Tài liệu Chuyên đề PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Tác giả: Th.S Nguyễn Ngọc Quang - GV Toán, trường THPT Bình Xuyên Đối tượng bồi dưỡng: Học sinh lớp 10. Số tiết bồi dưỡng: 15 tiết A. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG I. KIẾN THỨC CƠ BẢN Dạng 1: �f ( x) �0 (hoac g ( x) �0) f ( x )  g ( x) � � � �f ( x)  g ( x) Dạng 2: �g ( x) �0 f ( x)  g ( x) � � � 2 f ( x )  g ( x )   � � Dạng 3: a. f ( x)  b. g ( x)  c. h( x) Cách giải: Đặt điều kiện rồi bình phương hai vế đưa về dạng 1 hoặc dạng 2. II. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1. Giải phương trình  x 2  4 x  3  2 x  5. Lời giải � 5 �x � pt � � 2 2 2 �  x  4 x  3  2 x  5   � Vậy phương trình có nghiệm x  � 5 �x �2 � 5 � 14 �x � � � �� 2 �� x2 � x 5 � 5 x 2  24 x  28  0 �� 14 � � �x  � 5 �� 14 . 5 Ví dụ 2. Giải phương trình 7  x 2  x x  5  3  2 x  x 2 . Lờigiải �  x 2  2 x  3 �0 � pt ��۹ � 7  x2  x x  5   x2  2 x  3 � � 3 �x �1 � � �x x  5  2 x  4 1 � � 3 �x �1 � � �x 0 � 2 x  4 � x5  � x � 3 �x �1 � � 2 �x  0 �x �0 � � 3 �x �1 x  1 � � �� � �2 x  4 �0 � �2 �x  0 � �� � x  1 x   4 � � x �3 � 2 �x  x  16 x  16  0 � �� x4 4 x 2  16 x  16 �� �x  5  2 x � Vậy phương trình có nghiệm x = -1 x 2  8x  15  x 2  2 x  15  4 x 2 18 x  18 . Ví dụ 3 Giải phương trình Lơig giải �x 2  8 x  15 �0 � �2  2x 15 0 Điều kiện: �x � � 2 4 x 18 x  18 �0 � pt � � x �5 � x 5 � � x3 �  x  5   x  3   x  5   x  3    4 x  6   x  3    �  x  5  x  3   x  5  x  3  2 x 2  25  x  3   4 x  6   x  3    2  � 2 x 2  25  x  3  2  x  3 � x 2  25  x  3   x  3 2 2 � x3 � �  x  3  6 x  34   0 � � 17 x � � 3 2 Ví dụ 4 Cho phương trình: 2 x 2  2 x  m  x  1. a) Tìm m để phương trình có nghiệm. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Lời giải �x �1 �x �1 � pt � � � 2 2 �� m  x 2  4 x 1 2 x  2 x  m   x  1 � � � 1; � . Xét hàm số y  x 2  4 x  1 trên � � Bảng biến thiên: 2 2 4 Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số 1; � với đường thẳng y = m. Dựa vào bảng biến thiên ta có: y  x 2  4 x 1 trên � � a) Phương trình có nghiệm ۳ m 5 . b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt � 5  m �4 . III. BÀI TẬP TỰ GIẢI 1) x 2  2 x  6  2  x. DS: x  5 3 2) x 2  x  2  x  3. DS: x  1. 3) x  2  x 2  3x  1  0. DS: x  3. 4)2 3x  1  x 1  2 2 x 1. DS: x  5. 5) 5 x 1  3x  2  x  1  0. DS: x  2. 6) x 2  x  x2  2 x  2 x2 . DS: x  0, x  9 8. 7) 2 x 2  8 x  6  x 2 1  2 x  2. DS: x  1, x  1. 8) x 2  3x  2  x 2  6 x  5  2 x 2  9 x  7. DS: x  1, x  5. 9) Cho phương trình x 2  3x  2m  x  2 . a) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất. ĐS: m  3 2 hoac m  1. b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt. ĐS: 1 �m  3 2 . 10) Cho phương trình 2 x 2  2 x  m  2 x 1 . Tìm m để phương trình có nghiệm. ĐS: m �7 2 . 3 B. PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ I. KIẾN THỨC CƠ BẢN Dạng 1: 3 f ( x )  3 g ( x )  3 h( x ) pt � f ( x)  g ( x)  33 f ( x).g ( x) Thay 3  3  f ( x)  3 f ( x)  h( x)  1 h( x)  3 f ( x)  3 g ( x ) vào (1) được:  1 � f ( x)  g ( x)  33 f ( x).g ( x).h( x)  h( x) �f ( x)  h( x)  g ( x)  k ( x) f ( x)  h( x)  h( x)  k ( x) , trong đó: � �f ( x).h( x)  g ( x).k ( x) Dạng 2: Cách giải: pt � f ( x )  h( x )  k ( x )  h( x ) �  f ( x)  h( x)   2  k ( x)  h( x)  2 II. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1. Giải phương trình: 3 x 1  3 x  2  3 x  3  0 . Lời giải pt � 3 x  1  3 x  2   3 x  3  1 �  3  3 x  1  3 x  2    x  3 � 2 x  3  33  x  1  x  2   3  x 1  3 x  2   x  3  2 Thay (1) vào (2) được:  2 � 33  x  1  x  2  x  3  3  x  2 �  x  1  x  2  x  3   x  2  3 � x  2 Thử lại thấy x = - 2 thỏa mãn phương trình. Vậy phương trình có nghiệm x = - 2. Ví dụ 2 Giải phương trình: 3 3x  1  3 2 x 1  3 5x  1  0  1 . Lời giải pt � 5x  2  33  3x  1  2 x 1 Thay (1) vào (2) được: 4  3  3 x 1  3 2 x 1  5 x  1  2   2  � 33  3x 1  2 x 1  5x 1  3 �  3x  1  2 x  1  5 x  1  1 x0 � � � 30 x  19 x  0 � 19 � x � 30 3 2 Thử lại, ta thấy chỉ có x  x 19 thỏa mãn phương trình. Vậy phương trình có nghiệm 30 19 . 30 x2  2 x  x  2  x  x2  2 x  2 . Ví dụ 3 Giải phương trình: Lời giải Điều kiện: x �1  3 . pt � x 2  2 x  x  x 2  2 x  2  x  2     � x 2  3 x  2 x x 2  2 x  x 2  3x  2 x 2  2 x  2  x  2  � x 1 � x x2  2 x  x 2  2 x  2  x  2  � x 2  x  2  0 � � x  2 (loai) �     Thử lại, thấy x = 1 không thỏa mãn phương trình. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. III. BÀI TẬP TỰ GIẢI 1) 3 x 1  3 x  3  3 2. DS: x  1, x  3. 2) 3 2 x3 1  3 1  x3  x. DS: x  0, x  1, x  1 3 2 . 3) 3 x 1  3 x  2  3 2 x  3. DS: x  1, x  2, x  3 2. 4) 2 x  8  2 x  3  x  6  x  5. DS: vô nghiêm. 5) x3  1  x  1  x 2  x  1  x  3. DS: x  1 � 3. x3 C. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ I. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT MỘT ẨN PHỤ 1. Dạng 1: A. f ( x)  B. g ( x)  C  0 . Cách giải: Đặt t  f ( x)  t �0  đưa phương trình về dạng At. 2  B.t  C  0 . 5 Ví dụ 1. Giải phương trình: 2 x2  4 x 1   x2  2x 1 . Lời giải Đặt t  2 x 2  4 x  1  t �0  . Ta có phương trình: � t 1 1 2 3 t t   0 � � 2 2 t  3 (loai) � � x0 2 Với t  1 � 2 x  4 x  1  1 � � x  2 � Vậy phương trình đã cho có nghiệm x  0, x  2 .   2 Ví dụ 2 Giải phương trình: x 2  1  5  x 2 x 2  4 . Lời giải pt � x 4  2 x 2  x 2 x 2  4  4  0 Đặt t  x 2 x 2  4 . Ta có phương trình : � t  4 t 2  2t  8  0 � � t2 � �x  0 � � x  0 � � 2 � � x2  2 * Với t  4 � x 2 x  4  4 � � 4 � 2 � x 2 ��2 �x  2 x  8  0 x   4 (loai) � �� * Với �x  0 � � x  0 � t  2 � x 2 x 2  4  4 � � � x2  3  1 �4 �� 2 � x �x  2 x  2  0 ��2 � x   3  1 (loai) �� Vậy phương trình đã cho có nghiệm x   2 , x  Ví dụ 3 Giải phương trình : x 2  2 x x  1  3x  1 . x Lời giải 6 3 1 . 3 1 �x �0 � 1 �x  0 � �� Điều kiện : � 1 x �1 � �x  x �0 � 1 1 1 pt � x   2 x   3  0 . Đặt t  x   t � . Ta có phương trình : x x x � t 1 t 2  2t  3  0 � � t  3 (loai) � � 1 5 x � 1 2 2 � Với t  1 � x   1 � x  x 1  0 � � 1 5 x x � 2 � Vậy phương trình có nghiệm x  2. Dạng 2 : A. 1 5 1 5 , x . 2 2   f ( x) � g ( x)  B. f ( x).g ( x)  h( x)  0 Cách giải : Đặt t  f ( x)  g ( x) Ví dụ 1. Giải phương trình : 3x  7  3  3x  3  3x  7   3  3x   5 Lời giải 7 3 Điều kiện :  �x �1 . t 2 10 Đặt t  3x  7  3  3x  t �0  �  3 x  7   3  3 x   . Ta có phương trình : 2 � t4 � 3t  2t  40  0 � � 10 t (loai) � 3 � 2 Với t  4 � 3x  7  3  3x  4 �  3x  7   3  3x   3 � 2  13 x � 3 2 � � 3x  4 x  3  0 � � 2  13 � x 3 � 7 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x  2  13 2  13 , x . 3 3 Ví dụ 2 Giải phương trình : 3x  2  x  1  4 x  9  2 3x 2  5 x  2 Lời giải Điều kiện : x �1 . Đặt t  3x  2  x 1  t �0  � t 2  4 x  3  2 3x 2  5 x  2 . Ta có phương trình : � t 3 t2  t  6  0 � � t  2 (loai) � Với t  3 � 3x  2  x 1  3 � 3 x 2  5 x  2  6  2 x �x �3 �x �3 �x �3 � � � �� 2 � �2 � ��x  2 � x  2 2 3x  5 x  2  36  24 x  4 x � �x 19 x  34  0 �� x  17 �� Vậy phương trình đã cho có nghiệm x  2 . Ví dụ 3 Giải phương trình : x  4  x 2  2  3x 4  x 2 Lời giải Điều kiện : 2 �x �2 . Đặt t  x  4  x 2 � x 4  x 2  t2  4 . Ta có phương trình : 2 � t2 � 3t  2t  8  0 � � 4 t � 3 � 2 � x0 2 2 2 Với t  2 � x  4  x  2 � 4  x  2  x � x  2 x  0 � � x2 � 4 3 Với t   � x  4  x 2   4 � 3 4  x 2  3 x  4 3 8 � 4 �x � 3 � � 4 �� 2  14 2  14 �x � 3 �� � x x � �� 3 3 � 18 x 2  24 x  20  0 �� � �� 2  14 x �� 3 �� 2  14 Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm : x  0, x  2 , x  . 3 3. Dạng 3 : A. f ( x)  B.g ( x)  C. f ( x).g ( x) Cách giải : Chia hai vế phương trình cho g(x) được : A. f ( x) f ( x) f ( x)  B  C. rồi đặt t  g ( x) g ( x) g ( x) ta thu được phương trình : At. 2  C.t  B  0 . Ví dụ 1: Giải phương trình : 2 x 2  6 x  4  3 x3  8 . Lời giải Điều kiện : x �2 .     pt � 2 x 2  2 x  4  2  x  2   3 x 2  2 x  4  x  2  � 2  2. Đặt t  x2 x2 3 2 x  2x  4 x  2x  4 2 x2  t �0  , ta có phương trình : x  2x  4 2 � 1 t � 2t  3t  2  0 � � 2 � t  2 loai � 2  Với t   1 x2 1 � 2  � x 2  6 x  4  0 � x  3 � 13 2 x  2x  4 2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x  3 � 13 . Ví dụ 2: Giải phương trình : 2 x 2  5 x 1  7 x3  1 . Lời giải 9 Điều kiện : x �1 .     pt � 3  x 1  2 x 2  x  1  7 x 2  x  1  x 1 � 3. Đặt t  x 1 x  x 1 2 x 1 x 1 27 2 x  x 1 x  x 1 2  t �0  , ta có phương trình : � 1 t 3t  7t  2  0 � � � 3 t2 � � 2 * Với t  � x 1 1  � x2  8x  10  0 � x  4 � 6 x  x 1 3 * Với t  2 � x 1  2 � 4 x2  3 x  5  0 (vô nghiệm). x  x 1 1 3 2 2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x  4 � 6 . Dạng 4: Đặt ẩn phụ không hoàn toàn. Ví dụ 1: Giải phương trình : x 2  3x  1   x  3 x 2  1 Lời giải Đặt t  x 2  1  t �1 . Ta có phương trình : t 2   x  3 t  3x  0  1 Xem (1) là phương trình bậc 2 với biến số t và x là tham số. � tx 2 2    x  3  12 x   x  3 � � t 3 � � �x �0 2 * Với t  x � x  1  x � � 2 2 �x  1  x � vô nghiêm * Với t  3 � x 2  1  3 � x  � 2 2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x  � 2 2. 10 Ví dụ 2: Giải phương trình : 2 x3  2 x  1   4 x  1 x3  1 Lời giải Đặt t  x3  1  t �0  � 2 x3  2t 2  2 . Ta có phương trình : 2t 2   4 x 1 t  2 x 1  0  1 Xem (1) là phương trình bậc 2 với biến số t và x là tham số.    4 x  1  8  2 x  1   4 x  3 2 2 � t  2 x 1 � �� 1 t � 2 � 1 �x � � x2 * Với t  2 x  1 � x  1  2 x 1 � � 2 3 2 �x  4 x  4 x  0 � 3 1 2 * Với t  � x3  1  1 3 � x  3 2 4 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x  2, x   3 Ví dụ 3 Giải phương trình : 3  3 . 4   2 x 2  1  1  x 1  3x  8 2 x 2  1 Lời giải   pt � 3 2 x 2  1   8 x  3 2 x 2  1  3x 2  x  0 Đặt t  2 x 2  1  t �1 . Ta có phương trình : 3t 2   8 x  3 t  3 x2  x  0  1 Xem (1) là phương trình bậc 2 với biến số t và x là tham số.    8 x  3  36 x  12 x   10 x  3 2 x 3 * Với t  � 2 x 2  1  2 x � vô nghiêm 3 11 2 � x t �� � 3 t  3x  1 �  � 2 �x � � x0 * Với t  3x  1 � 2 x  1  3x  1 � � 3 2 � 7x  6x  0 � 2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x  0 . 4 2 . 3 x 5. BÀI TẬP TỰ GIẢI 1)6 x 2  2 x  3 3x 2  x  4 18  0. DS: x  1, x   4 3 2)2 3 x 2  5 x  2  x  x  5  2. DS: x  3, x  2 3)3x 2 12 x  5 10  4 x  x 2  12  0. DS: x  2 � 5 4)  x  4   x  1  3 x 2  5x  2  6. DS: x  2, x  7 5)2   x  3  10  x  30  7 x  x 2  4 6) 2 x  3  4  x  3x  6 2 x 2  5x  12  23. DS: x  3, x  11 9 7)3   x  7  6  x  2  x 2  x  42  3  0. DS: x  3, x  2 2 7 2 9) x 2  x  7  x 2  x  2  3x 2  3x  19. DS: x  2, x  1 8) 4 x 2  x  6  4 x  2  7 x  1. DS: x  10) 2 x 2  12 x  5  2 x 2  3 x  5  8 x. DS: x  11) 2  x 2  2  6 � 26 2 � 1� 1  4  �x  � . DS: x  1 2 x � x� 12)3 2  x  6 2  x  4 4  x 2  10  3x. DS: x  6 5   13) x 2  3  x 2  2 x  1  2 x 2  2. DS: � 14 3 14)  3x  1 2 x 2 1  5 x 2  x  3. DS: x  � 1, x  5 2 15) x 2  2  x 1 x 2  x  1  x  2  0. DS: x  0, x  1 II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT HAI ẨN PHỤ 1. Dạng 1 : A.  n  f ( x)  n g ( x)  B.n f ( x).g ( x)  C  0 , trong đó f ( x)  g ( x)  D . Cách giải : Đặt u  n f ( x), v  n g ( x) đưa về hệ phương trình: 12 � �A  u  v   B.uv  c  0 �n u  vn  D � � Ví dụ 1: Giải phương trình: 3 1  x  3 1  x  2 . Lời giải Đặt u  3 1  x , v  3 1  x . Ta có hệ phương trình: � uv  2 � uv  2 � u  v  2 �u  1 � � � �� �� �x0 �3 � � 3 3 v 1 u v  2 � � �u  v   3uv  u  v   2 �uv  1 � Vậy phương trình có nghiệm x = 0. Ví dụ 2: Giải phương trình: 3 x  5  3 x  2  1. Lời giải Đặt u  3 x  5, v  3 x  2 . Ta có hệ phương trình: � u  v 1 � u  v 1 � � u  v 1 � u  2, v  1 x 3 � � � � � � � �3 � � � � 3 u  1, v  2 �x  6 u  v3  7 �  u  v   3uv  u  v   7 �uv  2 � � � Vậy phương trình có nghiệm x = 3, x = - 6. Ví dụ 3: Giải phương trình: 4 5  x  3 12  x  3 . Lời giải Đặt u  4 5  x , v  4 12  x  u, v �0  . Ta có hệ phương trình: � uv 3 � � uv3 uv 3 � � � 2 � � �4 � � 2 u  v4  17 ��  2u 2v 2  17 �2u 2v2  36uv  64  0 �u  v   2uv � � � � � � � u  v  3, uv  16 � u  2, v  1 �x  11 �� �� �� u  v  3, uv  2 u  1, v  2 x4 � � � Vậy phương trình có nghiệm x = -11, x = 4. 2. Dạng 2: A.n f ( x)  B m g ( x)  C , trong đó f ( x)  g ( x)  D . Cách giải: Đặt u  n f ( x), v  m g ( x) đưa về hệ phương trình: 13 � �Au  Bv  C �n u  vm  D � Ví dụ 1: Giải phương trình: 3 24  x  12  x  6 . Lời giải Đặt u  3 24  x , v  12  x  v �0  . Ta có hệ phương trình: � � u  0, v  6 x  24 � � uv  6 v  6u � � � � �� � u  3, v  3 � �x  3 �3 u  v 2  36 �u 3  u 2  12u  0 � � � u  4, v  10 � x  88 � � Vậy phương trình đã cho có nghiệm x  3, x  88, x  24 . Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 3 3x  2  3 6  5 x  8 . Lời giải Đặt u  3 3x  2, v  6  5 x  v �0  . Ta có hệ phương trình: � 2u  3v  8 � u  2 � � � � x  2 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x  2 . � 3 � 2 5u  3v  8 �v  4 � 3. Dạng 3:  ax  b   p n a ' x  b '  rx  q n Cách giải: + Nếu p.a '  0 thì đặt n a ' x  b'  ay  b . + Nếu p.a '  0 thì đặt n a' x  b'    ay  b  . Chú ý: Khi biến đổi phương trình về dạng  ax  b   p n a ' x  b '  rx  q cần tìm các n hệ số a, b sao cho: + a. p  r  a' nếu p.a'  0 + a. p  r  a ' nếu p.a '  0 Ví dụ 1: Giải phương trình: x 2  3  2 2 x  3 . Lời giải 14 Điều kiện: x � 3 2 Đặt t  2 x  3,  t �0  . Ta có hệ phương trình: � t 2  3  2 x  1 � �2 x  3  2t  2  � � � tx Lấy (1) – (2) được:  t  x   t  x  2   0 � � t  x  2 �  � x  1 � t  1 loai � x  2 x  3  0 � * Với t = x thay vào (1) được: � x  3�t  3 t / m � 2    2 * Với t   x  2 thay vào (1) được: x  2 x  1  0 � x  1 � t  1 loai  Vậy phương trình có nghiệm x = 3. Ví dụ 2: Giải phương trình: x 2  4 x  3  x  5 . Lời giải Điều kiện: x �5 pt �  x  2   x  5  7 2 Đặt x  5  y  2,  y �2  . Ta có hệ phương trình: �x  2 2  y  5 1    � � 2 � �y  2  x  5  2  �y  x Lấy (1) – (2) được:  y  x   y  x  3  0 � � �y   x  3 � 5  29 x t/m � 2 2 � * Với y = x thay vào (1) được: x  5 x 1  0 � � 5  29 x loai � 2 � 15      � x  1 t / m * Với y   x  3 thay vào (1) được: x  3x  4  0 � � � x  4 loai � 2  Vậy phương trình có nghiệm x  1, x  Ví dụ 3 Giải phương trình:   5  29 . 2 8x3  53x  36 x 2  3 3x  5  25 . Lời giải pt �  2 x  3  3 3x  5  x  2 3 Đặt 3 3x  5  2 y  3 . Ta có hệ phương trình: 3 �  2 x  3  2 y  x  5  1 � � 3 2 y  3  3 x  5  2  �  � 2 � � 9� 3 2 � 2 y  x  �  2 y  3  1� 0 � y  x Lấy (1) – (2) được:  y  x  � � 2� 4 � � � � x2 � * Với y = x thay vào (1) được: 8 x  36 x  51x  22  0 � � 5 � 3 x � 4 � 2 3 Vậy phương trình có nghiệm x  2, x  5� 3 . 4 4. BÀI TẬP TỰ GIẢI 1) 3 x  3  3 11  x  2. DS: x  4 �5 2 2) 4 47  2 x  4 35  2 x  4. DS: x  17, x  23 3) 4 x  8  4 x  8  2. DS: x  8 4) 3 7 x 1  2 x  1  6. DS: x  2. 5) 3x  7  2 3 x  6  3. DS: x  14, x  226 27 6) x 2  5 5x  4  4. DS: x  1, x  4 7)4 x 2  3x  1  5  13x. DS: x  15  97 11  73 ,x  8 8 16 D. PHƯƠNG PHÁP NHÂN LƯỢNG LIÊN HỢP I. PHƯƠNG PHÁP: + Dự đoán nghiệm x  x0 bằng máy tính bỏ túi. + Tách, ghép phù hợp để sau khi nhân liên hợp xuất hiện nhân tử chung  x  x0  . + Các công thức thường dùng trong nhân liên hợp Biểu thức Biểu thức liên hợp A B A B 3 A3 B 3 A3 B A B A B A2  3 AB  3 B 2 A2  3 AB  3 B 2 3 3 II. CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Giải phương trình: Tích A B A B A B A B x  1  1  4 x2  3x . Lời giải Điều kiện: x �0 . pt � 4 x 2  1  3x  x  1  0 �  2 x 1  2 x  1  � �  2 x  1 �2 x  1  � Vì x �0 nên 2 x  1  2 x 1 0 3x  x  1 � 1 � 0  1 3x  x  1 � 1 1  0 . Do đó  1 � x  2 3x  x  1 Ví dụ 2: Giải phương trình: x  2  4  x  2x2  5x 1 . Lời giải Điều kiện: 2 �x �4 . pt � x  2 1  4  x 1  2 x 2  5 x  3 x 3 x 3 �    x  3  2 x  1 x  2 1 4  x 1 � x 3 � 1 � 1 � �  x  3 �   2 x  1� 0 � � 1 1   2 x  1 (1) x  2  1 4  x  1 � � � 4  x 1 � x  2 1 17 � 1 2 1 1 1  2 � x � x  2 1 � Vì 2 �x �4 nên � 1 � 2 x  1 �5 �  2 x  1  5  3 � 4  x 1 � Từ (2) và (3) suy ra (1) vô nghiệm. Vậy phương trình có nghiệm x  3 . Ví dụ 3: Giải phương trình: 3x  1  6  x  3 x 2 14 x  8  0 . Lời giải 1 3 Điều kiện:  �x �6 . pt � 3x  1  4  3  x  5   6  x  1  3x 2 14 x  5  0 x 5   x  5  3x  1  0 3x  1  4 6  x  1 � � 3 1 �  x  5 �   3 x  1� 0  1 6  x 1 � 3x  1  4 � �  1 3 Vì  �x �6 nên 3 1   3x 1  0 3x  1  4 6  x  1 Do đó,  1 � x  5 Vậy phương trình có nghiệm x  5 . Ví dụ 4: Giải phương trình: 3 3  x  6 x  2  3x 2  2 x  7 . Lời giải Điều kiện: 2 �x �3 . pt � � 3 3  x    x  5  � 2 � 3 x  2   x  4  � 3  x 2  x  2  � � � � Vì 2 �x �3 nên 3 3  x  x  5  0,3 x  2  x  4  0 . Do đó:   2  x2  x  2  x2  x  2 pt �   3  x2  x  2 3 3 x  x  5 3 x  2  x  4 � � 1 2 �  x2  x  2 �   3 � 0  1 �3 3  x  x  5 3 x  2  x  4 �    18  Vì 2 �x �4 nên 3 3  x  x  5 �2,3 x  2  x  4 �2 � 1  3 3 x  x 5 3 x  2  x  4 � x  1 2 Suy ra  1 �  x  x  2  0 � � x2 � Vậy phương trình có nghiệm x  1, x  2 . Ví dụ 5: Giải phương trình: 5 x  1  12 x  8  x 2  3 . Lời giải Điều kiện: x �2 3 . pt � � 5 x  1   x  1 �  �12 x  8  2 x �  x 2  3x  2 � �� � Vì x �2 3 nên 5 x  1  x  1  0, 12 x  8  2 x  0 . Do đó:  x 2  3x  2  x 2  3x  2   x 2  3x  2 5 x 1  x  1 12 x  8  x  1 � � 1 1 �  x 2  3x  2 �   1� 0  1 12 x  8  x  1 � � 5 x 1  x  1 pt �  Vì x �2 3 nên  1 1  1  0 5 x 1  x  1 12 x  8  x  1 � x 1 2 Suy ra  1 �  x  3x  2  0 � � x2 � Vậy phương trình có nghiệm x  1, x  2 . III. BÀI TẬP TỰ GIẢI 1)2 x 2 11x  21  33 4 x  4. DS: x  3 2) x  3  x  x. DS: x  1  1  3)9 4 x  1  3x  2  x  3. DS: x  6 4) x  3  5  x  2 x 2  7 x  2  0. DS: x  4 5) x 2  9 x  20  2 3x  10. DS: x  3 6)2 x 2  4 x  1  6 x  4  2 x  3. DS: x  0, x  2. 19 3  0