ĐƠN VỊ: TRƯỜNG THCS YÊN TRẤN
Chuyên đề: Tính chất dãy tỉ số bằng nhau
A. Lý
thuyết:
1. Tỉ lệ thức:
là đẳng thức:
a c
=
b d
2. Tính chất của tỉ lệ thức:
- Nếu
a c
= thì ad = bc
b d
- Nếu ad = bc và a,b,c,d khác không thì:
a c
a b d c
d b
= ;
= ;
= ;
=
b d
c d
b a
c a
a c
a b d c
d b
- Từ tỉ lệ thức = , suy ra các tỉ lệ thức : = ; = ; =
b d
c d
b a
c a
3. Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
a c a +c a - c
= =
=
b d b +d b - d
a c e a �c �e ma �nc �pe
- Tính chất mở rộng: b =d =f =b �d �f =mb �nd �pf
- Tính chất:
(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
a b c
- Nếu: x =y =z , ta nói a, b, c tỉ lệ với x, y, z , viết: a:b:c = x:y:z
B. Bài tập:
Dạng I: Tìm các giá trị của biến trong các tỉ lệ thức.
Ví dụ 1: Tìm x, y biết: x : 5 =y : ( - 3) và y - x =24
Phân tích đề bài: Ta phải viết tỉ lệ thức dưới dạng dãy tỉ số bằng nhau.
x y
y x
Giải: Từ: x : 5 =y : ( - 3) � = � =
5
-3
-3
5
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
y x y - x 24
= =
= =- 3
-3 5 -3 - 5 -8
x
=- 3 � x =5. - 3 � x =- 15
5
y
=- 3 � y =- 3. - 3 � y =9
-3
( )
�
( )
Vậy: x =- 15 ; y =9 .
Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết.
x y z
= = và. 2 x +3y +z =34
2 3 4
Phân tích đề bài: Để áp dụng được tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta phải biến
đổi dãy tỉ số sao cho hệ số của x, y, z ở các tử của dãy tỉ số bằng hệ số của x, y, z
trong đẳng thức, bằng cách áp dụng tính chất cơ bản của phân số. Cụ thể nhân cả
tử và mẫu của tỉ số
x
y
với 2 và nhân cả tử và mẫu của tỉ số
với 3 rồi áp dụng
2
3
tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm x, y. z.
Giải: Ta có:
x y z 2x 3y z
= = = = = . Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2 3 4 4
9 4
2 x 3y z 2x +3y +z 34
= = =
= =2
4
9 4
4 +9 +4
17
x
� =2 � x =2.2 � x =4
2
y
=2 � y =3.2 � y =6
3
z
=2 � z =4.2 � z =8
4
Vậy: x =4 ; y =6 ; z =8 .
Ví dụ 3: Tìm x, y, z biết. 2x =3y =4 z và x +y +z =169 .
Phân tích đề bài: Ta đưa dãy đẳng thức 2x =3y =4 z về dạng dãy tỉ số bằng nhau
sao cho hệ số của x, y, z trong dãy tỉ số bằng nhau bằng bằng 1.
Cách làm chia các tích cho 12 [ vì: BCNN ( 2;3; 4) =12 ] sau đó làm như ví dụ 3
2 x 3y 4 z x y z
Giải: Từ: 2x =3y =4 z � = = = = =
12
12
12
6
4
3
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x y z x +y +z 169
= = =
=
=13
6 4 3 6 +4 +3 13
x
� =13 � x =6.13 � x =78
6
y
=13 � y =4.13 � y =52
4
z
=13 � z =3.13 � z =39
3
Vậy: x =78 ; y =52 ; z =39 .
x y
Ví dụ 4: Tìm x, y biết. = và x.y =112
4 7
Phân tích đề bài: Để áp dụng được tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta phải biến đổi
dãy tỉ số bằng nhau làm xuất hiện tích x.y bằng cách lập luận để chứng tỏ x � 0
x y
= với x. Thay x.y =112 vào rồi tính.
4 7
x y
� x.y= 112 x
0 nhân cả hai vế của = với x ta được:
Giải: Vì
4 7
2
2
x
xy 112
x
= =
=16 �
=16 � x 2 =4.16 � x 2 =64 � x =�8
4
7
7
4
112
Nếu x =- 8 � - 8.y =112 � y = � y =-14
-8
112
Nếu x =8 � 8y =112 � y = � y =14
8
Vậy: x =- 8 ; y =- 14 hoặc x =8 ; y =14
rồi nhân hai vế của hai tỉ số
Nhận xét: Ở bài này ta còn có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ.
x y y z
= ; = và x - 2y +3z =19
2 3 2 3
x y y z
Phân tích đề bài: Đưa hai dãy tỉ số = ; = về một dãy ba tỉ số bằng nhau
2 3 2 3
Ví dụ 5: Tìm x, y, z biết.
bằng cách biến đổi y ở hai dãy tỉ số về cùng mẫu sau đó làm giống ví dụ 4
Giải:
x y
x y�
= � = �
2 3
4 6 �� x = y = z =2y = 3z
�
y z
y z � 4 6 9 12 27
= � = �
2 3
6 9�
x 2 y 3z x - 2 y +3z 19
= =1
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: = = =
4 12 27 4 - 12 +27 19
x
� =1 � x =4.1 =4
4
y
=1 � y =6.1 � y =6
6
z
=1 � z =9.1 � z =9
9
Vậy: x =4 ; y =6 ; z =9
* Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm x, y biết.
x y
= và x - y =30
6 9
x y
c) = và x.y =180
4 5
a)
b)
x
y
= và 2 x - y =34
19 21
d) x : y =4 : 5 và x.y =5
Bài 2: Tìm x, y, z biết.
x y z
= = và x +y +z =9
2 3 4
x y z
c) = = và 5x +y - 2z =28
10 6 21
a)
x y z
= = và x - 3y +4 z =62
4 3 9
2 x 3y 4 z
= =
d)
và x +y +z =49
3
4
5
b)
Bài 3: Tìm x, y, z biết.
x 7 y 5
a) y =20 ; = và 2x +5y - 2z =100
z 8
b)
x -1 y - 2 z - 3
=
=
và 2x +3y - z =50
2
3
4
Dạng II: Chia tỉ lệ.
* Chú ý:
1) x, y, z tỉ lệ thuận với a, b, c � x : y : z =a : b : c ( Hay
x y z
= = )
a b c
1 1 1
2) x, y, z tỉ lệ nghịch với a, b, c � x : y : z = : : ( Hay ax =by =cz )
a b c
* Bài tập:
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có các góc A, B, C tỉ lệ với 7: 5: 3. Các góc ngoài
tương ứng tỉ lệ với các số nào.
Phân tích đề bài: Nếu gọi ba góc của tam giác ABC lần lượt là: A$, B�, C� .
$ B
� C
�
A
Vì ba góc A$, B�, C� tỉ lệ với 7: 5: 3 nên ta có = =
7
5
3
Tổng ba góc của một tam giác bằng 180 nên ta có: A$ +B� +C� =1800
Từ đó ta tìm được số đo các góc của tam giác,
Mà tổng của góc ngoài và góc trong tại một đỉnh của tam giác bù nhau.
0
Giải:
Gọi ba góc trong và góc ngoài của tam giác ABC lần lượt là: A$, B�, C� và
$1 ; B
�1 ; C
�
A
1
$ B
� C
�
A
Theo bài ra ta có: = = và A$ +B� +C� =1800 .
7 5 3
(
$, B
�, C
� <1800
00
0) .
Theo bài ra ta có: 1500a =2000b =3000c và a +b +c =1530
a b c
Từ: 1500 a =2000b =3000c � = =
4
3
2
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a b c a +b +c 1530
= = =
=
=170
4 3 2 4 +3 +2
9
� a =4.170 =680 ;
b =3.170 =510 ;
c =2.170 =340
Vậy số hàng cần chuyển tới ba kho A, B, C lần lượt là: 680 tạ, 510 tạ, 340 tạ.
Ví dụ 3: Chu vi của hình chữ nhật bằng 28 dm. Tính độ dài mỗi cạnh, biết rằng
chúng tỉ lệ với 3; 4.
Phân tích đề bài: Trong hình chữ nhật có hai kích thước là chiều dài và chiều
rộng (còn được gọi là hai cạnh của hình chữ nhật) chiều rộng thì ngắn hơn chiều
dài. Hai cạnh của chúng tỉ lệ với 3; 4 vậy cạnh ngắn tỉ lệ với 3 còn cạnh dài tỉ lệ
với 4.
Nếu gọi hai cạnh của hình chữ nhật là a và b ( 0 0 . CMR:
b d
a c
Gi¶i: Ta cã: : Cho < vµ b; d > 0 nªn:
b d
a c
Theo tÝnh chÊt: NÕu b > 0; d > 0 th× tõ: <
b d
ab ab +cd cd
a ab +cd c
Ta cã: 2 < 2 2 < 2 � < 2 2 <
b
b +d
d
b b +d
d
Ví dụ 2: : Cho
a ab +cd c
<
<
b b 2 +d 2 d
ab cd
ab cd
< � 2 < 2
bb dd
b
d
a a +c c
<
suy ra: <
b b +d d
Bài tập :
Cho a; b; c; d > 0 . CMR: 1<
a
b
c
d
+
+
+
<2
a +b +c b +c +d c +d +a d +a +b