Chuyên đề Hình học ôn thi THPT Quốc gia môn toán của thầy Lê Bá Trần Phương
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 06. Hình học không gian giải tích
BÀI 1. TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (PHẦN 1)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 1. Toạ độ trong không gian (Phần 1) thuộc khóa học
Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần Bài 1. Toạ độ trong
không gian (Phần 1), Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.
A. Lý thuyết cơ sở
I. Hệ trục tọa độ trong không gian
Trong không gian cho 3 trục Ox; Oy; Oz vuông góc với nhau từng đôi một tại O, trên 3 trục này lần lượt
lấy 3 vectơ đơn vị i; j ; k .
Hệ gồm 3 trục như trên gọi là hệ trục tọa độ Oxyz.
- O gọi là gốc tọa độ
- Ox gọi là trục hoành
- Oy gọi là trục tung
- Oz gọi là trục cao
II. Toạ độ của vectơ
a) Định nghĩa
Trong không gian Oxyz cho một vectơ v tùy ý. Khi đó tồn tại duy nhất 1 bộ số (x; y; z) để
v xi y j zk
Bộ số ( x; y; z ) được gọi là tọa độ của vectơ v .
Kí hiệu v ( x; y; z ) hoặc v ( x; y; z )
Trong đó x gọi là hoành độ của vectơ v .
y gọi là tung độ của vectơ v
z gọi là cao độ của vectơ v
v ( x; y; z )
Như vậy
b) Các phép toán
Cho hai vectơ v( x; y; z ); v '( x '; y '; z ')
x
y z
+ v cùng phương với v '
x' y' z'
x x '
+ v v ' y y ' (2 vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng thỏa mãn 3 điều kiện: cùng phương; cùng
z z '
chiều; cùng độ dài)
+ v x2 y2 z 2
+ kv (kx; ky; kz )
+ v v ' x x '; y y '; z z '
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 06. Hình học không gian giải tích
+ Tích vô hướng của 2 vectơ v và v ' là một số.
Kí hiệu v .v ' x.x ' y. y ' z.z '
+ v v ' v .v ' 0
v.v '
+ cos v; v '
v . v'
+ Tích có hướng của 2 vectơ v và v ' là một vectơ
Kí hiệu v; v ' hoặc v v ' và được tính theo công thức:
y z z x x y
v; v '
;
;
yz ' y ' z; zx ' z ' x; xy ' x ' y
y
'
z
'
z
'
x
'
x
'
y
'
Chú ý:
1) v; v ' v; v; v ' v ' (nếu lấy hai vectơ không cùng phương nhân có hướng với nhau thì ta được 1
vectơ vuông góc với 2 vectơ ấy.
2) v cùng phương v ' v; v ' 0 (0;0;0)
3) Cho 3 vectơ a; b; c : 3 vectơ đồng phẳng (cùng thuộc 1 mặt phẳng) khi và chỉ khi a; b .c 0 (tích hỗn
tạp của 3 vectơ ).
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn
- Trang | 2 -
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 06. Hình học không gian giải tích
TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (PHẦN 1)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Toạ độ trong không gian (Phần 1) thuộc khóa học
Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn để giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được
giáo viên truyền đạt trong bài giảng Toạ độ trong không gian (Phần 1). Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài
giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
(Tài liệu dùng chung cho P1+P2)
Bài 1: Cho u i 2 j; v 3i 5 j k ; w 2i 3 j k
a) Tìm tọa độ các vectơ đó.
b) Tìm cosin của góc u , v
c) Xác định tọa độ vectơ u, w
d) Tính độ dài của d 2u 3v 4w
Bài 2: Cho
. Chứng minh rằng ABC là một tam giác.
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có A(-3 ; -2 ; 0) ; B(3 ; -3 ; 1) ; C(5 ; 0 ; 2). Tìm tọa độ D.
Bài 4: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho A = (3, 0, 0); B = (0, 3, 0); C = (0, 0, 3); D = (-1, -1, -1).
Tìm điểm E sao cho AE BE CE DE 2 DO .
Bài 5: Cho a (2;3;1), b (6;7;0), c (3; 2; 4).CMR : a; b; c không đồng phẳng. Cho d (4;12;3) .
Hãy phân tích vectơ d theo 3 vectơ a; b; c .
Bài 6: Cho v 0 . Gọi ; ; là 3 góc tạo bởi v với Ox; Oy; Oz .
CMR: cos 2 cos 2 cos 2 1
Bài 7: Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a (5;7; 2), b (3;0; 4), c (6;1; 1) . Hãy tìm tọa độ của các
vectơ sau đây:
a) m 3a 2b c;
b) n 5a 6b 4c
Bài 8: Cho hai vectơ a và b tạo với nhau một góc 1200. Tìm a b và a b biết a 3; b 5.
Bài 9: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(-1; -2; 3), B(0; 3; 1), C(4; 2; 2).
a) Tính tích vô hướng AB. AC
b) Tính cosin của góc BAC
Bài 10: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Hãy phân tích vectơ AC ' theo ba vectơ AB ', AC , AD ' .
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
:
Hocmai.vn
- Trang | 1 -
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 06. Hình học không gian giải tích
TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (PHẦN 1)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Toạ độ trong không gian (Phần 1) thuộc khóa học
Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn để giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được
giáo viên truyền đạt trong bài giảng Toạ độ trong không gian (Phần 1). Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài
giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
(Tài liệu dùng chung cho P1+P2)
Bài 1: Cho u i 2 j; v 3i 5 j k ; w 2i 3 j k
a) Tìm tọa độ các vectơ đó.
b) Tìm cosin của góc u , v
c) Xác định tọa độ vectơ u, w
d) Tính độ dài của d 2u 3v 4w
Giải:
a) Ta có: u (1; 2;0); v (3;5; 5); w (2;3; 1)
u.v
1.3 (2).5 0.(5)
7
b) cos u , v
2
2
2
2
2
2
295
u.v
1 (2) 0 . 3 5 (5)
1 2 2 0 0 1
c) u v
;
;
(7; 2;1)
2 3 3 1 1 2
u v 72 22 12 26
d) d (1; 7;11) d 12 (7)2 112 171
Bài 2 : Cho A(1;2;3); B(1;3;4); C(0;4;1) . Chứng minh rằng ABC là một tam giác.
Giải:
Hai vectơ này không cùng phương nên 3 điểm A, B, C không thẳng hàng nên ABC là một tam giác.
Bài 3 : Cho hình bình hành ABCD có A(-3 ; -2 ; 0) ; B(3 ; -3 ; 1) ; C(5 ; 0 ; 2). Tìm tọa độ D.
Giải:
Vì ABCD là hình bình hành nên ta có :
x 1
BA CD , gọi D có tọa độ D( x; y; z ) thay vào biểu thức ta có : y 1
z 1
Vậy D(-1 ; 1 ; 1)
Bài 4 : Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho A = (3, 0, 0); B = (0, 3, 0); C = (0, 0, 3); D = (-1, -1, -1).
Tìm điểm E sao cho AE BE CE DE 2 DO
Giải:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 06. Hình học không gian giải tích
Gọi E ( xE , yE )
2 xD ( xA xB xC xD )
1
xE
4
2 yD ( y A yB yC yD )
Từ đó yêu cầu bài toán yE
1
4
2 zD ( z A zB zC zD )
1
zE
4
Vậy E = (1, 1, 1)
Bài 5: Cho a (2;3;1), b (6;7;0), c (3; 2; 4).CMR : a; b; c không đồng phẳng. Cho d (4;12;3) .
Hãy phân tích vectơ d theo 3 vectơ a; b; c .
Giải:
• Xét tính hỗn tạp: a, b .c 21 10 4 35 0
• Giả sử d (4;12; 3) xa yb zc x(2;3;1) y (5;7;0) z (3; 2; 4)
2 x 5 y 3z 4
3 x 7 y 2 z 12 ( x; y; z ) (1;1; 1) d a b c
x 4 z 3
Bài 6: Cho v 0 . Gọi ; ; là 3 góc tạo bởi v với Ox; Oy; Oz .
CMR: cos 2 cos 2 cos 2 1
Giải:
Gọi v (a; b; c ) (0;0;0)
cos cos
Ta có: cos cos
cos cos
v; OA
a
; OA(1;0;0)
a 2 b2 c2
b
a 2 b2 c2
v; OB
; OB (0;1;0) cos 2 cos 2 cos 2 2
1( đpcm).
a b2 c2
a 2 b2 c2
c
v; OC
; OA(0;0;1)
a 2 b2 c2
Bài 7: Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a (5;7; 2), b (3;0; 4), c (6;1; 1) . Hãy tìm toạ độ của các
vectơ sau đây:
a) m 3a 2b c;
b) n 5a 6b 4c
Giải:
3a (15; 21;6)
Ta có: 2b (6;0; 8) do đó m 3a 2b c (3; 22; 3)
c (6;1; 1)
b) Tương tự, ta tính được n (19;39;30)
Bài 8: Cho hai vectơ a và b tạo với nhau một góc 1200. Tìm a b và a b biết a 3; b 5.
Giải:
Ta có: a b
2
2 2
a b 2 a . b .cos a, b
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 06. Hình học không gian giải tích
1
9 25 2.3.5. 19
2
Vậy a b 19
2 2 2
Ta có: a b a b 2 a . b .cos a, b
1
9 25 2.3.5. 49
2
Vậy
.
Bài 9: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(-1; -2; 3), B(0; 3; 1), C(4; 2; 2).
a) Tính tích vô hướng AB. AC
b) Tính cosin của góc BAC
Giải:
a) Ta có AB (1;5; 2), AC (5; 4; 1)
Do đó AB. AC 1.5 5.4 (2).( 1) 27
AB. AC
27
b) cos BAC
2
2
2
AB . AC
1 5 (2) . 52 42 (1) 2
27
9
30. 42 2 35
Bài 10: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Hãy phân tích vectơ AC ' theo ba vectơ AB ', AC , AD ' .
Giải:
Ta có: AC ' AC AA ' vì ACC ' A ' là hình chữ nhật.
Tương tự : AC ' AB ' AD vì ADC ' B ' là hình chữ nhật.
Và AC ' AD ' AB vì ABC ' D ' là hình chữ nhật.
Do đó 3 AC ' AC AB AD ' AA ' AD AB AB ' AC AD ' AC '
Ta suy ra 2 AC ' AB ' AC AD '
Vậy
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn
- Trang | 3 -
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 06. Hình học không gian giải tích
TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (PHẦN 2)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Toạ độ trong không gian (Phần 2) thuộc khóa học Toán
12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức phần Toạ độ trong không gian
(Phần 2), Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.
C. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho các vectơ: a (5; 7; 2); b(3; 0; 4); c( 6;1; 1) .
Tính 3a 2b c .
Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho các vectơ a (2;3;1); b (5; 6; 4)
a. Tính côsin của góc tạo bởi 2 vectơ a và b .
b. Tính c biết c a; c b và c ( x; y;1)
Ví dụ 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho các vectơ a (8; 4;1); b (2; 2;1) . Tìm c thỏa mãn:
c a; c a ; a, b, c đồng phẳng.
Ví dụ 4: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho các vectơ a (1; 3; 4); b (2; y; z ) . Tìm y, z để b cùng
phương a .
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn
- Trang | 1 -
Khóa h c Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 06. Hình học không gian giải tích
TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (PHẦN 2)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Toạ độ trong không gian (Phần 2) thuộc khóa học
Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn để giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được
giáo viên truyền đạt trong bài giảng Toạ độ trong không gian (Phần 2). Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài
giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
(Tài li u dùng chung cho P1+P2)
Bài 1: Cho u i 2 j; v 3i 5 j k ; w 2i 3 j k
a) Tìm tọa độ các vectơ đó.
b) Tìm cosin của góc u , v
c) Xác định tọa độ vectơ u, w
d) Tính độ dài của d 2u 3v 4w
Bài 2: Cho A(1;2;3); B(1;3;4); C(0;4;1) . Chứng minh rằng ABC là một tam giác.
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có A(-3 ; -2 ; 0) ; B(3 ; -3 ; 1) ; C(5 ; 0 ; 2). Tìm tọa độ D.
Bài 4: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho A = (3, 0, 0); B = (0, 3, 0); C = (0, 0, 3); D = (-1, -1, -1).
Tìm điểm E sao cho AE BE CE DE 2 DO .
Bài 5: Cho a (2;3;1), b (6;7;0), c (3; 2; 4).CMR : a; b; c không đồng phẳng. Cho d (4;12;3) .
Hãy phân tích vectơ d theo 3 vectơ a; b; c .
Bài 6: Cho v 0 . Gọi ; ; là 3 góc tạo bởi v với Ox; Oy; Oz .
CMR: cos 2 cos 2 cos 2 1
Bài 7: Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a (5;7; 2), b (3;0; 4), c (6;1; 1) . Hãy tìm tọa độ của các
vectơ sau đây:
a) m 3a 2b c;
b) n 5a 6b 4c
Bài 8: Cho hai vectơ a và b tạo với nhau một góc 1200. Tìm a b và a b biết a 3; b 5.
Bài 9: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(-1; -2; 3), B(0; 3; 1), C(4; 2; 2).
a) Tính tích vô hướng AB. AC
b) Tính cosin của góc BAC
Bài 10: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Hãy phân tích vectơ AC ' theo ba vectơ AB ', AC , AD ' .
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn
Hocmai.vn
ng chung c a h c trò Vi t
T
n: 1900 58-58-12
:
Hocmai.vn
- Trang | 1 -
Khóa h c Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 06. Hình học không gian giải tích
TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN (PHẦN 2)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Toạ độ trong không gian (Phần 2) thuộc khóa học
Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn để giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được
giáo viên truyền đạt trong bài giảng Toạ độ trong không gian (Phần 2). Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài
giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
(Tài li u dùng chung cho P1+P2)
Bài 1: Cho u i 2 j; v 3i 5 j k ; w 2i 3 j k
a) Tìm tọa độ các vectơ đó.
b) Tìm cosin của góc u , v
c) Xác định tọa độ vectơ u, w
d) Tính độ dài của d 2u 3v 4w
Giải:
a) Ta có: u (1; 2;0); v (3;5; 5); w (2;3; 1)
u.v
1.3 (2).5 0.(5)
7
b) cos u , v
2
2
2
2
2
2
295
u.v
1 (2) 0 . 3 5 (5)
1 2 2 0 0 1
c) u v
;
;
(7; 2;1)
2 3 3 1 1 2
u v 72 22 12 26
d) d (1; 7;11) d 12 (7)2 112 171
Bài 2 : Cho A(1;2;3); B(1;3;4); C(0;4;1) . Chứng minh rằng ABC là một tam giác.
Giải:
AB (2;1;1); AC (1; 2; 2)
Hai vectơ này không cùng phương nên 3 điểm A, B, C không thẳng hàng nên ABC là một tam giác.
Bài 3 : Cho hình bình hành ABCD có A(-3 ; -2 ; 0) ; B(3 ; -3 ; 1) ; C(5 ; 0 ; 2). Tìm tọa độ D.
Giải:
Vì ABCD là hình bình hành nên ta có :
x 1
BA CD , gọi D có tọa độ D( x; y; z ) thay vào biểu thức ta có : y 1
z 1
Vậy D(-1 ; 1 ; 1)
Bài 4 : Trong không gian hệ tọa độ Oxyz cho A = (3, 0, 0); B = (0, 3, 0); C = (0, 0, 3); D = (-1, -1, -1).
Tìm điểm E sao cho AE BE CE DE 2 DO
Giải:
Hocmai.vn
ng chung c a h c trò Vi t
T
n: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Khóa h c Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 06. Hình học không gian giải tích
Gọi E ( xE , yE )
2 xD ( xA xB xC xD )
1
xE
4
2 yD ( y A yB yC yD )
Từ đó yêu cầu bài toán yE
1
4
2 zD ( z A zB zC zD )
1
zE
4
Vậy E = (1, 1, 1)
Bài 5: Cho a (2;3;1), b (6;7;0), c (3; 2; 4).CMR : a; b; c không đồng phẳng. Cho d (4;12;3) .
Hãy phân tích vectơ d theo 3 vectơ a; b; c .
Giải:
• Xét tính hỗn tạp: a, b .c 21 10 4 35 0
• Giả sử d (4;12; 3) xa yb zc x(2;3;1) y (5;7;0) z (3; 2; 4)
2 x 5 y 3z 4
3 x 7 y 2 z 12 ( x; y; z ) (1;1; 1) d a b c
x 4 z 3
Bài 6: Cho v 0 . Gọi ; ; là 3 góc tạo bởi v với Ox; Oy; Oz .
CMR: cos 2 cos 2 cos 2 1
Giải:
Gọi v (a; b; c ) (0;0;0)
cos cos
Ta có: cos cos
cos cos
v; OA
a
; OA(1;0;0)
a 2 b2 c2
b
a 2 b2 c2
v; OB
; OB (0;1;0) cos 2 cos 2 cos 2 2
1( đpcm).
a b2 c2
a 2 b2 c2
c
v; OC
; OA(0;0;1)
a 2 b2 c2
Bài 7: Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a (5;7; 2), b (3;0; 4), c (6;1; 1) . Hãy tìm toạ độ của các
vectơ sau đây:
a) m 3a 2b c;
b) n 5a 6b 4c
Giải:
3a (15; 21;6)
Ta có: 2b (6;0; 8) do đó m 3a 2b c (3; 22; 3)
c (6;1; 1)
b) Tương tự, ta tính được n (19;39;30)
Bài 8: Cho hai vectơ
Giải:
Ta có: a b
Hocmai.vn
2
tạo với nhau một góc 1200. Tìm a b và a b biết a 3; b 5.
2 2
a b 2 a . b .cos a, b
ng chung c a h c trò Vi t
T
n: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -
Khóa h c Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 06. Hình học không gian giải tích
1
9 25 2.3.5. 19
2
Vậy a b 19
2 2 2
Ta có: a b a b 2 a . b .cos a, b
1
9 25 2.3.5. 49
2
Vậy a b 7 .
Bài 9: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(-1; -2; 3), B(0; 3; 1), C(4; 2; 2).
a) Tính tích vô hướng AB. AC
b) Tính cosin của góc BAC
Giải:
a) Ta có AB (1;5; 2), AC (5; 4; 1)
Do đó AB. AC 1.5 5.4 (2).( 1) 27
AB. AC
27
b) cos BAC
2
2
2
AB . AC
1 5 (2) . 52 42 (1) 2
27
9
30. 42 2 35
Bài 10: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Hãy phân tích vectơ AC ' theo ba vectơ AB ', AC , AD ' .
Giải:
Ta có:
là hình chữ nhật.
Tương tự : AC ' AB ' AD vì ADC ' B ' là hình chữ nhật.
Và AC ' AD ' AB vì ABC ' D ' là hình chữ nhật.
Do đó 3 AC ' AC AB AD ' AA ' AD AB AB ' AC AD ' AC '
Ta suy ra 2 AC ' AB ' AC AD '
1
Vậy AC ' AB ' AC AD '
2
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:
Hocmai.vn
ng chung c a h c trò Vi t
T
n: 1900 58-58-12
Hocmai.vn
- Trang | 3 -
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Lý thuyết cơ sở về mặt phẳng
LÝ THUYẾT CƠ SỞ VỀ MẶT PHẲNG (PHẦN I)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Lý thuyết cơ sở hình học phẳng thuộc khóa
học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn. Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài
giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
Bài 1: Xác định giá trị của m để cặp mặt phẳng sau đây vuông góc:
( ) : 2 x my 2mz 9 0; ( ) : 6 x y z 10 0
Bài 2: Xác định giá trị của m và n để cặp mặt phẳng sau đây song song với nhau:
( ) : 2 x my 3z 5 0; ( ) : nx 8 y 6 z 2 0
Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M(2;5;-7) và song song với giá của hai vectơ
a (1; 2;3) và b (3;0;5) .
Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua ba điểm A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3).
Bài 5: Cho mặt phẳng ( ) có phương trình 2 x 3 y 4 z 2 0 và điểm A(0; 2; 0).
a) Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua A và song song với ( ) .
b) Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua OA và vuông góc với ( ) .
Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng.
x y z 2
x 1 y 2 z 1
và d 2
. Chứng minh rằng:
d1
3
1
2
x 3 y 12 0
a) d1 / / d 2
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả d1 và d 2 .
Bài 7: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d)
x y z 1
và điểm A(1;1;3) Viết phương trình
1 1
2
mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng (d).
2x y 1 0
Bài 8: Cho điểm A(-1;2;3). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thắng (d)
z 1 0
và khoảng cách từ A đến d bằng 3.
Bài 9
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng:
x 1 t
x 2 y z 4 0
và d 2 : y 2 t
d1 :
x 2 y 2z 4
z 1 2t
Viết phương trình đường thẳng mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d 2 .
Bài 10: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(1;1;1) vào đồng thời vuông góc với 2 mặt phẳng
P1 : x 2 y 3z 4 0 và P2 : 3x 2 y z 1 0
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn
- Trang | 1 -
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Lý thuyết cơ sở về mặt phẳng
LÝ THUYẾT CƠ SỞ VỀ MẶT PHẲNG (PHẦN I)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Lý thuyết cơ sở hình học phẳng thuộc khóa
học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn. Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài
giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
Bài 1: Xác định giá trị của m để cặp mặt phẳng sau đây vuông góc:
( ) : 2 x my 2mz 9 0; ( ) : 6 x y z 10 0
Giải:
Gọi n và n lần lượt là các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng ( ) và ( ) .
Ta có: n (2; m; 2m), n (6; 1; 1)
Điều kiện cần và đủ để ( ) ( ) là n .n 0
Ta có:
Vậy ( ) ( ) khi và chỉ khi m = 4.
Bài 2: Xác định giá trị của m và n để cặp mặt phẳng sau đây song song với nhau:
( ) : 2 x my 3z 5 0; ( ) : nx 8 y 6 z 2 0
Giải:
Ta có: ( ) / /( )
3n 12
n 4
2 m
3 5
n 8 6 2
6m 24
m 4
Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M(2;5;-7) và song song với giá của hai vectơ
a (1; 2;3) và b (3;0;5) .
Giải:
Ta có a b (10;4;6) 2(5; 2; 3)
Mặt phẳng ( ) có vectơ pháp tuyến là n (5; 2; 3) . Vậy phương trình của ( ) là:
5( x 2) 2( y 5) 3( z 7) 0 5x 2 y 3z 21 0 .
Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua ba điểm A(2; -1; 3), B(4; 0; 1), C(-10; 5; 3).
Giải:
Ta có: AB (2;1; 2); AC (12;6;0)
Gọi a AB AC (12; 24; 24)
1
Ta chọn vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( ) là: n a (1; 2; 2)
12
Vậy phương trình của mặt phẳng ( ) là:
1( x 2) 2( y 1) 2( z 3) 0 x 2 y 2 z 6 0
Bài 5: Cho mặt phẳng ( ) có phương trình 2 x 3 y 4 z 2 0 và điểm A(0; 2; 0).
a) Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua A và song song với ( ) .
b) Viết phương trình mặt phẳng ( ) đi qua OA và vuông góc với
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
.
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Lý thuyết cơ sở về mặt phẳng
Giải:
a) Vì ( ) song song với ( ) nên phương trình mặt phẳng ( ) có dạng:
2 x 3 y 4 z D 0 (1)
Điểm A thuộc ( ) nên thay tọa độ của A vào (1) ta được:
2.0 3.2 4.0 D 0 D 6 .
Vậy phương trình của mặt phẳng ( ) là: 2 x 3 y 4 z 6 0
b) Hai vectơ có giá song song hoặc được chứa trong ( ) là:
OA (0;2;0) và n (2;3; 4) .
Suy ra ( ) có vectơ pháp tuyến n OA n (8;0; 4)
Mặt phẳng ( ) đi qua điểm O(0; 0; 0) và có vectơ pháp tuyến là: n (8;0; 4)
Vậy phương trình mặt phẳng ( ) là: 8x 4 z 0 hay 2 x z 0
Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng.
x y z 2
và d 2
. Chứng minh rằng:
x 3 y 12 0
a) d1 / / d 2
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả d1 và
.
Giải
a) Đường thẳng d1 có vector chỉ phương là u1 (3; 1; 2) và đi qua điểm M (1, 2,1) .
Đường thẳng d 2 có vector chỉ phương là:
1 1 1 1 1 1
u2
;
;
(3; 1; 2)
3 0 0 1 1 3
Như vậy, u1 u2 .
Mặt khác điểm M(1;-2;-1) không thuộc d 2 (hiển nhiên), do đó d1 / / d 2 => đpcm
b) Cho y=0 trong hệ phương trình xác định bởi $d_2$, ta có:
x z 2 0
x 12
x 12 0
z 10
Vậy N (12;0;10) d2 . Từ đó: MN (11; 2;11)
Mặt phẳng (P) chứa (d1 ) và d 2 nhận cặp vector MN (11; 2;11) và u1 (3; 1; 2) làm cặp vector chỉ phương
nên vector pháp tuyến của (P) được xác định như sau:
2 11 11 11 11 2
n [ MN , u1 ]
;
;
(15;11; 17)
1 2 2 3 3 1
Rõ rằng (P) đi qua M(1;-2;-1) nên (P) có phương trình là:
15( x 1) 11( y 2) 17( z 1) 0 15x 11y 17 z 10 0
Bài 7: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng (d)
x y z 1
và điểm A(1;1;3) Viết phương trình
1 1
2
mặt phẳng qua A và vuông góc với đường thẳng (d).
Giải:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Lý thuyết cơ sở về mặt phẳng
Vì d thuộc vào P nên vector chỉ phương của d là vector pháp tuyến của (P) nd (1;1; 2) .
Do (P) qua A nên P có phương trình là:
( x 1) 1( y 1) 2( z 3) 0
2x y 1 0
Bài 8: Cho điểm A(-1;2;3). Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thắng (d)
z 1 0
và khoảng cách từ A đến d bằng 3.
Giải:
Mặt phẳng (P) chứa d nên chum mặt phẳng
a(2x y 1) b( z 1) 0 2ax ax bz a b 0(1) với a 2 b2 0
Vì d(A,d)=3 nên ta có:
2a 2a 3b a b
3 (2b 5a) 2 9(5a 2 b 2 )
4a a b
20a 2 20ab 5b 2 0
2
2
2
(2a b) 2 0
2a b 0
Do a 2 b2 0 nên từ đây ta chon a= 1 và b=-2 thay vào (1) ta có phương trình mặt phẳng là:
2x-y-2z+1=0.
Bài 9
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng:
x 1 t
x 2 y z 4 0
và d 2 : y 2 t
d1 :
x 2 y 2z 4
z 1 2t
Viết phương trình đường thẳng mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d 2 .
Giải
Đường thăng d 2 có vecto chi phương là u2 (1;1; 2)
Đường thẳng $d_1$ có vecto chi phương là
2 1 1 1 1 2
u1
;
;
(2;3; 4)
2 2 2 1 1 2
x 2 y 4
x 0
Trong hệ phương trình xác định $d_1$ cho z = 0, ta có:
x 2 y 4
y 2
Vậy M(0;-2;0) thuộc vào d1 .
Mặt phẳng chứa d1 và song song với d 2 , nên nhận các vecto u1 , u2 làm cặp vecto chỉ phương. Do đó một vecto
pháp tuyến của nó là:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Lý thuyết cơ sở về mặt phẳng
3 4 4 2 2 3
n [u1 , u2 ]
;
;
(2;0; 1)
1 2 2 1 1 1
Do (P) chứa $d_1$ nên M thuộc (P). Khi đó ta có phương trình của (P) là: 2x-z=0
Bài 10: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(1;1;1) vào đồng thời vuông góc với 2 mặt phẳng
P1 : x 2 y 3z 4 0 và P2 : 3x 2 y z 1 0
Giải
Rõ rằng
và P2 cắt nhau vì
x 2 y 3z 4 0
1 1
vuông góc với (P).
, do đó giao tuyến: d :
3 2
3x 2 y z 1 0
2
1 1 2
;
(8;10; 4) 2(4;5; 2)
2 1 1 3 3 2
Đường thẳng d có vector chỉ phươnglà: n
3
;
3
Khi đó ta đã có vecto pháp tuyến của (P).
Do P là phương trình đường thẳng đi qua A(1;1;1) và có vecto chi phương là n nên P có phương trình là: 4x-5y2z-1=0
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
Hocmai.vn
- Trang | 4 -
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 05. Hình học không gian
BÀI 01. CHỨNG MINH QUAN HỆ VUÔNG GÓC (PHẦN 01)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 01. Chứng minh quan hệ vuông góc (Phần
01) thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn để giúp các Bạn kiểm tra, củng
cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 01. Chứng minh quan hệ vuông góc (Phần 01).
Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
(Tài liệu dùng chung bài 01+02)
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a. Chứng minh rằng:
SB vuông góc SD.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc mặt phẳng (ABCD). Gọi H, K
lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD.
a. CMR: SC vuông góc mặt phẳng (AHK).
b. Gọi I là giao điểm của SC với mặt phẳng (AHK). CMR: HK vuông góc AI.
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD.
a. Chứng minh rằng: SO ( ABCD)
b. I, K lần lượt là trung điểm của BA và BC. Chứng minh rằng IK vuông góc SD.
c. Gọi (P) là mặt phẳng song song với SO chứa IK. Chứng minh BD vuông góc với mặt phẳng (P).
Bài 4: Cho lặng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’, đáy ABCD là hình bình hành có AB = AD = a và góc
BAD 600 , AA '
a 3
. M, N lần lượt là trung điểm A’D’ và A’B’. Chứng minh rằng:
2
AC ' ( BDMN ).
Bài 5: Tứ diện SABC có SA mp ABC . Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC.
a. Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) và SAC BHK
b. Chứng minh HK SBC và SBC BHK .
Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M là trung điểm của AA’. Chứng
minh rằng BM vuông góc với B’C.
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a. SA ( ABCD) . Gọi H, I, K lần lượt là
hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD và J là hình chiếu của B trên SC. Gọi M, N, P, Q lần lượt là
trung điểm của AB, AD, BC, SC. CMR:
1. BC (SAB);
2. CD ( SAD);
3. AH ( SBC);
4. AK ( SCD);
5. SC ( AHK );
9. BC SB;
6. OM (SAB);
10. CD SD;
7. ON ( SAD);
11. AH SC;
13.(SBC ) (SAB);
14.(SCD) ( SAD);
17.( AHK ) (SAC );
18.(OQM ) ( SAB);
8. BC (OPQ);
12. AK SC;
15. ( AHK ) ( SBC);
16.( AHK ) ( SCD);
19.(OQN ) ( SAD);
20.(OPQ) ( SBC)
Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
:
Hocmai.vn
- Trang | 1 -
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 05. Hình học không gian
BÀI 01. CHỨNG MINH QUAN HỆ VUÔNG GÓC (PHẦN 01)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 01. Chứng minh quan hệ vuông góc (Phần 01)
thuộc khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương tại website Hocmai.vn. Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước
Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
(Tài liệu dùng chung bài 01+02)
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a. Chứng minh rằng:
S
SB vuông góc SD.
Giải:
+ Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình thoi
nên O là trung điểm của AC và BD
a
1
a
ABC ASC SO BO BD
2
0
BSD 90 SB SD
A
D
a
O
B
C
a
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc mặt phẳng (ABCD). Gọi H, K
lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD.
a. CMR: SC vuông góc mặt phẳng (AHK).
b. Gọi I là giao điểm của SC với mặt phẳng (AHK). CMR: HK vuông góc AI.
Giải:
S
a. Ta có:
AH SB
AH (SBC ) AH SC (1)
AH BC
AK SD
AK (SDC ) AK SC (2)
AK DC
Từ (1) và (2) ta suy ra SC ( AHK )
I
K
b. Ta có:
v SAB v SAD SH SK
SH SK
HK / / BD ( Định lý Ta lét đảo)
SB SD
BD AC
BD (SAC )
BD SA
HK / / BD
HK (SAC ) HK AI
BD (SAC )
H
A
D
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
O
B
C
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Khóa học Toán 12 – Thầy Lê Bá Trần Phương
Chuyên đề 05. Hình học không gian
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD.
a. Chứng minh rằng: SO ( ABCD)
b. I, K lần lượt là trung điểm của BA và BC. Chứng minh rằng IK vuông góc SD.
c. Gọi (P) là mặt phẳng song song với SO chứa IK. Chứng minh BD vuông góc với mặt phẳng (P).
Giải:
S
a. Ta có:
SO AC
SO ( ABCD)
SO BD
b.
IK BD (do AC BD)
IK ( SBD) IK SD
IK SO
c. + Gọi M là giao điểm của SB với mặt phẳng (P),
N là giao điểm của DB với mặt phẳng (P).
SO / /( P ), SO ( SBD )
SO / / MN
( SBD) ( P ) MN
SO BD
MN BD
MN / / SO
M
D
C
K
O
N
A
I
B
BD IK
BD ( P )
BD MN
Bài 4: Cho lặng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’, đáy ABCD là hình bình hành có AB = AD = a và góc
BAD 600 , AA '
a 3
. M, N lần lượt là trung điểm A’D’ và A’B’. Chứng minh rằng:
2
AC ' ( BDMN ).
Giải:
+ Gọi S BN DM M là trung điểm SD, N là trung điểm SB
, A’ là trung điểm SA.
+ Gọi O = AC BD
a 3
AC 2 AO a 3 SA, CC ' AO
2
+ Hai vuông SOA và ACC’ bằng nhau ASO CAC '
+ BAD đều AO
Mà ASO SOA 900 CAC ' SOA 900 AC ' SO
AC ' BD
+
AC ' ( BDMN )
AC ' SO
Bài 5: Tứ diện SABC có SA mp ABC . Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC.
a.
Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) và SAC BHK
b.
Chứng minh HK SBC và SBC BHK .
Giải:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -
- Xem thêm -
.PDF 
53 
1554 
106 
