Tài liệu Chuyên đề tọa độ không gian ôn thi thpt quốc gia môn toán của thầy đặng việt hùng

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 01. VÉC TƠ VÀ TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN Thầy Đặng Việt Hùng
Tọa độ của vectơ và của điểm:




u = ( x; y; z ) ⇔ u = xi + y j + zk Cho  




 M = ( x; y; z ) ⇒ OM = u = xi + y j + zk 
Nếu A = ( xA ; y A ; z A ), B = ( xB ; yB ; z B )  → AB = ( xB − x A ; yB − y A ; z B − z A )
Vectơ bằng nhau. Tọa độ của vectơ tổng, vectơ hiệu:

Cho u = ( x1 ; y1 ; z1 ), v = ( x2 ; y2 ; z2 ) . Khi đó

u ± v = ( x1 ± x2 ; y1 ± y2 ; z1 ± z2 )
ku = (kx1 ; ky1 ; kz1 ), k ∈ ℝ

mu ± nv = (mx1 ± nx2 ; my1 ± ny2 ; mz1 ± nz2 ), m, n ∈ ℝ

u = x12 + y12 + z12 ; v = x22 + y22 + z22  → AB = ( xA − xB )2 + ( y A − yB ) 2 + ( z A − z B )2  x1 = x2

 u = v ⇔  y1 = y2 z = z 2  1
Hai vectơ cùng phương:  x2 = kx1



x y z  Hai vectơ u = ( x1 ; y1 ; z1 ), v = ( x2 ; y2 ; z2 ) cùng phương ⇔ ∃k ∈ ℝ : v = ku ⇔  y2 = ky1 hay 2 = 2 = 2 x1 y1 z1  z = kz 1  2
Tích vô hướng của hai vectơ:

Cho u = ( x1 ; y1 ; z1 ), v = ( x2 ; y2 ; z2 ) . ( )





Tích vô hướng của hai véc tơ cho bởi u.v = u v .cos u , v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2







x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 u.v Từ đó suy ra cos u , v =

=  → u ⊥ v ⇔ u.v = 0 ⇔ x1 x2 + y1 y2 + z1 z2 = 0 u.v x12 + y12 + z12 x22 + y22 + z22 ( )







Ví dụ 1: Trong hệ tọa độ Oxy cho: a = (1; −1;0), b = ( −1;1;2), c = i − 2 j − k , d = i

a) Xác định k để véctơ u = (2;2k − 1;0) cùng phương với a . 



b) Xác định các số thực m, n, p để: d = ma − nb + pc



c) Tính a ; b ; a + 2b Hướng dẫn giải:

1 −1 1 a) Để u cùng phương với a ⇔ = ⇔k =− 2 2k − 1 2 







b) c = i − 2 j − k ⇒ c(1; −2; −1); d = i ⇒ d (1;0;0) Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 3  m=
 2  ma = (m; −m;0) m + n + p = 1  




1   → d = ma − nb + pc ⇔  −m − n − 2 p = 0 ⇔  n = Ta có  nb = (−n; n;2n)  2 
 −2n − p = 0  = − − pc ( p ; 2 p ; p )   p = −1   

2 2 2 2 2 c) a = 1 + (−1) = 2; b = (−1) + 1 + 2 = 6



a + 2b = (1 − 2.1; −1 + 2.1;0 + 2.2) = (−1;1;4)  → a + 2b = (−1) 2 + 12 + 42 = 18 = 3 2 Ví dụ 2: Cho A(1; –1; 1), B(2; –3; 2), C(4; –2; 2), D(3; 0; 1), E(1; 2; 3). a) Chứng tỏ rằng ABCD là hình chữ nhật. Tính diện tích của hình chữ nhật ABCD. b) Tính cosin các góc của tam giác ABC. c) Tìm trên đường thẳng Oy điểm cách đều hai điểm AB. Hướng dẫn giải: 

a) Ta có AB = DC = (1; −2;1) nên ABCD là hình bình hành 



→ AB.BC ⇔  ABC = 900 . Vậy ABCD là hình chữ nhật Lại có AB.BC = 1.2 − 2.1 + 0.1 = 0  S ABCD = AB. BC = 12 + 12 + 22 . 22 + 12 = 30 b) Gọi góc giữa các cạnh của tam giác ABC là φ1; φ2; φ3 


Ta có AB = (1; −2;1); BC = (2;1;0); AC = (3; −1;1) Do góc giữa 2 đường thẳng không vượt quá 900 nên ta có: 

1.2 − 2.1 + 1.0 =0 cos φ1 = cos AB; BC = 12 + 22 + 12 . 12 + 22 

1.3 + 2.1 + 1.1 6 cos φ 2 = cos AB; AC = = 2 2 2 2 2 2 66 1 + 2 +1 . 1 +1 + 3 

2.3 − 1.1 + 0.1 5 cos φ3 = cos BC ; AC = = 2 2 2 2 2 55 2 +1 . 1 +1 + 3 

c) Gọi điểm I thuộc Oy có tọa độ là I(0, y, 0)  → IA = (1; −1 − y;1), IB = (2; −3 − y;2) ( ) ( ) ( ) I cách đều A và B khi IA = IB ⇔ IA2 = IB 2 ⇔ 12 + (1 + y ) 2 + 12 = 22 + (3 + y )2 + 22 ⇔ y = −7  −7   → I  0; ;0  2  2 



Ví dụ 3: Cho: a = ( 2; −5; 3) , b = ( 0; 2; −1) , c = (1; 7; 2 ) . Tìm toạ độ của các vectơ u với:


2


1




a) u = 4a − b + 3c b) u = a − 4b − 2c c) u = −4b + c 2 3


2




1
4


3 d) u = 3a − b + 5c e) u = a − b − 2c f) u = a − b − c 2 3 4 3


Ví dụ 4: Cho ba vectơ a = (1; −1;1) , b = ( 4; 0; −1) , c = ( 3; 2; −1) . Tìm:


a) ( a.b ) c



b) a 2 ( b .c ) Ví dụ 5: Cho ba vectơ a = ( 2;1;1) , b = ( 0; 3; −4 ) , c = ( m; m + 1; 3) . Tìm m để










a) a + 2b − 3c = 2 69 (


c) a 2 b + b 2 c + c 2 a (Đ/s: m = 2) ) b) a + 3c .b = 0 (



) 22 (Đ/s: m = 1) 3045


Ví dụ 6: Cho ba vectơ a = (1; 3; 4 ) , b = ( 2; −1; −1) , c = ( 2m; m;1) . Tìm m để c) cos a + b; b − 2c =

a) 2a + c = 74 (

)(

(Đ/s: m = 1) ) b) b + 2c . 2a − c = 0 (Đ/s: m = –2)

Ví dụ 7: Cho hai vectơ a , b . Tính X, Y khi biết Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95
 a
= 4, b = 6 a) 

X = a − b

a
= (2; −1; −2), b = 6, a
− b = 4 b) 

Y = a + b Ví dụ 8: Cho các điểm A(1; 1; 2), B(3; 0; –3), C(2; 4; –1). a) Chứng minh rằng ABC là một tam giác. Tính chu vi và diện tích tam giác ABC. b) Tìm điểm D để ABCD là một hình bình hành. 



c) Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức MA + 3MB − 2CM = 0 Ví dụ 9: Tìm điểm M trên Oy cách đều các điểm A(3;1;0), B (−2; 4;1)  11  Đ/s: M  0; ;0   6  BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Tìm tọa độ chân đường vuông góc H của tam giác OAB với A(−3; −2;6), B (−2; 4;4), O (0;0;0)  96 80 192  Đ/s: H  − ; ;   41 41 41  Bài 2: Cho các điểm A(2; 1; 0), B(3; 1; –1), C(1; 2; 3). 6 2 Đ/s: D(2;2;2;)  1  Đ/s: M  1; ;0   2  Đ/s: C ( −2;0;0 ) Đ/s: S = a) Chứng minh rằng ABC là một tam giác. Tính chu vi và diện tích tam giác ABC. b) Tìm điểm D để ABCD là một hình bình hành. 



c) Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức MA − 2 MB + MC = MD, với D(4; 3; 2) Bài 3: Tìm điểm C trên Ox sao cho tam giác ABC vuông tại C với A(1;1;2), B (−1;2;5) Bài 4: Tìm điểm C trên Oy sao cho tam giác ABC vuông tại B với A(2; −1;0), B (1; −1;1) Đ/s: C ( 0;3;0 ) Bài 5: Tìm điểm M thuộc mặt phẳng xOz sao cho M cách đều các điểm A(1;1;1), B (−1;1;0), C (3;1; −1) 7 5 Đ/s: M  ;0; −  6 6 Bài 6: Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A ( 4;2;1) , B ( −1;0;3) , C ( 2; −2;0 ) , D ( −3; 2;1) a) Chứng minh rằng A, B, C, D không đồng phẳng b) Tính thể tích tứ diện ABCD và đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A c) Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng AB sao cho tam giác MCD có diện tích nhỏ nhất. Bài 7: Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm: A ( 2;3;1) , B ( −1;2;0 ) , C (1;1; −2 ) a) Tìm tọa độ trực tâm tam giác ABC b) Tìm tọa độ I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC c) Giả sử G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh 3 điểm G, H, I thẳng hàng. Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 02. TÍCH CÓ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG Thầy Đặng Việt Hùng
Tích có hướng của hai véc tơ:



 y Cho hai véc tơ: u = ( x1 ; y1 ; z1 ), v = ( x2 ; y2 ; z2 )  → u; v  =  1  y2 z1 z1 ; z2 z 2 x1 x1 ; x2 x2 y1   y2  Ví dụ 1: Tính tích có hướng của các véc tơ sau:


u = (1;1;2) a) 
 → u; v  = ( −6; −4;5) v = (−2;3;0)


u = (−1;3;1) b) 
 → u; v  = ( −7;0;5) v = (−2;1; −2)


u = (2;0; −1) c) 
 → u; v  = ( 2;4;4 ) v = (−2;2; −1)

Ví dụ 2: Cho u = (1;1;2 ) , v = ( −1; m; m − 2 ) . Tìm m để



a)  u; v  ⊥ a , với a = ( 3; −1; −2 ) .

b)  u; v  = 4. ( )



c)  u; v  ; a = 600 , với a = ( −1;2;0 ) . Hướng dẫn giải:
u = (1;1;2 )

Ta có 
 → u; v  = ( −m − 2; − m; m + 1) v ( −1; m; m − 2 )





a) u; v  ⊥ a ⇔ u; v  .a = 0 ⇔ ( −m − 2; − m; m + 1) .( 3; −1; −2 ) = 0 ⇔ −3m − 6 + m − 2m − 2 = 0 ⇔ 4m = −8 ⇔ m = −2.

b) u; v  = 4 ⇔ ( ) ( −m − 2 ) ( 2 m = 1 2 2 + ( −m ) + ( m + 1) = 4 ⇔ 5m2 + 6m + 5 = 4 ⇔ 5m2 + 6m − 11 = 0 ⇔   m = − 11  5 )





1 m + 2 − 2m 1 c) u; v  ; a = 600 ⇔ cos u; v  ; a = ⇔ = ⇔ 2 ( 2 − m ) = 5. 5m2 + 6m + 5 2 2 5m + 6m + 5. 5 2 m ≤ 2  2 − m ≥ 0 m ≤ 2 227 − 23  ⇔ ⇔ ⇔ →m = 2 −23 ± 227  2 2 42  4 ( 2 − m ) = 5 ( 5m + 6m + 5 )  21m + 46m + 9 = 0  m = 42 
Các ứng dụng của tích có hướng: +) Ứng dụng 1: Xét sự đồng phẳng của ba véc tơ (hoặc tính đồng phẳng của bốn điểm phân biệt A, B, C, D).








Ba véc tơ a; b; c đồng phẳng khi  a; b  .c = 0 và không đồng phẳng khi  a; b  .c ≠ 0. 





Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng khi  AB; AC  . AD = 0 và không đồng phẳng khi  AB; AC  . AD ≠ 0. +) Ứng dụng 2: Tính diện tích tam giác. Ta có S∆ABC = 1 

1 

1 

 AB; AC  =  BC ; BA = CA; CB   2  2  2 Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) 



 AB; AC   AB; AC  

1 1     Từ đó S∆ABC =  AB; AC  = a.ha  → ha = = 2 2 a BC Facebook: LyHung95 +) Ứng dụng 3: Tính thể tích khối chóp tam giác hoặc tứ diện. Ta có VABCD = 1 


1 3V  AB; AC  . AD = .S ∆ABC .h  →h =   6 3 S∆ABC 


⇒ thể tích khối hình hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' là V =  AB; AC  . AA ' Ví dụ 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 4 điểm A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1), D(4; 1; 0). a) Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện. b) Tính thể tích của tứ diện ABCD. c) Tính đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A. d) Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD. Hướng dẫn giải: 


a) AB = (−6;3;3), AC = (−4; 2;4), AD = (−2;3; −3) 

 3 3 3 −6 −6 3  Ta có  AB, AC  =  ; ;  = (−18; −36;0)  2 −4 −4 −4 −4 2  





⇒  AB, AC  . AD = −18.(−2) − 36.3 = −72 ≠ 0 nên ba vectơ AB, AC , AD không đồng phẳng. Vậy A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện 1 


1  AB, AC  . AD = .72 = 12 (đvtt)  6 6 

c) BC = (2; −1; −7), BD = (4;0; −6) b) VABCD = 

 −1 −7 −7 2 2 −1  1 

1 2  BC , BD  =  ; ; → S BCD =  BC , BD  = 6 + 162 + 42 = 77  = (6; −16; 4)    0 − 6 − 6 4 4 0 2 2   Gọi AH là đường cao hạ từ đỉnh A xuống (BCD) ta có V 1 12 36 VABCD = .S BDC . AH  → AH = 3. ABCD = 3. = 3 S BDC 77 77 

d) AB = (−6;3;3), CD = (2;1;1) Gọi góc giữa 2 đường thẳng AB và CD là φ ta có: cos φ = −6.2 + 3.1 + 3.1 6 + 3 + 3 . 2 +1+1 2 Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD là φ sao cho cos φ = 2 2 2 = 6 1 = . 324 3 1 3 Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Biết rằng A(1; 2; –1), B(–1; 1; 3), C(–1; –1; 2) và D’(2; –2; –3) a) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại. b) Tính thể tích hình hộp. c) Tính thể tích tứ diện A.A’BC. Tính tỉ số V ABCD . A' B 'C ' D ' V A. A ' B ' C ' d) Tính thể tích khối đa diện ABCDD’. Hướng dẫn giải: Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) 

a) Đặt D(a; b; c) ta có AD = ( a − 1; b − 2; c + 1) ; BC = (0; −2; −1) Facebook: LyHung95 a − 1 = 0 a = 1 

  AD = BC ⇔ b − 2 = −2 ⇔ b = 0  → D (1;0; −2) c + 1 = −1 c = −2   





Làm tương tự A ' B ' = AB ⇒ B '(0; −1;2); B ' C ' = BC ⇒ C '(0; −3;1); AA ' = DD ' ⇒ A ' = (2;0; −2) , ; 

 −1 4 4 −2 −2 −1  


b)  AB, AD  =  ; ;  = (9; −2; 4) ⇒  AB, AD  . AA ' = 9.1 − 2.(−2) + 4.(−1) = 9  −2 −1 −1 0 0 −2  


VABCD. A ' B ' C ' D ' =  AB, AD  . AA ' = 9 (đvtt) 1 1 3 V c) VA '. ABC = VA. A ' B ' C ' = VABCD . A ' B ' C ' D ' = .9 = ⇒ ABCD. A ' B ' C ' D ' = 6 6 6 2 VA. A ' B ' C ' d) VABCDD ' = VD. ACD ' + VB. ACD ' = 9 9 + = 3 (đvtt) 6 6 Ví dụ 5: Cho ba vectơ a = (1;1; 2 ) , b = ( 2; −1; 0 ) , c = ( m; m − 3; 2 ) . Tìm m để


a)  a; c  = 3 5 (Đ/s: m = 1) b) b; c  = 2 5 (Đ/s: m = 2)



Ví dụ 6: Cho ba vectơ a = (1; 3; −2 ) , b = ( 2m; m − 1; m ) . Tìm m để

a) a. b = 0





b)  a; b  .c = 0, với c = (3;1;1) c)  a; b  = 3 10 (Đ/s: m = –1)

Ví dụ 7: Cho u = ( −2;1;3) , v = (1; m + 1;2m − 1) . Tìm m để



a) u; v  ⊥ a, với a = (1;1; −3) .

b) u; v  = 2 2.



c) u; v  ; a = 300 , với a = ( −2;1;1) .

( ) Ví dụ 8: Cho ba vectơ a = ( −3; 2;1) , b = (0;1; −3), c = ( m + 3; 2m − 1;1) . Tìm m để


a)  a; c  = 3 6 (Đ/s: m = 0) b) b; c  = 2 26 (Đ/s: m = –1)



c) ba véc tơ đã cho đồng phẳng Ví dụ 9: Cho ba vectơ a = ( 2m + 3; m + 1; 3) , b = (1;1; −2), c = ( 2; 3; −1) . Tìm m để


a)  a; b  = 110

( ) b) a + b .c = 6 (Đ/s: m = 0)


(Đ/s: m = –1) c)  a; b  .c = 0


Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831)


Ví dụ 10: Cho ba vectô a , b , c . Tìm m, n biết c =  a , b  :


a) a = ( 3; −1; −2 ) , b = (1; 2; m ) , c = ( 5;1;7 )


b) a = ( 6; −2; m ) , b = ( 5; n; −3) , c = ( 6;33;10 )


c) a = ( 2;3;1) , b = ( 5;6;4 ) , c = ( m; n;1)


Ví dụ 11: Xét sự đồng phẳng của ba véc tơ a , b , c cho dưới đây:


a) a = (1; −1;1) , b = ( 0;1;2 ) , c = ( 4;2;3) b)


d) c) a = ( −3;1; −2 ) , b = (1;1;1) , c = ( −2;2;1)


Ví dụ 12: Tìm m để ba véc tơ a , b , c đồng phẳng:


a) a = (1; m; 2 ) , b = ( m + 1; 2;1) , c = ( 0; m − 2; 2 )


b) a = (2m + 1;1; 2m − 1); b = (m + 1;2; m + 2), c = (2m; m + 1; 2)


d) a = (1; −3; 2 ) , b = ( m + 1; m − 2;1 − m ) , c = ( 0; m − 2; 2 ) Facebook: LyHung95


a = ( 4;3;4 ) , b = ( 2; −1;2 ) , c = (1;2;1)


a = ( 4;2;5) , b = ( 3;1;3) , c = ( 2;0;1)


BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 4 điểm A(–4; 4; 0), B(2; 0; 4), C(1; 2; –1); D(7; –2; 3). a) Chứng minh rằng A, B, C, D đồng phẳng. b) Tính diện tích tứ giác ABDC. Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 4 điểm A(6; –2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; –1), D(4; 1; 0). a) Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện. b) Tính thể tích của tứ diện ABCD. c) Tính đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh A. d) Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD. Bài 3: Trong không gian cho các điểm A(1; –1; 1), B(2; –3; 2), C(4; –2; 2), D(1; 2; 3). a) Chứng tỏ rằng A, B, C không thẳng hàng. b) Chứng tỏ rằng bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. c) Tính diện tích tam giác ABC. d) Tính thể tích tứ diện ABCD. Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có A(2; –1; 1), B(2; –3; 2), C(4; –2; 2), D(1; 2; –1), S(0; 0; 7). a) Tính diện tích tam giác SAB. b) Tính diện tích tứ giác ABCD. c) Tính thể tích hình chóp S.ABCD. Từ đó tính khoảng cách từ S đến (ABCD). d) Tính khoảng cách từ A đến (SCD). Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 03. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Thầy Đặng Việt Hùng 1) Véc tơ pháp tuyến, phương trình tổng quát của mặt phẳng

n = ( A; B; C ) , A2 + B 2 + C 2 > 0 có phương vuông góc với (P) được gọi là véc tơ pháp tuyến của (P).

(P) đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có véc tơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) thì có phương trình được viết dạng ( P ) : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0.

(P) có véc tơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) thì có phương trình tổng quát ( P ) : Ax + By + Cz + D = 0. 



(P) đi qua ba điểm phân biệt A, B, C thì có véc tơ pháp tuyến nP =  AB; AC  


(P) đi qua điểm A và song song với (Q) thì ta chọn cho nP = nQ 

nP ⊥ nα 



(P) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng phân biệt (α), (β) thì  

 → nP =  nα ; nβ  nP ⊥ nβ 






n ⊥ a
(P) đi qua điểm A và song song với hai véc tơ a; b thì  P

 → nP =  a; b  nP ⊥ b 

n ⊥ AB 



(P) đi qua điểm A, B và vuông góc với (α) thì  P

 → nP =  AB; nα  nP ⊥ nα Ví dụ 1. Viết phương trình mặt phẳng (P)
trong các trường hợp sau: a) qua M(1; 1; 2) và có véc tơ pháp tuyến n = (1; −2;1) . b) qua M(2; 0; 1) và song song với (Q): x + 2y + 5z − 1 = 0. c) qua M(3; −1; 0) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): 4x + z − 1 = 0; (R): 2x + 3y − z − 5 = 0. Hướng dẫn giải:
a) (P) đi qua M(1; 1; 2) và có véc tơ pháp tuyến n = (1; −2;1) nên có phương trình ( P) : 1. ( x − 1) − 2.( y − 1) + 1.( z − 2 ) = 0 ⇔ x − 2 y + z − 1 = 0 



b) (P) // (Q) nên nP // nQ , chọn nP = nQ = (1; 2;5 )  → ( P ) :1. ( x − 2 ) + 2. ( y − 0 ) + 5. ( z − 1) = 0  → ( P ) : x + 2 y + 5 z − 7 = 0. c) (P) qua vuông góc với hai mặt phẳng (Q): 4x + z − 1 = 0; (R): 2x + 3y − z − 5 = 0 nên có véc tơ pháp tuyến 




 4 0 1 
nP ⊥ nQ → nP =  nQ ; nR  =  = ( −3;6;12 ) = −3 (1; −2; −4 ) ⇒ nP = (1; −2; −4 )  

 2 3 − 1 nP ⊥ nR Khi đó (P) có phương trình 1.( x − 3) − 2.( y + 1) − 4 z = 0 ⇔ x − 2 y − 4 z − 5 = 0 Ví dụ 2. Cho A(–1; 2; 3), B(2; –4; 3), C(4; 5; 6).
a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và nhận vectơ n (1; −1;5 ) làm vectơ pháp tuyến b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A biết rằng hai véctơ có giá song song hoặt nằm trong mặt phẳng đó là

a (1;2; −1) , b ( 2; −1;3) c) Viết phương trình mặt phẳng qua C và vuông góc với đường thẳng AB. d) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AC. e) Viết phương trình (ABC). Ví dụ 3. Cho A(–1; 2; 1), B(1; –4; 3), C(–4; –1; –2). a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua I(2; 1; 1) và song song với (ABC). b) Viết phương trình mặt phẳng qua A và song song với (P): 2x – y – 3z – 2 = 0. Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 c) Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm A, B và vuông góc với (Q): 2x – y + 2z – 2 = 0. d) Viết phương trình mặt phẳng qua A, song song với Oy và vuông góc với (R): 3x – y – 3z – 1 = 0. e) Viết phương trình mặt phẳng qua C song song với (Oyz). Ví dụ 4. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (β) cho trước, với:  A(3;1; −1), B(2; −1; 4) a)  ( β ) : 2 x − y + 3z − 1 = 0  A(−2; −1; 3), B(4; −2;1) b)  ( β ) : 2 x + 3y − 2 z + 5 = 0  A(2; −1; 3), B(−4; 7; −9) c)  ( β ) : 3 x + 4 y − 8z − 5 = 0  A(3; −1; −2), B(−3;1; 2) d)  ( β ) : 2 x − 2 y − 2 z + 5 = 0 Ví dụ 5. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước, với: a) M (1; 2; −3) , ( P ) : 2 x − 3y + z − 5 = 0, ( Q ) : 3x − 2 y + 5z − 1 = 0 b) M ( 2;1; −1) , ( P ) : x − y + z − 4 = 0, ( Q ) : 3 x − y + z − 1 = 0 c) M ( 3; 4;1) , ( P ) : 19 x − 6 y − 4z + 27 = 0, ( Q ) :42 x − 8y + 3z + 11 = 0 d) M ( 0; 0;1) , ( P ) : 5 x − 3y + 2 z − 5 = 0, ( Q ) : 2 x − y − z − 1 = 0 Ví dụ 6. Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời song song với mặt phẳng (R) cho trước, với: a) ( P ) : y + 2 z − 4 = 0, (Q ) : x + y − z − 3 = 0, ( R ) : x + y + z − 2 = 0 b) ( P ) : x − 4 y + 2 z − 5 = 0, (Q ) : y + 4 z − 5 = 0, ( R ) : 2 x − y + 19 = 0 c) ( P ) : 3 x − y + z − 2 = 0, (Q ) : x + 4 y − 5 = 0, ( R ) : 2 x − z + 7 = 0 Ví dụ 7. Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời vuông góc với mặt phẳng (R) cho trước, với: a) ( P ) : 2 x + 3 y − 4 = 0, (Q ) : 2 y − 3z − 5 = 0, ( R ) : 2 x + y − 3z − 2 = 0 b) ( P ) : y + 2 z − 4 = 0, (Q ) : x + y − z + 3 = 0, ( R ) : x + y + z − 2 = 0 c) ( P ) : x + 2 y − z − 4 = 0, (Q ) : 2 x + y + z + 5 = 0, ( R ) : x − 2 y − 3z + 6 = 0 d) ( P ) : 3 x − y + z − 2 = 0, (Q ) : x + 4 y − 5 = 0, ( R ) : 2 x − z + 7 = 0 2) Một số dạng phương trình mặt phẳng đặc biệt
Mặt phẳng (xOy): véc tơ pháp tuyến là Oz và đi qua gốc tạo độ nên có phương trình là z = 0. Đặc biệt, mặt phẳng song song với (Oxy) có phương trình là z − a = 0.
Mặt phẳng (yOz): véc tơ pháp tuyến là Ox và đi qua gốc tạo độ nên có phương trình là x = 0. Đặc biệt, mặt phẳng song song với (Oyz) có phương trình là x − a = 0.
Mặt phẳng (xOz): véc tơ pháp tuyến là Oy và đi qua gốc tạo độ nên có phương trình là y = 0. Đặc biệt, mặt phẳng song song với (Oxz) có phương trình là y − a = 0.
Mặt phẳng trung trực: Cho hai điểm A, B. Khi đó mặt phẳng trung trực của AB 
đi qua trung điểm I của AB và nhận AB làm véc tơ pháp tuyến.
Phương trình mặt chắn: Nếu mặt phẳng (P) cắt ba trục tọa độ lần lượt tại các Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 điểm A ( a;0;0 ) , B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) thì (P) có phương x y z + + = 1. a b c Một số đặc điểm của mặt chắn: + Độ dài OA = a ; OB = b ; OC = c trình đoạn chắn: ( P ) : 1 1 + Thế tích tứ diện VOABC = OA.OB.OC = abc 6 6 + Chân đường cao hạ từ O xuống (ABC) trùng với trực tâm H của tam giác ABC. Ví dụ 1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 2; 2) cắt các tia Ox, Oy,Oz tại các điểm A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất. Hướng dẫn giải: • Giả sử mặt phẳng cần lập cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c). Do mặt phẳng cắt các tia nên Ta có a, b, c > 0 x y z Phương trình mặt chắn ( P ) : + + = 1. a b c 2 2 2 1 1 1 1 → + + =1⇔ + + = • Do M ∈ ( P )  a b c a b c 2 1 Ta có OA = a; OB = b; OC = c  →VOABC = abc 6 1 1 1 3 1 3 • Do a, b, c là ba số dương nên theo Côsi ta có + + ≥ 3 ⇔ ≥3 ⇔ 3 abc ≥ 6 ⇔ abc ≥ 216 a b c 2 abc abc 1  →VOABC ≥ .216 = 36 ⇒ Vmin = 36 ⇔ a = b = c = 6 , từ đó ta được phương trình (P): x + y + z – 6 = 0 6 BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: Cho điểm A(1; 0; 0) và mặt phẳng (P): y – z + 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, vuông góc với (P) và cắt các trục Oy, Oz lần lược tại các điểm B, C sao cho diện tích tam giác ABC bằng 6. y z ± =1 2 2 Bài 2: Cho điểm A(2; 0; 0) và điểm M(2; 3; 2). Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A, M sao cho (α) cắt các trục Oy, Oz lần lược tại các điểm B, C sao cho VOABC = 2 , với O là gốc tọa độ. Đ/s: ( ABC ) : x ± x y z x y z + − = 1; − + =1 2 3 2 2 3 2 Bài 3: Cho điểm A(–2; 0; 0) và mặt phẳng (P): x + 2z + 3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, vuông góc với (P) và cắt các trục Oy, Oz lần lược tại các điểm B, C sao cho VOABC = 4 x y z Đ/s: ( ABC ) : − + + = 1 2 3 4 Bài 4: Cho điểm B(0; 3; 0) và điểm M(1; -3; 2). Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua B, M sao cho (α) cắt các trục 7 Ox, Oz lần lược tại các điểm A, C sao cho S ABC = , với O là gốc tọa độ. 2 Đ/s: ( ABC ) : Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 y z + =1 3 2 Bài 5: Viết pt mp đi qua M(2; 1; 4) và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC. Đ/s: ( α ) : x + Bài 6: Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 2; 2) cắt các tia Ox, Oy,Oz tại các điểm A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất. Bài 7: Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(1; 1; 1) cắt các tia Ox, Oy,Oz lần lược tại các điểm A, B, C sao cho tam giác ABC cân tại A, đồng thời M là trọng tâm tam giác ABC. Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 04. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Thầy Đặng Việt Hùng 1) Véc tơ chỉ phương, các dạng phương trình đường thẳng

u = ( a; b; c ) , A2 + B 2 + C 2 > 0 có phương song song hoặc trùng với (d) được gọi là véc tơ chỉ phương của (d).

(d) đi qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có véc tơ chỉ phương u = ( a; b; c ) thì có phương trình  x = x0 + at  +) Phương trình tham số ( d ) :  y = y0 + bt  z = z + ct 0  +) Phương trình chính tắc ( d ) : x − x0 y − y0 z − z0 = = . a b c  Ax + By + Cz + D = 0 +) Phương trình tổng quát của đường thẳng: d = ( P) ∩ (Q) ⇒ d :  A' x + B ' y + C ' z + D ' = 0 


Trong đó véc tơ chỉ phương của d được xác định bởi ud =  nP ; nQ  


(d) đi qua điểm A và song song với đường thẳng (∆) thì ta chọn cho ud = u∆ 

ud ⊥ ud 1 



(d) đi qua điểm A và vuông góc với hai đường thẳng (d1), (d2) thì  

 → ud = ud 1 ; ud 2  ud ⊥ ud 2 

ud ⊥ nα 



(d) đi qua điểm A và song song với hai mặt phẳng (α), (β) thì  

 → ud =  nα ; nβ  ud ⊥ nβ 

ud ⊥ u∆ 



(d) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng ∆; song song mặt phẳng (P) thì  

 → ud = u∆ ; nP  ud ⊥ nP 
Ví dụ 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M và có VTCP ud cho trước: 
b) M (0; −2;5), ud = (0;1;4) 
d) M (3; −1; −3), ud = (1; −2;0) a) M (1;2; −3), ud = (−1;3;5) c) M (1;3; −1), ud = (1;2; −1) 

Ví dụ 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A, B cho trước: a) A ( 2; 3; −1) , B (1; 2; 4 ) b) A (1; −1; 0 ) , B ( 0;1; 2 ) c) A ( 3;1; −5 ) , B ( 2;1; −1) d) A ( 2;1; 0 ) , B ( 0;1; 2 ) Ví dụ 3: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng ∆ cho trước: a) A ( 3; 2; −4 ) , ∆ ≡ Ox d) A(4; −2; 2), ∆ : x +2 y −5 z−2 = = 4 2 3  x = 2 − 3t  c) A(2; −5; 3), ∆ :  y = 3 + 4t  z = 5 − 2t  x = 3 + 4t  e) A(1; −3; 2), ∆ :  y = 2 − 2t  z = 3t − 1 Ví dụ 4: Viết phương trình tham số của đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước: Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 ( P ) : 6 x + 2 y + 2 z + 3 = 0 a)  (Q) : 3x − 5 y − 2 z − 1 = 0 ( P ) : 2 x − 3y + 3z − 4 = 0 b)  (Q) : x + 2 y − z + 3 = 0 ( P ) : 3x + 3y − 4 z + 7 = 0 c)  (Q) : x + 6 y + 2 z − 6 = 0 ( P ) : 2 x + y − z + 3 = 0 d)  (Q) : x + y + z − 1 = 0 Ví dụ 5: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với hai đường thẳng d1, d2 cho trước:  x = 1 + 2t x = 1 − t   a) A(1; 0; 5), d1 :  y = 3 − 2t , d2 :  y = 2 + t  z = 1 + t  z = 1 − 3t x = 1 + t  x = 1 + 3t   b) A(2; −1;1), d1 :  y = −2 + t , d2 :  y = −2 + t  z = 3  z = 3 + t x = 1 − t x = 1   c) A(1; −2; 3), d1 :  y = −2 − 2t , d2 :  y = −2 + t  z = 3 − 3t  z = 3 + t  x = −7 + 3t x = 1 + t   d) A(4;1; 4), d1 :  y = 4 − 2t , d2 :  y = −9 + 2t  z = 4 + 3t  z = −12 − t Ví dụ 6: Viết phương trình tham số, chính tắc của đường thẳng
a) đi qua A(1; 2; –1) và có vectơ chỉ phương là u = (1; −2;1) . b) đi qua hai điểm I(–1; 2; 1), J(1; –4; 3). c) đi qua M(1; 2; 4) và vuông góc với mặt phẳng (P): 3x – y + z – 1 = 0. d) đi qua M(1; 2; 0) và song song với 2 mặt phẳng (P): 2x – 5y – z + 1 = 0 và (Q): 3x + 4z – 4 = 0. Ví dụ 7: Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng:  x = 1 − 2t  a) qua A(3; –1; 2) và song song với đường thẳng ( ∆ ) :  y = 3 + t  z = −t  b) qua A(4; 4; 1) và song song với hai mặt phẳng (P): x + 2z – 4 = 0, (Q): x + y – z + 3 = 0  x = 1 − 2t x −1 y − 2 z +1  c) qua M(1; 1; 4) và vuông góc với hai đường thẳng d1 :  y = 3 + t và d 2 : = = 2 −1 3  z = −t  d) qua M(2; 1; 0) và song song với (P): x + 2z = 0 đồng thời vuông góc với ( ∆ ) : x −1 y z + 2 = = −3 2 1 2) Ứng dụng cơ bản của phương trình tham số  x = x0 + at  Cho đường thẳng ( d ) :  y = y0 + bt , nếu điểm M thuộc d thì M ( x0 + at; y0 + bt ; z0 + ct ) .  z = z + ct 0  Phương trình tham số giúp cho bài toán tìm điểm trên đường thẳng được quy về một ẩn t giải dễ dàng hơn. x = 1 + t  Ví dụ 1: Cho đường thẳng d :  y = −2t . Tìm điểm M thuộc d sao cho  z = 2 + 2t  a) MA = 13; A ( 2; −1;0 ) . b) MI ⊥ IA; I ( 0;1;2 ) , A (1;2; −2 ) . c) ∆MAB cân tại A, với A(2; 1; 3), B(0; −2; 1). Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 7 d) S∆MAB = , với A(2; 1; 3), B(0; −2; 1). 2 Hướng dẫn giải: Ta có, M ∈ ( d ) ⇒ M (1 + t; −2t;2 + 2t ) . a) MA = 13 ⇔ MA = 13 ⇔ ( t − 1) + (1 − 2t ) + ( 2 + 2t ) 2 2 2 2 t = −1 ⇒ M ( 0;2;0 )  = 13 ⇔ 9t + 2t − 7 = 0 ⇔  7  16 14 23  t = ⇒ M  ;− ;   9 9 9  9 2 Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán. 

b) Ta có MI = ( −1 − t ;1 + 2t ; −2t ) , IA = (1;1; −4 ) 

MI ⊥ IA ⇔ MI .IA = 0 ⇔ −1 − t + 1 + 2t + 8t = 0 ⇔ t = 0 ⇒ M (1;0;2 ) 

c) Ta có MA = (1 − t;1 + 2t ;1 − 2t ) , MB = ( −1 − t; −2 + 2t;1 − 2t ) Theo bài, MA = MB ⇔ MA2 = MB 2 ⇔ (1 − t )2 + (1 + 2t ) 2 + (1 − 2t )2 = (−1 − t ) 2 + (−2 + 2t )2 + (1 − 2t ) 2 ⇔ 9t 2 − 2t + 3 = 9t 2 − 10t + 6 ⇔ 8t = 3 ⇔ t = 3  11 3 11  ⇒ M  ; − ; . 8 8 4 4 



d) Ta có MA = (1 − t;1 + 2t ;1 − 2t ) , MB = ( −1 − t; −2 + 2t;1 − 2t )  →  MA; MB  = ( 3 − 6t ; −2 + 4t; −1 + 7t ) Khi đó S MAB = 1 2 

1 1 2 2 2 2  MA; MB  =   2 (3 − 6t ) + (−2 + 4t ) + (−1 + 7t ) = 2 101t − 66t + 14 t = 1 ⇒ M ( 2; −2; 4 ) 1 7  2 2 ⇔ 101t − 66t + 14 = ⇔ 101t − 66t − 35 = 0 ⇔  35  136 70 272  2 2 ;− ; t= ⇒M   101  101 101 101  Vậy có hai điểm M thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ví dụ 2: Tìm điểm M trên đường thẳng d : x y + 2 z −1 = = thỏa mãn 1 2 −1 a) thuộc mặt phẳng (P): x – y + 2z + 2 = 0. Đ/s: M(2; 2; –1) b) tam giác MAB vuông tại A với A(3; 1; 0), B(2; –1; –3) c) tam giác MAB cân tại M với A(1; 0; –1), B(4; –2; 3) d) S MAB = 30 , với A(2; 3; 1) và B(1; –1; –2) 2 Đ/s: M(1; 0; 0)  x = 1 + 2t  Ví dụ 3: Tìm điểm M trên đường thẳng d :  y = t thỏa mãn z = 2 − t  a) thuộc mặt phẳng (P): 2x + y – z – 6 = 0. Đ/s: M(3; 1; 1) b) xM2 + 3 yM2 + zM2 = 5. Đ/s: M(1; 0; 2) c) MA = 14, với A(0; 2; 1) Đ/s: M(–1; –1; 3) d) IM ⊥ d, với I(3; 0; –4) Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 x = 1+ t  Ví dụ 4: Tìm điểm M trên đường thẳng d :  y = 2 − 3t thỏa mãn z = t  a) thuộc mặt phẳng (P): x + 2y – z + 1 = 0. Đ/s: M(2; –1; 1) b) xM2 + 2 yM2 − zM2 = 37. Đ/s: M(2; –4; 2) c) tam giác MAB vuông tại M với A(2; 1; 1), B(1; 1; –10) Đ/s: M(0; 5; –1) d) MA = 2 3, với A(3; 0; –2) Đ/s: M(2; –1; 1) BÀI TẬP LUYỆN TẬP: Bài 1: Tìm điểm M trên đường thẳng d : x − 2 y −1 z = = thỏa mãn −1 1 2 a) MI = 30, với I(2; 0; –3) Đ/s: M(1; 1; 2) b) tam giác MAB cân tại M với A(1; 1; –3), B(–2; 1; –2) Đ/s: M(2; 1; 0) c) xM2 + 3 yM2 − zM2 = 13. Đ/s: M(–1; 4; 6) Bài 2: Cho hai điểm A(3; 1; –2), B(2; 3; –4) và đường thẳng ∆ : x + 1 y −1 z + 1 = = 2 1 1 Tìm điểm C trên ∆ sao cho: a) tam giác ABC đều. b) tam giác ABC cân tại A. c) diện tích tam giác ABC bằng 9/2. d) tam giác ABC có diện tích nhỏ nhất. e) F = xM2 − yM2 + zM2 đạt giá trị lớn nhỏ nhất. f) CA2 + CB2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để dành 9 điểm Toán! Học Online: www.moon.vn LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN 05. BÀI TOÁN XÉT VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI Thầy Đặng Việt Hùng I. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG ( P1 ) : A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 Cho hai mặt phẳng  ( P2 ) : A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0 A B C D
( P1 ) / / ( P2 ) ⇔ 1 = 1 = 1 ≠ 1 A2 B2 C2 D2 A B C D
( P1 ) ≡ ( P2 ) ⇔ 1 = 1 = 1 = 1 A2 B2 C2 D2  A1 B1 A ≠ B 2
( P1 ) ∩ ( P2 ) ⇔  2  A1 C1 A ≠ C  2 2



 Đặc biệt, ( P1 ) ⊥ ( P2 ) ⇔ n1.n2 = 0 ⇔ A1 A2 + B1 B2 + C1C2 = 0. Ví dụ 1. Xét vị trí tương đối của các mặt phẳng sau: { 3 x − 4 y + 3z + 6 = 0 a) 3 x − 2 y + 5z − 3 = 0 { 2 x + 3 y − 2z + 5 = 0 b) 3 x + 4 y − 8z − 5 = 0 2 x − 2 y − 4 z + 5 = 0  c)  25 5 x − 5 y − 10 z + 2 = 0 Hướng dẫn giải: 3 −4 3 ≠ ≠ ⇒ hai mặt phẳng cắt nhau. 3 −2 5 2 3 −2 b) Ta có ≠ ≠ ⇒ hai mặt phẳng cắt nhau. 3 4 −8 2 −2 4 5 c) Ta có = = = ⇒ hai mặt phẳng đã cho trùng nhau. 5 −5 10 25 2 Ví dụ 2. Xác định m, n để các mặt phẳng sau đây song song, cắt nhau, trùng nhau?  3 x − ( m − 3) y + 2 z − 5 = 0 3 x + my − 2 z − 7 = 0 5 x − 2 y + mz − 11 = 0 a) b) c)  nx + 7 y − 6 z + 4 = 0 3 x + ny + z − 5 = 0 ( m + 2) x − 2 y + mz − 10 = 0 a) Ta có { a) { { Hướng dẫn giải: 3x + my − 2 z − 7 = 0 nx + 7 y − 6 z + 4 = 0 n = 9 3 m −2 −7 
Hai mặt phẳng song song nhau khi = = ≠ ⇔ 7 n 7 −6 4  m = 3  3 −2 7   n ≠ −6 m≠
Hai mặt phẳng cắt nhau nhau khi  ⇔ 3   m ≠ −2  n ≠ 9  7 −6 3 m −2 −7
Hai mặt phẳng trùng nhau khi = = = ⇒ hệ vô nghiệm. n 7 −6 4 b) { 5 x − 2 y + mz − 11 = 0 3x + ny + z − 5 = 0 Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN 6  n=−  5 −2 m −11  5
Hai mặt phẳng song song nhau khi = = ≠ ⇔ 5 3 n 1 −5 m =  3 5  5 −2  3 ≠ n m ≠ 3
Hai mặt phẳng cắt nhau nhau khi  ⇔ m ≠ 5 n ≠ − 6  1 3  5 5 −2 m −11
Hai mặt phẳng trùng nhau khi = = = ⇒ hệ vô nghiệm. 3 n 1 −5 3 x − ( m − 3) y + 2 z − 5 = 0 c)  (m + 2) x − 2 y + mz − 10 = 0 m = 4  2m + 4 = 3m  m+2 −2 m −10 
Hai mặt phẳng song song nhau khi = = ≠ ⇔  −4 = m ( 3 − m ) ⇔  m 2 − 3m − 4 = 0 ⇒ vô nghiệm. 3 3− m 2 −5  m ≠ 4 m ≠ 4  m + 2 m  3 ≠ 2 m ≠ 4 m ≠ 4
Hai mặt phẳng cắt nhau nhau khi  ⇔ 2 ⇔  −2 ≠ m  m ≠ −1  m − 3m − 4 ≠ 0  3 − m 2 m = 4  2m + 4 = 3m  m+2 −2 m −10 
Hai mặt phẳng trùng nhau khi = = = ⇔  −4 = m ( 3 − m ) ⇔  m 2 − 3m − 4 = 0 ⇔ m = 4 −5 3 3− m 2  m = 4 m = 4  Ví dụ 3. Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau: 3 x − 4 y + 3 z + 6 = 0 5 x + 5 y − 5 z − 1 = 0 a)  b)  3 x − 2 y + 5 z − 3 = 0 3 x + 3 y − 3 z + 7 = 0 3 x − 2 y − 6 z − 23 = 0  6x − 4 y − 6z + 5 = 0 c)  d)  3 x − 2 y − 6 z + 33 = 0 12 x − 8 y − 12 z − 5 = 0 Ví dụ 4. Xác định m, n để các mặt phẳng sau đây song song với nhau?  2 x − ny + 2 z − 1 = 0  2 x + my + 3 z − 5 = 0 a)  b)  3 x − y + mz − 2 = 0  nx − 6 y − 6 z + 2 = 0 3 x − y + mz − 9 = 0 c)   2 x + ny + 2 z − 3 = 0  x + my − z + 2 = 0 d)   2 x + y + 4nz − 3 = 0 Ví dụ 5. Xác định m, n để các mặt phẳng sau đây vuông góc với nhau?  2 x − 7 y + mz + 2 = 0 a)   3x + y − 2 z + 15 = 0  mx + 2 y + mz − 12 = 0 c)   x + my + z + 7 = 0 (2m − 1) x − 3my + 2 z + 3 = 0 b)   mx + (m − 1) y + 4 z − 5 = 0 3 x − ( m − 3) y + 2 z − 5 = 0 d)  (m + 2) x − 2 y + mz − 10 = 0 II. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG x − x0 y − y0 z − z0  = = ( d ) : Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P) có phương trình  a b c ( P ) : Ax + By + Cz + D = 0 



 d đi qua M ( x0 ; y0 ; z0 ) và có véc tơ chỉ phương ud = ( a; b; c ) , (P) có véc tơ pháp tuyến nP = ( A; B; C )







 nP ⊥ ud  nP .ud ≠ 0  Aa + Bb + Cc = 0
(d ) / / (P) ⇔  ⇔ ⇔  Ax0 + By0 + Cz0 + D ≠ 0  M 0 ∉ ( P )  M 0 ∉ ( P ) Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN







 n ⊥ ud  n .u ≠ 0  Aa + Bb + Cc = 0
(d ) ⊂ ( P) ⇔  P ⇔ P d ⇔  Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0  M 0 ∈ ( P )  M 0 ∈ ( P )




( d ) ∩ ( P ) ⇔ nP .ud ≠ 0  x0 = ...  x − x0 y − y0 z − z0 = =   Khi đó, tọa độ giao điểm thỏa mãn hệ phương trình  a →  y0 = ... b c   Ax + By + Cz + D = 0  z = ...  0



 Kiểm tra ud .nP = 0 T Kiểm tra M 0 ∈ ( P ) T d ⊂ ( P) F d ∩ (P) F d / / (P) Lược đồ xét vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng Ví dụ 1. Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau: x +1 y −3 z a) d : = = ; ( P ) : 3 x − 3 y + 2z − 5 = 0 2 4 3 x − 9 y −1 z − 3 b) d : = = ; ( P ) : x + 2 y − 4z + 1 = 0 8 2 3  x = −1 + t  c) d :  y = −t ; (P): x + 2y − z − 3 = 0  z = −2 + 3t  Hướng dẫn giải:

 a) Đường thẳng d đi qua điểm M(−1; 3; 0) và có véc tơ chỉ phương ud = ( 2; 4;3) .

 Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến nP = ( 3; −3; 2 ) .



 Ta có ud .nP = ( 2;4;3)( 3; −3;2 ) = 6 − 12 + 6 = 0 Lại có, M ( −1;3;0 ) ∈ ( P ) ⇒ d / / ( P ) .

 b) Đường thẳng d đi qua điểm M(9; 1; 3) và có véc tơ chỉ phương ud = ( 8;2;3) .

 Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến nP = (1;2; −4 ) .



 Ta có ud .nP = ( 8;2;3)(1; 2; −4 ) = 8 + 4 − 12 = 0 Lại có, M ( 9;1;3) ∈ ( P ) ⇒ d ⊂ ( P ) .

 c) Đường thẳng d đi qua điểm M(−1; 0; −2) và có véc tơ chỉ phương ud = (1; −1;3) .

 Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến nP = (1; 2; −1) .



 Ta có ud .nP = (1; −1;3)(1;2; −1) = 1 − 2 − 3 = −4 ≠ 0 ⇒ d ∩ ( P ) = I 3   x = −1 + t x=−   x = −1 + t 2  y = −t   y = −t  1    Tạo độ điểm I thỏa mãn hệ phương trình  ⇔  z = −2 + 3t ⇔ y = 2 3 z = − + t 2    1 7  x + 2 y − z − 3 = 0  −1 + t − 2t + 2 − 3t − 3 = 0 ⇒ t = −   z = − 2 2  Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN  3 1 7 ⇒ I  − ; ; − .  2 2 2 Ví dụ 2. Tìm m để đường thẳng d : x −1 y+2 z+3 và mặt phẳng ( P ) : x + 3 y − 2z − 5 = 0 = = m 2m − 1 2 a) cắt nhau b) song song với nhau c) vuông góc với nhau d) (P) chứa d Hướng dẫn giải:

 Đường thẳng d đi qua điểm M(1; −2; −3) và có véc tơ chỉ phương ud = ( m;2m − 1;2 ) .

 Mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến nP = (1;3; −2 ) .



 Ta có ud .nP = ( m; 2m − 1; 2 )(1;3; −2 ) = m + 6m − 3 − 4 = 7m − 7



 a) d và (P) cắt nhau khi ud .nP ≠ 0 ⇔ 7 m − 7 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1.



 ud .nP = 0 7 m − 7 = 0 b) d và (P) song với nhau khi  ⇔ ⇔ m =1 −4 ≠ 0  M ∉ ( P )



  m = −1 m 2m − 1 2 c) d ⊥ ( P ) ⇔ ud = k nP ⇔ = = ⇔ ⇔ m = −1 1 3 −2  2m − 1 = −3



 ud .nP = 0 7 m − 7 = 0 d) (P) chứa (d) ⇔  ⇔  → vn. −4 = 0  M ∈ ( P ) Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ví dụ 3. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng và mặt phẳng sau: x − 12 y − 9 z − 1 = = ; ( P ) : 3 x + 5 y − z − 2 = 0. 4 3 1 x + 11 y − 3 z b) d : = = ; ( P) : 3x − 3 y + 2 z − 5 = 0 2 4 3 x − 13 y − 1 z − 4 = = ; ( P) : x + 2 y − 4 z + 1 = 0 c) d : 8 2 3  x = 3t − 2  d) d :  y = 1 − 4t ; ( P ) : 4 x − 3 y − 6 z − 5 = 0  z = 4t − 5  Ví dụ 4. Xác định m, n để các cặp đường thẳng và mặt phẳng sau đây song song, cắt nhau, trùng nhau? x + 1 y − 3 z −1 a) d : = = ; ( P) : x + 3 y + 2 z − 5 = 0 2 m m−2  x = 3 + 4t  b) d :  y = 1 − 4t ; ( P ) : (m − 1) x + 2 y − 4 z + n − 9 = 0  z = −3 + t  a) d :  x = 3 + 2t  c) d :  y = 5 − 3t ; ( P ) : (m + 2) x + (n + 3) y + 3 z − 5 = 0  z = 2 − 2t  x + 2 y z −1 = = ; ( P ) : (3m − 4) x + (m − 1) y + (3 − 2m) z + m = 0 1 −2 1 Tìm m để d ⊂ (P). Đ/s: m = 2. Ví dụ 5. Cho d : III. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG x − x1 y − y1 z − z1 

 ( d1 ) : a = b = c  M x ; y ; z ∈ d ; u ( )   1 1 1 1 1 1 = ( a1 ; b1 ; c1 ) 1 1 1 Cho hai đường thẳng d1 và d2 với   →

 ( d ) : x − x2 = y − y2 = z − z2  M 2 ( x2 ; y2 ; z2 ) ∈ d 2 ; u2 = ( a2 ; b2 ; c2 )  2 a2 b2 c2 Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng ta thực hiện như sau:



 d / / d2
Nếu u1 = ku2  → 1  d1 ≡ d2 + Nếu M 1 ∈ d 2  → d1 ≡ d 2 + Nếu M 1 ∉ d 2  → d1 / / d 2



 d ∩ d2
Nếu u1 ≠ ku2  → 1  d1 × d2









 + Nếu u1 ; u2  .M 1M 2 = 0  → d1 ∩ d 2









 + Nếu u1 ; u2  .M 1M 2 = 0  → d1 × d 2 Ví dụ 1. Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:  x = 1 − 2t  x = −1 − t '   a) d1 :  y = 3 + t , d 2 :  y = 2t '  z = −t  z = 2 + 2t '   x −6 y +1 z + 2 = = 3 −2 1 Hướng dẫn giải:

 u1 = (−2;1; −1), M 1 (1;3;0) ∈ d1





 a) Ta có 

 ⇒ M 1M 2 = (−2; −3;2) u2 = (−1;2; 2), M 2 (−1;0;2) ∈ d 2




Ta nhận thấy u1 ≠ ku2














Mặt khác u1 , u2  = (4;5; −3) ⇒ u1 , u2  .M 1M 2 = −29 ≠ 0  → hai đường thẳng chéo nhau

 u = (2;1; 4), M 1 (1;7;3) ∈ d1





 b) Ta có 

1 ⇒ M 1M 2 = (5; −8; −5) u2 = (3; −2;1), M 2 (6; −1; −2) ∈ d 2




Ta nhận thấy u1 ≠ ku2














Mặt khác u1 , u2  = (9;10; −7) ⇒ u1 , u2  .M 1M 2 = (9;10; −7).(5; −8; −5) = 0  → hai đường thẳng cắt nhau. Ví dụ 2. Trong không gian cho bốn đường thẳng x −1 y − 2 z x−2 y−2 z x y z −1 x − 2 y z −1 = = , (d2 ) : = = ; (d3 ) : = = , ( d4 ) : = = ( d1 ) : 1 2 −2 2 4 −4 2 1 1 2 2 −1 a) Chứng tỏ rằng d1 và d2 cùng nằm trên một mặt phẳng. Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng đó. b) Chứng tỏ rằng tồn tại một đường thẳng d cắt cả bốn đường thẳng đã cho. Hướng dẫn giải:

 u1 = (1;2; −2), M 1 (1;2;0) ∈ d1





 a) Ta có 

 ⇒ M 1M 2 = (1;0;0) u2 = (2;4; −4), M 2 (2; 2;0) ∈ d 2 b) d1 : x −1 y − 7 z − 3 = = , 2 1 4 d2 :

 1

  d1 / / d 2
Ta nhận thấy u1 ≠ u2  → 2  d1 ≡ d 2 1− 2 2 − 2 0 = =  → vô lí. 2 4 −4 Vậy M1 ∉ d2 ⇒ hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau.
Lại có, M1(1; 2; 0) ∈ d1, thay vào d2 ta có
Lập phương trình mặt phẳng chứa d1 và d2 







 Do d1 // d2 nên n = u1 , M 1M 2  = (0; −2; −2) = −2(0;1;1) Phương trình mặt phẳng chứa hai đường thẳng là (P) : y + z – 2 = 0



 b) Ta có nP .u3 = 2 ≠ 0 ⇒ ( P ) ∩ d3 Gọi giao điểm của (P) và d3 là A. Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831