Tài liệu Chuyên đề hình học không gian lớp 11

Chuyên đề hình học không gian lớp 11 β b BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN 11 Dạng 1 : Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β) Phương pháp : • Tìm hai điểm chung phân biệt của hai mặt phẳng (α) và (β) α • Đường thẳng đi qua hai điểm chung ấy là giao tuyến cần tìm Chú ý : Để tìm chung của (α) và (β) thường tìm 2 đường thẳng đồng phẳng lần lượt nằm trong hai mp giao điểm nếu có của hai đường thẳng này là điểm chung của hai mặt phẳng a A Bài tập : 1. Trong mặt phẳng ( α ) cho tứ giác ABCD có các cặp cạnh đối không song song và điểm S ∉ (α ) . a. Xác định giao tuyến của (SAC ) và (SBD) S b. Xác định giao tuyến của (SAB) và (SCD) c. Xác định giao tuyến của (SAD) và (SBC) Giải a. Xác định giao tuyến của (SAC) và (SBD) Ta có : S là điểm chung của (SAC) và (SBD) C Trong (α), gọi O = AC ∩ BD • O ∈ AC mà AC ⊂ (SAC) ⇒ O ∈ (SAC) A J • O ∈ BD mà BD ⊂ (SBD) ⇒ O ∈ (SBD) k ⇒ O là điểm chung của (SAC) và (SBD) O Vậy : SO là giao tuyến của (SAC) và (SBD) B b. Xác định giao tuyến của (SAB) và (SCD) D Ta có: S là điểm chung của (SAC) và (SBD) Trong (α) , AB không song song với CD Gọi I = AB ∩ CD I • I ∈ AB mà AB ⊂ (SAB) ⇒ I ∈ (SAB) • I ∈ CD mà CD ⊂ (SCD) ⇒ I ∈ (SCD) ⇒ I là điểm chung của (SAB) và (SCD) A Vậy : SI là giao tuyến của (SAB) và (SCD) c. Tương tự câu a, b 2. Cho bốn điểm A,B,C,D không cùng thuộc một mặt phẳng . M Trên các đoạn thẳng AB, AC, BD P D lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho MN không song B song với BC. Tìm giao tuyến của ( BCD) và ( MNP) Giải N • P ∈ BD mà BD ⊂ ( BCD) ⇒ P ∈ ( BCD) • P ∈ ( MNP) C ⇒ P là điểm chung của ( BCD) và ( MNP) E Trong mp (ABC) , gọi E = MN ∩ BC • E ∈ BC mà BC ⊂ ( BCD) ⇒ E ∈ ( BCD) • E ∈ MN mà MN ⊂ ( MNP) ⇒ E ∈ ( MNP) ⇒ E là điểm chung của ( BCD) và ( MNP) Trang 1 Chuyên đề hình học không gian lớp 11 Vậy : PE là giao tuyến của ( BCD) và ( MNP) 3. Cho tam giác ABC và một điểm S không thuộc mp (ABC ) , một điểm I thuộc đoạn SA . Một đường thẳng a không song song với AC cắt các cạnh AB, BC theo thứ tự tại J , K. Tìm giao tuyến của các cặp mp sau : S a. mp ( I,a) và mp (SAC ) b. mp ( I,a) và mp (SAB ) I c. mp ( I,a) và mp (SBC ) L O Giải B a. Tìm giao tuyến của mp ( I,a) với mp (SAC ) : Ta có:• I∈ SA mà SA ⊂ (SAC ) ⇒ I ∈ (SAC ) J • I∈( I,a) ⇒ I là điểm chung của hai mp ( I,a) và (SAC ) Trong (ABC ), a không song song với AC Gọi O = a ∩ AC • O ∈ AC mà AC ⊂ (SAC ) ⇒ O ∈ (SAC ) • O ∈ ( I,a) ⇒ O là điểm chung của hai mp ( I,a) và (SAC ) Vậy : IO là giao tuyến của hai mp ( I,a) và (SAC ) b. Tìm giao tuyến của mp ( I,a) với mp (SAB) : là JI c. Tìm giao tuyến của mp ( I,a) với mp (SBC ) Ta có : K là điểm chung của hai mp ( I,a) và mp (SBC ) Trong mp (SAC) , gọi L = IO ∩ SC • L ∈ SC mà SC ⊂ (SBC ) ⇒ L ∈ (SBC ) • L ∈ IO mà IO ⊂ ( I,a) ⇒ L ∈ ( I,a ) ⇒ L là điểm chung của hai mp ( I,a) và (SBC ) Vậy: KL là giao tuyến của hai mp ( I,a) và (SBC ) 4. Cho bốn điểm A ,B ,C , D không cùng nằm trong một mp A a. Chứng minh AB và CD chéo nhau b. Trên các đoạn thẳng AB và CD lần lượt lấy các điểm M, N sao cho đường thẳng MN cắt đường M thẳng BD tại I . Hỏi điểm I thuộc những mp nào . Xđ giao tuyến của hai mp (CMN) và ( BCD) Giải a. Chứng minh AB và CD chéo nhau : B Giả sử AB và CD không chéo nhau Do đó có mp (α) chứa AB và CD ⇒ A ,B ,C , D nằm trong mp (α) mâu thuẩn giả thuyết C Vậy : AB và CD chéo nhau b. Điểm I thuộc những mp : • I ∈ MN mà MN ⊂ (ABD ) ⇒ I ∈ (ABD ) • I ∈ MN mà MN ⊂ (CMN ) ⇒ I ∈ (CMN ) • I ∈ BD mà BD ⊂ (BCD ) ⇒ I ∈ (BCD ) Xđ giao tuyến của hai mp (CMN) và ( BCD) là CI Trang 2 C K A N D I Chuyên đề hình học không gian lớp 11 5. Cho tam giác ABC nằm trong mp ( P) và a là mộtđường thẳng nằm trong mp ( P) và không song song với AB và AC . S là một điểm ở ngoài mặt phẳngS( P) và A’ là một điểm thuộc SA . Xđ giao tuyến của các cặp mp sau A' a. mp (A’,a) và (SAB) b. mp (A’,a) và (SAC) c. mp (A’,a) và (SBC) N Giải M A C F a. Xđ giao tuyến của mp (A’,a) và (SAB) • A’ ∈ SA mà SA ⊂ ( SAB) ⇒ A’∈ ( SAB) • A’ ∈ ( A’,a) ⇒ A’ là điểm chung của ( A’,a) và (SAB ) B Trong ( P) , ta có a không song song với AB E Gọi E = a ∩ AB a • E ∈ AB mà AB ⊂ (SAB ) ⇒ E ∈ (SAB ) P • E ∈ ( A’,a) ⇒ E là điểm chung của ( A’,a) và (SAB ) Vậy: A’E là giao tuyến của ( A’,a) và (SAB ) b. Xđ giao tuyến của mp (A’,a) và (SAC) • A’ ∈ SA mà SA ⊂ ( SAC) ⇒ A’∈ ( SAC) • A’ ∈ ( A’,a) ⇒ A’ là điểm chung của ( A’,a) và (SAC ) Trong ( P) , ta có a không song song với AC Gọi F = a ∩ AC • F∈ AC mà AC ⊂ (SAC ) ⇒ F ∈ (SAC ) • E ∈ ( A’,a) ⇒ F là điểm chung của ( A’,a) và (SAC ) Vậy: A’F là giao tuyến của ( A’,a) và (SAC ) c. Xđ giao tuyến của (A’,a) và (SBC) Trong (SAB ) , gọi M = SB ∩ A’E • M ∈ SB mà SB ⊂ ( SBC) ⇒ M∈ ( SBC) • M ∈ A’E mà A’E ⊂ ( A’,a) ⇒ M∈ ( A’,a) ⇒ M là điểm chung của mp ( A’,a) và (SBC ) Trong (SAC ) , gọi N = SC ∩ A’F A • N ∈ SC mà SC ⊂ ( SBC) ⇒ N∈ ( SBC) • N ∈ A’F mà A’F ⊂ ( A’,a) ⇒ N∈ ( A’,a) ⇒ N là điểm chung của mp ( A’,a) và (SBC ) P M Vậy: MN là giao tuyến của ( A’,a) và (SBC ) 6. Cho tứ diện ABCD , M là một điểm bên trong tam giác ABD , N là một điểm bên trong tam giác ACD . Tìm giao tuyến của các cặp mp sau N Q B a. (AMN) và (BCD) D b. (DMN) và (ABC ) E Giải a. Tìm giao tuyến của (AMN) và (BCD) F Trang 3 C Chuyên đề hình học không gian lớp 11 Trong (ABD ) , gọi E = AM ∩ BD • E ∈ AM mà AM ⊂ ( AMN) ⇒ E∈ ( AMN) • E ∈ BD mà BD ⊂ ( BCD) ⇒ E∈ ( BCD) ⇒ E là điểm chung của mp ( AMN) và (BCD ) Trong (ACD ) , gọi F = AN ∩ CD • F ∈ AN mà AN ⊂ ( AMN) ⇒ F∈ ( AMN) • F ∈ CD mà CD ⊂ ( BCD) ⇒ F∈ ( BCD) ⇒ F là điểm chung của mp ( AMN) và (BCD ) Vậy: EF là giao tuyến của mp ( AMN) và (BCD ) b. Tìm giao tuyến của (DMN) và (ABC) Trong (ABD ) , gọi P = DM ∩ AB • P ∈ DM mà DM ⊂ ( DMN) ⇒ P∈ (DMN ) • P ∈ AB mà AB ⊂ ( ABC) ⇒ P∈ (ABC) ⇒ P là điểm chung của mp ( DMN) và (ABC ) Trong (ACD) , gọi Q = DN ∩ AC • Q ∈ DN mà DN ⊂ ( DMN) ⇒ Q∈ ( DMN) • Q ∈ AC mà AC ⊂ ( ABC) ⇒ Q∈ ( ABCA) ⇒ Q là điểm chung của mp ( DMN) và (ABC ) Vậy: PQ là giao tuyến của mp ( DMN) và (ABC ) a β Dạng 2 : Xác định giao điểm của đường thẳng a và mặt phẳng (α) b A Phương pháp : • Tìm đường thẳng b nằm trong mặt phẳng (α) • Giao điểm của a và b là giao đt a và mặt phẳng (α) α Chú ý : Đường thẳng b thường là giao tuyến của mp (α) và mp (β) ⊃ a Cần chọn mp (β) chứa đường thẳng a sao cho giao tuyến của mp (α) và mp (β) dể xác định và giao tuyến không song song với đường thẳng a Bài tập : 1. Trong mp (α) cho tam giác ABC . Một điểm S không thuộc (α) . Trên cạnh AB lấy một điểm P và trên các đoạn thẳng SA, SB ta lấy lần lượt hai điểm M, SN sao cho MN không song song với AB . M ) a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (α) E Giải N a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC ) C A Cách 1 : Trong (SAB) , gọi E = SP ∩ MN P • E ∈ SP mà SP ⊂ (SPC) ⇒ E ∈(SPC) B • E ∈ MN D α Vậy : E = MN ∩ (SPC ) Trang 4 Chuyên đề hình học không gian lớp 11 • Chọn mp phụ (SAB) ⊃ MN • ( SAB) ∩ (SPC ) = SP • Trong (SAB), gọi E = MN ∩ SP E ∈ MN E ∈ SP mà SP ⊂ (SPC) Vậy : E = MN ∩ (SPC ) b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mp (α) Cách 1: Trong (SAB) , MN không song song với AB Gọi D = AB ∩ MN • D ∈ AB mà AB ⊂ (α) ⇒ D ∈(α) • D ∈ MN Vậy: D = MN ∩ (α) Cách 2 : • Chọn mp phụ (SAB) ⊃ MN • ( SAB) ∩ (α) = AB • Trong (SAB) , MN không song song với AB Gọi D = MN ∩ AB D ∈ AB mà AB ⊂ (α) ⇒ D ∈(α) D ∈ MN Vậy : D = MN ∩ (α) 2. Cho tứ giác ABCD và một điểm S không thuộc mp (ABCD ). Trên đoạn SC lấy một điểm M không trùng với S và C . Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (ABM ) Giải • Chọn mp phụ (SBD) ⊃ SD A • Tìm giao tuyến của hai mp ( SBD) và (ABM ) − Ta có B là điểm chung của ( SBD) và (ABM ) − Tìm điểm chung thứ hai của ( SBD) và (ABM ) Trong (ABCD ) , gọi O = AC ∩ BD B Trong (SAC ) , gọi K = AM ∩ SO K∈ SO mà SO ⊂ (SBD) ⇒ K ∈( SBD) Cách 2 : S N M K D O C K∈ AM mà AM ⊂ (ABM ) ⇒ K ∈( ABM ) S ⇒ K là điểm chung của ( SBD) và (ABM ) ⇒ ( SBD) ∩ (ABM ) = BK • Trong (SBD) , gọi N = SD ∩ BK N∈ BK mà BK ⊂ (AMB) ⇒ N ∈(ABM) I N N ∈ SD Vậy : N = SD ∩ (ABM) 3. Cho tứ giác ABCD và một điểm S không thuộc mp (ABCD ). Trên đoạn AB lấy một A D điểm M , Trên đoạn SC lấy một điểm N ( M , N không trùng với các đầu mút ) . a. Tìm giao điểm của đường thẳng AN với mặt phẳng (SBD) P b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD) M Giải Q C Trang 5 B Chuyên đề hình học không gian lớp 11 a. Tìm giao điểm của đường thẳng AN với mặt phẳng (SBD) • Chọn mp phụ (SAC) ⊃ AN • Tìm giao tuyến của ( SAC) và (SBD) Trong (ABCD) , gọi P = AC ∩ BD ⇒ ( SAC) ∩ (SBD) = SP • Trong (SAC), gọi I = AN ∩ SP I ∈ AN I ∈ SP mà SP ⊂ (SBD) ⇒ I ∈ (SBD) Vậy : I = AN ∩ (SBD) b. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD) • Chọn mp phụ (SMC) ⊃ MN • Tìm giao tuyến của ( SMC ) và (SBD) Trong (ABCD) , gọi Q = MC ∩ BD ⇒ ( SAC) ∩ (SBD) = SQ • Trong (SMC), gọi J = MN ∩ SQ J∈ MN J ∈ SQ mà SQ ⊂ (SBD) ⇒ J ∈ (SBD) Vậy: J = MN ∩ (SBD) 4. Cho một mặt phẳng (α) và một đường thẳng m cắt mặt phẳng (α) tại C . Trên m ta lấy hai điểm A, B và một điểm S trong không gian . Biết giao điểm của đường thẳng SA với mặt phẳng (α) là điểm A’ . Hãy xác định giao điểm của đường thẳng SB và mặt phẳng (α) S m Giải A • Chọn mp phụ (SA’C) ⊃ SB B • Tìm giao tuyến của ( SA’C ) và (α) Ta có ( SA’C ) ∩ (α) = A’C C • Trong (SA’C ), gọi B’ = SB ∩ A’C B' A' B’∈ SB mà SB ⊂ (SA’C ) ⇒ B’ ∈ (SA’C) α B’ ∈ A’C mà A’C ⊂ (α) ⇒ B’ ∈ (α) Vậy : B’= SB ∩ (α) 5. Cho bốn điểm A, B , C, S không cùng ở trong một mặt phẳng . Gọi I, H lần lượt là trung điểm của SA, AB .Trên SC lấy điểm K sao cho : CK = 3KS. Tìm giao điểm của đường thẳng BC với mặt phẳng ( IHK ) Giải • Chọn mp phụ (ABC) ⊃ BC • Tìm giao tuyến của ( ABC ) và (IHK) Trong (SAC) ,có IK không song song với AC S Gọi E’ = AC ∩ IK K ⇒ ( ABC ) ∩ ( IHK) = HE’ • Trong (ABC ), gọi E = BC ∩ HE’ E ∈ BC mà BC ⊂ ( ABC) ⇒ E ∈ ( ABC) E ∈ HE’ mà HE’ ⊂ ( IHK) ⇒ E ∈ ( IHK) Trang 6 I A C E' H B E Chuyên đề hình học không gian lớp 11 Vậy: E = BC ∩ ( IHK) 6. Cho tứ diện SABC .Gọi D là điểm trên SA , E là điểm trên SB và F là điểm trên AC ( DE và AB không song song ) . a. Xđ giao tuyến của hai mp (DEF) và ( ABC ) b. Tìm giao điểm của BC với mặt phẳng ( DEF ) c. Tìm giao điểm của SC với mặt phẳng ( DEF ) K S D A C F E B N M Giải a. Xđ giao tuyến của hai mp (DEF) và ( ABC ) Ta có : F là điểm chung của hai mặt phẳng (ABC) và (DEF) Trong (SAB) , AB không song song với DE Gọi M = AB ∩ DE • M ∈ AB mà AB ⊂ (ABC) ⇒ M ∈ (ABC) • M ∈ DE mà DE ⊂ (DEF) ⇒ M ∈ (DEF) ⇒ M là điểm chung của hai mặt phẳng (ABC) và (DEF) Vậy: FM là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và (DEF) b. Tìm giao điểm của BC với mặt phẳng ( DEF ) • Chọn mp phụ (ABC) ⊃ BC • Tìm giao tuyến của ( ABC ) và (DEF) Ta có (ABC) ∩ (DEF) = FM • Trong (ABC), gọi N = FM ∩ BC N∈ BC N ∈ FM mà FM ⊂ (DEF) ⇒ N ∈ (DEF) Vậy: N = BC ∩ (DEF) c. Tìm giao điểm của SC với mặt phẳng ( DEF ) D • Chọn mp phụ (SBC) ⊃ SC • Tìm giao tuyến của ( SBC ) và (DEF) A Ta có: E là điểm chung của ( SBC ) và (DEF) ο N ∈ BC mà BC ⊂ (SBC) ⇒ N ∈ (SBC) ο N ∈ FM mà FM ⊂ (DEF) ⇒ N ∈ (DEF) ⇒ N là điểm chung của ( SBC ) và (DEF) Ta có (SBC) ∩ (DEF) = EN Trang 7 hình 1 S C F K N E B M Chuyên đề hình học không gian lớp 11 • Trong (SBC), gọi K = EN ∩ SC K∈ SC K ∈ EN mà EN ⊂ (DEF) ⇒ K ∈ (DEF) hình 2 Vậy: K = SC ∩ (DEF) 7. Cho hình chóp S.ABCD .Gọi O là giao điểm của AC và BD . M, N, P lần lượt là các điểm trên SA, SB ,SD. a. Tìm giao điểm I của SO với mặt phẳng ( MNP ) b. Tìm giao điểm Q của SC với mặt phẳng ( MNP ) Giải a. Tìm giao điểm I của SO với mặt phẳng ( MNP ) • Chọn mp phụ (SBD) ⊃ SO • Tìm giao tuyến của ( SBD ) và (MNP) Ta có N ∈ MN mà MN ⊂ (MNP) ⇒ N ∈ (MNP) N ∈ SB mà SB ⊂ (SBD) ⇒ N ∈ (SBD) ⇒ N là điểm chung của ( SBD ) và (MNP) P ∈ MP mà MN ⊂ (MNP) ⇒ P ∈ (MNP) S P ∈ SD mà SD ⊂ (SBD) ⇒ P ∈ (SBD) ⇒ P là điểm chung của ( SBD ) và (MNP) ⇒ (MNP) ∩ (SBD) = NP P M • Trong (SBD), gọi I = SO ∩ NP I ∈ SO I D I ∈ NP mà NP ⊂ (MNP) ⇒ I ∈ (MNP) N Vậy: I = SO ∩ (MNP) A b. Tìm giao điểm Q của SC với mặt phẳng ( MNP ) O • Chọn mp phụ (SAC) ⊃ SC • Tìm giao tuyến của ( SAC ) và (MNP) Ta có M ∈ MN mà MN ⊂ (MNP) ⇒ M ∈ (MNP) B M ∈ SA mà SA ⊂ (SAC) ⇒ M ∈ (SAC) ⇒ M là điểm chung của ( SAC ) và (MNP) I ∈ MI mà MI ⊂ (MNP) ⇒ I ∈ (MNP) I ∈ SO mà SO ⊂ (SAC) ⇒ I ∈ (SAC) ⇒ I là điểm chung của ( SAC ) và (MNP) A ⇒ ( SAC) ∩ (SBD) = MI J • Trong (SAC), gọi Q = SC ∩ MI Q∈ SC Q∈ MI mà MI ⊂ (MNP) ⇒ Q ∈ (MNP) Vậy: Q = SC ∩ (MNP) M 8. Cho tứ diện ABCD .Gọi M,N lần lượt là trung điểm AC và BC . K là điểm trên BD và K B không trùng với trung điểm BD . a. Tìm giao điểm của CD và (MNK ) N b. Tìm giao điểm của AD và (MNK ) C Giải a. Tìm giao điểm của CD và (MNK ) : I Trang 8 Q C D Chuyên đề hình học không gian lớp 11 • Chọn mp phụ (BCD) ⊃ SC • Tìm giao tuyến của ( BCD ) và (MNK) Ta có N ∈ (MNK) N ∈ BC mà BC ⊂ (BCD) ⇒ N ∈ (BCD) ⇒ N là điểm chung của (BCD ) và (MNK) K ∈ (MNK) K ∈ BD mà BD ⊂ (BCD) ⇒ K ∈ (BCD) ⇒ K là điểm chung của (BCD ) và (MNK) ⇒ (BCD) ∩ (MNK) = NK • Trong (BCD), gọi I = CD ∩ NK I∈ CD I∈ NK mà NK ⊂ (MNK) ⇒ I ∈ (MNK) Vậy: I = CD ∩ (MNK) b. Tìm giao điểm của AD và (MNK ) • Chọn mp phụ (ACD) ⊃ AD • Tìm giao tuyến của (ACD ) và (MNK) Ta có: M ∈ (MNK) M ∈ AC mà AC ⊂ (ACD) ⇒ M ∈ (ACD) ⇒ M là điểm chung của (ACD ) và (MNK) I∈ NK mà NK ⊂ (MNK) ⇒ I ∈ (MNK) I ∈ CD mà CD ⊂ (ACD) ⇒ I ∈ (ACD) ⇒ I là điểm chung của (ACD ) và (MNK) ⇒ (ACD) ∩ (MNK) = MI • Trong (BCD), gọi J = AD ∩ MI J∈ AD J∈ MI mà MI ⊂ (MNK) ⇒ J ∈ (MNK) Vậy: J = AD ∩ (MNK) 9. Cho tứ diện ABCD .Gọi M,N là hai điểm trên AC và AD . O là điểm bên trong tamgiác BCD. Tìm giao điểm của : A a. MN và (ABO ) b. AO và (BMN ) Giải M a. Tìm giao điểm của MN và (ABO ): • Chọn mp phụ (ACD) ⊃ MN Q • Tìm giao tuyến của (ACD ) và (ABO) Ta có : A là điểm chung của (ACD ) và (ABO) I Trong (BCD), gọi P = BO ∩ DC N P∈ BO mà BO ⊂ (ABO) ⇒ P ∈ (ABO) C B P∈ CD mà CD ⊂ (ACD) ⇒ P ∈ (ACD) ⇒ P là điểm chung của (ACD ) và (ABO) O ⇒ (ACD) ∩ (ABO) = AP P • Trong (ACD), gọi Q = AP ∩ MN D Q∈ MN Q∈ AP mà AP ⊂ (ABO) ⇒ Q ∈ (ABO) Trang 9 Chuyên đề hình học không gian lớp 11 Vậy: Q = MN ∩ (ABO) b. Tìm giao điểm của AO và (BMN ) : • Chọn mp (ABP) ⊃ AO • Tìm giao tuyến của (ABP ) và (BMN) Ta có : B là điểm chung của (ABP ) và (BMN) Q ∈ MN mà MN ⊂ (BMN) ⇒ Q ∈ (BMN) Q ∈ AP mà AP ⊂ (ABP) ⇒ Q ∈ (ABP) ⇒ Q là điểm chung của (ABP ) và (BMN) ⇒ (ABP) ∩ (BMN) = BQ • Trong (ABP), gọi I = BQ ∩ AO I∈ AO I∈ BQ mà BQ ⊂ (BMN) ⇒ I ∈ (BMN) Vậy: I = AO ∩ (BMN) 10. Trong mp (α) cho hình thang ABCD , đáy lớn AB . Gọi I ,J, K lần lượt là các điểm trên SA, AB, BC ( K không là trung điểm BC) . Tìm giao điểm của : a. IK và (SBD) b. SD và (IJK ) c. SC và (IJK ) Giải S a. Tìm giao điểm của IK và (SBD) • Chọn mp phụ (SAK) ⊃ IK I N • Tìm giao tuyến của (SAK ) và (SBD) Ta có : S là điểm chung của (SAK ) và (SBD) Trong (ABCD), gọi P = AK ∩ BD Q A P ∈ AK mà AK ⊂ (SAK) ⇒ P ∈ (SAK) B J P ∈ BD mà BD ⊂ (SBD) ⇒ P ∈ (SBD) M ⇒ P là điểm chung của (SAK ) và (SBD) P K ⇒ (SAK) ∩ (SBD) = SP D C • Trong (SAK), gọi Q = IK ∩ SP Q ∈ IK Q ∈ SP mà SP ⊂ (SBD) ⇒ Q ∈ (SBD) Vậy: Q = IK ∩ (SBD) b. Tìm giao điểm của SD và (IJK ) : • Chọn mp phụ (SBD) ⊃ SD • Tìm giao tuyến của (SBD ) và (IJK) Ta có : Q là điểm chung của (IJK ) và (SBD) Trong (ABCD), gọi M = JK ∩ BD M ∈ JK mà JK ⊂ ( IJK) ⇒ M ∈ (IJK) M ∈ BD mà BD ⊂ (SBD) ⇒ M ∈ (SBD) ⇒ M là điểm chung của (IJK ) và (SBD) ⇒ (IJK) ∩ (SBD) = QM • Trong (SBD), gọi N = QM ∩ SD N ∈ SD N ∈ QM mà QM ⊂ (IJK) ⇒ N ∈ (IJK) Trang 10 F Chuyên đề hình học không gian lớp 11 Vậy: N = SD ∩ (IJK) c. Tìm giao điểm của SC và (IJK ) : • Chọn mp phụ (SAC) ⊃ SC • Tìm giao tuyến của (SAC ) và (IJK) Ta có : I là điểm chung của (IJK ) và (SAC) Trong (ABCD), gọi E = AC ∩ JK E ∈ JK mà JK ⊂ ( IJK) ⇒ E ∈ ( IJK) E ∈ AC mà AC ⊂ (SAC) ⇒ E ∈ (SAC) ⇒ E là điểm chung của (IJK ) và (SAC) ⇒ ( IJK) ∩ (SAC) = IE • Trong (SAC), gọi F = IE ∩ SC F ∈ SC F ∈ IE mà IE ⊂ ( IJK) ⇒ F ∈ ( IJK) Vậy : F = SC ∩ ( IJK ) A 11.Cho tứ diện ABCD . Trên AC và AD lấy hai điểm M,N sao cho MN không song song với CD. Gọi O là điểm bên trong tam giác BCD. N a. Tìm giao tuyến của (OMN ) và (BCD ) b. Tìm giao điểm của BC với (OMN) c. Tìm giao điểm của BD với (OMN) Q B D Giải O a. Tìm giao tuyến của (OMN ) và (BCD ): M Ta có : O là điểm chung của (OMN ) và (BCD ) P Trong (ACD) , MN không song song CD Gọi I = MN ∩ CD C ⇒ I là điểm chung của (OMN ) và (BCD ) Vậy : OI = (OMN ) ∩ (BCD ) I b. Tìm giao điểm của BC với (OMN): Trong (BCD), gọi P = BC ∩ OI Vậy : P = BC ∩ ( OMN ) c. Tìm giao điểm của BD với (OMN): Trong (BCD), gọi Q = BD ∩ OI Vậy : Q = BD ∩ ( OMN ) S 12.Cho hình chóp S.ABCD . Trong tam giác SBC lấy điểm M trong tam giác SCD lấy điểm N N a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SAC) b. Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN) Giải E D a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng (SAC) : O • Chọn mp phụ (SMN) ⊃ MN • Tìm giao tuyến của (SAC ) và (SMN) A Ta có : S là điểm chung của (SAC ) và (SMN) M N' Trong (SBC), gọi M’ = SM ∩ BC Trang 11 B I M' C Chuyên đề hình học không gian lớp 11 Trong (SCD), gọi N’ = SN ∩ CD Trong (ABCD), gọi I = M’N’ ∩ AC I ∈ M’N’ mà M’N’ ⊂ (SMN) ⇒ I ∈ ( SMN) I ∈ AC mà AC ⊂ (SAC) ⇒ I ∈ (SAC) ⇒ I là điểm chung của (SMN ) và (SAC) ⇒ ( SMN) ∩ (SAC) = SI • Trong (SMN), gọi O = MN ∩ SI O ∈ MN O ∈ SI mà SI ⊂ ( SAC) ⇒ O ∈ ( SAC) Vậy : O = MN ∩ ( SAC ) b. Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN) : • Chọn mp phụ (SAC) ⊃ SC • Tìm giao tuyến của (SAC ) và (AMN) Ta có : ( SAC) ∩ (AMN) = AO • Trong (SAC), gọi E = AO ∩ SC E ∈ SC E ∈ AO mà AO ⊂ ( AMN) ⇒ E ∈ ( AMN) Vậy : E = SC ∩ ( AMN ) Dạng 3 : Chứng minh ba điểm thẳng hàng Phương pháp : • Chứng minh ba điểm đó cùng thuộc hai mp phân biệt • Khi đó ba điểm thuộc đường thẳng giao tuyến của hai mp Bài tập : S ,M và N lần lượt là 1. Cho hình bình hành ABCD . S là điểm không thuộc (ABCD) trung điểm của đoạn AB và SC . a. Xác định giao điểm I = AN ∩ (SBD) N b. Xác định giao điểm J = MN ∩ (SBD) c. Chứng minh I , J , B thẳng hàng I D Giải C J a. Xác định giao điểm I = AN ∩ (SBD ) • Chọn mp phụ (SAC) ⊃ AN O S A • Tìm giao tuyến của (SAC ) và (SBD) E M B ⇒ ( SAC) ∩ (SBD) = SO • Trong (SAC), gọi I = AN ∩ SO I ∈ AN I I ∈ SO mà SO ⊂ ( SBD) ⇒ I ∈ ( SBD) N J D Vậy: I = AN ∩ ( SBD) A b. Xác định giao điểm J = MN ∩ (SBD) M • Chọn mp phụ (SMC) ⊃ MN O B E • Tìm giao tuyến của (SMC ) và (SBD) C S là điểm chung của (SMC ) và (SBD) Trong (ABCD) , gọi E = MC ∩ BD Trang 12 Chuyên đề hình học không gian lớp 11 ⇒ ( SAC) ∩ (SBD) = SE • Trong (SMC), gọi J = MN ∩ SE J∈ MN J∈ SE mà SE ⊂ ( SBD) ⇒ J ∈ ( SBD) Vậy J = MN ∩ ( SBD) c. Chứng minh I , J , B thẳng hàng Ta có : B là điểm chung của (ANB) và ( SBD) • I ∈ SO mà SO ⊂ ( SBD) ⇒ I ∈ ( SBD) • I ∈ AN mà AN ⊂ (ANB) ⇒ I ∈ (ANB) ⇒ I là điểm chung của (ANB) và ( SBD) • J ∈ SE mà SE ⊂ ( SBD) ⇒ J∈ ( SBD) • J ∈ MN mà MN ⊂ (ANB) ⇒ J ∈ (ANB) ⇒ J là điểm chung của (ANB) và ( SBD) Vậy : B , I , J thẳng hàng 2. Cho tứ giác ABCD và S ∉ (ABCD). Gọi I , J là hai điểm trên AD và SB , AD cắt BC tại O và OJ cắt SC tại M . a. Tìm giao điểm K = IJ ∩ (SAC) b. Xác định giao điểm L = DJ ∩ (SAC) c. Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàng Giải a. Tìm giao điểm K = IJ ∩ (SAC) • Chọn mp phụ (SIB) ⊃ IJ • Tìm giao tuyến của (SIB ) và (SAC) S là điểm chung của (SIB ) và (SAC) Trong (ABCD) , gọi E = AC ∩ BI ⇒ (SIB) ∩ ( SAC) = SE S J K L M B A I E C F D O • Trong (SIB), gọi K = IJ ∩ SE K∈ IJ K∈ SE mà SE ⊂ (SAC ) ⇒ K ∈ (SAC) Vậy: K = IJ ∩ ( SAC) b. Xác định giao điểm L = DJ ∩ (SAC) • Chọn mp phụ (SBD) ⊃ DJ Trang 13 Chuyên đề hình học không gian lớp 11 • Tìm giao tuyến của (SBD ) và (SAC) S là điểm chung của (SBD ) và (SAC) Trong (ABCD) , gọi F = AC ∩ BD ⇒ (SBD) ∩ ( SAC) = SF • Trong (SBD), gọi L = DJ ∩ SF L∈ DJ L∈ SF mà SF ⊂ (SAC ) ⇒ L ∈ (SAC) Vậy : L = DJ ∩ ( SAC) c. Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàng Ta có :A là điểm chung của (SAC) và ( AJO) • K ∈ IJ mà IJ ⊂ (AJO) ⇒ K∈ (AJO) • K ∈ SE mà SE ⊂ (SAC ) ⇒ K ∈ (SAC ) ⇒ K là điểm chung của (SAC) và ( AJO) • L ∈ DJ mà DJ ⊂ (AJO) ⇒ L ∈ (AJO) • L ∈ SF mà SF ⊂ (SAC ) ⇒ L ∈ (SAC ) ⇒ L là điểm chung của (SAC) và ( AJO) • M ∈ JO mà JO ⊂ (AJO) ⇒ M ∈ (AJO) • M ∈ SC mà SC ⊂ (SAC ) ⇒ M ∈ (SAC ) ⇒ M là điểm chung của (SAC) và ( AJO) Vậy : A ,K ,L ,M thẳng hàng 3. Cho tứ diện SABC.Gọi L, M, N lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB và AC sao cho LM không song song với AB, LN không song song với SC. a. Tìm giao tuyến của mp (LMN) và (ABC) b. Tìm giao điểm I = BC ∩ ( LMN) và J = SC ∩ ( LMN) c. Chứng minh M , I , J thẳng hàng Giải S a. Tìm giao tuyến của mp (LMN) và (ABC) Ta có : N là điểm chung của (LMN) và (ABC) Trong (SAB) , LM không song song với AB Gọi K = AB ∩ LM L C K ∈ LM mà LM ⊂ (LMN ) ⇒ K ∈ (LMN ) N K ∈ AB mà AB ⊂ ( ABC) ⇒ K ∈ ( ABC) b. Tìm giao điểm I = BC ∩ ( LMN) A I M • Chọn mp phụ (ABC) ⊃ BC J • Tìm giao tuyến của (ABC ) và (LMN) ⇒ (ABC) ∩ ( LMN) = NK B K • Trong (ABC), gọi I = NK ∩ BC I∈ BC I∈ NK mà NK ⊂ (LMN ) ⇒ I ∈ (LMN) Vậy : I = BC ∩ ( LMN) Tìm giao điểm J = SC ∩ ( LMN) • Trong (SAC), LN không song song với SC gọi J = LN ∩ SC J∈ SC Trang 14 Chuyên đề hình học không gian lớp 11 J∈ LN mà LN ⊂ (LMN ) ⇒ J ∈ (LMN) Vậy : J = SC ∩ ( LMN) c. Chứng minh M , I , J thẳng hàng Ta có : M , I , J là điểm chung của (LMN) và ( SBC) Vậy : M , I , J thẳng hàng 4. Cho tứ giác ABCD và S ∉ (ABCD). Gọi M , N là hai điểm trên BC và SD. a. Tìm giao điểm I = BN ∩ ( SAC) S b. Tìm giao điểm J = MN ∩ ( SAC) c. Chứng minh C , I , J thẳng hàng N Giải a. Tìm giao điểm I = BN ∩ ( SAC) • Chọn mp phụ (SBD) ⊃ BN I • Tìm giao tuyến của (SBD ) và (SAC) J Trong (ABCD), gọi O = AC ∩ BD A ⇒ (SBD) ∩ ( SAC) = SO • Trong (SBD), gọi I = BN ∩ SO I∈ BN O K I∈ SO mà SO ⊂ (SAC ) ⇒ I ∈ (SAC) B M Vậy : I = BN ∩ ( SAC) b. Tìm giao điểm J = MN ∩ ( SAC) : • Chọn mp phụ (SMD) ⊃ MN • Tìm giao tuyến của (SMD ) và (SAC) Trong (ABCD), gọi K = AC ∩ DM ⇒ (SMD) ∩ ( SAC) = SK • Trong (SMD), gọi J = MN ∩ SK J ∈ MN J ∈ SK mà SK ⊂ (SAC ) ⇒ J ∈ (SAC) Vậy : J = MN ∩ ( SAC) S c. Chứng minh C , I , J thẳng hàng : Ta có : C , I , J là điểm chung của (BCN ) và (SAC) Vậy : C , I , J thẳng hàng Q Dạng 4 : Tìm thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (α ) : Chú ý : Mặt phẳng (α ) có thể chỉ cắt một số mặt của hình chóp P Cách 1 : Xác định thiết diện bằng cách kéo dài các giao tuyến I D C H C B R Bài tập : 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O . Gọi M, N , I là ba điểm lấy trên AD , CD , SO . Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNI) Giải A Trong (ABCD), gọi J = BD ∩ MN K = MN ∩ AB K H = MN ∩ BC F Trong (SBD), gọi Q = IJ ∩ SB Trong (SAB), gọi R = KQ ∩ SA M Trong (SBC), gọi P = QH ∩ SC A Trang 15 N O S J M D P R C B Q D N E Chuyên đề hình học không gian lớp 11 Vậy : thiết diện là ngũ giác MNPQR 2. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N , P lần lượt là trung điểm lấy trên AB , AD và SC . Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP) Giải Trong (ABCD) , gọi E = MN ∩ DC F = MN ∩ BC Trong (SCD) , gọi Q = EP ∩ SD Trong (SBC) , gọi R = FP ∩ SB Vậy : thiết diện là ngũ giác MNPQR 3. Cho tứ diện ABCD . Gọi H,K lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC . Trên đường thẳng CD lấy điểm M sao cho KM không song song với BD . Tìm thiết diện của tứ diện với mp (HKM ). Xét 2 .trường hợp : a. M ở giữa C và D b. M ở ngoài đoạn CD Giải a. M ở giữa C và D : Ta có : HK , KM là đoạn giao tuyến của (HKM) với (ABC) và (BCD) Trong (BCD), gọi L = KM ∩ BD Trong (ABD), gọi N = AD ∩ HL Vậy : thiết diện A là tứ giác HKMN A M H N D B H L M D L B K K C C b. M ở ngoài đoạn CD: Trong (BCD), gọi L = KM ∩ BD Vậy : thiết diện là tam giác HKL S R Q P F điểm Blấy 4. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung trên AD và DC .Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNE) Giải A D M Trong (SCD), gọi Q = EN ∩ SC Trong (SAD), gọi P = EM ∩ SA Trong (ABCD), gọi F = MN ∩ BC Trong (SBC), gọi R = FQ ∩ SB Vậy : thiết diện là ngũ giác MNQRP Trang 16 C N E Chuyên đề hình học không gian lớp 11 Cách 2 :Xác định thiết diện bằng cách vẽ giao tuyến phụ : S Bài tập : M 5. Cho hình chóp S.ABCD .Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB và SC . Giả sử AD và BC không N B A song song . J K a. Xác định giao tuyến của (SAD) và ( SBC) b. Xác định thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp DS.ABCD C Giải a. Xác định giao tuyến của (SAD) và ( SBC) : Trong (ABCD) , gọi I = AD ∩ BC I Vậy : SI = (SAD) ∩ ( SBC) b. Xác định thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD Trong (SBC) , gọi J = MN ∩ SI Trong (SAD) , gọi K = SD ∩ AJ Vậy : thiết diện là tứ giác AMNK 6. Cho hình chóp S.ABCD.Trong tam giác SBC lấy một điểm M trong tam giác SCD lấy một điểm N. a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng(SAC) b. Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN) c. Tìm thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD Giải a. Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mặt phẳng(SAC): • Chọn mp phụ (SMN) ⊃ MN • Tìm giao tuyến của (SAC ) và (SMN) Ta có : S là điểm chung của (SAC ) và (SMN) Trong (SBC), gọi M’ = SM ∩ BC Trong (SCD), gọi N’ = SN ∩ CD Trong (ABCD), gọi I = M’N’ ∩ AC I ∈ M’N’ mà M’N’ ⊂ (SMN) ⇒ I ∈ ( SMN) I ∈ AC mà AC ⊂ (SAC) ⇒ I ∈ (SAC) ⇒ I là điểm chung của (SMN ) và (SAC) ⇒ ( SMN) ∩ (SAC) = SI • Trong (SMN), gọi O = MN ∩ SI S O ∈ MN O ∈ SI mà SI ⊂ ( SAC) ⇒ O ∈ ( SAC) Vậy : O = MN ∩ ( SAC ) Q b. Tìm giao điểm của cạnh SC với mặt phẳng (AMN) : N • Chọn mp phụ (SAC) ⊃ SC O E • Tìm giao tuyến của (SAC ) và (AMN) D Ta có : ( SAC) ∩ (AMN) = AO A • Trong (SAC), gọi E = AO ∩ SC M N' E ∈ SC I P Trang 17 B M' C Chuyên đề hình học không gian lớp 11 E ∈ AO mà AO ⊂ ( AMN) ⇒ E ∈ ( AMN) Vậy : E = SC ∩ ( AMN ) c. Tìm thiết diện của mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD: Trong (SBC), gọi P = EM ∩ SB Trong (SCD), gọi Q = EN ∩ SD Vậy : thiết diện là tứ giác APEQ 7. Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’, B’ , C’ là ba điểm lấy trên các cạnh SA, SB, SC . Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (A’B’C’) Giải Trong (ABCD), gọi O = AC ∩ BD Trong (SAC), gọi O’ = A’C’ ∩ SO Trong (SBD), gọi D’ = B’O’ ∩ SD Có hai trường hợp : • Nếu D’ thuộc cạnh SD thì thiết diện là tứ giác A’B’C’D’ • Nếu D’ thuộc không cạnh SD thì Gọi E = CD ∩ C’D’ F = AD ∩ A’D’ S ⇒ thiết diện là tứ giác A’B’C’EF S B' A' B' A D' A' A O' O' C' D B O F C' E O B C C Trang 18 D D' Chuyên đề hình học không gian lớp 11 §1 .HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Dạng 5 : Chứng minh hai đường thẳng a và b song song : Sử dụng một trong các cách sau : • Chứng minh a và b đồng phẳng và không có điểm chung • Chứng minh a và b phân biệt và cùng song song với đường thẳng thứ ba • Chứng minh a và b đồng phẳng và áp dụng các tính chất của hình học phẳng (cạnh đối của hình bình hành , định lý talet … ) • Sử dụng các định lý • Chứng minh bằng phản chứng Bài tập : 1. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành .Gọi A’ ,B’ , C’ ,D’ lần lượt là trung điểm các cạnh SA , SB , SC , SD . a. Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành b. Gọi M là điểm bất kì trên BC . Tìm thiết diện của (A’B’M) với hình chóp S.ABCD S Giải a. Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành : 1 AB 2 1 Trong tam giác SCD, ta có : C’D’ // CD 2 // Mặt khác AB CD Trong tam giác SAB, ta có : A’B’ // D' A' C' B' D C ⇒ A’B’ // C’D’ N M A Vậy : A’B’C’D’ là hình bình hành B b. Tìm thiết diện của (A’B’M) với hình chóp S.ABCD: Ta có : AB ∕ ∕ A’B’ và M là điểm chung của (A’B’M) và (ABCD) Do đó giao tuyến của (A’B’M) và (ABCD) là Mx song song AB và A’B’ Gọi N = Mx ∩ AD Vậy : thiết diện là hình thang A’B’MN 2. Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy AB và CD (AB S I >CD). Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh SA , SB M a. Chứng minh : MN ∕ ∕ CD b. Tìm P = SC ∩ (ADN) c. Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I . Chứng minh : SI ∕ ∕ AB ∕ ∕ CD . Tứ giác SABI là hình gì ?A Giải a. Chứng minh : MN ∕ ∕ CD : Trong tam giác SAB, ta có : MN ∕ ∕ AB Mà AB ∕ ∕ CD ( ABCD là hình thang ) Trang 19 N B P C D E Chuyên đề hình học không gian lớp 11 Vậy : MN ∕ ∕ CD b. Tìm P = SC ∩ (ADN): • Chọn mp phụ (SBC) ⊃ SC • Tìm giao tuyến của (SBC ) và (ADN) Ta có : N là điểm chung của (SBC ) và (ADN) Trong (ABCD), gọi E = AD ∩ AC ⇒ ( SBC) ∩ (ADN ) = NE • Trong (SBC), gọi P = SC ∩ NE Vậy : P = SC ∩ ( ADN ) c. Chứng minh : SI // AB // CD . Tứ giác SABI là hình gì ? SI = (SAB) ∩ ( SCD ) AB ⊂ ( SAB)  Ta có :  CD ⊂ ( SCD) AB / / CD ⇒ SI // AB // CD ( theo định lí 2) Xét ∆ ASI , ta có : SI // MN ( vì cùng song song AB) M là trung điểm AB ⇒ SI // 2MN Mà AB // 2.MN Do đó : SI // AB Vậy : tứ giác SABI là hình bình hành 3. Cho tứ diện ABCD .Gọi I ,J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. A Chứng minh : IJ ∕ ∕ CD Giải E Gọi E là trung điểm AB I  I ∈ CE ⇒ IJ và CD đồng phẳng  J ∈ DE EI EJ 1 = = (tính chất trọng tâm) Do đó : EC ED 3 Ta có :  J B C D Vậy : IJ // CD 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (đáy lớn AB). Gọi I, J lần lượt là trung điểm AD và BC , K là điểm trên cạnh SB sao cho SN = a. Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJK) b. Tìm thiết diện của (IJK) với hình chóp S.ABCD Tìm điều kiện để thiết diện là hình bình hành Giải a. Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJK): Ta có : AB ∕ ∕ IJ và K là điểm chung của (SAB) và (IJK) Vậy : giao tuyến là đường thẳng Kx song song AB b. Tìm thiết diện của (IJK) với hình chóp S.ABCD : Gọi L = Kx ∩ SA Thiết diện là hình thang IJKL Do : IJ là đường trung bình của hình thang ABCD Trang 20 2 SB . 3 S L K B A J I D C