Mô tả:
Chuyên đề Nguyên hàm - Tích phân ôn thi THPT Quốc gia môn toán
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm- Tích phân
BÀI 1. NGUYÊN HÀM
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 1. Nguyên hàm thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê
Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần Bài 1. Nguyên hàm, Bạn cần kết hợp
xem tài liệu cùng với bài giảng này.
I. Các công thức tính đạo hàm
1.(C ') 0
2.(Cx) ' C
3.( x ) ' x 1
(u ) ' u 1.u '
1
x ln a
u'
log a u '
u ln a
10.(sin x) ' cos x
9. log a x '
'
1
1
4. 2
x
x
'
u'
1
2
u
u
5.
(sin u ) ' u '.cos u
1
'
x
11.(cos x) ' sin x
(cos u ) ' u '.sin u
2 x
'
u'
u
2 u
6. e
e
x '
1
cos 2 x
u'
(tan u ) '
cos 2u
1
13.(cot x) ' 2
sin x
u'
(cot u ) ' 2
sin u
12.(tan x) '
x
e e .u '
7. a a ln a
a a ln a.u '
u '
u
x '
u '
x
u
u u ' v v 'u
;
v2
v
'
14. (uv) ' u ' v uv ';
1
x
u'
ln u '
u
8. ln x '
u v ' u ' v '
II. Nguyên hàm
1. Định nghĩa
Cho hàm số f ( x) xác định trên K. Hàm số F ( x) được gọi là nguyên hàm của f ( x) trên K nếu với
x K ta đều có: F '( x) f ( x)
2. Ví dụ (Các em theo dõi bài giảng)
3. Họ các nguyên hàm
Nếu F ( x) là nguyên hàm của f ( x) thì F ( x) +C cũng là nguyên hàm của f ( x) và F ( x) +C được gọi là họ
tất cả các nguyên hàm của f ( x)
Kí hiệu:
f ( x)dx F ( x) C
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm- Tích phân
Ví dụ: Tính
1. x 5 dx
1
2. x 2 3 dx
x
6. tan 2 xdx
7. sin 2 x.cos3 xdx
3. e3 x dx
8. cos 2 xdx
4. cos3 xdx
9. sin 2 xdx
5.
dx
2
sin x.cos 2 x
10.
2 cos3 x
dx
1 sin x
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
:
Hocmai.vn
- Trang | 2 -
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm- Tích phân
BÀI 1. NGUYÊN HÀM
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 1. Nguyên hàm thuộc khóa học Toán 12 – Thầy
Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt
trong bài giảng Bài 1. Nguyên hàm. Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập
trong tài liệu này.
Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
2 1 2
1
1
x
b) y
x 2
5 3
2
x
Bài 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) y
a) y ( x 2 3x)( x 1)
b) y ( x 3)3
c) y
5 32
x 8x
2
c) y ( x 2 x 3 )( x 1)
Bài 3: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
( x 2) 2
( x 2 1) 2
a)
dx
b)
dx
x4
x2
Bài 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
x
1
b) (2 x 3x 2 ) x 2 3x 3 dx
x
x 2 x x 1 dx
Bài 5: Tìm hàm số y f ( x) , biết rằng
1
2 và f (1) 2
x2
b
Bài 6: Tìm hàm số y f ( x) nếu biết f '( x ) ax 2 , f ( 1) 2, f (1) 4; f '(1) 0
x
a) f '( x) 4 x x và f (4) 0
b) f '( x) x
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn
- Trang | 1 -
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm - Tích phân
BÀI 1. NGUYÊN HÀM
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 1. Nguyên hàm thuộc khóa học Toán 12 – Thầy
Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt
trong bài giảng Bài 1. Nguyên hàm. Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập
trong tài liệu này.
Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
2 1 2
1
1
x
b) y
x 2
5 3
2
x
Giải:
Áp dụng bảng nguyên hàm cơ bản ta có
a) y
c) y
5 32
x 8x
2
3
5
2
x
x3 1
a) x C
b)
C
c) x 2 4 x 2 C
5
9
3
x
Bài 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) y ( x 2 3x)( x 1)
b) y ( x 3)3
c) y ( x 2 x 3 )( x 1)
Giải:
Nhân các đa thức với nhau
x 4 2 x3 3x 2
( x 3) 4
a)
C
b)
C
4
3
2
4
Bài 3: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
( x 2) 2
a)
dx
x4
Giải:
2 x5 x 4 x3 x 2
c)
C
5
2 3 2
( x 2 1) 2
b)
dx
x2
Khai triển các hằng đẳng thức, áp dụng cách tách:
ab a b
c
c c
1 2
4
x3
1
a) 2 3 C
b)
2x C
x x 3x
3
x
Bài 4: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a)
x
x 2 x x 1 dx
1
b) (2 x 3x 2 ) x 2 3x 3 dx
x
Giải:
Nhân các đa thức với nhau rồi tách ra thành các nguyên hàm
x3 x 2 4 72 4 52
x4
x x C
b)
xC
3 2 7
5
2
Bài 5: Tìm hàm số y f ( x) , biết rằng
a)
a) f '( x) 4 x x và f (4) 0
b) f '( x) x
1
2 và f (1) 2
x2
Giải:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm - Tích phân
Trước tiên ta tìm nguyên hàm của các hàm số, sau đó ta thay x để tìm ra C.
a)
8 x x x 2 40
3
2
3
b)
x2 1
3
2x
2 x
2
Bài 6: Tìm hàm số y f ( x) nếu biết f '( x ) ax
b
, f ( 1) 2, f (1) 4; f '(1) 0
x2
Giải:
ax 2 b
c
2
x
Từ điều kiện đã cho, ta có hệ phương trình
f ( x)
a
2 b c 2
5
a
b c 4 a 1; b 1; c
2
2
a
b
0
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn
- Trang | 2 -
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm – Tích phân
BÀI 02. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM (PHẦN 01)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 02. Các phương pháp tính nguyên hàm (Phần 01)
thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần Bài
02. Các phương pháp tính nguyên hàm (phần 01), Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.
4. Tính chất
+) c. f ( x)dx c. f ( x)dx
+)
f ( x) f ( x) ... f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx ... f ( x)dx
1
2
n
1
2
n
5. Bảng tích phân cơ bản
1. dx x C
2. u du
3.
u 1
C
1
du
ln u C
u
4. eu du eu C
5. a u du
au
C
ln a
6. cos udu sin u C
7. sin udu cos u C
du
tan u C
cos 2u
du
9. 2 cot u C
sin u
8.
6. Ba kỹ năng cơ bản
a) Kỹ năng đưa vào dấu vi phân
d f ( x) f '( x)dx
Chú ý: dx d ( x C )
Bài tập mẫu: Tìm nguyên hàm
1. ( x5 1)6 .x 4 dx
2.
cos x
dx
(3 sin x)3
3. 3 9 x3 .x 2 dx
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
:
Hocmai.vn
- Trang | 1 -
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm - Tích phân
BÀI 02. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM (PHẦN 01)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 02. Các phương pháp tính nguyên hàm (Phần 01)
thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 02. Các phương pháp tính nguyên hàm (phần 01). Để sử dụng
hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
Bài 1: Tìm họ các nguyên hàm sau:
1
1. x 4 4 x3 3 x 2 x 2 dx
4
3.
me
x
4m 5
7m dx
2. mx3 3x 2 x 1 3
x
2x
2a x log3 x 2sin 2 x 3cos 4 x dx
Bài 2: Tìm họ các nguyên hàm sau:
1
a. 2
dx
x 4x 4
1
c. 2
dx
x 3x 2
Bài 3: Tìm họ các nguyên hàm sau:
2
4.
3x t anx+3x-2 dx
x
1
dx
12 x 4
1
d. 2
dx
4 x 3x 1
b.
9x
2
2 x 2 dx
2
4x 4
3x 2
2x 3
dx
dx
c. 2
d. 2
x 2x 3
x 4x 4
1
Bài 4: Tìm họ các nguyên hàm sau: f ( x)
.
cosx.cos x+
4
a.
b.
x
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
:
Hocmai.vn
- Trang | 1 -
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm- Tích phân
BÀI 02. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM (PHẦN 01)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 02. Các phương pháp tính nguyên hàm (Phần 01)
thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn. Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước
Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
Bài 1: Tìm họ các nguyên hàm sau:
4m 5
2. mx3 3x 2 x 1 3
7m dx
x
2x
1.
3.
me
x
2a x log3 x 2sin 2 x 3cos 4 x dx
2
4.
3x t anx+3x-2 dx
x
Giải:
1 5
3 5 1
1
1. x 4 4 x3 3 x 2 x 2 dx
x x 4 x 3 .x 2 2 x C
20
5
2
4
3
4m 5
m
2
4m 5
2. mx3 3x 2 x 1 3
7m dx x 4 x3 x 1 2 2 ln | x | 7mx C
x
2x
4
3
2.x 2
3.
me
x
2a x log3 x 2sin 2 x 3cos 4 x dx me x
2a x
1
3
x ln x x cos2x+ sin 4 x C
ln a ln 3
4
3x
3
2
4.
3x t anx+3x-2 dx 4 x
ln cosx x 2 2 x C
ln 3
2
x
Bài 2: Tìm họ các nguyên hàm sau:
1
1
a. 2
b. 2
dx
dx
x 4x 4
9 x 12 x 4
1
1
c. 2
d. 2
dx
dx
x 3x 2
4 x 3x 1
Giải:
1
1
1
a. 2
dx
dx
C
2
x 4x 4
x2
x 2
1
1
1
1
1
1
1
dx
dx
dx
C
2
2
2 9x 6
12 x 4
9
9
2
2
9 x
x
x
3
3
3
b.
9x
2
c.
x
1
1
1
1
1
x2
dx
dx
dx
dx ln x 2 ln x 1 ln
C
3x 2
2 1 x 1 x 2
x2
x 1
x 1
d.
4x
2
2
1
1
1 1
4
dx
dx
dx
dx
3x 1
5 x 1
4x 1
4 x 1 x 1
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm- Tích phân
x 1
1
1
ln x 1 ln 4 x 1 C ln
C
5
5 4x 1
Bài 3: Tìm họ các nguyên hàm sau:
2( x 1)
x2 2 x 3 dx
3x 2
c. 2
dx
x 2x 3
Giải:
a.
2 x 2 dx
x2 4 x 4
2x 3
d. 2
dx
x 4x 4
b.
d x 2 2 x 3
2( x 1)
2x 2
a. 2
dx 2
dx
ln x 2 2 x 3 C
2
x 2x 3
x 2x 3
x 2x 3
d x 2 4 x 3
2 x 2 dx
2 x 4dx
2
x2 4 x 3 x2 4 x 3 x2 4 x 3 ln x 4 x 3 C
c. Cách 1.
b.
E 2 x 2 D 2E D 2E
3x 2
. Đồng nhất hệ số hai tử số ta có hệ phương trình :
2
x2 2x 3
x2 2x 3
x 2x 3
3
3
2x 2
2
E
3
E
3x 2
1
2
2
.
2
2
2
x
2
x
3
x
2
x
3
x
2
x
3
D 2E 2
D 1
Ta có :
2
3x 2
3 d x 2 x 3
1
3
Vậy : 2
dx
2
dx ln x 2 2 x 3 J 1
2
x 2x 3
2
x 2x 3
x 2x 3
2
1
1 1
1
1 x 1
1
Tính :J= 2
dx
dx
dx ln x 1 ln x 3 ln
C
x 2x 3
4 x 1
x3 4
4 x3
Do đó :
x
2
3x 2
3
1 x 1
dx ln x 2 2 x 3 ln
C
2x 3
2
4 x3
-Cách 2.
A x 3 B x 1
A B x 3A B
3x 2
3x 2
A
B
*
x 2 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3
x 1 x 3
x 1 x 3
Ta có : +)
2
5
A
A B 3
4
Đồng nhất hệ số hai tử số ta có hệ :
3 A B 2 B 7
4
Suy ra :
3x 2
5
1
7
1
.
.
x 2 x 3 4 x 1 4 x 3
2
3x 2
5 1
7
1
5
7
dx
dx
dx ln x 1 ln x 3 C .
2x 3
4 x 1
4 x3
4
4
+) Phân tích f(x) đễn (*) .Sau đó thay hai nghiệm x=1 và x=3 vào hai tử số để tìm A,B , cụ thể ta có hệ hai
Vậy :
x
2
5
A
3.1 2 A(1 3)
4
phương trình sau :
3(3) 2 B(3 1)
B 7
4
Các bước tiếp theo giống như trên .
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm- Tích phân
E 2 x 4 D 2 Ex D 4 E
2x 3
. Đồng nhất hệ số hai tử số :
2
x 4x 4
x2 4x 4
x 4x 4
2 E 2
E 1
Ta có hệ
D 4 E 3 D 7
d.Ta có :
2
2x 3
2x 4
7
.
2
2
x 4x 4 x 4x 4 x 4x 4
2x 3
2x 4
1
7
Vậy : 2
dx 2
dx 7
dx ln x 2 4 x 4
C
2
x 4x 4
x 4x 4
x2
x 2
Suy ra :
2
Bài 4: Tìm họ các nguyên hàm sau: f ( x)
1
.
cosx.cos x+
4
Giải:
cos x+ x
4 2cos x+ x
4
Cách 1. Sử dụng đồng nhất thức : 1
4
cos
cos
4
4
cos
cos x+ x
cos x+ cosx+sin x+ s inx
4
4
4 dx 2
Ta có : F ( x) 2
dx
s inx.cos x+
s inxcos x+
4
4
sin x+
cosx
s inx
4 dx 2 ln s inx ln cos x+ 2 ln
= 2
dx
C
4
s inx
cos x+
cos x+
4
4
Cách 2 : Dựa trên đặc thù của hàm số f(x)
Ta có:
1
1
1
1
F ( x)
dx 2
dx 2
dx 2
dx
2
cosx
s inx sinx-cosx
s in x cotx-1
2
s inxcos x+
s in x 1
4
sinx
d cot x
d cot x 1
2
2
2 ln cot x 1 C
cot x 1
cot x 1
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
:
Hocmai.vn
- Trang | 3 -
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm - Tích phân
BÀI 03. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM (PHẦN 02)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 03. Các phương pháp tính nguyên hàm (Phần 02)
thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần Bài
03. Các phương pháp tính nguyên hàm (phần 02), Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.
6. Ba kỹ năng cơ bản
a) Kỹ năng đưa vào dấu vi phân
d f ( x) f '( x)dx
Chú ý: dx d ( x C )
Bài tập mẫu: Tìm nguyên hàm (tiếp)
e2 x
4. I
3
(e2 x 3)2
dx
5. I
2x
x x2 1
dx
b) Kỹ năng thêm bớt
Bài tập mẫu: Tính tích phân
1) I
cos x
dx
1 cos x
5) I
3x 2
dx
x3
2) I
6) I
dx
e 1
3x
x
dx
( x 4)6
c) Kỹ năng tách
Bài tập mẫu: Tính tích phân
1) I
dx
4 x2
2) I
dx
x 9x 8
2
3) I
dx
2 x 5x 2
4) I
2
dx
x( x8 1)
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
:
Hocmai.vn
- Trang | 1 -
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm- Tích phân
BÀI 03. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM (PHẦN 02)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 03. Các phương pháp tính nguyên hàm (Phần 02)
thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 03. Các phương pháp tính nguyên hàm (phần 02). Để sử dụng
hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
Bài 1: Tìm nguyên hàm của hàm số :
a. f ( x) cos3xcos5x
b. f ( x) t anx.tan x tan x
3
3
Bài 2: Tìm nguyên hàm của hàm số :
a. f ( x) sin 3 x.sin 3x
b. f ( x) sin 3 x.cos3x+cos3 x.sin 3x
Bài 3 : Tìm nguyên hàm của hàm số :
a. f ( x) tan 2 x
Bài 4: Tìm nguyên hàm f ( x)
b) f ( x)
1
sin x.cos 2 x
2
1
x2 x2
Bài 5: Tìm nguyên hàm
a.
x3
x 1 dx
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
:
Hocmai.vn
- Trang | 1 -
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm – Tích phân
BÀI 03. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM (PHẦN 02)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 03. Các phương pháp tính nguyên hàm (Phần 02)
thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 03. Các phương pháp tính nguyên hàm (phần 02). Để sử dụng
hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
Bài 1: Tìm nguyên hàm của hàm số :
a. f ( x) cos3xcos5x
b. f ( x) t anx.tan x tan x
3
3
Giải:
a) Ta biến đổi : f ( x) cos3xcos5x=
Khi đó : I f ( x)dx
cos8x+cos2x 1
1
cos8x+ cos2x
2
2
2
1
1
1
1
cos8xdx+ cos2xdx= sin 8 x sin 2 x C
2
2
16
4
s inx.sin x sin x
3
3
b) Ta biến đổi : f ( x) t anx.tan x tan x
3
3
cosx.cos
x cos x
3
3
2
1
1
1
s inx. cos2x-cos
sin 3 x s inx s inx
cos2x.sinx+ s inx
sin 3 x
3
2
2
2
1
1
1
2
cos3x
cosx cos2x+cos
cos2x.cosx- 2 cosx 2 cos3x+cosx 2 cosx
3
Khi đó : I f ( x)dx
sin 3x
1 3sin 3x
1 d cos3x
1
dx
dx
ln cos3x C
cos3x
3 cos3x
3
cos3x
3
Bài 2: Tìm nguyên hàm của hàm số :
a. f ( x) sin 3 x.sin 3x
b. f ( x) sin 3 x.cos3x+cos3 x.sin 3x
Giải:
1 2
3sin x sin 3 x 3
a. Ta có : f ( x) sin 3 x.sin 3 x sin 3 x
sin 3 x.s inx- sin 3 x
4
4
4
3
1
3
1
3
1
cos2x-cos4x 1 cos6x cos2x+ cos6x- cos4x- .
8
8
8
8
8
8
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm – Tích phân
1
3
1
3
1
3
1
3
Do đó : I f ( x)dx cos2x+ cos6x- cos4x- dx sin 2 x sin 6 x sin 4 x x C
8
8
8
16
48
32
8
8
3sinx-sin3x
cos3x+3cosx
b. Ta biến đổi : f ( x) sin 3 x.cos3x+cos3 x.sin 3 x cos3x
sin 3 x
4
4
3
3
cos3xsinx+sin3xcosx sin 4 x
4
4
Do đó : I f ( x)dx
3
3
sin 4 xdx cos4x+C
4
16
Bài 3 : Tìm nguyên hàm của hàm số :
a. f ( x) tan 2 x
1
sin x.cos 2 x
b) f ( x)
2
Giải:
a. Sử dụng kĩ thuật thêm bớt ta có: f ( x) tan 2 x tan 2 x 1 1
Khi đó
1
1
1
cos 2 x
dx
f ( x)dx cos x 1 dx cos x dx tan x x C
2
b) f ( x)
2
1
sin x.cos 2 x
2
Sử dụng kĩ thuật thêm bớt 1 sin 2 x cos 2 x ta có:
f ( x)
Khi đó
1
sin 2 x cos 2 x
1
1
2
2
2
2
2
2
sin x.cos x
sin x.cos x
cos x sin x
1
1
f ( x)dx cos x sin
2
Bài 4: Tìm nguyên hàm f ( x)
2
dx
dx
2 tan x cot x C
dx
2
x
cos x sin x
1
x2 x2
Giải:
Sử dụng kĩ thuật nhân liên hợp
1
x2 x2
f ( x)
Khi đó
1
f ( x)dx
4
x2 x2
x2 x2
x2 x2
1
4
x2 x2
3
3
1
1
1 2
1 2
2
x 2 x 2 dx x 2dx x 2dx . ( x 2) . ( x 2) 2 C
4
4
4 3
4 3
Bài 5: Tìm nguyên hàm
a.
x3
x 1 dx
b. x 4 x 7dx
Giải:
x3
( x 3 1) 1
1
2
dx
x 1 x 1 dx x x 1 x 1 dx
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
( x 2 x 1)dx
b)
x
4 x 7dx
Chuyên đề 03. Nguyên hàm – Tích phân
d ( x 1) 1 3 1 2
x x x ln x 1 C
x 1
3
2
1
(4 x 7) 7 4 x 7dx
4
3
1
5
3
1
1 2
2
2
2
2
2
(4
x
7)
7(4
x
7)
d
(4
x
7)
(4
x
7)
7.
(4
x
7)
C
16
16
5
3
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
:
Hocmai.vn
- Trang | 3 -
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm – Tích phân
CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM (PHẦN 03)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Các phương pháp tính nguyên hàm (Phần 03) thuộc khóa
học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần Các phương
pháp tính nguyên hàm (phần 03), Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.
a) Phƣơng pháp đổi biến số
Quy tắc:
- Đặt ẩn phụ
- Lấy vi phân 2 vế
- Chuyển tích phân sang tích phân theo biến mới
- Thay kết quả trả lại biến cũ
Bài tập mẫu: Tính tích phân
sin 2 x
1) I
dx
4 cos 2 x
3) I x9 (1 x5 )3 dx
sin 3 x
2) I
dx
cos 2 x
4) I
ln x
dx
x(3 ln x)
5) I
(e x 1)e x
ex 1
dx
b) Tích phân từng phần
*) Công thức:
*) Các dạng bài tập
+ Dạng I:
P( x).R(sin x,cos x)dx
P( x ) u
Đặt
R(sin x,cos x)dx dv
Bài tập mẫu: Tính tích phân
1) I (5 x 3) cos xdx
+ Dạng II:
2) I
x cos x
dx
sin 3 x
P( x).ln f ( x)dx
ln f (x ) u
Đặt
P( x)dx dv
Bài tập mẫu: Tính tích phân
1) I x.ln(5 x 2 )dx
2) I
ln x
dx
( x 1) 2
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn
- Trang | 1 -
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 03. Nguyên hàm – Tích phân
BÀI 04. CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM (PHẦN 03)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 04. Các phương pháp tính nguyên hàm (Phần 03)
thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn. Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước
Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
Các bài tập được bôi đỏ là các bài tập ở mức độ nâng cao
Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
(Khi nào thì đặt sin, tan…Thì thầy sẽ tình bày rõ trong bài giảng Bài 7. Các PP tính tích phân (Phần 02))
a.
dx
(đặt: x = sint)
1 x
2 3
c. I
x2 dx
x2 1
(đặt x
b.
1
)
sin 2t
dx
x2 2 x 3
d. I
(đặt x 1 2 tan t )
dx
1 x
2 3
(đặt x= tant)
Bài 2: Tính tích phân bất định sau
a. I x 2 3x 2 dx
8
c.
b.
x 1 2x dx
d. I sin 3 x cosx dx
2 2
53
x 3dx
1 x
cosx.sin 3 x
dx
1 sin 2 x
dx
g. I
a 0 đặt t x x2 a
2
x a
e. I
f. I
h. I
cos 2 x
dx
sin 8 x
dx
x 1 x 2
(đặt : t x 1 x 2 )
Bài 3: Tính các tích phân bất định sau:
a. I
x.ln x x 2 1
x2 1
dx
x sin xdx
e. I e sin xdx
g. I x e dx
c.
2
2x
2
2 2x
b. I
ln cosx
dx
cos 2 x
d. I x3 x2 2 x 3 sinxdx
f. I xe3x dx
h. I x2 2 x ln xdx
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn
- Trang | 1 -
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyền đề 03. Nguyên hàm – Tích phân
CÁC PHƢƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM (PHẦN 03)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Các phương pháp tính nguyên hàm (Phần 03) thuộc
khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn. Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài
giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
Các bài tập được bôi đỏ là các bài tập ở mức độ nâng cao
Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
dx
a.
3
1 x2
x2 dx
c. I
a.
x2 1
b.
dx
x2 2 x 3
dx
d. I
.
1 x
2 3
Giải
dx
1 x
2 3
Đặt : x = sint ; t ; dx costdt
2 2
dx
costdt
costdt
dt
Suy ra :
d tan t .
3
2
cos
t
c
os
t
2 3
2 3
1 x 1-sin t
Khi đó :
dx
1 x
2 3
b. Tìm nguyên hàm
d tan t tan t C
sin t
1 sin t
2
x
1 x2
C
dx
x2 2 x 3
Vì : x 2 2 x 3 x 1
2
2 , nên
2
dt
x 1
; tan t
Đặt : x 1 2 tan t ; t ; dx 2.
2
cos t
2
2 2
dx
dx
dt
dt
1 costdt
Suy ra :
.
2
2
2
2
1-sin 2t
2
c
ost
2
x2 2 x 3
2
tan
t
1
.
c
os
t
x 1 2
Khi đó :
costdt costdt
.
.
2 2 sint-1 sint+1
1
dx
x 2x 3
2
1
2
costdt
costdt
2 sint-1 sint+1
2
1
2
ln
sin t 1
C (*)
sin t 1
x 1 sin 2 t 1
x 1
sin 2 t
2
tan 2 t
Từ : tan t
. Ta tìm được sint , thay vào (*) ta
2
2
1 sin t
2
x 2x 3
2
tính được I .
2
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
x2 dx
c. Tìm nguyên hàm I
x 1
2
Chuyền đề 03. Nguyên hàm – Tích phân
.
Vì điều kiện : x 1 , nên ta xét hai trường hợp :
Với x>1
Đặt x
Do đó :
x 2 dx
x2 1
1
2 cos 2tdt
; t 0; dx
.
sin 2t
sin2 2t
4
1
sin 2 2t.
1
1
sin 2 2t
2 sin 2 t cos 2t dt
2dt
2 cos 2tdt
3
2
sin 2t
8sin 3 t cos3 t
sin 2t
1
1
1
2
1
.
= cot t. 2 tan t.
dt
2
4
sin t
cos t tan t cos 2t
1
2
1 1
1
.d (tan t ) cot 2 t tan 2 t 2 ln tan t C
cot t.d (cot t ) tan t.d (tan t )
4
tan t
4 2
2
1
1
x x 2 1 ln x x 2 1 C
2
2
Với x<1 . Đề nghị học sinh tự làm .
* Chú ý : Tích phân dạng này ta có thể giải bằng cách khác nhanh hơn :
Vậy: I I
Ta có :
x2
x2 1
x2 1 1
x2 1
x2 1
Với : J x 1dx x x 1
2
2
1
x2 1
x2
x 1
2
I
x 2 dx
x2 1
x 2 1dx
dx
x2 1
J K 1
dx x x 2 1 I a
Tích phân :
dx
K
ln x x 2 1 I x x 2 1 I ln x x 2 1
2
x 1
1
1
2 I x x 2 1 ln x x 2 1 I x x 2 1 ln x x 2 1 C
2
2
dx
d. Tính nguyên hàm: I
3
1 x2
dt
Đặt : x tan t ; t ; dx
cos 2t
2 2
dx
1
dt
Suy ra :
. 2 costdt .
3
3
1 x2 1 tan 2 t cos t
Khi đó : I
dx
1 x
2 3
costdt sin t C
x
1 x2
C
Chú ý :
1. Sở dĩ trong ví dụ trên có kết quả như vậy vì :
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -
- Xem thêm -
.PDF 
71 
1416 
65 
