Tài liệu CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN .DOC

CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN Giáo viên: Phùng Thế Bằng Đơn vị: Trường THPT Tam Dương II. Môn: Toán Phần I MỞ ĐẦU Trong chương trình toán THPT bài toán về khoảng cách trong không gian giữ một vai trò quan trọng, nó xuất hiện ở hầu hết các đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng; đề thi học sinh giỏi, các đề thi tốt nghiệp trong những năm gần đây. Mặc dù vậy đây là phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có tư duy sâu sắc, có trí tưởng tượng hình không gian phong phú nên đối với học sinh đây là mảng kiến thức khó và thường để mất điểm trong các kì thi nói trên. Với mong muốn cung cấp cho các em học sinh phương pháp giải một số bài toán về tính khoảng cách trong hình học không gian nên tôi đã lựa chọn chuyên đề: “Một số bài toán về khoảng cách trong không gian”. Hi vọng đề tài sẽ cung cấp cho học sinh những kiến thức bổ ích và cũng là tài liệu tham khảo tốt cho bạn bè, đồng nghiệp. 1 Phần II NỘI DUNG A. CƠ SỞ LÍ THUYẾT 1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Cho điểm M và đường thẳng . Gọi H là hình chiếu của M trên . Khi đó khoảng cách giữa hai điểm M và H được gọi là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng . Kí hiệu d(M , D) M H * Nhận xét: Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  ta có thể + Xác định hình chiếu H của M trên  và tính MH + Áp dụng công thức 2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng Cho điểm M và mặt phẳng (). Gọi H là hình chiếu của M trên (). Khi đó khoảng cách giữa hai điểm M và H được gọi là khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (). Kí hiệu d(M ,(a)) M H () * Nhận xét: Để tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng () ta có thể sử dụng một trong các cách sau: Cách 1. Tính trực tiếp. Xác định hình chiếu H của M trên () và tính MH () * Phương pháp chung. M - Dựng mặt phẳng (P) chứa M và vuông góc với () - Tìm giao tuyến  của (P) và () H () - Kẻ MH   (H �D ). Khi đó d(M ,(a)) = MH . 2 * Đặc biệt: + Trong hình chóp đều, thì chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm đáy. + Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường vuông góc hạ từ đỉnh sẽ thuộc giao tuyến của mặt bên đó với đáy. + Hình chóp có 2 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao tuyến của hai mặt bên này. + Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc tạo với đáy những góc bằng nhau) thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy. + Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy. Cách 2. Sử dụng công thức thể tích 1 3V Thể tích của khối chóp V = S.h � h = . Theo cách này, để tính 3 S khoảng cách từ đỉnh của hình chóp đến mặt đáy, ta đi tính V và S Cách 3. Sử dụng phép trượt đỉnh Ý tưởng của phương pháp này là: bằng cách trượt đỉnh M trên một đường thẳng đến một vị trí thuận lợi M ' , ta quy việc tính d(M ,(a)) về việc tính d(M ',(a)) . Ta thường sử dụng những kết quả sau: Kết quả 1. Nếu đường thẳng  song song với mặt phẳng () và M, N   thì d(M ;(a)) = d(N ;(a)) M N M' N' () Kết quả 2. Nếu đường thẳng  cắt mặt phẳng () tại điểm I và M, N   (M, N không trùng với I) thì d(M ;(a)) MI = d(N ;(a)) NI M N I () 3 1 * Đặc biệt, nếu M là trung điểm của NI thì d(M ;(a )) = d(N ;(a)) , nếu I 2 là trung điểm của MN thì d(M ;(a)) = d(N ;(a)) Cách 4. Sử dụng tính chất của tứ diện vuông Cơ sở của phương pháp này là tính chất sau: Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O (OA ^ OB,OB ^ OC ,OC ^ OA ) và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Khi đó đường cao OH được tính bằng công thức 1 1 1 1 = + + 2 2 2 OH OA OB OC 2 Cách 5. Sử dụng phương pháp tọa độ Cơ sở của phương pháp này là ta cần chọn hệ tọa độ thích hợp sau đó sử dụng các công thức sau: Ax0 + By0 +Cz0 + D d(M ;(a)) = với M (x0;y0;z0) , 2 2 2 A + B +C (a) : Ax + By +Cz + D = 0 uuur r � � MA � , u� r d(M , D) = � r �với  là đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ phương u u r ur uuur � � u, u '� .AA ' � � � d(D, D ') = với D, D ' lần lượt là đường thẳng đi qua A, A ' và có vtcp r ur � � u, u '� � � � r ur u, u ' 3. Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó. Cho đường thẳng  song song với mặt phẳng ( ). Khoảng cách giữa đường thẳng  và mặt phẳng () là khoảng cách từ một điểm bất kì của  đến mặt phẳng (). Kí hiệu d(D,(a)) * Nhận xét: Việc tính khoảng cách từ đường thẳng  đến mặt phẳng () được quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. 4. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. Kí hiệu d((a);(b)) * Nhận xét: Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. 5. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Đường thẳng  cắt cả a và b đồng thời vuông góc với cả a và b được gọi là đường vuông góc chung của a và b. 4 Đường vuông góc chung  cắt a tại H và cắt b tại K thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b. Kí hiệu d(a,b) . * Nhận xét: Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau a và b ta làm như sau: + Tìm H và K từ đó suy ra d(a,b) = HK + Tìm một mặt phẳng (P) chứa a và song song với b. Khi đó d(a,b) = d(b,(P )) + Tìm cặp mặt phẳng song song (P), (Q) lần lượt chứa a và b. Khi đó d(a,b) = d((P ),(Q)) + Sử dụng phương pháp tọa độ * Đặc biệt - Nếu a ^ b thì ta tìm mặt phẳng (P) chứa a và vuông góc với b, tiếp theo ta tìm giao điểm I của (P) với b. Trong mp(P), hạ đường cao IH. Khi đó d(a,b) = IH - Nếu tứ diện ABCD có AC = BD, AD = BC thì đoạn thẳng nối hai trung điểm của AB và CD là đoạn vuông góc chung của AB và CD. 5 B. CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ I. Phương pháp tính trực tiếp Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AD = 2a và có cạnh SA vuông góc mp ( ABCD ) , với SA = a 6 . Tính khoảng cách từ A đến mp ( SCD ) . Lời giải: Vì ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính AD = 2a nên ta có AD//BC, AB = BC = CD = a AC ^ CD, AB ^BD , AC = BD = a 3 CD ^ AC � �� Ta có � CD ^mp(SAC) CD ^ SA � � � Kẻ AH ^ SC tại H ta có AH ^ CD Nên AH ^ mp(SCD). Vậy AH = d ( A;(SCD)) S H A Xét tam giác SAC vuông tại A có AH là đường cao D F E 1 1 1 1 1 1 = 2+ = + = 2 Do đó 2 2 2 2 AH SA AC (a 6) (a 3) 2a B C � AH 2 = 2a2 � AH = a 2 Ví dụ 2: (Đề thi ĐH khối D - 2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A 'B 'C 'D ' có đáy là hình vuông, tam giác A 'AC vuông cân, A 'C = a. Tính thể tích khối tứ diện ABB 'C ' và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( BCD ') theo a. Lời giải: D' 3 * Tích thể tích: V = a 2 18 * Tính khoảng cách: Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của D A 'AB . Ta có AH ^ A 'B � AH ^ ( A 'BC ) , nghĩa là ( A' ) AH ^ ( BCD ') . Do đó AH = d A,( BCD ') . 1 1 1 6 = + = 2 . Do đó 2 2 2 AH AB AA ' a a 6 d A,( BCD ') = AH = 6 Ta có ( C' B' D A H C B ) Ví dụ 3. (Đề thi ĐH khối A - 2010). 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a 3 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a. Lời giải: � � Ta có: D MAD = D NCD � ADM = DCN � MD ^ NC Do SH ^ ( ABCD ) � MD ^ SH MD ^ ( SHC ) S Kẻ HK ^ SC ( K �SC ) Suy ra HK là đoạn vuông góc chung của DM và SC nên d ( DM , SC ) = HK K Ta có: CD 2 2a HC = = CN 5 HK = SH � HC 2 SH + HC Vậy d ( DM , SC ) = N A 2 = 2 3a 19 H M � D C B 2 3a 19 II. Phương pháp sử dụng công thức tính thể tích. Ví dụ 4. (Đề thi ĐH khối A – 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tam giác � = 30o , SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông vuông tại A, ABC góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB). S Lời giải: Gọi H là trung điểm của BC, suy ra SH ^ BC . Mà (SBC) vuông góc với (ABC) theo giao tuyến BC, nên SH ^ ( ABC ) . Ta có BC = a, suy ra SH = a 3 ; 2 a AC = BC sin30o = ; 2 I B A H C 7 1 a3 a 3 . Do đó VS.ABC = SH .AB.AC = . AC = BC cos30 = 6 16 2 Tam giác ABC vuông tại A và H là trung điểm của BC nên HA = HB. Mà SH ^ ( ABC ) , nên SA = SB = a. Gọi I là trung điểm của AB, suy ra SI ^ AB . o 2 3V a 39 Do đó SI = SB 2 - AB = a 13 . Từ đó d C ,( SAB ) = S.ABC = . S 13 4 4 D SAB Nhận xét: Việc tính khoảng cách từ đỉnh C đến (SAB) được tính thông qua thể tích VS.ABC được tính ở phần trước và diện tích của tma giác SAB. ( ) Ví dụ 5. (Đề thi KSCLĐH khối A lần 2 – Vĩnh Phúc năm 2014). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, AD = BC = a 13 , 4 3a , mặt phẳng (SCD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tam 2 giác ASI cân tại S, với I là trung điểm của cạnh AB, SB tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc 30o . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa SI và CD. AB = 2a, CD = Lời giải: Gọi H là hình chiếu của S trên CD, khi đó SH là đường cao của hình chóp S.ABCD. Gọi M là trung điểm của AI khi đó SM ^ AB mà SH ^ AB , từ đó suy ra MH ^ AB . Ta có: AB - DC a AE = = 2 4 a 3 � MH = DE = AD 2 - AE 2 = 2 3a Mặt khác: MB = , từ đó 2 HB = MB 2 + MH 2 = a 3 . � = 30o , do vậy Theo giả thiết ta có SBH SH = BH tan30o = a . Diện tích hình thang ABCD là ( AB + CD) MH 7a2 3 . SABCD = = 2 8 S I A 30 M D A H E M D H B C I B C 1 7a3 3 Do đó thể tích khối chóp S.ABCD là V = SABCD .SH = . 3 24 8 ( ) ( ) Do CD//AB � d ( CD, SI ) = d CD,( SAB ) = d C ,( SAB ) = 3VSABC SD ABC . 1 1 1 a3 3 Trong đó VSABC = SH .SD ABC = SH . AB .MH = , 3 3 2 6 1 1 a2 7 và SD ABC = AB .SM = AB . SH 2 + MH 2 = 2 2 2 a 21 Do vậy � d ( CD, SI ) = . 7 Nhận xét: Ta có thể tính d ( CD,SI ) = d H ,( SAB ) = HK , trong đó K là hình ( ) chiếu của H trên SM. Thật vậy do AB ^ ( SMH ) � AB ^ HK , suy ra HK ^ ( SAB ) . Mà tam giác SHM vuông tại H, do vậy 1 HK 2 = 1 SH 2 + 1 MH 2 � HK = a 7 a 21 . � d ( CD, SI ) = 21 7 Ví dụ 6. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = a, SA = a 2 . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, CD. Tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng (AMN). Phân tích. Theo giả thiết, việc tính thể tích các khối chóp S.ABCD hay S.ABC hay AMNP là dễ dàng. Vậy ta có thể nghĩ đến việc quy việc tính khoảng cách từ P đến mặt phẳng (AMN) về việc tính thể tích S của các khối chóp nói trên, khoảng cách từ P đến (AMN) có thể thay bằng khoảng cách từ C đến (SAB). Lời giải: Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, khi đó M N SO  (ABCD). M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB nên 1 1 a2 7 . SAMN = SANS = SABS = 2 4 16 Do PC // (AMN) � d ( (P ,(AMN ))) = d ( (C ,(AMN ))) . D P C A O B Vậy: 9 1 1 1 VP .AMN = SAMN .d ( (P ,(AMN ))) = . SABS .d ( (C ,(AMN ))) 3 3 4 1 1 1 1 = VC .ABS = VS.ABC = . SABC .SO . 4 4 4 3 1 a 6. SABC = a2, SO = SA 2 - AO 2 = 2 2 3 1 1 a 6 � d (P ,(AMN )) = 3VPAMN = a 6. 2 a 6 Vậy VAMNP = . a . ( ) S = 7 12 2 2 48 AMN Nhận xét: Ta có thể tính khoảng cách từ P đến (SAB) như sau: d P ,( SAB ) = d ,( SAB ) = 2d O,( SAB ) = 2d. ( ) ( ) ( ) Do OA, OB, OS đôi một vuông góc nên 1 1 1 1 = + + 2 2 2 d OA OB OS 2 Ví dụ 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy hình chóp. Cho AB = a, SA = a 2 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SD. Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (AHK). Phân tích. Khối chóp AOHK và ASBD có chung đỉnh, đáy cùng nằm trên một mặt phẳng nên ta có thể tính được thể tích khối chóp OAHK, hơn nữa tam giác AHK cân nên ta tính được diện tích của nó. Lời giải: S 1 Cách 1: VOAHK = SAHK .d O,( AHK ) 3 Trong đó: ( ) G J K I D H A O C B 1 1 1 3 a 6 ; = + = 2 � AH = 2 2 2 3 AH AB AS 2a a 6 D SAD = D SAB � AK = AH = 3 Ta có HK và BD đồng phẳng và cùng vuông góc với SC nên HK // BD. AI cắt SO tại G là trọng tâm của tam giác SAC, G thuộc HK nên 10 HK SG 2 2 2 2a . Tam giác AHK cân tai A, G là trung = = � HK = BD = BD SO 3 3 3 2 2 1 1 2a điểm của HK nên AG  HK và AG = AI = . SC = .2a = 3 3 2 3 3 1 1 2a 2 2a 2 2a2 SAHK = AG .HK = . . = . 2 2 3 3 9 1 1 1 VOAHK = VAOHK = d A;( OHK ) .SDOHK = d A;( SBD ) .SDOHK = hS . 3 3 3 DOHK Tứ diện ASBD vuông tại A nên: ( ) ( ) 1 1 1 1 5 a 10 = + + = � h = 5 h2 AS 2 AB 2 AD 2 2a2 Tam giác OHK cân tại O nên có diện tích S bằng 1 1 a 10 2 2a 5a2 1 2a3 S = OG .HK = . . = � VOAHK = Sh = 2 2 6 3 9 3 27 ( ) � d O;( AHK ) = 3VOAHK SAHK 2a3 3� 27 = a = 2 2 2a2 9 2 Cách 2: Ta chứng minh VOAHK = VSABD 9 2 1 Ta có: HK = BD;OG = SO 3 3 1 1 2 2 � SOHK = HK � OG = � BD � SO = SSBD 2 2 9 9 2 2 1 1 a3 2 � VAOHK = VSABD = � SA � AB � AD = 9 9 3 2 27 Cách 3: Giải bằng phương pháp tọa độ như sau: Chọn hệ tọa độ O’xyz sao cho O'  A, B(a ; 0 ; 0), D(0 ; a ; 0), S(0 ; 0 ; a 2 ). � 2a a 2� � � � � 2a a 2� a a � � � � � � � � � � 0; ; ;0; ; ;0 � Tính SH, SK suy ra tọa độ của H � , K , O � � � � � � � 3 � 2 2 � � � � � � 3 3 � � � �3 uuur uuur uuur 1� � AH , AK � .AO Áp dụng công thức V = � � 6� Cách 4: SC  (AHK) nên chân đường vuông góc hạ từ O xuông (AHK) có thể xác định được theo phương SC. * AH  SB, AH  BC (do BC  (SAB))  AH  SC 11 Tương tự AK  SC. Vậy SC  (AHK) * Giả sử (AHK) cắt SC tại I, gọi J là trung điểm của AI, khi đó OJ // SC  OJ  (AHK). SA = AC = a 2  SAC cân tại A  I là trung điểm của SC. 1 1 1 a Vậy OJ = IC = SC = .2a = . 2 4 4 2 III. Phương pháp trượt đỉnh. Ví dụ 8. (Đề thi ĐH khối B - 2013). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD). Lời giải: Gọi H là trung điểm của AB, suy ra SH ^ AB và a 3 Mà (SAB) vuông góc với (ABCD) . 2 theo giao tuyến là AB, nên SH ^ ( ABCD ) . S SH = I A D 3 H Do đó VS.ABCD = 1 SH .SABCD = a 3 . K 3 6 B C Do AB // CD và H �AB nên d A,( SCD ) = d H ,( SCD ) . Gọi K là trung điểm của CD và I là hình chiếu ( ) ( ) vuông góc của H trên SK. Ta có SH ^ CD � CD ^ ( SHK ) � CD ^ HI � HI ^ ( SCD ) . ( ) Do đó d A,( SCD ) = HI = SH .HK SH 2 + HK 2 = HK ^ CD mà a 21 . 7 1 Nhận xét: Có thể tính d A,( SCD ) thông qua thể tích VSACD = VS.ABCD và diện 2 1 tích tam giác SD SCD = SK .CD . 2 Ví dụ 9. (Đề thi ĐH khối A – 2012) Cho hình chóp S.ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là H nằm trên AB sao cho AH = 2HB. Góc giữa SC và (ABC) bằng 60. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a. Lời giải: ( ) 12 � là góc giữa SC và (ABC), suy ra Ta có SCH � = 60o. Gọi D là trung điểm của cạnh AB. Ta SCH có: a a 3 a 7 HD = , CD = , HC = HD 2 +CD 2 = 6 2 3 a 21 SH = HC .tan60o = . 3 1 a3 7 VS.ABC = .SH .SDABC = . 3 12 Kẻ Ax // BC. Gọi N và K lần lượt là hình chiếu của H trên Ax và SN. Ta có BC // 3 3 (SAN) và BA = HA � d ( SA, BC ) = d B,( SAN ) = d H ,( SAN ) . 2 2 Mặt khác Ax ^ ( SHN ) � Ax ^ HK . ( ( ) ( ) ) Do đó HK ^ ( SAN ) � d H ,( SAN ) = HK . Ta có: AH = 2a a 3 SH .HN a 42 , HN = AH sin60o = , HK = = . 3 3 12 SH 2 + HN 2 Vậy d SA, BC = a 42 . ( ) 8 2 Nhận xét: Do BA = HA và có thể xác định được hình chiếu của H trên 3 mp(SAN) (Ta thường chọn chân đường cao) nên ta tính được d B,( SAN ) qua ( ( ) ) d H ,( SAN ) . Ví dụ 10. (Đề thi ĐH khối B - 2011). Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật AB = a, AD = a 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD, góc giữa hai mặt phẳng (ADD1A1) và (ABCD) bằng 600. Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a. 13 Phân tích. Do B1C // (A1BD) nên ta trượt đỉnh B1 về vị trí thuận lợi C và quy việc tính d B1;( A1BD ) thành tính d C ;( A1BD ) ( ) ( ) Lời giải: * Gọi O là giao điểm của AC và BD � AO ^ ( ABCD ) 1 B1 Gọi E là trung điểm AD � OE ^ AD & A1E ^ AD C1 A1 D1 �EO = 600 �A 1 �EO = a 3 AO = OE .tan A 1 1 2 2 SABCD = a 3 B O 3a3 = 2 Vlt = AO .SABCD 1 ( C K H A E D ) * Tính d B1;( A1BD ) : Cách 1: Do B1C // (A1BD) � d B1;( A1BD ) = d C ;( A1BD ) ( ) ( ) CH ^ BD � CH ^ ( A1BD ) Hạ ( ) � d C ;( A1BD ) = CH = CB .CD CB 2 +CD 2 = a 3 2 Cách 2: ( ) ( ) ( ) d B1;( A1BD ) = d C ;( A1BD ) = d A;( A1BD ) = 3VA ABD 1 SA BD 1 3 1 a Trong đó: VA ABD = Vlt = 1 6 4 1 1 a 3 a2 3 SD A BD = AO .BD = � � 2a = 1 2 1 2 2 2 3 a 3� 4 =a 3 � d B1;( A1BD ) = 2 a2 3 2 Ví dụ 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O có cạnh bằng a, SA = a 3 và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). a) Tính khoảng cách từ O đến (SBC). ( ) 14 b) Tính khoảng cách từ trọng tâm tam giác SAB đến (SAC). Phân tích: Do OA �( SBC ) = C , nên thay vì việc tính d O,( SBC ) ta đi tính ( ( ) ) ( ) d A,( SBC ) , tương tự như vậy ta có thể quy việc tính d G,( SAC ) thông qua ( ) ( việc tính d E ,( SAC ) hay d B,( SAC ) ) Lời giải: a) Ta có: OA �( SBC ) = C nên: ( ) = OC = 1 AC 2 d ( A,( SBC ) ) 1 � d ( O,( SBC ) ) = d ( A,( SBC ) ) 2 d O,( SBC ) S Gọi H là hình chiếu của A trên SB ta có: � AH ^ SB � � AH ^ ( SBC ) � � AH ^ BC � Trong tam giác vuông SAB có: G H A D F E B O C 1 1 1 4 a 3 = + = � AH = 2 AH 2 SA 2 AB 2 3a2 1 1 a 3 � d O,( SBC ) = d A,( SBC ) = AH = 2 2 4 b) Gọi E là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác SAB. Do EG �( SAB ) = S nên ( ) ( ) ( ) = GS = 2 � d G, SAC = 2d E , SAC ( ( )) 3 ( ( )) ES 3 d ( E ,( SAC ) ) d G,( SAC ) � BO ^ AC � � BO ^ ( SAC ) ;BE �( SAC ) = A Ta có: � � BO ^ SA � 1 1 a 2 � d E ,( SAC ) = d B,( SAC ) = BO = 2 2 4 2 a 2 a 2 � d G ,( SAC ) = � = 3 4 6 ( ) ( ) ( ) IV. Phương pháp sử dụng tính chất của tứ diện vuông 1. Định nghĩa. Tứ diện vuông là tứ diện có một đỉnh mà ba góc phẳng ở đỉnh đó đều là góc vuông. 15 2. Tính chất. Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O (OA ^ OB,OB ^ OC ,OC ^ OA ) và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). Khi đó đường cao OH được tính bằng công thức 1 1 1 1 = + + OH 2 OA 2 OB 2 OC 2 A Chứng minh: Giả sử AH �BC = D , OH ^ (ABC ) � OH ^ BC (1) H OA ^ OB,OA ^ OC � OA ^ BC (2) Từ (1) và (2) suy ra BC ^ OD . Trong các tam giác vuông OAD và OBC ta có O C 1 1 1 1 1 1 = + , = + D OH 2 OA 2 OD 2 OD 2 OB 2 OC 2 B 1 1 1 1 Vì vậy = + + OH 2 OA 2 OB 2 OC 2 Mục tiêu của phương pháp này là sử dụng các phép trượt để quy việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng về việc tính khoảng cách từ đỉnh của tam diện vuông đến mặt huyền của nó và vì vậy áp dụng được tính chất trên. Ví dụ 12. Cho lăng trụ đều ABC .A 'B 'C ' có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA ' và BB ' . Tính khoảng cách giữa B 'M và CN Phân tích: Để tính khoảng cách giữa B 'M và CN ta tìm một mặt phẳng chứa CN và song song với B 'M , tiếp theo ta dùng các phép trượt để quy việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng về việc tính khoảng cách trong tứ diện vuông. A' C' B' M D N Lời giải: Gọi O, D lần lượt là trung điểm của BC và CN thì C OACD là tứ diện vuông tại O. AMB 'N là hình O bình hành � NA / / B 'M . Mặt phẳng (ACN) chứa B CN và song song với B 'M nên d(B 'M ,CN ) = d(B 'M ,(ACN )) = d(B ',(ACN )) = d(B,(ACN )) = 2d(O,(ACD)) = 2h. Áp dụng tính chất của tứ diện vuông ta được A 1 1 1 1 64 a 3 . Vậy d(B 'M ,CN ) = a 3 = + + = 2 �h= 2 2 2 2 8 4 h OA OC OD 3a Ví dụ 13. Cho hình lập phương ABCD.A 'B 'C 'D ' có cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của DD '. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng CM và A 'D. Lời giải: 16 Gọi N là trung điểm của BB ' thì A 'NCM là hình bình hành nên A 'N / / CM . Mặt phẳng ( A 'ND ) chứa A 'D và song song với CM nên d(CM , A 'D) = d(CM ,(A 'ND)) = d(M ,(A 'ND)) = d(M ,(A 'DE )) với E = AB �A 'N . Gọi O = AD '�A 'D, G = AD '�AM D' A' C' B' M O G N D C thì G là trọng tâm của tam giác A B ADD ' . Do đó d(M ,(A 'DE )) GM 1 = = . d(A,(A 'DE )) GA 2 Tứ diện AA 'DE vuông tại A nên 1 1 1 1 9 2a = + + = 2 � d(A,(A 'DE )) = . 2 2 2 2 3 d (A,(A 'DE )) AA ' AD AE 4a E 1 a Vậy d(CM , A 'D) = d(M ,(A 'DE )) = d(A,(A 'DE )) = 2 3 V. Sử dụng phương pháp tọa độ. * Phương pháp: Bước 1: Chon hệ toạ độ Oxyz gắn với hình đang xét. Bước 2: Chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ độ - véc tơ Bước 3: Giải bài toán bằng phương pháp toạ độ, rồi chuyển sang ngôn ngữ hình học. Ví dụ 14. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh B’B, CD và A’D’. Tính khoảng cách giữa cặp đường thẳng A’B, B’D và cặp đường thẳng PI, AC’ (I là tâm của đáy ABCD). Lời giải: Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ là A, tia Ox chứa AB, tia Oy chứa AD và tia Oz chứa AA’. Khi đó: z A ( 0;0;0) , B ( 1;0;0) ,C ( 1;1;0) , D ( 0;1;0) P A' D' A '( 0;0;1) , B '( 1;0;1) ,C '( 1;1;1) , D '( 0;1;1) Suy ra uuuu r uuuur A 'B = ( 1;0;- 1) , B 'D = ( - 1;1;- 1) uuuu r uuuur � � �� A 'B, B 'D � = ( 1;2;1) . � uuuuu � r Lại có A 'B ' = ( 1;0;0) nên C' B' M D A I B y N C x 17 uuuu r uuuur uuuuu r � � A 'B, B 'D � .A 'B ' � 1 � � d ( A 'B , B ' D ) = = . uuuu r uuuur � � 6 A ' B , B 'D � � � � uuur � 1 � �1 � � � uur � 1 �uuuur 1 1 � � � � � � � 0; ;1� , I � ; ;0� � IP = � - ;0;1� , AC '( 1;1;1) , AP � 0; ;1� . � Ta lại có: P � � � � �� � � � � �2 �2 � 2 2 � �2 � � � � � � uur uuuur uuur � � IP , AC '� .AP � 14 � � = . Suy ra d ( PI , AC ') = uur uuuur � � 28 IP , AC '� � � � Ví dụ 15. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1. Một mặt phẳng ( a ) bất kì đi qua đường chéo B’D. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ACD’) và (A’BC’) Phân tích: Với một hình lập phương ta luôn chọn được một hệ toạ độ thích hợp, khi đó tạo độ các đỉnh đã biết nên việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ACD’) và (A’BC’) trở nên dễ dàng. Với phần b, ta quy việc tính diện tích thiết diện về việc tính khoảng cách từ M đến đường thẳng DB’. Lời giải. Chọn hệ toạ độ sao cho gốc toạ độ O �D '( 0;0;0) A z N B C D H y A' B' x D' M C' A '( 0;1;0) , B '( 1;1;0) ,C '( 1;0;0) , A ( 0;1;1) ,C ( 1;0;1) Gọi M là điểm bất kì trong đoạn thẳng C’D’, tức M ( x;0;0) ; 0 �x �1 a) Dễ dàng chứng minh được (ACD’) // (A’BC’) � d ( ACD ') ,( A 'BC ') = d A ',( ACD ') ( ) ( ) Mặt phẳng (ACD’) có phương trình: x + y - z = 0 1 � d ( ACD ') ,( A 'BC ') = d A ',( ACD ') = 3 Ví dụ 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA ^ ( ABCD ) ,SA = a . Gọi M là điểm di động trên cạnh CD. Xác định vị trí của M để khoảng cách từ điểm S đến BM lớn nhất, nhỏ nhất. ( ) ( ) 18 Lời giải. Chọn hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz sao cho O �A ( 0;0;0) , B ( 1;0;0) ,C ( 1;1;0) , D ( 0;1;0) , z S S ( 0;0;1) . M là điểm di động trên CD nên M ( t;1;0) với uuur 0 �t �1. BM = ( t - 1;1;0) uur uuur � � SB, BM � � t2 - 2t + 3 � � d ( S, BM ) = = 2 uuur t - 2t + +2 BM Xét hàm số f ( t) = t2 - 2t + 3 t2 - 2t + 2 trên [0;1], f '( t) = A O D B C x - 2( t - 1) ( ) t2 - 2t + 2 2 . Ta có bảng biến thiên: t f’(t) - � 0 +� 1 + y + 2 f(t) 3 2 3 , đạt được khi t = 0 0;1� 2 � max f ( t) = 2, đạt được khi t = 1 �� f ( t) = Từ bảng biến thiên ta có min �� 0;1� � Do đó d ( S, MB ) lớn nhất khi M �C & d ( S, BM ) = 2 d ( S, MB ) nhỏ nhất khi M �D & d ( S, BM ) = 3 2 C. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1. (Đề thi ĐH khối D – 2013). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với � = 120o , M là trung điểm của cạnh BC và SMA � = 45o. mặt phẳng đáy, BAD Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC). Bài 2. (Đề thi ĐH khối D – 2011). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = SB = 2a 3 và 19 � = 300 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt SBC phẳng (SAC) theo a. Bài 3. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, tâm O, góc � = 600 . Các cạnh bên SA = SC; SB = SD = a 3 . BAD a) Tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SBC). b) Tính khoảng cách giữa các đường thẳng SB và AD. Bài 4. Cho tứ diên OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = 1. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB,OA. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và CN. Bài 5. (Đề thi ĐH khối A - 2011). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 60o. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a. Bài 6. (Đề thi ĐH khối D - 2008). Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA' a 2 . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B'C. Bài 7. (Đề thi ĐH khối D - 2009). Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A điểm đến mặt phẳng (IBC). Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a, góc � = 600 , có SO vuông góc mặt phẳng (ABCD) và SO = a. BAD a) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC). b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC). Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. SA vuông góc với mp(ABCD), SA= a 3 . Gọi G là trọng tâm tam giác SAB. Tính khoảng cách từ G đến mp(SAC). Bài 10. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1 B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a. M là trung điểm của đoạn AA1. Chứng minh BM  B1C và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và B1C. Bài 11. (Đề thi thử ĐH-2012-THPT chuyên Hạ Long) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB đều và nằm trên mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB bằng a. Bài 12. (Đề thi thử ĐH - 2012 -THPT Nguyễn Đức Cảnh -Thái Bình) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B với AB=BC=a, AD=2a, các mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt đáy. Biết góc tạo bởi (SAB) và (ABCD) bằng 60. Tính thể tích khối chóp và khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và CD theo a. 20