chạm. a. Lực va chạm b. Di chuyển của các chất điểm trong va chạm c. Hai giai đoạn của quá trình va chạm. 3. Mô hình nghiên cứu bài toán va chạm và Bài toán va chạm trong kỹ thuật. §2. Áp dụng các định lý động lượng mô men động lượng trong quá trình va chạm. 1. Định lý động lƣợng 2. Định lý mô men động lƣợng §3. Va chạm thẳng xuyên tâm của hai vật. 1. Đặt bài toán. Các phƣơng trình cơ bản. 2. Các kết quả tính toán. 3. Mất động năng trong va chạm. §4. Tác dụng lực va chạm vào vật quay xung quanh một trục cố định. 13. Lịch trình giảng dạy. Tuần 1 2 Nội dung Tài liệu Hình thức học tập học Chương I. Các khái niệm cơ bản và hệ tiên đề [1,2,3,4,...] Giảng 2 tiết động lực học. §1. Các khái niệm cơ bản. 1. Các mô hình chất điểm và hệ chất điểm. 2. Hệ quy chiếu quán tính. 3. Lực. §2. Hệ tiên đề động lực học. 1. Tiên đề 1: Định luật quán tính 2. Tiên đề 2: Định luật cơ bản động lực học 3. Tiên đề 3: Định luật tác dụng và phản tác dụng 4. Tiên đề 4: Định luật độc lập tác dụng Chương II. Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm và cơ hệ. §1. Phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm và cơ hệ. 1. Phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm Chương II. Phương trình vi phân chuyển động [1,2,3,4,...] Giảng của chất điểm và cơ hệ. (tiếp) tiết 2. Các bài toán cơ bản động lực học và cách giải. Các ví dụ. 3. Phƣơng trình vi phân chuyển động của cơ hệ. §2. Phƣơng trình vi phân chuyển động trong hệ quy chiếu không quán tính. 2 1. Phƣơng trình vi phân chuyển động trong hệ quy ciếu không quán tính. 2. Cân bằng tƣơng đối. 3. Ví dụ. 3 Chƣơng III. Phƣơng pháp D’Alembert §1.Các đặc trưng hình học khối lượng. 1. Khối tâm của cơ hệ. a.Định nghĩa. b.Liên hệ giữa khối tâm và trọng tâm của các cơ hệ đặt trên mặt đất. 2. Mô men quán tính của vật rắn a.Định nghĩa b.Tính mô men quán tính của một số vật đồng chất. c.Các định lý về mô men quán tính. d.Mô men quán tính chính và các trục quán tính chính của vật rắn. Giảng tiết 2 4 Chương III. Phương pháp D’Alembert. [1,2,3,4,...] Giảng tiết §2. Nguyên lý D’Alembert. Hệ phƣơng trình tĩnh động. 1.Nguyên lý D’Alembert a.Lực quán tính D’Alembert. b.Đối với chất điểm c.Đối với cơ hệ. 2.Hệ phƣơng trình tĩnh động. a.Hệ phƣơng trình tĩnh động. b.Các ví dụ. §3. Tính vectơ chính của lực quán tính và mô men chính của lực quán tính trong một số chuyển động thƣờng gặp. 1.Chuyển động tịnh tiến 2.Chuyển động quay xung quanh một trục cố định 3.Chuyển động song phẳng. Chương III. Phương pháp D’Alembert. (tiêp) Giảng tiết §4. Các phƣơng trình vi phân chuyển động của vật rắn. 1.Vật chuyển động quay xung quanh một trục cố định a.Hệ phƣơng trình tĩnh động cho vật rắn chuyển động quay xung quanh một trục cố định. Phƣơng trình chuyển động của vật rắn quay xung quanh một trục cố định.. b.Phản lực động lực của các ổ trục. Điều kiện để phản lực động bằng phản lực tĩnh. c.Ví dụ. 2.Vật chuyển động song phẳng. a.Phƣơng trình vi phân chuyển động của vật chuyển động song phẳng. b.Ví dụ. 2 5 2 §5. Định lý động lƣợng. 1.Định lý chuyển động khối tâm của cơ hệ. a.Định lý. b.Sự bảo toàn khối tâm c.Ví dụ. 6 7 8 [1,2,3,4,...] Giảng 2 Chương III. Phương pháp D’Alembert. tiết §5. Định lý động lƣợng (tiếp) 2.Định lý động lƣợng. a.Định nghĩa động lƣợng của chất điểm và cơ hệ. b.Định lý. c.Trƣờng hợp bảo toàn. d.Ví dụ. §6. Định lý mô men động lƣợng. 1. Định nghĩa. 2. Định lý mô men động lƣợng. 3. Sự bảo toàn mô men động lƣợng. Các ví dụ. Thảo luận + Bài tập Thảo luận 1 4 tiết [1,2,3,4,...] Giảng 2 Chương IV. Phƣơng pháp Lagrange §1. Các khái niệm cơ bản. tiết 1.Liên kết và phân loại các liên kết 2.Di chuyển khả dĩ và số bậc tự do của cơ hệ 3.Toạ độ suy rộng 4.Công khả dĩ. 9 ChươngIV. Phƣơng pháp Lagrange (tiếp) 5.Lực suy rộng . 6.Liên kết lý tƣởng. [1,2,3,4,...] Giảng tiết 2 10 Chương IV. Phƣơng pháp Lagrange (tiếp) [1,2,3,4,...] Giảng tiết 2 [1,2,3,4,...] Giảng tiết 2 §2. Nguyên lý D’Alembert – Lagrange 1.Nguyên lý D’Alembert – Lagrange 2.Các ví dụ. 11 Chương IV. Phƣơng pháp Lagrange (tiếp) §3. Nguyên lý di chuyển khả dĩ. 1.Nguyên lý di chuyển khả dĩ 2.Các ví dụ. 12 Thảo luận 2 Thảo luận + Bài tập 4 tiết 13 Chương IV. Phƣơng pháp Lagrange (tiếp) §4. Phƣơng trình Lagrange loại II. 1.Phƣơng trình Lagrange loại II. 3.Chuyển động của cơ hệ trong trƣờng lực thế 4.Các tích phân chuyển động. c. Tích phân xyclic d. Tích phân năng lƣợng. 14 [1,2,3,4,...] Giảng Chương V. Va chạm. §1. Đặt bài toán va chạm tiết 1. Hiện tƣợng va chạm. 2. Các đặc điểm của quá trình va chạm 3. Mô hình nghiên cứu bài toán va chạm và Bài toán va chạm trong kỹ thuật.. §2. Áp dụng các định lý động lƣợng mô men động lƣợng trong quá trình va chạm. 1. Định lý động lƣợng 2. Định lý mô men động lƣợng §3. Va chạm thẳng xuyên tâm của hai vật. 1. Đặt bài toán. Các phƣơng trình cơ bản. 2. Các kết quả tính toán. 3. Mất động năng trong va chạm. §4. Tác dụng lực va chạm vào vật quay xung quanh một trục cố định. 15 Thảo luận 3 [1,2,3,4,...] Thảo luận + Bài tập 4 tiết 14. Ngày phê duyệt 15 . Cấp phê duyệt Đề cƣơng chi tiết học phần đã đƣợc Hội đồng khối ngành . . . . . . . . phê duyệt Trƣởng Bộ môn Chủ tịch Hội đồng KH & GD Khoa, Trung tâm 2 Chủ tịch Hội đồng Khối ngành MỞ ĐẦU Nhƣ đã biết, các vật thể xung quanh chúng ta luôn luôn chuyển động và tác dụng tƣơng hỗ lẫn nhau. Đối tƣợng nghiên cứu của Cơ học là thiết lập mối quan hệ giữa các đại lƣợng đặc trƣng cho chuyển động của các vật thể và sự tƣơng tác giữa chúng. Phần Động học đã xây dựng các đại lƣợng đặc trƣng cho chuyển động của các vật thể: điểm và vật rắn. Phần Động lực học sẽ giải quyết vấn đề tổng quát vừa nêu ra ở trên. Để giải quyết bài toán cơ bản của Cơ học đặt ra, nhiều thế hệ các nhà cơ học, toán học nhƣ Galileo Galileé (1564 - 1642), I. Newton (1642 - 1727), D’Alembert (1717 - 1783), Lagrange (1736 - 1813), Hamilton (), Xiôn kovxki (1857 - 1935), Meserxki (1859 - 1935)… đã xây dựng đƣợc các cách tiếp cận khác nhau, đem lại những thành tựu quan trọng của Cơ học và áp dụng chúng vào thực tiễn. Vì vậy, chọn lọc các chất liệu cho các bài giảng là một vấn đề cấp thiết và có tầm quan trọng đặc biệt. Khi xây dựng bài giảng để giảng dạy cho sinh viên, chúng tôi đã dựa trên hai yêu cầu chính sau đây: Một là, quá trình đào tạo đƣợc thực hiện theo học chế tín chỉ, đòi hỏi thay đổi phƣơng pháp dạy học từ cách thức giảng giải một cách chi tiết cho sinh viên sang cách thức hƣớng dẫn, kích thích tính tích cực của họ và từ đó, sinh viên là chủ thể tìm kiếm kiến thức trong khuôn khổ mục đích của môn học. Hai là, yêu cầu khắc phục tính lạc hậu của nội dung giảng dạy. Nhƣ đã biết, trong xu hƣớng phát triển tự động hoá, nhiều máy móc, thiết bị (đặc biệt là các rô bốt) đã đƣợc lắp đặt các chi tiết thực hiện các chuyển động không gian, do đó phần Động học vật rắn đƣợc nhấn mạnh các đặc trƣng động học của vật rắn trong trƣờng hợp tổng quát, mà trƣớc đây trong hầu hết các sách giáo khoa Cơ học trong nƣớc còn bị xem nhẹ nhƣ là một cách “tinh giản” nội dung giảng dạy ở các trƣờng đại học kỹ thuật. Từ các yêu cầu đó, các chất liệu sử dụng để đƣa vào các bài giảng này đã đƣợc chọn lọc nhằm mục đích giúp ngƣời học vừa nắm chắc những nội dung cơ bản, vừa trang bị khả năng tính toán cho các bài toán Cơ học trong kỹ thuật. Do vậy, các bài giảng đƣợc thể hiện trong 5 chƣơng, trong đó các chƣơng 2, 3, 4 trình bày các phƣơng pháp đồng thời cũng là những quan điểm phát triển các kiến thức Cơ học. Đặc biệt, giáo trình giành một phần đáng kể để trình bày các ví dụ nhằm giúp cho sinh viên tự nghiên cứu thuận lợi. Chúng tôi quan niệm rằng, Cơ học lý thuyết là sự tiếp tục của các kiến thức Cơ học đã đƣợc trình bày trong các sách giáo khoa Vật lý cho bậc đại học theo hƣớng nhấn mạnh và áp dụng các kiến thức Cơ học vào việc tính toán các đại lƣợng Cơ học trong các bài toán kỹ thuật. Do vậy, để hiểu đƣợc các bài giảng này ngƣời học cần nắm vững các kiến thức Cơ học đã đƣợc trình bày trong các sách giáo khoa Vật lý và các nội dung toán học cần thiết nhƣ đại số tuyến tính và giải tích toán học. Chƣơng I. Các khái niệm cơ bản. Hệ tiên đề động lực học I.1. Mục tiêu, nhiêm ̣ vu ̣ - Mục tiêu:Trang bị cho sinh viên những khái niệm cơ bản của môn học và phƣơng pháp để nghiên cứu môn học. - Nô ̣i dung: Đƣa ra mô hình của vật thể chuyển động, hệ quy chiếu quán tính, lực và hệ tiên đề Động lực học. - Nhiê ̣m vu ̣ của sinh viên : Đo ̣c bài trƣớc khi lên lớp . Ôn la ̣i kiế n thƣ́c về vectơ , các phép tính vectơ , phép tính đạo hàm. Chuẩ n bi ̣trƣớc các câu hỏi về vấ n đề còn vƣớng mắ c trong nô ̣i dung của chƣơng. - Đánh giá : Giáo viên chấm điểm quá tr ình trên lớp thông qua ý kiến phát biểu và khả năng trả lời câu hỏi của sinh viên. I.2. Quy đinh ̣ hin ̀ h thƣ́c ho ̣c cho mỗi nô ̣i dung nhỏ Nô ̣i dung Hình thức học §1. Các khái niệm cơ bản. 1. Các mô hình các vật thể chuyển động. 2. Hệ quy chiếu quán tính. 3. Lực. Giảng trên lớp §2. Hệ tiên đề động lực học. 1. Hệ tiên đề 2. Cơ hệ không tự do 3. Tiên đề giải phóng liên kết I.3. Nô ̣i dung cu ̣ thể §1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.Mô hình các vật thể chuyển động. Các đối tƣợng chuyển động nghiên cứu trong Cơ học gọi chung là các vật thể. Các vật thể có kích thƣớc rất bé so với các kích thƣớc khác trong bài toán đƣợc gọi là chất điểm. Trong các tính toán ta sẽ coi chất điểm là các điểm không có kích thƣớc và mang vật chất. Tập hợp nhiều chất điểm trong một bài toán Cơ học gọi là Cơ hệ. Trong giáo trình này ta sẽ nghiên cứu các cơ hệ sau đây: - Các cơ hệ chứa một số hữu hạn chất điểm; - Các cơ hệ có vô hạn chất điểm, nhƣng khoảng cách giữa chúng không đổi khi chịu lực và chuyển động và gọi là vật rắn tuyệt đối. 2.Hệ quy chiếu quán tính. Trong Động lực học, ta khảo sát một loại hệ quy chiếu đặc biệt gọi là hệ quy chiếu quán tính. Hệ quy chiếu quán tính là hệ quy chiếu trong đó một chất điểm cô lập thì đứng yên mãi mãi hoặc là chuyển động thẳng và đều. Trong thực tế, các hệ quy chiếu quán tính chỉ có thể chọn gần đúng. Tuỳ theo mức độ chính xác của bài toán, ngƣời ta có thể chọn gần đúng hệ này hay hệ kia làm hệ quy chiếu quán tính. Chẳng hạn, trong các bài toán thiên văn hoặc du hành vũ trụ, ngƣời ta thƣờng lấy hệ quy chiếu gắn vào tâm mặt trời còn các trục toạ độ hƣớng vào các ngôi sao cố định, còn trong các bài toán kỹ thuật thông thƣờng ngƣời ta chọn mặt đất làm các hệ quy chiếu quán tính v.v… . 3.Khái niệm cơ bản về lực Lực là đại lượng dùng để đo tương tác cơ học của các vật thể. Tác dụng cơ học là các tác dụng mà kết quả của nó là làm cho vật thay đổi trạng thái chuyển động hoặc là biến dạng đi. Lực tác dụng giữa các vật thể biểu thị ở cƣờng độ, phƣơng, chiều và điểm đặt. Vì vậy, lực có thể mô hình toán học bằng một vectơ  buộc. Vectơ lực, ký hiệu là F đặt tại điểm đặt của lực tác dụng, cùng phƣơng chiều với lực tác dụng và có cƣờng độ tỷ lệ với cƣờng độ của lực tác dụng. Từ nay ta sẽ đồng nhất khái niệm lực tác dụng và vectơ biểu diễn lực và gọi chung là lực. §2. HỆ TIÊN ĐỀ ĐỘNG LỰC HỌC Phƣơng pháp tiên đề hay phƣơng pháp mô hình là phƣơng pháp nghiên cứu dựa trên sự trừu tƣợng hoá các đối tƣợng cụ thể để hình thành các khái niệm, các định nghĩa cơ bản. Trên cơ sở các khái niệm và định nghĩa này ngƣời ta xây dựng một hệ các mệnh đề gốc thoả mãn các điều kiện nhất định gọi là các tiên đề và từ đó bằng các lý luận logic suy diễn ra các quy luật khác. Tập hợp các quy luật xây dựng đƣợc tạo thành hệ thống lý thuyết của môn học. Chính Newton đã gọi các định luật cơ bản do ông nêu ra là các axiom (tiên đề) sử dụng các tiên đề đó để xây dựng lý thuyết về chuyển động cơ học. 1.Hệ tiên đề động lực học Tiên đề 1. Tiên đề quán tính Galileé. Một chất điểm cô lập (tức là không chịu tác dụng của lực nào) thì đứng yên hoặc chuyển động thẳng và đều.Trạng thái đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều của chất điểm được gọi là trạng thái quán tính của nó. Galileé là ngƣời đã phát hiện ra tiên đề này vào năm 1638 và gọi là Định luật quán tính. Tiên đề này làm cơ sở để xác định một hệ quy chiếu có phải là hệ quán tính hay không, hay nói khác đi, nó cho ta tiêu chuẩn để xem xét tính quán tính của một hệ quy chiếu. Tiên đề 2. Tiên đề cơ bản Động lực học. Trong hệ quy chiếu quán tính,dưới tác dụng của lực, chất điểm chuyển động với gia tốc hướng với lực và có độ lớn tỷ lệ thuận với cường độ của lực. Tiên đề này có thể biểu thị bằng công thức sau   mw  F (1.1) trong đó m gọi là khối lƣợng của chất điểm. Dễ dàng nhận thấy rằng hệ số m đặc trƣng cho tính chất chống lại sự thay đổi chuyển động do lực gây ra. Tính chất này gọi là tính quán tính của vật và do đó m thƣờng gọi là khối lƣợng quán tính của vật. Đơn vị khối lƣợng là kg và các bội và ƣớc của nó. Khi một chất điểm đặt trên mặt đất, nó bị trái đất tác dụng lực hút hƣớng về   tâm trái đất gọi là trọng lực, ký hiệu là P và sẽ rơi với gia tốc, ký hiệu là g gọi là gia tốc rơi tự do (hay gia tốc trọng trường). Theo tiên đề cơ bản ta có thể viết   mg  P (1.2) Hệ thức (1.2) cho ta mối quan hệ giữa trọng lực A và khối lƣợng của các chất điểm đặt trên mặt đất.  FBA  FAB Tiên đề 3. Tiên đề tác dụng và phản tác dụng Lực tác dụng và lực phản tác dụng giữa hai B chất điểm có cùng đường tác dụng, ngược chiều Hình1.1 Tác dụng và phản tác dụng và cùng cường độ. Tiên đề 3 làm cơ sở tính toán các lực tác dụng trong cơ hệ có nhiều chất điểm. Tiên đề 4. Tiên đề độc lập tác dụng. Trong hệ quy chiếu quán tính, dưới tác dụng của một hệ lực chất điểm thu được gia tốc bằng tổng hình học các gia tốc mà chất điểm có được khi từng lực tác dụng riêng biệt. Giả sử trên chất điểm tác dụng hệ lực F1 , F2 ,..., Fn  . Nếu tác dụng riêng rẽ       từng lực một ta sẽ nhận đƣợc các gia tốc w1 , w2 ,....wn . Khi tác dụng đồng thời hệ lực  trên vào chất điểm, nó sẽ có gia tốc w :  n  w   wi . i 1 (1.3)   Nhân hai vế của đẳng thức vừa viết với m và chú ý rằng mwk  Fk , ta sẽ nhận đƣợc n   n  mw   mk wk   Fk k 1 k 1 (1.4) Đẳng thức (1.4) khẳng định rằng khi tác dụng đồng thời hệ lực F1 , F2 ,..., Fn  chất    điểm sẽ có gia tốc nhƣ khi tác dụng vào chất điểm một lực bằng tổng hình học các lực thành phần. 2.Cơ hệ không tự do a) Cơ hệ tự do và không tự do Cơ hệ tự do là cơ hệ trong đó các chất điểm của nó có thể thực hiện các di chuyển bé tuỳ ý sang các vị trí lân cận từ vị trí đang xét. Trong trƣờng hợp trái lại cơ hệ là không tự do. Nhƣ thế trong các cơ hệ không tự do, các chất điểm của nó chịu các ràng buộc, ngăn cản chuyển động của chúng. Các điều kiện cản trở này gọi là các liên kết. b) Phản lực liên kết Về mặt cơ học sự ngăn cản chuyển động các chất điểm của cơ hệ, tức là tác dụng vào các chất điểm của cơ hệ các lực. Các lực do liên kết tác dụng vào các chất điểm của cơ hệ gọi là phản lực liên kết. Phản lực liên kết là các lực thụ động phụ thuộc vào các lực khác đã xác định tác dụng vào cơ hệ và có chiều ngƣợc với chiều ngăn cản chuyển động do liên kết gây ra. Các lực xác định đặt vào các chất điểm của cơ hệ gọi là các lực hoạt động hay lực cho trƣớc. 3.Tiên đề giải phóng liên kết Các tiên đề phát biểu ở trên đƣợc áp dụng cho các cơ hệ tự do. Đối với các cơ hệ không tự do ta cần bổ sung vào 4 tiên đề đã phát biểu ở trên tiên đề giải phóng liên kết. Tiên đề 5. Tiên đề giải phóng liên kết. Cơ hệ không tự do(hay cơ hệ chịu liên kết) có thể khảo sát như các cơ hệ tự do nếu giải phóng liên kết và thay thế các liên kết được giải phóng bằng các thành phần phản lực liên kết tương ứng. Chƣơng II. Phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm và cơ hệ I.1. Mục tiêu, nhiêm ̣ vu ̣ - Mục tiêu :Trang bị cho sinh viên những phƣơng pháp thiết lập phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm, cơ hệ và cách giải hai bài toán cơ bản của Động lực học chất điểm. - Nô ̣i dung : Phƣơng trình vi phân chuyển động của điểm và cơ hệ trong hệ quy chiếu quán tính và không quán tính, cách giải bài toán thuận và bài toán ngƣợc. - Nhiê ̣m vu ̣ của sinh viên : Đo ̣c bài trƣớc khi lên lớp . Ôn la ̣i kiế n thƣ́c về phép tính đạo hàm, tích phân và cách giải phƣơng trình vi phân cấp 2. Chuẩ n bi ̣trƣớc các câu hỏi về vấn đề còn vƣớng mắc trong nội dung của chƣơng . - Đánh giá : Giáo viên chấm điểm quá trình trên lớp thông qua ý kiến phát biểu và khả năng trả lời câu hỏi của sinh viên. I.2. Quy đinh ̣ hin ̀ h thƣ́c ho ̣c cho mỗi nô ̣i dung nhỏ Nô ̣i dung §1. Phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm 1.Phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm 2.Các bài toán cơ bản động lực học và cách giải. 3. Phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm trong hệ quy chiếu không quán tính. Hình thức học Giảng trên lớ p §1, thảo luận các ví dụ, §2 sinh viên tự nghiên cứu. §2. Phƣơng trình vi phân chuyển động của cơ hệ. 1. Phân loại các lực tác dụng lên cơ hệ 2. Hệ phƣơng trình vi phân chuyển động của cơ hệ I.3. Nô ̣i dung cu ̣ thể A. LÝ THUYẾT §1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM 1.Phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm. Khảo sát chuyển động của chất điểm trong hệ quy chiếu quán tính R0 . Theo tiên đề 4, chất điểm khối lƣợng m chịu tác dụng của các lực F1 , F2 ,..., Fn  , sẽ chuyển     động với gia tốc w thoả mãn phƣơng trình   mw  F (2.1)     trong đó F  F1  F2  ...  Fn . Tuỳ theo những điều z kiện cụ thể của bài toán, ta có thể chọn các hệ toạ độ khác nhau để viết phƣơng trình (2.1) dƣới dạng toạ độ. Trong trƣờng hợp tổng quát, ta chọn hệ toạ độ Descarte Oxyz và chiếu phƣơng trình (2.1) lên hệ đã chọn với chú ý rằng  F M O x y Hình 2.1 wx  x, w y  y, w z  z ta đƣợc hệ phƣơng trình vô hƣớng mx  X , (2.2.a) my  Y , (2.2.b) mz  Z , (2.2.c) gọi là hệ phương trình vi phân chuyển động của điểm dưới dạng toạ độ Descarte. Trong nhiều trƣờng hợp ta biết trƣớc quỹ đạo chuyển động của chất điểm, do     đó ta có thể xây dựng đƣợc hệ toạ độ tự nhiên  , n, b tại mỗi điểm trên đƣờng cong. Trong các trƣờng hợp đó, ta thƣờng chọn hệ toạ độ tự nhiên để viết các phƣơng trình hình chiếu của phƣơng trình (2.1) với chú ý rằng   s 2  w  s  n    M ta đƣợc ms  F , m s 2   Fn 0  Fb . (2.3.a)  n  b Hình 2.2 (2.3.b) (2.3.c) Hệ phƣơng trình vừa viết gọi là hệ phƣơng trình vi phân chuyển động của điểm dƣới dạng tự nhiên. Trong các chuyển động phẳng ta còn  e O  er  dùng hệ toạ độ cực r ,   để viết các phƣơng trình hình chiếu. Chú ý rằng      w  r  r 2 er  r  2r e ta nhận đƣợc các phƣơng trình hình chiếu của (2.1)   m r  r 2  Fr , (2.4.a) mr  2r   F (2.4.b) Hình 2.3 Hệ phƣơng trình vi phân vừa thu đƣợc gọi là hệ phương trình vi phân chuyển động của chất điểm dưới dạng toạ độ cực. Nói chung, tuỳ theo những bài toán cụ thể ta còn có thể sử dụng các hệ toạ độ khác để viết các phƣơng trình vi phân chuyển động của chất điểm nhƣ hệ toạ độ cầu, hệ toạ độ trụ v.v… 2.Các bài toán động lực học chất điểm 2.1. Bài toán thuận. Cho biết chuyển động của chất điểm, tìm lực tác dụng lên chất điểm. Để giải bài toán này, thoạt tiên ta tìm gia tốc của chất điểm rồi sau đó thay gia tốc tìm đƣợc vào phƣơng trình (2.1) hoặc các phƣơng trình ở dạng hìmh chiếu. x Ví dụ 2.1. Một sàng vật liệu dao động điều hoà theo phương thẳng đứng với biên độ a = 5cm. Hãy xác định tần số dao động để các hạt có thể bật lên khỏi mặt sàng. Bài giải. Khảo sát hạt vật liệu nằm trên mặt sàng.  N  x P Hình 2.4   Các lực tác dụng lên hạt vật liệu gồm trọng lực P của hạt, phản lực N của sàng lên hạt. Áp dụng phƣơng trình (2.1)    mw  P  N . Trƣớc tiên ta tìm gia tốc của hạt. Do hạt nằm trên sàng nên sẽ dao động điều hoà cùng với sàng với biên độ a. Do đó, phƣơng trình dao động của hạt có dạng x  a cos kt    trong đó k là tần số dao động,  là pha ban đầu; k,  là các hằng số. Gia tốc của hạt hƣớng theo phƣơng thẳng đứng và biến đổi theo luật w  x  ak 2 coskt    . Sử dụng phƣơng trình hình chiếu lên phƣơng x ta đƣợc P x   P  N , g N P P P x  P  ak 2 coskt    . g g Khi hạt bật lên khỏi sàng, sàng không tác dụng lực lên hạt nữa, nên N min  0 . Vật điều kiện để hạt bật lên khỏi sàng là N min  0 . Từ đó suy ra