Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
01. MỞ ĐẦU VỀ LŨY THỪA
.c
fb
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
m
o
1) Khái niệm về Lũy thừa
Lũy thừa với số mũ tự nhiên: a n = a.a.a...a, với n là số tự nhiên.
1
Lũy thừa với số nguyên âm: a − n = n , với n là số tự nhiên.
a
/g
m
Lũy thừa với số mũ hữu tỉ: a n = n a m =
( a)
n
m
với m, n là số tự nhiên.
1
ro
Đặt biệt, khi m = 1 ta có a n = n a .
2) Các tính chất cơ bản của Lũy thừa
p
u
a 0 = 1, ∀a
Tính chất 1: 1
a = a, ∀a
iL
a
T
s/
a > 1: a m > a n ⇔ m > n
Tính chất 2 (tính đồng biến, nghịch biến):
m
n
0 < a < 1: a > a ⇔ m < n
am > bm ⇔ m > 0
Tính chất 3 (so sánh lũy thừa khác cơ số): với a > b > 0 thì m
m
a < b ⇔ m < 0
Chú ý:
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0.
+ Khi xét luỹ thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dương.
ie
3) Các công thức cơ bản của Lũy thừa
Nhóm công thức 1:
n
Nhóm công thức 2:
m+ n
m n
n
ab = n a . n b ,
m
n
b) a π . 4 a 2 : a 4π
3
d) a 2 . .a1,3 : a 3
(a )
−1
2 −1
= a 2 a1−
2
=a.
1
3
3
=a
3. 3
= a3
1
0
2
=
a 2. .a1,3
= a1,3
a 2
Ví dụ 2: [ĐVH]. Đơn giản các biểu thức :
d) a 2 . .a1,3 : 3 a 3
c
( )
c) a
o
b) a π . 4 a 2 : a 4π
1
a2
= aπ π = a 2 = a
a
iH
2
2
a
Lời giải:
=a
∀a, b ≥ 0
iD
3
1
a) a 2 .
a
1
a = a3 ; n a = an
a
a
= n , ∀a ≥, b > 0
b
b
2 −1
2 −1
1
3
h
3
1
→ a = a2 ;
T
( )
c) a
m
a
n
Ví dụ 1: [ĐVH]. Rút gọn các biểu thức sau :
1
a) a 2 .
a
n
n
= a mn = ( a n )
( )
am = a n =
O
am
= a m−n
n
a
(a )
m
n
u
a .a = a
m
Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!
https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
a)
a2
(a
− b2
2
2
−b
3
.c
fb
a
c)
a
a2
3
− b2
2
2
3
)
− 1)( a
−b
2 3
3
+b
5
+1 =
2
a4
2 3
3
−b
3
7
d)
2 7
3
(a
+a
3
2
−b
(a
−a
7
+a 3 b 3 +b
3
3
3
2 7
3
2
) +1 = a
3
3
+b
3
−b
3
)
3
a
=
5
3
−b
a
π
)(
− 1 a2
a4
3
3
7
3
2
+b
3
+a
2
3
3
3
+a 3 b
2
−b
3
3
3
+b
3
)
3
=
2a
π
2
3
2 3
2 7
3
2
−b
3
2 3
3
7
3
+ a3
3
Lời giải:
3
7
2 7
2 5
3
3
3
3
a
+
a
b
+
b
2 5
3
+a
−a
a
(a − b )
) = ( a − 1)( a + 1) a ( a + 1 + a ) = a
(
a ( a − 1)( a + 1 + a )
2
+ a3
)( a
2
p
u
2 5
3
7
3
2 3
1π
π
π 2
a
+
b
−
(
) 4 ab
7
ro
a
−b
+a 3 b
a
c)
2
/g
(a
(a
b)
5
)
(a
b)
+1
m
o
a)
2 5
3
3
=a
5
3
−b
)
+1
7
3
1
2
d) ( a + b ) − 4 π ab = a 2 π + b2 π + 2a π b π − 4a π b π = ( a π − b π ) = a π − b π
Ví dụ 3: [ĐVH]. Viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ các biểu thức sau :
π
π 2
T
s/
a) A = 5 2 3 2 2
11
b) B = a a a a : a16
a
d) D = 5
iL
c) C = 4 x 2 3 x
b3 a
a b
( a > 0)
( ab > 0 )
Lời giải:
1
1
31
3
3 3 1 5
25
10
2
2
= 2 .2 = 2 .2 = 2 = 2
1
5
11
O
u
1
1
1
2
1
1
1
15
2
2
11
11
7
11
3
1
3 2
16
+1 2
+1 2
a
= a 2 a .a : a 16 = a 4 .a : a 6 = a 8 : a 16 = 11 = a 4
a 16
n
b) B = a a a a : a 16
ie
1
1 3
5
3
a) A = 2 2 2 = 2 2 .2 .2
1
5
h
T
Ví dụ 4: [ĐVH]. Rút gọn biểu thức sau :
1
2
−1
iH
a
iD
3
3
34
34
4
4
a
−
b
a
+
b
1
1
a−b
a −b 4
4
a) A = 3
− 1
: a −b
b) B =
− ab
1
1
1 1
1
a2 − b2
a 4 + a 2 b 4 a 4 + b 4
Lời giải:
1
1
1
1
1 1
1
1
1
1
2
2
2 2
a −b
a2 − b2 4
a
b
a
b
a
b
a
a
b
−
−
−
−
+
4
4
a) A = 3
− 1
: a − b4 = 1 1
−
:
a
−
b
=
1
1
1
1
1
1
1
1
1
a2 a4 + b4 a4 + b4
4
2 4
a 4 + b 4
a2 a4 + b4
a + a b
1
1
1
b2 a2 − b2
b
= 1
=
1
1
a
a 2 a 2 − b 2
1
2
.
1
1
a − b4
1
4
=
1
0
c
o
Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!
https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
m
o
.c
fb
3
3
3
1 1
1
1
34
32
34
12
12
4
4
2
2 2
2
2
a
−
b
a
+
b
a
−
b
−
a
b
a
−
b
a
−
b
( a − b)
b) B =
− ab =
= a −b
1
1
1
1
1
1
=
a2 − b2
a 2 − b2
a2 − b2
Ví dụ 5: [ĐVH]. Đơn giản các biểu thức sau (với giả thiết chúng có nghĩa)
2
3 32
1
a b a 14
a2 + 4
4
a) A = 3 +
a
+
b
b)
B
=
:
2
b a a b3
a2 − 4
a
+4
2a
Lời giải:
/g
a
1
+
1
1
a 2 b2 + 1
+ a : a 4 + b 4 = b ab3 =
1
1
2
3
1
1
ab
a 4 + b 4 ab3 a 4 + b 4
2 a 2 ⇔ a ≥ 0
=
=
a
−2 ⇔ a < 0
ro
3
2
32 12
3
1
a b 2 a 14
a b
a) A = 3 +
: a + b 4 = 3 1
3
b 2 a 2
b a a b
=
a2 + 4
p
u
a2 + 4
b) B =
a2 − 4
( a2 + 4)
a
+4 a
4a 2
2a
Ví dụ 6: [ĐVH]. Cho a, b là các số dương. Rút gọn biểu thức sau :
2
1
2
1
a
b
a) 3 a + 3 b a 3 + b 3 − 3 ab
b) a 3 + b 3 : 2 + 3 + 3
b
a
Lời giải:
2
2
2
2
3
3
a) 3 a + 3 b a 3 + b 3 − 3 ab = 3 a + 3 b 3 a − 3 a 3 b + 3 b = 3 a + 3 b = a + b
1
1
13
31 31 31
13 13
3
3
1 1
a
b
a
b
a
b
+
+
a b
1
3 3
13
a
b
a
b
b) a + b 3 : 2 + 3 + 3 = 1 1 2
=
= 1
2
2
1
1
b
a
13
3
3
3
2a 3 b 3 + a 3 + b 3
a
+
b
a +b
2
)
(
)( )
( )
( ) ( )
O
u
ie
iL
(
a
)
T
s/
(
2
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
23 3 2
.
3 2 3
b3 a
.
a b
Bài 2: [ĐVH]. Có thể kết luận gì về số a trong các trường hợp sau?
1
3
1
c)
a
b2 b
−0,2
< a2 .
1
1
3
> (1 − a )
−
1
2
e) ( 2 −
.
3
a)4
> (2 − a) .
2
3− 2
) (
3+ 2
)
.
1
2
+
3− 2
−1
1
(
1
2
0
3+ 2 −
1
2
−
c
Bài 3: [ĐVH]. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A =
1 2 1
f) >
a
a
o
d) (1 − a )
−
.
b b
iH
−3
−1
b) ( 2a + 1) > ( 2a + 1) .
a
2
5
f) F =
iD
e) D = 4 3 a8 .
−
−
a) ( a − 1) 3 < ( a − 1) 3 .
c) C = 5 2 3 2 2 .
h
d) D = 3
b) B = 5
T
a) A = 4 x 2 3 x .
n
Bài 1: [ĐVH]. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ, (coi các biểu thức đã tồn tại)
Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!
https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
b) B = 4 + 10 + 2 5 + 4 − 10 + 2 5 .
.c
fb
Bài 4: [ĐVH]. Cho hàm số f ( x) =
4x
.
4x + 2
a) Chứng minh rằng nếu a + b = 1 thì f(a) + f(b) = 1.
m
o
1
b) Tính tổng S = f
+
2011
2
f
+ ... +
2011
2010
f
.
2011
Bài 5: [ĐVH]. So sánh các cặp số sau
5
3
7
và
8
2
ro
6
d)
7
10
3
/g
π 2
π
a) và
2
2
π
b)
2
2
π
và
5
π
e)
6
5
π
và
5
3
3
c)
5
10
4
5
2
4
và
7
2
3
5
20
c) 17 và
3
28
b)
T
s/
30 và
a)
p
u
Bài 6: [ĐVH]. So sánh các cặp số sau
4
3
5 và
7
5
d) 4 13 và
23
Bài 7: [ĐVH]. Tìm x thỏa mãn các phương trình sau?
1
=
9
x−2
x
x
1
6
−x
3) 81 − 3 x =
3
6)
2
27
=
64
x 2 −5 x + 6
3 x −7
9
9)
49
8) 0, 2 = 0,008
x
11) 71− x.41− x =
1
32
=1
7
=
3
7 x −3
1
28
n
O
x
−x
8
125
u
12 ) . ( 3 ) =
=
ie
(
x +1
2 8
5) .
9 27
1
0, 25
7)
.322 x −8 =
0,125
8
10)
5 2
25
iL
4) ( 3 3 )
2x
2)
a
1) 4 x = 5 1024
h
T
1
0
c
o
iH
a
iD
Thầy Đặng Việt Hùng
Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!
https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
02. CÔNG THỨC LOGARITH – P1
.c
fb
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
m
o
1) Khái niệm về Logarith
Logarith cơ số a của một số x > 0 được ký hiệu là y và viết dạng y = log a x ⇔ x = a y
Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính giá trị các biểu thức logarith sau log 2 4;
log 3 81;
log
2
32; log
2
(8 2 )
/g
Hướng dẫn giải:
• log 2 4 = y ⇔ 2 = 4 ⇔ y = 2
→ log 2 4 = 2
y
• log
( 2 ) = 32 = 2 = ( 2 ) ⇔ y = 10 → log 32 = 10
(8 2 ) = y ⇔ ( 2 ) = 8 2 = 2 . 2 = ( 2 ) ⇔ y = 7 → log ( 8 2 ) = 7
y
32 = y ⇔
2
y
2
10
5
2
p
u
• log
ro
• log 3 81 = y ⇔ 3y = 81 = 34 ⇔ y = 4
→ log3 81 = 4
7
3
2
T
s/
Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính giá trị của
a) log 2 2 32 = ..........................................................................................................................................................
b) log 2 128 3 2 = .....................................................................................................................................................
c) log 3 81 3 = ........................................................................................................................................................
a
d) log 3 3 243 3 = ......................................................................................................................................................
ie
iL
Chú ý:
Khi a = 10 thì ta gọi là logarith cơ số thập phân, ký hiệu là lgx hoặc logx
Khi a = e, (với e ≈ 2,712818…) được gọi là logarith cơ số tự nhiên, hay logarith Nepe, ký hiệu là lnx, (đọc là len-x)
2) Các tính chất cơ bản của Logarith
u
• Biểu thức logarith tồn tại khi cơ số a > 0 và a ≠ 1, biểu thức dưới dấu logarith là x > 0.
• log a 1 = 0 ;log a a = 1, ∀a
n
O
b > c ⇔ a > 1
• Tính đồng biến, nghịch biến của hàm logarith: log a b > log a c ⇔
b < c ⇔ 0 < a < 1
3) Các công thức tính của Logarith
( 2)
8
2
= 8...
Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) P = log 1
a4 a
b) Q = log
.
a
a a a a.
iH
a
a 5 a 3 a2
a
iD
24 = log
2
h
Ví dụ 1: [ĐVH]. log 2 32 = log 2 25 = 5;log 2 16 = log
T
Công thức 1: log a a x = x, ∀x ∈ ℝ ,(1)
Chứng minh:
Theo định nghĩa thì hiển nhiên ta có log a a x = x ⇔ a x = a x
Lời giải:
a) Ta có
a4 a
=
1
1
a 2 .a 4
=
1 1
+
a2 4
3
a4
= a
=
28 3
−
a 15 4
67
= a 60
→ P = log 1
67
a 60
a
3
a.a 4
=
15
a16
→ Q = log
a
15
a16
= log
15
8
a
( a)
=
15
.
8
1
Ví dụ 3: [ĐVH]. Tính giá trị các biểu thức sau:
=
7
a.a 8
67
1 − 60
67
= log 1 = − .
a
60
a
0
1
a.a 2
=
28
a 15
c
a a a a = a a
1 2
1+ +
a 5 3
o
b) Ta có
a 5 a 3 a2
1
2
a.a 5 .a 3
Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!
https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
b) B = log a a 3 a 2 5 a a
a) A = log a a3 a 5 a
c) log 1
a 5 a3 3 a 2
a
a4 a
.c
fb
Lời giải:
a) A = log a a 3 a 5 a = log a a
1 1 37
= 3+ + =
2 5 10
1
1
1+ 1 + 1 + 2 3
3
27
3
3 25
b) B = log a a a a a = log a a 2 5 = 1 + = 1 + 3
10
10
1+ 53 + 32
a 5 a3 3 a 2
a
91
34 3
c) log 1
= − log a 1 1 = − − = −
4
60
a a
15 4
a
a2+4
Ví dụ 4: [ĐVH]. Tính giá trị các biểu thức sau:
1 1
3+ +
2 5
m
o
ro
/g
a) log 1 125 = .....................................................
5
b) log
2
64 = ....................................................................
d) log 0,125 2 2 = ..........................................................
e) log 3 3 3 3 3 = ................................................
f) log 7 7 8 7 7 343 = ............................................................
p
u
c) log16 0,125 = ..................................................
(
)
T
s/
Ví dụ 5: [ĐVH]. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) P = log a a 3 a 5 a = ..................................................................................................................................
(
)
b) Q = log a a 3 a 2 4 a 5 a = ............................................................................................................................
= 3, 5
log5 6
= 6,
( )
3
log3 4
1
= ( 3) 2
log3 4
1
ie
Ví dụ 1: [ĐVH]. 2
log 2 3
iL
a
Công thức 2: a loga x = x, ∀x > 0 , (2)
Chứng minh:
Đặt log a x = t ⇒ x = at , ( 2) ⇔ at = at
u
Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính giá trị các biểu thức sau:
2) 2
4)
log 2
2
= ....................................................................
log3 4
= ....................................................................
n
( 9)
3
64
O
1) 2log8 15 = .....................................................
1 log81 5
= .....................................................
3)
3
1
log 4
= ( 3) 3 2 = ( 4 ) 2 = 2...
h
T
Công thức 3: log a ( x. y ) = log a x + log a y , (3)
Chứng minh:
x = a log a x
Áp dụng công thức (2) ta có
→ x. y = a log a x .a log a y = a loga x + loga y
log a y
y = a
iD
a
Áp dụng công thức (1) ta được : log a ( x. y ) = log a aloga x + loga y = log a x + log a y ⇒ dpcm
Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) log 2 24 = log 2 ( 8.3) = log 2 8 + log 2 3 = log 2 23 + log 2 3 = 3 + log 2 3
3
5
2
32 = log
2
23 + log
2
2 = log
6
2
( 2)
+ log
1
3
1
10
= −3 − = − .
3
3
2
2
( 2)
= 6 + 2 = 8.
1
c) log 2 8 5 32 = log 2 8 + log
3
−
1
1
3 = log 1 3 + log 1 3 = log 1 + log 1
3
3
3
3
3
3
0
3
−3
1
3
3
c
b) log 1 27 3 = log 1 27 + log 1
3
o
3
iH
b) log 3 81 = log 3 ( 27.3) = log 3 27 + log 3 3 = log 3 33 + log 3 3 = 3 + 1 = 4
Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính giá trị các biểu thức sau:
4
4 10
a) log 2 4 3 16 = log 2 4 + log 2 3 16 = log 2 22 + log 2 2 3 = 2 + = .
3 3
Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!
https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Ví dụ 3: [ĐVH]. Cho biết log a b = 2;log a c = 2 Tính giá trị của log a x với
a) x = a 3b 2 c .................................................................................................................................................................
.c
fb
........................................................................................................................................................................................
b) x = ab3 a 3bc ......................................................................................................................................................
........................................................................................................................................................................................
m
o
/g
x
Công thức 4: log a = log a x − log a y , (4)
y
Chứng minh:
log x
x a log a x
x = a a
Áp dụng công thức (2) ta có
→
= log y = a log a x −log a y
log a y
y
a a
y = a
ro
x
Áp dụng công thức (1) ta được : log a = log a a loga x − loga y = log a x − log a y ⇒ dpcm
y
4
5
b) x =
a
T
s/
p
u
32
5 4 7
Ví dụ 1: [ĐVH]. Ta có log 2 3
= log 2 32 − log 2 3 16 = log 2 2 2 − log 2 2 3 = − = .
2 3 6
16
1
Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho biết log a b = ;log a c = 3 Tính giá trị của log a x với
3
ab 2 c
a) x =
.................................................................................................................................................................
3
abc 2
........................................................................................................................................................................................
a 5bc 3
iL
.........................................................................................................................................................
a 4 abc3
.......................................................................................................................................................................................
2
x2 + 1
b) y = log 1 log 5
x+3
5
x −1
x+5
2
1
x2 − x − 6
x −1
− log 2 x 2 − x − 6
x +1
x −1
g) y = log
2x − 3
n
e) y = lg ( − x 2 + 3 x + 4 ) +
d) y = log 1
x−3
x +1
O
x2 + 2
f) y = log 0,3 log 3
x+5
c) y = log 2
u
a) y = log 1
ie
Ví dụ 3: [ĐVH]. Tìm tập xác định của các hàm số sau :
T
h
Lời giải:
x −1
x −1
log 1
≥0
x −1
−2
x + 1 ≤ 1
−1 ≤ 0
≤ 0 → x ≥ −1
x −1
2 x +1
a) y = log 1
. Điều kiện :
⇔
⇔ x +1
⇔ x +1
2 x+5
x −1 > 0
x − 1 > 0 x < −1; x > 1 x < −1; x > 1
x + 1
x + 1
a
iD
Vậy D = (1; +∞ )
1
0
c
o
iH
x2 + 1
x2 − x − 2
log 1 log 5
≥0
≥0
x+3
+
x
3
3
x2 + 1
≥1
x 2 − 5 x − 14
x2 + 1
x2 + 1
x+3
b) y = log 1 log 5
.
Đ
i
ề
u
ki
ệ
n
:
0
≤
log
≤
1
⇔
⇔
≤0
5
2
x+3
x+3
x+3
5
0 < x + 1 ≤ 5
x > −3
x2 + 1
x+3
0
<
≤5
x+3
−3 < x < −1; x > 2
⇔
⇒ x ∈ ( −3; −2 ) ∪ ( 2;7 )
x < −3; −2 < x < 7
Phần còn lại các em tự giải nốt nhé!
Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!
https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
02. CÔNG THỨC LOGARITH – P2
.c
fb
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
m
o
3) Các công thức về logarith (tiếp theo)
Công thức 5: log a bm = m.log a b , (5)
Chứng minh:
(
Theo công thức (2) ta có b = a loga b ⇒ b m = a loga b
/g
)
m
= a m.loga b
Khi đó log a bm = log a a m.loga b = m.log a b ⇒ dpcm
Ví dụ 1: [ĐVH].
ro
log 2 27 = log 2 33 = 3log 2 3; log 5 36 = log 5 62 = 2log 5 6
1
log 2 4 32 = log 2 ( 32 ) 4 =
1
5
log 2 32 =
4
4
p
u
T
s/
Ví dụ 2: [ĐVH].
−4
1
62.45
1
Ta có 2log 1 6 − log 1 400 + 3log 1 3 45 = log 1 62 − log 1 400 + log 1 45 = log 1
= log 1 81 = log 1 = −4.
2 3
3
3
3
3
3
3 20
3
3 3
iL
a
1
50 3
Ví dụ 3: [ĐVH]. log 5 3 − log 5 12 + log 5 50 = log 5 3 − log 5 12 + log 5 50 = log 5
= log 5 25 = 2.
2
2 3
1
3
Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho biết log a b = ;log a c = Tính giá trị của log a x với
2
4
3 2
ab c
a) x =
...............................................................................................................................................................
4 2
a bc 3
........................................................................................................................................................................................
ie
ab3 a 3bc
.....................................................................................................................................................
bc3
u
b) x =
Chứng minh:
y
= b ⇔ a ny = b
T
( )
Đặt log a n b = y ⇒ a n
1
log a b , (6)
n
n
Công thức 6: log a n b =
O
........................................................................................................................................................................................
1
log a b
n
h
Lấy logarith cơ số a cả hai vế ta được : log a a ny = log a b ⇔ ny = log a b ⇒ y =
iD
hay log a n b =
1
log a b ⇒ dpcm
n
c
o
iH
a
2
3
=
11
log
3
2
2=
11
.
3
1
( 32 2 ) = log( ) ( 2 )
11
2
0
1
log 2 16 = 2.4 = 8.
1
22
2
Ví dụ 1: [ĐVH].
1
log 5 2 64 = log 1 64 = log 2 64 = 5.6 = 30.
1
25
5
m
Hệ quả: Từ các công thức (5) và (6) ta có : log an b m = log a b
n
3
1
9
Ví dụ 2: [ĐVH]. log 3 5 4 125 = log 1 ( 53 ) 4 = 4 log5 5 = ; log 2
1
4
53
3
log 2 16 = log 1 16 =
Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!
https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Ví dụ 3: [ĐVH]. Tính giá trị biểu thức A =
.c
fb
log 3 3 27 = log 3
3
(3 3 )
m
o
27
log 1 5 = log − 1
3 2
3 9
3
1
1
log 3 + log 1
81
3
3
4
.
Hướng dẫn giải:
2
=2
1
13
13
26
=
log3 3 5 = −2. = − .
1
5
5
−
2
/g
log
33
52
3
27
log 3 3 27 + log 1 5
9
3
1
= log 1 3−4 = −4.2 log3 3 = −8
→A=
81
32
27
log 3 3 27 + log 1 5
3 9
4
p
u
ro
1
1
log 3 + log 1
81
3
3
log c b
Công thức 7: (Công thức đổi cơ số) log a b =
, (7)
log c a
Chứng minh:
26
5 = 4.
=
−8 + 4 5
2−
(
)
T
s/
Theo công thức (2) ta có b = a loga b ⇒ log c b = log c a loga b = log a b.log c a ⇒ log a b =
log c b
⇒ dpcm
log c a
iL
a
Nhận xét :
+ Để cho dễ nhớ thì đôi khi (7) còn được gọi là công thức “chồng” cơ số viết theo dạng dễ nhận biết như sau
log a b = log a c.log c b
log b b
1
+ Khi cho b = c thì (7) có dạng log a b =
=
.
log b a log b a
ie
Ví dụ 1: [ĐVH]. Tính các biểu thức sau theo ẩn số đã cho:
a) Cho log 2 14 = a
→ A = log 2 49 = ?
b) Cho log15 3 = a
→ B = log 25 15 = ?
u
Hướng dẫn giải:
a) Ta có log 2 14 = a ⇔ a = log 2 ( 2.7 ) = 1 + log 2 7 ⇒ log 2 7 = a − 1.
O
Khi đó A = log 2 49 = 2log 2 7 = 2 ( a − 1) .
n
1
1− a
log 3 5 = − 1 =
1
1
a
a
b) Ta có log15 3 = a ⇔ a =
=
→
a
log 3 15 1 + log 3 5
log 3 =
5
1− a
h
T
Ví dụ 2: [ĐVH]. Cho log a b = 3. Tính
b
a
b
.
a
b) B = log
ab
b
.
a
Hướng dẫn giải:
Từ giả thiết ta có log a b = 3 ⇒ log b a =
b
= log
a
b
a
b − log
b
a
a=
.
1
1
−
=
b
b log
log b
log a
a
a
b
1
b − log
a
b
−
log
a
1
b − log
a
a
=
1
0
b
a
3
c
a) A = log
1
o
iH
a) A = log
a
iD
1
1
log 3 15
1
1
B = log 25 15 =
= a = a =
→B =
.
log 3 25 2log 3 5 2 1 − a 2 (1 − a )
2 (1 − a )
a
Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!
https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
=
.c
fb
1
1
1
1
3 −1
3 −1
−
=
−
=
→A=
.
1 − 2log b a log a b − 2 1 − 2
3 −2
3−2
3 −2
3
b
2
log a
b
b
a = log a b − 1 = 3 − 1
Cách khác: Ta có được A = log b
= log
2
= log b =
b
a log b
log a b − 2
3−2
a
a
a2
a
a 2
a
a
b
1
1
1
1
b) B = log ab
−
=
−
. = log ab b − log ab a =
a
log b ab log a ab log b a + log b b log a a + log
b
m
o
a
b
=
1
1
1
1
2 3 −1
2 3 −1
−
=
−
=
→B =
.
1
1 1 + log a b
1
1 1+ 3
3
+
1
3
+
1
log b a +
+
2
2
2 3 2
b2
2
log a
2
b
b
b
a = 2log a b − 1 = 2 3 − 1 .
Cách khác: Ta có B = log ab
= log
= log ab
=
2
( ab ) a
a log a ab 1 + log a b
a
1+ 3
Ví dụ 3: [ĐVH]. Tính giá trị của các biểu thức sau :
1
log 2 3 + 3 log 5 5
14 − 12 log9 4
log125 8
log 7 2
1+ log 4 5
a) 81
+ 25
b) 16
+ 42
.49
1
log 7 9 − log 7 6
− log 4
c) 72 49 2
d) 36log 6 5 + 101− lg 2 − 3log9 36
+5 3
Hướng dẫn giải:
1 1
1
1
1
2 .3log5 2
− log9 4
4 − log 4 2log 23
3
log 4
a) 814 2
+ 25log125 8 .49log7 2 = ( 3) 4 2 9 + 5 53 72log7 2 = 31− log3 4 + 5 3
7 7 = + 4 4 = 19
4
=
log2 3+3log5 5
iL
a
T
s/
p
u
ro
/g
1
b) 161+log4 5 + 4 2
= 42(1+log4 5) + 2log2 3+6log5 5 = 16.25 + 3.26 = 592
1 log7 9− log7 6
1
− log 4
9
c) 72 49 2
+ 5 5 = 72 7log7 9− 2 log7 6 + 5−2 log5 4 = 72 + = 18 + 4,5=22,5
36 16
log6 5
log9 36
log6 25
1−lg2
log5
d) 36 +10 −3 = 6 +10 = 25+ 5 = 30
Ví dụ 4: [ĐVH]. Tính giá trị của các biểu thức sau :
1
a) A = log 9 15 + log 9 18 − log 9 10
b) B = 2log 1 6 − log 1 400 + 3log 1 3 45
2
3
3
3
)
d) D = log 1 ( log 3 4.log 2 3)
4
T
1
c) C = log 36 2 − log 1 3
2
6
n
O
u
ie
(
h
Hướng dẫn giải:
15.18
1
3
a) A = log 9 15 + log 9 18 − log 9 10 = log 9
= log 9 33 = log 3 33 =
10
2
2
1
36.45
2
4
b) B = 2log 1 6 − log 1 400 + 3log 1 3 45 = log 1
= log 1 9 = − log 3 3 = −4
2
20
3
3
3
3
3
1
1
1
1
1
c) C = log 36 2 − log 1 3 = log 6 2 + log 6 3 = log 6 2.3 =
2
2
2
2
2
6
1
1
d) D = log 1 ( log 3 4.log 2 3) = − log 4 ( log 2 3.log 3 4 ) = − log 4 ( log 2 4 ) = − log 2 2 = −
2
2
4
1
0
c
o
iH
( x = 2011!)
a
iD
Ví dụ 5: [ĐVH]. Hãy tính :
1
1
1
1
a) A =
+
+
+ .......... +
log 2 x log 3 x log 4 x
log 2011 x
b) Chứng minh :
log a b + log a x
+ log ax ( bx ) =
1 + log a x
Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!
https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
+
k ( k + 1)
1
1
1
+
+ ......... +
=
log a x log a2 x
log ak x 2 log a x
.c
fb
a) A =
Hướng dẫn giải:
1
1
1
1
+
+
+ .......... +
= log x 2 + log x 3 + ... + log x 2011 = log x 1.2.3...2011 = log x 2011!
log 2 x log 3 x log 4 x
log 2011 x
Nếu x = 2011! Thì A= log 2011! ( 2011!) = 1
log a b + log a x
1 + log a x
log a bx log a b + log a x
Ta có log ax bx =
=
⇒ đpcm.
log a ax
1 + log a x
m
o
b) Chứng minh : log ax ( bx ) =
k ( k + 1)
1
1
1
+
+ ......... +
=
log a x log a2 x
log ak x 2 log a x
ro
/g
Chứng minh :
VT = log x a + log x a 2 + ...log x a k = (1 + 2 + 3 + ... + k ) log x a =
k (1 + k )
2log a x
= VP
p
u
⇔2=
ie
iL
a
T
s/
Ví dụ 6: [ĐVH]. Chứng minh rằng :
a) Nếu : a 2 + b 2 = c 2 ; a > 0, b > 0, c > 0, c ± b ≠ 1 , thì log c + b a + log c −b a = 2 log c + b a.log c −b a
b) Nếu 0 3b > 0; a + 9b = 10ab ⇔ a − 6ab + 9b 2 = 4ab ⇔ ( a − 3b ) = 4ab
2
2
2
1
0
c
b
c
= log 2a .
c
b
−1
2
b
c
b
c
c
c
* Thật vậy : log a = log a = − log a ⇒ log 2a = − log a = log 2a
c
b
b
c
b
b
b) Chứng minh : log 2a
1
( log a + log b )
2
o
Ta lấy log 2 vế : 2log ( a − 3b ) = 2log 2 + log a + log b ⇔ log ( a − 3b ) − log 2 =
2
iH
a
iD
Ví dụ 9: [ĐVH]. Chứng minh rằng
1
a) log ( a − 3b ) − log 2 = ( log a + log b ) với : a > 3b > 0; a 2 + 9b 2 = 10ab
2
b) Cho a, b, c đôi một khác nhau và khác 1, ta có :
b
c
+) log 2a = log 2a
c
b
+) log a b.log b c.log c a = 1
c
a
b
+) Trong ba số : log 2a ;log 2b ;log 2c luôn có ít nhất một số lớn hơn 1
b
c
a
b
c
a
Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!
https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
* log a b.log b c.log c a = 1 ⇔ log a b.log b a = log a a = 1
2
c
a
b
b
c
a
* Từ 2 kết quả trên ta có log log 2b log 2c = log a .log b log c = 1
b
c c
a a
c a
a b
bc
Chứng tỏ trong 3 số luôn có ít nhất một số lớn hơn 1
.c
fb
2
a
b
Ví dụ 10: [ĐVH]. Tính giá trị các biểu thức sau:
a) log 6 3.log 3 36 = ......................................................................
m
o
b) log 3 8.log 4 81 = ......................................................................
1
.log 25 3 2 = .................................................................
5
Ví dụ 11: [ĐVH]. Cho log a b = 7. Tính
a
a) A = log a b
.
b3
c) log 2
ro
/g
b) B = log b 3 ab 2 .
p
u
a
a
T
s/
Ví dụ 12: [ĐVH]. Tính các biểu thức sau theo ẩn số đã cho:
49
a) Cho log 25 7 = a; log 2 5 = b
→ P = log 3 5
=?
8
b
→ Q = log ab
=?
b) Cho log ab a = 2
a
Công thức 8: a logb c = c logb a , (8)
Chứng minh:
(
Theo công thức (7): log b c = log b a.log a c ⇒ a logb c = a logb a .loga c ⇔ a logb c = a loga c
( )
2
iL
Ví dụ 1: [ĐVH]. 49log7 2 = 2log7 49 = 22 = 4;
log 2 27
a) A = 36log6 5 + 3
log3 4
logb a
= c logb a ⇒ dpcm
1
2
= 27 2 = 3 3...
ie
Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính giá trị các biểu thức sau:
= 27log 2
)
− 3log9 36 = ..........................................................................................................
log
3
n
O
u
32 − log3 2.4 2
= .............................................................................................................................
27 log3 4
c) C = 81log3 5 + 27 log9 36 + 34log9 7 = .........................................................................................................
b) B =
h
T
1
0
c
o
iH
a
iD
Thầy Đặng Việt Hùng
Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!
https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
03. PHƯƠNG TRÌNH MŨ – P1
.c
fb
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
I. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
m
o
Các ví dụ giải mẫu:
p
u
ro
/g
Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải phương trình 2 x + 2 x +1 + 2 x + 2 = 5 x + 2.5 x −1 .
Hướng dẫn giải:
1
Ta có 2 x + 2 x +1 + 2 x + 2 = 5 x + 2.5 x −1 ⇔ 2 x + 2 x.2 + 2 x.22 = 5 x + 2.5x.
5
x
7
2
5
⇔ (1 + 2 + 4 ) .2 x = 1 + .5 x ⇔ 7.2 x = .5 x ⇔ = 5 ⇔ x = log 5 5
5
5
2
2
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = log 5 5.
2
Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
= 16
x +1
− x2 + 4 x
2) 3
T
s/
1) 2
x2 +3 x −2
1
=
243
Hướng dẫn giải:
3)
x +10
16 x −10
=
x +5
x
0,125.8 −15
x = 2
= 24 x + 4 ⇔ x 2 + 3x − 2 = 4 x + 4 ⇔ x 2 − x − 6 = 0
→
x = −3
Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 2 và x = –3.
2
2
x = −1
1
2) 3− x + 4 x =
⇔ 3− x + 4 x = 3−5 ⇔ − x 2 + 4 x = −5 ⇔
243
x = 5
Vậy phương trình có nghiệm x = −1; x = 5.
1) 2 x
2
+3 x −2
= 16 x +1 ⇔ 2 x
2
+3 x − 2
x +5
ie
iL
a
x +10
3) 16 x −10 = 0,125.8 x −15 ,
x − 10 ≠ 0
x ≠ 10
Điều kiện:
⇔
x − 15 ≠ 0
x ≠ 15
O
u
(1) .
x +10
x +5
4.
3.
1
x + 10
x+5
Do 16 = 2 ; 0,125 = = 2−3 ; 8 = 23 nên ta có (1) ⇔ 2 x −10 = 2−3.2 x −15 ⇔ 4.
= −3 + 3.
8
x − 10
x − 15
x
=
0
4( x + 10)
60
⇔
=
⇔ x 2 − 5 x − 150 = 15 x − 150
→
x − 10
x − 15
x = 20
Vậy phương trình có nghiệm x = 0; x = 20.
Ví dụ 3: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
4
)
h
T
x
27
2 9
1) . =
64
3 8
2) 4.9
x −1
=3 2
iD
x
n
(
3) (
2 x +1
x
x
x
3
x
3
=3 2
⇔
4.9x −1
=1 ⇔ 3
.2
2−
2 x +1
2
2x − 3
=1⇔ 3
.
( 2)
3− 2x
3
=1⇔
2
2x − 3
0
3
3
=1 =
⇔ x = 2.
2
3
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = .
2
x
81x
81 18.81 9
= 9.2.4 x ⇔ =
⇔
81
16
4
2
2x
3
3
9
= ⇔ x = .
2
2
1
Cách khác: 4.9 x −1 = 3 22 x +1 ⇔ 16.81x −1 = 9.22 x +1 ⇔ 16.
0
c
3.2
2 x +1
2
2x − 3
x −1
5 − 2 ) x +1
o
2) 4.9
2 x +1
=(
iH
27
2 9
2 9 3
3 3
1) . =
⇔ . = ⇔ =
→ x = 3.
3
8
64
3
8
4
4 4
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.
x −1
x −1
a
Hướng dẫn giải:
5 + 2)
Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!
https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
x −1
3) ( 5 + 2 ) = ( 5 − 2 ) x +1 , (1) .
Điều kiện: x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ −1.
x −1
)(
)
.c
fb
(
(
1
= 5+2
5+2
1− x
1
x =1
⇔ ( x − 1) 1 +
(1) ⇔ x − 1 =
= 0 ⇔ x = −2
x +1
x +1
Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 1 và x = –2.
Do
5+2
5 − 2 = 1
→ 5−2=
)
−1
m
o
Ví dụ 4: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
(
)
1
x +3 2
)
1
x +3 2
(
3
)
x +1
2
x −1
x
(
3+ 2
)
x 2 −5 x
=
(
3− 2
)
6
2
3) 5 x − 3x
2
+1
(
= 2 5x
2
−1
− 3x
2
−2
)
Hướng dẫn giải:
x > 0
x ≠1
(1) . Điều kiện:
= 4,
) = 22 ⇔ 3 ( x + 1) = 2 ⇔ 2 x − 5 x − 3 = 0 ⇔ x = 3 ⇔ x = 9.
x −1
x
(
)
x −1
T
s/
(1) ⇔ 2 (
x
2)
p
u
(
=4
ro
1) 2 2
2
x −1
x
/g
1) 2 2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 9.
(
2)
3+ 2
)(
(
)
( 2).
6
3− 2 ,
)
3 − 2 = 1
→
(
)
3− 2 =
(
1
3+ 2
)
iL
3+ 2
=
a
(
Do
)
x 2 −5 x
=
(
3+ 2
)
−1
.
x = 2
⇔ x2 − 5x + 6 = 0 ⇔
x = 3
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2 và x = 3.
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2 2 2
2 2
2 2
3) 5 x − 3x +1 = 2 5 x −1 − 3x − 2 ⇔ 5 x − 3.3x = 5 x − 3x ⇔ 5 x − 5 x = 3.3x − 3x
5
9
5
9
3+ 2
)
x2 −5 x
(
=
)
−6
)
x2
O
x2
u
(
3+ 2
ie
( 2) ⇔ (
3
n
3 2 25 2
125
5
5
5
⇔ 5 x = 3x ⇔ =
⇔ =
→ x = ± 3.
5
9
27
3
3
3
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = ± 3.
T
Các ví dụ giải mẫu trong video:
h
Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải phương trình
b) 5 x + 10.5 x −1 + 18 = 3.5 x +1
c) 7.5 x − 2.5x−1 = 11
d) 14.7 x + 4.32 x = 19.32 x − 7 x
Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải phương trình
2
−1
− 3x = 3x
2
x +10
2
−1
− 2x
2
+2
b) 2 x
x +5
c) 16 x −10 = 0,125.8 x −15
d)
(
2
+3 x −2
= 16 x +1
5 + 2)
x −1
x −1
= ( 5 − 2 ) x +1
o
iH
a) 2 x
a
iD
a) 7 x + 7 x +1 + 7 x + 2 = 342
Ví dụ 3: [ĐVH]. Giải phương trình
x +1
3
−4
=8
2x−
8
3
b) 9
x 2 +1
= 32− 4 x
d) ( x 2 − 2 x + 2 )
9 − x2
= 3 x2 − 2 x + 2
1
c) 2 x
x −3
10 + 3) x −1 = ( 10 − 3) x +3
0
(
c
a)
Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!
https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
(
e) 2
+ x2
cos x
)
x +1
x
= 2
cos x
+ x2
.c
fb
II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI, BẬC BA THEO MỘT HÀM SỐ MŨ
Các ví dụ mẫu:
Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải phương trình: 25 x − 30.5 x + 125 = 0
Hướng dẫn giải:
m
o
Phương trình đã cho tương đương: ( 5 x ) − 30.5 x + 125 = 0 .
2
Đặt t = 5 x , điều kiện t > 0.
p
u
ro
/g
t = 5
Khi đó phương trình trở thành: t 2 − 30t + 125 = 0 ⇔
t = 25
x
+) Với t = 5 ⇔ 5 = 5 ⇔ x = 1 .
+) Với t = 25 ⇔ 5 x = 25 ⇔ 5 x = 52 ⇔ x = 2 .
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 1 và x = 2.
Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải phương trình: 3x + 2 + 3− x = 10 .
Hướng dẫn giải:
Ví dụ 3: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
1− x
−5
+4=0
2) 3
x
x
2
− 8.3
3) 32 x +8 − 4.3x +5 + 27 = 0
+ 15 = 0
iL
1) 5
x
a
T
s/
3x = 1 = 30
2
x = 0
1
⇔
Ta có 3x + 2 + 3− x = 10 ⇔ 9.3x + x = 10 ⇔ 9.( 3x ) − 10.3x + 1 = 0 ⇔ x 1
−2
3
3 = =3
x = −2
9
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x = 0, x = −2.
Hướng dẫn giải:
x
− 51−
x
+ 4 = 0, (1) .
ie
1) 5
Điều kiện: x ≥ 0.
x
−
5
2
+ 4.5
x
h
T
( )
( )
( )
n
( )
x
O
( )
+4=0⇔ 5
u
5 x = 1
x =0
x = 0
− 5 = 0
→
⇔
⇔
x
x
5
x = 1
5 = 5 x = 1
Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện, vậy phương trình có hai nghiệm x = 0 và x = 1.
3 x =3
x
2x
x
x = 2
→
⇔
2) 3x − 8.3 2 + 15 = 0 ⇔ 3 − 8. 3 + 15 = 0
x = log 5 = log 25
x
3
3
3 =5
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 ; x = log3 25.
(1) ⇔ 5
Ví dụ 4: [ĐVH]. Giải phương trình 2 x
2
−x
− 22+ x − x = 3.
2
Hướng dẫn giải:
Đặt 2 x
2
−x
= t (t > 0). . Phương trình trở thành t −
− 12.2 x −1−
x 2 −5
+8 = 0.
1
0
Hướng dẫn giải:
c
x2 −5
o
Ví dụ 5: [ĐVH]. Giải phương trình 4 x −
t = 4
x = −1
4
=3⇔
⇒
t
t = −1 ( L) x = 2
iH
a
iD
3x + 4 = 3 ⇒ x = −3
3) 32 x +8 − 4.3x + 5 + 27 = 0 ⇔ 32( x + 4) − 4.3x + 4.3 + 27 = 0 ⇔ 32( x + 4) − 12.3x + 4 + 27 = 0
→ x+4
2
3 = 9 = 3 ⇒ x = −2
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = –2 và x = –3.
Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!
https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Đặt 2 x −
x = 3
2
t = 2 x − x − 5 = 1
= t (t > 0) ⇒
⇒
⇔
x = 9
t = 4 x − x 2 − 5 = 2
4
x 2 −5
.c
fb
Các ví dụ giải mẫu trong video:
Ví dụ: [ĐVH]. Giải phương trình
a) 9 x
2
+1
− 3x
+1
2
−6=0
m
o
c) 4 x +
x2 − 2
− 5.2 x −1+
b) 9 x
x2 − 2
2
−1
− 36.3x
2
−3
+3=0
d) 43+ 2 cos x − 7.41+ cos x − 2 = 0
−6=0
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
/g
Bài 1: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
1
7)
8
)
=5
x2 − x
x −1
= 81
x −1
= 16.
( )
3
x
4
5) 10
8) 9 x
x
x
11)
)
3) x 2 − x + 1
4 − x2
x2 − 4
1
=
3
(
10 − 3
)
(
= 19 + 6 10
x2 −6 x +
5
2
x − x2
6) ( x + 2 )
)
x −2
x2 − x −5
= ( x + 2)
=1
x +10
2
(
10 − 3
)
x
x+4
− 32 x −1
1
2
5+2
)
x −3
=
(
5−2
)
Đ/s: x = −
1
2
9
Đ/s: x = log 9
2 2 2
0
x−
(
Đ/s : x = 13
x −3
x +1
c
1
2
6)
x +17
7
5
o
x+
x = −1
Đ/s: x = 2
x = 4
iH
=2
5 ± 13
x=
Đ/s:
2
x = −2
a
1
2
3
2
Đ/s: x = -1; x = 5
iD
x+
x+
2 x 2 −1
Đ/s : x =
x −5
7) 3.4 x +1 + 3−1.9 x + 2 = 6.4 x +1 − 2−1.9 x +1
8) 9 x − 2
)
h
4) 32 x −7 = 0.25.128 x −3
=
4 x−2
T
3) 9.22 x = 8. 32 x+1
)
x 2 −3
Đ/s: x = 3
2) 5 4 x − 6 = 253 x − 4
10 + 3
2 x +3
=1
1) 2 x.3x −1.5 x − 2 = 12
(
)
= 16 2
Bài 3: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
5)
1
=
e
(
= 3− 2 2
1
9) 27 x −1 = .81 x + 2
9
=1
x−4
x
4 x −1
x +1
5 x −7
5 x − 3 x3
x 2 −1
)
n
x −3
4)
=1
= ( x − 3)
x2 − x
9) ( x + 1)
)
=1
6) e
O
8) x − 3
)
=1
u
(
7) x − 5 x + 4
2
x −1
(
3) 3 + 2 2
ie
(
5) x 2 − 2 x + 2
2) 2
2 x +3
iL
(
=1
2
− 4 x −1
2
=
3
a
x −3
5 x 2 − 4 x −1
2
(
Bài 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau
1) ( x + 1)
x 2 − x −5
T
s/
x
1 1
10) 3 . =
3 27
3
2)
2
p
u
(
4) 9. 3
6 x −10
ro
1) ( 0, 2 )
x − x2
2 x−2
−9 =3
−5
Đ/s: x =
1
3
2
10) 73 x + 9.52 x = 52 x + 9.73 x
Đ/s: x = 0
Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!
9) 5
x
https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
03. PHƯƠNG TRÌNH MŨ – P2
.c
fb
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
III. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ
m
o
Dạng 1: Phương trình chia rồi đặt ẩn phụ
Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải phương trình: 3.9 x + 7.6 x − 6.4 x = 0 .
Hướng dẫn giải:
/g
p
u
ro
3 x 2
2x
x
= ⇒ x = −1
3
2
3
3
Phương trình đã cho tương đương: 3. + 7. − 6 = 0 ⇔
.
x
2
2
3
= −3 < 0
2
Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = −1.
Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
a) Chia cả hai vế của (1) cho 9x ta được
−
1
−
1
−
1
b) 4 x + 6 x = 9 x
d) (ĐH khối A – 2006): 3.8 x + 4.12 x − 18 x − 2.27 x = 0
Hướng dẫn giải:
a
T
s/
a) 64.9 x − 84.12 x + 27.16 x = 0
c) 32 x + 4 + 45.6 x − 9.22 x + 2 = 0
n
O
u
ie
iL
4 x 4
=
x
x
2x
x
12
16
4
4
3
3
x =1
→ x
⇔
(1) ⇔ 64 − 84. + 27. = 0 ⇔ 27. − 84. + 64 = 0
2
4 16 4
x = 2
9
9
3
3
= =
9 3
3
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1 và x = 2.
b) Điều kiện: x ≠ 0.
3 t 1 + 5
=
t
t
2t
t
1
9 6
3
3
2
t
t
t
Đặt − = t , ( 2 ) ⇔ 4 + 6 = 9 ⇔ − − 1 = 0 ⇔ − − 1 = 0 ⇔ 2 t
3 1 − 5
x
4 4
2
2
<0
=
2
2
T
iD
c) 32 x + 4 + 45.6 x − 9.22 x + 2 = 0 ⇔ 81.9 x + 45.6 x − 36.4 x = 0
h
t
1+ 5
1
3 1+ 5
3
Từ đó ta được =
⇔ t = log 3
→ x = − = − log1+ 5 .
2
2
t
2
2
2
2
1
0
c
o
iH
a
3 x 4 3 −2
= =
x
x
2x
x
9 2
2
9
6
3
3
⇔ 81. + 45. − 36 = 0 ⇔ 81. + 45. − 36 = 0 ⇔
→ x = −2.
x
4
4
2
2
3
= −1 < 0
2
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = –2.
d) 3.8x + 4.12 x − 18x − 2.27 x = 0
3 x 3
. =
x
x
x
3x
2x
x
2
2
12 18
27
3
3
3
⇔ 3 + 4. − − 2. = 0 ⇔ 2. + − 4. − 3 = 0 ⇔
→ x = 1.
x
8 8
8
2
2
2
3
.
= −2 < 0
2
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
Dạng 2: Phương trình có tích cơ số bằng 1
Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!
https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Cách giải:
f ( x)
1
= 1
→ b f ( x) =
a
.c
fb
Do ab = 1 ⇔ ( ab )
f ( x)
1
t
→ b f ( x) =
Từ đó ta đặt a f ( x ) = t , (t > 0)
Chú ý:
m
o
Một số cặp a, b liên hợp thường gặp:
(
(
)(
5 + 2 )(
) ( 2 + 3 )( 2 − 3 ) = 1
5 − 2 ) = 1; ( 7 + 4 3 )( 7 − 4 3 ) = 1...
2 +1
/g
Một số dạng hằng đẳng thức thường gặp:
2 − 1 = 1;
ro
( 2 ± 1)
3 = (2 ± 3)
3± 2 2 =
2
7±4
2
Ví dụ: [ĐVH]. Giải các phương trình sau:
2+ 3
) +(
x
2− 3
)
p
u
(
a)
x
=4
c) ( 5 − 21 ) + 7 ( 5 + 21 ) = 2 x +3
x
x
2+ 3
(
2+ 3
)
x
2 − 3 =1⇔
)
)
= t , (t > 0)
→
x
(
2+ 3
(
) .(
x
2− 3
)
x
)
2− 3
x
= 1
→
1
= .
t
2+
x
=2+ 3 =
(
) → x = 2.
3) = ( 2 + 3 )
2
2+ 3
(
=2− 3 = 2+
(
3
3
)(
3+ 8
)
3
x
3
3− 8
)
x
) (
)(
(
)
3− 8 = 3 3+ 8 3 + 8 =1⇔
(
3
3− 8
=
)
x
3
3+ 8
) .(
x
3
3− 8
)
x
3+
x
1
= .
t
(
= 3+ 8 ⇔ 3+ 8
(
8 = 3− 8
(
3
3− 8
)
)
x
3
−1
= 3 + 8
→ x = 3.
(
⇔ 3+ 8
)
x
=
1
(
3
3+ 8
)
x
x
3
) = (3 − 8 )
−1
→ x = −3.
1
3
x
0
Với t = 3 −
x
)
c
)
8) =3−
3+ 8
2+ 3
o
(
8⇔(
3
(
= 1
→
t = 3 + 8
1
Khi đó ( 2 ) ⇔ t + − 6 = 0 ⇔ t 2 − 6t + 1 = 0
→
t
t = 3 − 8
Với t = 3 + 8 ⇔
1
→ x = −2.
( 2) .
= 6,
= t ,(t > 0)
→
x
iH
(
3+ 8
x
)
a
Đặt
(
) +(
4
2− 3
iD
Do
3+ 8
3
=
h
(
2− 3
−2
−1
Vậy phương trình có hai nghiệm x = ±2.
b)
=6
x 2 − 2 x −1
T
Với t = 2 −
+ (2 − 3)
x
n
)
3)
x
)
O
(
3⇔(
2+ 3
( x −1) 2
3− 8
3
u
t = 2 + 3
1
→
Khi đó (1) ⇔ t + − 4 = 0 ⇔ t 2 − 4t + 1 = 0
t
t = 2 − 3
Với t = 2 + 3 ⇔
x
(1) .
= 4,
)(
) +(
ie
(
2− 3
iL
Đặt
) +(
3+ 8
Hướng dẫn giải:
a
Do
2+ 3
3
d) ( 2 + 3 )
T
s/
(
a)
x
(
b)
...
Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!
https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2017 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG
Facebook: LyHung95
https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Vậy phương trình có hai nghiệm x = ±3.
c) ( 5 − 21 ) + 7 ( 5 + 21 ) = 2
x
x
.c
fb
x
x
x+ 3
x
5 − 21
5 + 21
⇔
+ 7.
= 8,
2
2
x
( 3) .
x
x
m
o
5 − 21 5 + 21 5 − 21 5 − 21
5 − 21
1
.
→
Ta có
=
= 1
=
2 2
2
2
2 5 + 21 x
2
x
x
5 + 21
5 − 21 1
Đặt
→
= t ,(t > 0)
= .
2
2
t
/g
ro
t = 1
1
2
→ 1
Khi đó ( 3) ⇔ + 7t − 8 = 0 ⇔ 7t − 8t + 1 = 0
t
t =
7
x
x
p
u
5 + 21
Với t = 1 ⇔
→ x = 0.
= 1
2
21
T
s/
5 + 21
1
1
Với t = ⇔
→ x = log 5+
=
7
2
7
2
1
.
7
+ (2 − 3)
)
2 − 3 ( 2 + 3 )( 2 + 3 )
x2 − 2 x
x2 − 2 x
=
(
)
(
)
+ (2 − 3)
x2 − 2 x
x2 − 2 x +1
x2 −2 x −1
4
⇔ 2 − 3 (2 + 3)
+ 2 − 3 (2 − 3)
=4
2− 3
+ (2 − 3)
x2 − 2 x
, (t > 0)
→(2 − 3)
= 4 ⇔ (2 + 3)
x2 − 2 x
1
= .
t
x2 − 2 x
(
(
)
)
Với phương trình x 2 − 2 x = 1 ⇔ x 2 − 2 x − 1 = 0 ⇔ x = 2 ± 2
Với phương trình x 2 − 2 x = −1 ⇔ x 2 − 2 x + 1 = 0 ⇔ x = 1.
1
0
c
o
)
x2 − 2x = 1
⇔ 2
x − 2 x = −1
=2− 3
iH
)(
Ta có u.v = 2 x −1 + 1 . 21− x + 1 = 2 x −1 + 21− x + 2 = u + v
=2+ 3
a
(
+
( 4) .
iD
2x
18
= x −1 1− x
x −1
x
2 +1 2 + 2 2 + 2 + 2
Hướng dẫn giải:
8
1
18
Viết lại phương trình dưới dạng: x −1
+
=
2 + 1 21− x + 1 2 x −1 + 21− x + 2
u = 2 x −1 + 1
Đặt
, u, v > 1
1− x
v = 2 + 1
8
x2 − 2 x
= 4,
h
x = 1
Vậy phương trình có hai nghiệm
x = 2 ± 2
Dạng 3: Phương trình đặt ẩn phụ trực tiếp bằng phép quan sát
Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải phương trình:
x2 − 2 x
n
O
t = 2 + 3
2+ 3
1
2
Khi đó ( 4 ) ⇔ t + − 4 = 0 ⇔ t − 4t + 1 = 0
→
⇔
t
t = 2 − 3
2+ 3
T
u
Đặt t = ( 2 + 3 )
x 2 − 2 x −1
ie
(
( x −1)2
iL
d) ( 2 + 3 )
a
x = 0
1
Vậy phương trình có hai nghiệm x = log
5 + 21
7
2
Chương trình Luyện thi PRO–S Toán MOON.VN – Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2017!
https://www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
- Xem thêm -
.PDF 
141 
820 
114 
