Chuyên đề:”Một số phương pháp tính tích phân trong chương trình toán THPT”
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO TỈNH VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN
--------------- -----------------
CHUYÊN ĐỀ
Một số phương pháp tính
tích phân trong chương trình toán THPT
HỌ VÀ TÊN: NGUYỄN THỊ XEN
Chức vụ: Giáo viên tổ Toán – Tin
Đơn vị : Trường THPT Liễn Sơn- Lập Thạch – Vĩnh Phúc
Đối tượng bồi dưỡng: Lớp 12
Số tiết bồi dưỡng: 12 tiết
NĂM HỌC 2013 - 2014
1
Giáo viên: Nguyễn Thị Xen
THPT Liễn Sơn - Lập Thạch - Vĩnh Phúc
Chuyên đề:”Một số phương pháp tính tích phân trong chương trình toán THPT”
Mục lục
Chữ cái viết tắt
Phần 1: Đặt vấn đề
1. Lí do viết chuyên đề
2. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu và giới hạn nghiên cứu
a. Đối tượng nghiên cứu
b. Phạm vi nghiên cứu
c. Ghới hạn nghiên cứu
3. Mục tiêu, nhiệm vụ
4. Cơ sở lý luận
5. Phương pháp nghiên cứu
Phần II: Nội dung
I. Nguyên hàm (tích phân bất định)
II. Tích phân (xác định)
1. Định nghĩa
2.Tính chất
3. Các phương pháp tính tích phân
3.1 Tính tích phân bằng định nghĩa và tính chất
Bài tập tự luyện 1
3.2 Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số
Bài tập tự luyện 2
3.3 Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
a. Định lý
b. Phương pháp tính tích phân từng phần
c. Một số dạng thường dùng phương pháp tích phân từng phần
3.4 Tính tích phân bằng máy tính CASIO f(x)570 - MS
Bài tập tự luyện 3
Bài tập tự luyện 4
Phần III: Kết luận và kiến nghị
1. Bài học kinh nghiệm
2. Kết quả đạt được sau khi triển khai
Lời kết
Trang
3
4
4
4
4
4
5
5
5
6
7
7
7
7
7
10
10
15
18
18
18
18
21
21
22
24
24
25
2
Giáo viên: Nguyễn Thị Xen
THPT Liễn Sơn - Lập Thạch - Vĩnh Phúc
Chuyên đề:”Một số phương pháp tính tích phân trong chương trình toán THPT”
Các chữ cái viết tắt
VD
Ví dụ
ĐH - CĐ
Đại học - Cao đẳng
ĐH
Đại học
CĐ
Cao đẳng
TN
Tốt nghiệp
TNTHPT
Tốt nghiệp trung học phổ thông
THPT
Trung học phổ thông
3
Giáo viên: Nguyễn Thị Xen
THPT Liễn Sơn - Lập Thạch - Vĩnh Phúc
Chuyên đề:”Một số phương pháp tính tích phân trong chương trình toán THPT”
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ.
1. Lý do viết chuyên đề
Ngày nay phép tính tích phân chiếm một vi trí hết sức quan trọng trong Toán
học, tích phân được ứng dụng rộng dãi như để tính diện tích hình phẳng, thể tích
khối tròn xoay, nó còn là đối tượng nghiên cứu của giải tích, là nền tảng cho lý
thuyết hàm, lý thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng...Ngoài ra
phép tính tích phân còn được ứng dụng rộng rãi trong Xác suất, Thống kê, Vật lý,
Cơ học, Thiên văn học, Y học...
Phép tính tích phân là một trong những kiến thức cơ bản, khó và quan trọng
trong chương trình toán phổ thông. Phép tính tích phân không thể thiếu trong các
đề thi đại học, cao đẳng và tốt nghiệp THPT. Học về phép tính tích phân giúp học
sinh phát triển nhiều khả năng như khả năng quan sát, phân tích, khả năng phát
hiện và giải quyết vấn đề đặc biệt là khả năng phát triển tư duy và lôgic.
Khi gặp bài toán tính tích phân học sinh chỉ quen với cách làm là tính những
tích phân có công thức sẵn trong bảng nguyên hàm cơ bản nhưng trong đề thi tuyển
sinh ĐH, CĐ, TN thì tích phân rất đa dạng thường không áp tính được ngay theo
bảng nguyên hàm có sẵn nên học sinh thường thấy lúng túng trong việc lựa chọn
cách giải phù hợp. Để giúp học sinh phần nào trong việc định hướng và lựa chọn
phương pháp giải phù hợp với các bài toán tính tích phân trong các đề thi tuyển
sinh ĐH, CĐ, TN tôi đã viết chuyên đề:
“Một số hương pháp tính tích phân trong chương trình toán THPT “
2. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu và giới hạn nghiên cứu.
a. Đối tượng nghiên cứu.
- Tích phân trong chương trình toán THPT.
b. Phạm vi nghiên cứu.
Chương trình toán THPT: Lớp 10, lớp 11, lớp 12.
c. Giới hạn nghiên cứu
Cấp trường
4
Giáo viên: Nguyễn Thị Xen
THPT Liễn Sơn - Lập Thạch - Vĩnh Phúc
Chuyên đề:”Một số phương pháp tính tích phân trong chương trình toán THPT”
3. Mục tiêu, nhiệm vụ
* Mục tiêu
- Sau khi đề tài được thực hiện, qua việc hướng dẫn phương pháp chung và giải
một số bài tập mẫu học sinh có thể vận dụng giải những bài tập trong sách giáo
khoa, sách bài tập và các bài toán tính tích phân trong các đề thi tuyển sinh, phần
nào giúp học sinh thuận tiện hơn trong quá trình học và quá trình ôn tập chuần bị
cho các kỳ thi.
* Nhiệm vụ.
- Phân loại các dạng bài tập
- Chỉ ra các phương pháp giải mỗi dạng bài tập đó.
- Đưa ra ví dụ minh hoạ có lời giải và một số bài tập để học sinh vận dụng.
4. Cơ sở lý luận
- Về lý luận: Dựa vào kiến thức về các phép biến đổi biểu thức hữu tỷ, vô tỷ, lũy
thừa, mũ,các công thức lượng giác (Đại số và giải tích lớp 10+11+12)
Phương pháp giải tính tích phân (Đại số và giải tích lớp 12).
Dựa và kiến thức phương pháp hàm số lớp 12.
- Về thực tiễn: Dựa vào yêu cầu của các đề thi vào các truờng Cao đẳng , Đại học
và thi TNTHPT.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu qua sách giáo khoa, sách giáo viên, cuốn chuẩn kiến thức kỹ năng,
sách nâng cao và các tài liệu tham khảo khác.
- Tổng kết kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy.
- Trao đổi cùng các đồng nghiệp.
- Điều tra khảo sát chất lượng học sinh.
5
Giáo viên: Nguyễn Thị Xen
THPT Liễn Sơn - Lập Thạch - Vĩnh Phúc
Chuyên đề:”Một số phương pháp tính tích phân trong chương trình toán THPT”
PHẦN II: NỘI DUNG
I. NGUYÊN HÀM (TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH).
BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN.
HÀM SƠ CẤP
HÀM HỢP
1.�
du u C
2.�
u du
u 1
C ( �-1)
1
du
3.� ln u C (u u (x) �0)
u
4.�
eu du eu C
au
5.�
a du
C (0 a �1)
ln a
u
6.�
cosudu sinu C
7.sin udu cos u C
du
8. 2 tan u C (u k )
2
cos u
du
9. 2 cot u C (u k )
sin u
1.�
dx x C
x 1
2.�
x dx
C ( �-1)
1
dx
3.� ln x C (x �0)
x
4.�
e x dx e x C
5.�
a x dx
ax
C (0 a �1)
ln a
6.�
cosxdx sinx C
7.sin xdx cos x C
dx
8. 2 tan x C (x k )
2
cos x
dx
9. 2 cot x C (x k )
sin x
CÁC CÔNG THỨC BỔ SUNG.
CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM THƯỜNG GẶP.
6
Giáo viên: Nguyễn Thị Xen
THPT Liễn Sơn - Lập Thạch - Vĩnh Phúc
Chuyên đề:”Một số phương pháp tính tích phân trong chương trình toán THPT”
1
1.� dx 2 x C
x
1 (ax b) 1
2.�
(ax b) dx .
C (a �0)
a
1
1
1
3.�
dx .ln ax b C (a �0)
ax b
a
1
4.�
e ax b dx .e ax b C (a �0)
a
a kx
5.�
a kx dx
C (0 �k �R, 0 a �1)
k .ln a
1
6.cos(ax b)dx . sin(ax b) C (a 0)
a
1
7.sin( ax b)dx . cos(ax b) C (a 0)
a
k )
2
9.cotxdx ln sinx C (x k )
8.tan xdx ln cos x C (x
II. TÍCH PHÂN (XÁC ĐỊNH).
1. ĐỊNH NGHĨA.
Giả sử hàm số f(x) liên tục trên khoảng K, a và b thuộc K, F(x) là một nguyên
hàm của hàm số f(x) trên K. Hiệu F(b)-F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của
b
f(x). Ký hiệu
f ( x)dx F ( x)
b
F (b) F ( a )
a
a
2. CÁC TÍNH CHẤT.
a
1.f ( x)dx 0
a
a
b
2.f ( x)dx
b
b
f ( x)dx
a
b
3.kf ( x ) dx k f ( x ) dx
a
a
a
b
b
4. f ( x ) g ( x )]dx f ( x) dx g ( x ) dx
b
b
c
a
b
a
a
a
c
5.�
f ( x)dx �
f ( x) xdx �
f ( x )dx ; a p c p b
b
6.
Nếu
f ( x) 0, x a; b
thì
f ( x)dx 0
a
b
7.
Nếu
f ( x ) g ( x ), x a; b
thì
b
f ( x)dx g ( x)dx
a
a
b
8.
Nếu
m f ( x ) M , x a; b
thì
m(b a ) f ( x) dx M (b a )
a
7
Giáo viên: Nguyễn Thị Xen
THPT Liễn Sơn - Lập Thạch - Vĩnh Phúc
Chuyên đề:”Một số phương pháp tính tích phân trong chương trình toán THPT”
b
b
a
a
9. �
f ( x)dx ��
f ( x) dx
3. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN.
3.1. Tính tích phân bằng định nghĩa và tính chất.
VD1. Tính các tích phân sau.
2
2
1
13
1. I ( x 2 x 5)dx ( x 3 x 2 5 x) .
3
3
1
1
2
Nhận xét: Câu 1 trên ta chỉ cần áp dụng tính chất 4 và sử dụng công thức nguyên
hàm cơ bản.
2
x 2 5x 3
2. I
dx .
x 1
0
Nhận xét: Ở dây ta chưa áp dụng ngay được các công thức trong bảng nguyên hàm,
do đó ta phải phân tích biểu thức trong dấu tích phân bằng cách lấy tử chia mẫu rồi
áp dụng tính chất 4 và các công thức trong bảng nguyên hàm.
Phương pháp này có thể áp dụng cho tính tích phân của hàm phân thức hữu tỷ có
bậc trên tử cao hơn dưới mẫu.
2
2
2
x 2 5x 3
9
x2
I
dx ( x 6
)dx (
6 x 9 ln x 1 ) 2 12 9 ln 3 9 ln 3 10 .
0
x 1
x 1
0
2
0
1
3. I e x ( 2 xe x 5 x e x e x ) dx .
0
Nhận xét: Trong ví dụ này ta chỉ cần nhân phân phối và rút gọn, sau đó áp dụng
công thức nguyên hàm cơ bản và tính tích phân.
1
1
1
x
I e x (2 xe x 5 x e x e x )dx (2 x 5 x 1)dx ( x 2 5 x) 4
0
ln 5
0
8
4. I (4. sin 2 x 12 cos 4 x )dx ( 2 cos 2 x 3 sin 4 x)
8
0
1
0
ln 5
2
0
Nhận xét: Ở đây ta chỉ cần áp dụng công thức nguyên hàm của hàm hợp và tính
tích phân.
12
5. I sin 2 (2 x
0
)dx
4
Nhận xét: Dễ nhận thấy sử dụng công thức hạ bậc ta tính ngay được tích phân trên.
12
12
12
I sin 2 (2 x )dx 1 [1 - cos(4 x )]dx 1 (1 - sin 4 x)dx
0
4
2
0
2
2
0
12
1
1
1
( x cos 4 x )
2
4
24 16
0
8
Giáo viên: Nguyễn Thị Xen
THPT Liễn Sơn - Lập Thạch - Vĩnh Phúc
Chuyên đề:”Một số phương pháp tính tích phân trong chương trình toán THPT”
16
6. I cos6x.cos2xdx
0
Nhận xét: Ta chỉ cần biến đổi tích thành tổng và tính tích phân.
16
16
I cos6x.cos2xdx 1 (cos8x cosx)dx 1 ( 1 sin 8 x 1 sin 4 x) 16 1 (1 2 )
2 8
4
16
0
2
0
0
2
7. I x 2 1 dx
-2
Nhận xét: Khi biểu thức trong dấu tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt đối ta hướng
học sinh khử dấu giá trị tuyệt đối của biểu thức trên đoạn đang tính tích phân và
đưa về các tích phân cơ bản đã biết cách tính.
2
-1
1
I x 2 1 dx ( x 2 1) dx
-2
-2
3
(
x
x)
3
1
-1
1
3
(
2
2
2
2
( x 1)dx ( x 1)dx
x
x)
3
1
3
(
1
2
x
x)
3
1
=5
4
2x
8. I 2
dx
3 x 3x 2
Nhận xét: Câu 8 trên ta không thực hiện phép chia đa thức được như câu 2 nhưng ta
sử dụng phương pháp hệ số bất định để phân tích
4
4
2x
4
dx
dx
I 2
x 2
3 x 3x 2
3
4
2x
4
2
x 3x 2 x 2 x 1
2
2
x 1 dx (4 ln x
4
2 2 ln x 1 ) 3 6 ln 2 2 ln 3
3
a' x b
dx ( b 2 4ac ) ta làm như sau:
Chú ý1: + Để tính I 2
ax bx c
b
ba '
a' ( x
) b'
a' x b
2a
2a dx
dx
Trường hợp 1: 0 thì I 2
b 2
ax bx c
a( x
)
2a
ba'
b'
a'
dx
dx
2a
b
b 2
a
a
x
(x
)
2a
2a
Trường hợp 2: 0 , gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2+bx+c=0 thì
1
A
B
a' x b
) dx
dx (
đồng nhất hai vế sao cho I 2
a x x1 x x 2
ax bx c
b 2
2
Trường hợp 3: 0 ta phân tích ax bx c a ( x 2a ) 2 và dùng phương pháp
4a
đổi biến số nói ở phần sau.
P(x)
+ Để tính I (x - a )(x - a )...(x - a ) ta làm như sau :
1
2
n
9
Giáo viên: Nguyễn Thị Xen
THPT Liễn Sơn - Lập Thạch - Vĩnh Phúc
Chuyên đề:”Một số phương pháp tính tích phân trong chương trình toán THPT”
+ Để tính
A
A2
An
P ( x)
1
...
( x a 1 )( x a 2 )...( x a n ) x a1 x a 2
x an
P(x)
I
ta làm như sau:
m
(x - a 1 ) (x - a 2 ) k ...(x - a n ) r
Am
A1
A2
P ( x)
...
...
k
r
m
m 1
( x an )
( x a 1 ) ( x a 2 ) ...( x a n )
( x a1 )
( x a2 )
m
+ Để tính
P(x)
I
dx
Q(x)
với P(x), Q(x) là hai đa thức.
- Nếu bậc P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) thì lấy P(x) chia cho Q(x).
- Nếu bậc P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì tìm cách đưa về dạng trên.
Nhận xét : Trong VD1 gồm những bài tập tích phân đơn giản mà học sinh có thể áp
dụng ngay bảng công thức nguyên hàm để giải được bài toán hoặc với những phép
đơn giản như nhân phân phối, chia đa thức, đồng nhất hai đa thức, các công thức
biến đổi lượng giác...Qua VD1 này nhằm giúp các em thuộc công thức và nắm
vững phép tính tích phân cơ bản.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 1
Tính các tích phân sau.
1
2
1.( x x 2 x 2 1)dx
8. x 2 2 x 3 dx
0
0
3
2
4
2
x 3x 5x 3
2.
dx
x 2
1
dx
9. 2
dx
1 x 6x 7
1
2
2 x 2 x x3 x 3x 3
3.
dx
2
x
1
10.
0
dx
x 1
x
dx
7
2
x 3 3x 2 5 x 3
11.
dx
x 2
5
4. ( x 2 2 x 3) 2 dx
2
6
7
x 2 1
12.
dx
3
5 ( x 1) ( x 3)
5.(sin x cos 2 x sin 5 x) dx
0
12
1
x7
13.
dx
4 3
0 (1 x )
6. 4 sin x. sin 2 x. sin 3 x )dx
0
16
7. cos 4 2 xdx
0
3.2. Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số.
Chú ý 2: Tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm số và cận mà không phụ thuộc vào cách
kí hiệu biến số tích phân. Tức là
b
b
f ( x)dx
f (u )du f (t )dt ...
a
a
b
a
Trong một số trường hợp tính tích phân mà không tích trực tiếp bằng công thức hay
qua các bước phân tích ta vẫn không giải được thì ta có thể đổi biến số.
10
Giáo viên: Nguyễn Thị Xen
THPT Liễn Sơn - Lập Thạch - Vĩnh Phúc
Chuyên đề:”Một số phương pháp tính tích phân trong chương trình toán THPT”
2
2
dx
VD2 : Tính tích phân sau : I
2 x2
0
Nhận xét : Biểu thức trong dấu tích phân có chứa căn bậc hai nhưng ta không thể
bình phương để khử căn được, ta thử tìm cách biến đổi đưa về dạng biểu thức dưới
dấu căn là chính phương, khi đó ta sẽ liên tưởng ngay đến công thức
1 cos 2 x sin 2 x hoặc 1 sin 2 x cos 2 x
;
2 2
Do đó ta đặt
x 2 . sin t dx 2 . cos tdt , t
2
t
2
6
x 0 t 0
x
Đổi cận :
2
2
I
0
6
dx
2 x2
0
6
2 cos t.dt
2
2(1 sin t )
dt t
6
0
0
6
Trong VD trên ta thay cận trên bằng 2 mà học sinh làm tương tự như trên là sai
vì hàm số không xác định tại 2 . Do đó giáo viên chú ý cho học sinh ở dạng này
thì hàm số phải xác định trên a; b .
6
2
2
VD3: Tính tích phân sau : I
x 2 4 x 1.dx
2
Ta có: I
6
2
2
3 ( x 2) 2 .dx
2
Đặt
x 2 3. sin t dx 3. cos t.dt ,
Đổi cận :
t
;
2 2
6
t
2
4
x 2 t 0
x 2
4
4
0
0
I 3 3. sin 2 t . 3. cos t.dt 3.. cos 2 t.dt
4
4
3
3
1
3 1
(1 cos 2t ).dt (t sin 2t ) ( )
20
2
2
2 4 2
0
n
n
Vậy: Khi gặp dạng
a 2 u 2 ( x ) dx hay
m
Đặt
m
dx
2
a u 2 ( x)
(a 0)
t
;
2 2
u ( x) a cos t u ' ( x ) dx a. sin t.dt , t 0;
u ( x) a sin t u ' ( x)dx a. cos t.dt ,
Hoặc đặt
2
VD4 : Tính tích phân sau :
dx
I
2
0 2x
11
Giáo viên: Nguyễn Thị Xen
THPT Liễn Sơn - Lập Thạch - Vĩnh Phúc
Chuyên đề:”Một số phương pháp tính tích phân trong chương trình toán THPT”
Nhận xét : Ta thấy tam thức bậc hai ở mẫu số vô nghiệm nên ta không thể sử dụng
phương pháp hệ số bất định mà ta đổi biến số như sau
Đặt
;
2 2
x 2 tan t dx 2 (1 tan 2 t )dt , t
Đổi cận :
x 2 t
4
x 0 t 0
2
4
dx
2 (1 tan 2 t)dt 4 2
2
I
dt
2
2
2
x
0
2
2
2 2tan t
0
0
1 2
V5: Tính tích phân sau : I
x
2
1
4
2
8
0
dx
2x 3
Nhận xét: Cũng như ví dụ trên ta thấy tam thức bậc hai ở mẫu vô nghiệm nên ta
1 2
phân tích như sau I
Đặt
1 2
dx
2
1 x 2x 3
dx
2 ( x 1)
2
1
;
2 2
x 1 2 tan t dx 2 (1 tan 2 t )dt , t
Đổi cận :
x 1 2 t
4
x 1 t 0
4
I
0
2
4
2 (1 tan t)dt
2
2
dt
2
2
2
2 2tan t
0
4
0
2
8
n
dx
(a 0)
2
m a u ( x)
Vậy: Khi gặp dạng I
2
với tam thức bậc hai ở mẫu vô nghiệm
�
�
thì đặt u(x)=a.tant, t �� ; �
� 2 2�
Ta cũng có thể đặt u(x)= cotx , t � 0; và làm tương tự.
Chú ý 3:
+Hàm số trong dấu tích phân chứa
a 2 b 2 x 2 hay
+Hàm số trong dấu tích phân chứa
b 2 x 2 a 2 hay
1
2
a
2
a b x
1
2
2
b x a
2
ta thường đặt x b sin t
2
ta thường đặt x b. sin t
a
1
a
+Hàm số trong dấu tích phân chứa 2 2 2 ta thường đặt x b tan t
a b x
+Hàm số trong dấu tích phân chứa
x ( a bx )
a
ta thường đặt x b. sin 2 t
VD6: Tính các tich phân sau.
1
1. I (x 3 1) 5 .x 2 dx
0
12
Giáo viên: Nguyễn Thị Xen
THPT Liễn Sơn - Lập Thạch - Vĩnh Phúc
Chuyên đề:”Một số phương pháp tính tích phân trong chương trình toán THPT”
Nhân xét: Ta thấy trong VD này không thấy có các dạng trên nên không thể làm
làm tương tự như vậy. Nhưng nếu đặt
Đổi cận:
2
I
1 5
1
u du .u 6
31
18
2
1
u x 3 1
1
.du x 2 dx
3
x 0 u 1
x 1 u 2
7
2
2
2. I 4 3x 2 .12 x.dx
0
Đặt
2
2
u 4 3 x 2 u 4 3 x 2du 6dx 4du 12dx
x 0 u 2
Đổi cận:
x 2 u 4
4
4
I u.4u.du .u 3
3
2
1
3. I
0
3
4
2
224
3
2
x2
1
3
dx u.du
7
14
1 7x3
1
1
2
x3
u1
4. I 2
dx
du
2
u
0 x 1
1
(Với
u 3 1 7 x 3
)
(Với u x 2 1 )
2
2
1
1
1
(1 ) du (u ln u ) 1 (1 ln 2)
21
u
2
6
5 I sin 4 x. cos x.dx
0
Đặt u sin x du cos x.dx
x 0 u 0
Đổi cận: x u 1
6
2
1
2
I u 4 du
0
1
5 2
u
5
0
1
160
b
Nhận xét: Các tích phân trong VD6 đều đưa được về dạng
f u ( x) u ' ( x)dx
a
Nên ta đặt u=u(x) suy ra du=u’(x)dx và đổi cận ta dễ dàng tính được tích phân
+ Nếu biểu thức trong dấu tích phân có chứa:
- Lũy thừa thì ta đặt u bằng biểu thức bên trong của biểu thức có chứa lũy thừa cao
nhất.
- Căn thức thì ta đặt u = căn thức.
- Phân số thì ta đặt u = mẫu số.
- cosx.dx thì ta đặt u = sinx.
- sinx.dx thì ta đặt u = cosx.
13
Giáo viên: Nguyễn Thị Xen
THPT Liễn Sơn - Lập Thạch - Vĩnh Phúc
Chuyên đề:”Một số phương pháp tính tích phân trong chương trình toán THPT”
-
dx
hay (1+cot2x)dx thì đặt u = tanx.
2
sin x
-
dx
x
và chứa lnx thì ta đặt u = lnx.
VD7: Tính các tích phân sau.
2
2
sin 2 x sin x
sin x ( 2 cos x 1)
1. I
dx
dx
1
3
cos
x
1
3
cos
x
0
0
Nếu ta đặt u = 1+3cosx thì tích phân mới vẫn chứa căn nên việc tính toán sẽ khó
hơn nên ta đặt
Đổi cận:
1
2
u2 1
2udu
sin xdx
3
3
x 0 u 2
x u 1
2
( 2.
I
u 1 3 cos x cos x
u2 1
2udu
1)(
)
3
3
u
2
2
(2u 2 1)du
91
2 2u 3
34
(
u)
9
3
27
1
2
4
(tan x 1) 2
2. I
dx
cos 2 x
0
Đặt u = tanx + 1 và đổi cận ta có :
2
I u 2 du
1
7
3
2
e cot x
3. I 2 dx
sin x
4
Đặt u = cotx và đổi cận ta có :
0
1
I e u du e u du e 1
1
e3
4. I
1
Đặt
0
1 ln x
dx
x
u 1 ln x
và đổi cận ta có :
2
14
I 2.u 2 du
3
1
e7
ln x.3 1 ln x
5. I
dx
x
1
14
Giáo viên: Nguyễn Thị Xen
THPT Liễn Sơn - Lập Thạch - Vĩnh Phúc
Chuyên đề:”Một số phương pháp tính tích phân trong chương trình toán THPT”
Đặt u 3 1 ln x và đổi cận ta có:
2
2
I (u 3 - 1).u.3u 2 du 3(u 6 - u 3 )du
1
1
300
7
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2
Bài 1 : Tính các tích phân sau.( đặt t = mẫu)
3
1/ I
�x
0
2
2/ I =
1
5/ I=
7/ I = x 1 dx
�3
0 3x 1
2
1
1
x 1 x3
dx
1
x
dx
13/ I = �
2x
1
0
e 2x
dx
16/I = �x
0 e 1
2
2
19/ I = sin 2x.cos x dx
�1 cos x
0
�3
0
7
3
4
1
dx
2x 1
3/ I �
� x dx
ln 2 e 1
0
1
x3
7
x
4/ I= � 2 dx
1 x
10/ I = �
e 2x
ln 5
x 3 dx
1 x2
x
dx
2
4
x
0
6/ I = �
dx
4
x2 1
dx
8/I = �
x
1
0
3
3
x 5 2x 3
�
11/ I =
0
2
x 1
dx
1
1
dx
14/ I = �x
e
4
0
2
17/ I = sin 2x sin x dx
�
0
1 3cos x
4
3
20/I = sin x dx
� 2
0
cos x
1
�
9/ I =
2
7 x x 9
7
�3
12/ I =
0
x3
1 x
2
dx
dx
2
1
dx
x
1
e
1
15/ I = �
18/ I =
4 1 2sin 2
x
�1 sin 2x dx
0
21/ I =
2
sin 2x
dx
�
1 cos x
0
Bài 2: Tính các tích phân sau (đặt t = căn)
1) I
22
3
1
�3x 5dx
3
1
x 3 2 x 2 dx
2) I �
0
e
1 ln x
dx
x
3) I �
1
15
Giáo viên: Nguyễn Thị Xen
THPT Liễn Sơn - Lập Thạch - Vĩnh Phúc
Chuyên đề:”Một số phương pháp tính tích phân trong chương trình toán THPT”
x2
4/I = �
dx
(x
1)
x
1
0
1
7) I
2 3
x2 4
5
10/I =
2
�x
2
4 x 2 dx
13*/I =
16/I =
�
ln 2
1
8/I = �
2
x 16 x
2
dx
2
11/I = �
x (x 4) dx
ln 2
x2 1
e 2x
dx
x
e 1
0
6
x
� e 1dx
0
2
x
17/I = �
dx
1 1 x 1
x 1
19/I = �
dx
3
3x
2
0
12/I =
1
�
9*/I =
2 3
3
xdx
2x 1
6) I �
dx
x2 4
dx
x
�
4 3
3
1
2
x x 9
4
2
� 2 dx 14/I =
2 x x 1
ln 5
1
1
dx
2x 1
0
1
2
0
4
dx
�x
4
5) I �
1
dx
3 2x
15/I = �
0
9
18/I = �
x. 3 1 xdx
1
2
20/I =
2
4
�sin xdx
0
Bài 3: Tính các tích phân sau ( t = biểu thức trong lũy thừa )
1
x (1 x ) dx
1) I �
3
4 3
0
2
1
x (1 x ) dx
2) I �
5
0
7/I=
2
cos3 xdx
�
0
3
4
5
5/I = �
x (x 1) dx
0
2
0
1
4/I = sin 5 xdx
�
3/ I =
3 6
6*/I =
0
1
5
3 6
2
3
8/I = �
x (1 x ) dx
�sin 2x(1 sin x) dx
0
x3
10/I = � 2
dx
3
(x
1)
0
2
2
9/ I= sin x cos x(1 cos x) 2 dx
�
0
0
1
sin 2x
�(2 sin x)2 dx
1
(1 2x)(1 3x 3x 2 )3 dx
11/ I= �
0
16
Giáo viên: Nguyễn Thị Xen
THPT Liễn Sơn - Lập Thạch - Vĩnh Phúc
Chuyên đề:”Một số phương pháp tính tích phân trong chương trình toán THPT”
Bài 4: Tính các tích phân sau (t = biểu thức trên mũ)
4
1/ I =
e
2
2/ I = �
esin
tgx 2
cos
2
0
x
2
x
2
sin 2x dx
3/I= esin 2 x .sin x cos3 xdx
�
4
0
2
1
5*/I = �
e 3x 1 dx
4/ I = (esin x cos x) cos x dx
�
0
0
/2
7/ I = �
ln 3
8/ I= �
0
e
x
x
(e 1) e 1
dx
0
1
2x
2
x
x
e e
e x
10/I = � x
dx
e
1
0
0
x
ex
1
2
sin x
3
�e sin x cos xdx
6/ F
e
dx
e
1
0
9/I = �x
dx
Bài 5: Tính các tích phân sau (đặt t = Ln)
e
e
sin(ln x)
1/I = �
dx
x
1
e
e
1 3ln x ln x
3/I = �
dx
x
1
2/I = �
cos(ln x)dx
1
3
2
3
ln(sin x)
5/I = � 2 dx
cos x
ln x
4/I = �
dx
x
e
6/I = sin x.ln(cos x)dx
�
0
6
7/I =
3
2
ln
x
8/I = � 2 ln x dx
x
1
e
e2
2
�cos (ln x)dx
1
e
ln x
dx
2
x(ln
x
1)
1
9/I = �
Bài 5: Tính các tích phân sau
a2 + x2 thì đặt x = a tanu
a2 - x2 thì đặt x = a sinu
x2 - a2 thì đặt x = a /sinu
1
1/I =
�2
3
x
1
4 x2
dx
2/I =
2
�x
1
2
2
4 x dx
2
3/I = �4 x 2 dx
0
17
Giáo viên: Nguyễn Thị Xen
THPT Liễn Sơn - Lập Thạch - Vĩnh Phúc
Chuyên đề:”Một số phương pháp tính tích phân trong chương trình toán THPT”
3
3
1
dx
4/I = � 2
x
3
3
0
7/I = �
1
10/I =
5*/I =
�
2
1
x 2 2x 9
1
x2 1
dx
1
3
dx
x
4x
5
0
6/I = �2
x2
dx
2
0 4x
1
2
8/I = � 4x x 2 5 dx
dx
9/I = �
1
1
2
2
x4
�2 dx
0 x 1
11/I = �4 x 2 dx
0
12/I =
3
2
�
1
2
1
x 1 x
2
dx
3.3. Tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần
a. Định lý : Nếu u = u(x) và v = v(x) là hai hàm số có đạo hàm liện tục trên đoạn
b
a; b thì u.dv u.v ba
b
a
v.du
a
b. Phương pháp tính tích phân từng phần
b
+ Biến đổi I =
b
f ( x).dx f1 ( x). f 2 ( x)dx
a
a
du df1 ( x)
u f 1 ( x)
+ Đặt
du f 2 ( x)dx v f 2 ( x)dx
b
+ Tính I = u.v a
b
v.du
a
Chú ý 4 : Khi tính tích phân từng phần ta phải nắm nguyên tắc sau :
+ Chọn phép đặt dv sao cho dễ xác định được v
b
+
b
v.du phải dễ tính hơn u.dv
a
a
c. Một số dạng thường dùng phương pháp tích phân từng phần.
Nếu biểu thức trong dấu tích phân có chứa :
+ Dạng 1: P(x).sin(nx)dx; P(x).cos(nx)dx; P(x).enxdx ; P(x).anxdx
u P( x)
Ta nên đặt
nx
nx
dv
sin(
nx
)
dx
hay
cos(nx)
hay
e
dx
hay
a
dx
18
Giáo viên: Nguyễn Thị Xen
THPT Liễn Sơn - Lập Thạch - Vĩnh Phúc
Chuyên đề:”Một số phương pháp tính tích phân trong chương trình toán THPT”
+ Dạng 2:
P ( x ). ln x.dx; P(x).log a x.dx;
u ln x hay u log a x.
ta nên đặt
dv P( x)dx
+ Dạng 3: ax.sin(nx).dx hay ex.sin(nx)dx hay ax.cos(nx).dx hay ex.cos(nx)dx
thì ta phải sử dụng tích phân từng phần đến hai lần.
VD 8: Tính các tích phân sau.
3
1.(3 x 1) cos 3 x.dx
0
du 3dx
u 3x 1
Đặt
1
dv cos 3x.dx v 3 sin 3x
3
1
I (3 x 1) sin 3 x
3
0
3
sin 3xdx
0
2
3
1
2. I (2 x 1). ln( x 1).dx
0
1
du
dx
u ln( x 1)
�
�
Đặt �
x 1
�dv (2 x 1).dx
v x( x 1)
1
1
I x(x 1)ln(x 1) 0
1
xdx 2
ln 4
0
1
3. I ( 4 x 2 2 x 1)e 2 x dx
0
u 4x 2 2x 1 du (8x 2)dx
Đặt
1 2x
2x
dv e .dx
v 2 e
I (4x 2 - 2x - 1).
1 2x
e
2
1
0
1
2x
- (4 x 1)e dx =
0
1 2 1
e B
2
2
1
B=
(4 x 1)e
2x
dx
0
19
Giáo viên: Nguyễn Thị Xen
THPT Liễn Sơn - Lập Thạch - Vĩnh Phúc
Chuyên đề:”Một số phương pháp tính tích phân trong chương trình toán THPT”
u 4 x 1 du 4dx
Đặt
1 2x
2x
dv e .dx v 2 e
B
(4x - 1).
1 2x
e
2
1
0
1
- 2e 2 x dx =
0
1 2 3
e
2
2
Vậy I = -1
Nhận xét: Ta thấy u = P(x) là tam thức bậc hai nên ta tính tích phân từng phần hai
lần. Từ đó rút ra kết luận nếu P(x) là đa thức bậc k thì tích phân từng phần k lần.
4
4. I 4.e x . cos 2 x.dx
0
Nhận xét: Ta thấy tích phân này chưa có dạng tổng quát nhưng nếu hạ bậc ta sẽ đưa
về dạng 3
4
I 4.e x . cos 2 x.dx
0
4
A 2.e x .dx 2e x
0
4
0
4
2.e
x
4
.(1 cos 2 x).dx
0
2.e
0
x
4
.dx
2.e
x
. cos 2 x.dx A B
0
4
2.e 2
4
B 2.e x . cos 2 x.dx
0
u cos 2x du 2 sin 2 xdx
Đặt
x
x
dv 2e .dx v 4e
B 2.e 2x
4
0
4
+ 4.e x . sin 2 x.dx 2 C
0
4
C 4.e x . sin 2 x.dx
0
u sin 2 x du 2 cos 2 xdx
Đặt
x
x
dv 4e .dx v 4e
20
Giáo viên: Nguyễn Thị Xen
THPT Liễn Sơn - Lập Thạch - Vĩnh Phúc
- Xem thêm -
.DOC 
26 
248 
72 
