Tài liệu Chuyển động liên kết của các hạt mang điện

Hội thảo các trường chuyên miền Duyên Hải Bắc Bộ 2012 CHUYỂN ĐỘNG LIÊN KẾT CỦA CÁC HẠT MANG ĐIỆN Lê Sơn Trường THPT chuyên Thái Bình I. MỞ ĐẦU: Trong chương trình vật lý lớp 11 chuyên khi dạy và học về phần tĩnh điện ban đầu, tôi thấy có bài toán về chuyển động liên kết của hệ các hạt mang điện. Các bài toán về chuyển động liên kết của các hạt mang điện chứa rất nhiều nội dung: vừa rèn luyện kiến thức vừa học về lực tĩnh điện, thế năng tĩnh điện; vừa ôn luyện lại các kiến thức của lớp 10 như bảo toàn động lượng, bảo toàn năng lượng, khối tâm, rèn luyện phương pháp tính gần đúng và bên cạnh đó còn hướng tới những bài toán dao động của chương trình lớp 12. Với những lí do đó, tôi chọn chuyên đề “CHUYỂN ĐỘNG LIÊN KẾT CỦA CÁC HẠT MANG ĐIỆN” để giảng dạy khi học sinh bắt đầu bước vào chương trình tĩnh điện lớp 11. II. NỘI DUNG: Bài 1. Ba quả cầu nhỏ có khối lượng m, M, m cùng điện tích Q nối với nhau bằng hai dây nhẹ không dãn và không dẫn điện , chiều dài l . Hệ thống được đặt trên mặt bàn nhẵn nằm r ngang. Quả cầu giữa khối lượng M được truyền vận tốc v 0 theo hướng vuông góc với dây. Bỏ qua mọi ma sát. a) Tìm khoảng cách nhỏ nhất giữa 2 quả cầu m trong quá trình chuyển động. b) Tính vận tốc của quả cầu M ở thời điểm cả 3 quả cầu lại thẳng hàng. v0 Giải : a) Khi 2 quả cầu m gần nhau nhất thì 3 quả cầu cùng vận tốc v Theo bảo toàn động lượng, ta có : Mv0 =(M+2m)v → v  v0 M (1) M  2m Vì khoảng cách giữa quả cầu M và các quả cầu m không đổi nên chỉ có thế năng tương tác của hệ gồm hai quả cầu m là thay đổi . 1 Hội thảo các trường chuyên miền Duyên Hải Bắc Bộ 2012 Theo định luật bảo toàn năng lượng : E1 = E2 1 Q2 Q2 1 Q2 Q2 Mv 02  2k k  (M  2m)v 2  2k k 2 l 2l 2 l x kQ 2 kQ2 Mv02 (M  2m)v 2    x 2l 2 2 (2) Thay v từ (1) vào (2) ta được x 1 Mmv 02 1  2 2l Q (M  2m) b) Khi cả 3 quả cầu lại thẳng hàng : Mv  Mu1  2mu 2 (3) � � 0 �1 1 1 Mv 02  Mu12  2 Mu 22 (4) � �2 2 2 u1  v;u 2  0 � � M � 1 →� 2 2m u1  v 0 ;u 2  v 0 � M M 1 1 � � 2m 2m Bài 2: Ba quả cầu cùng khối lượng m , điện tích cùng dấu , đều bằng q , được nối với nhau bằng ba sợi dây dài l , không giãn , không khối lượng , không dẫn điện . Hệ được đặt trên mặt phẳng ngang , nhãn . Người ta đốt một trong ba sợi dây đó a) Xác định vận tốc cực đại vmax của các quả cầu trong quá trình chuyển động . b) Mô tả chuyển động của các quả cầu sau khi đã đạt được vmax. Giải : Cách 1 : a) Khi một trong ba dây bị đứt , dưới tác dụng của các nội lực còn lại (lực đẩy tĩnh điện và lực căng dây ) cả ba viên bi đều chuyển động nhưng khối tâm của hệ vẫn đứng yên và động lượng của hệ vẫn bảo toàn : r r r r r r v1  v 2  v3  0 → v1  v3   v 2 2 Hội thảo các trường chuyên miền Duyên Hải Bắc Bộ 2012 Do tính chất đối xứng của hệ , nên quả cầu 2 chuyển động trên đường trung trực y ’y , và hai r r quả cầu 1 và 3 luôn luôn nằm ngang , các vận tốc v1 và v3 đối xứng qua y’y để “tam giác điện tích ‘’luôn có khối tâm tại G . Ở vị trí bất kì , thế năng tĩnh điện của hệ là : 1 Wt  (qv1  qv 2  qv3 ) 2 = 1 q q q q(2k  2k  2k ) 2 l x l � q 2 kq 2 � 2k  =� � x � � l Theo định luật bảo toàn năng lượng thì động năng cực đại của hệ ứng với thế năng cực tiểu của hệ . Wt(min)  x=2l: hệ ba quả cầu thẳng hàng . r r → v1  v 3 và vuông góc với đường nối 3 điện tích →v1m = v3m =1/3 . v2m Wđ = -Wt 1 kq 2 � kq 2 kq 2 � 2 2 2 m(v1m  v 2m  v 3m )  3 � 2  � 2 l 2l � � l 1 kq 2 2 m6v1m  2 2l → v1m = v3m= kq 2 kq 2 ; v2m = 2 6ml 6ml b) Sau khi đạt vận tốc cực đại chúng chuyển động chậm dần cho đến khi vận tốc bằng không thì khôi phục thế năng ban đầu và tam giác điện tích trở thành tam giác đều có hình dạng đối xứng với tam giác ban đầu . Sau đó hệ dao động tuần hoàn quanh khối tâm G . Cách 2 : ( Dùng định luật bảo toàn năng lượng ) Vì hệ không chịu tác dụng của ngoại lực nên năng lượng của hệ được bảo toàn . Dễ thấy rằng thế năng tĩnh điện giữa các quả cầu 1,3 và 2,3 không thay đổi nên có thể viết định luật bảo toàn năng lượng của hệ dưới dạng : 3 Hội thảo các trường chuyên miền Duyên Hải Bắc Bộ 2012 kq 2 kq 2 mv 2 mv 2  2 2  (1) l r 2 2 Áp dụng định luật bảo toàn động lượng với động lượng của hệ 3 quả cầu ( chưa đốt dây bằng 0). 0= 2mv – mv (2) Lấy (2): v → vmax  khoảng cách quả cầu 1 và 2 cực đại  r12 = 2l Giải hệ phương trình (1),(2),(3) → vmax = q 2 3ml Bài 3 . Tại ba đỉnh của một tứ diện đều cạnh a giữ ba quả cầu nhỏ giống nhau có khối lượng và điện tích tương ứng là M và Q . Tại đỉnh thứ tư giữ một quả cầu khác điện tích q , khối lượng m (m<>m nên coi gần đúng là khi m ra xa vô cùng thì các quả cầu M mới bắt đầu chuyển động . Gọi vận tốc của quả cầu m khi bay ra xa vô cùng là v0 . Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng ta có : kQq mv 02 =3 a 2 → v0 = 6kq 2 = a 12kq 2 ma Do tính đối xứng nên khi các quả cầu M chuyển động thì vận tốc của chúng có độ lớn luôn bằng nhau . Gọi v là vận tốc mỗi quả cầu M khi chúng rất xa nhau . Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng ta có : 3Mv 2 3kQ 2 = 2 a →v= 2kQ 2 = Ma 8kq 2 Ma 4 Hội thảo các trường chuyên miền Duyên Hải Bắc Bộ 2012 b) Gọi thành phần vận tốc của các quả cầu M theo phương trục Z là vz . . Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ (m+ 3M) , ta có : 3Mvz = mv =m → vz = m 3M 12kq 2 ma 12kq 2 ma v m Do vz < lmax ta phải có : q 2 �1 1 � q 2 1 4v02 v 02 m  2m � �  �� 9 9 4 0 �a l � 40 a q  v 0 80 ma =0,27C (5) 3 Từ (4) và (5)  v 0 80 ma  q  v 0 34 0 ma hay 0,27C  q  0,32C. 3 9 Bài 5. Hai quả cầu nhỏ , mỗi quả có khối lượng m và điện tích q được giữ tại hai điểm A và B cách nhau một khoảng r bên trông một vỏ cầu cách điện có bán kính OA=OB=r và khối lượng 4m . Hãy xác định vận tốc cực đại của vỏ cầu sau khi thả tự do hai quả cầu . Bỏ qua tác dụng của trọng lực . Giải : Dễ dàng thấy 2 quả cầu sẽ trượt xuống . Xét khi AOx=BOx=α, các vật m co vật tốc uu r uur r v v v 1 2 là ; vật 4m có vật tốc là . Do hệ vật là kín nên động lượng được bảo toàn : mv1  mv 2  4m.v  0 . Chiếu phương trình này lên trục Ox và phương Ox ta được : mv1. cosα=mv2.cosα (1) 4mv =mv1sinα+mv2sinα (2) → v1 =v2 = 2v sin  7 Hội thảo các trường chuyên miền Duyên Hải Bắc Bộ 2012 Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng : kq 2 kq 2 v12 v2   2.m  4m r 2r.sin  2 2 kq 2 � 1 � � 2 4v 2 � � 1 � � m �2v  2 � r � 2sin  � � sin  � � mv 2 �v  2  2sin 2   4 sin 2   kq 2 2sin   1 . r 2sin  kq 2  2sin 2   sin   4m  sin 2   2  Vận tốc vỏ cầu lớn nhất � y   2sin 2   sin   đạt giá trị lớn nhất . sin 2   2 � y    0  (sin2α +8sin α-2)cos α =0 cos   0 � � sin   4  18 (loại vì khi đó α<300)  � � sin   4  18 � cos α =0  α=π/2 Vậy vận tốc lớn nhất của vỏ cầu lúc đó là : v  kq 2 1 1 kq 2 kq 2 hay .  . v 4m 3 2 3m 12m Bài 6. Hai đầu một đòn cân nhẹ chiều dài 2L có gắn điện tích +Q và –Q với cùng khối lượng M . Đòn cân có thể quay không ma sát quanh trục thẳng đứng . Ỏ dưới đòn cân , trên đường thẳng nối +Q và –Q có một lưỡng cực điện nhỏ gồm hai điện tích +q và –q cánh nhau 2a ( với a << L)cố định . Ở thời điểm ban đầu đòn cân nằm ở vị trí cân bằng. Tính tần số dao động nhỏ của đòn cân trong mặt phẳng thẳng đứng . Giải : Xét khi đòn cân quay một góc α nhỏ . Điện thế do lưỡng cực gây ra tại A q 1 1 q r2  r1 2 (  ) ( ) VA = = với r2 –r1 = 2acosα2a(1  )=2a-α2 ; r1r2L2 4 0 r1 r2 40 r1r2 2 8 Hội thảo các trường chuyên miền Duyên Hải Bắc Bộ 2012 Suy ra VA= - V B= - qa (2   2 ) Tương tự ta có điện thế tại B do lưỡng cực điện gây ra ra là : 2 40 L qa (2   2 ) 2 4 0 L Thế năng tĩnh điện của hệ là: WP = - QVA + QVB = Qqa (2   2 ) 2 4 0 L Theo định luật bảo toàn năng lượng : Qqa 2M2 L2 2 (2   ) + WP + WK = const = const 2 0 L2 2 Lấy đạo hàm theo thời gian hệ thức trên ta có : Qqa d d   2ML2 0 2  0 L dt dt 2 "  2ML   Qqa 0  0 L2  " + 2α = 0 Vậy tần số dao động nhỏ của đòn cân là: f = 1  = 2L2 2 Qqa 2M 0 Bài 7. Ba quả cầu nhỏ có khối lượng m ,M ,m cùng điện tích q nối với nhau bằng hai dây nhẹ không dãn và không dẫn điện , chiều dài l. Chọn trục tọa độ có gốc O trùng với vị trí quả cầu M khi hệ cân bằng , trục Ox vuông góc với hai dây . Tìm chu kỳ dao động nhỏ của hệ theo phương Ox. Bỏ qua ảnh hưởng của trọng lực Giải : Khi M có li độ x1 thì hai vật m có li độ x2 . Khối tâm của hệ có tọa độ x0  Mx1  2mx 2 M '  0  x '2   x1 M  2m 2m 1 1 M� M � ' 2 ' 2 ' 2 1 (x1 ) Động năng của hệ : E k  M(x1 )  2 m(x 2 )  � � 2 2 2 � 2m � 9 Hội thảo các trường chuyên miền Duyên Hải Bắc Bộ 2012 Thế năng của hệ : E t  2k q 2 kq 2  l r 2 M � Với r/2 = l  (x1  x 2 )  l  x � l � � � 2m � 2 2 2 2 1 1/2 2 2 � �x1 �� M �� l  � �� l =l� �� � �l �� 2m �� 1/2 2 2 2 2 q 2 kq 2 � �x1 �� M �� 5kq 2 kq 2 �x1 �� M �  E t  2k   l  l   l  � � �� �� � �� � 2l 4l �l �� 2m � l 2l � �l �� 2m �� Do năng lượng của hệ được bảo toàn , ta có : 2 2 M � M � ' 2 5kq 2 kq 2 �x1 �� M � 1 (x1 ) +  l E = Ek =Et = � � � �� �= const 2 � 2m � 2l 4l �l �� 2m � Lấy đạo hàm hai vế phương trình trên ta dễ dàng nhận được phương trình vi phân mô tả dao động điều hòa với tần số góc : kq 2 � M � kq 2 (M  2m) 4Mml3 T=  3 � 1  2  � 2l M � 2m � 4Mml3 kq 2 (M  2m) Bài 8. Bốn hạt nhỏ A, B, C, D có cùng khối B lượng m và đều mang điện tích dương, được nối L với nhau bằng bốn sợi dây mảnh có cùng chiều dài L trong không khí. Các dây không giãn, khối A  C lượng của dây không đáng kể. Từng cặp hai hạt và C, B và D có điện tích bằng nhau. Biết điện tích của mỗi hạt A, C bằng q. Khi hệ cân bằng, A D bốn điện tích ở bốn đỉnh của hình thoi ABCD có góc ở các đỉnh A, C là 2 (hình vẽ). Bỏ qua tác dụng của lực hấp dẫn và lực cản của môi trường. a) Tính điện tích Q của mỗi hạt B, D. b) Kéo hai hạt A, C về hai phía ngược nhau theo phương AC sao cho mỗi hạt lệch khỏi vị trí cân bằng ban đầu một đoạn nhỏ rồi buông cho dao động. Tìm chu kì dao động. 10 Hội thảo các trường chuyên miền Duyên Hải Bắc Bộ 2012 c) Giả thiết khi các điện tích đang nằm yên ở vị trí cân bằng thì các dây đồng thời bị đốt đứt tức thời. Tìm tỉ số gia tốc của hạt A so với gia tốc của hạt B ngay sau khi đốt dây. Giải : a) Khi c©n b»ng, lùc c¨ng d©y lµ F : y B Q kqQ kq 2 (2F ) cos a = . (1) L2 (2L cos a ) 2 (2F - q A kqQ kQ2 ) sin a = . (2) L2 (2Lsin a )2 L  O D 2 �Q � � tga = 3 � � . Q  q tg3 � � � q) � � � q C x Q b) Khi c¸c ®iÖn tÝch A, C ë hai ®Çu ®êng chÐo nµy cã ®é dêi lµ x1 vµ - x1 vµ cã vËn tèc lµ v1  x1' ; v2  x2' V× d©y kh«ng gi·n vµ gãc  thay ®æi rÊt Ýt nªn: v1 cos    v 2 sin  v2 = - v1 cotg B¶o toµn n¨ng lîng: E =2 mv12 mv 22 1 kq 2kQ +2 + 2q( + )+ 2 2 2 2L cos a + 2x1 2L 1 kQ 2kq + 2Q( + ) = hs 2 2L sin a + 2x 2 2L BiÕn ®æi : kq kq kq x1 x2 = � (1+ 2 12 ) 2L cos a + 2x1 2L cos a (1 + x1 / L cos a ) 2L cos a L cos a L cos a kQ 2 kq x2 x 22 � (1+ ) 2L sin a + x 2 2L sin a L sin a L sin 2 a vµ x 2  L2  (L cos   x1 ) 2  L sin  x 2 � x1 cot g  x12 (1  cot g 2) 2L sin  11 Hội thảo các trường chuyên miền Duyên Hải Bắc Bộ 2012 2 x1 Do ®ã: E = mv12 (1 + cot g 2a ) + 2kqQ - ( kq 2 2 2L cos a L + kQ 2 x 2 )x + Ax12 = hs 2L2 sin 2 a Víi: A= kq 2 x12 kQ 2 x 22 kq 2 x12 + = (1 + cot g 2a ) . 2L3 cos3 a 2L3 sin 3 a 2L3 cos 3 a 2 ( 2 2 kq x1 kQ x kq x1 + 2 22 ) = 2 + 2 2 2L cos a 2L sin a 2L cos 2 a kq 2 tg3a (- x1 cot ga 2L2 sin 2 a (x12 - x 22 ) ) 2L sin a �- kq 2 x12 3kq 2 x12 2 2 2 (1 + cot g a ) E = mv (1 + cot g a ) + (1 + cot g 2 a ) = hs 1 4L2 cos3 a 4L3 cos3 a x "+ 3kq 2 x =0 4mL3 cos3 a Dao ®éng cã w = 3kq 2 ; 4mL3 cos3 a T= 2p 4mL3 cos3 a = w 3kq 2 c) Khi ®øt d©y ®ång thêi c¸c h¹t ra xa v« cïng, tõng ®«i cã vËn tèc v'1 vµ v'2 nh nhau. Gia tèc ngay sau khi ®øt d©y lµ a1 = kq 2 2kqQ + cos a ; 2 2 m4L cos a mL2 a2 = kQ 2 2kqQ + sin a 2 2 m4L sin a mL2 kQ 2 cosa 2kqQ a 2 cos a = + sin a cos a 2 2 m4L sin a mL2 kq 2 tg 3acosa 2kqQ = + sin a cos a m4L2 s in 2a mL2 = kq 2 sin a 2kqQ + sin a cos a = a1sin 2 2 m4L cos a mL2  12 a1  cot g a2