Mô tả:
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN
Bài 1. Tìm tất cả các cặp
các số nguyên thỏa mãn
là một cặp thỏa mãn.
Lời giải. Giả sử
Ta thấy
cũng là một cặp thỏa mãn.
và
Bây giờ ta chỉ xét
Nếu
ta có
Nếu
ta có
là số lẻ. Viết lại phương trình đã cho dưới dạng
Vì chỉ có đúng một trong hai số
chia hết cho
nên
và phải xảy ra một trong
hai trường hợp sau
1/. Nếu
Từ
, với
ta có
, do vậy
Suy ra
2/. Nếu
Từ
là số nguyên dương lẻ.
, với
. Thay vào
ta thấy không thỏa mãn.
là số nguyên dương lẻ.
ta có
Suy ra
. Do đó
và
Thử lại thấy đúng.
Vậy các cặp số nguyên
phải tìm là
Thay vào
ta được
, bởi vậy
Bài 2. Tìm tất cả các bộ ba
Lời giải. Giả sử
Nếu
các số tự nhiên thỏa mãn
là một bộ ba thỏa mãn.
là các số lẻ thì
Như vậy
Do đó
là số lẻ, suy ra
phải chia hết cho
là số lẻ, vô lý!
chia hết cho
suy ra
là các số chẵn. Viết
(
là các số tự nhiên.)
Từ phương trình đầu ta có
Với cùng phương pháp ta sẽ chứng minh được
là các số tự nhiên chẵn.
Bằng quy nạp ta tìm được dãy các bộ ba các số tự nhiên
thỏa mãn
với mỗi số tự nhiên
Suy ra với mỗi số nguyên dương , cả ba số
Do đó
đều chia hết cho
Thử lại thấy đúng.
Vậy bộ ba phải tìm là
Bài 3. Với mỗi số nguyên dương
, với
gọi
là tập các số nguyên có thể biểu diễn dưới dạng
là số nguyên lớn hơn
a/. Chứng minh rằng
b/. Tìm
Lời giải.
a/. Nếu ngược lại thì có các số nguyên dương
Từ
ta có
lớn hơn
suy ra hai số
nhau. Bởi vậy, tồn tại các số nguyên dương
sao cho
sao cho
là hai số nguyên tố cùng
Ta có
Phép so sánh đơn giản chỉ ra rằng
không thể xảy ra.
Như vậy
b/. Trên tập các số nguyên dương ta xét hai hàm số
Dễ thấy đây là các hàm số tăng và với mỗi
số nguyên dương , ta có
Suy ra nếu có các số nguyên dương
lớn hơn
thỏa mãn
thì
Khi đó
Như vậy giao phải tìm là
Bài 4. Cho
là một bộ ba các số nguyên dương thỏa mãn
tồn tại các số nguyên
Chứng minh rằng
thỏa mãn
Lời giải 1. Từ giả thiết ta có
Ta viết
khác nhau. Từ
Ở đây các
là các số nguyên tố Gauss không cần
không mất tính tổng quát ta có thể giả sử
.
Suy ra
Từ đẳng thức cuối ta có
Bài toán được giải.
và
Lời giải 2. Nếu tồn tại những bộ ba thỏa mãn điều kiện đề bài nhưng không có dạng mong muốn,
ta chọn
là một bộ ba như vậy có tổng ba thành phần nhỏ nhất. Ta thấy
Không mất
tính tổng quát ta giả sử
.
Từ
và
Nếu
ta có
và ta có thể viết
ta có
với
Trái với cách chọn bộ ba
.
Như vậy là
Dễ chứng minh được
Xét bộ ba các số nguyên dương
Ta có
với
và
Suy ra tồn tại các số nguyên
thỏa mãn
Từ đây ta có
Trái với cách chọn bộ ba
.
Bài toán được giải.
Bài 5. Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương
thỏa mãn
có nghiệm nguyên dương.
Bài 6. Tìm tất cả các số nguyên dương
sao cho phương trình
có nghiệm nguyên dương.
phương trình
Bài 7. Tìm tất cả các bộ ba
các số tự nhiên thỏa mãn
Bài 8. Tìm tất cả các số nguyên dương
có nghiệm nguyên dương.
sao cho phương trình
- Xem thêm -