A. ÑAËT VAÁN ÑEÀ:
Heä phöông trình laø boä cuûa hai hay nhieàu hôn caùc phöông trình vôùi cuøng taäp hôïp
caùc aån soá . Khi giaûi heä phöông trình ta ñi tìm caùc giaù trò cuûa aån soá thoûa maõn caùc
phöông trình cuûa heä .
Ngay trong cuïm töø “heä phöông trình” ñaõ bao haøm “ phöông trình” . Do ñoù, veà
maët baûn chaát , heä phöông trình laø maûng toaùn roäng hôn . Hieåu ñöôïc ñieàu naøy giuùp ta
nhìn thaáy ñöôïc ñieàu kieän caàn ñeå hoïc toát phaàn heä phöông trình, chính laø trang bò moät
neàn taûng toát veà giaûi phöông trình . Ngoaøi ra caùc em cuõng caàn vaän duïng moät caùch linh
hoaït nhöõng bieán ñoåi ñaïi soá cô baûn , nhöõng haèng ñaúng thöùc , . . .
Nhaèm giuùp HS naém vöõng vaø coù kó naêng toát trong vieäc giaûi heä phöông trình 2 aån.
Trong baøi vieát naøy, toâi chæ heä thoáng caùc baøi taäp vaø phöông phaùp giaûi heä phöông trình
2 aån maø hoïc sinh thöôøng gaëp trong caùc ñeà thi hoïc sinh gioûi, thi vaøo caùc tröôøng
chuyeân , . . . Toâi hy voïng qua baøi vieát naøy seõ ñoùng goùp theâm moät soá kinh nghieäm
höôùng daãn HS laøm quen vaø tieán tôùi giaûi toát caùc baøi toaùn giaûi heä phöông trình naâng
cao trong caùc kyø thi hoïc sinh gioûi, thi vaøo caùc tröôøng chuyeân vaø giuùp caùc em khi leân
caáp III , caùc em seõ deã daøng hôn khi laøm toaùn giaûi heä phöông trình .
B. MOÄ T SOÁ DAÏ N G TOAÙ N THÖÔØ N G GAË P :
DAÏNG I: Heä
phöông trình baäc nhaát hai aån soá
ax by c
+ Heä phöông trình baäc nhaát 2 aån laø heä coù daïng
a' x b' y c'
trong ñoù a, b, c, a’, b’, c’laø caùc soá thöïc cho tröôùc vaø a, b, a’ b’ khoâng ñoàng thôøi baèng
khoâng
+ Caùch giaûi : duøng phöông phaùp theá hay phöông phaùp coäng vaø caùch ñaët aån
phuï
Ví duï : Giaûi heä phöông trình :
1 6
7
a/ x y
x y 2 xy
Giaûi : ÑK: xy ≠ 0
THCS: TÂN BÌNH
1
GV: ÑOÃ VIEÄT HUØNG
1 6
x y 7
Heä phöông trình ñaõ cho vieát laïi:
1 1 2
x y
Ñaët u =
1
1
vaø v = y Khi ñoù heä (*) trôû thaønh:
x
u 6v 7
u v 2
5v 5
u v 2
v 1
u 1
x 1
y 1
Vaäy heä ñaõ cho coù nghieäm duy nhaát (x; y) = (1 ; 1)
2
2x
b/
2
2 x
3
1
y x 2y 2
1
1
y x 2 y 18
Giaûi :
ÑK: (2x - y)(x - 2y) ≠ 0
1
1
Ñaët u = 2 x y vaø v = x 2 y Khi ñoù heä (*) trôû thaønh:
1
2
u
3
v
2
2u v 1
18
1
1
2 x y 12
1 1
x 2 y 9
8
4
v
18
2u 1 v
18
2 x y 12
x 2 y 19
1
v 9
u 1
12
x 5
Giaûi heä naøy ta ñöôïc
y 2
Vaäy heä ñaõ cho coù nghieäm duy nhaát (x; y) = (5 ; - 2 )
THCS: TÂN BÌNH
2
GV: ÑOÃ VIEÄT HUØNG
1
x 1 y 1
c/
2 5 y 3
x 1
(TSL10 chuyeân TPHCM 10 – 11)
Giaûi:
1
x 1 y 1
2 5 y 3
x 1
2
x 1 2 y 2
y 1
3
2
x 1 2 y 2
2 5 y 3
x 1
2 1
x 1 2 3 2
y 1
3
2
2 y 2
x 1
3 y 1
1
x 2
y 1
3
1 1
2 3
Vaäy nghieäm cuûa heä phöông trình: ;
x 2y 4
1
x y 2 x 2 y 3
d/
x y 8 1
x y 2 x 2 y
(TSL10 ÑHSP TPHCM 12 -13)
Giaûi:
x 2y 4
1
x y 2 x 2 y 3
x y 8 1
x y 2 x 2 y
4
1
1
3
x y 2
x
2
y
1 2 8 1
x y 2 x 2 y
1
x 2y 4
1
x y 2 x 2 y 3
x y 2 2 8 1
x y 2 x 2 y
4
1
x y 2 x 2 y 2
2 8 0
x y 2 x 2 y
(*)
1
Ñaët u = x y 2 vaø v = x 2 y Khi ñoù heä (*) trôû thaønh:
THCS: TÂN BÌNH
3
GV: ÑOÃ VIEÄT HUØNG
u 4v 2
2u 8v 0
1
x y 2 1
1
1
x 2 y 4
2u 8v 4
2u 8v 0
x y 2 1
x 2 y 4
x y 3
x 2 y 4
4u 4
2u 8v 0
u 1
1
v 4
x 2
y 1
Vaäy heä ñaõ cho coù nghieäm duy nhaát (x; y) = (2 ; 1 )
Baøi taäp: Giaûi heä phöông trình:
9 8
1
1/ x y
12 x 3 y 4 xy
4 10
0
2/ x y
10 x 8 y 3xy
3
2x
3/
1
2 x
4
1 5
4 x 12 y 3xy
4/
3 1 47
4 x 3 y 12 y
6
1
y xy
1
0
y xy
y
5x
x 1 y 3 27
5/
2 x 3 y 0
x 1 y 3
(TSL10 – LHP 04 – 05)
(TSL10 – ÑHSP 07 – 08)
DAÏNG II: Heä phöông
PHÖÔNG PHAÙP:
2x 7 2 y
x 2 y 1 9
6/
2 x 2 3 y 2 8
x 2 y 1
trình baäc hai hai aån soá
Ruùt x theo y ( hoaëc y theo x) töø phöông trình baäc nhaát , thay vaøo phöông trình
baäc hai, ta ñöôïc phöông trình aån y ( hoaëc x). Töø ñaây tìm ñöôïc y ( hoaëc x) vaø suy ra
nghieäm cuûa heä phöông trình.
Ví duï 1: Giaûi heä phöông trình: (baèng phöông phaùp theá tröïc tieáp)
THCS: TÂN BÌNH
4
GV: ÑOÃ VIEÄT HUØNG
x 2 y 6
a/
xy 8
(PTNK ban AB 00 – 01)
Giaûi:
x 2 y 6
xy 8
x 6 2 y
6 2 y y 8
x 8; y 1
x 2; y 4
x 6 2 y
2
2 y 6 y 8 0
x 6 2 y
2
6 y 2 y 8
Vaäy nghieäm cuûa heä phöông trình ñaõ cho laø : (8 ; 1) , (-2 ; -4)
x 2 y 2 2 y 1
b/
(PTNK 11 – 12)
xy x 1
x 2 y 2 2 y 1(1)
Giaûi:
xy x 1(2)
x = 0 thì (2) voâ lyù. Do ñoù x ≠ 0. ta coù :
x 2 y 2 2 y 1
xy x 1
2
2
x y 2 y 1
x 1
y
x
x 4 x 2 2 x 1 2 x 2 2 x x 2
x 1
y
x
x 2 1 2 0
x 1
x 1
x 1
y
y x
x
THCS: TÂN BÌNH
2 x 1 2 x 1
x 2 1
x x
x 1
y x
x 4 2 x 2 1 0
x 1
y
x
5
GV: ÑOÃ VIEÄT HUØNG
Xeùt x = 1 y =
1 1
2
1
Xeùt x = -1 y =
1 1
0
1
Vaäy nghieäm cuûa heä phöông trình: (1 ; 2 ) vaø (-1 ; 0 )
c/
xy 64
1 1 1
x y 4
(LHP ban AB 03 – 04)
Giaûi:
xy 64
1 1 1
x y 4
xy 64
y x 1
xy 4
y 16 y 64
x y 16
y 2 16 y 64 0
x y 16
xy 64
y x 1
64 4
xy 64
x y 16
x 8
y 8
Vaäy nghieäm cuûa heä phöông trình ñaõ cho laø : (8 ; 8).
x 2 xy 2
d/ 1 1
2
x
x y
x y
(Chuyeân TPHCM 11-12)
Giaûi: Caùch 1:
x 2 xy 2
2
1 1
x
x y
x y
x 2 xy 2
x y x 2 xy 2
xy x y
x 2 xy 2
x y 2 4 xy
x 2 x 2 2
x y
x 2 xy 2
x y 2 0
x y 1
x y 1
x 2 xy 2
xy
4
xy x y
x 2 xy 2
x y
Vaäy nghieäm cuûa heä phöông trình: (1 ; 1 ) vaø (-1 ; -1 )
THCS: TÂN BÌNH
6
GV: ÑOÃ VIEÄT HUØNG
Nhaän xeùt: Ta thaáy x
2
x 2 xy 2
4
vì x2 + xy = 2 giuùp coù ñöôïc x = y ,
x y
x y
x y
töø ñoù coù ñöôïc lôøi giaûi
x 2 y 2 2 y 1(1)
Caùch 2:
xy x 1(2)
x = 0 thì (2) voâ lyù. Do ñoù x ≠ 0. ta coù :
x 2 y 2 2 y 1
xy x 1
2
2
x y 2 y 1
x 1
y
x
x 4 x 2 2 x 1 2 x 2 2 x x 2
x 1
y
x
x 2 1 2 0
x 1
x 1
x 1
y
y x
x
2 x 1 2 x 1
x 2 1
x x
x 1
y x
x 4 2 x 2 1 0
x 1
y
x
1 1
2
1
1 1
0
Xeùt x = -1 y =
1
Xeùt x = 1 y =
Vaäy nghieäm cuûa heä phöông trình: (1 ; 2 ) vaø (-1 ; 0 )
( x 1) y 2 x y 3
e/
(TSL10 ÑHQG HN 11 – 12 )
2
( y 2) x y x 1
( x 1) y 2 x y 3
( x 1) y 2 ( x 1) 2 y
Giaûi:
2
( y 2) x y x 1
( y 2) x 2 ( y 2) x 1
THCS: TÂN BÌNH
7
GV: ÑOÃ VIEÄT HUØNG
2 y
(
x
1
)
y 2 1
( y 2)( x 2 1) 2 y
y 2 1
2
( x 1)( y 1) 2 y
( y 2)( x 2 1) x 1
2 y
(
x
1
)
y 2 1
( y 2)( x 2 1 1 ) 0
y 2 1
2 y
(
x
1
)
y 2 1
y 2 0
x 1 0
y 2
x 1
y 2
Baøi taäp: Giaûi heä phöông trình: (baèng phöông phaùp theá tröïc tieáp)
x y 3
x 2 y 6
(LHP
00
–
01)
2/
(PTNK 00 – 01)
3 3
xy 8
x y 9
x y 2
2 x y 7
2 x 3 y 2
3/
4/
5/
2
2
xy 5 y 9
xy x y 6
x xy y 13
x 2 y 2 xy 3
x y 1
3x 4 y 1 0
6/
7/
8/
3
3
2
xy 3x 4
xy 3( x y) 9
x y 3( x y)
x y 3
x y 6
9/
10/
3
3
2
x
y
126
(
x
1
)(
y
2
)
x( y 2) 30 y 3
1/
Ví duï 2: Giaûi heä phöông trình: (baèng phöông phaùp coäng , tröø veá roài duøng phöông
phaùp theá tröïc tieáp)
THCS: TÂN BÌNH
8
GV: ÑOÃ VIEÄT HUØNG
x 2 y 2 2 x 3 y 3
a/
2 x 2 2 y 2 x 5 y 0
Giaûi:
2
2
x y 2 x 3 y 3 2x 2 2 y 2 4 x 6 y 6
2 2
2 2
2 x 2 y x 5 y 0 2x 2 y x 5 y 0
5x 11y 6
2 2
x y 2 x 3 y 3
11y 6
11y 6
11y 6
x 5
x
x
5
5
2
11
y
11
2
x 1 2 y 2 3 y 4 0
y 3 y 4 0 146 y 2 167 y 21 0
5
x 1; y 1
129 21
x 146 ; y 146
129 21
;
.
146 146
Vaäy nghieäm cuûa heä phöông trình ñaõ cho laø : (1 ; 1) ,
b/
x 2 6 y 6 x
2
y 9 2 xy
(PTNK 07 – 08)
Giaûi:
x 2 6 y 6 x x 2 y 2 6 y 6 x 2 xy 9 0 x y 2 6 x y 9 0
2
2
2
x 6 y 6 x
y 9 2 xy x 6 y 6 x
x y 3 2 0 y x 3 y x 3
2
2
x 6 y 6 x x 18 x 3 2
Giaûi heä naøy ta ñöôïc caùc nghieäm : 3 2 ;3 2 3 , 3 2 ; 3 2 3
THCS: TÂN BÌNH
9
GV: ÑOÃ VIEÄT HUØNG
x 2 2 xy 1 2 5
c/
1 2
1
xy y 5
2
10
(PTNK 12 – 13 )
Giaûi:
x 2 2 xy 1 2 5
1 2
1
xy y 5
2
10
x 2 2 xy 1 2 5
2 1 2
x
y 0
5
x 2 2 xy 1 2 5
1 2
2 xy y 2 5 1
5
x 2 2 xy 1 2 5
2 2
y 5 x
x 2 2xy 1 2 5
y 5x
2
x 2xy 1 2 5
y 5x
x 2 1
y 5x
x
y 5 x
x 2 2 5x 2 1 2 5
y 5x
2
x 2 5x 2 1 2 5
y 5x
x 1; y 5
x 1; y
Vaäy nghieäm cuûa heä phöông trình: (1 ;
THCS: TÂN BÌNH
5
5
) vaø (- 1 ; -
10
5
)
GV: ÑOÃ VIEÄT HUØNG
xy 2 2 y 3x 2 0
d/
y 2 x 2 y 2 x 0
(LHP 02 – 03)
Giaûi:
Xeùt x = 0 thì y = 0 , heä coù nghieäm (x ; y ) = (0 ; 0)
Xeùt x ≠ 0 , ta coù:
2
2
2
2
xy 2 y 3x 0
2 2
y x y 2 x 0
xy 2 y 3x 0
x 3 y 2 y x 2 0
2 3 2
2 3 2
xy x y 2 x
xy x y 2 x 0
y( x3 2) x 2
2 3 2
xy x y 2x
2
x2
x
y 3
y 3
x
2
x 2
2
3
2
2
x x 2 x 3x 2 0 x 2 3 0
x 3 2 x 3 2
( x 3 2) 2 x 3 2
x2
x2
x2
y
y
y
x3 2
x3 2
x3 2
x 3 2 x 3 2 3 x 3 2 2 0 x 3 2 x 3 4 3x 6 12 x 3 12 0 3x 6 11x 3 8 0
x2
y
x3 2
x 3 1 3x 3 8 0
x 3 1 0
3
3x 8 0
x2
y 3
x 2
x = -1 , Ta coù: y =
x 1
x 3 8
3
2
y x
x3 2
1 2 1
1 3 2
2
x=
3
2
3
6
8 2
3
3
3 , Ta coù: y =
3
3
9
3
2
3 2
3
THCS: TÂN BÌNH
11
GV: ÑOÃ VIEÄT HUØNG
x 0
Vaäy nghieäm cuûa heä phöông trình ñaõ cho laø :
y 0
;
x 1
y 1
;
2
x 3 3
y 6
3 9
Baøi taäp. Giaûi heä phöông trình:(baèng phöông phaùp coäng , tröø veá roài duøng phöông
phaùp theá tröïc tieáp)
2
2
2
2
x y 2 x 3 y 3
2 2
2 x 2 y x 5 y 0
x 2 y 2 6 x 9 y 27
3/
2 x 2 2 y 2 3x 15 y 0
x y 4 x 6 y 12
2 2
x y x 5 y 0
x 2 4 y 2 4 x 12 y 12
4/
x 2 4 y 2 x 10 y 0
1/
2/
Ví du 3: Giaûi heä phöông trình:(Baèng PP ñöa moät phöông trình cuûa heä veà phöông
trình tích roài söû duïng phöông phaùp theá )
xy x 2 0
a/
3 2
2
2
2
x
x
y
x
y
2 xy 0
xy x 2 0
Giaûi:
3
2
2
2
2
x
x
y
x
y
2 xy y 0
xy x 2 0
3
2
2
2
(2 x 2 xy) ( x y y ) ( x y) 0
xy x 2 0
2
x y
x3 x 2 0
2
x y
THCS: TÂN BÌNH
hoaëc
hoaëc
(TSÑH khoái D – 2012)
xy x 2 0
2
x y 2 x y 1 0
xy x 2 0
y 2 x 1
2 x 2 2 x 2 0
y 2 x 1
12
GV: ÑOÃ VIEÄT HUØNG
x 1
y 1
hoaëc
1 5
x
2
y 5
x 1
Vaäy heä ñaõ cho coù 3 nghieäm:
y 1
b/
x 2 2 y 2 xy 2 y x 0
2 2
x y 6 x 12 0
1 5
x
hoaëc
2
y 5
;
1 5
x
2
y 5
1 5
x
;
2
y 5
(LQÑ- Bình Ñònh 12 – 13)
Giaûi:
2
x 2 y 2 xy 2 y x 0
x 2 2 xy xy 2 y 2 2 y x 0
2 2
x y 6 x 12 0
x 2 y 2 6 x 12 0
( x 2 y)( x y 1) 0
x 2 y 0.hay.x y 1 0
2
2
2
2
x y 6 x 12 0
x y 6 x 12 0
x 2 y.hay.x 1 y
2 2
x y 6 x 12 0
x 2 y
x 2 y
2
2
2
2
x y 6 x 12 0
4 y y 12 x 12 0
x 2 y
x 2 y
x 4
2
2
y 2
y 4 x 4 0
( y 2 ) 0
x 1 y
x 12 y
2
2
2
2
( 1 y) y 6(1 y) 12 0
1 2 y y y 6 6 y 12 0
THCS: TÂN BÌNH
13
GV: ÑOÃ VIEÄT HUØNG
x 1 y
8 y 19 0
x 1 y
19
y 8
11
x
8
y 19
8
Vaäy nghieäm cuûa heä phöông trình: (-4 ; -2 ) vaø (
x 2 y 2 x y 8
c/
x 2 y 2 xy 7
11 19
;
)
8 8
(HSG TP 02 – 03)
Giaûi:
2
2
x y x y 8
2 2
x y xy 7
x y xy 1
2 2
x y xy 7
( x 1).(1 y) 0
2
2
x y xy 7 0
x 1 0
x 1; x 2 y 2 xy 7 0
1 y 0
2
2
2 2
y
1
;
x
y
xy 7 0
x y xy 7 0
x 1; y 2 y 6 0
y 1; x 2 x 6 0
x(1 y) (1 y) 0
2 2
x y xy 7 0
x 1; y 2 2 y 3 y 6 0
y 1; x 2 2 x 3x 6 0
x 1; y 2hay. y 3
y 1; x 2hay.x 3
x 1; y 2. y 3 0
y 1; x 2. x 3 0
Heä phöông trình coù 4 nghieäm laø :
x 1
y 2
;
x 1
y 3
;
x 2
y 1
;
x 3
y 1
Baøi taäp : Giaûi heä phöông trình:(Baèng phöông phaùp ñöa moät phöông trình cuûa heä veà
phöông trình tích roài söû duïng phöông phaùp theá )
THCS: TÂN BÌNH
14
GV: ÑOÃ VIEÄT HUØNG
2 x 2 x 2 y 4 xy
1/
x 2 2 xy 4
x y xy 1
2/
2
2
x
y
xy
2
2 x 2 x 2 y 4 xy
3/
x 2 2 xy 4
x y 2 x 2 y 4
4/
x 3 2 y 7 2 x 7 y 3
( HSG Bình Ñònh 09 – 10)
(chuyeân TPHCM 09 – 10))
(PTNK 08 – 09)
(TSL10 chuyeân - Haûi Döông 05 -06)
x 2 x y 2 y
5/
(TSL10 chuyeân Haø Tónh 07 – 08)
2
y x 6
x 2 y 2 xy 1
6/
(TSL10 ÑHNN HN 08 – 09)
2
3x y y 3
x 2 y 2 2( xy x y) 0
7/
(TSL10 ÑHNN HN 09 – 10)
2
2
x y 4 x 2 y 4 0
x5 x 4 y x y 0
8/
x3 3x 2 y 4 xy 2 4 y 3 54
x 3 x 2 y x y 0
9/
9 x 5 6 x 4 y 4 xy 4 3x3 y 2 32
Ví duï 5: Giaûi heä phöông trình ( Vieát phöông trình (1) cuûa heä thaønh moät phöông
trình baäc hai theo aån x ( hoaëc y) , sau ñoù tính x theo y)
THCS: TÂN BÌNH
15
GV: ÑOÃ VIEÄT HUØNG
x 2 xy 2 y x(1)
a/
x 2 y 2 10(2)
Giaûi:
(1) x2 + ( y + 1)x – 2 – y = 0 (*)
Giaûi pt (*) ta ñöôïc: x1 = 1 ; x2 = – 2 – y
Vôùi x1 = 1 y12 = 9 y1 = 3
Vôùi x2 = – 2 – y y2 + 2y – 3 = 0 y = 1 hay y = -3
Töø ñoù ta tìm ñöôïc heä phöông trình coù 3 nghieäm laø :
x 1
y 3
;
x 1
y 3
x 3
y 1
;
2 x 2 xy y 2 5x y 2 0
b/
x 2 y 2 x y 4 0
(TSL10 ÑHQG HN 03 – 04)
Giaûi:
2 x 2 xy y 2 5x y 2 0 y 2 x 1 y 2 x 2 5x 2 0(1)
2 2
2 2
x y x y 4 0(2)
x y x y 4 0
Giaûi pt (1) ta ñöôïc: y1 = 2 – x ; x2 = 2x + 1
Vôùi y1 = 2 – x x2 – 2x + 3 = 0 ( voâ nghieäm)
Vôùi y2 = 2x – 1 5y2 – x – 4 = 0 y = 1 hay y =
4
5
Töø ñoù ta tìm ñöôïc heä phöông trình coù 3 nghieäm laø (1 ; 1) ;
x 2 4 xy x 4 y 2
c/
x 2 y 2 5
4 13
;
5
5
(PTNK Haûi Phoøng 02 -03)
Giaûi:
x 2 4 xy x 4 y 2
2 2
x y 5
x 2 1 4 y x 4 y 2 0(1)
x 2 y 2 5(2)
Giaûi pt (1) ta ñöôïc: x1 = 1 ; x2 = 4y – 2
THCS: TÂN BÌNH
16
GV: ÑOÃ VIEÄT HUØNG
Vôùi x1 = 1 y12 = 4 y1 = 2
Vôùi x2 = 4y – 2 17y2 – 16y – 1 = 0 y = 1 hay y =
1
17
Töø ñoù ta tìm ñöôïc heä phöông trình coù 4 nghieäm laø :
(1 ; 2) , ( 1 ; - 2 ) , ( 2 ; 1) ,
38
1
;
17 17
Baøi taäp . Giaûi heä phöông trình ( Vieát phöông trình (1) cuûa heä thaønh moät phöông
trình baäc hai theo aån x, sau ñoù tính x theo y)
2
2
x xy 2 3x y
1/
x 2 y 2 2
2 x 2 xy 1 3x y
3/
x 2 y 2 5
6 x 2 3xy x 1 y
5/
x 2 y 2 1
2 x 2 xy y 2 5x y 2 0
6/
x 2 y 2 x y 4 0
x xy 2 y x
2/
x 2 y 2 10
x 2 3xy 2 y 2 2 x 2 y 0
4/
x 2 2 xy y 2 10 x 14 y 0
(TSL10 ÑHNN HN 04-05)
( HSG Thanh Hoùa 07 – 08)
Ví Duï 6 : Giaûi heä phöông trình : ( PP chia veá theo veá roài duøng PP theá)
1 7
x y 2
y 1 7
x 3
(PTNK ban AB 01 – 02)
Giaûi:
Ñieàu kieän x , y ≠ 0
THCS: TÂN BÌNH
17
GV: ÑOÃ VIEÄT HUØNG
1 7
x y 2
y 1 7
x 3
xy 1 7
y 2 1
xy 1 7 2
x 3
x
3
Laáy (1) chia (2) veá theo veá ta ñöôïc: y 2
1 7
x y 2
Heä ñaõ cho töông ñöông
x 3 y
2
3 1 7
2 y y 2
x 3 y
2
y 2
3 y 7 y 2 0 y 23 y 1 0 1
y
3
3
3
3
x 2 y
x y
2
x y
2
2
1 1
2 3
Vaäy heä ñaõ cho coù 2 nghieäm : (3 ; 2) , ;
Baøi taäp:: Giaûi heä phöông trình : ( PP chia veá theo veá roài duøng PP theá)
1 21
x y 5
1/
y 1 21
x 4
1 15
x y 7
3/
y 1 15
x 2
1 4
x y 3
2/
y 1 4
x
4
x y 7
4/
y 4 14
x 3
DAÏNG III: HEÄ PHÖÔNG TRÌNH ÑOÁI XÖÙNG LOAÏI I
THCS: TÂN BÌNH
18
GV: ÑOÃ VIEÄT HUØNG
Kieán thöùc thöôøng vaän duïng
+ Heä phöông trình ñoái xöùng loaïi I laø heä khoâng thay ñoåi khi thay x bôûi y; y bôûi x.
Phöông phaùp thöôøng vaän duïng
+ Ñaët S = x + y vaø P = xy : Bieán ñoåi heâ phöông trình ñaõ cho veà heä hai aån S vaø P.
+ Khi ñoù x, y laø nghieäm cuûa phöông trình: t2 – St + P = 0. Ñieàu kieän ñeå phöông
trình coù nghieäm laø = S2 - 4P 0
Chuù yù: Neáu heä phöông trình ñoái xöùng loaïi I coù nghieäm (x , y) thì (y, x) cuõng
laø
nghieäm cuûa noù .
Caùc ví duï minh hoïa:
x 2 y 2 x y 12
Ví duï 1 : Giaûi heä phöông trình: a/
x y xy 3
(Olympiad Canada 2010 –
2011)
Giaûi:
Ñaët S = x + y vaø P = xy. ñieàu kieän : S2 ≥ 4P Khi ñoù, heä phöông trình treân coù theå vieát
laïi thaønh
2
2
S 2P S 12 S 2P S 12(1)
S P 3
P 3 S (2)
Theá (2) vaøo (1) ta thu ñöôïc
S2 – 2(3 – S) + S = 12 S2 + 3S – 18 = 0 S = 3 hay S = - 6
x y 3
Vôùi S = 3 P = 0, töùc
(x , y) = (0 ; 3) hay (x , y) = (3 ; 0)
xy 0
Vôùi S = - 6 P = 9. Khi ñoù : x, y laø nghieäm cuûa phöông trình :
X2 + 6X + 9 = 0 (X + 3)2 = 0 X = -3 x = y = -3
Vaäy heä phöông trình ñaõ cho coù 3 caëp nghieäm laø (0 , 3) ; (3 ; 0) ; ( -3 ; -3)
x y 4
Ví duï 2: Giaûi heä phöông trình :
(TSL10 Chuyeân ÑH Vinh 07 - 08)
3
3
x y xy 30
Giaûi:
Heä phöông trình ñaõ cho töông ñöông:
THCS: TÂN BÌNH
19
GV: ÑOÃ VIEÄT HUØNG
x y 4
x y 4
2 2
2
xy
(
x
y
)
30
xy
x
y
2 xy 30
Ñaët S = x + y; P = x. y, ñieàu kieän : S2 ≥ 4P ta coù heä phöông trình:
S 4
2
P S 2P 30
S 4
P 3
S 4
Vôùi
P 5
S 4
P(16 2P) 30
x y 4
x. y 3
x y 4
ta coù:
x. y 5
Vôùi
ta coù:
S 4
S 4
P 5
2
2P 16P 30 0 P 3
x 1
y 3
vaø
x 3
y 1
(voâ nghieäm)
Vaäy heä phöông trình coù nghieäm : (1 ; 3) , (3 ; 1)
Ví duï 3:
( x 1)( y 1) 8
x( x 1) y y 1 xy 17
(TSL10 – chuyeân HN 02 – 03)
Giaûi:
( x 1)( y 1) 8
x y xy 7
( x 1)( y 1) 8
2 2
2
x( x 1) y y 1 xy 17 x x y y xy 17 ( x y) xy x y 17
Ñaët S = x + y; P = x. y,ñieàu kieän : S2 ≥ 4P ta coù heä phöông trình:
S P 7
2
S S P 17
Giaûi ra ta ñöôïc 2 nghieäm (S ; P) laø (4 ; 3)vaø (-6 ; 13)
THCS: TÂN BÌNH
20
GV: ÑOÃ VIEÄT HUØNG
- Xem thêm -
.DOC 
32 
46381 
117 
