Tài liệu Chuyên đề môn toán một số bài toán về phương trình trên tập số nguyên

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN Bài 1. Tìm tất cả các cặp các số nguyên thỏa mãn là một cặp thỏa mãn. Lời giải. Giả sử Ta thấy cũng là một cặp thỏa mãn. và Bây giờ ta chỉ xét Nếu ta có Nếu ta có là số lẻ. Viết lại phương trình đã cho dưới dạng Vì chỉ có đúng một trong hai số chia hết cho nên và phải xảy ra một trong hai trường hợp sau 1/. Nếu Từ , với ta có , do vậy Suy ra 2/. Nếu Từ là số nguyên dương lẻ. , với . Thay vào ta thấy không thỏa mãn. là số nguyên dương lẻ. ta có Suy ra . Do đó và Thử lại thấy đúng. Vậy các cặp số nguyên phải tìm là Thay vào ta được , bởi vậy Bài 2. Tìm tất cả các bộ ba Lời giải. Giả sử Nếu các số tự nhiên thỏa mãn là một bộ ba thỏa mãn. là các số lẻ thì Như vậy Do đó là số lẻ, suy ra phải chia hết cho là số lẻ, vô lý! chia hết cho suy ra là các số chẵn. Viết ( là các số tự nhiên.) Từ phương trình đầu ta có Với cùng phương pháp ta sẽ chứng minh được là các số tự nhiên chẵn. Bằng quy nạp ta tìm được dãy các bộ ba các số tự nhiên thỏa mãn với mỗi số tự nhiên Suy ra với mỗi số nguyên dương , cả ba số Do đó đều chia hết cho Thử lại thấy đúng. Vậy bộ ba phải tìm là Bài 3. Với mỗi số nguyên dương , với gọi là tập các số nguyên có thể biểu diễn dưới dạng là số nguyên lớn hơn a/. Chứng minh rằng b/. Tìm Lời giải. a/. Nếu ngược lại thì có các số nguyên dương Từ ta có lớn hơn suy ra hai số nhau. Bởi vậy, tồn tại các số nguyên dương sao cho sao cho là hai số nguyên tố cùng Ta có Phép so sánh đơn giản chỉ ra rằng không thể xảy ra. Như vậy b/. Trên tập các số nguyên dương ta xét hai hàm số Dễ thấy đây là các hàm số tăng và với mỗi số nguyên dương , ta có Suy ra nếu có các số nguyên dương lớn hơn thỏa mãn thì Khi đó Như vậy giao phải tìm là Bài 4. Cho là một bộ ba các số nguyên dương thỏa mãn tồn tại các số nguyên Chứng minh rằng thỏa mãn Lời giải 1. Từ giả thiết ta có Ta viết khác nhau. Từ Ở đây các là các số nguyên tố Gauss không cần không mất tính tổng quát ta có thể giả sử . Suy ra Từ đẳng thức cuối ta có Bài toán được giải. và Lời giải 2. Nếu tồn tại những bộ ba thỏa mãn điều kiện đề bài nhưng không có dạng mong muốn, ta chọn là một bộ ba như vậy có tổng ba thành phần nhỏ nhất. Ta thấy Không mất tính tổng quát ta giả sử . Từ và Nếu ta có và ta có thể viết ta có với Trái với cách chọn bộ ba . Như vậy là Dễ chứng minh được Xét bộ ba các số nguyên dương Ta có với và Suy ra tồn tại các số nguyên thỏa mãn Từ đây ta có Trái với cách chọn bộ ba . Bài toán được giải. Bài 5. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương thỏa mãn có nghiệm nguyên dương. Bài 6. Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho phương trình có nghiệm nguyên dương. phương trình Bài 7. Tìm tất cả các bộ ba các số tự nhiên thỏa mãn Bài 8. Tìm tất cả các số nguyên dương có nghiệm nguyên dương. sao cho phương trình