Tài liệu Chuyên đề khảo sát hàm số tài liệu lý thuyết và bài tập ôn thi năm 2015

cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015. Thư viện tài liệu trực tuyến Tµi liÖu lý thuyÕt + bµi tËp c¬ b¶n Th.S HÀ THỊ THÚY HẰNG (Chủ biên) CAO VĂN TÚ – VŨ KHẮC MẠNH Liên hệ bộ môn: [email protected] Cung cấp bởi cbook.vn cbook.vn 1 cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015. LỜI NÓI ĐẦU ..................................................................................................................................... 4 KIẾN THỨC CƠ BẢN, LÝ THUYẾT CHUNG .............................................................................. 5 VẤN ĐỀ 1: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ ........................... 5 VẤN ĐỀ 2: KHẢO SÁT MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM PHÂN THỨC ....................... 9 VẤN ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ ...................... 14 Dạng 1: Phương pháp giải bài toán: ......................................................................................... 14 Tìm GTNN, GTLN của hàm số y = f(x) trên tập số D. ................................................................ 14 Dạng 2: Phương pháp đổi biến số để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) (x thuộc tập xác định của hàm số hoặc thuộc một tập số cho trước) .................................................................... 14 Dạng 3: Tìm GTLN, NN của biểu thức M đối xứng với 2 biến x, y biết giả thiết cho x, y thỏa mãn một đẳng thức nào đó cũng đối xứng với x và y. ................................................................. 17 Dạng 4: Tìm GTLN, NN của biểu thức M có 2 tính chất sau: .................................................... 19 Dạng 5: Trường hợp biểu thức ban đầu không có dấu hiệu đổi biến, khi đó quy về việc tìm GTNN, GTLN bằng cách đổi biến số đối với một biểu thức trung gian..................................... 20 VẤN ĐỀ 4: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ......................................................................................... 22 Dạng 1: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ ..................................................................................... 22 Dạng 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ............................................................. 24 VẤN ĐỀ 5: SỰ ĐỒNG BIẾN NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ ................................................ 31 DẠNG 1: SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ KHÔNG CHỨA THAM SỐ ............................... 31 A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT ........................................................................................................... 31 B. MỘT SỐ VÍ DỤ ......................................................................................................................... 31 DẠNG 2: SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ CHỨA THAM SỐ .............................................. 33 A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. ........................................................................................................ 33 B. MỘT SỐ VÍ DỤ. ....................................................................................................................... 35 DẠNG 3: ỨNG DỤNG SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ ĐỂ XÉT PHƯƠNG TRÌNH ......... 38 A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. ........................................................................................................ 38 B. MỘT SỐ VÍ DỤ. ....................................................................................................................... 38 VẤN ĐỀ 6: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC............................................................................. 44 Dạng 1: Tiếp tuyến tại một điểm và tiếp tuyến qua một điểm .................................................... 44 A. Tóm tắt lý thuyết ...................................................................................................................... 44 B. Các ví dụ .................................................................................................................................... 45 Dạng 2: Điều kiện tồn tại tiếp tuyến............................................................................................ 46 A. Tóm tắt lý thuyết ...................................................................................................................... 46 B. Các ví dụ .................................................................................................................................... 46 Dạng 3: Hệ số góc của tiếp tuyến ................................................................................................ 49 A. Giới thiệu ................................................................................................................................... 49 Ta biết rằng f '  x0  là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x  tại điểm có hoành độ x0 . Trong bài học này, chúng ta quan tâm nhiều hơn đến hệ số góc của tiếp tuyến. ............................ 49 B. Các ví dụ .................................................................................................................................... 49 Dạng 4: Một số tính chất hình học của tiếp tuyến ....................................................................... 51 A. Tóm tắt lý thuyết ...................................................................................................................... 51 B. Một số ví dụ ............................................................................................................................... 51 Dạng 5: Điều kiện tiếp xúc .......................................................................................................... 55 A. Tóm tắt lý thuyết ...................................................................................................................... 55 B. Một số ví dụ ............................................................................................................................... 55 VẤN ĐỀ 7: CÁC BÀI TOÁN VỀ GIAO ĐIỂM CỦA 2 ĐƯỜNG CONG ............................... 58 Liên hệ bộ môn: [email protected] Cung cấp bởi cbook.vn MỤC LỤC 2 cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015. VẤN ĐỀ 8: CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH................................................................. 62 DẠNG ĐỐI VỚI HÀM PHÂN THỨC HỮU TỶ ....................................................................... 62 VẤN ĐỀ 9: CÁC CẶP ĐIỂM ĐỐI XỨNG ................................................................................. 84 DẠNG 1: CHỨNG MINH ĐỒ THỊ Y=F(X) CÓ TRỤC ĐỐI XỨNG ....................................... 84 DẠNG 2: CHỨNG MINH ĐỒ THỊ (C) CÓ TÂM ĐỐI XỨNG ................................................ 85 DẠNG 3: Tìm tham số m để ( Cm ) : y=f(x;m) nhận điểm I( x0 ; y0 ) là tâm đối xứng . ................ 87 DẠNG 4: TÌM CÁC ĐIỂM ĐỐI XỨNG NHAU TRÊN ĐỒ THỊ ............................................. 88 DẠNG 5: LẬP PHƯƠNG TRÌNH MỘT ĐƯỜNG CONG ĐỐI XỨNG VỚI MỘT ĐƯỜNG CONG QUA MỘT ĐIỂM- HOẶC QUA MỘT ĐƯỜNG THẲNG ........................................... 94 VẤN ĐỀ 11: ĐỒ THỊ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI ................................................... 100 Dạng 1: Từ đồ thị (C) của hàm số y  f  x  , suy ra cách vẽ đồ thị (G) của y  f  x  ...... 100   f  x  ...... 102 Dạng 2: . Từ đồ thị (C) của hàm số y  f  x  , suy ra cách vẽ đồ thị (H) của y  f x .... 101 Dạng 3. Từ đồ thị (C) của hàm số y  f  x  , suy ra cách vẽ đồ thị (K) của y  Dạng 4. Từ đồ thị (C) của hàm số y  u  x u  x , suy ra cách vẽ đồ thị (L) của y  ........ 102 v  x v  x Dạng 5. Từ đồ thị (C) của hàm số y  u  x u  x , suy ra cách vẽ đồ thị (M) của y  . ...... 103 v  x v  x Dạng 6. Từ đồ thị (C) của hàm số y  u  x u  x , suy ra cách vẽ đồ thị (N) của y  ........ 104 v  x v  x Dạng 7. Từ đồ thị (C) của hàm số y  Dạng 8. Từ đồ thị (C) của hàm số y  u x  u  x , suy ra cách vẽ đồ thị (Q) của y  . ...... 106 v  x v x  u x  u  x , suy ra cách vẽ đồ thị (R) của y  ...... 107 v x  v  x Cung cấp bởi cbook.vn VẤN ĐỀ 12: DIỆN TÍCH – THỂ TÍCH (ÁP DỤNG TRONG THI TỐT NGHIỆP)............ 119 B. 200 BÀI TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ CÓ ĐÁP ÁN ................................................................. 120 KẾT LUẬN ...................................................................................................................................... 230 Liên hệ bộ môn: [email protected] 3 cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015. LỜI NÓI ĐẦU Chương trình môn Toán ở trường THPT đã có nhiều thay đổi từ khi Bộ Giáo Dục và Đào Tạo ban hành chương trình cải cách giáo dục. Tài liệu “Chuyên đề luyện thi phần khảo sát hàm số và các bài toán liên quan” dùng cho khối trường THPT này được viết nhằm thích ứng với sự thay đổi ở trường phổ thông, vừa nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy ở khối trường phổ thông. Toán là môn khó mà học sinh khối trường THPT đều phải trải qua, bao gồm những vấn đề cơ bản trong chuyên ngành, đóng vai trò then chốt trong quá trình tư duy các môn học tương đương. Khi viết tài liệu này chúng tôi rất chú ý đến mối quan hệ giữa lý thuyết và bài tập. Đối với người học môn Toán, hiểu sâu sắc lý thuyết phải vận dụng được thành thạo các phương pháp cơ bản, các kết quả của cơ sở lý thuyết trong giải toán, làm bài tập và trong quá trình làm bài tập người học sẽ phải hiểu sâu sắc lý thuyết hơn. Bộ tài liệu là công trình tập thể của nhóm tác giả biên soạn bao gồm: Th.S Hà Thị Thúy Hằng (chủ biên), Cao Văn Tú và Ông Vũ Khắc Mạnh. Viết tài liệu này, chúng tôi đã tham khảo kinh nghiệm của nhiều đồng nghiệp đã giảng dạy môn Toán nhiều năm ở khối trường THPT. Chúng tôi xin chân thành cám ơn các nhà giáo, các nhà khoa học đã đọc bản thảo và đóng góp ý kiến xác đáng. Cung cấp bởi cbook.vn Chúng tôi cũng xin chân thành cám ơn Ban Quản trị của trang cbook.vn đã tận tình phát triển và khẩn trương trong việc phát hành tài liệu này. Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp nhận xét của bạn đọc đối với bộ tài liệu này. Các tác giả Liên hệ bộ môn: [email protected] 4 cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015. LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC CÂU HỎI PHỤ LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN, LÝ THUYẾT CHUNG VẤN ĐỀ 1: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN. 1. Định nghĩa đạo hàm của hàm số tại một điểm. Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm x0  (a; b) nếu tồn tại giới hạn f ( x)  f ( x0 ) thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x0. 0 x  x0 f ( x)  f ( x0 ) Ký hiệu: y'  xlim x0 x  x0 (Hữu hạn): xlim x 2. Các quy tắc tính đạo hàm. 2.1. Đạo hàm của các hàm số thường gặp : (u = u(x))  ( C )/ = 0 ( C là hằng số )  (un)/ = nun – 1u/ /  ( x )/ = 1 u/ 1  với u  0   u  (xn)/ = nxn - 1 với (n  2 ; nN) u2   / 1 1      2 với x  0 x  x   x /  1 2 x   u với (x > 0) /  1 u/ = 2 x 2 u với (x > 0) 2.2. Các qui tắc tính đạo hàm :  u  v   u /  v/ /  u.v   u/ v  v/ u và  ku   ku / / /   u   u'.v 2 v'.u v v 2.3. Đạo hàm của hàm số hợp (g(x) = f[u(x)]  g /  x   f / u  u /  x  . 3. Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số * Định lý: Cho hàm số : y  f (x) có đạo hàm trên K Liên hệ bộ môn: [email protected] Cung cấp bởi cbook.vn , 5 cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015. x  K thì hàm số f (x) đồng biến trên K. b) Nếu f ' ( x)  0 với mọi x  K thì hàm số f (x) nghịch biến trên K. (Chú ý: f ' ( x) dương trên khoảng nào thì hàm số đồng biến trên khoảng đó; f ' ( x) a) Nếu f ' ( x)  0 với mọi âm trên khoảng nào thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó.) * Phương pháp xét tính đơn điệu của hàm số: - Tìm tập xác định. - Tính đạo hàm y'  f ' ( x) tìm các điểm x1 ; x2 ;......; xn mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. - Sắp xếp các điểm x1 ; x2 ;......; xn theo thứ tự tăng dần, lập bảng biến thiên. - Áp dụng định lý đưa ra các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. 4. Phương pháp tìm cực trị của hàm số. * Định lý. Giả sử hàm số : y  f (x) liên tục trên khoảng K  ( x0  h; x0  h) và có đạo hàm trên K hoặc K \ x0  , với h  0 . a) Nếu f ' ( x)  0 trên khoảng ( x0  h; x0 ) và f ' ( x)  0 trên khoảng ( x0 ; x0  h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f (x) . b) Nếu f ' ( x)  0 trên khoảng ( x0  h; x0 ) và f ' ( x)  0 trên khoảng ( x0 ; x0  h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f (x) . (Chú ý: Nếu gọi K  ( x0  h; x0  h) là một lân cận của điểm x0 thì ta phát biểu định lý trên bằng lời như sau: a. Nếu f ' ( x) đổi dấu từ dương sang âm trên lân cận của điểm x0 thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f (x) . b. Nếu f ' ( x) đổi dấu từ âm sang dương trên lân cận của điểm x0 thì x0 là một f (x) .) * Bảng biến thiên minh họa định lý a) x x0-h x0 x0+h f’(x) + fCĐ f(x) b) x x0-h f’(x) f(x) x0 + fCT * Phương pháp tìm cực đai, cực tiểu của hàm số - Tìm tập xác định. Liên hệ bộ môn: [email protected] x0+h Cung cấp bởi cbook.vn điểm cực tiểu của hàm số 6 cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015. - Tính đạo hàm y'  f ' ( x) tìm các điểm x1 ; x2 ;......; xn mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. - Sắp xếp các điểm x1 ; x2 ;......; xn theo thứ tự tăng dần, lập bảng biến thiên. - Áp dụng định lý đưa ra các điểm cực đại, cục tiểu của hàm số. 5. Phương pháp tìm đường tiệm cận. 5.1 Đường tiệm cận ngang. Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn ( là khoảng dạng: (a;),(; b),(;) ) Đường thẳng: y  y0 được gọi là đường tiệm cận ngang của hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim f (x)  y0 ; lim f (x)  y0 x x 5.2 Đường tiệm cận đứng. Cho hàm số y = f(x) xác định trên một khoảng vô hạn ( là khoảng dạng: (a;),(; b),(;) ) Đường thẳng: x  x0 được gọi là đường tiệm cận đứng của hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim f ( x)   ; lim f ( x)   lim f ( x)   ; lim f ( x)   ; xx0 xx0 xx0 xx0 6. Dấu của nhị thức bậc nhất và dấu của tam thức bậc hai. 6.1 Dấu của nhị thức bậc nhất: f(x) = ax + b (a  0) b - Tìm nghiệm của phương trình ax + b = 0  x   a - Bảng xét dấu: x b    a f(x) Trái dấu a 0 Cùng dấu a f ( x)  ax 2  bx  c (a  0) ax 2  bx  c  0 (*) - Giải phương trình: + Nếu phương trình (*) vô nghiệm (  0) thì f(x) luôn cùng dấu a + Nếu phương trình (*) có nghiệm kép (  0) x1  x2   dấu a và f ( b )  0. 2a Liên hệ bộ môn: [email protected] b thì f(x) luôn cùng 2a Cung cấp bởi cbook.vn 6.2 Dấu của tam thức bậc hai: 7 cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015. + Nếu phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt (  0) giả sử hai nghiệm đó là x1 ; x2 và x1  x2 thì ta có bảng xét dấu: x  f(x) Cùng dấu a x1 0  x2 Trái dấu a 0 Cùng dấu a 7. Sơ đồ khảo sát hàm số. * Tìm tập xác định của hàm số. * Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y'  f ' ( x) tìm các điểm x1 ; x2 ;......; xn mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. Xét dấu đạo hàm y'  f ' ( x) +) Tính đạo hàm +) Từ bảng xét dấu suy ra chiều biến thiên của hàm số - Tìm cực trị ( dựa vào bảng dấu của y ' ) Tính giới hạn ( Tính các giới hạn tại vô cực và tại các điểm không xác định của hàm số; tìm đường tiệm cận nếu có) - Lập bảng biến thiên của hàm số. * Đồ thị: - Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố đã xác định vẽ đồ thị hàm số - Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung - Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành - Tính thêm một số điểm đặc biệt - Chú ý đến tính chẵn, lẻ, tính đối xứng của đồ thị. Tính tuần hoàn của hàm số. Cung cấp bởi cbook.vn - Liên hệ bộ môn: [email protected] 8 cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015. VẤN ĐỀ 2: KHẢO SÁT MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC VÀ HÀM PHÂN THỨC 1. Khảo sát hàm đa thức bậc ba: ( Dạng y = ax3 +bx2 + cx +d (a  0) ) 1.1. Sơ đồ khảo sát hàm số: y = ax3 +bx2 + cx +d (a  0) * Tập xác định: D  R * Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: Tính y ' Giải phương trình: y' 0 xét dấu y ' đưa ra chiều biến thiên của hàm số. - Đưa ra các giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số ( dựa vào bảng dấu của y ' ) - Tính các giới hạn: lim y và lim y x x Chú ý lim y  lim (ax3  bx2  cx  d )   * Nếu a > 0  x x lim y  lim (ax3  bx 2  cx  d )   x x lim y  lim (ax 3  bx 2  cx  d )   * Nếu a < 0  x lim y  lim (ax 3  bx 2  cx  d )   x - x x Lập bảng biến thiên: * Đồ thị: - Xác định các yếu tố đã biết trên trục tọa độ Oxy - Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung: cho x = 0 tìm y - Tìm giao điểm của đồ thị vơi trục hoành: Cho y = 0 Giải phương trình ax3  bx2  cx  d  0 Tìm x ( Nếu giải phương trình khó quá ta không cần thực hiện bước này). tính y I  f ( xI ) điểm I ( xI ; y I ) là tâm đối xứng của đồ thị. - Lấy thêm một vài điểm (nếu cần) - Vẽ đồ thị. Liên hệ bộ môn: [email protected] Cung cấp bởi cbook.vn - Tìm tâm đối xứng của đồ thị: tính y’’ giải phương trình y’’ = 0 tìm nghiệm xI và 9 cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015. 1.3. Các dạng đồ thị của hàm số bậc ba: y = ax3 +bx2 + cx +d (a  0). Nếu a>0 Nếu a<0 y y x x O O y Phương trình y’ = 0 có nghiệm kép y x x O O y Phương trình y’ = 0 vô nghiệm y x O x O 2. Khảo sát hàm đa thức bậc bốn trùng phương(dạng: Hàm số y = ax4 +bx2+ c (a0)) 2.1. Sơ đồ khảo sát hàm số: y = ax4 +bx2+ c (a0)) * Tập xác định: D  R * Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: Tính y ' Giải phương trình: y' 0 xét dấu y ' đưa ra chiều biến thiên của hàm số. Liên hệ bộ môn: [email protected] Cung cấp bởi cbook.vn Phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt 10 cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015. - Đưa ra các giá trị cực đại, cực tiểu của hàm số ( dựa vào bảng dấu của y ' ) - Tính các giới hạn: lim y và x lim y x Chú ý lim y  lim (ax 4  bx 2  c)   * Nếu a > 0  x x lim y  lim (ax 4  bx 2  c)   * Nếu a < 0  x x - Lập bảng biến thiên: * Đồ thị: - Xác định các yếu tố đã biết trên trục tọa độ Oxy - Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung: cho x = 0 tìm y - Tìm giao điểm của đồ thị vơi trục hoành: Cho y = 0 Giải phương trình ax4  bx2  c  0 Tìm x ( Nếu giải phương trình khó quá ta không cần thực hiện bước này). 2.2. Chú ý : Khi xét dấu của đạo hàm y’ * Nếu phương trình y’ = 0 có một nghiệm là x 0 ta có bảng xét dấu của y’ như sau: - x + x0 y’ Trái dấu a 0 Cùng dấu a *Nếu phương trình y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt là x 1 ; x 2 ; x 3 (giả sử: x 1 < x 2 < x 3 ) ta có bảng xét dấu của y’ như sau: x - y’ Trái dấu a x1 x2 Cùng dấu a 0 0 + x3 Trái dấu a Cùng dấu a 0 2.4. Các dạng của đồ thị hàm số bậc bốn: y = ax4 +bx2+ c (a0) a>0 a<0 y x O Liên hệ bộ môn: [email protected] x O Cung cấp bởi cbook.vn Phương trình y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt y 11 cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015. y Phương trình y’ = 0 có một nghiệm y x x O O 3. Khảo sát hàm phân thức dạng: y  ax  b c  0, ad  bc  0 cx  d 3.1. Sơ đồ khảo sát hàm số dạng: y  ax  b cx  d   a b  c  0, E    ad  bc  0   c d   d * Tập xác định: D  R \    c * Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: y'  E (cx  d ) 2 +) Nếu E > 0  y' 0 x  D  Hàm số luôn đồng biến trên D +) Nếu E < 0  y' 0 x  D  Hàm số luôn nghịch biến trên D - Hàm số không có cực trị.   d d - Giới hạn và tiệm cận: ( tính các giới hạn khi x   và x   ; x   ) c c lim y  lim x a ax  b a   Tiệm cận ngang: y  c cx  d c Tính giới hạn lim y và lim y ( dựa vào bảng biến thiên). d c Tiệm cận đứng: x   x d c d c - Bảng biến thiên: a) Nếu E >0 Liên hệ bộ môn: [email protected] b) Nếu E < 0 Cung cấp bởi cbook.vn x 12 cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015. x  - y’ d c + + a c y  - y’ + + x d c - + - + a c y a - - c * Đồ thị: - Tìm giao điểm của đồ thị với trục tung: cho x = 0 tìm y - Tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành: cho y =0 Giải phương trình: ax  b 0 cx  d x a c b a - Vẽ một nhánh của đồ thị nhánh còn lại lấy đối xứng qua tâm I(  d a ; ) là giao của c c hai đường tiệm cận. 3.3. Các dạng của hàm số phân thức dạng: y  E  ad  bc  0 ax  b cx  d   a b  c  0, E    ad  bc  0   c d   E  ad  bc  0 y y I I x x O Cung cấp bởi cbook.vn O Liên hệ bộ môn: [email protected] 13 cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015. VẤN ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Phương pháp giải bài toán: Tìm GTNN, GTLN của hàm số y = f(x) trên tập số D. Phương pháp chung - Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập số D. Căn cứ vào bảng biến thiên để kết luận. Lưu ý 1: Nếu D là đoạn [a; b] thì có thể làm như sau: - Tính đạo hàm y’. - Tìm các nghiệm của y’ trong đoạn [a; b], giả sử các nghiệm này là x1, x2 ... - Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2) .... - KL: Số lớn nhất (nhỏ nhất) trong các số trên là GTLN, (NN) của f(x) trên [a; b]. Lưu ý 2: Khi KL về GTLN, GTNN tìm được phải nêu rõ nó đạt được khi x nhận giá trị nào. Dạng 2: Phương pháp đổi biến số để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) (x thuộc tập xác định của hàm số hoặc thuộc một tập số cho trước) Bước 1. Lựa chọn cách đặt ẩn phụ t theo x. Bước 2. Chuyển ĐK của biến số x sang ĐK của biến số t. Giả sử tìm được t  K. Bước 3. Chuyển bài toán ban đầu thành bài toán mới đơn giản hơn. Cụ thể là: Tìm GTLN, GTNN của hàm số f(t) trên tập số K. sin x  1 sin x  sin x  1 2 Giải  Sai lầm thường gặp t 1 . t  t 1 t  0 t 2  2t Ta có: f ' (t )  2 , f ’(t) = 0   ; lim f ( x)  0 . 2 (t  t  1) t  2 x Đặt t = sinx, ta có hàm số theo t: f (t )  Liên hệ bộ môn: [email protected] 2 Cung cấp bởi cbook.vn Ví dụ 1: Tìm GTNN, GTLN của hàm số y  14 cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015. Bảng biến thiên của hàm số f(t) như sau: t f (t)  ’ - -2 0 + 0  0 0 1 - f(t)  1 3 0 1 Từ BBT suy ra: M inf( t )  f (2)   ; Maxf(t )  f (0)  1. 3 1 Từ đó có GTNN, GTLN của hàm số ban đầu lần lượt là  và 1. 3  Phân tích sai lầm 1 Theo lời giải trên thì hàm số f(x) nhận GTNN là  khi: sinx = -2, điều này không 3 xảy ra. Mặc dù đã lựa chọn biến mới: t = sinx hợp lí nhưng chưa tìm điều kiện cho nó dẫn t 1 đến bài toán tìm GTNN, GTLN của hàm số theo biến số mới f (t )  2 không tương t  t 1 thích với bài toán ban đầu (ngoài ví dụ đang xét thì trong các ví dụ sau đều phải lưu ý điều này).  Lời giải đúng Đặt t = sinx, điều kiện 1  t  1. t 1 trên đoạn 1;1 . t  t 1 Bảng biến thiên của hàm số f(t) trên đoạn 1;1 như sau: t f (t) ’ -1 + 2 0 0 1  1 f(t) 0 2 3 Từ bảng biến thiên suy ra GTNN, GTLN của hàm số f(t) trên đoạn 1;1 lần lượt là 0 (khi và chỉ khi t = -1) và 1 (khi và chỉ khi t = 0). Liên hệ bộ môn: [email protected] Cung cấp bởi cbook.vn Bài toán quy về tìm GTNN, GTLN của hàm số f (t )  15 cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015. Từ đó có: Maxy = 1 đạt được khi và chỉ khi: x  k , Miny = 0 khi và chỉ khi:    k 2 . 2 Nhận xét Nếu biểu thức xác định của hàm số có thể phân chia thành các nhóm số hạng và giữa chúng có một mối liên hệ cho bởi các hệ thức toán học cho phép biểu diễn chúng qua nhau thì ta có thể đưa bài toán đó về bài toán đơn giản hơn bằng phương pháp đổi biến số. Mối liên hệ giữa các nhóm số hạng trong biểu thức xác định hàm số ở ví dụ trên là rõ ràng dễ thấy, điều này giúp ta phát hiện cách đổi biến số không mấy khó khăn, tuy nhiên có những trường hợp mối liên hệ giữa các nhóm số hạng được ẩn kín bên trong, đòi hỏi nhiều phép biến đổi và có cách nhìn tinh mới phát hiện ra được. Ví dụ 2: Tìm GTNN và GTLN của hàm số y = sinx + cosx + sinx cosx Nhận xét và hướng dẫn giải Xét mối liên hệ giữa hai nhóm số hạng: sinx + cosx và sinx cosx, Chúng có mối liên hệ với nhau bởi hệ thức dễ thấy sau (sinx + cosx)2 = sin2x + cos2x + 2sinx cosx = 1 + 2sinx cosx,  Nhận xét đó gợi cho ta suy nghĩ, đặt ẩn phụ u  sin x  cos x  2 sin  x   , với điều 4  kiện của biến số mới là  2  u  2. Khi đó sin x cos x  u2 1 và bài toán quy về tìm GTNN, GTLN của hàm số 2 u2 1 trên đoạn   2; 2  . 2 Trên đoạn   2; 2  dễ dàng tìm được GTNN, GTLN của hàm số f(u) lần lượt là -1 1 (khi và chỉ khi u = -1) và 2  (khi và chỉ khi u = 2 ). 2 f (u )  u  Từ đó có GTNN, LN của hàm số ban đầu. 1 1 Ta có: sin4x + cos4x = 1  sin 2 2x và sin x cos x  sin 2 x. 2 2 Từ phân tích trên ta thấy nếu đặt t = sin2x (điều kiện 1  t  1) ta có hàm số theo 1 1 biến số t sau: h(t )   t 2  t  2 . 2 2 Cung cấp bởi cbook.vn Ví dụ 3: Tìm GTNN, GTLN của hàm số y = sin4x +cos4x +sinx.cosx +1 Liên hệ bộ môn: [email protected] 16 Nhận xét và hướng dẫn giải cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015. Và bài toán trở thành tìm GTNN, GTNN của hàm số h(t) trên đoạn [-1; 1]. 17  5  Đáp số: Maxy =  x   k hoặc x   k ; Miny = 2  x   k (k  Z ). 12 12 4 8 Ví dụ 4: Tìm GTNN, GTLN của hàm số y  x  1  3  x  ( x  1)(3  x) Nhận xét và hướng dẫn giải Tập xác định của hàm số là D  1;3 . Để ý rằng:  x 1  3  x  2  4  2 ( x  1)(3  x) , Vì thế nếu đặt t  x  1  3  x thì sau: g (t )  ( x  1)(3  x)  4  t2 và ta có hàm số theo biến t 2 t2 t 2. 2 Để tìm điều kiện cho biến số t ta lưu ý rằng t 2  4  2 ( x  1)(3  x)  4, x  1;3 , từ đó suy ra 2  t  2. (hoặc lập BBT của hàm số t ( x)  x 1  3  x trên D  1;3 để suy ra 2  t  2. ) t2 Bài toán quy về tìm GTNN, GTLN của hàm số g (t )   t  2 trên đoạn 2;2 . 2 Đáp số: Maxy = 2  x = 3; Miny =  7 5  x  1 . 2 2 Dạng 3: Tìm GTLN, NN của biểu thức M đối xứng với 2 biến x, y biết giả thiết cho x, y thỏa mãn một đẳng thức nào đó cũng đối xứng với x và y. Cách giải: x  y  S (ĐK S 2  4P ),  xy  P 1. Đặt  2. Biểu diễn giả thiết M theo S và P (1) hoặc P. 4. Tìm ĐK cho S hoặc P (M theo biến nào thì tìm ĐK cho biến đó) bằng cách kết hợp (1) và điều kiện S 2  4P . 5. Tìm GTLN, NN của biểu thức M với điều kiện tìm được của biến số tìm được ở bước 4. Lưu ý: Cách tìm ĐK ở bước 4 chỉ áp dụng khi cho x, y bất kỳ. Ví dụ nếu giả thiết cho thêm x > 0, y > 0 thì phải lưu ý S > 0 và P > 0 để tìm ĐK cho chính xác. Liên hệ bộ môn: [email protected] Cung cấp bởi cbook.vn 3. Biểu diễn biểu thức M theo S và P rồi kết hợp với (1) để biểu diễn M theo 1 biến S 17 cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015. Ví dụ 1: Cho x, y thoả mãn x + y = 1, Tìm GTLN, GTNN của M = (x3 + 1)(y3 + 1). Nhận xét và hướng dẫn giải Đặt S = x + y = 1, P = xy Ta có: M = (xy)3 – 3xy (x + y) + (x + y)3 + 1 = (xy)3 – 3xy + 2 = P3 – 3P + 2. 1 Lại có 1 = S2  4P suy ra: P  . 4 1 Vậy bài toán quy về tìm GTNN, GTLN của hàm số M(P) = P3 – 3P + 2 với P  . 4 1  Ta lập được bảng biến thiên của M(P) trên khoảng  ;  như sau: 4  1 P -1  4 ’ M (P) + 0 4 ’ M (P)  81 64 Từ bảng biến thiên suy ra GTNN không tồn tại còn GTLN của Q bằng 4, đạt được khi  1  5 1  5   1  5 1  5   x  y  1 ; ; và chỉ khi  , giải hệ ta được  x; y    , . 2   2 2    xy  1  2 Ví dụ 2: Cho x, y thỏa mãn x2 + y2 = 2, Tìm GTLN, NN của M = 2 (x3 + y3) – 3xy. Ta có: M = 2(x + y)(x2 + y2 – xy) – 3xy = 2(x + y)(2 – xy) – 3xy (6a), Ngoài ra biến đổi giả thiết của bài toán ta có: x2 + y2 = 2  (x + y)2 – 2xy = 2 (6b) Qua các phân tích trên thấy rằng nếu đặt t = x + y sẽ biểu diễn được xy theo biến t, từ đó biểu diễn được biểu thức M theo t. ( x  y)2  2 t 2  2  , kết hợp với (6a) ta biểu diễn được biểu 2 2 3 thức ban đầu theo t là: M (t )  t 3  t 2  6t  3 . 2 Để x, y tồn tại ta phải có: (x + y)2  4xy nên t2  2(t2 – 2) từ đó có 2  t  2 . Thật vậy, từ (6b) có: xy  Liên hệ bộ môn: [email protected] Cung cấp bởi cbook.vn Nhận xét và hướng dẫn giải 18 cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015. Từ đó có GTNN, GTLN của M (t ) trên [-2; 2] là: Max(M) = 13 , Min(M) = -7. 2 Dạng 4: Tìm GTLN, NN của biểu thức M có 2 tính chất sau: Tính chất 1: M phụ thuộc vào 2 trong 3 đại lượng: x + y + z, xy + yz + zx hoặc x2 + y2 + z2. Tính chất 2: Giả thiết cho trước giá trị của một trong 3 đại lượng: x + y + z, xy + yz + zx hoặc x2 + y2 + z2. Cách giải: 1. Giả sử biểu thức M có mặt 2 trong 3 đại lượng nêu trên, khi đó có thể đặt một trong hai đại lượng của biểu thức M là ẩn phụ t rồi dùng giả thiết của bài toán đã cho và kết hợp hằng đẳng thức (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 – 2xy – 2yz – 2zx để biểu diễn đại lượng còn lại theo t. 2. Tìm ĐK cho t ta thường dùng một trong ba BĐT sau: x2 + y2 + z2  xy + yz + zx hoặc (x + y + z)2  3(xy + yz + zx) hoặc 3(x2 + y2 + z2)  (x + y + z)2 3. Quy về bài toán đơn giản. Ví dụ: Cho x, y , z thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 1. Tìm GTLN, NN của R = x3 + y3 + z3 – 3xyz. Nhận xét và hướng dẫn giải Ta có: R = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx) = (x + y + z)(1 – xy – yz – zx) Viết lại giả thiết của bài toán thành: (x + y + z)2 – 2(xy + yz + zx) = 1 Đặt t = x + y + z thì từ (7b) ta có xy + yz + zx = được biểu thức ban đầu theo t là: R(t) = (7a), (7b). t 2 1 , kết hợp với (7a) ta biểu diễn 2 1 (3t – t3). 2 t 2 1  1 suy ra  3  t  3. Dễ dàng CM: x + y + z  xy + yz + zx, từ đó suy ra 2 Tìm GTLN, NN của R(t) trên đoạn  3; 3  , được: Max(R) = 1 ; Min(R) = -1. 2 2 Liên hệ bộ môn: [email protected] Cung cấp bởi cbook.vn 2 19 cbook.vn Chuyên đề khảo sát hàm số_Tài liệu lý thuyết và bài tập _Ôn thi năm 2015. Dạng 5: Trường hợp biểu thức ban đầu không có dấu hiệu đổi biến, khi đó quy về việc tìm GTNN, GTLN bằng cách đổi biến số đối với một biểu thức trung gian. Ý tưởng: Nếu tìm GTLN, NN của biểu thức M không có dấu hiệu đổi biến số nhưng đánh giá được M  N thì thay vì tìm GTLN, NN của M ta đi thực hiện bài toán: tìm GTLN, NN của biểu thức trung gian N. 1 1 1 3 Ví dụ 1: Cho x, y , z > 0 và x + y + z  . Tìm GTNN của M = x + y + z    . x y z 2 Nhận xét và hướng dẫn giải Rõ ràng không có dấu hiệu nào để biểu diễn các biến số của biểu thức cho trong bài toán theo một biến số mới, ta sẽ tìm GTNN của biểu thức M ban đầu thông qua việc tìm GTNN của một biểu thức trung gian T, biểu thức này được xác định qua lập luận sau: + Trước hết theo BĐT Cô si ta có 1 1 1 3 M = x + y + z     3 3 xyz  , đẳng thức xảy ra  x = y = z (8a) 3 xyz x y z + Để tìm GTNN của biểu thức M ta đi tìm GTNN của biểu thức 3 T  3 3 xyz  . 3 xyz Đặt u  3 3 xyz thì việc tìm GTNN của biểu thức T được quy về việc tìm GTNN của 3  3 3  0; 2  (vì 0  u  3 xyz  x  y  z  2 ).    3  15  3 (u )  T    . Dễ thấy hàm số T(u) nghịch biến trên khoảng  0;  , nên MinT 3 (0; ] 2 2  2 2 9 trên khoảng u Suy ra GTNN của biểu thức trung gian T là Tức là T  3 3 xyz  3 15 (đạt được  x = y = z) 2 3 15  , đẳng thức xảy ra  x = y = z (8b). xyz 2 + Từ các kết quả (8a) và (8b) suy ra GTNN của biểu thức M ban đầu là 15 đạt được khi và 2 chỉ khi x = y = z. Ví dụ 2: Cho các số x, y , z thuộc khoảng (0 ; 1) và thỏa mãn xyz = (x – 1)(y – 1)(z – 1). Tìm GTNN của biểu thức N = x2 + y2 + z2. Nhận xét và hướng dẫn giải Biến đổi giả thiết: xyz = (x – 1)(y – 1)(z – 1)  xy + yz + zx = 2xyz -1 + (x + y + z), Do đó có: N = x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 – 2(xy + yz + zx) Liên hệ bộ môn: [email protected] Cung cấp bởi cbook.vn hàm số T (u)  u  20