Đăng ký Đăng nhập

Tài liệu Chuyên đề Min max số phức

.PDF
27
3595
97

Mô tả:

Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  1  z 2  z  1 . Tính giá trị của M.n A. 13 3 4 B. 39 4 C. 3 3 D. 13 4  Cách 1: Re( z ) là phần thực của số phức z, Im(z) là phần ảo của số phức z, z  1  z.z  1  Đặt t  z  1 , ta có: 0  z  1  z  1  z  1  2  t  0; 2     t 2   1  z  1  z  1  z.z  z  z  2  2 Re( z)  Re( z)  t2  2 2  z 2  z  1  z 2  z  z.z  z z  1  z  t 2  3  Xét hàm số: f  t   t  t 2  3 , t  0; 2  . Xét 2 TH:  Maxf  t   13 3 13 ; Minf  t   3  M .n  4 4  Cách 2:  z  r  cos x  i sin x   a  bi  z.z  z 2  1  Do z  1   r  a 2  b 2  1  P  2  2cos x  2cos x  1 , đặt t  cos x   1;1  f  t   2  2t  2t  1  1  TH1: t   1;   2 maxf  t   f 1  3  f 't   20 1 2  2t minf  t   f    3 2  1 1   TH1: t   ;1 2  f 't   1 7  2  0  t    maxf  t   8 2  2t  Maxf  t    7  13 f     8 4 13 3 13 ; Minf  t   3  M .n  4 4 Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn z  3  4i  5 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  2  z  i . Tính module số phức w  M  mi . 2 A. w  2 314 2 B. w  1258 D. w  2 309 C. w  3 137  Cách 1:  P  4x  2 y  3  y  P  4x  3 2  z  3  4i  5   x  3   y  4  2  P  4x  3   5   x  3    4  5  f  x 2   2 2 2  f '  x   8  x  3  8  P  4 x  11  0  x  0,2P  1,6  y  0,1P  1,7  P  33  P  13  Thay vào f  x  ta được:  0, 2 P  1,6  3   0,1P  1,7  4   5  0   2 2  Cách 2:  z  3  4i  5   x  3   y  4   5 :  C  2 2  () : 4 x  2 y  3  P  0  Tìm P sao cho đường thẳng  v| đường tròn  C  có điểm chung  d  I ;    R  23  P  10  13  P  33  Vậy MaxP  33 ; MinP  13  w  33  13i  w  1258 Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  z  1  2 z  1 . A. Pmax  2 5 B. Pmax  2 10  Giải: Theo BĐT Bunhiacopxki:  P  z 1  2 z 1  1 2  22  z  1 C. Pmax  3 5 2  z 1 2   10  z  1  2 2 D. Pmax  3 2 5  x, y  R  thỏa mãn module số phức w  m   x  y  i . Bài 4: Cho số phức z  x  yi A. w  2 3 z  2  4i  z  2i và m  min z . Tính C. w  5 B. w  3 2 D. w  2 6  Cách 1:  z  2  4i  z  2i  x  y  4  z  x y  2 2  x  y 2 2 42 2 2 2  x  y  4 x  2   w  2 2  4i  w  2 6 x  y y  2  min z  2 2 , Dấu “=” xảy ra khi  Chú ý: Với mọi x, y là số thực ta có: x 2  y 2   x  y 2 2 Dấu “=” xảy ra khi x  y  Cách 2:  z  2  4i  z  2i  y  4  x  z  x2  y 2  x2   4  x   2  x  2  8  2 2 2 2 x  y  4 x  2   w  2 2  4i  w  2 6 x  2 y  2  min z  2 2 . Dấu “=” xảy ra khi  Bài 5: Cho số phức z  x  yi  x, y  R  thỏa mãn z  i  1  z  2i . Tìm môđun nhỏ nhất của z. A. min z  2 B. min z  1  Cách 1:  z  i  1  z  2i  x  y  1  x y  2 2  x  y 2 2  1 2 C. min z  0 D. min z  1 2 1 1  2 2  z  x2  y 2  Chú ý: Với mọi x, y là số thực ta có: x 2  y 2   x  y 2 2  Cách 2:  z  i  1  z  2i  y  x  1  z  x  y  x   x  1 2 2  Vậy min z  2 2 2 1 1 1 1   2 x      2 2 2 2  1 2 Bài 6: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P  z 3  3z  z  z  z . Tính M  m A. 7 4 B. 13 4 C. 3 4 D. 15 4 Sáng tác: Phạm Minh Tuấn  Cách 1:  Ta có z  1  z.z  1 2     Đặt t  z  z  0;2  t 2  z  z z  z  z 2  2 z.z  z  2  z 2  z 2 2 2  z 3  3z  z  z z 2  3  z  t 2  1  t 2  1 2  1 3 3  P  t  t 1 t      2 4 4 3  Vậy minP  ; maxP  3 khi t  2 4 15  M n 4 2  Cách 2: Cách này của bạn Trịnh Văn Thoại  P  z  3z  z  z  z  3 2  P  z  z 1 z  z  z 3  3z  z z 2   z  z  z2  3  z  z  z  z  z 3 . Đến đ}y c{c bạn tự tìm max nhé 4  2 1  z  z Bài 7: Cho các số phức a, b, c, z thỏa az 2  bz  c  0  a  0  . Gọi z1 và z 2 lần lượt là hai nghiệm của phương trình bậc hai đã cho. Tính gi{ trị của biểu thức P  z1  z2  z1  z2  2  z1  z1  2 2 c a A. P  2 B. P  2 C. P  4 c a c a 1 c 2 a D. P  .  Giải:  Ta có : z1  z2  z1  z2   z1  z2   z1  z2    z1  z2   z1  z2   2 z1  2 z2 2 2 2 2  Khi đó P  4 z1 z2 c a  Ta lại có: z1 z2   P  4 z1 z2  4 c a Bài 8: Cho 3 số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3  0 và z1  z2  z3  1 . Mệnh đề nào dưới đ}y đúng? A. z1  z2  z2  z3  z3  z1 là số thuần ảo 2 2 2 B. z1  z2  z2  z3  z3  z1 là số nguyên tố 2 2 2 C. z1  z2  z2  z3  z3  z1 là số thực âm 2 2 2 D. z1  z2  z2  z3  z3  z1 là số 1 2 2 2  Chứng minh công thức:  z1  z2  z2  z3  z3  z1  z1  z2  z3  z1  z2  z3 2 2 2 2 2 2 2 2  Ta có: z  z.z và z1  z2  ...  zn  z1  z2  ...  zn . Áp dụng tính chất này ta có vế trái:        z1  z2  z1  z2   z2  z3  z2  z3   z3  z1  z3  z1   z1 z1  z2 z2  z3 z3  z1 z1  z2 z2  z3 z3  z1 z2  z2 z1  z2 z3  z3 z2  z3 z1  z1 z3 2 2 2       z1  z2  z3  z1 z1  z2  z3  z2 z1  z2  z3  z3 z1  z2  z3   z1  z2  z3   z1  z2  z3  z1  z2  z3 2 2 2 2 2 2  z1  z2  z3  z1  z2  z3 2    Áp dụng công thức đã chứng minh suy ra: z1  z2  z2  z3  z3  z1  3 là số 2 2 2 nguyến số Bài 9: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn hai điều kiện z  1 và A.5 B. 6 C. 7 z z  z 1 ? z D. 8  Giải:  Ta có: z  1  z.z 2  Đặt z  cos x  i sin x, x   0;2   z 2  cos 2x  i sin 2x  1  2  cos 2 x  2 z z z2  z  1  1  2 cos 2 x  1   z z z. z  cos 2 x   1  2  Giải 2 phương trình lượng giác trên với x  0;2  nên ta chọn được các giá trị   5 7 11  2 4 5  x ; ; ; ; ; ; ;  6 6 6 6 3 3 3 3   Vậy có 8 số phức thỏa 2 điều kiện đề cho Bài 10: Cho các số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z1  z2  z3  1999 và z1  z2  z3  0 . Tính P  z1 z2  z2 z3  z3 z1 . z1  z2  z3 A. P  1999 P  999,5 B. P  1999 2  Giải P  5997  z1 z2  z2 z3  z3 z1   z1 .z2  z2 .z3  z3 .z1     z1  z2  z3  z1  z2  z3     P2    1999 2  z1  z1   1999 2  Mặc khác: z1  z2  z3  1999  z1 z1  z2 z2  z3 z3  1999 2   z2  z2   1999 2  z3  z3   1999 2 1999 2 1999 2 1999 2 1999 2 1999 2 .  .  .   z1 z2  z2 z3  z3 z1   z1 z2 z2 z3 z3 z1 2  Suy ra P    2 2 2 1999 1999 1999  z1  z2  z3    z1 z2 z3      1999 2     P  1999  Tổng quát: z1  z2  z3  k  z1 z2  z2 z3  z3 z1  k z1  z2  z3 Bài 11: Cho số phức z thỏa mãn 3  3 2i 1  2 2i z  1  2i  3 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  3  3i . Tính M.m A) M.n  25 B) M.n  20 C) M.n  24 D) M.n  30  Dạng tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z1 z  z2  r . Tính Min, Max của z  z3 . Ta có Max  z2 z r r  z3  ; Min   2  z3 z1 z1 z1 z1  Áp dụng Công thức trên với z1  3  3 2i 1  2 2i ; z2  1  2i , z3  3  3i; r  3 ta được Max  6; Min  4 Bài tập áp dụng: 1) Cho số phức z thỏa mãn z  2  2i  1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z . Tính M.m A) M.n  7 B) M.n  5 2) Cho số phức z thỏa mãn C) M.n  2 D) M.n  4 1  2i z  2  1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất 1 i và giá trị nhỏ nhất của z  i . Tính M.m A) M.n  1 5 B) M.n  1 3 3) Cho số phức z thỏa mãn C) M.n  1 10 z  i 4 n1  i 4 n với n i2 D) M.n  1 4 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z  3  i . Tính M.m A) M.n  20 B) M.n  15 C) M.n  24 D) M.n  30 Bài 12: Cho số phức z thỏa mãn z  1  z  1  4 . Gọi m  min z và M  max z , khi đó M.n bằng: B. 2 3 A. 2 C. 2 3 3 3  Giải:  Dạng Tổng quát: z1z  z2  z1z  z2  k với z1  a  bi; z2  c  di; z  x  yi  Ta có: Min z  k 2  4 z2 2 và Max z  2 z1 k 2 z1  Chứng minh công thức:  Ta có: k  z1z  z2  z1z  z2  z1z  z2  z1z  z2  2 z1z  z  Max z  k . Suy ra 2 z1 k 2 z1  Mặc khác:  ax  by  c    ay  bx  d  2  z1z  z2  z1z  z2  k  2   ax  by  c    ay  bx  d  2  Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: k  1.    ax  by  c    ay  bx  d  2 2  1.  ax  by  c    ay  bx  d  2 2 1  1   ax  by  c    ay  bx  d    ax  by  c    ay  bx  d   4  a  b  x  y   4  c  d  2 2 2 2 2 2  Suy ra z  x 2  y 2  2 2 2  2 k 2  4 c 2  d2  4 a2  b2 2   k 2  4 z2 2 2 z1  42  4  3 m  2  ADCT trên ta có: z1  1; z2  1; k  4   M  4  2  2 2 2 k Bài 13: Cho số phức z thỏa mãn iz  2 2  iz   4 . Gọi m  min z và 1 i 1 i M  max z , khi đó M.n bằng: B. 2 2 A. 2  ADCT Câu 12 ta có: z1  i ; z2  C. 2 3 m  2 2 ;k  4   1 i  M  2 Bài 14: Cho các số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1 z2 z3  2 2 D. 1 1 3  i . Tính giá trị nhỏ nhất của 2 2 2 biểu thức P  z1  z2  z3 . A. Pmin  1 C. Pmin  3 1 3 D. Pmin  2 B. Pmin   Giải: 2 2  Áp dụng BĐT AM-GM ta có: P  3 3 z1 . z2 . z3  Mặc Khác: z1 z2 z3  2 1 3  i  z1 z2 z3  1  z1 z2 z3  1 2 2  Suy ra P  3 . Dấu “=” xảy ra khi z1  z2  z3  1 Bài 15: Cho số phức z  x  yi với x, y là các số thực không âm thỏa mãn z3 1 z  1  2i 2 2 và biểu thức P  z 2  z  i  z 2  z   z  1  i   z  1  i  . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ    nhất của P lần lượt là: A. 0 và 1 C. 3 và 0 B. 3 và 1 D. 2 và 0  Giải:  z3  1  z  3  z  1  2i  x  y  1 z  1  2i 2  x y 1  P  16 x y  8 xy , Đặt t  xy  0  t      2  4 2 2  1  P  16t 2  8t , t  0;   MaxP  0; MinP  1  4 Bài 16: Cho các số phức z thỏa mãn z  1 . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  1  z  1  z2  1  z3 . A. Pmin  1 C. Pmin  3 B. Pmin  4 D. Pmin  2  Giải:  Ta có: z  1   z  1    P  1  z  1  z2  1  z3  1  z  z 1  z2  1  z3  1  z  z 1  z2  1  z3  2 Bài 17: Cho số phức z thỏa mãn 6z  i  1 . Tìm giá trị lớn nhất của z . 2  3iz 1 2 3 B. max z  4 A. max z  C. max z  1 3 D. max z  1  Giải: 2 2 6z  i  1  6 z  i  2  3iz  6 z  i  2  3iz 2  3iz  6 z  i   6 z  i    2  3iz   2  3iz    6 z  i   6 z  i    2  3iz   2  3iz   z.z  2 1 1 1  z   z 9 9 3 Bài 18: Cho z  a  bi ,  a , b     thỏa z 2  4  2 z và P  8 b 2  a 2  12 . Mệnh đề nào sau đ}y đúng?   P   z  4 2 A. P  z  2 B. 2 2     C. P  z  2 2 D. P  z  4 2 2  Giải:      z 2  4  2 z  a2  b2  4   2ab   4 a2  b2  0 2 2  Chuẩn hóa b  0  a4  4a2  16  0  a  1  i 3  z  1  i 3  P  4 2 2    Thử đ{p {n: - ĐÁP ÁN A: P   1  i 3  2   4  Nhận   Bài 19: Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1 . Gọi M  max z  1  i , m  min z  1  i .   Tính giá trị của biểu thức M 2  n2 . A. M 2  m 2  28 C. M 2  m 2  26 B. M 2  m 2  24 D. M 2  m 2  20  Giải:  z  2  3i  1   x  2    y  3   1 (1) 2 2  Đặt P  z  1  i   x  1   y  1  P 2 (2) với P  0 2  Lấy (1)-(2) ta được: y  2 P 2  10  6 x . Thay vào (1) : 4 2  P 2  10  6 x    x  2    3   1  52 x 2  40  12 P 2 x  P 4  4 P 2  52  0 (*) 4    2     Để PT (*) có nghiệm thì:    40  12 P 2  2    4.52. P 4  4 P 2  52  0  14  2 13  P  14  2 13  Vậy M  14  2 13 , m  14  2 13  M 2  m2  28 Bài 20: Cho số thức z  * thỏa mãn z 3  1 1  2 và M  max z  . Khẳng định nào sau 3 z z đ}y đúng? A. 1  M  2 B. 1  M  C. 2  M  5 2 7 2 D. M 3  M 2  M  3  Giải:  1   3 3   z    z3  z   1 1 1  1 1  3  z    z3  3   z    3  z   3 z z z z z    3  z3  3     1 1 1 1 1   z    3 z     z    3 z    2 3 z z z z z     3 3  1  1 1 1 3 z  Mặt khác:  z    3  z    z  z z z z   3  Suy ra: 1 1 1 z  3 z   2 , đặt t  z   0 , ta được: z z z  t 3  3t  2  0   t  2  t  1  0  t  2  z  2 1 2 M 2 z Bài 21: Cho số phức z thỏa mãn  z  3  i  1  i    1  i  2017 . Khi đó số thức w  z  1  i có phần ảo bằng: A. ( z)  21008  1 C. ( z)  21008 B. ( z)  21008  3 D. ( z)  21008  2  Giải:   z  3  i 1  i   1  i  2017   z  3  i  1  i 1  i    1  i  1009 1009  1  i  2   2i       3i   3  i  21008 i  3  i  z 2 1  i 1  i     w  21008 i  3  i  1  i  4  21008  2 i  ( z)  21008  2 2018   Bài 22: Cho số phức z thỏa mãn 1  5i z  2 42  3i  15 . Mệnh đề n|o dưới đ}y z đúng: 1  z 2 2 3 B.  z 3 2  Giải: A.  C. 5  z 4 2 D. 3  z  5 1  5i  z  2 z42  3i  15 2 42   1  5 i  z  3i  1  5 i   z 2 42   1  5i  z  3i    1 z 2  6. z  3  5 i z  3i  2 42 z   2 2 2 42  6 z  3 . z  4.42  0  z  2 z Bài 23: Cho ba số phức z , z1 , z2 thỏa mãn 2 z  i  2  iz và z1  z2  1 . Tính giá trị của biểu thức P  z1  z2 . A. P  3 2 C. P  2 D. P  B. P  3  Giải:  Đặt z  x  yi , 2 z  i  2  iz  x 2  y 2  1  Gọi A, B l| hai điểm biểu diễn z1 , z2 .  Ta có z1  z2  OA  OB  AB  1  Suy ra AB  OA  OB hay tam gi{c OAB đều.  P  z1  z2  OA  OB  2OM  2. 3  3 2 2 2 Bài 24: Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3  1 và z1  z2  z3  0 . Tính giá trị của biểu thức P  z12  z22  z32 . A. P  1 C. P  1 B. P  0 D. P  1  i  Giải: Chuẩn hóa z1  1 3 1 3  i , z2   i , z3  1 Suy ra P  0 2 2 2 2 Bài 25: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  8  6i và z1  z2  2 . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức P  z1  z2 . A. Pmax  5  3 5 C. Pmax  4 6 B. Pmax  2 26 D. Pmax  34  3 2  Giải:  Ta có: z1  z2  8  6i  z1  z2  10 2 2  2  z1  z2  z1  z2  2 z1  z2 2   52  z 1 2  z2 2 z  1  z2 2  2  z1  z2  2.52  2 26 Bài 26. Cho z1 , z2 , z3 là các số phức thỏa mãn z1  z2  z3  1 và z1  z2  z3  0 . Khẳng định n|o dưới đ}y l| sai. A. z13  z23  z33  z13  z23  z33 B. z13  z23  z33  z13  z23  z33 C. z13  z23  z33  z13  z23  z33 D. z13  z23  z33  z13  z23  z33  Giải: Chuẩn hóa z1  1 3 1 3  i , z2   i , z3  1 Suy ra đ{p {p D 2 2 2 2 Bài 27: Cho z1 ,z2 ,z3 là các số phức thoả mãn z1  z2  z3  1 . Khẳng định nào sau đ}y l| đúng? A. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 B. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 C. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1 D. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1  Giải: Chuẩn hóa z1  1 3 1 3  i , z2   i , z3  1 Suy ra đ{p {p A 2 2 2 2 Bài 28: Cho z1 ,z2 ,z3 là các số phức thoả mãn z1  z2  z3  1 và z1  z2  z3  1 . Biểu thức  P  z12n1  z22 n1  z32 n1 , n    nhận giá trị n|o sao đ}y? A. 1 B. 2 C. 4 D. 3  Giải: Chuẩn hóa n  1, z1  1, z2  i , z3  i Suy ra đ{p {p A Bài 29: Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3  1 . Tính giá trị nhỏ nhất của 1 1 1   . z1  z2 z1  z3 z2  z1 z2  z3 z3  z1 z3  z2 biểu thức P  A. Pmin  3 4 1 2 5  2 C. Pmin  B. Pmin  1 D. Pmin  Giải:         z1  z2  z2  z3  z3  z1   z1  z2  z1  z2   z2  z3  z2  z3   z3  z1  z3  z1 2 2 2  9   z1  z2  z3  z1  z2  z3  9  z1  z2  z3  2  Theo BĐT Cauchy- Schwarz: P 9 9 9   2 2 2 z1  z2 z1  z3  z2  z1 z2  z3  z2  z1 z2  z3 z1  z2  z2  z3  z3  z1 9  z1  z2  z3  Do đó: P  9 2  1 (do z1  z2  z3  0 ) 9 Bài 30: Cho ba số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  A. Pmax  1 B. Pmax  1 2 C. Pmax  3 4 D. Pmax  2 2z  i : 2  iz 2 z  1  Giải: Chuẩn hóa z  1   z  0  z  1 P  2i  1 do đó loại B, C 2i  z0P i 1 do đó loại D, chọn đ{p {n A  2 2 Bài 31: Cho 3 số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3  0 và z1  z2  z3  2 2 . Mệnh đề 3 n|o dưới đ}y đúng? 2 2 3 8  3 A. z1  z2  z2  z3  z3  z1  2 2 B. z1  z2  z2  z3  z3  z1 2 2 2 2 C. z1  z2  z2  z3  z3  z1  2 2 2 2 2 D. z1  z2  z2  z3  z3  z1  1 2 2 2  Giải: z1  z2  z2  z3  z3  z1  z1  z2  z3  z1  z2  z3  2 2 2 2 2 2 2 8 3 Bài 32: Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn z  i  3 và z  2  2i  5 . Kí hiệu z1 , z2 là hai số phức thuộc S và là những số phức có môđun lần lượt nhỏ nhất và lớn nhất. Tính giá trị của biểu thức P  z2  2 z1 . A. P  2 6 C. P  33 B. P  3 2 D. P  8  Giải:  3  z  i  z 1 z  2  x 2   y  12  9  z1  2i o Dấu “=” xảy ra khi:  2 2  x  y  4  z  2 2  z  2  2i  5  z  5  2 2 2 2  45 2 45 2   x  2    y  2   25 o Dấu “=” xảy ra khi:   z2   i   2 2 2 2 x  y  33  20 2      P 45 2 45 2    i  4i  33   2 2   Bài 33: Gọi z là số phức có phần thực lớn hơn 1 v| thỏa mãn z  1  i  2 z  z  5  3i sao cho biểu thức P  z  2  2i đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm phần thực của số phức z đó. A. ( z )  8 7 2 C. ( z )  4 6 2 B. ( z )  8 2 2 D. ( z )  12  2 2  Giải:  z  1  i  2 z  z  5  3i  y   x  2   x  2   y  2 2  P 2  y   y  2 2 2 2  3 7 7  y    2 4 4   3 4 6 3 y  2 z  i  Dấu “=” xảy ra khi:  2 2 2 y   x  2  Bài 34: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  z 3  z  2 . A. Pmax  11 2 B. Pmax  2 3 C. Pmax  13 2 D. Pmax  3 5  Giải: 3 2 Câu 35: Cho phương trình: z  az  bz  c  0 ,  a , b , c   . Nếu z 1  1  i , z2  2 là hai nghiệm của phương trình thì a  b  c bằng: A. 2 B. 1 C. 0 D. 1 10 9 Bài 36: Cho số phức z thỏa mãn 11z  10iz  10iz  11  0 .Tính z . A. z  1 2 B. z  3 4 C. Pmax  1 4 3 2 Bài 37: Cho phương trình: z  az  bz  cz  d  0 ,  a , b , c , d  D. Pmax  2  có bốn nghiệm phức là z1 , z2 , z3 , z4 . Biết rằng z1z2  13  i , z3  z4  3  4i , khẳng định n|o sau đ}y đúng? A. b  53 B. b  50 C. b  55 D. b  51 Bài 38: Cho số phức z thỏa mãn z1  z2  z3  1 và z1  z2 z3 ; z2  z3 z1 ; z3  z1z2 là các số thực. Tính  z1 z2 z3  2017 . C. 1 A. 1 B. 2 2017 D. 2 2017   C. 5  z 4 2 Bài 39: Cho số phức z thỏa mãn đồng thời z  z  2 và z  3z  2  i 3 z . Khẳng định n|o sao đ}y đúng? 1  z 2 2 3 B.  z 3 2 A. D. 3  z  5 4  z 1  Bài 40: Cho z1 , z2 , z3 , z4 là nghiệm phức của phương trình:    1 . Tính giá trị của  2z  i       biểu thức P  z12  1 z22  1 z32  1 z42  1 : 18 5 17 D. P  9 C. P  A. P  1 B. P  1 Bài 41: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z 3  1  z 2  z  1 . Tính M  m . A. 2 B.7 Bài 42: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn P z1 z1  A. 2 z2 z2 C.6 z1  z2 z1  z2  D. 5 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 . B.0,75 C.0,5 D. 1 Bài 43: Trong mặt phẳng phức với gốc tọa độ O, cho hai điểm A, B (khác O) biểu diễn hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z12  z22  z1 z2 . Khẳng định n|o sau đ}y đúng? A. OAB vuông cân tại A B. OAB đều C. OAB c}n, không đều D. OAB cân tại A 2 và z1  z2  z3  0 . Tính giá 2 Bài 44: Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3  trị lớn nhất của biểu thức P  z1  z2  2 z2  z3  2 z3  z1 . A. Pmax  7 2 3 C. Pmax  3 6 2 B. Pmax  4 5 5 D. Pmax  10 2 3  Giải: 2 2 2 2 2 2 2  z1  z2  z2  z3  z3  z1  z1  z2  z3  z1  z2  z3  3 2  Theo BĐT Bunhiacôpxki ta có: P  z1  z2  2 z2  z3  2 z3  z1  1  2 2  22  z 1 2 2  z2  z2  z3  z3  z1 2   3 26 Bài 45: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị 2 2 nhỏ nhất của biểu thức P  z 2  1  1  z . Tính P  M  n A. 12 C. 15 B. 20 D. 18 2 Bài 46: Cho bốn số phức a , b , c , z thỏa mãn az  bz  c  0 và a  b  c  0 . Gọi M  max z , m  min z . Tính môđun của số phức w  M  mi . A. w  2 C. w  3 B. w  2 D. w  1 Bài 47: Cho số phức z thỏa mãn z  1  2 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  i  z  2  i . Tính môđun của số phức w  M  mi . A. w  2 6 C. w  3 5 B. w  4 2 D. w  4  Giải:  z  1  2   x  1  y 2  2 2  P  x2   y  1   2  x   1  y   P  x 2   y  1   2  x   1  y  2 2 2 2 2 2 vecto  x  2  x   y  1  1  y  2  bunhiacopxki 2 2 2 2 2.2  x  1  y 2  2   4     w  4  2 2i  2 6 Bài 48: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  3 3 4  i , z1  z2  3 và biểu thức 5 5 3 P  4 z1  4 z2  3 z1  3 z2  5 đạt giá trị nhỏ nhất , khi đó giá trị của z1  z2 bằng: A. 1 C. 1 B. 2 D. 3  Giải:  Ta có: z1  z2  1; 3  z1  z2  z1  z2 2 2  2  z1  z2  z1  z2  2 z1  z2  3  P  4 z1  z2 3   3 z 1 2 2 z 2 1    z2  z2  5  z1  z2  2 3 z  1   z2  2  3  z1  z2  2 2   3 z1  z2  5 t  1  Xét hàm số: f  t   t 3  3t  5, t   3; 2  ; f '  t   3t 2  3  0    L   t  1  Do đó minf  t   f  3   5  minP  5  Dấu “=” xảy ra khi z1  z2  3
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan