Tài liệu Chuyển động liên kết của các hạt mang điện trong điện trường

Chuyển động liên kết của các hạt mang điện trong điện trường MỞ ĐẦU Trong chương trình vật lý lớp 11 chuyên và trong quá trình bồi dưỡng HSG quốc gia khi dạy và học về phần tĩnh điện, có các bài toán đặc trưng về chuyển động liên kết của hệ các hạt mang điện. Các bài toán về chuyển động liên kết của các hạt mang điện chứa rất nhiều nội dung : vừa rèn luyện kiến thức về lực tĩnh điện, thế năng tĩnh điện; kết hợp với các kiến thức cơ học bảo toàn động lượng, bảo toàn năng lượng, khối tâm, rèn luyện phương pháp tính gần đúng để giải những bài toán dao động của điện tích, hệ điện tích, lưỡng cực. Đồng thời đó cũng là những kiến thức cơ bản trong nội dung thi chọn HSG quốc gia và chọn HSG vào đội tuyển Olimpic Vật lí Quốc tế. Với những lí do đó, tôi chọn chuyên đề “CHUYỂN ĐỘNG LIÊN KẾT CỦA CÁC HẠT MANG ĐIỆN” để giảng dạy khi học sinh bắt đầu bước vào chương trình tĩnh điện lớp 11 và trong quá trình bồi dưỡng HSG quốc gia. Nội dung của đề tài gồm : Phần I. Tóm tắt lí thuyết 1. Lí thuyết phần tĩnh điện. 2. Một số công thức khai triển toán học 3. Phương pháp giải phương trình vi phân 4. Các phép toán về tích véc tơ. Phần II. Hệ thống các dạng bài tập về chuyển động của hạt mang điện trong trường tĩnh điện 1. Bài tập về hệ hai điện tích điểm 2. Bài tập về hệ nhiều điện tích điểm 3. Bài tập về chuyển động của hệ điện tích trong điện trường gây bởi vật tích điện có kích thước 4. Các bài tập sử dụng phương pháp ảnh điện 5. Chuyển động của vật tích điện có kích thước 6. Dao động của điện tích, hệ điện tích 7. Dao động của lưỡng cực điện Lưu Văn Xuân – THPT chuyên Bắc Giang 1 Chuyển động liên kết của các hạt mang điện trong điện trường PHẦN I. TÓM TẮT LÍ THUYẾT A. LÍ THUYẾT PHẦN TĨNH ĐIỆN I. Nguyên lí chồng chất điện trường Cường độ điện trường do nhiều điện tích điểm Q1, Q2 ... gây ra tại điểm A bằng tổng các r r vectơ cường độ điện trường E1 , E 2 ... do từng điện tích riêng biệt Q1, Q2... gây ra tại A : r r r E  E1  E 2  ...  r �Ei i ur u r ur Chú ý : Lực tác dụng lên điện tích q đặt trong điện trường E là F = q E . II. Cường độ điện trường của vật mang điện ur E � to� n b�v� t r 1 dq r . . 4 0 r 2 r * Định lí Ô-xtrô-grát-xki- Gao-xơ cho môi trường điện môi  � E.Scos  to� n b� m� t k� n 1 �q i 0 i III. Thế năng của điện tích điểm trong điện trường 1. Thế năng của q trong điện trường gây ra bởi điện tích điểm Q : W = qQ C 4 0r 2. Điện thế của điện trường gây ra bởi hệ điện tích điểm Q1, Q2 ...tại một điểm A trong điện trường bằng : V= Q1 Q2 + +... 4 0 r1 4 0 r2 Trong đó r1, r2, ...là khoảng cách từ điểm A đến Q1, Q2 ... + Những điểm trong điện trường có cùng điện thế đều nằm trên mặt đẳng thế. Phương trình của mặt đẳng thế : V(r) = V(x, y, z) = C Mặt đẳng thế có các tính chất sau đây : - Công của lực điện trường khi dịch chuyển một điện tích q trên mặt đẳng thế là bằng không. Lưu Văn Xuân – THPT chuyên Bắc Giang 2 Chuyển động liên kết của các hạt mang điện trong điện trường ur - Tại mọi điểm của điện trường, vectơ cường độ điện trường E vuông góc với mặt đẳng ur r ur thế đi qua điểm đó (Vì A = 0  E . l = 0  E  mặt đẳng thế). + Chọn trục s là trục Ox chẳng hạn ta có : Ex =  V x 3. Hệ gồm n điện tích q1, q2... qn, thế năng (điện) của hệ là : W= q1q 2 qiq k  ...   ... 4 0r12 4 0rik hay : W= 1 1 n  q1V1  q 2V2  ...  q n Vn   �q i Vi 2 2 i 1 trong đó : Vi = q1 q2   ... 4 0r1i 4 0r2i là điện thế tại điểm đặt điện tích qi do các điện tích khác của hệ tạo ra. 4. Trong trường hợp vật tích điện, ta chia vật thành các phần tử nhỏ mang điện tích q (xem như điện tích điểm) và tính thế năng của vật theo công thức: W  1 �V.q 2 Với V là điện thế tại điểm đặt q do các điện tích còn lại của vật tạo ra. - Nếu vật tích điện là một vật dẫn, thì mọi điểm của vật có cùng điện thế V (V là điện thế vật dẫn) do đó thế năng (năng lượng tĩnh điện) của vật là : W= 1 1 V �q  qV 2 2 5. Đối với hệ gồm n vật dẫn tích điện ở trạng thái cân bằng tĩnh điện, điện tích và điện thế của chúng lần lượt bằng q1, q2...qn và V1, V2...Vn, thì thế năng của hệ là : W= 1  q1V1  q 2V2  ...  q nVn  2 IV. Lưỡng cực điện u r r r P e  ql trong đó l là vectơ hướng từ - q đến +q và có độ dài bằng khoảng cách l từ –q đến +q 1. Lực tác dụng lên lưỡng cực điện đặt trong điện trường M = -peEsinα u r Lực tổng hợp F tác dụng lên lưỡng cực có độ lớn là : Lưu Văn Xuân – THPT chuyên Bắc Giang 3 Chuyển động liên kết của các hạt mang điện trong điện trường r r E E  pe và hướng về phía điện trường mạnh. x x r ur 2. Thế năng của lưỡng cực điện trong điện trường : Wt = -peEcos =  p e . E F = F1  F2  F1  F2  ql B. MỘT SỐ CÁCH KHAI TRIỂN TRONG TOÁN HỌC 1. Định nghĩa và đạo hàm chuỗi mũ Định nghĩa: ex = 1 + x + x2 xn +...+ +... 2! n! (1) x phải không có thứ nguyên.; e x = 1 + αx +  αx  2 +...+ 2!  αx  n +... n! trong đó  phải có thứ nguyên x-1 . Từ đây suy ra rằng: 2 3 � � αx  αx  d x 2α 2 3α3 2   e =α+ x+ x ...= α � 1 + αx + + +...�= αex dx 2! 3! 2! 3! � � � �   Và tiếp theo : d 2 x e = α 2 ex 2 dx   Bằng cách lấy loga có dễ dàng suy ra rằng exey = ex+y vì : loge(exey) = logeex + logeey = x + y 2. Khai triển hàm lượng giác, công thức Ơle (Euler) x3 x5 x 7 x2 x4 x6 sinx = x + ...; cosx = 1 + +... 3! 5! 7! 2! 4! 6! Ta viết chuỗi mũ ix và chú ý rằng i = -1, i 2 = - 1, i3 = - i,... ix e = 1 + ix +  i x 2 +  ix  4 +...= 1 + ix - x 2 ix 3 x4 + +... 2! 3! 4! 3! 4! 3 � x � ix x x x5 =1+ -...+ i �x + -... � ; e = cosx + isinx 2! 4! 3! 5! � � 2 2! +  ix  3 4 Đó là công thức Euler. 3. Biểu diễn sinx và cosx theo hàm mũ phức Từ công thức Euler suy ra rằng: e-ix = cosx – isinx Lưu Văn Xuân – THPT chuyên Bắc Giang (10) 4 Chuyển động liên kết của các hạt mang điện trong điện trường    1 ix 1 ix -ix e + e-ix ; sinx = e -e 2 2i cosx = 4.Khai triển Ln: ln(1  x) �x   x 2 x3 x 4 x    .....  (1) n 1 n 2 3 4 n 5. Khai triển (1  x) : (1  x) �1  x  (  1)x 2 (  1)...(  n  1)x n  ......  2! n! C. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG TOÁN HỌC 1. Định nghĩa Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số là hằng số y” + py’ + qy = f(x) (1) y là hàm của x, y’ và y” là đạo hàm cấp một và cấp hai của y theo x; p và q là hai hằng số thực. Phương trình trên là phương trình có vế phải. Phương trình: y” + py’ + qy = 0 (2) là phương trình không có vế phải hoặc phương trình thuần nhất tương ứng với (2.1). Phương trình đặc trưng của (1) và (2) r2 + pr + q = 0 (3) đó là một phương trình đại số bậc hai, có hai nghiệm thực phân biệt r 1 và r2 nếu biệt thức  = p2 – rq > 0. Khi  = p2 – 4q = 0 thì r1 = r2 là một nghiệm kép. Khi  < 0 thì không có nghiệm thực, nếu xét nghiệm ảo thì r = - p 1 pΔ -Δ . ± = α ± iβ với α = - , β = 2 2 2 2 2. Nghiệm của phương trình thuần nhất (2.2) khi  > 0 Định lí: Nếu y1 và y2 là hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính của (2) thì: y = C1y1 +C2y2 là nghiệm tổng quát của (2). C1 và C2 là hai hằng số tuỳ ý. Tìm nghiệm riêng: Nếu  > 0 thì phương trình đặc trưng (3) có 2 nghiệm thức riêng biệt là r1 và r2. Có thể thử lại rằng: y1 = e r1x và y 2 = e r2x Là nghiệm riêng độc lập tuyến tính của phương trình thuần nhất (2) y' = r e r1x , y" = r 2e r1x Thật vậy: 1 1 Thay vào (2) ta có: Lưu Văn Xuân – THPT chuyên Bắc Giang 5 Chuyển động liên kết của các hạt mang điện trong điện trường   r12er1x + pr1er1x + qer1x = 0; hay er1x r12 + pr1 + q = 0 Vì r1 là nghiệm của phương trình đặc trưng (3) nên lượng trong dấu ngoặc ( ) ở trên bằng không: Phương trình (2) được nghiệm đúng. Nghiệm tổng quát của (2) sẽ là: y = C1er1x + C 2e r2x (4) Trong đó C1 và C2 là hai hằng số bất kì, r1 và r2 là thực. 3. Nghiệm của phương trình thuần nhất (2.2) khi  < 0 Tìm nghiệm riêng. Khi  < 0 phương trình đặc trưng : r 2 + pr + q = 0 Có hai nghiệm phức: r1 = - (3) pΔ p Δ + = α + iβ; r2 = - = α - iβ 2 2 2 2 Có thể thử lại rằng: y1 = e  i  x = ex  cosβx + isinβx  ; y2 = e   i  x = ex  cosβx - isinβx  Là hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính của phương trình vi phân (2). Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân (2) có dạng: y = C1y1 + C2y2 còn có thể viết dưới dạng khác. Thật vậy: y = y1 + y 2 = eαx � C1 (cosβx + isinβx) + C2  cosβx - isinβx  � = � � = eαx �  C1 + C2  cosβx + i  C1 - C2  sinβx � � � Đặt D1 = C1 + C2 và D2 = i(C1 – C2) ta sẽ có: y = eαx  D1cosβx + D 2sinβx  (5) Trong đó D1 và D2 là hai hằng số bất kì,  và  là hai số thực. 4. Trường hợp riêng : phương trình y” +  2y = 0 Phương trình đặc trưng r2 + 2 = 0 có hai nghiệm ảo r1 = i, r2 = -i( = 0,  = ). Theo công thức (5) thì nghiệm tổng quát có dạng: y = D1cosx + D2sinx (6) với D1 và D2 là hai hằng số bất kì,  là thực. Khi giải phương trình vi phân y” + 2y = 0 có thể chọn ngay hai nghiệm riêng y1 = cosx, y2 = sinx; chọn như thế ta có thể đi đến biểu thức (6) của nghiệm tổng quát. Việc chọn y1 = cosx là nghiệm riêng có thể thử lại một cách dễ dàng. Thật vật y’ 1 = -sinx, y”1 = -2sinx. Thay y”1 và y1 vào phương trình y” + 2y = 0 ta thấy ngay rằng phương trình này được nghiệm đúng. Lưu Văn Xuân – THPT chuyên Bắc Giang 6 Chuyển động liên kết của các hạt mang điện trong điện trường 5. Nghiệm của phương trình thuần nhất (2) khi  = 0 Khi đó thì phương trình đặc trưng r2 + pr + q = 0 có một nghiệm kép : r1  r2   p 2 Hàm y1  er1x là một nghiệm riêng của phương trình vi phân thuần nhất (2). Trong trường hợp  = p2 – 4q = 0 ta có thể thử lại rằng nghiệm riếng thứ hai của phương trình vi phân thuần nhất (2) là: y 2  xer1x Thực vậy: y'2 = er1x + r1xer1x ; y"2 = r12 xer1x + 2r1e r1x Thay vào phương trình (2) y” + py’ + qy = 0 ta thấy vế đầu có dạng:  r xer x + 2r er x  + p  er x + r xer x  + qxer x = xer x  r + pr + q  + er x  2r +p  2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 Vì r1 là nghiệm của phương trình đặc trưng nên: r12 + pr1 + q = 0 Vì nghiệm r1 = - p nên: 2r1 + p = 0 2 Từ đó ta thấy rằng vế đầu viết ở trên bằng không, nghĩa là phương trình (2) được nghiệm đúng. y 2  c.e r1x chính là nghiệm riêng độc lập tuyến tính với y1. Nghiệm tổng quát của (2) là: y = C1y1 + C2y2 = (C1 + C2x) e r1x (7) Trong đó C1 và C2 là hai hằng số bất kỳ, r 1 là nghiệm kép thực của phương trình đặc trưng. 6. Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính có vế phải: y” + py’ + qy = f(x) (8) Phương trình không vế phải (thuần nhất ) tương ứng là: y” + py’ + qy = 0 (9) Trong lí thuyết phương trình vi phân, người ta đã chứng minh rằng: Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính có vế phải (8) thì bằng tổng của nghiệm tổng quát của phương trình không vế phải tương ứng (9) và một nghiệm riêng bất kì của (8). y = y1(x) + y2(x) Nghiệm tổng quát y1(x) của (9) đã tìm được trong các mục trên. Một nghiệm riêng y 2(x) của (8) có thể tìm được trong trường hợp vế phải có dạng đặc biệt. Lưu Văn Xuân – THPT chuyên Bắc Giang 7 Chuyển động liên kết của các hạt mang điện trong điện trường C. TÍCH VÉC TƠ TRONG TOÁN HỌC ur 1. Một véc tơ A có thể được xác định bằng một trong hai cách sau đây: - Bằng độ dài A và hướng (xác định bởi góc  hợp với trục Oz và góc  mà mặt phẳng ur chứa A và Oz hợp với trục Ox)  còn gọi là góc phương vị và  gọi là góc kinh độ, xem hình P.3. - Bằng 3 toạ độ Ax, Ay, Az tức là ba hình chiếu lần lượt lên các trục Ox, Oy, Oz. r r uu r 2. Nếu gọi i, j, k lần lượt là vec tơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz thì ta có: ur r r r A = Ax i + A y j + Az k ur ur ur ur 3. Tích vô hướng của hai véc tơ A và B : A.B = ABcosα ur ur  là góc giữa hai vec tơ A và B . Nếu viết biểu thức của tích vô hướng theo hình chiếu thì: ur ur A.B  A x B x  A y B y  A z Bz ur ur ur ur ur ur A.B  A B cos ;  =( A , B ) ur ur ur ur r 4. Tích véc tơ (hoặc tích hữu hướng) của hai véc tơ A và B : A �B  ABsin .n r ur ur n là véctơ đơn vị trên trục vuông góc với mặt phẳng chứa A và B trục hướng theo chiều ur ur chuyển động tịnh tiến của một đinh vít thuận khi nó quay theo chiều từ A tới B . Nếu viết biểu thức của tích vô hướng theo hình chiếu thì: r r i j ur ur A �B  A x A y Bx By r k Az r r r   A y B z  A z B y  i   A z B x  A x Bz  j   A x B y  A y B x  k Bz ur ur ur ur d urur dA ur dB ur d ur ur ur dB dA ur + Đạo hàm: (AB)  B A ; (A �B)  A �  �B dt dt dt dt dt dt ur �r �ur �r ur � Toán tử nabna � được định nghĩa như sau:  i  J  k � x � y � z Toán tử nabla tác dụng lên một hàm vô hướng f(x, y, z) gọi là gradf ur � fr � fr � fr gradf (x, y,z)  �.f  i  j  k (véc tơ) � x � y � z Lưu Văn Xuân – THPT chuyên Bắc Giang 8 Chuyển động liên kết của các hạt mang điện trong điện trường PHẦN II. HỆ THỐNG CÁC DẠNG BÀI TẬP CHUYỂN ĐỘNG CỦA HẠT MANG ĐIỆN TRONG TRƯỜNG TĨNH ĐIỆN I. BÀI TẬP HỆ HAI ĐIỆN TÍCH ĐIỂM Bài tập 1. Hai quả cầu kim loại, bán kính r được nối với nhau bằng một sợi dây thép mảnh, dài l . Các quả cầu được đặt cách một điện tích điểm Q một đoạn R như hình vẽ (Với R  l  r ). Hỏi điện tích Q tác dụng lên hệ hai quả x q 0 q cầu một lực bằng bao nhiêu? Điện tích toàn phần của hệ 2 quả cầu bằng 0. Q Giải Điện trường của Q gây ra các điện tích phân cực trên các quả cầu. Quả 1 có điện tích q, quả 2 có điện tích  q . V = 1 kQ l R+ 2 + kq kq r l . Vì R >> l >> r V 1 kQ � l � kq 1. � �+ R � 2R � r Q lr Hai quả cầu là đẳng thế: V1 = V2 � q = × 2 2 R -2 kQq � l � kQq � l � F = � 1+ �↔ F Q, q 2 2 � � 1- � 2R � � R Q, q R 2 � l� � R� � R+ � � 2 � � kQq - 2kQql - kQq � l � 1 + �� F=FQ, q + FQ, -q = Tương tự : FQ, -q = . � R3 R2 � R � Vậy lực Q tác dụng lên hệ là lực hút có độ lớn F = kQ 2l 2r R5 Bài tập 2. Hai quả cầu có cùng khối lượng m, điện tích q nối với nhau bằng sợi dây dài l. Hệ số ma sát giữa quả cầu và sàn là μ. Đốt cháy dây nối giữa hai quả cầu. Tính vận tốc cực đại của quả cầu phụ thuộc vào điện tích q. Giải - Xét khi 2 điện tích cách nhau một khoảng x. + ĐL BT NL : kq 2 mv2 kq 2 + .2 +μmg x - l  = x 2 l Lưu Văn Xuân – THPT chuyên Bắc Giang m, q m, q x 9 Chuyển động liên kết của các hạt mang điện trong điện trường � mv 2 = kq 2 +μmgl l + v đạt max  x  �kq 2 � + μmgx �x � � � � � kq 2 � kq 2 vμg  2  max μ mg ml l kq 2gμ m  kq 2  μgl ml Bài tập 3. Hai quả cầu nhỏ có điện tích và khối lượng lần lượt là q 1, m1 ,q2, m2. Ban đầu chúng có vận tốc giống nhau về độ lớn và hướng. Chúng bắt đầu chuyển động vào trong một điện trường đều, sau một khoảng thời gian người ta thấy hướng chuyển động của quả cầu 1 quay đi một góc 600 và độ lớn vận tốc giảm đi hai lần, còn hướng chuyển động của quả cầu 2 thì quay đi 900. 1) Vận tốc của quả cầu 2 thay đổi như thế nào? 2) Xác định các tỷ số K 2 = q2 q1 K = theo 1 m2 m1 Giải uur 1) Gọi V0` là vận tốc ban đầu của quả cầu 1 và 2. uur uuu r uu r   uuu r uuur uu r V là vận tốc của quả cầu 2 khi  V2 , V2  = 90 0 Theo đề ra V1 là vận tốc của quả cầu 1 khi V1, V2 = 600 2 Với V1  V0 2 - Xét quả cầu 1: V - 0 cos60 0 + V0 q1E x 2 + Gia tốc theo phương Ox là: a = = 1x m1 t V0 sin60 0 q .E y + Gia tốc theo phương Oy là: a = 1 = 2 1y m1 t (1) (2) - Xét quả cầu 2: q2 .E x - (- V0 ) = + Gia tốc theo phương Ox là: a 2x = (3) m2 t Lưu Văn Xuân – THPT chuyên Bắc Giang 10 Chuyển động liên kết của các hạt mang điện trong điện trường q 2 .E y V -0 = 2 + Gia tốc theo phương Oy là: a 2y = m2 t (4) V0 V cos60 0 V V 0 Ex 2 = = 0 .Suy ra V = 0 . - Lấy (1) chia (2) và (3) chia (4) ta được: 2 V0 Ey V2 3 sin600 2 Vậy vận tốc quả cầu 2 giảm 3 lần. V V0 - 0 cos60 0 3 K 3 2 2) Lấy (1) chia (3), ta có : 1 = = . Vậy K 2 = 4 K1 K2 V0 4  Bài tập 4. Hai viên bi với điện tích q 1 và q2 có các vận tốc ban v đầu giống nhau về độ lớn và hướng. Sau khi tạo ra một điện trường đều trong một khoảng thời gian nào đó, thì hướng của viên bi thứ nhất quay đi một góc 60 0, nhưng độ lớn giảm đi 2 lần, hướng vận tốc của viên bi thứ hai quay đi 900. Hỏi vận tốc viên bi thứ hai thay đổi bao nhiêu lần ? Hãy xác định giá trị tuyệt đối của thương số giữa điện tích và khối lượng đối với viên bi thứ hai, nếu thương số đó là k 1 đối với viên bi thứ nhất. Bỏ qua lực tương tác tĩnh điện giữa hai viên bi. Giải Do điện trường là đều, nên lực tác dụng lên mỗi điện tích có độ lớn và hướng không đổi trong suốt thời gian tồn tại điện trường. Trong khoảng thời gian đó các viên bi nhận v r được các xung lượng của lực tương ứng bằng F1t và F2 t . Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho mỗi viên bi : r r r r F t = Eq t = m v - m v (1) 1 1 11 1 r r r r F t = Eq t = m v - m v (2) 2 2 2 2 2 Lưu Văn Xuân – THPT chuyên Bắc Giang 11 Chuyển động liên kết của các hạt mang điện trong điện trường r r đồng thời Eq 2 t // Eq1t , nghĩa là các xung lượng đó hợp với hướng của động lượng ban 600   3 Eq t = m 2 v = 2m 2 v 0 * Từ (1) và (2) suy ra : Eq1t = m1vsin60 = m1v , 2 3 2 cos300 2 q1 m1 � 3 � = � �  q2/m2 = q1/m1 . 4/3 = 4k1/3 q m �2� 2 2 Bµi tËp 5. Trong hệ quy chiếu phòng thí nghiệm. Xét hai loại hạt M 1 và M2 khối lượng m1 và m2 có điện tích q1 và q2 cùng dấu. Ở thời điểm ban đầu hai hạt được buông ra không vận tốc đầu ở khoảng cách r 0 giữa chúng. Bỏ qua trường trọng lực. Tính vận tốc giới hạn v1 và v2 của chúng. a) Bằng cách tích phân của năng lượng. b) Bằng cách khảo sát chuyển động của hạt rút gọn M trong hệ quy chiếu khối tâm. Giải uu r uur � v1 v a) Bảo toàn động lượng : m1 + m2 2 = 0 (1) m v2 m v2 kq q kq q 1 1 + 2 1 + 1 2 = 1 2 - Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng : 2 2 r r 0 Từ (1) và (2) : � v1 = - - Khi r = ∞ : v1 = - 2km q q �1 1 � 2 1 2 � - �; v = m (m + m ) �r r� 2 1 1 2 �0 � 2km 1 2 ; v2 = m (m + m ) r 1 1 2 0 Lưu Văn Xuân – THPT chuyên Bắc Giang (2) 2km q q �1 1 � 11 2 � - � m (m + m ) �r r� 2 1 2 �0 � 2km 1 1 m (m + m ) r 2 1 2 0 12 Chuyển động liên kết của các hạt mang điện trong điện trường b) Hệ quy chiếu gắn với khối tâm : kq q μ 2 kq1q 2 1 2 v + = - Bảo toàn cơ năng cho hạt M rút gọn : 2 r r 0 �v= � v 2k �v =1  r0 2k �1 1 � � - � r = ∞ μ �r r� �0 � 2km 1 2 ; v2 = m (m + m ) r 1 1 2 0 2km 1 1 m (m + m ) r 2 1 2 0 Bài tập 6. Ở cách xa các vật thể khác trong không gian, có hai quả cầu nhỏ tích điện. Điện tích và khối lượng của các quả cầu lần lượt là q 1 = q2 , m1 = 1g; q1= q2, m2 = 2g. Ban đầu, khoảng cách hai quả cầu là a = 1m, vận tốc quả cầu m 2 là 1m/s, hướng dọc theo đường nối hai quả cầu và đi ra xa m 1 và vận tốc quả cầu m1 là 1m/s, nhưng hướng vuông góc với đường nối hai quả cầu. Hỏi với giá trị điện tích q bằng bao nhiêu thì trong chuyển động tiếp theo, các quả cầu có hai lần cách nhau một khoảng bằng 3m ? Chỉ xét tương tác điện của hai quả cầu. Giải + Vận tốc khối tâm của hệ hai hạt: 2 � Vcx  v0 r r r r � r � 2mv 02  mv01 2v02  v01 3 V0  = = const → � 3m 3 �V  1 v � cy 3 0 Do không có ngoại lực, khối tâm chuyển động thẳng đều. 2/3V0 m C - Xét trong hệ quy chiếu khối tâm (C). Vận tốc của mỗi hạt gồm 2 thành phần : + Thành phần theo phương nối 2 hạt (dưới đây V0/ 3 2m V0/ 3 y 2/3V0 Trạng thái ban đầu x gọi là thành phần song song) +Thành phần vuông góc với đường thẳng nối 2 hạt (dưới đây gọi là thành phần vuông góc). Tại thời điểm ban đầu vật tốc trong hệ quy chiếu C của các hạt là : Lưu Văn Xuân – THPT chuyên Bắc Giang 13 Chuyển động liên kết của các hạt mang điện trong điện trường 2 � Vmx = v0 � r � 3 vm � , 2 � V =- v � my 3 0 v � V2mx = - 0 � r � 3 v 2m � v0 � V = � � 2my 3 - Để thỏa mãn điều kiện hai hạt 2 lần qua vị trí cách nhau 3m thì khoảng cách cực đại giữa hai hạt lmax  3m. Khi đạt khoảng cách lmax thì thành phần vận tốc theo phương song song triệt tiêu, chỉ còn thành phần vuông góc. - Do động lượng của hệ trong hệ quy chiếu C bằng 0 nên vm = 2v và v2m = v. Theo định luật bảo toàn mômen động lượng quanh C của hạt 2m, ta có : �v0 ��a � v0.a . �= v.rmax = � �3 � �� � ��3 � 9 l Mặt khác : rmax = max 3 ( 1) (2) C 2rmax m 2V V rma 2m lmax x Trạng thái đạt () v .a Từ (1) và (2) suy ra : v = 0 . Vì lmax  3a � v  3lmax v0 a v hay v  0 (3) . 9 3 3a Theo định luật bảo toàn năng lượng: 1 1 1 �1 � m(v 2 + v2 ) + 2m(v 2 + v2 ) - � m(2v)2 + 2mv 2 � mx my 2mx 2my �2 2 2 2 � q 2 �1 1 � q 2 �1 1 � v02 4 2 2 = = � �� m. v + 2m � � - 3mv 4πε �a lmax � 0 4πε �a lmax � 9 9 0 0 Theo giả thiết lmax  3a � 2 q 2 �1 1 � 2 2 2 2 2 q  � mv0  3mv 2  mv 3mv � � 4 0 �a 3a � 3 0 6πε a 3 0 Từ (3) � q  v 0 34πε0 ma 9 = 0,32C (4) Lưu Văn Xuân – THPT chuyên Bắc Giang 14 Chuyển động liên kết của các hạt mang điện trong điện trường - Mặt khác, cũng theo định luật bảo toàn năng lượng, ứng với trạng thái trong đó hai hạt cách nhau một khoảng l, ta có : 2 2 2 �v0 � �1 1 �2 � �= q �1 - 1 � 2 2 � � m � v � + 2m � � - � m(2v) + m2v � �3 � �2 2 �3 0 � � 4πε 0 �a l � � � Vì hai hạt không thể đi xa nhau quá lmax nên với l > lmax ta phải có : q 2 �1 1 � q 2 1 m + 2m �4πε �a - l ��4πε a � 9 9 0� 0 4v02 � q v v02 8 ma 0 = 0,27C (5) 0 3 Từ (4) và (5) � v 0 8πε ma 34πε ma 0 0 q v hay 0,27C  q  0,32C. 0 3 9 Bài tập 7. Hai quả cầu nhỏ, mỗi quả có khối lượng m và điện tích B A q được giữ tại hai điểm A và B cách nhau một khoảng r bên trông O một vỏ cầu cách điện có bán kính OA = OB = r và khối lượng 4m. Hãy xác định vận tốc cực đại của vỏ cầu sau khi thả tự do hai quả cầu. Bỏ qua tác dụng của trọng lực. Giải Dễ dàng thấy 2 quả cầu sẽ trượt xuống . Xét khi AOx = BOx = α, các vật m có vật tốc là uu r uur r v , v ; vật 4m có vật tốc là v . 1 2 - Do hệ vật là kín nên động lượng được bảo toàn : mv1  mv 2  4m.v  0 . - Chiếu phương trình này lên trục Ox và phương Ox ta được : mv1cosα = mv2.cosα (1) Lưu Văn Xuân – THPT chuyên Bắc Giang 15 Chuyển động liên kết của các hạt mang điện trong điện trường 4mv = mv1sinα + mv2sinα (2) x 2v → v1 = v2 = sin  A0 m1, q A r  v    Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng : v1 kq 2 kq 2 v12 v2   2.m  4m r 2r.sin  2 2 B0 O B m q 2,   v2 kq 2 � 1 � � 2 4v 2 � � 1 � � m �2v  2 � r � 2sin  � � sin  � � mv 2  2sin 2   4 sin 2  2 2 kq 2 2sin   1 � v 2  kq  2sin   sin    . 4m  sin 2   2  r 2sin  Vận tốc vỏ cầu lớn nhất � y    2sin 2   sin  đạt giá trị lớn nhất . sin 2   2 2 � y    0  (sin α +8sin α-2)cos α =0 cos   0 � � sin   4  18 (loại vì khi đó α < 300)  � � sin   4  18 �  cosα = 0  α = π/2 Vậy vận tốc lớn nhất của vỏ cầu lúc đó là : v  kq 2 1 1 kq 2 kq 2 hay v  .  . 4m 3 2 3m 12m Bài tập 8. Hai quả cầu nhỏ tích điện 1 và 2, có khối lượng và điện tích tương ứng là m 1 = m; q1 = +q; m2 = 4m; q2 = +2q được đặt cách nhau một đoạn a trên mặt phẳng nhẫn nằm ngang. Ban đầu giữ hai quả cầu đứng yên. Đẩy quả cấu 1 chuyển động hướng thẳng vào quả cầu 2 với vận tốc v0, đồng thời buông quả cầu 2: a) Tính khoảng cách cực tiểu rmin giữa hai quả cầu. b) Xét trường hợp a = � tính rmin. c) Tính vận tốc u1, u2 của hai quả cầu ( theo vo, rmin) khi chúng lại ra xa nhau vô cùng. Xét trường hợp a = �. Giải Lưu Văn Xuân – THPT chuyên Bắc Giang 16 Chuyển động liên kết của các hạt mang điện trong điện trường a) Vì q1 và q2 cùng dấu nên quả cầu 1 đẩy quả cầu 2 chuyển động cùng chiều. Khi khoảng r cách giữa hai quả cầu đạt giá trị cực tiểu thì chúng có cùng vận tốc u ( u cùng chiều với uu r v0 ) (hình vẽ) m1 uu r v0 +q1 m2 +q2 m1 m2 � u +q1 rmin +q2 - Áp dụng định luật bảo toàn động lượng ta có: Mv0 = (4m + m)u � u = v 0 5 - Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng (năng lượng của hệ gồm động năng và thế năng tương tác (điện) 2 � 2 2� 2 mv2 0 + k 2q = �mu + 4mu �+ k 2q �2 2 a 2 � � � rmin Từ (1), (2) suy ra: r = min (2) a mv 2a 0 1+ 5kq 5kq 2 r = b) Xét trường hợp a = � hoặc đầu hai quả cầu ở rất xa nhau. Từ (2) ta có : min mv 2 0 c) Khi hai quả cầu lại ra xa nhau vô cùng, áp dụng định luật bảo toàn động lượng ta có: mv2 = mu1 + 4mu2 � u1= v0 - 4u2 (5) - Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng ta có: 2 2 2 mv 2 mu mu 2q 0 +k 1 +4 2 = 2 a 2 2 (6) Thay vào (5) và (6) ta suy ra phương trình cho u2: kq 2 2 5mu - 2mv u =0 2 0 2 a � 5k 5mkq 2 ' 2 2 2 2 Δ=m v + =m q � 0 �mr a � min Lưu Văn Xuân – THPT chuyên Bắc Giang � � � � (7) 17 Chuyển động liên kết của các hạt mang điện trong điện trường v 5k 0 ± q Từ đó tìm được nghiệm của (7) : u 2 = (8) 5 5 mr min uur uur vì u 2 phải cùng chiều với v0 , nghĩa là u2 phải cùng dấu với v0 nên phải lấy dấu "+" v q 5k u = 0 + 2 5 5 mr min (9) v 5k 0 + 4q u = Thay vào (8) và (5) ta được 1 5 5 mr min uur ta thấy u1 trái dấu với v0 ( tức là ngược chiều với v0 ) vì quả cầu 1 bật trở lại trong trường hợp a  � thì ta có: u = 2 2v 0 và u = 1 5 3v 0 5 Bµi tËp 9. Hai ion M1 và M2 lần lượt có khối lượng m1, m2 có điện tích q1 và q2 trái dấu, được thả ra không vận tốc ban đầu ở khoảng cách r0 giữa hai ion. 1) Tìm thời điểm t0 các ion sẽ gặp nhau. 2) Tìm khoảng cách r1 mà ta phải thả các ion ra không vận tốc đầu để chúng gặp nhau ở thời điểm t1 = 8t0. Giải uu r uur - Áp dụng định luật II Niu-tơn : v G v M1 uur uu r r 1 2 u r dv f dv 2 2 =f � = 1 dt dt m 2 m1 ur uu r f , f là các lực hút tĩnh điện. 1 2 uur uu r uuur uu r mm � uu uu r �1 r1 dv dv dv f 1 1 2 21 2 �= f . với μ = � 2 - 1 =f � + 2 2 � � m +m � dtμ = dt dt m mμ 1 2 �1 2� M2 (*) - Phương trình (*) chứng tỏ thay vì khảo sát từng vật ta xem hệ như một hạt ảo M có khối lượng rút gọn μ = mm 1 2 và ta khảo sát chuyển động của hạt này. m +m 1 2 - Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng : Lưu Văn Xuân – THPT chuyên Bắc Giang 18 Chuyển động liên kết của các hạt mang điện trong điện trường v2 kq 2 kq 2 dr 21 1 = - 1 với v21 = E= μ ; - k q12 = A dt 2 r r 0 2 μ �dr � A A dr 2A �1 1 � � - � (vì dr < 0) � � �+ = � =� 2 �dt � r r dtμ r r� 0 �0 � 2A dr � =dtμr r 0 r 2 Đặt: r = cosα 0 �r0 �� - 1� � � � � � dr r 0 -1 r π 2 π 2 = ( 0 �θ � ) � r �2cosαdα 0 2 0 π 2 � �(1 + cos2θ)dθ = 0 =- 2A dt μr 0 t 2A 0 dt � μr 0 0 2k 1 4πε μ 3 0 r2 . t �t =π 0 μ 3 0 8q q 0 1 2 r2 0 2) Ta thấy bình phương thời gian đi hết quãng đường tỉ lệ với lập phương quãng đường đi 2 �t �2 r uuuuuuuu r 1 3 � � r = M M � r = r = r 8 = 4 r  được: Chú ý : Kí hiệu 0 1 2 là véctơ vị trí của M2 1 0 �t �3 0 �0 � 1 1 1 đối với M1 và μ là khối lượng rút gọn của hệ, xác định bởi : μ = m + m . 1 2 Ta có : μ r dr 2 uuu = f mà nghiệm r(t) của phương trình này xác định chuyển động tương đối 2 dt 2 của M2 đối với M1. Bµi tËp 10. Hai quả cầu kim loại, lúc đầu trung hoà về điện, mỗi quả cầu có bán kính r và khối lượng m, được nối với nhau bằng một dây dẫn nhẹ và mềm có chiều dài L. Sau đó các quả cầu được đặt trong điện trường đều E có phương song song với đường thẳng nối tâm của hai quả cầu. Các quả cầu đươc giữ đứng yên, cách nhau một khoảng l (r << l < L). Xác định tốc độ lớn nhất mỗi quả cầu đạt được sau khi được thả tự do. Bỏ qua tác dụng của trường trọng lực. Lưu Văn Xuân – THPT chuyên Bắc Giang 19 Chuyển động liên kết của các hạt mang điện trong điện trường Giải Chọn hệ toạ độ có gốc trùng với vị trí khối tâm của hai quả cầu. Vì các quả cầu có kích thước (bán kính r) rất nhỏ so với khoảng cách l giữa chúng, nên mỗi quả cầu có thể coi là các điện tích điểm. Vì hai quả cầu được nối với nhau bằng dây dẫn nên khi khoảng cách giữa các quả cầu thay đổi, các điện tích chạy từ quả cầu này sang quả cầu kia thông qua dây dẫn. Coi sự thay đổi vị trí của các quả cầu là rất chậm, khi đó dòng điện chạy qua dây dẫn sẽ rất nhỏ, coi như I 0 . Một cách gần đúng ta coi hệ là cân bằng điện tại mọi thời điểm. - Gọi q là điện tích đã di chuyển từ quả cầu này sang quả cầu kia, khi đó hiệu điện thế giữa hai quả cầu sinh ra do điện tích trên các quả cầu là : ΔV = 2kq , với k là hằng số r Coulomb. Hiệu điện thế này giữa hai quả cầu được sinh ra do sự dịch chuyển điện tích từ quả cầu này sang quả cầu kia do tác dụng của điện trường ngoài. Ta có : 2E.x = 2kq E.rx �q = r k - Xét lực tác dụng vào mỗi quả cầu: Lực hút tĩnh điện giữa hai quả cầu là kq 2 E 2r 2 F = = 1 2 4k  2x  Vì các quả cầu được đặt trong điện trường ngoài nên lực điện trường có xu hướng đẩy các E 2r.x quả cầu ra xa nhau : F = E.q = 2 k Như vậy, hợp lực của các lực tác dụng vào một quả cầu là : F = F - F = 2 1 E 2r.x E 2r 2 k 4k Theo định luật bảo toàn năng lượng, độ biến thiên động nặng của vật bằng công của ngoại lực tác dụng lên vật, ta có: L/2 1 E 2r(L - l) E r  L - l 2 mv = �F.dx =  L + l - r � v =  L + l - r 2 8k 2 mk l/2 * Biện luận : Lưu Văn Xuân – THPT chuyên Bắc Giang 20