Tài liệu Chuyên đề hệ có khối lượng biến thiên, chuyển động của tên lửa

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TỈNH TUYÊN QUANG TRƯỜNG THPT CHUYÊN TUYÊN QUANG CHUYÊN ĐỀ: HỆ CÓ KHỐI LƯỢNG BIẾN THIÊN, CHUYỂN ĐỘNG CỦA TÊN LỬA Tác giả : Nguyễn Tuyết Hạnh Trường THPT Chuyên tỉnh Tuyên Quang I - HỆ CÓ KHỐI LƯỢNG BIẾN THIÊN 1. Định nghĩa Có những hệ không chỉ trao đổi năng lượng với bên ngoài mà còn trao đổi cả vật chất nữa. Những hệ đó có khối lượng biến thiên theo thời gian và gọi là hệ mở. 2. Phương pháp nghiên cứu Để nghiên cứu hệ có khối lượng biến thiên, ta phải qui về hệ có khối lượng không biến thiên vì ta đã biết những định luật cơ bản áp dụng cho hệ này. Bằng cách đó ta thiết lập được các định luật áp dụng riêng cho hệ mở. II – ĐỊNH LUẬT II NIU-TƠN ÁP DỤNG CHO HỆ CÓ KHỐI LƯỢNG BIẾN THIÊN. Để thiết lập định luật ta xét chuyển động của hệ mở trong HQC quán tính. 1 Giả sử ở thời điểm t hệ có khối lượng m, đang chuyển động với  vận tốc v . Ngoài ra còn có một khối lượng rất nhỏ dm chuyển động với vận tốc  v1 đến sát nhập vào hệ. Sau khoảng thời gian rất nhỏ dt, khối lượng của hệ biến thiên từ m đến m + dm, còn vận tốc của hệ biến thiên từ  v1 Tại thời điểm t: dm • m m+ dm  v   đến v +d v  v   v  dv Tại thời điểm t + dt Bây giờ ta xét hệ gồm m và dm. Hệ này có khối lượng không biến thiên. Trong khoảng thời gian dt, động lượng của hệ biến thiên một lượng  dp      dp = (m  dm).(v  dv )  (mv  dm.v1 )        dp mv  mdv  dmv  dmdv  mv  dmv1  ( dm.dv  bỏ qua)     dp mdv  dm(v  v1 ) Áp dụng định luật II Niu-tơn dưới dạng tổng quát cho hệ m + dm:    dp dv   dm  Fngluc  dt m dt   v  v1  dt ; Đặt    v1  v u (vận tốc tương đối của dm so với m) 2  F ngluc Hay:   dm ma  u dt    dm mt a  Fngluc  u dt (*) (*) là công thức định luật II Niu-tơn áp dụng cho hệ có khối lượng biến thiên theo thời gian. +  dm u dt có thứ nguyên của lực, đó là lực do dm tác dụng vào m khi sát nhập vào m hay khi tách ra khỏi m. + Lực  dm u phụ dt thuộc vào hai yếu tố là: dm • dt là tốc độ truyền khối lượng cho m hay tốc độ tách khối lượng ra khỏi m.  • u là vận tốc tương đối của dm so với m. III - CHUYỂN ĐỘNG CỦA TÊN LỬA VÀ MÁY BAY PHẢN LỰC. 1. Tên lửa. Tên lửa là một hệ có khối lượng giảm dần do nhiên liệu bị đốt cháy thành khí phụt ra ngoài (dm < 0). Các ngoại lực tác dụng vào tên lửa là trọng lực và lực cản của không khí. 2. Lực đẩy tên lửa Lực  dm u là dt lực đẩy tên lửa. Gọi  là khối lượng khí đốt phụt ra trong một giây (hay là tốc độ tiêu thụ nhiên liệu) 3   dm dt (vì µ > 0) Khi đó lực đẩy tên lửa có dạng:   Fd  u  3. Định luật chuyển động của tên lửa. - Phương trình:  u     mt a mt g  FC  u  là vận tốc của khí đốt phụt ra so với tên lửa 4. Máy bay phản lực. Máy bay phản lực là một hệ có khối lượng biến thiên do nó trao đổi không khí với bên ngoài. Nó hút không khí từ bên ngoài vào để đốt cháy nhiên liệu. Khí đốt sinh ra lại thoát ra ngoài. Không khí hút vào gây ra lực cản, còn khí phụt ra (bao gồm cả nhiên liệu bị đốt cháy thành khí) gây ra lực đẩy. - Phương trình:     ma  Fngluc    kk   nh.l u ra  u vao  kk     Fd    kk   nh.l u ra ; Fcan u vao  kk IV - BÀI TẬP VÍ DỤ Bài 1: Một chiếc xích được giữ thẳng đứng, đầu dưới chạm nhẹ vào mặt bàn. Xích có khối lượng m, dài l. Người ta thả tay cho xích rơi xuống. a) Tính lực mà xích tác dụng lên bàn khi đầu trên rơi được một đoạn đường bằng x b) Lực này cực đại bằng bao nhiêu và khi nào cực đại? GIẢI 4 Chọn t = 0 là lúc thả xích. Xét phần xích đã nằm trên mặt bàn. Phần xích này là một hệ có khối lượng tăng dần, gia tốc a = 0, ngoại lực tác dụng gồm P,N. Ở thời điểm t, đầu trên của sợi xích đi được quãng đường x = gt2/2, mỗi phần tử xích đang chuyển động có vận tốc v = gt. Chiều dài phần xích đang nằm trên mặt bàn là x = gt2/2 Khối lượng phần xích nằm trên bàn tăng dần theo thời gian: mt = m mgt 2 x l 2l Áp dụng phương trình định luật 2 Niu- tơn cho vật có khối lượng biến thiên:    dmt ma  Fngluc  u dt chọn chiều dương hướng xuống: u = v = gt 0 = mt g - N + 0= N= mg 2 t 2 2l d mgt 2 gt. dt ( 2l ) -N+ 3 mg 2 t 2 2 l = mg 2 t 2 l 3mgx l N cực đại khi mắt xích cuối cùng đạp vào bàn: x = l; Nmax = 3mg. Bài 2: 5 Một dây xích AB, dài l có một phần nằm trong một ống nằm ngang, nhẵn và một phần dài h nằm lơ lửng ở ngoài. Đầu B của dây xích nằm ngoài ống, chạm nhẹ vào mặt bàn. Đầu A của dây xích nằm trong ống. Người ta thả đầu A của xích. Tìm tốc độ của đầu A khi nó vừa rời khỏi ống. GIẢI Chọn t = 0 là lúc bắt đầu thả đầu A. Xét đoạn xích đang chuyển động, đây là một hệ có khối lượng giảm dần, vì cứ sau khoảng thời gian dt lại có một mắt xích dài dx rời khỏi hệ và nằm yên trên bàn. Chọn chiều dương là chiều chuyển động, tại thời điểm t, khi đầu A đi được một đoạn đường x và có vận tốc v thì khối lượng đoạn xích đang chuyển động là u = 0;  mt  m F  gh l Theo phương trình Ta có: m l  x ; l    dm mt a  Fngluc  u dt m  l  x  dv  m gh   l  x  dv  ghdt  dv  gh dx l dt l l x v v l h dx x Tích phân 2 vế: vdv  gh l  0 Vậy: v  2 gh ln 0 ta được v2 l  gh ln 2 h l h Bài 3: Lúc t = 0, một cái xe đựng cát có khối lượng tổng cộng của xe và cát là mo đang đứng yên trên mặt phẳng ngang, nhẵn thì chịu tác dụng của một lực F không đổi theo phương ngang. Do có một lỗ 6 thủng ở sàn xe nên cát chảy xuống với tốc độ không đổi µ kg/s. Xác định vận tốc và gia tốc của xe ở thời điểm t? GIẢI Xe đựng cát có khối lượng giảm dần do cát chảy ra khỏi xe. Chọn chiều dương là chiều chuyển động của xe. Khi cát rời khỏi xe thì tốc độ của cát so với xe u = 0. Khối lượng của xe ở thời điểm t là m = m0 - µt, theo công thức    dm mt a  Fngluc  u dt do đó gia tốc của xe là a a F m0  t dv F F   dv  dt dt m0  t m0  t v Tích phân 2 vế: t F dt dv    m 0 0t 0  F m0 v  ln  m0  t Bài 4: Một tàu vũ trụ khối lượng M0 đang chuyển động không ngoại lực tác dụng với vận tốc không đổi v0. Muốn thay đổi hướng chuyển động của con tàu người ta cho hoạt động một động cơ phản lực để phụt một luồng khí có tốc độ u không đổi đối với con tàu, đồng thời luồng khí có hướng luôn vuông góc với hướng chuyển động của con tàu. Khi kết thúc thời gian hoạt động của động cơ thì khối lượng 7 tàu là M. Hỏi hướng chuyển động của con tàu lệch góc α bằng bao nhiêu so với hướng chuyển động ban đầu? GIẢI Do luồng khí phụt có hướng luôn vuông góc với hướng chuyển động của con tàu nên tốc độ của tàu không đổi bằng v0, nhưng hướng vận tốc thay đổi. Trong thời gian nhỏ dt thì phương của vận tốc biến đổi dα dv dv = v0dα Theo phương trình v0    dm mt a  Fngluc  u dt dα v’0 u Do không có ngoại lực nên  F 0 , ta có:    dm dv  dm m u  dv u dt dt m (*)  Chiếu (*) lên chiều của d v ta được dv  u dm m Thay dv = v0dα: d   u dm v0 m  Tích phân 2 vế: M u dm d   v0 M m 0 0 u M0 ln v0 M Bài 5: Một xe tải có khối lượng ban đầu m0 và vận tốc ban đầu v0 chuyển động trên đường nằm ngang. Mưa rơi thẳng đứng, nước đọng trong thùng xe với khối lượng không đổi µ trong mỗi giây. Tìm vận 8 tốc của xe ở thời điểm t, nếu lực cản lên xe tỉ lệ với vận tốc theo công thức F = b.v, với b là hệ số tỉ lệ không đổi. GIẢI Khối lượng của xe ở thời điểm t là mt = m0 + µt; Theo phương trình  dm dt    dm mt a  Fngluc  u dt Chọn chiều dương là chiều chuyển động của xe:  m0  t  dv  bv  dt v   b    v  dv dt   b    v  m0  t  Tích phân hai vế:  b    ln m0  t ln( m0 ) dv dt v   b      ln   v m0  t v0  m0 m0  t v0 0 v t  m0   v v0  m   t  0  b    b  1    Bài 6: Một máy bay phản lực đang bay ngang với tốc độ 180m/s. Trong mỗi giây động cơ của nó hút vào 68m3 không khí có khối lượng 70kg. Khối lượng này dùng để đốt hết 2,9 kg nhiên liệu trong mỗi giây. Động cơ nén khí đốt và phụt nó ra sau máy bay với tốc độ 490m/s so với máy bay. Hãy tính lực đẩy và công suất của động cơ. GIẢI Chọn chiều dương là chiều chuyển động của máy bay. 9 - Phương trình:   Fd    kk   nh.l u ra ;   Fcan u vao  kk ; Fd = 35700N Fcản = -12600N Lực đẩy thực: F = Fd - FC = 23100N. Công suất của động cơ: P = F.v = 4,2.106 W Bài 7: Một tên lửa bay ra xa trái đất. Khi nó đạt độ cao 6400km thì động cơ của nó lại hoạt động để khí đốt phụt ra với tốc độ 1200m/s (so với tên lửa). Biết rằng lúc đó tên lửa có khối lượng 25000kg và cần một gia tốc 1,7m/s2. Hãy xác định tốc độ tiêu thụ nhiên liệu. kính trái đất R = 6400km; g = 9,8m/s2. Bỏ qua sức cản của không khí. GIẢI Phương trình:     ma mg  FC  u  Chiếu lên chiều dương là chiều chuyển động của tên lửa: ma = -mg’ + u = g'  mg  u 4 G.M  R  R 2  g 4  = 86,5kg/s Bài 8: Một tên lửa được phóng lên thẳng đứng từ mặt đất. Vận tốc khí phụt ra đối với tên lửa là 1000 m/s. Tại thời điểm phóng tên lửa có khối lượng 6 tấn. Tìm khối lượng khí phụt ra trong 1s để: 1) Tên lửa lên rất chậm ( 60 kg/s) 10 2) Tên lửa lên ndđ với a=2g=20 m/s2 (180 kg/s) GIẢI - Phương trình chuyển động của tên lửa:     ma mg  FC  u - Chiếu lên chiều dương là chiều chuyển động của tên lửa: ma = -mg + u = -m.g  u a) Tên lửa lên rất chậm: a = 0  = 60 kg/s b) Tên lửa lên ndđ với a =2g=20 m/s2  = 180 kg/s) - Hết- 11