Tài liệu Chuyên đề hình học không gian ôn thi thpt quốc gia môn toán của thầy đặng việt hùng

Chuyên đề Hình học không gian LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Tài liệu tham khảo: 01. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Thầy Đặng Việt Hùng I. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN 1) Góc giữa hai véc tơ    
   AB = u

≤ 180o.
, với 0o ≤ BAC Giả sử ta có     → u; v = AB; AC = BAC  AC = v 2) Tích vô hướng của hai véc tơ            AB = u
Giả sử ta có     → u.v = AB. AC = AB . AC .cos AB. AC  AC = v Nhận xét:    u = 0 + Khi     → u.v = 0 v = 0    
→ u ; v = 00 + Khi u ↑↑ v     
+ Khi u ↑↓ v  → u; v = 1800    + Khi u ⊥ v ←→ u.v = 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ví dụ 1. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a.  
a) Tính góc giữa hai véc tơ AB; BC . ( ) ( )  
b) Gọi I là trung điểm của AB. Tính góc giữa hai véc tơ CI ; AC . Hướng dẫn giải: a) Sử dụng công thức tính góc giữa hai véc tơ ta được        
AB. BC AB. BC AB. BC cos AB; BC =   = = , (1) . AB.BC a2 AB . BC          Xét AB. BC = AB. BA + AC = AB.BA + AB. AC    
AB.BA = AB.BA.cos AB.BA = a.a.cos1800 = −a 2 Mà     a2
AB. AC = AB. AC.cos AB. AC = a.a.cos 600 = 2 2 2   a a  → AB. BC = −a 2 + =− . 2 2 a2   −   1
→ AB; BC = 1200. (1) ⇔ cos AB; BC = 22 = −  2 a   o Vậy AB; BC = 120 .      
CI . AC CI . AC b) Ta có cos CI ; AC =   = CI . AC CI . AC ( ) ( ) ( ) ( ( ( ) ) ) ( ( ) )     CI . AC a 3
Tứ diện ABCD đều cạnh a, CI là trung tuyến của tam giác đều ABC nên CI =  → cos CI ; AC = 2 , ( 2). 2 a 3 2          Ta có CI . AC = CI . AI + IC = CI . AI + CI . IC     Do ∆ABC đều nên CI ⊥ AI ⇔ CI . AI = 0. ( ( ) ) Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn Chuyên đề Hình học không gian LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng ( )     a 3 a 3   3a 2 3a 2 3a 2
Đồng thời, CI . IC = CI . IC .cos CI ; IC = . .cos1800 = −  → CI . AC = 0 − =− . 2 2 4 4 4 3a 2 −    
3
 → CI ; AC = 1500. Thay vào (2) ta được ( 2 ) ⇔ cos CI ; AC = 2 4 = − 2 a 3 2   0 Vậy CI ; AC = 150 . ( ( ) ( ) ) Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc và SA = SB = SC = a. Gọi M là trung điểm của AB.      a) Biểu diễn các véc tơ SM và BC theo các véc tơ SA; SB; SC .  
b) Tính góc SM ; BC . ( ) Hướng dẫn giải: a) Sử dụng quy tắc trung tuyến và quy tắc trừ hai véc tơ ta      1    SA + SB = 2SM  SM = SA + SB 2 được     ← →     BC = SC − SB  BC = BS + SC        SM . BC SM . BC
b) cos SM ; BC =   = , (1) . SM . BC SM .BC    SA.SB = 0    Mà SA, SB, SC đôi một vuông góc nên  SA.SC = 0     SB.SC = 0 Tam giác SAB và SBC vuông tại S nên theo định lý Pitago ta  BC = a 2  được AB = BC = a 2  → 1 a 2  SM = AB =  2 2   1     1           1 2 a2 .SC . . . Theo câu a, SM .BC = SA + SB . SC − SB =   SA − SA SB + SB SC − SB SB = − SB = −    2 2  0 2 2 0 0  a2   −   SM . BC  
1
2 Thay vào (1) ta được cos SM ; BC = = = −  → SM ; BC = 1200. SM .BC a 2 2 .a 2 2 ( ( ) ) ( )( ( ) ) ( ) II. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 1) Khái niệm véc tơ chỉ phương của đường thẳng   Một véc tơ u ≠ 0 mà có phương song song hoặc trùng với d được gọi là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d. 2) Góc giữa hai đường thẳng
Khái niệm: Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng a′; b′ lần lượt song song với a; b. Kí hiệu (
a;b ). a// a ′ Từ định nghĩa ta có sơ đồ   → (
a;b ) = (
a ′;b′ ) ′ b// b 
Nhận xét:    
+ Giả sử a, b có véc tơ chỉ phương tương ứng là u; v và u; v = φ. ( ) Khi đó, a; b ) = φ ; 0o ≤ φ ≤ 90o (
a; b ) = 180o − φ ; 90o < φ ≤ 180o (
+ Nếu a // b hoặc a ≡ b thì (
a; b ) = 0o. Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn Chuyên đề Hình học không gian LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng
Các xác định góc giữa hai đường thẳng: Phương án 1 (sử dụng định nghĩa) a ′// a Tạo ra các đường   → (
a, b ) = (
a ′, b′ ) ′ b // b  Phương án 2 - Lấy một điểm O bất kì thuộc a - Qua O, dựng đường ∆ // b  → (
a, b ) = (
a, ∆ ) Chú ý: Các phương pháp tính toán góc giữa hai đường thẳng:
Nếu góc thuộc tam giác vuông thì dùng các công thức tính toán trong tam giác vuông: sin, cosin, tan, cot.
Nếu góc thuộc tam giác thường thì sử dụng định lý hàm số cosin trong tam giác ABC: a 2 = b 2 + c 2 − 2bc cos A  → cos A = b2 + c 2 − a 2 . 2bc Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, các tam giác SAB, SAD, SAC là các tam giác vuông tại A. Biết SA = a 3; AB = a; AD = 3a . Tính góc giữa các đường thẳng sau: a) SD và BC. b) SB và CD. c) SC và BD. Hướng dẫn giải: a) Tính góc giữa SD và BC Để xác định góc giữa hai đường thẳng SD và BC ta sử dụng phương án 2, tìm đường thẳng song song với một trong hai đường thẳng SD, BC và song song với một đường còn lại. Ta dễ nhận thấy AD // BC.
SDA Khi đó (
SD; BC ) = (
SD; AD ) =  o
180 − SDA
= Xét ∆SAD: tan SDA SA 3
= 30o. =  → SDA AD 3 Vậy (
SD; BC ) = 30o. b) Tính góc giữa SB và CD
SBA Tương tự, CD//AB  → (
SB;CD ) = (
SB;AB ) = 
180o − SBA
= SA = 3 
= 60o. Xét ∆SAB: tanSBA → SDA AB V ậy
SB;CD = 60o. ( ) c) Tính góc giữa SC và BD Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD, I là trung điểm của SA.
 IOB Trong ∆SAC có OI // SC  → (
SC; BD ) = (
OI; BD ) =  o
180 − IOB 2 a 3 a 7 2
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABI: IB = IA + AB =   + a = 2  2  2 2
ABCD là hình chữ nhật nên BD = AB2 + AD 2 = a 2 + 9a 2 = a 10  → OB = 2 a 10 = OA 2 2  a 3   a 10  a 13
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông ABO: IO = IA + AO =   +   = 2  2   2  2 Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! 2 www.moon.vn Chuyên đề Hình học không gian LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng 13a 2 10a 2 7a 2 + − 4 4 = 8
= OI + OB − IB = 4 Khi đó, theo định lý hàm số cosin cho ∆IOB ta được: cos IOB 2.OI.OB a 13 a 10 130 2. . 2 2
= arccos  8  = (
 → IOB   SC;BD ).  130  2 2 2  8  Vậy (
SC;BD ) = arccos  .  130  Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD, gọi M, N là trung điểm của BC, AD. Biết AB = CD = 2a , MN = a 3 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD. Hướng dẫn giải: Do AB và CD là các cạnh của tứ diện nên chúng chéo nhau, để xác định góc giữa hai đường thẳng AB và CD ta tạo các đường thẳng tương ứng song song với AB, CD và chúng cắt nhau. Gọi P là trung điểm của AC, khi đó MP // AB, NP // CD
 MPN  → (
AB,CD ) = (
MP, NP ) = 
180o − MPN Do MP, NP là các đường trung bình nên ta có MP = NP = a. Áp dụng định lý hàm số cosin trong ∆MPN ta được 2 2 2 2 2
= MP + NP − MN = 2a − 3a = − 1 cos MPN 2MP.NP 2.a.a 2
= 120o ⇔ (
 → MPN MP, NP ) = 60o Vậy (
AB,CD ) = 60o. Nhận xét: Ngoài việc khởi tạo P như trên ta cũng có thể lấy điểm P là trung điểm của BD, cách giải khi đó cũng tương tự. Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D, AD = DC = a, AB = 2a. SA vuông góc với 2 3a AB và AD, SA = . Tính góc của 2 đường thẳng 3 a) DC và SB. b) SD và BC. Hướng dẫn giải: Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn Chuyên đề Hình học không gian LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng a) Do DC // AB  → (
DC,SB ) = (
AB,SB ) = α 2a 3 SA 3 = 3 =  → α = 30o Tam giác SAB vuông tại A nên α là góc nhọn, khi đó tan α = AB 2a 3 Vậy góc giữa hai đường thẳng DC và SB bằng 30o. b) Gọi I là trung điểm của AB, khi đó AI = a. Tứ giác ADCI là hình bình hành (do AI // DC), có AI = AD = a nên là hình thoi. Lại có góc A, D vuông nên ADCI là hình vuông cạnh a  → DI = a 2. mặt khác, tứ giác BIDC là hình bình hành (do cặp cạnh DC và BI song song và bằng nhau) nên BC // DI. Khi đó,
SD, BC =
SD, DI = β . ( ) ( ) 2  2a 3  7a 2 2 Tam giác SAI vuông tại A nên SI = SA + AI =   + a = 3  3  2 2 2 2  2a 3  7a 2 2 Tam giác SAD vuông tại A nên SD = SA + AD =   + a = 3  3  2 2 2 2 2 2
= SD + DI − SI = Áp dụng định lý hàm số cosin trong tam giác SDI ta được cosSDI 2SD.DI 2a 2 3 = a 21 42 2. .a 2 3
> 0 nên góc SDI là góc nhọn 
= arccos  3  . Do cosSDI → β = SDI    42  BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, gọi I là trung điểm cạnh AD. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CI.  3 Đ/s: (
AB; CI ) = arccos   .  6   Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, AD và AC. Biết AB = 2a, CD = 2a 2, MN = a 5. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.  
 Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = a 2. Tính góc giữa SC , AB , từ đó suy ra góc ( ) giữa SC và AB. III. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau nếu (
a; b ) = 90o ← → a ⊥ b. Chú ý: Các phương pháp chứng minh a ⊥ b:
Chứng minh (
a; b ) = 90o 
Chứng minh hai véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng vuông góc với nhau, u.v = 0.
Chứng minh hai đường thẳng có quan hệ theo định lý Pitago, trung tuyến tam giác cân, đều...
= 60o ,
Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD trong đó AB = AC = AD = a, BAC BAD = 60o ,
CAD = 90o . Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) Chứng minh rằng IJ vuông góc với cả hai đường AB và CD. b) Tính độ dài IJ. Hướng dẫn giải: Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian a) Từ giả thiết ta dễ dàng suy ra tam giác ABC, ABD đều, ∆ACD vuông cân tại A. Từ đó BC = BD = a,CD = a 2 →∆BCD vuông cân tại B.
Chứng minh IJ vuông góc với AB Do các ∆ACD, ∆BCD vuông cân tại A, B nên 1  AJ = 2 CD  → AJ = BJ ⇔ IJ ⊥ AB.  BJ = 1 CD  2
Chứng minh IJ vuông góc với CD Do các ∆ACD, ∆BCD đều nên CI = DI → IJ ⊥CD. b) Áp dụng định lý Pitago cho ∆AIJ vuông tại I ta được 2  a 2  a2 a IJ = AJ − AI =  =  − 4 2  2  Vậy IJ = a/2. 2 2
= BSC
= CSA.
Ví dụ 2. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và ASB Chứng minh rằng SA ⊥ BC, SB ⊥ AC, SC ⊥ AB. Hướng dẫn giải:
Chứng minh: SA ⊥ BC.          Xét SA.BC = SA. SC − SB = SA.SC − SA.SB    
SA.SC = SA.SC.cos SA;SC    
          Mà SA.SB = SA.SB.cos SA;SB  → SA.SC = SA.SB ⇔ SA.SC − SA.SB = 0 ← → SA.BC = 0 ⇔ SA ⊥ BC SA = SB = SC
= BSC
= CSA
ASB ( ) ( ( ) ) Chứng minh tương tự ta cũng được SB ⊥ AC, SC ⊥ AB Ví dụ 3. Cho tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD. a) Chứng minh AO vuông góc với CD. b) Gọi M là trung điểm của CD. Tính góc giữa
BC và AM.
AC và BM. Hướng dẫn giải: a) Sử dụng phương pháp dùng tích vô hướng Gọi M là trung điểm của CD. Ta có          AO.CD = AM + MO .CD = AM.CD + MO.CD ( ) Do ABCD là tứ diện đều nên AM ⊥ CD và O là tâm đáy (hay O là giao điểm của ba đường cao). Khi đó     AM ⊥ CD AM.CD = 0 ⇔     → AO.CD = 0 ⇔ AO ⊥ CD.  MO ⊥ CD MO.CD = 0 b) Xác định góc giữa BC và AM; AC và BM
Xác định góc giữa BC và AM: Gọi I là trung điểm của BD → MI // BC.
 AMI Từ đó (
BC;AM ) = (
MI; AM ) = 
180 − AMI Áp dụng định lý hàm số cosin trong ∆AMI ta được 2 2 2
= AM + MI − AI , (1) . cos AMI 2.AM.MI a 3 Các ∆ABD, ∆ACD đều, có cạnh a nên AI = AM = . 2 Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian MI là đường trung bình nên MI = a/2. 2 2 2 a 3a 3a + −  1  4 4 = 1 
= 4
= arccos  1  ⇔ (
Từ đó (1) ⇔ cos AMI → AMI BC; AM ) = arccos    . a a 3 2 3 2 3 2 3 2. . 2 2
Xác định góc giữa BC và AM: Gọi J là trung điểm của AD → MJ // AC.
 BMJ Khi đó (
AC;BM ) = (
MJ; BM ) = 
180 − BMJ a 3 Các tam giác ABD, BCD là các tam giác đều cạnh a, nên các trung tuyến tương ứng BJ = BM = 2 1  
= BMJ
= arccos Do đó, ∆AIM = ∆BJM  → AMI  . 2 3  1  Vậy (
AC;BM ) = arccos  . 2 3       Ví dụ 4. Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ cạnh a. Đặt AB = a, AD = b, AA′ = c. a) Tính góc giữa các đường thẳng: (
AB,B′C′ ); (
AC,B′C′ ); (
A′C′,B′C ).      b) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và I là một điểm sao cho OI = OA + OA′ + OB + OB′ +     + OC + OC′ + OD + OD′. Tính khoảng cách từ O đến I theo a.      c) Phân tích hai véc tơ AC′, BD theo ba véc tơ a, b, c. Từ đó, chứng tỏ rằng AC′′ và BD vuông góc với nhau. d) Trên cạnh DC và BB′′ lấy hai điểm tương ứng M, N sao cho DM = BN = x (với 0 < x < a). Chứng minh rằng AC′′ vuông góc với MN. Hướng dẫn giải: Nhận xét: Để làm tốt các bài toán liên quan đến hình lập phương ta cần nhớ một số tính chất cơ bản của hình lập phương:
Tất cả các đường chéo ở các mặt của hình lập phương đều bằng nhau và bằng a 2 (nếu hình lập phương cạnh a).
Các đoạn thẳng tạo bởi các kích thước của hình lập phương luôn vuông góc với nhau (dài, rộng, cao). a) Tính góc giữa: (
AB,B′C′ ); (
AC,B′C′ ); (
A′C′,B′C ).
Tính
AB, B′C′ : ( ) Do B′C′//BC  AB, B′C′ ) = (
AB, BC ) = 90o. → (

Tính
AC, B′C′ : ( )
 ACB Do B′C′//BC  → (
AC, B′C′ ) = (
AC,BC ) =  o
180 − ACB
= 45o ⇔ (
ABCD là hình vuông nên ∆ABC là tam giác vuông cân tại B  → ACB AC, B′C′ ) = 45o.
Tính
A′C′, B′C : ( )
′  ACB Do A′C′//AC  → (
A′C′, B′C ) = (
AC, B′C ) =  o
180 − ACB′ Xét trong tam giác ACB′ có AC = B′C = AB′ (do đều là các đường chéo ở các mặt hình vuông của hình lập phương).
′ = 60o ⇔
→ ACB A′C′, B′C = 60o. Do đó ∆ACB′ đều  ( ) b) Tính độ dài OI theo a. Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian         OA + OC = 0 Với O là tâm của hình vuông ABCD thì      → OA + OC + OB + OD = 0 OB + OD = 0      Khi đó OI = OA′ + OB′ + OC′ + OD′      OA′ + OC′ = 2OO′ Gọi O′ là tâm của đáy A′B′C′D′, theo quy tắc trung tuyến ta có    → OI = 4OO′   OB′ + OD′ = 2OO′ Khoảng cách từ O đến I chính là độ dài véc tơ OI, từ đó ta được OI = 4OO′ = 4a.      c) Phân tích hai véc tơ AC′, BD theo ba véc tơ a, b, c.  a.b = 0    Theo tính chất của hình lập phương ta dễ dàng có a.c = 0   b.c = 0        AC′ = AB + BC + CC′ = a + b + c
Phân tích:      BD = BA + AD = b − a
Chứng minh AC′ vuông góc với BD.           2    2      2  2   2 2 Xét AC′.BD = a + b + c . b − a = a.b  + b + c.b  − a − a.b  − c.a  = b − a = AD − AB = 0 ⇔ AC′.BD ⇔ AC′ ⊥ BD. ( )( ) 0 0 0 0 d) Chứng minh rằng AC′ vuông góc với MN.     MN = MC + CB + BN Ta có phân tích:     AC′ = AB + BC + CC′                          → MN.AC′ = MC + CB + BN . AB + BC + CC′ =  MC.AB + MC.BC    + MC.CC   ′  +  CB.AB  + CB.BC + CB.CC   ′  + 0 0 0    0                +  BN.AB    + BN.BC    + BN.CC′  = MC.AB + CB.BC + BN.CC′ 0  0    o MC.AB = MC.AB.cos0 = ( a − x ) a     Mà CB.BC = CB.BC.cos180o = −a 2  → MN.AC′ = ( a − x ) a − a 2 + ax = 0 ⇔ MN ⊥ AC′.   BN.CC′ = BN.CC′.cos0o = ax ( )( ) BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật với AB = a; AD = a 3 , SA = 2a và vuông góc với đáy. Tính góc giữa các đường thẳng sau: a) SB và CD b) SD và BC c) SB và AC d) SC và BD Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, hình chiếu vuông góc của S xuống mặt đáy là trung điểm H của AB, biết SH = a 3. Gọi I là trung điểm của SD. Tính góc giữa các đường thẳng: a) SC và AB b) SD và BC c) CI và AB d) BD và CI Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, B với AB = 3a, AD = 2a, DC = a. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABCD) là H thuộc AB với AH = 2HB, biết SH = 2a. Tính góc giữa a) SB và CD b) SB và AC Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn Chuyên đề Hình học không gian LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Tài liệu bài giảng: MẶT CẦU KHÔNG GIAN – P1 Thầy Đặng Việt Hùng Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD, có đường cao SA = 2a 3 đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh 2a. a) Chứng minh rằng: (SCD)⊥(SAD). b) Tính khoảng cách từ O và từ A tới mặt phẳng (SCD). c) Tính tan của góc giữa SB và (SAC). d) Xác định tâm, bán kính, và tính diện diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC, có đường cao SA, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a; AC = a 3 . Biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng a 3 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và thể tích khối 4 cầu ngoại tiếp khối chóp. Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, có đường cao SA, đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2a; AD = 2a 3 . Gọi O là tâm đáy, biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD bằng a 3 . 2 a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD. Ví dụ 4: Hình chóp S.ABC có đường cao SA = a, đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Ví dụ 5: Cho hình chóp từ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và góc hợp bởi mặt bên và đáy bằng 600. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Ví dụ 6: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh là a. a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó. Ví dụ 7: Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy là a, cạnh bên hợp với mặt đáy một góc 600. a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu đó. Ví dụ 8: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua năm điểm S, A, B, C, D. Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD ) và SA = a 3 . Gọi O là tâm hình vuông ABCD và K là hình chiếu của B trên SC. a) Chúng minh ba điểm O, A, K cùng nhìn đoạn SB dưới một góc vuông. Suy ra năm điểm S, D, A, K B cùng nằm trên mặt cầu đường kính SB. b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu nói trên. Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn Facebook: LyHung95 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và SA ⊥ (ABC ) . a) Gọi O là trung điểm của SC. Chứng minh: OA = OB = OC = SO. Suy ra bốn điểm A, B, C, S cùng nằm trên mặt cầu tâm O bán kính R = SC . 2 b) Cho SA = BC = a và AB = a 2 . Tính bán kính mặt cầu nói trên. Ví dụ 11: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và tam giác ABC vuông tại B. Gọi AH, AK lần lượt là các đường cao của các tam giác SAB và SAC. a) Chứng minh rằng năm điểm A, B, C, H, K cùng ở trên một mặt cầu. b) Cho AB = 10, BC = 24. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu đó. Ví dụ 12: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA = a 7 và SA ⊥ (ABCD). Một mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD lần lượt tại H, M, K. a) Chứng minh rằng bảy điểm A, B, C, D, H, M, K cùng ở trên một mặt cầu. b) Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu đó. Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn Facebook: LyHung95 Chuyên đề Hình học không gian LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN Tài liệu bài giảng: MẶT CẦU KHÔNG GIAN – P2 Thầy Đặng Việt Hùng Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng ABCD là trung điểm H của AB, đường trung tuyến AM của ∆ACD có độ dài a 3 , góc giữa 2 hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng 300. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
= 600 , AB = 4, AC = 5. Góc giữa SA và Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC biết SA = SB = SC, ∆ABC có BAC (ABC) bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC và tìm tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp theo a. Ví dụ 3: Cho tứ diện SABC có SA ⊥ (ABC), SA = a, AB = b, AC = c. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện trong các trường hợp sau:
= 900 a) BAC
= 600 , b = c b) BAC
= 1200 , b = c. c) BAC Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a; AD = a 3 . Gọi O là tâm đáy, biết hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm của tam giác ABC; khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAD) bằng a . 2 a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD. Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD, biết AB = BC = AC = BD = a, AD = b. Hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) vuông góc với nhau. a) Chứng minh tam giác ACD vuông. b) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Đ/s: R = a2 3a 2 − b 2 Ví dụ 6: Trong mặt phẳng (P), cho hình thang cân ABCD với AB = 2a, BC = CD = DA = a. Trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với (P) ta lấy một điêm di động S. Một mặt phẳng qua A vuông góc với SB, cắt SB, SC, SD lần lượt tại P, Q, R. a) Chứng minh rằng bảy điểm A, B, C, D, P, Q, R luôn thuộc một mặt cầu cố định. tính diện tích của mặt cầu đó. b) Cho SA = a 3 . Tính diện tích của tứ giác APQR. Ví dụ 7: Cho hình chp S.ABC có đáy là tam giác ABC biết AB =5a ; BC =4a và CA = 3a..Trên đương vuông góc với (ABC) dựng từ A lấy một điểm S sao cho (SBC) tạo với đáy góc 450 . Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chop trên.
= 1200 và đường cao AH = a 2 . Trên đường thẳng ∆ ⊥ (ABC) tại Ví dụ 8: Cho ∆ ABC cân có BAC Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn Facebook: LyHung95 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN Chuyên đề Hình học không gian A ta lấy 2 điểm I, J ở 2 bên điểm A sao cho IBC là tam giác đều và JBC là tam giác vuông cân. a) Tính các cạnh của ∆ABC b) Tính AI, AJ và CM các tam giác BIJ, CIJ là các tam giác vuông cân c) Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp các tứ diện IJBC, IABC Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn ( R = 2a 3) Facebook: LyHung95 Chuyên đề Hình học không gian LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN Tài liệu bài giảng: MẶT CẦU KHÔNG GIAN – P3 Thầy Đặng Việt Hùng Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác ABC vuông tại A, AB = a; AA ' = a 3;
ABC = 600 . Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối lăng trụ đã cho. Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh ạ, góc BAD bằng 600 và SA = SB = SD. Xác
= 900. định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SBCD biết BSD Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB // CD, AB = 2a; BC = CD = DA = a, SA = SB = SC = SD; d ( AB; SC ) = a 2 . Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho. 2 Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD có các mặt phẳng (ABC) và (BCD) vuông góc với nhau. Biết
= 600 ; BDC
= 300 . Tính bán kính và thể tích khối cầu ngoại tiếp ABCD. BC = a; BAC Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có các mặt phẳng (ABC) và (SBC) vuông góc với nhau. Biết AB = AC = SA = SB = a; SC = x . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho theo a và x. Đ/s: R = a2 3a 2 − x 2 Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a; AD = 2a 6 , mặt phẳng (SAB) 3 vuông góc với đáy và SA = SB = a. Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối S.ABD theo a. Đ/s: R = a BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông và AB = BC = a. Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 450. Gọi M là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. Tính thể tích khối đa diện M.ABC theo a. Bài 2: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ nội tiếp trong hình trụ có bán kính đáy r; góc giữa BC’ và trục của hình trụ bằng 300; đáy ABC là tam giác cân đỉnh B có
ABC = 1200 . Gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của BC, A’C và AB. Tính theo r thể tích khối chóp A’.KEF và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện FKBE. Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 , góc BAD bằng 600, ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) , gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và BC. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và cosin giữa hai đường thẳng SM và DN. Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật ; tam giác SAB vuông cân tại S. Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB, các mặt phẳng (SHC), (SHD), (ABCD) đôi một vuông góc. Biết SC = a 3 , tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. Tính góc hợp bởi hai mặt phẳng (SAD) và (SDC). Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn Facebook: LyHung95 – Fanpage: Hungdv95 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN Chuyên đề Hình học không gian
= 1200 , Bài 5: Cho lăng trụ đứng ABC . A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a , góc BAC cạnh bên BB ' = a . Gọi I là trung điểm của CC ' . Chứng minh tam giác AB ' I vuông tại A và tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng ( ABC ) và ( AB ' I ) Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = a 3 , khoảng cách từ A
= SCB
= 900 . Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và góc giữa đến mặt phẳng (SBC) bằng a 2 và SAB đường thẳng SB với mặt phẳng (ABC). Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn Facebook: LyHung95 – Fanpage: Hungdv95 Chuyên đề Hình học không gian LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Tài liệu bài giảng: 02. LUYỆN TẬP VỀ TÍNH GÓC Thầy Đặng Việt Hùng Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Biết SA vuông góc với (ABCD), AB = BC = a; AD = 2a, SA = a 3. Tính góc giữa a) (SB; CD) b) (SC; AB) c) (SD; BC) d) (SB; CK), với K là điểm thuộc đoạn AB sao cho BK = 2KA. Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống 1 2 (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB với AH = HB. Biết AB = 2a; AD = a 3; SH = a 2. Tính góc giữa a) (SD; BC) b) (SB; CD) c) (SA; HC) BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy. Biết SA = a; AB = a; BC = a 2. Gọi I là trung điểm của BC. a) Tính góc giữa hai đường thẳng (AI; SC) b) Gọi J là trung điểm của SB, N là điểm trên đoạn AB sao cho AN = 2NB. Tính góc giữa hai đường AC và JN. Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a; AD = a 3. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống (ABCD) là trung điểm H của OD, biết SH = 2a. Tính góc giữa a) (SB; CD) b) (AC; SD) Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a 3 . Hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AB với AH = 1 AB; SH = a 2. Tính góc giữa 4 a) (SD; BC) b) (SB; AC) c) (SA; BD) d) (SC; BD) Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của BC. Hình chiếu





  vuông góc của S xuống mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc AI với HI + 2 HA = 0 và SH = a 3. a) Tính góc giữa hai đường thẳng (SA; BC) b) Tính góc giữa hai đường thẳng (AB; SI) Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống (ABCD) là điểm H thuộc cạnh AC với AH = 1 AC ; SH = 2a. Tính góc giữa 4 a) (SA; CD) b) (SC; BD) c) (SB; AD) d) (SA; BD) Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S xuống (ABCD) là trung điểm H của AB. Biết SH = a 3. Tính góc giữa a) (SA; BC) b) (SB; CD) c) (SA; CD) d) (SB; MN), với M và N là trung điểm của BC; CD. e) (SC; MN), với M, N như trên. Bài 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S xuống (ABC) là điểm H thuộc AB sao cho AH = 1 a2 3 AB. Biết diện tích tam giác SAB bằng . Tính góc giữa 3 2 a) (SA; BC) b) (SB; AC) Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn Chuyên đề Hình học không gian LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Tài liệu bài giảng: MẶT TRỤ - KHỐI TRỤ Thầy Đặng Việt Hùng Ví dụ 1: Một hình trụ có bán kính đáy bằng R và thiết diện qua trục là một hình vuông. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ b) Tính thể tích của khối trụ Hướng dẫn giải: a) * Sxq = 2πRl = 2π.OA.AA’ = 2π.R.2R = 4 π R2 B * OA = R; AA’ = 2R O A * Stp = Sxq + 2Sđáy = 4 π R2 + π R2 = 5 π R2 h l b) V = πR 2 h = π.OA 2 .OO′ = π.R 2 .2R = 2πR 3 B' O' A' Ví dụ 2: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5 cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7 cm. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ b) Tính thể tích của khối trụ c) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3 cm. Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên Hướng dẫn giải: a) Ta có Sxq = 2πRl = 2π.OA.AA’ = 2 π .5.7 = 70π (cm2) B O r * Stp = Sxq + 2Sđáy = 70π + 50π = 120π (cm2) I b) V = πR 2 h = π.OA 2 .OO′ = π.52.7 = 175π (cm3) A l * OA = 5cm; AA’ = 7cm c) Gọi I là trung điểm của AB ⇒ OI = 3 cm h * SABB′A′ = AB.AA’ = 8.7 = 56 (cm2) (hình chữ nhật) O' B' A' * AA’ = 7 * Tính: AB = 2AI = 2.4 = 8 * Tính: AI = 4 (cm) (do tam giác OAI vuông tại I) Ví dụ 3: Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = r 3 a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ b) Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho c) Cho hai điểm A và B lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng 300. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ Hướng dẫn giải: Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95 Chuyên đề Hình học không gian LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng a) * Sxq = 2 π Rl = 2 π .OA.AA’ = 2 π .r. r 3 = 2 3 π r2 * Stp = Sxq + 2Sđáy = 2 π r2 3 + 2 π r2 = 2 ( 3 + 1) π r2 b) * V = πR h = π.OA .OO′ = π.r .r 3 = πr 2 A r 2 2 O 3 3 ∧ c) * OO’//AA’ ⇒ BA A′ = 300 * Kẻ O’H ⊥ A’B ⇒ O’H là khoảng cách giữa đường thẳng AB r3 A' O' H và trục OO’ của hình trụ * Tính: O’H = r 3 (vì ∆ BA’O’ đều cạnh r) 2 * C/m: ∆ BA’O’ đều cạnh r B * Tính: A’B = A’O’ = BO’ = r * Tính: A’B = r (do tam giác AA’B vuông tại A’) ’ Cách khác: Tính O H = O′A′2 − A′H 2 = ( ∆ ∨ A’O’H tại H). Tính: A’H = r2 r 3 r − = 4 2 2 A′B r = 2 2 Tính: A’B = r (do tam giác AA’B vuông tại A’) Ví dụ 4: Cho một hình trụ có hai đáy là hai đường tròn tâm O và O’, bán kính R, chiều cao hình trụ là R 2. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ b) Tính thể tích của khối trụ Hướng dẫn giải: A R a) * Sxq = 2πRl = 2π.OA.AA’ = 2 π .R. R 2 = 2 2 π R2 O * Stp = Sxq + 2Sđáy = 2 2 π R2 + 2 π R2 = 2 ( 2 + 1) π R2 b) * V = πR 2 h = π.OA 2 .OO′ = π.R 2 .R 2 = πR3 2 R2 A' O' Ví dụ 5: Một hình trụ có bán kính đáy bằng 50 cm và có chiều cao h = 50 cm. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ b) Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho c) Một đoạn thẳng có chiều dài 100 cm và có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy. Tính khoảng cách từ đoạn thẳng đó đến trục hình trụ Đ/s: a) Sxq = 2πRl = 5000 π (cm2) Stp = Sxq + 2Sđáy = 5000π + 5000π = 10000π (cm2) b) * V = πR 2 h = 125000π (cm3) c) * O’H = 25 (cm) Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95 Chuyên đề Hình học không gian LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bµi 1: Cho h×nh trô cã b¸n kÝnh ®¸y b»ng R, thiÕt diÖn qua trôc cña h×nh trô lµ h×nh vu«ng. a) TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn qua trôc. b) TÝnh diÖn tÝch toµn phÇn vµ thÓ tÝch cña trô. c) TÝnh diÖn tÝch vµ thÓ tÝch h×nh cÇu ngo¹i tiÕp h×nh trô. Bµi 2: Cho l¨ng trô ®øng ABCD.A’B’C’D’ cã ®¸y ABCD lµ h×nh thang c©n víi ®¸y nhá AB = a, ®¸y lín CD = 4a, c¹nh bªn b»ng 5a ; chiÒu cao h×nh l¨ng trô b»ng h. 2 a) Chøng minh cã h×nh trô néi tiÕp h×nh l¨ng trô ®· cho. b) TÝnh diÖn tÝch toµn phÇn vµ thÓ tÝch h×nh trô ®ã. Bµi 3: Mét h×nh trô cã thiÕt diÖn qua trôc lµ h×nh vu«ng, diÖn tÝch xung quanh b»ng 4π . a) TÝnh diÖn tÝch toµn phÇn cña h×nh trô. b) TÝnh thÓ tÝch khèi trô. c) TÝnh thÓ tÝch khèi cÇu ngo¹i tiÕp h×nh trô. Bµi 4: Cho h×nh trô cã trôc O1O2. Mét mÆt ph¼ng (α ) song song víi trôc O1O2 c¾t h×nh trô theo thiÕt diÖn lµ h×nh ch÷ nhËt ABCD. Gäi O lµ t©m cña thiÕt diÖn ®ã. TÝnh gãc O1OO2 biÕt b¸n kÝnh ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ABCD b»ng b¸n kÝnh ®−êng trßn ®¸y cña h×nh trô. Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95 LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hình học không gian Tài liệu bài giảng: 03. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG – P1 Thầy Đặng Việt Hùng DẠNG 1. CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
Đường thẳng song song với mặt phẳng: Một đường thẳng song song với một mặt phẳng khi nó song song với một đường thẳng bất kì thuộc mặt phẳng. a ⊂ ( P ) Viết dạng mệnh đề: d // ( P ) ⇔  d //a
Tính chất giao tuyến song song: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) chứa hai đường thẳng a, b song song với nhau, thì giao tuyến nếu có của hai mặt phẳng phải song song với a và b. Viết dạng mệnh đề: a ⊂ ( P ) ; b ⊂ ( Q ) ; ( P ) ∩ ( Q ) = ∆  → ∆ // a // b  a // b
Tính chất để dựng thiết diện song song: Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (P); một mặt phẳng (Q) chứa a, cắt (P) theo giao tuyến ∆ thì ∆ phải song song với a. a // ( P )   → ∆ // a Viết dạng mệnh đề: a ⊂ ( Q )  ( P ) ∩ ( Q ) = ∆
Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: + Định nghĩa: Đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) khi nó vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong ∀a ⊂ ( P ) (P). Viết dạng mệnh đề: d ⊥ ( P ) ⇔  d ⊥ a + Hệ quả 1: Để chứng minh đường thẳng d vuông góc với (P) ta chỉ cần chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (P). + Hệ quả 2: Nếu hai đường thẳng phân biệt d1; d2 cùng vuông góc với (P) thì d1 // d2. + Hệ quả 3: Nếu hai mặt phẳng (P1); (P2) cùng vuông góc với đường thẳng d thì (P1) // (P2). + Hệ quả 4: Nếu đường thẳng d cùng vuông góc với một đường thẳng a và một mặt phẳng (P) thì khi đó đường thẳng a hoặc song song với (P) hoặc nằm trong (P). Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán! www.moon.vn