Tài liệu CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Đỗ Gia Chuyên Trường THPT Đội Cấn -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH Tác giả: Đỗ Gia Chuyên Giáo viên tổ Toán – Tin – Thể dục Trường THPT Đội Cấn Đối tượng học sinh: HS THPT và ôn thi ĐH - CĐ Số tiết dự kiến: 10T trên lớp + 10T tự học A. ĐẶT VẤN ĐỀ Trong chương trình toán trung học phổ thông, hệ phương trình là một nội dung quan trọng, thường có trong các đề thi tốt nghiệp, đại học, cao đẳng hay trung cấp chuyên nghiệp và trong các đề thi học sinh giỏi các cấp. Hệ phương trình có nhiều dạng với nhiều cách biến đổi khác nhau nên có thể gây khó khăn cho học sinh trong việc giải hệ. Chính vì thế đây là một nội dung đòi hỏi học sinh phải có tư duy, biến đổi, lựa chọn phương pháp hợp lí để tìm lời giải tốt nhất. Đã có nhiều sách viết về hệ phương trình, tuy nhiên hầu hết là không hệ thống các phương pháp hay sử dụng trong biến đổi hệ, giải hệ; hoặc nếu có thì còn sơ sài, chưa đầy đủ. Chuyên đề “Phương pháp giải hệ phương trình” sẽ giúp cho học sinh có cách nhìn tổng quát hơn về các phương pháp biến đổi giải hệ. Qua đó, hi vọng sẽ giúp các em học sinh có thêm kĩ năng biến đổi, giải hệ phương trình để bước vào các kì thi đạt được kết quả tốt hơn. B. NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ I. CÁC DẠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CẦN NHỚ: 1. Hệ gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc n, n �2 �ax  by  c � �f  x; y   0 (1) (2) trong đó f  x; y  là một đa thức đối với x và y. Phương pháp giải: Bằng phương pháp thế, từ phương trình (1) rút x theo y hoặc rút y theo x, thay vào phương trình (2) ta được phương trình một ẩn. �x  2 y  1 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: � 2 (I) 2 �x  xy  2 y  5 y  3 1 Đỗ Gia Chuyên Trường THPT Đội Cấn -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lời giải: � �x  2 y  1 2  2 y  1   2 y  1 y  2 y 2  5 y  3 � Hệ (I) � � �x  2 y  1 �� 2 2 y  y 1  0 � �x  0 �x  3 � �� hoặc � 1 y �y  1 � � 2 1 Hệ phương trình có hai nghiệm (x;y) là (3;1), (0;  ) . 2 2. Hệ phương trình đối xứng 2.1 Dạng 1: Hệ phương trình đối xứng loại 1 �f ( x; y )  f ( y; x)  0 Hệ phương trình đối xứng loại 1 có dạng � �g ( x; y )  g ( y; x)  0 (I) trong đó các đa thức f ( x; y ), g ( x; y ) là các đa thức đối xứng đối với x, y. (Đa thức đối xứng đối với x, y là đa thức khi thay đổi vai trò của x và y thì đa thức đó không đổi). Phương pháp giải: Đối với các hệ phương trình dạng này, cách thường làm là đặt ẩn phụ �S  x  y (*) � �P  xy Khi đó ta đưa được hệ phương trình (I) trở thành hệ phương trình đối với ẩn S, P. Giải hệ phương trình đối với ẩn S, P tìm được các cặp nghiệm (S;P). Thay vào (*), khi đó x, y là hai nghiệm (nếu có) của phương trình bậc hai X 2  SX  P  0 Giải phương trình trên ta có được các nghiệm (x;y) của hệ phương trình. Chú ý: Với cách đặt ẩn phụ S, P như trên thì điều kiện có nghiệm là S 2 �۳ 4P 0 S2 4P 2 2 � �x  y  x  y  4 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình � (I) �x  x  y  1  y  y  1  2 (Dự bị 1 – Khối A năm 2005) �S  x  y (Điều kiện S 2 �4 P ) P  xy � Lời giải: Đặt � 2 S  0, P  2 �P  2 � �S  2 P  S  4 � �2 �� Thay vào hệ (I) ta được � 2 S  1, P  2 �S  P  S  2 � �S  S  0 � x   2; y  2 �x  y  0 ��  Với ( S ; P )  (0; 2) có � x  2, y   2 �xy  2 � 2 Đỗ Gia Chuyên Trường THPT Đội Cấn -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x  2, y  1 �x  y  1 � ��  Với ( S ; P)  ( 1; 2) có � x  1, y  2 �xy  2 � Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm ( x; y ) là ( 2; 2), ( 2;  2), ( 2;1), (1; 2) . �  x  y   x2  y2   3 � Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: � (I) 2 2 x  y x  y  15     � � (Đề thi HSG lớp 10 THPT Vĩnh Phúc năm học 2005 – 2006) Lời giải 2 �  x  y   x  y  =3 � Hệ (I) � �  x  y   x 2  y 2   15 � � 2 ��  x  y   4 xy �  x  y  =3 �� � �� (II) x  y � x  y  2 xy �  15 �     � � � Đặt S  x  y, P  xy , điều kiện có nghiệm S 2 �4 P . Hệ phương trình (II) trở thành � ( S 2  4 P) S  3 �S 3  4 PS  3 � � �3 � 2 �S  2 PS  15 �S  S  2 P   15 �S 3  27 �S  3 �� �� �P  2 �PS  6 Thay S  3, P  2 , giải hệ ta tìm được 2 nghiệm ( x; y ) của hệ là (1; 2), (2;1) . 3 2 2 3 � �x y (1  y )  x y (2  y)  xy  30  0 Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: � 2 (I) 2 �x y  x(1  y  y )  y  11  0 (Đề thi HSG lớp 11 THPT Vĩnh Phúc năm học 2009 – 2010) Lời giải �xy[x 2 (1  y )  xy (2  y )  y 2 ]=30 Hệ (I) � � 2 2 �x y  xy  xy  x  y  11 � ( x  y ) 2  xy ( x  y ) � �xy � � � 30 �� �xy ( x  y )  xy  x  y  11 �xy ( x  y )( x  y  xy )  30 �� (II) �xy ( x  y )  ( xy  x  y )  11 �SP( S  P)  30 Đặt S  x  y, P  xy . Hệ phương trình (II) trở thành � �SP  S  P  11 Điều kiện có nghiệm S 2 �4 P 3 Đỗ Gia Chuyên Trường THPT Đội Cấn -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ab  30 a  5, b  6 � � �� a  b  11 � a  6, b  5 � Đặt a  S  P, b  SP ( a 2 �4b ). Suy ra � S  2, P  3 � �S  P  5 ��  Với (a; b)  (5; 6) có � S  3, P  2 �SP  6 � Với S  2, P  3 � S 2  4 P (loại) Thay S  3, P  2 , giải hệ ta tìm được 2 nghiệm ( x; y ) của hệ là (1; 2), (2;1) S  1, P  5 �S  P  6 � ��  Với (a; b)  (6;5) có � S  5, P  1 �SP  5 � Với S  1, P  5 � S 2  4 P (loại) Thay S  5, P  1 giải hệ ta tìm được hai nghiệm ( x; y ) của hệ là ( 5  21 5  21 5  21 5  21 ; ), ( ; ) 2 2 2 2 Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm ( x; y ) là (1; 2); (2;1); ( 5  21 5  21 5  21 5  21 ; ); ( ; ). 2 2 2 2 Chú ý: Trong một số bài toán, hệ phương trình có dạng đối xứng đối với x và ( y ) . �S  x  y Khi đó ta giải hệ bằng cách đặt ẩn phụ: � sau đó giải tương tự như trên. �P  xy �xy  x  y  3 Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: �3 (I) 3 �x y  xy  10 Lời giải � �xy  x  y  3 �xy  x  y  3 � � Hệ (I) � 2 � 2 � ( x  y ) 2  2 xy � �xy ( x  y )  10 � 10 �xy � �S  P  3 Đặt S  x  y, P  xy . Hệ phương trình trở thành � 2 �P ( S  2 P )  10 �P  3  S �P  3  S �� � �3 2 (3  S )( S 2  2S  6)  10 � �S  5S  12 S  8  0 �P  3  S �P  2 �� � � ( S  1)( S 2  4 S  8)  0 �S  1 � �x  y  1 � �xy  2 Với S  1, P  2 ta có hệ: � x  2, y  1 � � x  1, y  2 � Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( x; y ) là (2;1), (1; 2) . 4 Đỗ Gia Chuyên Trường THPT Đội Cấn -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 2.2 Dạng 2: Hệ phương trình đối xứng loại 2 �f ( x; y )  0 �f ( y; x)  0 Hệ phương trình đối xứng loại 2 có dạng: � (I) (trong đó f  x; y  là đa thức đối với x và y) Phương pháp giải : Biến đổi tương đương, trừ vế hai phương trình ta được x y 0 � f ( x; y )  f ( y ; x )  0 � ( x  y ) g ( x ; y )  0 � � g ( x; y )  0 � � �x  y  0 ( II ) � � f ( x ; y )  0 � Khi đó, hệ phương trình (I) � � � �f ( x; y )  0 � ( III ) � � �g ( x; y )  0 Từ đó đi giải các hệ phương trình (II), (III) sẽ thu được các nghiệm của hệ (I). Chú ý: Tập nghiệm của hệ (I) là hợp của tập nghiệm hệ (II) và (III). 3 � �x  1  2 y Ví dụ 1: Giải hệ phương trình � 3 (I) �y  1  2 x Lời giải: Trừ hai vế của hai phương trình ta được x3  y 3  2 y  2 x � ( x  y )( x 2  xy  y 2  2)  0 2 y � 3y2 � x  y  0 (Do x  xy  y  2  � x   2  0 vô nghiệm) � � � 2� 4 2 2 �x  y  0 �y  x �y  x � �3 �� Khi đó, hệ (I) � �3 ( x  1)( x 2  x  1)  0 �x  1  2 y �x  2 x  1  0 � � � x  y 1 �y  x � � x 1 1  5 �� � �� �� x y � 2 �� 1 � 5 � x  � 1  5 � 2 �� x  y  � � 2 Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm ( x; y ) là (1;1), ( 1  5 1  5 1  5 1  5 ; ), ( ; ). 2 2 2 2 5 Đỗ Gia Chuyên Trường THPT Đội Cấn -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2 � x 2 3x  (1) � y2 � Ví dụ 2: Giải hệ phương trình � (I) y2  2 � 3y  (2) � x2 � (ĐH khối B – 2003) Lời giải: Điều kiện xy �0 Từ (1) và (2) suy ra x  0, y  0 � 3 xy 2  x 2  2 � ( II ) Với điều kiện đó, HPT � � 2 3x y  y 2  2 � Trừ theo vế hai phương trình ta được: x 2  y 2  3 xy 2  3x 2 y �  x  y   3xy  x  y   0 � x  y (Do 3 xy  x  y  0x  0, y  0 ) Thay x  y vào phương trình (1) ta được phương trình: 3 x 3  x 2  2  0 � x  1 � y  1 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x; y )  (1;1) Chú ý: Trong một số trường hợp để giải hệ phương trình đối xứng loại 2 phải cộng và trừ theo vế hai phương trình. 3 � �x  8 x  3 y Ví dụ: Giải hệ phương trình � 3 �y  3x  8 y Lời giải: Cộng theo vế hai phương x y 0 � x 3  y 3  11( x  y ) � �2 x  xy  y 2  11 � trình ta được phương trình: x y 0 � 3 3 Trừ vế hai phương trình ta được: x  y  5( x  y ) � �2 x  xy  y 2  5 � Từ đó, hệ phương trình đã cho tương đương với các hệ sau: �x  y  0 � �x  y  0 (I ) �x 2  xy  y 2  11 � �x  y  0 ( III ) �x  y  0 �2 2 �x  xy  y  5 ( II ) 2 2 � �x  xy  y  11 �2 2 �x  xy  y  5 ( IV )  Giải hệ (I) có ( x; y )  (0; 0)  Giải hệ (II) có ( x; y )  ( 5;  5), (  5; 5)  Giải hệ (III) có ( x; y )  ( 11; 11), (  11;  11) 6 Đỗ Gia Chuyên Trường THPT Đội Cấn --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------  Giải hệ (IV) có 4 nghiệm (x;y) là: 2  14 2  14 2  14 2  14 ; ), ( ; ), 2 2 2 2  2  14  2  14  2  14  2  14 ( ; ), ( ; ) 2 2 2 2 ( Vậy hệ phương trình có 9 nghiệm (x;y) như trên. 3. Hệ phương trình đẳng cấp: �f1 ( x; y )  g1 ( x; y ) (I ) f ( x ; y )  g ( x ; y ) �2 2 Hệ phương trình đẳng cấp có dạng: � Trong đó f1 ( x; y ), f 2 ( x; y ) là hai đa thức đẳng cấp cùng bậc; g1 ( x; y ), g 2 ( x; y ) là hai đa thức đẳng cấp cùng bậc. Phương pháp giải:  Nếu x  0 , thay vào hệ suy ra kết luận về nghiệm của hệ.  Nếu x �0 : Đặt y  tx Đưa hệ phương trình ẩn x, y về hệ phương trình hai ẩn x, t. Chia theo vế hai phương trình, ta được phương trình một ẩn t. Giải phương trình tìm được t, thay vào tìm được x, y. �x 2  4 xy  y 2  4 (1) Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: � 2 (2) �y  3 xy  4 Lời giải: 2 �y  4 � y  �2 �y  4 Với x  0 , hệ có dạng: � 2 Hệ phương trình có 2 nghiệm ( x; y )  (0; 2), (0; 2) . Với x �0 , đặt y  tx , khi đó hệ trở thành �x 2  4 x.(tx)  (tx) 2  4 �x 2 (1  4t  t 2 )  4 (3) � �2 2 � 2 (tx)  3 x.(tx )  4 (4) �x (t  3t )  4 � Từ (3) và (4) có 1  4t  t 2 1 t 2  3t (Do t  0 hoặc t  3 không là nghiệm của (4)) � t 2  4t  1  t 2  3t � t  1 Với t  1 suy ra x  y . Thay t  1 vào (3) có: 2t 2  4 � vô nghiệm. Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (x;y) là (0; 2), (0; 2) . Chú ý: Có thể kiểm tra hệ với y = 0; sau đó đặt x  ty rồi biến đổi và giải tương tự. 7 Đỗ Gia Chuyên Trường THPT Đội Cấn -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2 2 �x  3xy  y  1 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: � 2 3x  xy  3 y 2  13 � Lời giải:  �x 2  1 � vô nghiệm. Với y  0 , hệ có dạng: � 2 3 x  13 �  Với y �0 , đặt x  ty , hệ phương trình trở thành: � �y 2 (t 2  3t  1)  1 (ty ) 2  3(ty ). y  y 2  1 � �2 2 � 2 3(ty )  (ty ). y  3 y 2  13 �y (3t  t  3)  13 � (1) (2) Từ (1) và (2) ta có: 3t 2  t  3  13(t 2  3t  1) � 16t 2  40t  16  0 t2 � �� 1 � t � 2  Với t  2 � x  2 y . Thay t  2 vào (1) có  y 2  1 � y 2  1 � y  �1 � hệ có 2 nghiệm ( x; y )  (2;1), ( 2; 1) .  Với t  13 2 1 1 1 � x  y . Thay t  vào (2) có y  13 � y 2  4 � y  �2 2 2 2 4 � hệ có 2 nghiệm ( x; y )  (1; 2), ( 1; 2) . Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm ( x; y ) là (1; 2), ( 1; 2),(2;1), ( 2; 1) . Nhận xét: Một số hệ phương trình có dạng � �f1  x; y   g1  x; y  � �f 2  x; y   g 2  x; y  trong đó deg  f1  x   .deg  g 2  x; y    deg  f 2  x   .deg  g1  x; y   cũng có thể giải theo cách giải của hệ phương trình đẳng cấp. �2 y 2  x 2  1 � Ví dụ 3: Giải hệ phương trình � 3 3 �2 x  y  2 y  x Lời giải:  Với y  0 hệ phương trình vô nghiệm.     �y 2 2  t 2  1 � 2 y2  t 2 y2  1 � � �� Với y �0 , đặt x  ty . Hệ trở thành: � 3 3 3 2 3 �2t y  y  2 y  ty � �y 2t  1  2  t  3 2 3 2 Từ hệ phương trình trên suy ra 2t  1   2  t   2  t  � t  2t  2t  5  0   �  t  1 t 2  3t  5  0 � t  1 8 Đỗ Gia Chuyên Trường THPT Đội Cấn ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Với t  1 thay vào hệ ta được  x; y    1;1 hoặc  x; y    1; 1 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm  x; y  là  1;1 ,  1; 1 . 3 3 � �x  8 x  y  2 y Ví dụ 4: Giải hệ phương trình �2 2 �x  3  3 y  1   I  (Dự bị 2 – Khối A năm 2006) Lời giải: �x 3  y 3  8 x  2 y (1) � � Hệ phương trình (I) �2 2 (2) �x  3 y  6  Với x  0 , phương trình (2) vô nghiệm � hệ phương trình vô nghiệm.  Với x �0 , đặt y  tx , hệ phương trình trở thành:       �x 3 1  t 3  2 x  4  t  �x 2 1  t 3  2t  8 � � �� �2 2 2 2 � � �x 1  3t  6 �x 1  3t  6   3 2 Từ hệ phương trình ta suy ra: 6  1  t    2t  8   1  3t  � 1 t � 3 2 � 24t  2t  2  0 � � 1 � t � � 4 1 3  Với t  , thay vào ta tìm được  x; y    3;1 hoặc  x; y    3; 1  Với 1 t , 4 thay vào ta tìm được �4 78 78 � ; � hoặc 13 � � 13 �  x; y   � � � 4 78 78 � ; �. 13 � � 13 �   x; y   � � �4 78 78 �� 4 78 78 � ;  ; � � �, � � 13 13 13 13 � � �� � Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm  x; y  là  3;1 ,  3; 1 , � � II. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ HỆ PHUƠNG TRÌNH KHÁC: Các hệ phương trình này không có dạng đối xứng, không là hệ đẳng cấp, việc áp dụng phương pháp giải hợp lý sẽ giúp ích cho học sinh trong việc tìm ra lời giải ngắn gọn, chính xác. 1. Phương pháp thế: Trong hệ có một phương trình bậc nhất đối với ẩn x hoặc y. Khi đó ta tìm cách rút y qua x (hoặc x qua y). �x 2 ( y  1)( x  y  1)  3 x 2  4 x  1 � Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: � 2 �xy  x  1  x (1) (2) (TH&TT – 2009) 9 Đỗ Gia Chuyên Trường THPT Đội Cấn -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Hướng dẫn: Phương trình (2) có dạng bậc nhất đối với y, ta tìm cách rút y qua x. Lời giải:  Ta thấy x = 0 không thoả mãn phương trình (2).  Với x �0 , từ (2) có: y  x2 1  1 (*), thay vào (1), ta được: x x2 1 x2  1 (1) � x . .( x  )  3x 2  4 x  1 x x 2 � ( x 2  1)(2 x 2  1)  ( x  1)(3 x  1) � ( x  1)(2 x 3  2 x 2  x  1)  ( x  1)(3x  1) � ( x  1)(2 x 3  2 x 2  4 x)  0 x0 � � � 2 x( x  1) ( x  2)  0 � x  1 � � x  2 � 2 Có x  0 không thoả mãn. Khi đó, thay x vào ta tìm được y. Hệ phương trình có hai nghiệm ( x; y ) là (1;-1), (-2; -5 ). 2 3 2 � �x  2 xy  12 y  0 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: � 2 8 y  x 2  12 � (1) (2) Hướng dẫn: Ta có thể nhận thấy nếu thế số 12 ở phương trình (2) vào phương trình (1) thì ta được phương trình đẳng cấp bậc 3 đối với x và y, từ đó rút được x qua y. Lời giải: Thay 12 ở phương trình (2) vào phương trình (1) ta được phương trình: x3  2 xy 2  (8 y 2  x 2 ) y  0 � x 3  x 2 y  2 xy 2  8 y 3  0 � ( x  2 y )( x 2  xy  4 y 2 )  0 � x  2 y  0 � x  2 y ( Do x 2  xy  4 y 2  0 x, y �� ) Thay x  2 y vào phương trình (2) ta được: 12 y 2  12 � y  �1 Hệ phương trình có 2 nghiệm (x;y) là (2; 1), (2;1) . 4 3 2 2 � �x  2 x y  x y  2 x  9 Ví dụ 3: Giải hệ phương trình �2 �x  2 xy  6 x  6 (ĐH khối B – 2008) Hướng dẫn: Rút xy  6x  6  x2 từ phương trình (2) sau đó thay vào phương trình (1). 2 Lời giải: 10 Đỗ Gia Chuyên Trường THPT Đội Cấn -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2 2 �x  xy  2 x  9 (1) � Hệ phương trình � � 6 x  6  x 2 �xy  (2) � 2   Thay (2) vào (1) ta được phương trình  x 2  6 x  6   4  2 x  9  2 x0 � 3 � x 4  12 x3  48 x 2  64 x  0 � x  x  4   0 � � x  4 �  Với x  0 , thay vào (2) không thỏa mãn � hệ vô nghiệm  Với x  4, thay vào (2) ta được y  17 . 4 � 17 � �. � 4� Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  x; y   �4; 2. Phương pháp biến đổi tương đương: Phương pháp này chủ yếu dựa vào những kỹ năng biến đổi đồng nhất, phân tích bằng cách cộng, trừ, nhân, chia, bình phương, lập phương, nhân chia biểu thức liên hợp,… nhằm đưa một phương trình của hệ về dạng đơn giản hơn. 2 2 � �x  5 x  6  y  y Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: � (I) � x  2  3x  2 y  2  4 Hướng dẫn: Biến đổi phương trình (1), đưa về phương trình dạng A2  B 2 Lời giải 2 2 2 2 � �4 x  20 x  25  4 y  4 y  1 � �(2 x  5)  (2 y  1) �� Hệ (I) � � � x  2  3x  2 y  2  4 � x  2  3x  2 y  2  4 �� �x  y  2 �� ��2 x  5  2 y  1 �� x  2  3x  2 y  2  4 �� � ��2 x  5  (2 y  1) �� �x   y  3 � �� x  2  3 x  2 y  2  4 � �� x  2  3x  2 y  2  4 �� (*) (**)  Giải hệ phương trình (*) ta được nghiệm ( x; y )  (2; 4) 113 161 ; ) 16 16  Giải hệ phương trình (**) ta được nghiệm ( x; y )  ( Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x;y) là (2; 4), ( 113 161 ; ). 16 16 2 2 � (1) �xy  x  y  x  2 y Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: � �x 2 y  y x  1  2 x  2 y (2) (ĐH khối D – 2008) 11 Đỗ Gia Chuyên Trường THPT Đội Cấn -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Hướng dẫn: Phương trình (1) có thể phân tích được thành phương trình tích: (1) � ( x  y )( x  2 y  1)  0 Từ đó thay vào hệ phương trình, biến đổi và tìm nghiệm. Lời giải: Điều kiện: x �1; y �0 Với điều kiện đó, ( x  y )( x  2 y )  ( x  y )  0 � ( x 2  xy  2 y 2 )  ( x  y)  0 � � � �� HPT � � �x 2 y  y x  1  2 x  2 y �x 2 y  y x  1  2 x  2 y ( x  y )( x  2 y  1)  0 � � � �x  2 y  1  0 �� �� �x 2 y  y x  1  2 x  2 y �x 2 y  y x  1  2 x  2 y � � �x  2 y  1 �x  2 y  1 �� �� (2 y  1) 2 y  y 2 y  2 y  2 ( y  1)( 2 y  2)  0 � � �x  2 y  1 �� � ( x; y )  (5; 2) �y  2 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x; y )  (5; 2) . Nhận xét: Với các hệ phương trình trong ví dụ 1, ví dụ 2, phương trình (1) của mỗi hệ có dạng là phương trình (bậc hai) theo ẩn x hoặc y, khi đó ta coi ẩn còn lại là tham số. Giải phương trình bậc hai đó theo tham số ta có thể tìm được các phân tích như trên. 2 � (1) �y  (5 x  4)(4  x) Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: � 2 2 �y  5 x  4 xy  16 x  8 y  16  0 (2) (I) (TH&TT 2009) Hướng dẫn: Coi phương trình (2) là phương trình bậc hai đối với ẩn y, tham số x. Tìm nghiệm y qua tham số x, sau đó thay vào phương trình (1) để tìm nghiệm của hệ. (Có thể coi là phương trình bậc hai đối với ẩn x, tham số y và làm tương tự) Lời giải: Coi phương trình (2) là phương trình bậc hai ẩn y, tham số x. Khi đó: (2) � y 2  4( x  2) y  5 x 2  16 x  16  0  'x  4( x  2) 2  (5 x 2  16 x  16)  9 x 2 �0 , Từ đó, ta được y  4  x hoặc y  5 x  4 �4 �5 � �  Với y  5 x  4, thay vào (1) ta được  x; y    0; 4  hoặc  x; y   � ;0 �.  Với y  4  x, thay vào (1) ta được  x; y    0; 4  hoặc  x; y    4;0  Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm ( x; y ) là (0; 4), (4;0), ( 4 ;0) . 5 12 Đỗ Gia Chuyên Trường THPT Đội Cấn -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------� � x  y  x  y  2 y  1 Ví dụ 4: Giải hệ phương trình �  2 � � x  5y  3 Hướng dẫn: Bình phương hai vế phương trình (1) làm xuất hiện nhân tử chung. Lời giải: Điều kiện: x �y �0 Bình phương hai vế phương trình (1) ta được: 2 x  2 x 2  y 2  4 y �y  0 x  y  2 y  x � 5 y  4 xy  0 � � 4 �y  x � 5 2 � 2 2  Với y  0 không thỏa mãn hệ phương trình. 4 5  Với y  x , thay vào (2) ta được 3 x  3 � x  1 � y  4 5 � 4� 1; �thỏa mãn phương trình (1). Có  x; y   � �5� � 4� 1; � Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  x; y   � �5� � 5 x 2 y  4 xy 2  3 y 3  2  x  y   0 � Ví dụ 5: Giải hệ phương trình � 2 2 2 � �xy x  y  2   x  y     1  2 (ĐH khối A – năm 2011) Lời giải: xy  1 � 2 2 Phương trình (2) �  xy  1  x  y  2   0 � �2 x  y2  2 � 1 x  Với xy  1 � y  , thay vào (1) ta được: x 4  2 x 2  1  0 � x  �1 Suy ra  x; y    1;1 hoặc  x; y    1; 1 là nghiệm của hệ. 2 2 2 2  Với x 2  y 2  2, từ (1) có 3 y  x  y   4 xy  2 x y  2  x  y   0 xy  1 � � 6 y  4 xy 2  2 x 2 y  2  x  y   0 �  xy  1  x  2 y   0 � � x  2y �  Với xy  1 có  x; y    1;1 hoặc  x; y    1; 1 là nghiệm  Với x  2 y, thay vào ta được �2 10 10 � ; � 5 5 � � �  x; y   � � � 2 10 10 � ; �là nghiệm 5 � � 5 �   x; y   � � 13 hoặc Đỗ Gia Chuyên Trường THPT Đội Cấn -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------�2 10 10 �� 2 10 10 � ;  ;  Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm  x; y  là  1; 1 ,  1;1 , � � , � � . � 5 � 5 � 5 � � �� 5 � �y ( xy  2)  3x 2 � Ví dụ 6: Giải hệ phương trình: � 2 2 �y  x y  2 x  0 (1) (2) (Đề thi HSG lớp 10, năm học 2009 – 2010) Lời giải:  Nếu x  0 thì y  0 , ngược lại, nếu y  0 � x  0 , do đó hệ có nghiệm ( x; y )  (0; 0) .  Nếu xy �0 : Nhân hai vế của (2) với x rồi cộng với (1) ta được: ( xy 2  x3 y  2 x 2 )  ( xy 2  2 y  3x 2 )  0 xy  1 � � ( xy  1)(2 y  x 2 )  0 � � 2 y  x2  0 � � xy  1 � � � y ( xy  2)  3 x 2 � � HPT � � � 2 y  x2  0 � � � � y ( xy  2)  3 x 2 � � (*) (**) 1 3  Giải hệ (*) có ( x; y )  ( 3 ;  3 3) .  Giải hệ (**) có ( x; y )  (2; 2) . 1 3 Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm ( x; y ) là (0;0), (2; 2), ( 3 ;  3) . 3 3. Phương pháp đặt ẩn phụ Đây là một phương pháp hay sử dụng. Có rất nhiều hệ phương trình có thể giải bằng cách đặt ẩn phụ và có thể đặt theo nhiều cách khác nhau. Vì vậy, điều quan trọng nhất trong phương pháp này là phát hiện được ra cách đặt ẩn phụ để đưa hệ về dạng đơn giản hơn. Ẩn phụ có thể xuất hiện ngay trong từng phương trình hoặc phải qua một số phép biến đổi hằng đẳng thức cơ bản hoặc phép chia cho một giá trị, biểu thức khác 0. 2 � (1) �x  2  y ( y  x  5)  0 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: � 2 (I) 3 2 �y  x  2 xy   y  x  15 y  2 (2) (KSCL thi ĐH lần I - Năm học 2013 – 2014) Hướng dẫn: y=0 không thoả mãn (1). Chia cả 2 vế của hai phương trình cho y �0 , sau đó đặt ẩn phụ. Lời giải: 14 Đỗ Gia Chuyên Trường THPT Đội Cấn -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- �x 2  2 � y x y 5 �  Hệ (I) � � x2  2 2 �  15  x  y  � y � (Do y  0 không thoả mãn hệ) � u  10 � � � v  5 uv 5 � x2  2 � �� , v  y  x , hệ phương trình trở thành �2 Đặt u  � v  u  15 u 1 y � � � � v4 � � �x 2  2  10 y u  10, v   5 �  Với hệ � (hệ vô nghiệm) �x  y  5 x  1; y  3 �x 2  2  y � ��  Với u  1, v  4 � � x  2; y  6 � �x  y  4 Hệ phương trình có hai nghiệm ( x; y ) là (1;3), (2;6) . 3 � 4 xy  4( x 2  y 2 )  7 � ( x  y)2 � Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: � (I) 1 � 2x  3 � x  y � (TH&TT 2009) Hướng dẫn: Phân tích để xuất hiện ẩn phụ: u  x  y  1 ,v x y x y Lời giải: Điều kiện x  y �0 . Khi đó ta có: 3 � 3( x  y ) 2   ( x  y)2  7 2 � ( x  y) � Hệ (I) � � �x  y  1  x  y  3 � x y � Đặt u  x  y  1 , ( u �2) , v  x  y x y � 3u 2  v 2  13 Hệ phương trình trở thành � uv 3 � Giải hệ trên, có u=2, v=1 (Do u �2 ) 1 � 2 �x  y  1 �x  1 �x  y  x y �� �� Từ đó, có � x  y  1 � �y  0 �x  y  1 � 15 Đỗ Gia Chuyên Trường THPT Đội Cấn -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x; y )  (1; 0) . 5 �2 3 2 x  y  x y  xy  xy   � � 4 Ví dụ 3: Giải hệ phương trình � �x 4  y 2  xy  1  2 x    5 � 4 (I) (ĐH khối A – 2008) Hướng dẫn: Đặt ẩn phụ u  x 2  y, v  xy Lời giải: 5 �2 x  y  xy  xy  x 2  y    � � 4 Hệ (I) � � 2 �  x 2  y   xy   54 � (II) Đặt u  x 2  y, v  xy , 5 5 5 � � � 2 v    u u  0, v   u  v  uv   � � � � � 4 4 4 �� �� Hệ (II) trở thành: � 5 1 3 u � � � u2  v   u   ,v   u3  u 2   0 � � � 4 2 2 4  � 5 �x 2  y  0 �x  3 5 4 � � Với u  0, v   ta có hệ � 5 �� 4 �xy   �y   3 25 4 � � 16 �  1 �2 3 � x y �x  1 � 1 3 � � 2 � �y   �� 2x Với u   , v   ta có hệ � � 3 3 y 2 2 3 �xy   � � 2x  x  3  0 � 2 � � 2 �5 25 �� 3 � 3 3 ;  ,� 1;  � Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm ( x; y ) là � � �4 16 � � �� 2 � � � 3 x  y  8 x  2 y  1 (1) � 3x  y  x  y  0 (2) Ví dụ 4: Giải hệ phương trình � (I) (KSCL thi ĐH khối B – 2012 – Vĩnh Phúc) Lời giải: Đặt a  3x  y , b  8 x  2 y . Điều kiện: a �0, b �0 . Khi đó: x  y  2b 2  5a 2 a  b  1 � b  a 1 � �۳ � a  2b 2  5a 2  0 3a 2  5a  2  0 � � Hệ phương trình trở thành: � a2 � � b3 �  Do a, b 16 0 Đỗ Gia Chuyên Trường THPT Đội Cấn -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------� 1 x � 3x  y  4 � � 2 a  2, b  3 � �  Với � � 8x  2 y  9 � �y  5 � 2 �1 5 � Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  x; y   � ; �. �2 2 � �xy  x  1  7 y Ví dụ 5: Giải hệ phương trình � 2 (I) 2 2 �x y  xy  1  13 y (ĐH khối B – 2009) Hướng dẫn: Chia phương trình (1) cho y, phương trình (2) chia cho y 2 sau đó đặt ẩn 1 x phụ u  x  , v  . y y Lời giải: � x 1 �x  y  y  7 � Hệ (I) � � (do y  0 không thỏa mãn hệ phương trình) x 1 2 �x    13 2 � y y � Đặt u  x  1 x , v  , điều kiện: u 2 �4v y y uv 7 u  5, v  12 � � �� Hệ phương trình trở thành: � 2 u  4, v  3 u  v  13 � �  Với u  5, v  12 không thỏa mãn. � 1 x  3, y  1 � �x  y  4 � ��  Với u  4, v  3 ta có hệ � 1 � x x  1, y  � 3 3 � � �y �1� 1; �. Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( x; y ) là  3;1 , � � 3� 4. Phương pháp sử dụng bất đẳng thức: Sử dụng các tính chất, các bất đẳng thức cơ bản của bất đẳng thức, dùng các bất đẳng thức quen thuộc như AM – GM, Bu-nhi-a-côp-xki,… để giải hệ. 3 2 � �x  y  2 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: �2 2 �x  xy  y  y  0 (1) (2) Hướng dẫn: Từ (2) tìm miền giá trị của x và y, sau đó áp dụng tính chất bất đẳng thức vào phương trình (1). 17 Đỗ Gia Chuyên Trường THPT Đội Cấn -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Lời giải: Coi (2) là phương trình bậc hai ẩn x, tham số y. 2 2 2 Khi đó:  y  y  4( y  y )  4 y  3 y 0  4�� y 3 y 2 Để phương trình có nghiệm thì ۣ�� y 0 0 y 4 3 Tương tự, nếu coi (2) là phương trình bậc hai ẩn y, tham số x. (2) � y 2  ( x  1) y  x 2  0 1 2 2 2 Để phương trình có nghiệm thì  x  ( x  1)  4 x �0 � 3 x  2 x  1 �0 � 1 �x � 3 1 3 4 2 49 1 4 3 2 2 Từ đó, để hệ có nghiệm thì 1 �x � , 0 �y � � x  y �( )  ( )  3 3 3 3 27 Vậy hệ phương trình vô nghiệm. 2 2 � � x  y  2x  2 y  x  1 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: � � � x  y  x  y 1  1 (1) (2) Hướng dẫn: Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ở phương trình (1) Lời giải: �x  y �0 Điều kiện : � �x  y  2 �0 Khi đó: (1) � ( x  y )( x  y  2)  x  1 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho hai số không âm: ( x  y )  ( x  y  2) ( x  y )( x  y  2) �  x 1 2 Từ đó, để (1) có nghiệm thì x  y  x  y  2 � x  1 Thay x=1 vào (1) có y=1 Ta có ( x; y )  (1;1) thoả mãn (2) và thoả mãn điều kiện Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x; y )  (1;1) . 2 2 � � x  y  y  x  2 (1) Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: � 2 2 (2) �x  y  x  y  2 (I ) Hướng dẫn: Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki ở phương trình (1). Lời giải: Điều kiện: x 2 �y , y 2 �x Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki cho 4 số thực, ta có: 18 Đỗ Gia Chuyên Trường THPT Đội Cấn -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x 2  y  y 2  x � (12  12 )( x 2  y  y 2  x )  2 (Do x 2  y 2  x  y  2 ) �x 2  y  y 2  x �x 2  y  1 � � � �2 ( II ) Từ đó, hệ phương trình tương đương: � 2 2 �x  y  x  y  2 �y  x  1 Hệ phương trình (II) là hệ đối xứng loại 2, học sinh đã biết cách làm. 1 5 1 5 1 5 1 5 Hệ phương trình có hai nghiệm ( x; y ) là ( ; ), ( ; ). 2 2 2 2 5. Phương pháp đánh giá Phương pháp đánh giá cũng gần giống với phương pháp sử dụng bất đẳng thức. Đỗi với phương pháp này, ta thường nhẩm được nghiệm của hệ phương trình, kết hợp các tính chất của các bất đẳng thức cơ bản,… 3 � �y   x  3x  4 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: � 3 �x  2 y  6 y  2 Lời giải: �y  2   x 3  3x  2 �y  2  ( x  1) 2 ( x  2) � � �� HPT � � 3 2 �x  2  2( y  3 y  2) �x  2  2( y  1) ( y  2) (1) (2) Nếu x  2 : Từ (1) suy ra y  2  0 � y  2 Từ (2) suy ra y  2  0 � y  2 Suy ra mâu thuẫn, vậy với x  2 hệ vô nghiệm. Nếu x  2 : Tương tự ta cũng suy ra điều mâu thuẫn. Với x = 2, thay vào có y = 2 suy ra ( x; y )  (2; 2) là nghiệm. Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x; y )  (2; 2) . 2 2 � � x  2 x  2  4 y  2 y  2  2 (1) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: � 4 (2) � � x  y3  3 Lời giải: Điều kiện x �0, y �3 . Ta có x 2  2 x  2  ( x  1) 2  1 �1 � x 2  2 x  2 �1 y 2  2 y  2  ( y  1) 2  1 �1 � 4 y 2  2 y  2 �1 Từ đó: 2 � �x  2 x  2  1 � x  y 1 x  2 x  2  y  2 y  2 �2 , suy ra (1) � � 2 �y  2 y  2  1 2 4 2 Thay x  y  1 vào phương trình (2) thoả mãn. Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( x; y )  (1;1) . 19 Đỗ Gia Chuyên Trường THPT Đội Cấn -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 6. Phương pháp hàm số Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để tìm nghiệm, như vậy để áp dụng được phương pháp này học sinh phải được trang bị các kiến thức về sự đơn điệu của các hàm số, cách chỉ ra tính đơn điệu của hàm số. Trong phương pháp này qua các phép biến đổi thường xuất hiện phương trình có dạng f ( x)  f ( y ) , trong đó hàm số f đơn điệu trên miền xác định của nó. �x 3  5 x  y 3  5 y Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: �8 4 �x  y  1 (1) (2) Lời giải: 8 1, y 4ۣ�1ۣ Từ phương trình (2) ta có x �� x 1, y 1 Xét hàm số f (t )  t 3  5t trên [-1;1]. Có f '(t )  3t 2  5  0, t �[-1;1] � f (t ) nghịch biến trên (-1;1) Khi đó, f ( x)  f ( y ) � x  y . Vậy từ (1) suy ra x  y , thay vào (2) có: x8  x 4  1  0 Đặt a  x 4 �0 , giải phương trình tương ứng có a  1  5 1  5 � x  y  �4 2 2 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm. � � x  3  2 y 1  1 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: � � y  3  2x  1  1 (1) (2) (Đề thi HSG lớp 10, năm học 2006 – 2007) Lời giải: 1 1 Điều kiện x � ; y � 2 2 Trừ hai vế của hai phương trình (1) và (2) ta được: x  3  y  3  2x  1  2 y  1  0 � x  3  2x 1  y  3  2 y 1 (3) 1 � � Xét hàm số f (t )  t  3  2t  1 trên � ; �� �2 � 1 � � Hàm số f (t ) là hàm đồng biến trên � ; �� �2 � Khi đó, từ (3) có f ( x)  f ( y ) � x  y Với x y, thay x  3  2x 1  1 � vào phương trình (1) ta được: x  3  2x  1  1 � 2 2 x  1  1  x 20