Tài liệu Chuyên đề hệ phương trình ôn thi thpt quốc gia-lê văn đoàn

www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 Bài 6. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ VÔ TỶ


I. Hệ phương trình cơ bản 1. Hệ đối xứng loại I VD 285. Giải các hệ phương trình sau: 2 2  x + xy + y = 3 a)   x + xy + y = 3 { } ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ⋅  x + xy + y = 5 b)  2 2  x y + y x = 6 ĐS: ( x; y ) = ( 1; 2 ) ; ( 2;1) ⋅ 1 1 1  + =− 2 c)  x y  x2 + y 2 = 5  ĐS: ( x; y ) = {( −1; 2 ) ; ( 2; −1)} ⋅  x 2 + y 2 + x + y = 4 d)   x( x + y + 1) + y( y + 1) = 2 ĐS: ( x; y ) = {( ± 3 3  x + y = 8 e)   x + y + 2 xy = 2 ĐS: ( x; y ) = {( 2; 0 ) ; ( 0; 2 )} ⋅  x 3 + x 3 y 3 + y 3 = 17 f)   x + xy + y = 5 ĐS: ( x; y ) = ( 1; 2 ) ; ( 2;1) ⋅  x 2 + y 2 + xy = 13 g)  4 4 2 2  x + y + x y = 91 ĐS: ( x; y ) = {( ±3; ±1) ; ( ±1; ±3 )} ⋅ 2 2  x + y + xy = 7 h)  4 4 2 2  x + y + x y = 21 ĐS: ( x; y ) = {( ±1; ±2 ) ; ( ±2; ±1)} ⋅ ĐS: ( x; y ) = {( ±1; ±2 ) ; ( ±2; ±1)} ⋅ 4 4 2 2  x + y + 6 x y = 41 i)  2 2  xy( x + y ) = 10 VD 286. Giải các hệ phương trình sau: { } } ) 2; ∓ 2 ; (1; −2 ) ; ( −2;1) ⋅ { }  1 1 x + y + x + y = 5  a)   x2 + y 2 + 1 + 1 = 9  x2 y 2  3 ± 5   3 ± 5   ĐS: ( x; y ) =  1; ;1   ⋅ ;   2   2     2  1  2 ( x + y )  1 + 2 2  = 49 x y    b)  ( x + y)  1 + 1  = 5    xy      7 ±3 5  7 ±3 5  ĐS: ( x; y ) =  −1; ; −1   ⋅ ;     2 2      ( x + y )(1 + xy) = 18 xy c)  2 2 2 2 2 2 ( x + y )(1 + x y ) = 208 x y ĐS: ( x; y ) =  x 2 + y 2 + x + y = 4 xy  d)  1 1 y x  x + y + x2 + y 2 = 4  ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ⋅  y x ( x + y )  +  = 4 e)  x y  2 2 4 4 2 2 ( x + y )( x + y ) = 4 x y ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ⋅ Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 {( 0; 0 ) ; (7 ± 4 { } { } )} 3; 2 ± 3 ⋅ www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 230 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 VD 287. Giải các hệ phương trình sau:  x y + y x = 6 a)  2 2  x y + y x = 20 2( x + y ) = 3( 3 x 2 y + 3 xy 2 ) b)  3  x + 3 y = 6  x 2 + y 2 + 2 xy = 8 2 c)   x + y = 4  x + y − xy = 3 d)   x + 1 + y + 1 = 4  x 2 − 1 + y 2 − 1 = xy + 2  e)  1 1  2 + 2 =1 y x  x − 1 + y − 1 = 3 f)   x + y = 5 + ( x − 1)( y − 1)  x 2 + y 2 + xy + 3 xy = 4 3 g)   x + y = 2 2 { } ĐS: ( x; y ) = ( 1; 4 ) ; ( 4;1) ⋅ { } ĐS: ( x; y ) = ( 64; 8 ) ; ( 8; 64 ) ⋅ ĐS: ( x; y ) = {( 4; 4 )} ⋅ ĐS: ( x; y ) = {( 3; 3 )} ⋅ ĐS: ( x; y ) = {( ± ĐS: ( x; y ) = {( 2; 5 ) ; ( 5; 2 )} ⋅ ĐS: ( x; y ) = {( 2; 2 )} ⋅ 2; ± 2 )} ⋅ 2. Hệ đối xứng loại II VD 288. Giải các hệ phương trình sau:  x 2 − 4 x = 3 y a)  2  y − 4 y = 3 x   1 ± 13 1 ∓ 13   ĐS: ( 0; 0 ) ; ( 7; 7 ) ;  ;  ⋅  2 2      x 2 − xy = 3(2 + y) b)  2  y − xy = 3(2 + x)   3 + 3 3 − 3   ĐS: ( x; y ) = ( −2; −2 ) ;  − ;  ⋅  2 2      xy + x 2 = 1 + y c)  2  xy + y = 1 + x 2 2 ( x − 1)( y + 6) = y( x + 1) d)  2 2 ( y − 1)( x + 6) = x( y + 1)    1 1 ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ,  − ; −  , ( a; − a − 1)  ⋅  2 2    x 3 + 1 = 2 y e)  3  y + 1 = 2 x   −1 ± 5 −1 ± 5   ĐS: ( x; y ) = (1;1) ,  ;  ⋅   2 2      1 3 2 x + y = x  f)  2 y + 1 = 3  x y (5 x − 4 y )(3x + 2 y) = 7 y − 2 x g)  (5 y − 4 x)(3 y + 2 x) = 7 x − 2 y ĐS: ( x; y ) = ĐS: ( x; y ) = {( 2; 2 ) ; ( 3; 3 ) ; ( 3; 2 ) ; ( 2; 3 )} ⋅ {( ±1; ±1) , ( ± { 2; ∓ 2 )} ⋅ } ĐS: ( x; y ) = ( 0; 0 ) ; ( 1;1) ⋅ 2 2 2 (6 x + 4 y )( x + y − 1) = 5 y( x + 1) h)  2 2 2 (6 y + 4 x)( x + y − 1) = 5x( y + 1) ĐS: ( x; y ) = ( 0; 0 ) ; ( ±1; ±1) ⋅  4 9 2 3  x + y − xy − 8 x = 0 i)   y 4 + x 2 − yx 3 − 9 y = 0  8   9 9   1   1  ĐS: ( x; y ) = ( 0; 0 ) ;  ;  ;  1;  ;  ;1   ⋅  8 8   2   2   Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 { www.DeThiThuDaiHoc.com } Page - 231 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 VD 289. Giải các hệ phương trình sau:  x + 2 − y = 2 a)   y + 2 − x = 2 ĐS: ( x; y ) =  x + 1 + 7 − y = 4 b)   y + 1 + 7 − x = 4 ĐS: ( x; y ) = ( 8; 8 ) .  x + 5 + y − 2 = 7 c)   x − 2 + y + 5 = 7 ĐS: ( x; y ) = (11;11) .  x2 + 3 + 2 x = 3 + y  d)   y 2 + 3 + 2 y = 3 + x ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) .  2 x + 3 + 4 − y = 4 e)   2 y + 3 + 4 − x = 4   11 11   ĐS: ( x; y ) = ( 3; 3 ) ,  ;   ⋅  9 9    x 1 + y 2 + y 1 + x2 = 2  f)   x 1 + x 2 + y 1 + y 2 = 2   ĐS: ( x; y ) =    x (1 − x 2 )(1 − y 2 ) = x − y 2  g)   y (1 − y 2 )(1 − x 2 ) = y − x 2 VD 290. Giải các hệ phương trình sau: {( 0; 0 ) , ( 2; 2 )}.  5 − 1   ⋅ 2   5 −1 ; 2 { } ĐS: ( x; y ) = ( 0; 0 ) ; ( 1;1) ⋅ ( x + y )(3xy − 4 x ) = −2 a)  ( x + y )(3xy + 4 y ) = 2 2 2   2 − 1  2 −1  3 3 ĐS: ( x; y ) =  2   ;         3   3    x 4 + 8 y = 4( x 3 − 1) − 16 3 b)  4 3  y + 8 x = 4( y − 1) + 16 3 ĐS: ( x; y ) = 1 ± 3;1 ± 3 .  x 2 + x + y + 1 + x + y 2 + x + y + 1 + y = 18  c)   x 2 + x + y + 1 − x + y 2 + x + y + 1 − y = 2 ĐS: ( x; y ) = ( 4; 4 ) .  12   1 −  x =2 y + 3x   d)   1 + 12  y = 6   y + 3x   ĐS: ( x; y ) = 4 + 2 3;12 + 6 3 .   2 x  1 + 2 x   e)  2 y  1 −   x2     1 1  ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ;  ; −   ⋅  2 2     = 3  1  =1 + y 2  1 + y2 ( ĐS: ( x; y ) = 2 x 2 + 2 − x + y − 1 − 34 = x + 2 xy g)  2 2 y + 2 − x + y − 1 − 34 = 2 y − xy ĐS: ( x; y ) = ( −2; 5 ) . Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 ) (  78 y = 20 x + 2 x + y2  f)   y + 78 x = 15  x2 + y 2  ⋅    ) {( 2; 3) ; (18;12 )} ⋅ www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 232 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 3. Hệ đẳng cấp và phương pháp thế tạo phương trình bậc cao hoặc phương trình đẳng cấp VD 291. Giải các hệ phương trình sau: 2 3 x − 2 xy = 16 a)  2 2  x − 3 xy − 2 y = 8 ĐS: ( x; y ) =  x 2 + 2 xy + 3 y 2 = 9 b)  2 2 2 x + 2 xy + y = 2  3 17 8 17 ĐS: ( x; y ) =  ± ;∓  17 17   x 2 − 3 xy + y 2 = −1 c)  2 2  x + 2 xy − 2 y = 1 ĐS: ( x; y ) =  x 2 − 2 xy + 3 y 2 = 9 d)  2 2 2 x − 13 xy + 15 y = 0   5 1   ĐS: ( x; y ) = ( ±3; ±2 ) ,  ± ;±  ⋅ 2 2     3 x 2 + 2 xy + y 2 = 11 e)  2 2  x + 2 xy + 3 y = 17   4 3 5 3   ĐS: ( x; y ) = ( ±1; ±2 ) ;  ± ;∓  ⋅  3 3     2 2  x − 2 xy + 3 y = 9 f)  2 2 2 x − 13 xy + 15 y = 18   3 2 3 2   ĐS: ( x; y ) = ( ±3; 0 ) ;  ± ;±  ⋅  2 2     {( −2;1) ; ( 2; −1)} ⋅    ⋅    {( ±1; ±1)} ⋅ VD 292. Giải các hệ phương trình sau: 14 x 2 − 21y 2 + 22 x − 39 y = 0 a)  2 2 35 x + 28 y + 111x − 10 y = 0 ĐS: ( x; y ) = {( 0; 0 ) , ( −3;1)} ⋅ 3 x 2 + 5 xy − 4 y 2 = 38 b)  2 2 5 x − 9 xy − 3 y = 15 ĐS: ( x; y ) = {( −3; −1) , ( 3;1)} ⋅ 2 2 2 x − x( y − 1) + y = 3 y c)  2 2  x + xy − 3 y = x − 2 y   7 3  ĐS: ( x; y ) = ( 0; 0 ) ; ( ±1;1) ;  ;   ⋅  43 43    14 x 2 − 21y 2 − 6 x + 45 y − 14 = 0 d)  2 2 35 x + 28 y + 41x − 122 y + 56 = 0 ĐS: ( x; y ) = ( 1; 2 ) , ( −2; 3 ) ⋅ { } VD 293. Giải các hệ phương trình sau:  x 3 − 2 xy + 5 y = 7 a)  2 3 x − 2 x + y = 3   6 ± 2 33 −153 ∓ 44 23   ĐS: ( 1; 2 ) ;  ;  ⋅   7 49      xy = x + 7 y + 1 b)  2 2 2  x y = 10 y − 1   1  ĐS: ( x; y ) = ( 3; −1) ;  1; −   ⋅ 3    3 2 2 x + y( x + 1) = 4 x c)  4 6 2 5 x − 4 x = y ĐS: ( x; y ) =  x 2 ( y + 1)( y + x + 1) = 3x 2 − 4 x + 1 d)  2  x( y + 1) + 1 = x   5  ĐS: ( x; y ) = ( 1; −1) ;  −2; −   ⋅ 2     x 4 + 2 x 3 y + x 2 y 2 = 2 x + 9 e)  2  x + 2 xy = 6 x + 6  17  ĐS: ( x; y ) =  −4;  ⋅ 4    5  x − y + 1 = 2 f)   y + 2( x − 3) x + 1 = − 3  4 VD 294. Giải các hệ phương trình sau: Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 {( 0; 0 ) ; (1;1) ; ( 2; 2 )} ⋅  3 ĐS: ( x; y ) =  3; −  ⋅ 4  www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 233 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 5 x 2 − 3 y = x − 3xy a)  3 2 2 3  x − x = y − 3 y  1 1   ĐS: ( x; y ) =  ;  ; ( −1;1)  ⋅  2 2   3 3 2  x + y − xy = 1 b)  4 4 4 x + y = 4 x + y  1 1  ĐS: ( x; y ) = ( 0;1) ; ( 1; 0 ) ; ( 1;1) ;  ; ⋅ 3 3  25 25  3 3  x − 2 y = x + 4 y c)  2 2 13x − 41xy + 21y = −9 ĐS: ( x; y ) = 3 3  x + y = 1 d)  2 2 3  x y + 2 xy + y = 2  1 1   3 3 2 3 3   ĐS: ( x; y ) =  3 ; 3  ,  ;  ⋅  3    2 2   3 3 3  x − 8 x = y + 2 y e)  2 2  x − 3 y = 6  6 6  ĐS: ( ±1; −3 ) ;  ;4 ⋅  13 13    x 3 + 4 y = y 3 + 16 x f)  2 2 1 + y = 5(1 + x ) ĐS: ( x; y ) = {( 0; ±2 ) ; (1; −3 ) ; ( −1; 3 )} ⋅ 2 x 3 − 9 y 3 = ( x − y )(2 xy + 3) g)  2 2  x − xy + y = 3 ĐS: ( x; y) = {( ±2; ±1)} ⋅ ( x + y)( x 2 + y 2 ) = 15 h)  4  y + y = x ĐS: ( x; y ) = {( 2;1) , ( 2 2 2  x + y = 2 i)  2 2 5 ( x + y )(4 − x y − 2 xy ) = 2 y ĐS: ( x; y ) = {( ±1; ±1)} ⋅ {( 2;1) ; ( −2; −1)} ⋅ 3 )} 3; − 3 3 ⋅ II. Biến đổi một phương trình về tích số, kết hợp với phương trình còn lại 1. Sử dụng tách, ghép, nhóm và tam thức bậc hai đưa 1 phương trình về tích VD 295. Giải các hệ phương trình sau: 2 2  x + xy + y = 7 a)  2 2  x − xy − 2 y = − x + 2 y (CĐ – 2014) ĐS: ( x; y ) =  xy + x − 2 = 0 b)  3 2 2 2 2 x − x y + x + y − 2 xy − y = 0 (D – 2012)   −1 ± 5   ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ,  ; ± 5  ⋅   2     5 x 2 y − 4 xy 2 + 3 y 3 − 2( x + y) = 0 c)  2 2 2  xy( x + y ) + 2 = ( x + y) (A – 2011)   2 2 2   ĐS: ( x; y ) = ( ±1; ±1) ,  ± ;±  ⋅  5 5     {( ±2; ±1) ; ( 2; −3 ) ; ( −3; 2 )} ⋅ 2 y 2 + xy − x 2 = 0 d)  2 2  x − xy − y + 3 x + 7 y + 3 = 0  −13 ∓ 157   −13 ± 157 ;    2 ĐS:  ⋅  ( 1; −1) , ( 3; −3 ) 2 x 2 + xy − y 2 = 5x − y − 2 e)  2 2  x + y + x + y = 4   4 13   ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ,  − ; −   ⋅ 5   5  2  x + 5x − xy = 3 y − 6 f)  2 2 4 x y − 3 xy + 2 y = 9  −45 ± 3 233   1 9   ĐS:  −3;  , ( −1;1) ,  ;   ⋅   4  4 4     3 2 2 2 x + 2 x y − xy = y − x − y g)  3 2 2 x − xy + x = 4   1 ± 17   ĐS: ( x; y ) = ( 1; −1) ,  ;10 ± 17   ⋅   2     2 2 3 2 x − 8 xy − xy + 4 y = 0 h)  3 2 16 x + 2 x − 8 y + 5 = 0  1   3 ± 19 3 ± 19   ĐS: ( x; y ) =  ;1  ,  ;  ⋅   4 2    2   Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 234 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600  x 3 − 3x 2 + x + 3 y = xy + 3 i)  2 2 2 y − 3 xy − 9 x + 3 x = y VD 296. Giải các hệ phương trình sau:  xy + x + y = x 2 − 2 y 2 a)   x 2 y − y x − 1 = 2 x − 2 y  y 4 − 2 xy 2 + 7 y 2 = − x 2 + 7 x + 8 b)  2  3 y + 13 − 15 − 2 x = x + 1  x + y + x − y = 1 + x 2 − y 2 c)   x + y = 1   1 5  ĐS: ( 3; −4 ) , ( 3; 9 ) , ( −1; 2 ) ,  − ;   ⋅  2 4   (D – 2008) ĐS: ( x; y ) = {( 2; 5 )} ⋅ ĐS: ( x; y) = {(3; −2),(3; 2)} ⋅ ĐS: ( x; y ) = ( 1; 0 ) .  x − 2 y − xy = 0 d)   x − 1 − 2 y − 1 = 1  x 3 − 6 x 2 y + 9 xy 2 − 4 y 3 = 0 e)   x − y + x + y = 2  x 2 + 6 y = y − x − 2 y f)    x + x − 2y = x + 3y − 2  y 2 + ( y − 3) x − 4 y = −3 g)  3  x − 2 + 2 − y = 3 3 y 2 + 1 + 2 y( x + 1) = 4 y x 2 + 2 y + 1 h)   y( y − x) = 3 − 3 y  x 2 + y 2 = 5 i)   y − 1( x + y − 1) = ( y − 2) x + y  x 3 + 2 y 2 = x 2 y + 2 xy j)  2 3  2 x − 2 y − 1 + 3 y − 14 = x − 2 2 x( y + 1) − 2 y( y − 1) = 3  4+y k)  2 x +y −x=  2 x2 + y   2 2 xy 2 =1 x + y + x +y l)   x + y = x2 − y  HD: ( 1) ⇔ ( ĐS: ( x; y ) = x+ y )( ) x − 2 y = 0. {( 2; 2 ) , ( 32 − 8 15; 8 − 2 15 )} ⋅   8 4  ĐS: ( x; y ) = ( 12; −2 ) ,  ;   ⋅  3 9   ĐS: ( x; y ) = ( 3; 2 ) .   415 17   ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ,  ;  ⋅  51 3    ĐS: ( x; y ) = ( −1; 2 ) . ( ) ĐS: ( x; y ) = 1 ± 2; 1 ± 2 . HD: ( 2 ) ⇔ ( x2 + y − x { ) 2 = 4. } ĐS: ( x; y ) = ( 1; 0 ) , ( −2; 3 ) .  x 3 − 3x 2 y − 4 x 2 + 4 y 3 + 16 xy − 16 y 2 = 0 m)   x − 2 y + x + y = 2 3     3 3 ĐS: ( x; y ) = ( 8; 4 ) ,  8 − ; − 4  ⋅   3 3     2 2 2 2 ( x − y )( x + xy + y + 3) = 3( x + y ) + 2 n)  2 4 x + 2 + 16 − 3 y = x + 8 ĐS: ( x; y ) =  x + y = 2 o)  2 2 4 x + y = 5 ( 2 x − y ) xy  22 + 8 6 22 − 8 6  ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ,  ; ⋅   25 25    y 2 − xy + 2 y − 3x − 3 = 0 p)  2  2 x − 3 = ( y + 2015)(5 − y ) + y ĐS: ( x; y ) = ( 4; 5 ) . Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 {( 2; 0 ) , ( −1; −3 )} ⋅ www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 235 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 ( x − y )( x + y + y 2 ) = x( y + 1)  q)  ( y + 2)2 3  x + 4x = 1 + 3  ĐS: ( x; y) = (2; 3). 2. Liên hợp đưa 1 phương trình về tích số VD 297. Giải các hệ phương trình sau: 2 2 ( x + x + 4)( y + y + 1) = 2 a)  6 y 2 − 5 y + 1 = 3 x 3 + 1   1  ĐS: ( x; y ) = ( 0; 0 ) ;  −1;   ⋅ 2     y−3  x+y + x+3 = b)  x  x+y + x =x+3  ĐS: ( x; y ) = ( 1; 8 ) .  2 x + y − 1 − x + 2 y − 2 = y − x − 1 c)  2 2  x + y − 2 xy + 4 x − 3 y = 0  x + 2 y + 3 = y + 2 x + 1 + 1 d)  3 2 2  3 x + 7 x + 11( y + 1) + 5 + x − y − 4 = 5x + 7 ĐS: ( x; y ) = ( 2; 3 ) .  1 ± 13 −1 ± 13  ĐS: ( x; y ) =  ; ⋅  2  2    x + y + 1 + 1 = 4( x + y )2 + 3( x + y)  e)  5  2 x + 2 y + 2x − y =  2 2 1 ĐS: ( x; y ) =  ; −  ⋅ 3 6 3 2 2  x + x + 2 y + 1 = x y + y + 1 f)  ( x + y − 1) y + 1 = 10 ĐS: ( x; y ) = ( 3; 3 ) .  x + 2 y + 2 x − y + x 2 y = x + 3 y + y 2 x g)  2 2 2(1 − y) x + 2 y − 1 = y − 2 x − 1 ĐS: ( x; y ) =  xy − ( x − y)( xy − 2) + x = y + y  h)  ( x + 1)  y + xy + x(1 − x)  = 4  ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) . 4  x + 1 + 4 x − 1 − y + 2 = y i)  2 2  x + 2 x( y − 1) + y − 6 y + 1 = 0 ( ) 6 − 1; 6 − 1 . { } (A – 2013) ĐS: ( x; y ) = ( 1; 0 ) ; ( 2;1) . (1 − y ) x − y + x = 2 + ( x − y − 1) y   1 + 5 5 − 1   j)  (B.14) ĐS: ( x; y ) = ( 3;1) ;  ;  ⋅ 2  2 2    2 y − 3x + 6 y + 1 = 2 x − 2 y − 4 x − 5 y − 3   (1 − y ) x + y + x + 3 y = 6 + ( x + y − 4) y  k)  5  x − 2y − x + 1 = x− y−7  ĐS: ( x ; y ) = ( 3;1) .  ( x + 1) y + ( x − y + 1) y + x + 1 = y + y  l)   3x − 2 − y = 2 x 2 − y − 2 3 5 ĐS: ( x; y ) =  ;  ⋅ 2 2  x 2 + 2( y − 1)( x − y ) + xy = 2 y m)   x(2 x + 2 y − 5) + y( y − 3) + 3 = 0   3 3  ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ;  ;   ⋅  5 5    4 x 2 + (4 x − 9)( x − y) + xy = 3 y n)  4 ( x + 2)( y + 2 x) = 3( x + 3) ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) . Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 236 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 2  x( x + y ) + x + y = 2 y − 2 y o)  2 2  x y − 5 x + 7 x + 7 y − 4 = 6 3 xy − x + 1 ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) .  x 2 + y 2 + 2 2 x 2 − 3 xy + 2 y 2 = x + y + 2 xy p)   x + y + x − y = 3 x − 4 y + 4 ĐS: ( x; y ) = ( 2; 2 ) . ( x + 1) y 2 + y + 2 + ( y − 1) x 2 + x + 1 = x + y q)  2 2 ( x + x) x − y + 3 = 2 x + x + y + 1  1 1   7 1   ĐS: ( x; y ) =  ; −  ;  ; −  ; ( −1; −2 )  ⋅  2 2   8 8   ( x − y − 1) x + 2 = 2 x − y + (1 − x) x − y  r)   x + 2y + 1    x + y + 3 = 2  1 − x + 2 x + y    ĐS: ( x; y ) = ( 1; 0 ) .  2 x + 2 y = 4 s)   2 x + 5 + 2 y + 5 = 6 ĐS: ( x; y ) = ( 2; 2 ) . VD 298. Giải các hệ phương trình sau:  2 y  x −x−y = 3 x−y a)   2 2 2( x + y ) − 3 2 x − 1 = 11 5 3 ĐS: ( x; y ) =  ;  ⋅ 2 2 3 3 y2 2 2  x + x + y + xy = x + xy + 1 b)   2 ( x − 1) x + 1 − x + x − y + y − 2 + 4 x − 3 y ĐS: ( x; y ) = ( 2; 3 ) .  x 2 + y 2 + 8 x 2 − 12 xy + 8 y 2 = x + y + 2 xy c)  2 ( y + 1) 4 x + 5 + 2( x + 5) y + 3 = 3 y + 14 x + 13 ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) .  x − 3 x + 3 = 3 y − 5 − y d)  2  x + 16( y − x) + y = 2 xy ĐS: ( x; y ) = ( 6; 6 ) . 2 2 2  y + 3 y − 2 y + 3 x + 6 = 3 x + 7 x + 7 + 2 e)  2 2 3 y − 4 x − 3 y + 3x + 1 = 0   7 25   ĐS: ( x; y ) = ( −1; −1) ;  − ;   ⋅  23 23    { }  2( x 2 + y 2 ) + 2(5x − 3 y) − 4( xy − 3) + x + 1 = 3 y  f)  ĐS: ( x; y ) = ( 2; 4 ) .  y 2 − 4( x + y ) + 17 − x − y + 3 = 2 ( x − y + 2) x + 1 = y g)  (4 − x + 1) x + 1 = 3 y − 2 + 2 1 − x   3 2  ĐS: ( x; y ) = ( 0;1) ;  − ;   ⋅  5 5   2 2  x + y + 2 xy − 2 x + y − 9 = 0 h)  2  2 x + 8 + 2 x + 1 = 4 y − 3 y + 2 y − 1 ĐS: ( x; y ) = ( 1; 2 ) . ( x + y) x − y + 2 = x + 3 y + 2 i)  ( x − y ) x − y + 2 = ( x + y + 1) x + y − 2 5 1 ĐS: ( x; y ) =  ;  ⋅ 2 2 3  x = 3 y + 1 + y − x − 1 j)  (8 y − 6 x + 9) 4 x 2 + 21 + 16 x 4 − 12 x 2 + 2 x = 21 ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) . Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 237 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 3. Đưa về tích số dựa vào phương pháp cộng VD 299. Giải các hệ phương trình sau:  2 1 2  x + y = 5 a)  4 x 2 + 3 x − 57 = − y(3 x + 1)  25  2 1   11 2   ĐS: ( x; y ) =  ;  ;  ;   ⋅  5 5   5 25   2 2 14 x − 21y − 6 x + 45 y − 14 = 0 b)  2 2 35 x + 28 y + 41x − 122 y + 56 = 0 ĐS: ( x; y ) = {( −2; 3 ) ; (1; 2 )} ⋅  xy − 3 x = 2( y + 8) c)  2 2  x + y − 2 x − 4 y = 33 ĐS: ( x; y ) = {( −3 ± 2 2 x + 3 xy + 2 x + y = 0 d)  2 2  x + 2 xy + 2 y + 3 x = 0  3 3 ĐS: ( 0; 0 ) ;  − ; −  ; −3 ± 2 2; 2 ∓ 2 ⋅  5 5 )} 3; −2 ∓ 3 ⋅ ( ) VD 300. Giải các hệ phương trình sau:  x 3 − y 3 = 35 a)  2 2 2 x + 3 y = 4 x − 9 y ĐS: ( x; y ) = {( 2; −3 ) ; ( 3; −2 )} ⋅ 3 3  x − y = 9 b)  2 2 2 x + y − 4 x + y = 0 ĐS: ( x; y ) = {( 2; −1) ; (1; −2 )} ⋅ 3 3  x + y = 91 c)  2 2 4 x + 3 y = 16 x + 9 y ĐS: ( x; y ) = {( 3; 4 ) ; ( 4; 3 )} ⋅  x 3 − y 3 − 3 y 2 = 9 d)  2 2  x + y = x − 4 y  3 ± 33 −9 ± 33  ; ĐS: ( x; y ) =  ⋅   4 4   VD 301. Giải các hệ phương trình sau:  x 2 y 3 + 3 x 2 − 4 x + 2 = 0 a)  2 2 2  x y − 2 x + y = 0 ĐS: ( x; y ) = ( 1; −1) . 3 2  x + 3 xy = 6 xy − 3 x − 49 b)  2 2  x − 8 xy + y = 10 y − 25x − 9 ĐS: ( x; y ) = 2( x + y )(25 − xy ) = 4 x 2 + 17 y 2 + 105 c)  2 2  x + y + 2 x − 2 y = 7 ĐS: ( x; y ) = ( 2;1) . 2 3 6 x y + 2 y + 35 = 0 d)  2 2 5 x + 5 y + 2 xy + 5x + 13 y = 0  1 5 ĐS: ( x; y ) =  ± ; −  ⋅  2 2  x 3 + 3 xy 2 = −49 e)  2 2  x − 8 xy + y = 8 y − 17 x VD 302. Giải các hệ phương trình sau: ĐS: ( x; y ) = {( −1; 5 ) ; ( −1; 3 )} . {( −1; −4 ) ; ( −1; 4 )}. 2 2  x y + 3 x + 3 y − 3 = 0 a)  2 2  x y − 4 xy − 3 y + 2 y − x + 1 = 0 ĐS: ( x; y ) = ( 0;1) ; ( 1; 0 ) ⋅ 2 2 3 x + xy − 9 x − y − 9 y = 0 b)  3 2 2 x − 20 x − x y − 20 y = 0 ĐS: ( x; y ) = 2  x − 2 xy + x + y = 0 c)  4 2 2 2  x − 4 x y + 3 x + y = 0 ĐS: ( x; y ) = ( 0; 0 ) ; ( 2; 2 ) ; ( 1; 2 ) ⋅ Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 { } {( 0; 0 ) ; ( 2; −1) ; (10;15 )} ⋅ { www.DeThiThuDaiHoc.com } Page - 238 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 III. Đặt ẩn phụ giải hệ phương trình đại số – vô tỷ 1. Loại 1. Đặt hai ẩn đưa về phương trình đẳng cấp VD 303. Giải các hệ phương trình sau:  x + y + x − y = 2 y a)   x + 5 y = 3  4 ĐS: ( x; y ) =  1;  ⋅  5  x 2 − 2 = 4 y y + 1 b)  2 2 2 22( y − 1) = ( x + 9)( x + 9 y ) ( x + 6 y + 3) xy + 3 y = y(8 y + 3x + 9) c)  2  − x + 8 x − 24 y + 417 = ( y + 3) y − 1 + 3 y + 17 ĐS: ( x; y ) = {( − )( 2; 0 ; )} 2;0 ⋅ ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) .  x + 3 = 2 ( y + 1)(3 y − x)  d)  x+5 = xy − 2 y − 2  3y − 2 − 2  ĐS: ( x; y ) = ( 3; 2 ) .  2 8 xy 2 = 16 x + y + x +y  e)  2 3 2  x + 2x = x + x − y  8y 3 3y 4 2   24 4   ĐS: ( x; y ) =  ;  ; ( −8;12 )  ⋅ 7 7    2. Loại 2. Đặt ẩn phụ dạng tổng – hiệu a = x + y ; b = x − y . VD 304. Giải các hệ phương trình sau: 2 x + 2 x 2 − 2 y 2 = 7 a)  2 2 2( x + y ) = 5  3 1   3 1   ĐS: ( x; y ) =  ; −  ;  ;   ⋅  2 2   2 2    x 2 + 2 x + 6 − y = 1 b)  2 2  x + xy + y = 7 ĐS: ( x; y ) = 2 2  x + y − xy = 1 c)  2 2  x + x + 1 = y + y − 1   3 2 3   ĐS: ( x; y ) = ( 0;1) ;  ;  ⋅  3 3     3  2 2 =7 4 xy + 4( x + y ) + ( x + y)2  d)  2 x + 1 = 3  x+y ĐS: ( x; y) = (1; 0).  2 5 2 = 13 8( x + y ) + 4 xy + ( x + y )2  e)  2 x + 1 = 1  x+y ĐS: ( x; y ) = ( 0;1) . (4 x 2 − 4 xy + 4 y 2 − 51)( x − y)2 + 3 = 0 f)  (2 x − 7)( x − y) + 1 = 0 5± 3 5∓ 3  ĐS: ( x; y ) =  ; ⋅  2 3    2 xy + y x 2 − y 2 x+y x−y  = + 14 2 2  g)  3 3 x−y  x+y   2  +  2  =9      ĐS: ( x; y ) = ( 5; 3 ) . Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 {( −3; 2 ) ; (1; 2 )} ⋅ www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 239 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600  4 xy 2 =1 ( x − y ) + x+y h)   3x + y + 4 x = (3x + y − 6)2 + 4 x + y )   3 1   13 + 29 −9 − 29   ĐS:  ; −  ;  ;  ⋅   4 4    2 2   1 1 1 1 3. Loại 3. Đặt ẩn phụ dạng a = x + ; b = y + hoặc a = x + ; b = y + ⋅ x y y x VD 305. Giải các hệ phương trình sau:  1 x2 + y 2 xy + + =5  xy xy  a)  ( x + y)  1 + 1  = 6    xy     3 ± 5   3 ± 5   ĐS: ( x; y ) =  1; ;1   ⋅ ;   2   2    ( x + y )(1 + xy) = 18 xy b)  2 2 2 2 2 2 ( x + y )(1 + x y ) = 208 x y  2 ± 3; 7 ± 4 3 ; 7 ± 4 3; 2 ± 3  ⋅ ĐS:  ( 0; 0 ) 2 x − y − xy 2 = 2 xy(1 − x)  2 c)  2 1  2  ( x + 2 y ) 1 +   = 12  xy    ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) . 2   1  ( x 2 + y 2 )  1 +  =8 d)  xy     xy(2 x + y − 6) + y + 2 x = 0 ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) . 3   1  125 ( x 3 + y 3 )  1 +  = 4 xy    e)  2  2 1  25 2   = ( x + y )  1 + xy  2     1 1  ĐS: ( x; y ) = ( 2; 2 ) ;  ;   ⋅  2 2   ( )( ) 4. Loại 4. Chia để xác định lượng đặt ẩn phụ  xy + x + 1 = 7 y a)  2 2 2  x y + xy + 1 = 13 y 2 2  x + y + xy = 3 x − 2 b)  2 4 2 4 4 ( x + xy ) + ( y + 2) = 17 x 1 + x 3 y 3 = 19 x 3 c)  2 2  y + xy = −6 x 2 2  x + y + xy + 1 = 4 y d)  2 2  y( x + y) = 2 x + 7 y + 2  x 2 − y x + y = y − 1 e)  2  x ( x + y − 2) + x = 5 y + 2   1  ĐS: ( x; y ) = ( 3;1) ;  1;   ⋅  3    x 2 y 2 + 2 y 2 + 16 = 11xy f)  2 2 2  x + 2 y + 12 y = 3xy   1 ± 17 1 ± 17 ĐS: ( 4; 2 ) ; ( −2; −1) ;  ;  2 2   2  xy + x + 2 + x + x − 4 x = 0 g)  2  xy + x + 2 = x( xy + 2 + 3)  7 ĐS: ( x; y) =  3;  ⋅  3 Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 { } ĐS: ( x; y ) = ( 1; 0 ) ; ( 3; −2 ) ; ( 2; 0 ) ; ( 3; −1) ⋅  1   1  ĐS: ( x; y ) =  ; −2  ;  − ; 3   ⋅   2   3 { } ĐS: ( x; y ) = ( 1; 2 ) ; ( −2; 5 ) ⋅  −3 ± 53 11 ∓ 53   ĐS: ( x; y ) =  ;  ⋅ 2 2   www.DeThiThuDaiHoc.com    ⋅    Page - 240 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 (2 x + y − 1)( x + 3 + xy + x ) = 8 x h)  2 ( x + 3 + xy ) + xy = 2 x(6 − x) ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) .  2 6 x5 y 2 ( x − 1) + 3 = 2 x +2  i)  4 x − 3 x 2 y − 9 xy 2 3 y − x =  x + 3y    2 ⋅ ĐS: ( x; y ) =  − 1 − 5 ; −   3 1 − 5   5. Loại 5. Liên hợp để tìm ra phép đặt ẩn phụ  x2 + 2 + y 2 + 3 + x + y = 5  a)   x 2 + 2 + y 2 + 3 − x − y = 2  7 1   17 13   ĐS: ( x; y ) =  ;  ;  ;   ⋅  6 4   20 20    2 x + 2 y = 4 b)   2 x + 5 + 2 y + 5 = 6 ĐS: ( x; y ) = ( 2; 2 ) .  x y 2 + 6 + y x 2 + 3 = 7 xy  c)   x x 2 + 3 + y y 2 + 6 = x 2 + y 2 + 2  1   2 15 2 30   ; ĐS: ( x; y ) =  1;  ;   ⋅  15    2   15  x2 2 2  2 +2 x +1+ y = 3 y  d)  y x + + y2 = 0 2  + + 1 x x  ĐS: ( x; y ) = ( 0; −1) . 6. Loại 6. Dựa vào định lý đảo Viét để tìm ra cách đặt ẩn phụ  x 2 + y 2 + xy + y = 8 a)  2  xy( y + xy + x + y ) = 12 ( x; y ) = ( 2;1) ; ( −3;1) ; 1 ± 7 ; 2  ĐS:    ⋅ ( x; y ) = 1 ± 3; 2 ;  3 ± 17     2    2 x 2 + xy + y = 5 b)  4 3 2  x + x y + x ( y + 1) + xy + y = 9 ĐS: ( x; y ) = ± 2; ±1 ± 2 .  2 y3 2 =2  x + xy + y + x + x+1 c)  2 2 x + y + y = 2  x+1   ±1 ± 17 ∓1 ± 17   ĐS: ( 0;1) ; ( 1; 0 ) ;  ;  ⋅   4 4      y 2 + x + xy − 6 y + 1 = 0 d)  3 2 2  y x − 8 y + x y + x = 0 ĐS: ( x; y ) = ( 1; 2 ) .  x 2 + xy + y 2 = 3 y − 1 e)  3 2 2  x + x y = x − x + 1  −1 ± 5 5 ∓ 5  ĐS: ( x; y ) =  ; ⋅  2 2   2 x 2 + xy = 1  f)  9 x 2 3 xy = 1+  4 2(1 − x)2  2(1 − x)  −1 ± 3  ĐS: ( x; y ) =  ;2⋅   2   ( ( ) ) ( ) 7. Loại 7. Biến đổi để xác định lượng đặt ẩn phụ  4 x + y + 2 x + y = 2 a)   2 x + y + x + y = 1 Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607  3 5 −9 ĐS: ( x; y ) =  3 − 5; ⋅   2   www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 241 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600  7 x + y − 2 x + y = 4 b)  2 2 x + y − 5 x + 8 = 2  56 13  ĐS: ( x; y ) =  ;  ⋅  5 5 (2 x − y + 2)(2 x + y) + 6 x − 3 y + 6 = 0 c)   2 x + 1 + y − 1 = 4 3  ĐS: ( x; y ) =  ; 5  ⋅ 2   1  x+ + x+y−3 =3 y  d)  2 x + y + 1 = 8  y  ĐS: 3  x y + xy = 5 + x e)  2 4 2 2 2  x ( x y − y + 2 y) = 5 + x ( x − 1)( y − 1)( x + y − 2) = 6 f)  2 2  x + y − 2 x − 2 y − 3 = 0 {( 4 ± } ) 10; 3 ∓ 10 ; ( 5; −1) ; ( 3;1) ⋅ ĐS: ( x; y ) = ( 1; 3 ) . ĐS: ( x; y ) = {( 2; 3 ) ; ( 3; 2 )} ⋅ 2 2 ( x + x)( y + y ) = 1 g)  2 2 2  x ( y + 1) + 2 y( x + x + 1) = 3  −1 ± 5 −1 ± 5  ĐS: ( x; y ) =  ; ⋅   2 2    x + y − 1 = 6 h)  2  x + 2 x + y + 2( x + 1) y − 1 = 29 ĐS: ( x; y ) =  2 x  y   2 − 1   2 − 9  = 18   y  x i)  y 2x   9x + x + 2 y + y = 4  1 1 ĐS: ( x; y ) =  ;  ⋅ 9 3  xy + x + y = 3  j)  1 1 2  x2 + 2 x + y 2 + 2 y = 3  ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ; ( −3; −3 ) ⋅  x  2  y  2  + =1 k)  y + 1   x + 1   2 2 1 + xy = x + y ĐS: ( x; y ) = ( 1; 0 ) ; ( 0;1) ⋅ x y 1 1 1 = 2 + 2 −1  + − y x xy x y  l)  2 2  x + y = x − xy + y x + 1 y + 1 xy  ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) .  x 4 − 4 x 2 + 2 y 2 − 6 2.y = −9 m)  2 2  2.x y + x + 2 2.y = 22  3 2  5 2   ĐS: ( x; y) =  ±2;  ;  ± 2;  ⋅  2   2     2( x − 1)  x+y−2 + x+y =3 n)   ( x + y) x − y + 2 = 6 x + y − 2   5 1  ĐS: ( x; y ) = ( 4; 2 ) ;  ;   ⋅  2 2   5 y( xy − 1) = 2( y 2 + 1) o)  2 2 x( xy − 1) = x + 1  2 x 2 − 5 xy − y 2 = 1 p)  2 2  y( xy − 2 y + 4 y − xy ) = 1 Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 {( 2;17 ) ; ( 3;10 )} ⋅ { { } } ĐS: ( x; y ) = ( 1; 2 ) . 3 2 2 ĐS: ( x; y ) =  ; ⋅  2 2   www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 242 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 IV. Sử dụng phương pháp đánh giá giải hệ phương trình đại số – vô tỷ 1. Sử dụng phương pháp hàm số VD 306. Giải các hệ phương trình sau: ( x 2 + 1 + x)( y 2 + 1 + y) = 1  a)  4 3x2 + 2 x − 2 2 = 9 x +  y y2   1± 7 1± 7  ĐS: ( x; y ) =  ; ⋅  3 3   8 x 3 + 2 y = y + 5 x + 2 b)  2 2 (3 x + 1 + 9 x )( y + 1 + y ) = 1 ĐS: ( x; y ) = ( 1; −3 ) . 3 2 3  x − 3x + 6 x − 4 = y + 3 y c)   x − 3 + y + 1 = 3 ĐS: ( x; y ) = ( 4; 3 ) .  x 3 + y 3 = 3 x 2 − 6 x − 3 y + 4 d)  2 2  x + y − 6 x + y − 10 = y + 5 − 4 x + y ĐS: ( x; y ) = ( 5; −4 ) .  x 3 − 3x 2 + 2 = y 3 + 3 y 2  e)  3 x − 2 = y 2 + 8 y ĐS: ( x; y ) = ( 3;1) .  x 3 − y 3 + 3 y 2 − 3x = 2 f)  2 2 2  x + 1 − x − 3 2 y − y + 2 = 0 ĐS: ( x; y ) = ( 0;1) .  x 3 − y 3 + 3x 2 + 6 x − 3 y + 4 = 0 g)  2 2  2 4 − x − 3 3 + 2 y − y − 3 x + 2 = 0 ĐS: ( x; y ) = ( 0;1) .  x 3 − 3x 2 − 9 x + 22 = y 3 + 3 y 2 − 9 y  h)  2 1 2 x + y − x + y =  2  1 3   3 1   ĐS: ( x; y ) =  ; −  ;  ; −   ⋅  2 2   2 2   (A – 2012)  x 3 − y 3 + 3 y 2 − 3x − 2 = 0 i)  2 2 2  x + 1 − x − 3 2 y − y + 2 = 0 VD 307. Giải các hệ phương trình sau: (2 x + 2) 2 x − 1 = y 3 + 3 y a)  2  y − xy + 5 = 5 x − 6 y  2x − x2 = 2 1 − y2 + 2x − 1  b)   x 3 − 3x 2 + 2 + ( y 2 + 2) 1 − y 2 = 0 2 (4 x + 1) x + ( y − 3) 5 − 2 y = 0 c)  2 2  4 x + y + 2 3 − 4 x = 7 ĐS: ( x; y ) = ( 0;1) . ( ) ĐS: ( x; y ) = 2 + 2;1 + 2 . { } ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ; ( 1; −1) ⋅ (A – 2010) 1  ĐS: ( x; y ) =  ; 7  ⋅ 2  2 y 3 + 12 y 2 + 25 y + 18 = (2 x + 9) x + 4 d)  2 2  3x + 1 + 3 x − 14 x − 8 = 6 − 4 y − y ĐS: ( x; y ) = ( 5;1) .  x 3 + 5 x + ( x 2 − 2 y + 6) x 3 − 2 y + 1 = 0  e)  1 3 2 8 x − 4 x − 3 x = 3 y −  2  1 ĐS: ( x; y ) =  1;  ⋅  2 2 y 3 + y + 2 x 1 − x = 3 1 − x f)  2 2 2  9 − 4 y = 2 x + 6 y − 7 ĐS: ( x; y ) = 1 − 2; ± 4 2 . Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 ( www.DeThiThuDaiHoc.com ) Page - 243 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 3 2 ( x + 1) x + 2 + 3 x + 2 = y + 3 y + 5 y + 3 g)  3 2 2 2  x + 2 x + x − 7 y − 14 y + 19 = 3 3 9( y + 1) ĐS: ( x; y ) = 1; 3 − 1 . (23 − 3x) 7 − x = (20 − 3 y ) 6 − y h)  2  2 x + y + 2 − −3x + 2 y + 8 = −3 x + 14 x + 8 ĐS: ( x; y ) = ( 5; 4 ) . 3 2  x + 2 x = 5 − 2 y i)  (15 − 2 x) 6 − x − (4 y + 9) 2 y + 3 = 0   5  ĐS: ( x; y ) = ( 1;1)( −1; 2 ) ;  −2;   ⋅ 2    (53 − 5x) 10 − x + (5 y − 48) 9 − y = 0 j)  2  2 x − y + 6 + x − 2 x − 66 = y − 2 x + 11 ĐS: ( x; y ) = ( 9; 8 ) . (4 x + 2)(1 + x 2 + x + 1) + 3 y(2 + 9 y 2 + 3) = 0 k)  3 4 x − 3 y + 5 + 3 1 − 3 y = 0  1 ĐS: ( x; y ) =  −1;  ⋅ 3  (18 x + 9) x 2 + x + 1 = y 4 y 2 + 27 l)  (2 y + 3)2 = 24 x (2 y − 9)  45 ± 24 3  ĐS: ( x; y ) =  7 ± 4 3; ⋅   2   ( VD 308. Giải các hệ phương trình sau:  y 3 = 2( 2 x 3 + 2 x − y) a)   y( y − x − 2) = 3 − 3 x )  9   ĐS: ( x; y) =  ; 3  ,(2 + 3;1 + 3)  ⋅  2    x + 1 + y − 3 + x − y = 2 b)  2 2  x − y + 1 = 2( y − x + 1 − x) ĐS: ( x; y ) = ( 3; 4 ) .  x+ y +3 y −7 x = 4  c)  (2 y − 1)2 − y xy = (2 x − 1)2 − x xy ĐS: ( x; y ) = ( 0;1) ; ( 1; 9 ) ⋅ 2 y + 1 − 2( x + y ) = x − y − 2 d)  2 3 3 y − 2 x + 6 − y − 3 = x + 1 ĐS: ( x; y ) = ( 4; 2 ) .  x + 1 + 4 x − 1 − y 4 + 2 = y e)  2 2  x + 2 x ( y − 1) + y − 6 y + 1 = 0 { (A – 2013) } { } ĐS: ( x; y ) = ( 1; 0 ) ; ( 2;1) ⋅  x + 3 + 4 x − 2 − 4 y 4 + 5 = y f)  2 2  x + 2 x( y − 2) + y − 8 y + 4 = 0 ĐS: ( x; y ) =  x 2 + 2 y 2 = 2 x − 4 y + 3 g)  2 2 2  3 x − 2 x − 5 + 2 x x + 1 = 2( y + 1) y + 2 y + 2   5 2  ĐS: ( x; y ) = ( −1; −2 ) ;  ;   ⋅  3 3    x = ( y 2 − 1)( y + 2) + 1 h)  2 2 2 2  xy( xy − 1) + x y = ( x + 1)( x + x + 1)  3 ± 13 −1 ± 13  ĐS: ( x; y ) = ( −1; 0 ) ;  ; ⋅   2 2   {( 2; 0 ) ; ( 3;1)} ⋅ 3 3 2 2 3+2 2   x − 8 y − 3x + 12 y + 6 x − 12 y = 2 y − 1 − x − 1 i)  ĐS: ( x; y ) =  ;3 + 2 2 ⋅   2 2 (2 xy + 1) 2 x = 6 y x + 4 y + 1   VD 309. Giải các hệ phương trình sau:  x 3 + xy 2 = y 6 + y 4 a)  2  3x + 1 + y + 3 = 4 ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ; 33; − 33 ; 33; 33 ⋅ 2 x 2 y + y 3 = x6 + 2 x 4 b)  2 ( x + 2) y + 1 = ( x + 1) ĐS: ( x; y ) = Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 { {( ( )( )( )} )} 3; 3 ; − 3; 3 ⋅ www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 244 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600  x11 + xy 10 = y 22 + y12 c)  4 4 2 2 7 y + 13 x + 8 = 2 y 3 x(3x + 3 y − 1)  16 5 + 89  ĐS: ( x; y ) =  ;± ⋅ 2  89 − 5     y 3 (3 x 2 − 4 x − 23) + 8 y = 8 d)  2 3  y ( x + 10 x + 27) − 6 y = 8  2 x+y  x (1 + 4 x) = y   e)   2   3 2 x − 1 + x 5 − y = y  2 ĐS: ( x; y ) =  2;  ⋅  3  y 3 (4 x 2 + 1) + 2( y 2 + 1) y = 6 f)  2 2 2  y x(2 + 2 4 x + 1) = y + y + 1 1  ĐS: ( x; y ) =  ;1  ⋅ 2   x x 2 + y + y = x 4 + x 3 + x g)   x + x + x − 1 + y( x − 1) = 4, 5  25 25  ĐS: ( x; y ) =  ;  ⋅  16 16  4 1 + 2 x2 y − 1 = 3x + 2 1 − 2x 2 y + 1 − x2  h)  2 x 3 y − x 2 = x 4 + x 2 − 2 x 3 y 4 y 2 + 1 2 x 3 − 4 x 2 + 3 x − 1 = 2 x 3 (2 − y) 3 − 2 y  i)   x + 2 = 3 14 − x 3 − 2 y + 1  3 5   ĐS: ( x; y ) =  − ; −  ; ( 0; y ) , ∀y ∈ ℝ  ⋅  5 6     1  ĐS: ( x; y ) = ( 1; 4 ) ;  ;1   ⋅  2    111  ĐS: ( x; y ) =  7; ⋅  98   x3 = ( y + 2) ( x + 1)( y + 1) x + j)  x+1  x y + 1 − 2x + x + 1 = 0   1+ 5  ĐS: ( x; y ) =  ;0⋅  2     2 4 x2 + 1 2 2  2 x + 3 = (4 x − 2 yx ) 3 − 2 y +  x k)  3 2 3  2 − 3 − 2y = 2x + x + x + 2  2x + 1  5 −1 3+ 5  ĐS: ( x; y ) =  ; ⋅  2 4     3  2 2  2( x − y ) + 2 ⋅ 1 +  = x + 2 xy + y − 4 2( x − y ) l)     2 2 3 x + 3 y + 5 = 10 xy  VD 310. Giải các hệ phương trình sau: ĐS: ( x; y ) = {( −1; −2 ) ; ( 2;1)} ⋅  1 3x + 4 2 x + 3y + 1 = y − y + a)  x+1  9y − 2 + 3 7 x + 2y + 2 = 2y + 3  ĐS: ( x; y ) = {( 8; 3) , ( 3; 2 )} ⋅  2 + 2 4y2 + 1 1 =  2 b)  x + x − 2 x + 2 y( x − 1)2  2 2  4 y x − 1 − x − 4 y + 3 x − 3 = 0  1 ĐS: ( x; y ) =  2;  ⋅  2  2 4 2 y − 9 y − + 2 = 0 x c)   4 x + 1 + xy y 2 + 4 = 0   1   4   ĐS: ( x; y ) =  − ; 2  ;  − ;1   ⋅  2   5    2( x − 2) x + 6 = 6 − y d)  2 ( x − 2) y + 2 = x − 4 x + 5. y + 1 ĐS: ( x; y ) = ( 3; 0 ) . Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 245 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600  2x + 1 x2 + x + 1  = y2 + 3  2y e)  ĐS: ( x; y) =  19 1 2 ( y − 1) − 30 = ( y − 1) − 7 x + 11  3x − 5 + 2 3 2 2  {( 2; 5) ; ( 3; 7 )}.  2 2 3  2 x + y + 1 + 2 7 x + 12 y + 8 = (8 y − y ) + y + 5 5 f)  ĐS: ( x; y ) = ( 0; 0 ) ; ( 1;1) ⋅ (2 x − 1) x + y = (6 − x − y) 2 − x  { } 2 2 2   2 ± 10 4 ∓ 10   ( x + y) x − 4 x + 5 + ( x − 2) x + 2 xy + y + 1 = 0 g)  ĐS: ( x; y ) = ( 2; 2 ) ;  ;  ⋅ 2 2 2 2   6 3  x − y( x − y ) = 2(1 − x + y )     VD 311. Giải các hệ phương trình sau:  x + x 2 − 2 x + 5 = 3 y + y 2 + 4  3 1   3 1   a)  ĐS: ( x; y ) =  ;  ;  ;   ⋅ 2 2  2 2   4 4    x − y − 3x + 3 y + 1 = 0  3 x 2 − 2 x − 5 + 2 x x 2 + 1 = 2( y + 1) y 2 + 2 y + 2   5 2  b)  ĐS: ( x; y ) = ( −1; −2 ) ;  ;   ⋅ 2 2  3 3    x + 2 y = 2 x − 4 y + 3 3 2 2  y + 3 y + y + 4 x − 22 x + 21 = (2 x + 1) 2 x − 1 ĐS: ( x; y ) = ( 1; 0 ) ; ( 5; 2 ) ⋅ c)  2  2 x − 11x + 9 = 2 y 16 3 y + 4 = 85 − 2 x 5  d)  ĐS: ( x; y ) =  ; 7  ⋅ 3 2  16( x − y) + 6 x(3 − 4 x) = 6 3 y + 1 + 21  2  2   5  8 y + 24 y + 18 + 2 2 + 2 y 2 + 3 2   x + 2 − x  = 2 e)  ĐS: ( x; y ) =  1 ± 5; −1 ± ⋅  2   x 2 − 2 y − 6 = 8 y − 17    xy + 2 = y x 2 + 2  1  f)  ĐS: ( x; y ) =  − ;1  ⋅ 2 2 2  2   y + 2( x + 1) x + 2 x + 3 = 2 x − 4 x ( x 2 + 1 − 3x 2 y + 2)( 4 y 2 + 1 + 1) = 8 x 2 y 3  1 ĐS: ( x; y ) =  4;  ⋅ g)  2  8  x y − x + 2 = 0 { } 2. Sử dụng phương pháp bất đẳng thức VD 312. Giải các hệ phương trình sau:  2 x 2 xy + x 3 + y 3 = 4 x 2 y a)  2  y + x = −2 x + 14 y − 9 ĐS: x = y =  x 2 − y 2 + y 2 − x 2 = 2 b)  2 2 3  5 x y − 4 xy + 3 y − 2 x − 2 y = 0   2 2 2   ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ,  ;  ⋅  5 5     4 x4 − 8 x2 y + 4 y 3 + 2 − 1 = 0  c)  x y 1 + =  2 2 2 1− y (1 − x )(1 − y 2 )  1− x  2 2 ĐS: ( x; y ) =  ; ⋅  2 2     (12 − y) x 2 + y(12 − x 2 ) = 12 d)   3x − 5 + 2 3 19 x − 30 = 35 − 2 y − 7 x ĐS: ( x; y ) = ( 3; 3 ) . 2  x 12 − y + y(12 − x ) = 12 e)  3  x − 8 x − 1 = 2 y − 2 ĐS: ( x; y ) = ( 3; 3 ) . Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 (A – 2014) 19 + 37 7 − 13 ;x = y = ⋅ 18 2 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 246 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600  5x 2 + 2 xy + 2 y 2 + 2 x 2 + 2 xy + 5 y 2 = 3( x + y ) f)   2 x + y + 1 + 2 3 7 x + 12 y + 8 = 2 xy + y + 5 ĐS: ( x; y ) = ( 0; 0 ) ; ( 1;1) ⋅  x 2 + xy + 2 y 2 + y 2 + xy + 2 x 2 = 2( x + y ) g)  (8 y − 6) x − 1 = (2 + x − 2)( y + 4 y − 2 + 3)   22 22   ĐS: ( x; y ) = ( 2; 2 ) ;  ;   ⋅  9 9    x2 + y 2 x 2 + xy + y 2  + = x+ y h)  2 3   x 2 xy + 5 x + 3 = 4 xy − 5 x − 3 ĐS: ( x; y ) = ( 3; 3 ) .  4 x2 + y 2 4 x 2 + 2 xy + y 2  + = 2x + y i)  2 3  3 5 x + 1 − 2 7 x + 6 = 4 ĐS: ( x; y ) = ( 3; 6 ) .  x 2 xy y  + = y + 1 x + 1 j)  xy + 1  3 2  3x − 5 + 2 19 x − 30 = 2 x − 7 x + 11 ĐS: ( x; y ) =  y 3 + 5 x 2 + 6 x = ( x + 2)( 2 y + 2 + 5 − x )    k)  1 1 =2 + ( x + y )   x + 3 y 3 x + y    ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) .  xy + 6 y x − 1 + 12 y = 4  l)  xy 1 2 x  1 + y + xy + y = x+ y   1 ĐS: ( x; y ) =  10;  ⋅ 10    1 1 2 + =  2 2 1 + 2 xy  1 + 2y m)  1 + 2 x 2   x(1 − 2 x) + y(1 − 2 y ) = 9 (VMO – 09) { } {( 2; 2 ) ; ( 3; 3 )} ⋅  9 ± 73 9 ± 73  ĐS: ( x; y ) =  ; ⋅  36 36   ( x + 7 y ) x + ( y + 7 x) y = 8 2 xy( x + y ) n)  2(1 − y) x 2 + 2 x − 1 = y 2 − 2 x − 1 ĐS: ( x; y ) = ( x + 1) x + 2 + 3 x + 2 = y 3 + 3 y 2 + 5 y + 3 o)  3 2 2 2  x + 2 x + x − 7 y − 14 y + 19 = 3 3 9( y + 1) ĐS: ( x; y ) = 1; 3 − 1 .  2 y 3 − ( x + 4) y 2 + 8 y + x 2 − 4 x = 0  p)  1 − x 1 + x + 2 y + 3 = 4( x − 1)2 + 8 y −  2  2 VD 313. Giải các hệ phương trình sau: ( 6 − 1; 6 − 1 . ) ( ) 1 1 ĐS: ( x; y ) =  ;  ⋅ 2 4  9 − (1 − x 2 y)2 = x 4 + y 4 + 1  a)   4 + ( x − y)2 = 2 x 3 y 2 + x 4 − x6 ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) .  2 xy = x2 + y x + 3 2 x − 2 x + 9  b)  2 xy y + = y2 + x 2 3  y − 2y + 9  ĐS: ( x; y ) = ( 0; 0 ) ; ( 1;1) ⋅ Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 { www.DeThiThuDaiHoc.com } Page - 247 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600  y  1  x +  xy +  = 4 y x  x c)   2 ( x − 1) y + x( y − 1) = 0 ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) . ( x − 1) y + ( y − 1) x = 2 xy d)   x y − 1 + y x − 1 = xy ĐS: ( x; y ) = ( 2; 2 ) .  x2 y2 1 + =  e)  ( y + 1)2 ( x + 1)2 2  x + y + 1 = 3 xy    1 1  ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) ;  − ; −   ⋅  3 3    x 2 + 2 x − 2 = − y 2 − 4 y − 2 f)  6 x − y − 11 + 10 − 4 x − 2 x 2 = 0 ĐS: ( x; y ) = ( 1; −3 ) . 2 x + y 2 + y + 3 − 3 y = x + 2 g)   y 3 + y 2 − 3 y − 5 = 3 x − 3 x + 2 ĐS: ( x; y ) = ( −1;1) .  1 2 2  2 − x + 2 − 2 = 1+ y  x h)  x + 1 = 2 2 − y ( )  x ĐS: ( x; y ) = ( 1;1) .  2 x + 2 4 6 − x − y 2 = 2 2 i)  4  2 x + 2 6 − x + 2 2 y = 8 + 2 ĐS: ( x; y ) = 2; 2 . ( ) BÀI TẬP RÈN LUYỆN TỔNG HỢP HỆ PHƯƠNG TRÌNH BT 448. Giải các hệ phương trình sau: 2  x − 2 xy + x + y = 0 a)  4 2 2 2  x − 4 x y + 3 x + y = 0  x 2 + y 2 + xy + 2 y + x = 2 c)  2 2 2 x − y − 2 y − 2 = 0 8 x 3 − 1 + 6 xy 2 = y 12 x 2 + y 2  e)  2 2 2  x + y − 4 x x + y − 2 x − 5 = 14  x + 2 y − x − 2 y = 2 g)  3 2 2  x + 3 + x − 4 y = 5  x ( x + y + 1) − 3 = 0  i)  2 5 ( x + y ) − 2 + 1 = 0 x  ( ( ) ( )(  x 3 + y 3 = 1 k)  2 2 3  x y + 2 xy + y = 2  x 2 + 2 y 2 = xy + 2 y m)  3 2 2 2 2 x + 3xy = 2 y + 3x y BT 449. Giải các hệ phương trình sau: 2 y 2 + xy − x 2 = 0 a)  2 2  x − xy − y + 3 x + 7 y + 3 = 0 Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 ) ) 3 2  x + 3 xy + 49 = 0 b)  2 2  x − 8 xy + y = 8 y − 17 x 2 x 2 y + 3xy = 4 x 2 + 9 y d)  2 7 y + 6 = 2 x + 9 x  x − x − y − 1 = 1 f)  2 2  y + x + 2 y x − y x = 0  7 x + y − 2 x + y = 4 h)  2 2 x + y − 5 x + 8 = 2 3 3 3 2 16 x y − 9 y = ( 2 xy − y ) 4 xy + 3 j)  2 2 2 2  4 x y − 2 xy + y = 3 ( )  x 3 − 2 y 3 = x + 4 y l)  2 2 13x − 41xy + 21y = −9  x 3 − xy 2 + y 3 = 1 n)  4 4 4 x − y = 4 x − y 2 2  x + 2 y − 3xy + x − y = 0 b)  2 2  x − 3 y + 4 y − 1 = 0 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 248 - www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán T T. HOÀNG GIA – 56 Phố Chợ, Tân Thành, Tân Phú: 0988985600 2 x 3 + 2 x 2 y − xy = y 2 − x − y c)  3 2 2 x − xy + x = 4  x + y + x − y = 1 + x 2 − y 2 e)   x + y = 1 2 2  x − 2 y + xy + x − y = 0 d)  3 3 2 2  x − y + 2 x y + y = −1 2 x 2 − 8 xy 2 − xy + 4 y 3 = 0 g)  3 2 16 x + 2 x − 8 y + 5 = 0 3 2  x − 3 x + x + 3 y = xy + 3 i)  2 2 2 y − 3xy − 9 x + 3 x = y 2  y + ( y − 3 ) x − 4 y = −3 k)  3  x − 2 + 2 − y = 3  y2 + 2  y2 − x = 2x − 2 m)  x  2 3  y + 1 + 2x − 1 = 1 2 2 2 x + xy − y = 5x − y − 2 h)  2 2  x + y + x + y = 4  x 2 + 5x − xy = 3 y − 6 j)  2 2 4 x y − 3 xy + 2 y = 9  x 3 + 2 y 2 + y = x 2 y + 2 xy + x l)  2 2  5 x − 2 y − 2 + 3 y − 2 x − 4 = 4 2 xy − y + x + y = 5 o)   5 − x + 1 − y = 1  x − 2 y − xy = 0 q)   x − 1 − 2 y − 1 = 1  x 3 + 2 y 2 = x 2 y + 2 xy p)  2 3 2 x − 2 y − 1 + 3 y − 14 = x − 2 9 x 4 + 24 y 3 − xy 2 + 7 y 2 = 16 − x + 24 y s)  3 2 8 y + 9 y + 20 y − 3 6 y + 1 + 15 = x  6x  − 2 = 3x − y + 3 y u)  y  2 3x + 3x − y = 6x + 3 y − 4 BT 450. Giải các hệ phương trình sau: 1 1 x + y = 9  a)      1 + 1   1 + 1   1 + 1  = 18    3 x 3 y   3 x    3 y    4 x 2 + 4 xy + y 2 + 2 x + y = 2 f)  2 8 1 − 2 x + y − 9 = 0  x 2 + y 2 = 5 n)   y − 1 ( x + y − 1) = ( y − 2 ) x + y 3 2 2 3 2  x − 3x y − 4 x + 4 y + 16 xy − 16 y = 0 r)   x − 2 y + x + y = 2 3  x 3 + y 3 + 6 xy = 8 t)  2 2  x + y = 2 x + y + 14  y 12 = 3 + x − 2 4 y − x v)  x  y + 3 + y = x2 − x − 3   3 85 2 2 =  4 x + xy + y + 2  (x + y) 3 b)   2 x + 1 = 13  x+y 3  ( )  2 13 2  x + y = 2 c)  3 y 2 x + x 3 = 35  2  2 1 9 2 + =0  x + y + 6 xy − 2 8  (x − y) d)  2 y − 1 + 5 = 0  x−y 4   x 2 + 2 y 2 + 3xy + 3 = 0  e)  x − y + 18 =9 x−y 2   ( x + y)   1  ( x + y )  1 + =4 xy    f)   x + y =1  x2 + 1 y 2 + 1    x2 + y 2  g)   3 3  x +y   1  xy + xy = 2  h)  ( x + y )  1 + 1  = 4    xy    ( ( 2 )  1  1 +  =8 xy   )  1  1 +  = 16 xy   3 Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – 0933.755.607 www.DeThiThuDaiHoc.com Page - 249 -