Tài liệu Chuyên đề tích phân ôn thi thpt quốc gia môn toán của thầy đặng việt hùng

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tài liệu bài giảng: 01. MỞ ĐẦU VỀ NGUYÊN HÀM Thầy Đặng Việt Hùng I. NHẮC LẠI KHÁI NIỆM VỀ VI PHÂN CỦA HÀM SỐ Vi phân của hàm số y = f(x) được kí hiệu là dy và cho bởi công thức dy = df ( x ) = y ' dx = f '( x )dx Ví dụ:
d(x2 – 2x + 2) = (x2 – 2x + 2)′dx = (2x – 2)dx
d(sinx + 2cosx) = (sinx + 2cosx)′dx = (cosx – 2sinx)dx Chú ý: Từ công thức vi phân trên ta dễ dàng thu được một số kết quả sau 1
d ( 2 x ) = 2dx ⇒ dx = d ( 2 x ) 2 1
d ( 3x ) = 3dx ⇒ dx = d ( 3x ) 3  x2  1 1 1
xdx = d   = d x 2 = d x 2 ± a = − d a − x 2  2  2 2 2   ( ) ( ) ( )  x3  1 1 1
x 2 dx = d   = d x3 = d x3 ± a = − d a − x3  3  3 3 3   dx 1 d ( ax + b ) 1 dx
= = d ( ln ax + b )  → = d ( ln x ) ax + b a ax + b a x 1 1 1
sin ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) d ( ax + b ) = − d ( cos ( ax + b ) )  → sin 2 xdx = − d ( cos2 x ) ... a a 2 1 1 1
cos ( ax + b ) dx = cos ( ax + b ) d ( ax + b ) = d ( sin ( ax + b ) )  → cos 2 xdx = d ( sin 2 x ) ... a a 2 1 ax +b 1 1 ax + b ax +b 2x 2x
e dx = e d ( ax + b ) = d e  → e dx = d e ... a a 2 d ax + b ( ) = 1 d  tan ax + b   dx 1 dx 1
= ( ) → 2 = d ( tan 2 x ) ...  2 2 cos ( ax + b ) a cos ( ax + b ) a cos 2 x 2 ( ) ( ) (
dx sin 2 ( ax + b ) = ( ) ) ( ) 1 d ( ax + b ) 1 dx 1 = − d cot ( ax + b )   → 2 = − d ( cot 2 x ) ... 2 a sin ( ax + b ) a 2 sin 2 x II. KHÁI NIỆM VỀ NGUYÊN HÀM Cho hàm số f(x) liên tục trên một khoảng (a; b). Hàm F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) = f(x) và được viết là ∫ f ( x)dx . Từ đó ta có : ∫ f ( x)dx = F ( x) Nhận xét: Với C là một hằng số nào đó thì ta luôn có (F(x) + C)’ = F’(x) nên tổng quát hóa ta viết ∫ f ( x)dx = F ( x) + C , khi đó F(x) + C được gọi là một họ nguyên hàm của hàm số f(x). Với một giá trị cụ thể của C thì ta được một nguyên hàm của hàm số đã cho. Ví dụ:
Hàm số f(x) = 2x có nguyên hàm là F(x) = x2 + C, vì (x2 + C)’ = 2x
Hàm số f(x) = sinx có nguyên hàm là F(x) = –cosx + C, vì (–cosx + C)’ = sinx III. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA NGUYÊN HÀM Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục và tồn tại các nguyên hàm tương ứng F(x) và G(x), khi đó ta có các tính chất sau: a) Tính chất 1: ( ∫ f ( x)dx )′ = f ( x) Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Chứng minh: Do F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) nên hiển nhiên ta có ( ∫ f ( x)dx )′ = ( F ( x) )′ = f ( x) ⇒ đpcm. ( ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx ) = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx b) Tính chất 2: Chứng minh: Theo tính chất 1 ta có, ( ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx )′ = ( ∫ f ( x)dx )′ + ( ∫ g ( x)dx )′ = f ( x) + g ( x) Theo định nghĩa nguyên hàm thì vế phải chính là nguyên hàm của f(x) + g(x). ( ∫ [ f ( x) + g ( x)] dx ) = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx c) Tính chất 3: ( ∫ k . f ( x)dx ) = k ∫ f ( x)dx, ∀k ≠ 0 Từ đó ta có Chứng minh: ( ) ′ Tương tự như tính chất 2, ta xét k ∫ f ( x)dx = k . f ( x)  → ∫ k . f ( x)dx = k ∫ f ( x)dx ⇒ đpcm. ∫ f ( x)dx = ∫ f (t )dt = ∫ f (u )du.. d) Tính chất 4: Tính chất trên được gọi là tính bất biến của nguyên hàm, tức là nguyên hàm của một hàm số chỉ phụ thuộc vào hàm, mà không phụ thuộc vào biến. IV. CÁC CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM
Công thức 1: ∫ dx = x + C Chứng minh: Thật vậy, do ( x + C )′ = 1 ⇒ ∫ dx = x + C Chú ý: Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ du = u + C
Công thức 2: ∫ x n dx = x n +1 +C n +1 Chứng minh:  x n +1 ′ x n +1 + C  = x n ⇒ ∫ x n dx = +C Thật vậy, do  n +1  n +1  Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ u n du = u n +1 +C n +1 1 dx dx du + Với n = − ⇒ ∫ = 2∫ = 2 x + C ← →∫ =2 u +C 2 x 2 x u dx 1 du 1 + Với n = −2 ⇒ ∫ 2 = − + C ← →∫ 2 = − + C x x u u Ví dụ: x3 a) ∫ x 2 dx = + C 3 x5 b) ∫ ( x 4 + 2 x ) dx = ∫ x 4 dx + ∫ 2 xdx = + x 2 + C 5 1 c) ∫ 3 1 2 − x − x2 x3 x2 x 3 x2 x2 dx = ∫ dx − ∫ xdx = ∫ x 3 dx − = − + C = 33 x − + C 1 x x 2 2 2 3 ( 2 x + 1) + C 1 4 u n du d) I = ∫ ( 2 x + 1) dx = ∫ ( 2 x + 1) d ( 2 x + 1)  →I = 2 5 5 4 Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) e) I = ∫ (1 − 3x ) f) I = ∫ Facebook: LyHung95 (1 − 3x ) + C 1 2010 u n du dx = − ∫ (1 − 3 x ) d (1 − 3 x )  →I = − 3 2011 du 1 d ( 2 x + 1) u 2 1 1 1 = ∫ → I = − . +C =− +C 2 2 ( 2 x + 1) 2 2x + 1 2 ( 2 x + 1) 2011 2010 dx ( 2 x + 1) 2 g) I = ∫ 4 x + 5dx =
Công thức 3: ∫ 3 3 1 1 2 3 2 +C = 2 +C x + d x + ⇒ I = x + x + 4 5 4 5 . 4 5 4 5 ( ) ( ) ( ) 4∫ 4 3 8 dx = ln x + C x Chứng minh: 1 dx Thật vậy, do ( ln x + C )′ = ⇒ ∫ = ln x + C x x Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được du ∫u = ln u + C 1  dx = ln 2 x + k + C 1 d ( ax + b ) 1 dx  ∫ 2x + k 2 + ∫ = = ln ax + b + C  → ax + b a ∫ ax + b a  dx = − 1 ln k − 2 x + C 2  ∫ k − 2 x Ví dụ: 1 1 1 dx x 4  a) ∫  x3 + +  dx = ∫ x3 dx + ∫ dx + ∫ = + 2 x + ln x + C x 4 x x x  du dx 1 d ( 3x + 2 ) u 1 = ∫ → I = ln 3x + 2 + C 3x + 2 3 3x + 2 3 2x2 + x + 3 3 dx 3 d ( 2 x + 1) 3   c) ∫ dx = ∫  2 x + = x2 + ∫ = x 2 + ln 2 x + 1 + C  dx = ∫ 2 xdx + 3∫ 2x + 1 2x + 1  2x + 1 2 2x + 1 2  b) I = ∫
Công thức 4: ∫ sinxdx = − cos x + C Chứng minh: Thật vậy, do ( − cos x + C )′ = sin x ⇒ ∫ sinxdx = − cos x + C Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ sinudu = − cos u + C + ∫ sin ( ax + b ) dx = 1 1 1 sin ( ax + b ) d ( ax + b ) = − cos ( ax + b ) + C  → ∫ sin 2 xdx = − cos2 x + C ∫ a a 2 Ví dụ: 3 1  dx 1 d ( 2 x − 1)  a) ∫  x x + s inx + = ∫ x 2 dx − cos x + ∫ =  dx = ∫ x xdx + ∫ sinxdx + ∫ 2x −1  2x −1 2 2x −1  5 2x 2 1 = − cos x + ln 2 x − 1 + C 5 2 3  dx 1 3 d ( 4 x − 3) 1 3  = ∫ sin 2 xd ( 2 x ) + ∫ = − cos2 x + ln 4 x − 3 + C b) ∫  sin 2 x +  dx = ∫ sin 2 xdx +3∫ 4x − 3  4x − 3 2 4 4x − 3 2 4  x   c) ∫  sin + sinx + sin 3 x  dx 2   1 1  x 1 x Ta có d   = dx ⇒ dx = 2d   ; d ( 2 x ) = 2dx ⇒ dx = d ( 2 x ) ; d ( 3x ) = 3dx ⇒ dx = d ( 3x ) 2 3 2 2 2 T ừ đó : 1 x x x  x 1   ∫  sin 2 + sinx + sin 3x  dx = ∫ sin 2 dx + ∫ sin 2 xdx + ∫ sin 3xdx = 2∫ sin 2 d  2  + 2 ∫ sin 2 xd ( 2 x ) + 3 ∫ sin 3xd ( 3x ) Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 x 1 1 = −2cos − cos2 x − cos3x + C 2 2 3
Công thức 5: ∫ cos xdx = sin x + C Chứng minh: Thật vậy, do ( sinx + C )′ = cos x ⇒ ∫ cosxdx = sinx + C Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ cosudu = sin u + C + ∫ cos ( ax + b ) dx = 1 1 1 cos ( ax + b ) d ( ax + b ) = sin ( ax + b ) + C  → ∫ cos2 xdx = sin 2 x + C ∫ a a 2 Ví dụ: 4x − 1  5    a) ∫  cos x − sin x +  dx = ∫ cos xdx − ∫ sin xdx + ∫  4 −  dx = sinx + cos x + 4 x − 5ln x + 1 + C x +1  x +1   1 x2 b) ∫ ( cos 2 x + sin x − x ) dx = ∫ cos2 xdx + ∫ sinxdx − ∫ xdx = sin 2 x − cos x − + C 2 2 1 − cos2 x 1 1 1 1 1 1  c) ∫ sin 2 xdx = ∫ dx = ∫  − cos2 x  dx = x − ∫ cos2 xd ( 2 x ) = x − sin 2 x + C 2 2 4 2 4 2 2 
Công thức 6: ∫ dx = tan x + C cos 2 x Chứng minh: Thật vậy, do ( tan x + C )′ = 1 dx ⇒∫ = tan x + C 2 cos x cos 2 x Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được + dx 1 d ( ax + b ) du ∫ cos u = tan u + C 2 1 dx 1 = tan 2 x + C 2 2x 2 ∫ cos ( ax + b ) = a ∫ cos ( ax + b ) = a tan ( ax + b ) + C → ∫ cos 2 2 Ví dụ: dx 1  1  a) ∫  + cos x − sin 2 x  dx = ∫ + ∫ cos xdx − ∫ sin 2 xdx = tan x + sin x + cos 2 x + C 2 2 cos x 2  cos x   1 2  dx dx 1 d ( 2 x − 1) 2 d (5 − 4x) b) I = ∫  + + 2∫ = ∫ − ∫  dx = ∫ 2 2 2 cos ( 2 x − 1) 5 − 4 x 2 cos ( 2 x − 1) 4 5 − 4x  cos ( 2 x − 1) 5 − 4 x  du 1 1 tan ( 2 x − 1) − ln 5 − 4 x + C 2 2 du dx 1 d (3 − 2x ) 1 cos 2 u c) I = ∫ =− ∫  → I = − tan ( 3 − 2 x ) + C 2 2 cos ( 3 − 2 x ) 2 cos ( 3 − 2 x ) 2  →= cos2 u
Công thức 7: ∫ dx = − cot x + C sin 2 x Chứng minh: Thật vậy, do ( − cot x + C )′ = 1 dx ⇒ ∫ 2 = − cot x + C sin 2 x sin x Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được + dx 1 d ( ax + b ) du ∫ sin u = − cot u + C 2 1 dx 1 = − cot 2 x + C 2 2x 2 ∫ sin ( ax + b ) = a ∫ sin ( ax + b ) = − a cot ( ax + b ) + C → ∫ sin 2 2 Ví dụ: Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 1 dx 1 x6   a) ∫  cos 2 x − 2 + 2 x5  dx = ∫ cos 2 xdx − ∫ 2 + ∫ 2 x 5 dx = sin 2 x + cot x + + C sin x sin x 2 3   du dx 1 d (1 − 3 x ) 1 1 sin 2 u b) I = ∫ 2 =− ∫ 2  → I = − − cot (1 − 3 x )  + C = cot (1 − 3x ) + C sin (1 − 3x ) 3 sin (1 − 3 x ) 3 3  x d  du dx 2  x sin 2 u c) I = ∫ = 2 ∫    → I = −2 cot   + C x x     2 sin 2   sin 2   2 2
Công thức 8: ∫ e x dx = e x + C Chứng minh: Thật vậy, do ( e x + C )′ = e x ⇒ ∫ e x dx = e x + C Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ eu du = eu + C 1  2 x+ k e dx = e 2 x + k + C ∫  1 1  2 + ∫ e ax + b dx = ∫ e ax + b d ( ax + b ) = e ax + b + C  → a a  e k − 2 x dx = − 1 e k − 2 x + C  ∫ 2 Ví dụ: 1 4  dx 4 1 1 d ( 3x )  a) ∫  e −2 x +1 − 2 + dx = ∫ e −2 x +1dx − ∫ 2 + ∫ dx = − ∫ e −2 x +1d ( −2 x + 1) − ∫ 2 + 4.2 x  sin 3x sin 3 x 2 3 sin 3 x x x  1 1 = − e −2 x +1 + cot 3x + 8 x + C 2 3 b) ∫ ( 4e 3 x+2 + cos (1 − 3x ) ) dx = 4 ∫ e3 x + 2 dx + ∫ cos (1 − 3 x ) dx = 4 3x+2 1 e d ( 3x + 2 ) − ∫ cos (1 − 3 x ) d (1 − 3 x ) ∫ 3 3 4 1 = e3 x + 2 − sin (1 − 3 x ) + C 3 3
Công thức 9: ∫ a x dx = ax +C ln a Chứng minh:  ax ′ a x ln a ax Thật vậy, do  +C = = a x ⇒ ∫ a x dx = +C ln a ln a  ln a  Chú ý: + Mở rộng với hàm số hợp u = u ( x) , ta được ∫ a u du = a u + C + ∫ a kx + m dx = 1 kx + m 1 a d ( kx + m ) = a kx + m + C ∫ k k Ví dụ: 1 3x 1 2x 23 x 32 x a u du 2 d 3 x + 3 d 2 x  → I = + +C ( ) ∫ ( ) 3∫ 2 3ln 2 2ln 3 1 3 21− 2 x 3 4 x + 3 − e 4 x + 3 ) dx = ∫ 21− 2 x dx − ∫ 3e 4 x + 3 dx = − ∫ 21− 2 x d (1 − 2 x ) − ∫ e 4 x + 3 d ( 4 x + 3) = − + e +C 2 4 2ln 2 4 a) I = ∫ ( 23 x + 32 x ) dx = ∫ 23 x dx + ∫ 32 x dx = b) ∫ (2 1− 2 x Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp • ∫ 0dx = C • ∫ a x dx = • ∫ dx = x + C • ∫ xα dx = • x α +1 α +1 ax + C (0 < a ≠ 1) ln a • ∫ cos xdx = sin x + C + C, (α ≠ −1) • ∫ sin xdx = − cos x + C 1 ∫ x dx = ln x + C • ∫ e x dx = e x + C • ∫ • ∫ 1 cos2 x 1 sin2 x dx = tan x + C dx = − cot x + C 1 • ∫ cos(ax + b)dx = sin(ax + b) + C (a ≠ 0) a • ∫ eax + b dx = 1 • ∫ sin(ax + b)dx = − cos(ax + b) + C (a ≠ 0) a • 1 1 ax + b e + C , (a ≠ 0) a 1 ∫ ax + bdx = a ln ax + b + C LUYỆN TẬP TỔNG HỢP Ví dụ 1. Chứng minh F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) biết rằng  F ( x) = (4 x − 5)e x a)  x  f ( x) = (4 x − 1)e  F ( x) = tan 4 x + 3 x − 5 b)  5 3  f ( x) = 4 tan x + 4 tan x + 3   x2 + 4   F ( x) = ln  2    x +3 c)  −2 x  f ( x) = 2  ( x + 4)( x 2 + 3)   F ( x) = ln  d)   f ( x) = 2  x2 − x 2 + 1 x2 + x 2 + 1 2( x 2 − 1) x4 + 1 Ví dụ 2. Tìm các nguyên hàm sau 1  1) ∫  x 2 – 3 x +  dx = .......................................................................... x  2) ∫ 3) 2 x4 + 3 dx = .................................................................................. x2 ∫ x −1 dx = ................................................................................... x2 ( x 2 − 1)2 4) ∫ dx = .............................................................................. x2 5) ∫ ( ) x + 3 x + 4 x dx = ...................................................................................... 2   1 6) ∫  − 3  dx = ............................................................................... x  x 7) ∫ 2sin 2 x dx = ............................................................. 2 Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 8) ∫ tan 2 xdx = ............................................................................ 9) ∫ cos 2 xdx = ................................................................ 10) ∫ 1 dx = ......................................................................................... sin x.cos 2 x 11) ∫ cos 2 x dx = .................................................................................................................................... sin 2 x.cos 2 x 2 12) ∫ 2sin 3 x cos 2 xdx = ............................................................................................ 13) ∫ e x ( e x – 1) dx = .............................................................................  e− x  14) ∫ e x  2 +  dx =....................................................................................... cos 2 x   2x   15) ∫  e3 x +1 +  dx = ...................................................................................................................... x −1   Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: a) f ( x ) = x 3 − 4 x + 5; c) f ( x ) = e) f ( x ) = 3 − 5x 2 ; x x3 − 1 x2 ; g) f ( x ) = sin 2 x.cos x; i) f ( x ) = F (1) = 3 b) f ( x ) = 3 − 5 cos x; F ( e) = 1 d) f ( x ) = F (−2) = 0 f) f ( x ) = x x + π F '  = 0 3 h) f ( x ) = x3 + 3x3 + 3x − 7 ( x + 1)2 ; F (0) = 8 x2 + 1 ; x F (π) = 2 F (1) = 1 ; x 3x 4 − 2 x 3 + 5 x2 3 2 F (1) = −2 ; F (1) = 2 x π π k) f ( x) = sin 2 ; F   = 2 2 4 BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1. Cho hàm số g(x). Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: a) g( x ) = x cos x + x 2 ; f ( x ) = x sin x; π F  =3 2 b) g( x ) = x sin x + x 2 ; f ( x ) = x cos x; F (π) = 0 c) g( x ) = x ln x + x 2 ; f ( x ) = ln x; F (2) = −2 Bài 2. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):  F ( x ) = mx 3 + (3m + 2) x 2 − 4 x + 3 a)  . Tìm m. 2  f ( x ) = 3 x + 10 x − 4  F ( x ) = ln x 2 − mx + 5  b)  . Tìm m. 2x + 3  f (x) = 2 x + 3x + 5  Bài 3. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x): Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831)  F ( x ) = (ax 2 + bx + c) x 2 − 4 x a)  . Tìm a, b, c.  f ( x ) = ( x − 2) x 2 − 4 x Facebook: LyHung95  F ( x ) = (ax 2 + bx + c)e x b)  . Tìm a, b, c. x  f ( x ) = ( x − 3)e Bài 4. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):  F ( x ) = (ax 2 + bx + c)e−2 x a)  . Tìm a, b, c. 2 −2 x  f ( x ) = −(2 x − 8x + 7)e  F ( x ) = (ax 2 + bx + c)e − x b)  . Tìm a, b, c. 2 −x  f ( x ) = ( x − 3 x + 2)e Bài 5. Tìm điều kiện của tham số để hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x):  b c  a)  F ( x ) = (a + 1)sin x + 2 sin 2 x + 3 sin 3 x . Tìm a, b, c.  f ( x ) = cos x  F ( x ) = (ax 2 + bx + c) 2 x − 3  b)  . Tìm a, b, c. 20 x 2 − 30 x + 7 f ( x ) =  2x − 3  Bài 6. Tính các nguyên hàm sau: 1) I1 = ∫(x 5 ) + 2 x dx  1  2) I 2 =  7 − 3 3 x 5  dx x   1 2 x − 4 x 3 + 2  dx 4) I 4 =   5 x   x ∫ ∫( ∫ 3) I 3 = 1   5) I 5 = ∫  x + dx x  6) I 6 = ∫ ) x 2 − 4 x3 + 2 x3 dx 5 2 x4 + 3 dx x2 Bài 7. Tính các nguyên hàm sau: 7) I 7 = ∫ ( ) x −1 2 dx x 3 x 4 + 2 x3 − x 2 + 1 10) I10 = ∫ dx x2 8) I 8 = ∫ ( 2 x − 1) dx 2 3 11) I11 = ∫ 9) I 9 = ∫ x2 − x x − x dx x (x 3 16) I16 = ∫ ( x − 24 x )( x − x ) dx 2 1   14) I14 = ∫  x + 3  dx x  1 17) I17 = dx (2 x − 3)5 ∫ + 4) 2 dx x2 1   1 12) I12 = ∫  − 3  dx x  x Bài 8. Tính các nguyên hàm sau: 1   13) I13 = ∫  x −  dx x  2 ( 2 x − 3 3x 15) I15 = ∫ 18) I18 = ∫ ( x − 3) x x +1 4 ) 2 dx dx Bài 9. Tính các nguyên hàm sau: x  x π  19) I19 = sin  +  dx 20) I 20 =  sin 2 x + sin  dx 3 2 7    π x +1 2 x 22) I 22 =  sin  3x +  − sin  dx 23) I 23 = ∫ cos dx 4 2  2   ∫ ∫ ∫ x   21) I 21 = ∫  sin + x  dx 2   x 24) I 24 = ∫ sin 2 dx 2 Bài 10. Tính các nguyên hàm sau: 26) I 26 = ∫ dx cos 2 4 x 29) I 29 = ∫ tan 4 x dx 27) I 27 = ∫ dx cos ( 2 x − 1) 2 28) I 28 = ∫ ( tan 2 x + 2 x ) dx dx sin ( 2 x + 3) 30) I 30 = ∫ cot 2 x dx 31) I 31 = ∫ 1   33) I 33 = ∫  x 2 + 2 + cot 2 x  dx x   x+2 36) I 36 = ∫ dx x−3 1   34) I 34 = ∫  x 2 +  dx 3x + 2   2x −1 37) I 37 = ∫ dx 4x + 3 2 Bài 11. Tính các nguyên hàm sau: 32) I 32 = ∫ dx 1 − cos 6 x 1   35) I 35 = ∫  sin 2 x −  dx 2 − 5x   Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Bài 12. Tính các nguyên hàm sau: x dx 6 − 5x 3x 3 + 2 x 2 + x + 1 41) I 41 = ∫ dx x+2 38) I 38 = ∫ Bài 13. Tính các nguyên hàm sau: 44) I 44 = ∫ e−2x +3dx   2 47) I 47 = ∫  e− x + 2  dx sin (3 x + 1)   x 2 + x + 11 dx x+3 4 x3 + 4 x 2 − 1 42) I 42 = ∫ dx 2x + 1 2x2 − x + 5 dx x −1 4 x2 + 6x + 1 43) I 43 = ∫ dx 2x + 1 45) I 45 = ∫  cos(1 − x) + e3 x −1  dx  e− x  48) I 48 = ∫ e x  2 +  dx cos 2 x   46) I 46 = ∫ x.e − x +1dx 39) I 39 = ∫ 40) I 40 = ∫ 2 49) I 49 = ∫ ( 21− 2 x − e 4 x + 3 ) dx Bài 14. Tính các nguyên hàm sau: 50) I 50 = ∫ 1 dx 2x 51) I 51 = ∫ 2x dx 7x Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) ∫ 52) I 52 = 32 x +1 dx Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tài liệu bài giảng: 02. PP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM Thầy Đặng Việt Hùng CÁC BIỂU THỨC VI PHÂN QUAN TRỌNG 1 1 1 1. xdx = d ( x 2 ) = d ( x 2 ± a ) = − d ( a − x 2 ) 2 2 2 6. dx = −d ( cot x ) = −d ( cot x ± a ) = d ( a − cot x ) sin 2 x 1 1 1 2. x 2 dx = d ( x 3 ) = d ( x 3 ± a ) = − d ( a − x3 ) 3 3 3 7. dx =d 2 x 3. sin x dx = −d (cos x) = −d (cos x ± a ) = d (a − cos x) 8. e x dx = d ( e x ) = d ( e x ± a ) = −d ( a − e x ) 4. cos x dx = d (sin x) = d (sin x ± a ) = −d (a − sin x) 9. 5. dx = d ( tan x ) = d ( tan x ± a ) = −d ( a − tan x ) cos 2 x ( x) = d( 10. dx = c) I 3 = ∫ Lời giải:  x  1 1 2 2  xdx = d   = d x = d x ± a  2 2 2   a) Sử dụng các công thức vi phân   du  u = d ( ln u ) ( ) ( ) 1 1 d ( ax + b ) = − d ( b − ax ) a a ∫ ( ) 2 ( dx = d ( ln x ) = d ( ln x ± a ) = −d ( a − ln x ) x Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: x a) I1 = dx b) I 2 = x(1 + x 2 )10 dx 1 + x2 ∫ ) x ± a = −d a − x ( x 2 dx x3 + 1 ) ) 2 2 du = d (ln u ) = ln u + C x 1 d x 1 d x +1 1 ∫ u ∫ dx = = ←→ I1 = ln x 2 + 1 + C. Ta có I1 = 2 2 2 2 1+ x 2 2 1+ x 1+ x 2  x  1 1 2 2  xdx = d   = d x = d x ± a 2 2 2    b) Sử dụng các công thức vi phân   u n +1   n u du = d     n +1  ∫ ∫ ∫ ( ( ) ∫ ( Ta có I 2 = x 1 + x 2 ) 10 1 dx = 2 ∫ (1 + x ) d ( x 2 10 2 ) +1 ( (1 + x ) = 2 ) 11 22  2  x3  1 3  x dx = d   = d x ± a   3 3 c) Sử dụng các công thức vi phân   du 2 u = d u  ( ) + C. ) ( ) 3 3 1 d ( x + 1) 2 d ( x + 1) 2 x3 + 1 = ∫ x 3 + 1 3 ∫ 2 x3 + 1 = 3 + C. x3 + 1 3 Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: dx a) I 4 = ∫ x 1 − x 2 dx b) I 5 = ∫ 2x −1 Ta có I 3 = ∫ x 2 dx = Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) c) I 6 = ∫ 5 − 2 x dx Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Lời giải: 2  x  1 1 2 2  xdx = d   = d x = − d a − x 2   2  2 a) Sử dụng các công thức vi phân   u n +1   n u du = d     n +1  ( ) ( ) (1 − x ) 2 3 1 1 1 1 Ta có I 4 = ∫ x 1 − x dx = ∫ (1 − x 2 ) 2 d ( x 2 ) = − ∫ (1 − x 2 ) 2 d (1 − x 2 ) = − 2 2 1 1  dx = a d ( ax + b ) = − a d ( b − ax ) b) Sử dụng các công thức vi phân   du = d u  2 u 2 + C. 3 ( ) du d ( 2 x − 1) 2 u = d ( u ) dx 1 d ( 2 x − 1) = ∫ =∫ ← → I5 = 2 x − 1 + C. 2x −1 2 2x − 1 2 2x −1 1 1   dx = a d ( ax + b ) = − a d ( b − ax )  c) Sử dụng các công thức vi phân   n +1  u n du = d  u    n +1 Ta có I 5 = ∫ 3 1 (5 − 2x) 1 1 1 2 (5 − 2x )2 ⇒ I 6 = ∫ 5 − 2 x dx = ∫ 5 − 2 x d ( 2 x ) = − ∫ ( 5 − 2 x ) 2 d ( 5 − 2 x ) = − . +C = − + C. 2 2 2 3 3 Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 2 x3 ln 3 x dx a) I 7 = dx b) I 8 = ∫ c) I = 9 ∫ x dx 5 4 (3 − 2 x)5 x −5 3 ∫ Lời giải: 4  3 x  1 1 4 4  x dx = d   = d x ± a = − d a − x 4   4  4 a) Sử dụng các công thức vi phân   u − n +1   du = d    un  −n + 1    x4  4 d 4   5 1 3 5 5 x4 − 5 5 x − 5 − 4  1 2x 1  4 4 5 ⇒ I7 = dx = 2 = x −5 d x −5 = . +C = 5 4 5 4 2 4 8 x −5 x −5 2 ( ∫ ∫( ∫ ) ( ) ( ( ) ) ( ) ) 4 + C. ( 3 − 2 x ) + C. dx 1 5 = − ∫ (3 − 2x ) d (3 − 2x) = − 5 (3 − 2 x) 2 12 6 b) Ta có I 8 = ∫ dx ln 3 x ln 4 x = d ( ln x ) ta được I 9 = ∫ dx = ∫ ln 3 x d ( ln x ) = + C. x x 4 Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 3 dx cos x a) I10 = ∫ b) I11 = dx c) I12 = cos x sin x dx 2010 x ( 4 − 2x) c) Sử dụng công thức vi phân ∫ ∫ Lời giải: a) Ta có I10 = ∫ ( 4 − 2x ) 3 3 (4 − 2x) −2010 = − ∫ ( 4 − 2x ) d (4 − 2x) = − 2 2 −2009 −2009 3 dx 2010 cos u du = d ( sin u )  b) Sử dụng các công thức vi phân  dx =d x  2 x +C = 3 4018 ( 4 − 2 x ) 2009 + C. ( ) Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 ( ) cos x cos x dx = 2 dx = 2 cos x d x = 2sin x + C. x 2 x cos u du = d ( sin u ) c) Sử dụng các công thức vi phân  sin x dx = −d ( cos x ) Ta có I11 = ∫ ∫ ∫ 3 Ta có I12 = ∫ 1 2 cos x sin x dx = − ( cos x ) d ( cos x ) = − ∫ 2 ( cos x ) 2 3 =− 2 cos3 x + C. 3 Ví dụ 5. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: sin x dx cos5 x Lời giải: sin u du = −d ( cos u ) a) Sử dụng các công thức vi phân  cos x dx = d ( sin x ) a) I13 = ∫ 3 Ta có I 3 = b) I14 = ∫ sin x cos x dx ∫ 3 sin x cos x dx = ∫ c) I15 = ∫ sin 4 x cos x dx 1 4 3   u 3 du = d  u 3  4     1 3 4 → I13 = ( sinx ) d ( sin x ) ← 3 ( sinx ) 3 4 +C = 3 3 sin 4 x +C 4 ( cos x ) + C = 1 + C. sin x d (cos x) dx = − ∫ =− 5 5 cos x cos x −4 4 cos 4 x cos x dx = d ( sin x )  c) Sử dụng các công thức vi phân  n  u n +1  u du = d     n +1  −4 b) Ta có I14 = ∫  u5  u 4 du = d    5    Khi đó ta được I15 = ∫ sin x cos x dx = ∫ sin x d ( sin x ) ← → I15 = 4 4 sin 5 x + C. 5 Ví dụ 6. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: a) I16 = ∫ tanx dx b) I17 = ∫ sin 4 x cos 4 x dx Lời giải: sin x dx = −d (cos x)  a) Sử dụng các công thức  du  ∫ u = ln u + C d ( cos x ) sin xdx Ta có I16 = ∫ tan x dx = ∫ = −∫ = − ln cos x + C. cos x cos x 1 1 b) Ta có I17 = sin 4 x cos 4 x dx = sin 4 x cos 4 x d ( 4 x ) = 4 4 ∫ ∫ ∫ c) I18 = ∫ sin x dx 1 + 3cos x sin 4 x d ( sin 4 x ) 3 1 2 ( sin 4 x ) 2 sin 3 4 x = . +C = + C. 4 3 6 d ( cos x ) sin x dx 1 d ( 3cos x + 1) 1 c) Ta có I18 = ∫ = −∫ =− ∫ = − ln 1 + 3cos x + C. 1 + 3cos x 1 + 3cos x 3 1 + 3cos x 3 Ví dụ 7. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 2cos x dx cos x dx a) I19 = ∫ b) I 20 = ∫ c) I 21 = ∫ tan x.ln ( cos x ) dx 2 4sin x − 3 ( 2 − 5sin x ) Lời giải: cos xdx = d (sin x)  a) Sử dụng công thức vi phân  du  1  u2 = d  − u     2 d ( sin x ) 2cos x dx 2 d ( 2 − 5sin x ) 2 ⇒ I19 = ∫ =∫ =− ∫ = + C. 2 2 2 5 ( 2 − 5sin x ) 5 ( 2 − 5sin x ) ( 2 − 5sin x ) ( 2 − 5sin x ) Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 cos xdx = d (sin x)  b) Sử dụng công thức vi phân  du 2 u = d u  ( ) Ta được I 20 = ∫ d ( sin x ) cos x dx 1 d ( 4sin x ) 1 d ( 4sin x − 3) 1 =∫ = ∫ = ∫ = 4sin x − 3 + C. 4sin x − 3 4sin x − 3 4 4sin x − 3 2 2 4sin x − 3 2  d ( cos x ) sin xdx =− = − ln cos x + C  tan xdx = cos x cos x c) Sử dụng các công thức nguyên hàm cơ bản  2  u du = u + C  2 d ( cos x ) sin x Ta có I 21 = ∫ tan x.ln ( cos x ) dx = ∫ ln ( cos x ) dx = − ∫ ln ( cos x ) = − ∫ ln ( cos x ) d ( ln cos x ) = cos x cos x ln 2 (cos x) ln 2 (cos x) =− + C  → I 21 = − + C. 2 2 Ví dụ 8. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: tan x tan 3 x tan 2 x + 1 a) I 22 = dx b) I = dx c) I 24 = dx 23 2 4 cos 2 2 x cos x cos x Lời giải:  dx  cos 2 x = d ( tan x ) a) Sử dụng các công thức  2  u du = u + C  ∫ 2 tan x dx tan 2 x tan 2 x Ta có I 22 = dx = tan x . = tan x d tan x = + C  → I = + C. ( ) 22 2 2 cos 2 x cos 2 x  dx  cos 2 x = d ( tan x ) b) Sử dụng các công thức   1 = 1 + tan 2 x  cos 2 x ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) ∫( ) tan 3 x 1 dx dx = tan 3 x. 2 . = tan 3 x. 1 + tan 2 x d (tan x) = tan 5 x + tan 3 x d (tan x) 4 2 cos x cos x cos x 6 4 tan x tan x tan 6 x tan 4 x = + + C  → I 23 = + + C. 6 4 6 4 1 d (ax) 1  dx  cos 2 ax = a cos 2 ax = a d ( tan(ax) ) c) Sử dụng các công thức  2  u du = u + C  ∫ 2 tan 2 x + 1 tan 2 x dx dx 1 tan 2 x d (2 x) 1 d (2 x) Ta có I 24 = dx = + = + 2 2 2 2 cos 2 2 x cos 2 x cos 2 x cos 2 x 2 cos 2 2 x 1 1 tan 2 2 x tan 2 x tan 2 2 x tan 2 x = tan 2 x d (tan 2 x) + d (tan 2 x) = + + C  → I 24 = + + C. 2 2 4 2 4 2 Ví dụ 9. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: cot x tan x cot x a) I 25 = ∫ 2 dx b) I 26 = ∫ dx c) I 27 = ∫ dx 3 π sin x cos x  cos  x +  2  Lời giải:  dx  sin 2 x = − d ( cot x ) a) Sử dụng các công thức  2  u du = u + C  ∫ 2 Ta có I 23 = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 cot x dx cot 2 x cot 2 x dx = cot x . = − cot x d cot x = − + C  → I = − + C. ( ) 25 2 2 sin 2 x sin 2 x sin x dx = −d ( cos x )  b) Sử dụng các công thức  du u − n +1 +C ∫ n = −n + 1  u Ta có I 25 = ∫ ∫ ∫ d ( cos x ) ( cos x ) + C = 1 + C  tan x sin xdx 1 dx = ∫ = −∫ =− → I 26 = + C. 3 4 4 3 cos x cos x cos x −3 3cos x 3cos3 x  cos x dx = d ( sin x )  π   c) Sử dụng các công thức cos  x +  = − sin x 2    du 1 ∫ 2 = − + C u  u cot x cos x cos x dx d (sin x) 1 1 Ta có I 27 = ∫ dx = ∫ dx = − ∫ = −∫ = + C  → I 27 = + C. 2 2 π sin x. ( − sin x ) sin x sin x sin x sin x  cos  x +  2  Ví dụ 10. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: −3 Ta có I 26 = ∫ a) I 28 = ∫ e tan x + 2 dx cos 2 x e 2 ln x + 3 e) I 32 = ∫ dx x Lời giải: x 3e x c) I 30 = ∫ x.e1− x dx b) I 29 = ∫ dx d) I 31 = ∫ ecos x sin x dx 2 ( )  dx =d x  a) Sử dụng các công thức  2 x  eu du = eu + C ∫ Ta có I 28 = ∫ 3e x x ∫ dx = 3.2 e x dx = 6 e xd 2 x ∫ ( x ) = 6e x + C  → I 28 = 6e x + C.  dx  cos 2 x = d ( tan x ) = d ( tan x ± k ) b) Sử dụng các công thức   eu du = eu + C ∫ tan x + 2 e dx dx Ta có I 29 = ∫ = ∫ e tan x + 2 = e tan x + 2 d ( tan x + 2 ) = e tan x + 2 + C  → I 29 = e tan x + 2 + C. 2 cos x cos 2 x ∫ 1 1  2 2  x dx = 2 d ( x ) = − 2 d (1 − x ) c) Sử dụng các công thức   eu du = eu + C ∫ 2 2 2 2 2 1 1 1 Ta có I 30 = ∫ x.e1− x dx = ∫ e1− x x dx = − ∫ e1− x d (1 − x 2 ) = − e1− x + C  → I 30 = − e1− x + C . 2 2 2 sin x dx = −d ( cos x ) d) Sử dụng các công thức  u u  ∫ e du = e + C Ta có I 31 = ∫ ecos x sin x dx = − ∫ ecos x d ( cos x ) = −ecos x + C  → I 31 = −ecos x + C .  dx  = d ( ln x ) = d ( ln x ± k ) e) Sử dụng các công thức  x  eu du = eu + C ∫ 2 ln x + 3 e dx 1 1 dx = ∫ e 2 ln x + 3 = ∫ e 2 ln x + 3 d ( ln x ) = ∫ e 2 ln x + 3 d ( 2ln x + 3) = e 2 ln x + 3 + C. Ta có I 32 = ∫ x x 2 2 Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Vậy I 32 = ∫ Facebook: LyHung95 e2 ln x + 3 1 dx = e 2 ln x + 3 + C. x 2 LUYỆN TẬP TỔNG HỢP 1. Vi phân nhóm hàm đa thức, hàm căn • I1 = ∫ x3 (4 − 5 x 4 )dx = .................................................................................................................................... • I 2 = ∫ 2 x 2 3 1 + 3 x3 )dx = ................................................................................................................................. xdx • I3 = ∫ • I4 = ∫ 4 3 − 2 x2 = ........................................................................................................................................... x5 dx = .......................................................................................................................................... 1 − 5 x6 3x3 • I5 = ∫ • I6 = ∫ 2 + 3x 4 dx = ...................................................................................................................................... xdx ( 2 − 3x 2 ) 2 = ......................................................................................................................................... • I 7 = ∫ x cos(3 − 4 x 2 )dx = ................................................................................................................................ • I 8 = ∫ x 3 sin(1 + 5 x 4 )dx = ............................................................................................................................... • I 9 = ∫ xe −4 x 2 +5 dx = .......................................................................................................................................... 4 e x dx • I10 = ∫ 2 = ................................................................................................................................................ x • I11 = ∫ e3 x dx = .............................................................................................................................................. 2 x • I12 = ∫ dx = ........................................................................................................................................... x+3 x 2. Vi phân nhóm hàm lượng giác • I1 = ∫ sin x.cos3 xdx = ................................................................................................................................... • I 2 = ∫ cos x.sin 5 xdx = ................................................................................................................................... • I 3 = ∫ sin x. 3cos x + 2dx = ......................................................................................................................... • I 4 = ∫ cos x. 4 5 − 2 sin xdx = .......................................................................................................................... • I5 = ∫ sin xdx = ...................................................................................................................................... 2 + 5cos x Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 sin xdx = ...................................................................................................................................... 1 − 3cos x • I6 = ∫ cos xdx • I7 = ∫ (1 − 2 sin x ) = ..................................................................................................................................... 2 • I8 = ∫ sin 2 xdx = ...................................................................................................................................... 7 − 2 cos 2 x • I9 = ∫ sin 3 xdx = ..................................................................................................................................... 1 + 2 cos 3 x • I10 = ∫ tan xdx = ........................................................................................................................................... 3cos 2 x • I11 = ∫ tan xdx = ............................................................................................................................................ cos 4 x • I12 = ∫ sin x.e3cos x − 2 dx = ................................................................................................................................. • I13 = ∫ cos 2 x.e 2 −5sin 2 x dx = ............................................................................................................................. • I14 = ∫ e2cot x −1 dx = ........................................................................................................................................ sin 2 x • I15 = ∫ dx = ........................................................................................................................... sin x 4 cot x − 3 2 3. Vi phân nhóm hàm mũ, loga • I1 = ∫ • I2 = ∫ • I3 = ∫ ex dx = ......................................................................................................................................... 2e x − 1 e3 x 1 − 5e3 x dx = ..................................................................................................................................... e −2 x (1 − 3e−2 x ) 2 dx = .................................................................................................................................. ln 3 x • I4 = ∫ dx = ........................................................................................................................................... x • I5 = ∫ • I6 = ∫ • I7 = ∫ dx = ..................................................................................................................................... x 1 − 5 ln x dx x ( 2 + 3ln x ) 2 ln xdx x 1 − 4 ln 2 x = .................................................................................................................................. = ................................................................................................................................... BÀI TẬP LUYỆN TẬP Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) x 1) I1 = ∫ 1+ x 4) I 4 = ∫ 2 dx cos x sin xdx x dx x2 + 5 ln 3 x I10 = ∫ dx x sin x I13 = ∫ dx cos5 x e tan x I16 = ∫ dx cos 2 x dx I19 = ∫ (3 − 2 x)5 7) I 7 = ∫ 10) 13) 16) ∫ Facebook: LyHung95 ∫ 2) I 2 = x(1 + x 2 )10 dx 3) I 3 = sin x dx 3 x dx 4) I 8 = ∫ 2x −1 6) I 6 = 5) I 5 = ∫ cos cos x dx x ∫ 3 sin x cos xdx 3) I 9 = ∫ 5 − 2 xdx 11) I11 = ∫ x.e x +1dx 12) I12 = ∫ sin 4 x cos xdx 14) I14 = ∫ cot x dx 15) I15 = ∫ 2 17) I17 = ∫ e x 18) I18 = ∫ x x 2 + 1 dx dx x tan x dx cos 2 x x 2 dx 20) I 20 = ∫ x 2 x3 + 5 dx 21) I 21 = ∫ 22) I 22 = ∫ x 1 − x 2 dx 23) I 23 = ∫ cos x 1 + 4sin x dx 24) I 24 = ∫ x x 2 + 1 dx 25) I 25 = ∫ ecos x sin x dx 26) I 26 = ∫ x.e x 19) ∫ 28) I 28 = x.e1− x dx 2 29) I 29 = ∫ (e 2 +2 sinx sin x dx 1 + 3cos x e2 ln x +1 30) I 30 = ∫ dx x 27) I 27 = ∫ dx ) + cos x cos x dx Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) x3 + 1 Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95 Tài liệu bài giảng: 03. PP ĐỔI BIẾN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM – P1 Thầy Đặng Việt Hùng Dạng 1. Đổi biến số cho các hàm vô tỉ Phương pháp giải: Nếu hàm f(x) có chứa n g ( x) thì đặt t = n g ( x) ⇔ t n = g ( x)  → n.t n −1 = g '( x)dx Khi đó, I = ∫ f ( x)dx = ∫ h(t )dt , việc tính nguyên hàm ∫ h(t )dt đơn giản hơn so với việc tính ∫ f ( x)dx.
MỘT SỐ VÍ DỤ MẪU: Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: xdx a) I1 = b) I 2 = x3 x 2 + 2 dx 4x + 1 Lời giải: ∫ ∫ 2tdt = 4dx  2 a) Đặt t = 4 x + 1 ⇔ t = 4 x + 1  → → I1 = t 2 − 1  x = 4  3 3   1t 1  (4 x + 1) =  −t+C =  − 4 x + 1  + C.  8 3 8 3    ∫ ∫ c) I 3 = x 2 dx 1− x t 2 − 1 tdt . xdx 4 2 = 1 (t 2 − 1)dt = t 8 4x + 1 ∫ ∫ b) Đặt t = x 2 + 2 ⇔ t 2 = x 2 + 2  → x 2 = t 2 − 2 ⇔ 2 xdx = 2tdt  → x3 dx = x 2 .xdx = (t 2 − 2).tdt ( ) ( 5 ) 3 x2 + 2 2 x2 + 2 t5 t3 Khi đó I 2 = x + 2 .x dx = t. t − 2 tdt = t − 2t dt = − 2. + C = − +C 5 3 5 3 2 dx = −2tdt 1 − t 2 .tdt x 2 dx 2 2 c) Đặt t = 1 − x ⇔ t = 1 − x ⇔ x = 1 − t  → 2 → I3 = = −2 2  2 t 1− x  x = 1 − t  (1 − x)5 2 (1 − x)3  2  t 5 2t 3  = −2 1 − t 2 dt = −2 t 4 − 2t 2 + 1 dt = −2  − + t  + C = −2  − + 1− x  + C   3 5 3 5    ∫ 2 3 ∫ ( 2 ) ∫( 4 2 ) ( ∫( ) Khi đó I 2 = ∫ ∫( 3 ) ∫ ∫ ( 2 ) ∫ (t 4 − 2t 2 ) (x t5 t3 dt = − 2. + C = 5 3 2 +2 ) 5 − 5 Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: ln x dx ln 2 x dx a) I 4 = b) I 5 = x 1 + ln x x 3 2 − ln x ∫ ∫ ( ) ) x + 2 .x dx = t. t − 2 tdt = 2 ∫ c) I 6 = ∫ 2 (x 2 +2 3 ) 3 + C. ln x 3 + 2ln x dx x Lời giải: ( ) ln x = t − 1 t 2 − 1 .2tdt ln x dx  →  dx  → I4 = = a) Đặt t = 1 + ln x ⇔ t = 1 + ln x  t 1 + ln x x  = 2tdt x  (1 + ln x)3   t3  2 (1 + ln x)3 = 2 ∫ ( t 2 − 1) dt = 2  − t  + C = 2  − 1 + ln x  + C  → I4 = − 2 1 + ln x + C .   3 3 3    2 2 ∫ ln x = 2 − t 3  →  dx  → I5 = b) Đặt t = 2 − ln x ⇔ t = 2 − ln x  2  = 3t dt  x 3 3 Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) ∫ ∫ (2 − t 3 ) 2 .3t 2 dt dx = 3 t 2 − ln x x ln 2 x . ∫ Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) Facebook: LyHung95  3 (2 − ln x)8 4 3 (2 − ln x)5   t 8 4t 5  = 3∫ ( t 7 − 4t 4 + 4t ) dt = 3  − + 2t 2  + C = 3  − + 2 3 (2 − ln x)2  + C   5 8 5 8     t2 − 3 ln x =  2 → c) Đặt t = 3 + 2ln x ⇔ t 2 = 3 + 2ln x  2 dx  = 2tdt  x Từ đó ta có I 6 = ∫  t2 − 3  ln x 3 + 2ln x dx dx 1 = ln x 3 + 2ln x . =   .t.tdt = x x 2 2   ∫  1  t5 t5 t3 =  − t3  + C = − + C = 2 5 10 2  ∫ ( 3 + 2 ln x )5 10 ( 3 + 2ln x )3 − 2 Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: dx e 2 x dx a) I 7 = b) I8 = ex −1 ex + 1 ∫ ∫ ( ) ∫x 4 ) − 3t 2 dt ( 3 + 2ln x )5 + C  → I6 = c) I 9 = 3 ∫ (t 10 ( 3 + 2ln x )3 − 2 dx d) I10 = x +4 2 + C. ∫x dx x4 + 1 Lời giải: e x = t 2 − 1 e x = t 2 − 1  x 2 x → x ← → a) Đặt t = e − 1 ⇔ t = e − 1  2tdt e dx = 2tdt dx = 2 t −1  dx 2tdt 2dt 2dt (t + 1) − (t − 1) dt dt Khi đó I 7 = = = 2 = = dt = − 2 x (t − 1)(t + 1) (t − 1)(t + 1) t −1 t +1 t.(t − 1) t −1 e −1 ∫ ∫ ∫ = ln t − 1 − ln t + 1 + C = ln ∫ t −1 + C = ln t +1 ex −1 −1 ex − 1 + 1 ∫ = ∫ (t 2 ) − 1 .2tdt t3 =2 ∫ ex −1 − 1 + C  → I 7 = ln e x = t 2 − 1 b) Đặt t = e + 1 ⇔ t = e + 1  → x  → I8 = e dx = 2tdt 2 x ∫ x ∫ ex −1 + 1 e 2 x dx (e x ) +1 3 = ∫ ∫ + C. e x .e x dx (e x ) +1 3 = ∫ (t 2 ) − 1 .2tdt t 3  x t2 −1 dt  1    1 dt = 2 dt − = 2 t + + C = 2 e + 1 +   + C .      t2 t2    t ex + 1   ∫ ∫  x2 = t 2 − 4 2 2  x = t − 4   → ← →  dx xdx c) Đặt t = x 2 + 4 ⇔ t 2 = x 2 + 4  tdt 2 xdx = 2tdt  = 2 = 2 x t −4 x dx 1 dx 1 tdt dt 1 (t + 2) − (t − 2) 1  dt dt  Khi đó, I 9 = = = . 2 = 2 = dt =  −  t t −4 4 t −2 t +2 t − 4 4 (t + 2)(t − 2) x x2 + 4 x2 + 4 x ∫ = ∫ ∫ 1 1 t−2 1 ln t − 2 − ln t + 2 ) + C = ln + C = ln ( 4 4 t+2 4 ∫ ∫ x2 + 4 − 2 x2 + 4 + 2 ∫ + C  → I9 = 1 ln 4 ∫ x2 + 4 − 2 x2 + 4 + 2 + C.  x4 = t 2 − 1 4 2   x = t −1 d) Đặt t = x 4 + 1 ⇔ t 2 = x 4 + 1  → 3 ← →  dx x3 dx tdt  4 x dx = 2tdt  = 4 = x 2(t 2 − 1) x dx 1 dx 1 tdt 1 dt 1 (t + 1) − (t − 1) Khi đó, I10 = = . = . 2 = = dt 2 t 2(t − 1) 2 t − 1 4 (t + 1)(t − 1) x x4 + 1 x4 + 1 x ∫ ∫ ∫ ∫ 1  dt dt  1 1 t −1 1 =  − + C = ln  = ( ln t − 1 − ln t + 1 ) + C = ln 4  t −1 t +1 4 4 t +1 4 ∫ ∫ ∫ x4 + 1 − 1 x4 + 1 + 1 + C. Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) Học online: www.moon.vn Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) a) I11 = ∫1+ c) I13 = ∫ dx 2 − 5x b) I12 = x 3 dx d) I14 = 4 + x2 3 Facebook: LyHung95 x dx ∫1− 2 + x2 1 + 4ln 2 x ln x dx x ∫ Lời giải: 2tdt 5 dx 2 t dt 2 1+ t −1 2  1  2 Khi đó, I11 = =− =− dt = − 1 −  dt = − ( t − ln t + 1 ) + C 5 1 + t 5 1 + t 5 1 + t 5 1 + 2 − 5x   2  → I11 = − 2 − 5 x − ln 2 − 5 x + 1 + C . 5 a) Đặt t = 2 − 5 x ⇔ t 2 = 2 − 5 x ⇔ 2tdt = −5dx  → dx = − ∫ ∫ ∫ ( ∫ ) b) Đặt t = 2 + x 2 ⇔ t 2 = 2 + x 2 ⇔ 2tdt = 2 xdx  → xdx = tdt x dx t dt 1 − (1 − t ) d (1 − t )  1  Khi đó, I12 = = = dt =  − 1 dt = − − dt = − ln 1 − t − t + C 2 t t t 1 − 1 − 1 − 1− t   1− 2 + x ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫  → I12 = − ln 1 − 2 + x 2 − 2 + x 2 + C . x2 = t3 − 4 2 3  x t 4 = − 3   c) Đặt t = 3 4 + x 2 ⇔ t 3 = 4 + x 2  → 2 ← → → x3 dx = t 3 − 4 t 2 dt 3t 2 dt  2  xdx = 3t dt = 2 xdx 2  ( 3 2 33 ( 4 + x 3 ( t − 4 ) t dt 3 4 3  t5 2  → I13 = ∫ = ∫ = ∫ ( t − 4t ) dt =  − 2t  + C = 3 t 2 2 5 10 4 + x2 2  dx ln x dx tdt d) Đặt t = 1 + 4 ln 2 x ⇔ t 2 = 1 + 4ln 2 x ← → 2tdt = 4.2ln x.  → = x x 4 x 3 dx  → I14 = ∫ ln x dx tdt 1 2 t3 1 + 4ln 2 x = t. = t dt = + C = x 4 4 12 ∫ ∫ (1 + 4 ln x ) ) ) 2 5 − 33 ( 4 + x2 ) 4 2 + C. 3 2 12 + C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP 4 − 3x dx x +1 1) I1 = ∫ x +1 dx x xdx 5) I 7 = ∫ 1 + 2x −1 7) I 7 = ∫ x 3 x + 4 dx 3) I 3 = ∫ 9) I 9 = ∫ x 3 dx 3 11) I11 = ∫ 13) I13 = ∫ 1 + x2 dx x3 x 2 + 4 e 2 x dx 1+ e −1 x xdx 2x + 1 2) I 2 = ∫ 4) I 4 = ∫1+ dx 1 + 3x 6) I 6 = ∫ x 3 1 − x 2 dx 8) I 8 = ∫ x 2 3 − 2 x dx 10) I10 = ∫ dx x x3 + 1 1 + 3ln x ln x 12) I12 = dx x ∫ 14) I14 = ∫ Học offline: Ngõ 72 Tôn Thất Tùng (Đối diện ĐH Y Hà Nội) ( dx x 1+ x ) 2 Học online: www.moon.vn