VINAMATH.COM
Không có việc gì khó
Chỉ sợ lòng không bền
Đào núi và lấp biển
Quyết chí cũng làm nên
Hồ Chí Minh
Chuyên đề
Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm
Số Lôgarit
§1. Lũy Thừa
A. Kiến Thức Cần Nhớ
1. Các định nghĩa.
• Lũy thừa với số mũ nguyên dương:
(a ∈ R, n ∈ N∗ ).
an = a.a...a
| {z }
n thừa số
• Lũy thừa với số mũ 0:
• Lũy thừa với số mũ nguyên âm:
• Căn bậc n:
Lưu ý:
• Lũy thừa với số mũ hữu tỷ:
• Lũy thừa với số mũ thực:
a0 = 1
(a 6= 0).
a−n = a1n
(a 6= 0, n ∈ N∗ ).
b là căn bậc n của a ⇔ bn = a.
√
Khi n lẻ thì a có đúng một căn bậc n là n a.
Khi n chẵn thì a < 0 không có căn bậc n.
a = 0 có một căn bậc n là 0.
√
a
> 0 có hai căn bậc n là ± n a.
√
m
a n = n am
(a > 0; m, n ∈ Z; n ≥ 2).
α
rn
a > 0; (rn ) ⊂ Q; lim rn = α .
a = lim a
n→+∞
n→+∞
2. Các tính chất của lũy thừa với số mũ thực.
Cho hai số a, b > 0 và α, β là những số thực tuỳ ý. Ta có
aα
• aα .aβ = aα+β .
• β = aα−β .
a
β
• (aα ) = aαβ .
a α
aα
α
• (ab) = aα .bα .
= α.
•
b
b
• Nếu a > 1 thì aα > aβ ⇔ α > β.
• Nếu 0 < a < 1 thì aα > aβ ⇔ α < β.
• Nếu α > 0 thì 0 < a < b ⇔ aα < bα .
• Nếu α < 0 thì 0 < a < b ⇔ aα > bα .
B. Bài Tập
5.1. Tính giá trị các luỹ thừa sau
−1,5
− 23
− (0, 125) .
−0,75
2
1
c) 27 3 +
− 250,5 .
16
− 13 − 35
1
1
−
.
e) 81−0,75 +
125
32
√
√
√
g) 42 3 − 4 3−1 .2−2 3 .
a) (0, 04)
5.2. Rút gọn các biểu thức sau
5
5
x 4 y + xy 4
a) √
.
√
4
x+ 4y
− 34
1
b)
+
.
8
−1 12
1
−4
0,25
d) (−0, 5) − 625
− 2
.
4
f)
1
16
−0,75
102+
√
7
√ .
7 1+ 7
22+
q
q .5
q
√
√
√
6
3
3
h)
25 + 4 6 − 1 + 2 6
1 − 2 6.
√
1
b)
a3
√
√
6
1√
b + b3 a
√
.
a+ 6b
VINAMATH.COM
1
VINAMATH.COM
Nguyễn Minh Hiếu
√
√
√
√
a− b
a − 4 ab
√ − √
√ .
c) √
4
− 4 b 4 a + 4 b
a√
√
√
√
a2 3 − 1 a2 3 + a 3 + a3 3
√
√
.
e)
a4 3 − a 3
√
√
a+ 4a 1
a−1
.a 4 + 1.
g) 3
1 . √
a+1
a4 + a2
a−b
a+b
√
√ .
− √
3
3
a− b
a+ 3b
2
√
√
√
a+b
3
3
3
√
f) √
ab
:
a
−
b
−
.
3
a+ 3b
!
!− 23
1
3
1
1
b2
b2
a2 − b2
+ 1
.
h) a + 1
1
1
a2
a2
a2 − b2
d) √
3
5.3. Hãy
√ so sánh
√ các cặp số sau
√
√
4
5
a) 3 10 và 5 20.
b) √
13 và
23. √
√
√
3
600
400
c) 3
và 5 .
d) 7 + 15 và 10 + 3 28.
p
p
√
√
5.4. Tính A = a + b + c + 2 ab + bc + a + b + c − 2 ab + bc,
(a, b, c > 0, a + c > b)
§2. Lôgarit
A. Kiến Thức Cần Nhớ
1. Định nghĩa. α = loga b ⇔ aα = b (a, b > 0; a 6= 1).
2. Tính chất.
• loga 1 = 0.
• loga a = 1.
• Khi a > 1 thì loga b > loga c ⇔ b > c.
3. Quy tắc tính.
• loga (bc) = loga b + loga c.
• loga 1b = −loga b.
√
• loga n b = n1 loga b.
• loga b = log1 a .
b
• loga (aα ) = α.
• aloga b = b.
• Khi 0 < a < 1 thì loga b > loga c ⇔ b < c.
•
•
•
•
loga cb = loga b − loga c.
loga bα = αloga b.
loga b = loga c.logc b.
logaα b = α1 loga b.
4. Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên.
• Lôgarit thập phân: Là lôgarit có cơ số a = 10. Ký hiệu: log x hoặc lg x.
• Lôgarit tự nhiên: Là lôgarit có cơ số a = e. Ký hiệu: ln x.
B. Bài Tập
5.5. Tính √
a) log3 4 3.
d) log 45 − 2 log 3.
√
g) 5 ln e−1 + 4 ln e2 e .
5.6. Đơn giản biểu√thức
log2 4 + log2 10
.
a)
log2 20 + log2 8
!
√ √
5
a2 . 3 a. a4
√
d) loga
.
4
a
1
g) 161+log4 5 + 4 2 log2 3+3log5 5 .
5.7. So sánh các cặp số sau:
a) log3 65 và log3 56 .
d) log5 3 và log0,3 2.
b) 2log27 log 1000.
e) 3log2 log4 16 + log 12 2.
√
27
h) log 72 − 2 log 256
+ log 108.
c) log25 8.log8 5.
f) log2 48 − 13 log2 27.
√
i) log 0, 375 − 2 log 0, 5625.
log2 24 − 12 log2 72
b)
.
log3 18 − 13 log3 72
rq
√
5 5
5
e) log5 log5
... 5.
| {z }
1 1 n dấu căn
h) 81 4 − 2 log9 4 + 25log125 8 49log7 2 .
c) log7 2 +
b) log 12 e và log 12 π.
1
log5 7
log 7.
f) 92log3 4+4log81 2 .
1
√
i) 72 49 2 log7 9−log7 6 + 5−log 5 4 .
c) log2 10 và log5 30.
f) log3 10 và log8 57.
e) log3 5 và log7 4.
5.8. Tính log4 1250 theo a, biết a = log2 5.
5.9. Tính log54 168 theo a, b, biết a = log7 12, b = log12 24.
5.10. Tính log140 63 theo a, b, c, biết a = log2 3, b = log3 5, c = log7 2.
3
5.11. Tính log √
25 135 theo a, b, biết a = log4 75, b = log8 45.
5.12. Chứng minh rằng ab + 5 (a − b) = 1, biết a = log12 18, b = log24 54.
1
1
1
5.13. Cho y = 10 1−log x , z = 10 1−log y . Chứng minh rằng x = 10 1−log z .
5.14. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng (abc)
a+b+c
3
≤ aa bb cc .
VINAMATH.COM
2
VINAMATH.COM
Chuyên đề 5. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit
§3. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit
A. Kiến Thức Cần Nhớ
y
y
1. Hàm số luỹ thừa.
α>0
α<0
• Dạng: y = xα (α ∈ R).
• Tập xác định:
Nếu α nguyên dương thì D = R.
Nếu α = 0 hoặc nguyên âm thì D = R\ {0}.
x
x
Nếu α không nguyên thì D = (0; +∞).
O
O
• Đạo hàm: y 0 = αxα−1 .
• Tính chất: (Xét trên (0; +∞))
α > 0: Hàm số luôn đồng biến.
α < 0: Hàm số luôn nghịch biến.
y
y
2. Hàm số mũ.
x
• Dạng: y = a
(0 < a 6= 1).
a>1
0
1: Hàm số luôn đồng biến.
x
x
O
O
a < 1: Hàm số luôn nghịch biến.
y
y
3. Hàm số lôgarit.
a>1
0 1: Hàm số luôn đồng biến.
a < 1: Hàm số luôn nghịch biến.
4. Đạo hàm của hàm số lũy thừa, mũ và lôgarit.
0
0
0
0
0
• (xα ) = αxα−1 .
• (uα ) = αuα−1 .u0 . • (ex ) = ex .
• (eu ) = u0 eu .
• (ax ) = ax ln a.
0
1
1
u
u0
0
0
0
0
. • (loga u)0 =
• (loga x) =
• (ln x) = .
• (au ) = u0 au ln a.
• (ln u) = .
.
x
x ln a
u
u ln a
B. Bài Tập
5.15. Tìm tập xác định của các hàm số sau
−2
2
a) y = x2 − 2
.
b) y = 2 − x2 7 .
d) y = log2 (5 − 2x).
e) y = log3 x2 − 2x .
√2
c) y = x2 − x − 2
.
.
f) y = log0,4 3x+2
1−x
5.16. Tính đạo hàm của √các hàm số sau
2
b) y = 3x2 − ln x + 4 sin x.
a) y = 3x2 − 4x + 1
.
ex
e) y = ln 1+e
d) y = log x2 + x + 1 .
x.
π
ln x+1
h) y = 42 ln
g) y = e4x + 1 − ln x .
x−5 .
c) y = 2xex + 3 sin 2x.
f) y = x2 − 14 e2x .
i) y = ln 2ex + ln x2 + 3x + 5 .
5.17. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau
a) y = x − e2x trên [0;1].
b) y = e2x − 2ex trên [−1;
2].
2
e) y = ln 4 − 3x2 − x4 .
d) y = ln 3 + 2x − x trên [0; 2].
g) y = x2 e−x trên [0; ln 8].
h) y = x2 ln x trên [1; e].
c) y = (x + 1) ex trên [−1; 2].
f) y = x2 − ln (1 − 2x) trên [−2; 0].
i) y = 5x + 51−x trên [0; log5 8].
§4. Phương Trình & Bất Phương Trình Mũ
A. Kiến Thức Cần Nhớ
1. Phương trình mũ cơ bản.
• Dạng: ax = b (0 < a 6= 1).
• Cách giải:
b ≤ 0: Phương trình vô nghiệm.
b > 0: ax = b ⇔ x = loga b.
2. Bất phương trình mũ cơ bản.
• Dạng: ax > b (0 < a 6= 1).
• Cách giải:
b ≤ 0: S = R.
b > 0, a > 1: ax > b ⇔ x > loga b.
0 < a < 1: ax > b ⇔ x < loga b.
Lưu ý. Các dạng ax ≥ b; ax < b; ax ≤ b dựa vào dấu để có cách giải tương ứng.
VINAMATH.COM
3
VINAMATH.COM
Nguyễn Minh Hiếu
B. Phương Phương Giải Cơ Bản
• Đưa về cùng cơ số.
• Lấy lôgarit hai vế.
• Đặt ẩn phụ.
• Sử dụng tính đơn điệu của hàm số mũ.
C. Bài Tập
5.18. Giải các phương trình sau
a) 22x−1 = 3.
2
c) 2x −x+8 = 41−3x .
e) 32x−1 + 32x = 108.
√ x+1
√ 2x+8
g) 3 + 2 2
= 3−2 2
.
5.19. Giải các bất phương trình sau
2
a) 2−x +3x < 4.
x+2
c) 2
− 2x+3 − 2x+4 > 5x+1 − 5x+2 .
2
e) x2x−1 < xx .
x+5
x+17
g) 32 x−1 > 0, 25.128 x−3 .
2
b) 2x −x = 4.
d) 3x .2x+1 = 72.
f) 2x + 2x+1 + 2x+2 = 3x + 3x−1 + 3x−2 .
√ x2 −3x+2
√ 1−x2
h) 5 − 2 6
− 5 + 2 6 2 = 0.
b) 3x+2 + 3x−1 ≤ 28.
d) 2x + 2x+1 + 2x+2 < 3x + 3x−1 + 3x−2 .
√
√
x−1
x−1
f)
5+2
≥
5 − 2 x+1 .
2
h) 2x .7x
2
+1
< 7.142x
2
−4x+3
.
5.20. Giải các phương trình sau
a) 64x − 8x − 56 = 0.
c) 22+x − 22−x = 15.
2
2
e) (D-03) 2x −x − 22+x−x = 3.
b) (TN-08) 32x+1 − 9.3x + 6 = 0.
1−x
d) (TN-07) 7x + 2.7
− 9 = 0.
√
2x+1
x+2
f) 3
=3
+ 1 − 6.3x + 32(x+1) .
5.21. Giải các bất phương trình sau
a) 4x − 3.2x + 2 > 0.
c) 5x + 51−x > 6.
b) 32.4x√
+ 1 < 18.2x .√
x
x
d) 2 + 3 + 2 − 3 > 4.
5.22. Giải các
trình
√ phương
√ sau
x
x
a) 5 − 2 6 + 5 + 2 6 = 10.
√ x
√ x
c) 7 + 3 5 + 5. 7 − 3 5 = 6.2x .
√ x
√ x
e) 7 + 4 3 − 3 2 − 3 + 2 = 0.
√
√
√
x
x
b) (B-07)
2−1 +
2 + 1 − 2 2 = 0.
p
√ x p
√ x
d)
5+2 6 +
5 − 2 6 = 10.
√ x
√ x
√ x
f) 26 + 15 3 + 2 7 + 4 3 − 2 2 − 3 = 1.
5.23. Giải các phương trình sau
a) 3.4x√− 2.6x = 9x . √
2
2
c) 4x+ x −2 − 5.2x−1+ x −2 − 6 = 0.
e) 27x + 12x = 2.8x .
b) 2.16x+1 +
3.81x+1 = 5.36x+1 .
√
d) 5.2x = 7 10x − 2.5x .
f) (A-06) 3.8x + 4.12x − 18x − 2.27x = 0.
5.24. Giải các bất phương trình sau
a) 27x + 12x < 2.8x .
1
1
1
c) 9 x − 13.6 x −1 + 4 x < 0.
x
4−5
e) 52x −5
x+1 +6 ≤ 1.
b) √
252x−x +1 + 92x−x +1 ≥ 34.152x−x .
d) 9x − 3x+1 + 2 > 3x − 9.
x
2
f) 52x+14−7.5
−12.5x +4 ≤ 3 .
5.25. Giải các phương trình sau
a) 12 + 6x = 4.3x + 3.2x .
2
2
c) 2x −5x+6 + 21−x = 2.26−5x + 1.
2
2
2
e) 4x +x + 21−x = 2(x+1) + 1.
b) 52x+1 + 7x+1 − 175x − 35 = 0.
2
2
d) (D-06) 2x +x − 4.2x −x − 22x + 4 = 0.
f) x2 .2x−1 + 2|x−3|+6 = x2 .2|x−3|+4 + 2x+1 .
5.26. Giải các bất phương trình sau
a) 12 + 6x > 4.3x + 3.2x .
c) 52x+1 + 6x+1 > 30 + 5x .30x .
b) 4x +x + 2√1−x ≥ 2(x+1) + 1. √
d) 52x−10−3 x−2 − 4.5x−5 < 51+3 x−2 .
5.27. Giải các phương trình sau
a) 3x = 11 − x.
c) 3x + 4x = 5x .
2
2
2
e) 5x −2x+2 + 4x −2x+3 + 3x −2x+4 = 48.
b) 2x = x + 1.
x
d) 1√+ 8 2 = 3x .
f) 2 3 − x = −x2 + 8x − 14.
5.28. Giải các phương trình sau
a) 4x + (2x − 17) .2x + x2 − 17x + 66 = 0.
2
2
c) 9x + x2 − 3 .3x − 2x2 + 2 = 0.
b) 9x + 2 (x − 2) .3x + 2x − 5 = 0.
d) 32x − (2x + 9) .3x + 9.2x = 0.
2
2
VINAMATH.COM
2
2
2
2
4
VINAMATH.COM
Chuyên đề 5. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit
5.29. Giải các
√ phương trình sau
a) 22x − 2x +√6 = 6.
c) 27x + 2 = 3 3 3x+1 − 2.
√
b) 32x + 3x + 7 = 7.
d) 7x−1 = 6log7 (6x − 5) + 1.
5.30. Giải các phương trình sau
2
a) 2x = 3x .
x−1
c) 5x .8 x = 500.
b) 2x −4 = 3x−2 .
x
d) 8 x+2 = 4.34−x .
5.31. Giải các phương trình sau
2
a) 3x = cos 2x.
2
2
2
c) 2x−1 + 2x − x.2x−1 − 2x −x = (x − 1) .
b) 2|x| = sin x.
d) 22x+1 + 23−2x =
2
8
log3 (4x2 −4x+4) .
§5. Phương Trình & Bất Phương Trình Lôgarit
A. Kiến Thức Cần Nhớ
2. Bất phương trình lôgarit cơ bản.
• Dạng: loga x > b (0 < a 6= 1).
• Cách giải: a > 1: loga x > b ⇔ x > ab .
0 < a < 1: loga x > b ⇔ 0 < x < ab .
1. Phương trình lôgarit cơ bản.
• Dạng: loga x = b (0 < a 6= 1).
• Cách giải: loga x = b ⇔ x = ab .
Lưu ý. Các dạng loga x ≥ b; loga x < b; loga x ≤ b dựa vào dấu để có cách giải tương ứng.
B. Phương Phương Giải Cơ Bản
• Đưa về cùng cơ số.
• Sử dụng tính đơn điệu của hàm số lôgarit.
• Đặt ẩn phụ.
C. Bài Tập
5.32. Giải các phương trình sau
a) log3 (x − 2) = 2.
c) log2 x2 − 1 = log 21 (x − 1).
e) log2 x2 + 8 = log2 x + log2 6.
g) log3 x + log4 x = log5 x.
b) log3 (5x + 3) = log3 (7x + 5).
d) log2 x + log2 (x − 2) = 3.
f) log3 (x + 2) + log3 (x − 2) = log3 5.
h) log2 x + log3 x + log4 x = log20 x.
5.33. Giải các bất phương trình sau
a) log8 (4 − 2x) ≥ 2.
c) log 15 (3x − 5) > log 15 (x + 1).
b) log3 x2 + 2 + log 13 (x + 2) < 0.
d) log2 (x + 3) < log4 (2x + 9).
5.34. Giải các phương trình sau
a) log2 x2 + 3x + 2 + log2 x2 + 7x + 12 = log2 24.
8
c) 12 log√2 (x + 3) + 14 log4 (x − 1) = log2 4x.
√
3
e) log√2 x + 1 − log 21 (3 − x) − log8 (x − 1) = 0.
√
√
g) log2 8 − x2 + log 12
1 + x + 1 − x − 2 = 0.
b) log x3 + 8 = log (x + 58) + 21 log x2 + 4x + 4 .
2
3
3
d) 23 log 14 (x + 2) − 3 = log 14 (4 − x) + log 41 (x + 6) .
f) log 12 (x − 1) + log 12 (x + 1) − log √1 (7 − x) = 1.
2
h) log2 (4x + 15.2x + 27) + 2log2 4.2x1−3 = 0.
5.35. Giải các phương
trình
sau
√
√
2
a) log2 x − x2 − 1 + 3log2 x + x2 − 1 = 2.
b) (A-08) log2x−1 2x2 + x − 1 +logx+1 (2x − 1) = 4.
√
√
√
2
2
2
c) log2 x − x − 1 .log3 x + x − 1 = log6 x − x − 1 .
5.36. Giải các bất phương trình sau
a) (A-07) 2log3 (4x − 3) + log 31 (2x + 3) ≤ 2.
x2 −3x+2
x
c) (D-08) log 12
≥ 0.
x−1
−1
log2 3.2
e)
≥ 1.
x
g) (B-02) logx [log3 (9x − 72)] ≤ 1.
5.37. Giải các bất phương trình
sau
x2 +x
a) (B-08) log0,7 log6 x+4 < 0.
x+1
1
1
c) log3 log4 3x−1
x+1 ≤ log 3 log 4 3x−1 .
b) log 12 x + 2log 41 (x − 1) + log2 6 ≤ 0.
x+1
> 1.
d) log0,5 2x−1
log2 (1 − 3log27 x) − 1
f)
< 0.
log2 x
x−1
≤ 1.
h)
log3 (9 − 3x ) − 3
x+1
≥ 0.
b) log 12 log3 x−1
√
√
d) log 31 log5
x2 + 1 + x > log3 log 15
x2 + 1 − x .
VINAMATH.COM
5
VINAMATH.COM
Nguyễn Minh Hiếu
5.38. Giải các phương trình sau
a) log22 x − 3log2 x + 2 = 0.
3
c) p
2log2 x − log
p x = 2 − log x.
e) log3 x + 4 − log3 x = 2.
g) log3 (3x + 1) .log3 3x+2 + 9 = 3.
b) log 21 x + log22 x = 2.
√
d) log2 x3 − 20 log x + 1 = 0.
f) log2 (2x + 1) .log2 2x+1 + 2 = 2.
h) log2 (5x − 1) .log4 (2.5x − 2) = 1.
5.39. Giải các bất phương trình sau
a) log22 (2x + 1) − 3 log (2x + 1) + 2 > 0.
c) logx−1 4 ≥ 1 + log2 (x − 1).
x
e) log4 (19 − 2x ) log2 19−2
≤ −1.
8
b) log29 (x − 1) − 3log3 (x − 1) + 1 ≤ 0.
d) log2 (2x − 1) log 12 2x+1 − 2 > −2.
f) log5 (4x + 144) − 4log5 2 < 1 + log5 2x−2 + 1 .
5.40. Giải các bất phương trình sau
p
p
a) log2 x + logx 2 ≥ √43 .
q
√
c) log22 x + log 12 x2 − 3 > 5 log4 x2 − 2 .
5.41. Giải các bất phương trình sau
a) log2x 64 + logx2 16 ≥ 3.
b)
q
d)
q
3
log 12 x + log4 x2 − 2 > 0.
2
log2√2 x + log2 x4 − 8 > log√2 x4 .
b) logx (125x) .log25 x > 32 + log25 x.
q
d) log 13 x + 1 − 4 log21 x < 1.
c) (CĐ-2012) log2 (2x). log3 (3x) > 1.
2
5.42. Giải các phương trình sau
a) x + 2.3log2 x = 3.
c) xlog2 9 = x2 .3log2 x − xlog2 3 .
25
b) x2 + 3log2 x = xlog
.
log6 x
d) log2 x + 3
= log6 x.
5.43. Giải các phương trình sau
a) log22 x + (x −
4) log2 x − x + 3 = 0.
c) log2 x2 + 1 + x2 − 5 log x2 + 1 − 5x2 = 0.
b) log22 (x + 1) + (x − 5) log2 (x + 1) − 2x + 6 = 0.
d) (x + 2) log23 (x + 1) + 4 (x + 1) log3 (x + 1) − 16 = 0.
5.44. Giải các phương trình sau
√
a) log2 (1 + x) = log3 x.
√
√
√
c) 3log3 (1 + x + 3 x) = 2log2 x.
e) log2 x2 − 4 + x = log2 [8 (x + 2)].
√
b) log7 x = log3 (2 + x).
d) log 12 (3 + |x|) = 2|x| − 4.
f) 4 (x − 2) [log2 (x − 3) + log3 (x − 2)] = 15 (x + 1).
5.45. Giải các bất phương trình sau
a) 3x > 11 − x.
x
c) 1 + 2x+1 + 3x+1
√ <6 .
e) log7 x < log3 ( x + 2).
√
b) 1 + 15x ≤ 4x .
2
d) 4log x+1 − 6log x > 2.3log x +2 .
x
x
f) log2 (2 + 1) + log3 (4 + 2) ≤ 2.
§6. Hệ Phương Trình Mũ & Lôgarit
5.46.
Giải các hệ phương trình sau
3y+1 − 2x = 5
a)
.
4x − 6.3y + 2 = 0
log2 x2 + y 2 = 1 + log2 (xy)
.
c) (A-09)
2
2
3x −xy+y = 81
5.47.
Giải các hệ phương trình sau
log3 (x + 2) < 3
a)
.
log 21 x2 + 2x − 8 ≥ log 21 16
2
x − 4x + y + 2 = 0
.
c) (D-2010)
2log2 (x − 2) − log√2 y = 0
5.48.
Giải các hệ phương trình sau
3x − 3y = y − x
.
a)
x2 + xy + y 2 = 12
√
x + px2 − 2x + 2 = 3y−1 + 1
c)
.
y + y 2 − 2y + 2 = 3x−1 + 1
23x = 5y 2 − 4y
.
4x +2x+1
=y
x +2
2
log2 (3y − 1) = x
d) (B-2010)
.
4x + 2x = 3y 2
b) (D-02)
log 41 (y − x) − log4 y1 = 1
.
x2 + y 2 = 25
√
√
x−1+ 2−y =1
d) (B-05)
.
3log9 9x2 − log3 y 3 = 3
b) (A-04)
x3 − y 3 = 2y − 2x
.
x4 + 1 y 2 + y − 1 + x (y − 2) = 1
ln (1 + x) − ln (1 + y) = x − y
d)
.
x2 − 12xy + 20y 2 = 0
x
e − ey = ln (1 + x) − ln (1 + y)
5.49. (D-06) Chứng minh với mọi a > 0, hệ phương trình
có nghiệm duy nhất.
y−x=a
b)
VINAMATH.COM
6
VINAMATH.COM
LỜI GIẢI
Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm
Số Lôgarit
§1. Lũy Thừa
Bài tập 5.1. Tính giá trị các luỹ thừa sau:
−1,5
− (0, 125) .
−0,75
2
1
3
− 250,5 .
c) 27 +
16
− 13 − 35
1
1
−0,75
e) 81
+
−
.
125
32
√
√
√
g) 42 3 − 4 3−1 .2−2 3 .
a) (0, 04)
− 34
1
b)
.
+
8
−1 12
1
−4
d) (−0, 5) − 6250,25 − 2
.
4
√
102+ 7
√ .
f)
√
7 1+ 7
22+
q
q
q .5
√
√
√
3
3
6
25 + 4 6 − 1 + 2 6
1 − 2 6.
h)
− 23
1
16
−0,75
Lời giải.
− 32 − 32
− 2
− 3
1
1
a) (0, 04)
− (0, 125)
=
−
= 5−2 2 − 2−3 3 = 53 − 22 = 121.
25
8
−0,75 − 43
3
− 4
−
1
1
b)
+
= 2−4 4 + 2−3 3 = 23 + 24 = 24.
16
8
−0,75
− 3
1
2
2
1
c) 27 3 +
− 250,5 = 33 3 + 2−4 4 − 52 2 = 32 + 23 − 5 = 12.
16
−1 21
− 23
−4
3
1
1
9
1
2
289
−4
.
d) (−0, 5) − 6250,25 − 2
= −
− 54 4 −
= 24 − 5 −
=
4
2
4
3
27
− 13 − 35
− 1
− 3
− 3
1
80
1
−0,75
e) 81
+
−
= 34 4 + 5−3 3 − 2−5 5 = 3−3 + 5 − 23 = − .
125
32
27
√
√
√
√
√
102+ 7
22+ 7 .52+ 7
(2+ 7)−(1+ 7)
√ =
√ =5
f)
= 5.
√
√
22+ √7 .51+√7 22+ √7 .51+ 7 √
√
√
√
√
√
√
√
1
g) 42 3 − 4 3−1 .2−2 3 = 24 3 − 22 3−2 .2−2 3 = 24 3−2 3 − 22 3−2−2 3 = 22 3 − .
4
!
r
q
q
q
q
q
√
√
√
√ 2
√
√
6
3
3
3
3
6
h)
25 + 4 6 − 1 + 2 6
1−2 6=
1+2 6 − 1+2 6
1 − 2 6 = 0.
−1,5
− 23
Bài tập 5.2. Rút gọn các biểu thức sau:
5
5
x 4 y + xy 4
a) √
.
√
4
x+ 4y
√
√
√
√
a− b
a + 4 ab
√ − √
√ .
c) √
4
− 4 b 4 a + 4 b
a√
√
√
√
a2 3 − 1 a2 3 + a 3 + a3 3
√
√
e)
.
a4 3 − a 3
√
√
a−1
a+ 4a 1
g) 3
.a 4 + 1.
1 . √
a+1
a4 + a2
√
1√
b + b3 a
√
.
a+ 6b
a−b
a+b
√
√ .
d) √
− √
3
3
3
a− b
a+ 3b
2
√
√
√
a+b
3
3
3
√
f) √
−
ab
:
a
−
b
.
3
3
a+ b
! 23
!− 23
3
1
1
1
b2
a2 − b2
b2
h) a + 1
+ 1
.
1
1
a2
a2
a2 − b2
1
b)
a3
√
6
1
VINAMATH.COM
7
VINAMATH.COM
Nguyễn Minh Hiếu
Lời giải.
5
4
5
4
1
4
1
1
xy x 4 + y 4
1
4
x y + xy
x.x y + xy.y
=
= xy.
a) √
√ =
1
1
1
1
4
x+ 4y
x4 + y4
x4 + y4
1
1 1
1
1√
1 1
1
1
1 1 1
1
1
1
1√
3 b3
6 + a6
a
b
√
1 1
a3 b + b3 a
a3 b2 + b3 a2
a3 b3 b6 + b3 a3 a6
3
√
b)
=
=
=
= a 3 b 3 = ab.
√
1
1
1
1
1
1
6
6
6
6
6
a+ b
a 6 + b6
b 6
a√ + b √
√a +√
√
√
√
4
4
4
√
√
√
√
4
4
4
4
4
a− b
a+ b
a
a+ b
√
√
√
√
a− b
a + ab
4
4
√
√
√
√
c) √
− √
=
−
= 4 a + b − 4 a = b.
√
√
4
4
4
4
4
4
4
4
a− b
a+ b
a −
b
a
+
b
√
√
√ √
√
√
√
√
√
√
3
3
3
3
3
3
2 + 3 ab + 3 b2
2 − 3 ab + 3 b2
a
−
b
a
a
+
b
a
√
a−b
a+b
3
√
√
√
√
d) √
ab.
−
=
−
=
2
√
√
√
3
3
3
3
3
3
3
3
a + b
a − b
a − b a + b
√
3
√
−1
a2
3
√
+a
3
√
+ a3
√
3
a
3
√
√
−1
a
Bài tập
Hãy so sánh các cặp số sau
√ 5.3. √
a) 3 10 và 5 20.
c) 3600 và 5400 .
3
√
√
+ 1 a 3 a 3 + 1 + a2 3
√
√
√
√
e)
= a 3 + 1.
=
√
√
√
3
3
4
−a
a
a 3 a 3 − 1 a2 3 + a 3 + 1
√
√
√
√
√
3
3
3
2 − 3 ab + 3 b2
√
2
a
+
b
a
√
√
√
√ 2
√
a+b
3
3
3
3
: 3 a − 3 b = 1.
√
√
f) √
−
−
ab
:
a
−
b
ab
=
√
3
3
a+ 3b
a+ 3b
√
√
√
√
√
√
√
a+ 4a 1
( a − 1) ( a + 1) 4 a ( 4 a + 1) √
a−1
4 + 1 =
√
√ √
.
.a
. √
. 4 a + 1 = a.
g) 3
1
4
a+1
a ( a + 1)
a+1
a4 + a2
! 23
!− 23
! 32
√
√
√
1
3
1
1
3
2
a2 − b2
b2
b2
a + b3
a (a − b)
√
√
h) a + 1
=
= (a − b) 3 .
+ 1
.√
1
1
3
3
a
a2
a2
a2 − b2
a + b
a2
√
√
4
5
b) √
13 và
23. √
√
√
3
d) 7 + 15 và 10 + 3 28.
Lời giải.
√
√
√
√
√
√
3
a) Ta có: √
10 > 3√8 = 2 và 5 20
< 5 32√= 2. Do đó 3 10√> 5 20.
√
√
b) Ta có: 4 13 = 20 371293 và 5 23 = 20 279841. Do đó 4 13 > 5 23.
600
c) Ta có: 3√
=√27200 và
5400√= 25200 . Do√đó 3600
> 5400
√
√
√.
√
√
√
√
√
3
3
3
d) Ta có: 7 + 15 < 8 + 16 = 6 và 10 + 28 > 9 + 3 27 = 6. Do đó: 3 7 + 15 < 10 + 3 28.
p
p
√
√
Bài tập 5.4. Tính A = a + b + c + 2 ab + bc + a + b + c − 2 ab + bc,
(a, b, c > 0, a + c > b)
r
r
√
√ 2
√ 2
√
√
Lời giải. Ta có: A =
a+c+ b +
a + c − b = 2 a + c.
§2. Lôgarit
Bài tập 5.5.
√ Tính
a) log3 4 3.
d) log 45 − 2 log 3.
√
g) 5 ln e−1 + 4 ln e2 e .
b) 2log27 log 1000.
e) 3log2 log4 16 + log 12 2.
h) log 72 − 2 log
27
256
+ log
√
108.
c) log25 8.log8 5.
f) log2 48 − 13 log2 27.
√
i) log 0, 375 − 2 log 0, 5625.
Lời giải. √
1
a) log3 4 3 = log3 3 4 .
b) 2log27 log 1000 = 2log33 log 103 = 23 log3 3 = 23 .
c) log25 8.log8 5 = log52 8.log8 5 = 12 log5 8.log8 5 = 12 .
d) log 45 − 2 log 3 = log 45 − log 9 = log 45
9 = log 5.
e) 3log2 log4 16 + log 21 2 = 3log2 log4 42 + log2−1 2 = 3log2 2 − log2 2 = 2.
f) log2 48 − 13 log2 27 = log2 48 − log2 3 = log2 48
3 = log2 16 = 4.
√
5
−1
2
g) 5 ln e + 4 ln e e = −5 ln e + 4 ln e 2 = −5 + 10 ln e = 5.
√
27
h) log 72 − 2 log 256
+ log 108 = log (8.9) − 2 (log 27 − log 256) + 21 log(4.27) = 20 log 2 −
√
9
i) log 0, 375 − 2 log 0, 5625 = log 38 − log 18
= log 23 .
Bài tập 5.6. Đơn giản biểu thức
√
log2 4 + log2 10
a)
.
log2 20 + log2 8
log2 24 − 12 log2 72
b)
.
log3 18 − 13 log3 72
VINAMATH.COM
c) log7 2 +
5
2
log 3.
1
log5 7
log 7.
8
VINAMATH.COM
Chuyên đề 5. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit
!
√ √
5
a . 3 a. a4
√
.
4
a
rq
5
2
d) loga
5
e) log5 log5
|
√
5
... 5.
{z }
f) 92log3 4+4log81 2 .
1 1 n dấu căn
h) 81 4 − 2 log9 4 + 25log125 8 49log7 2 .
1
g) 161+log4 5 + 4 2 log2 3+3log5 5 .
1
√
i) 72 49 2 log7 9−log7 6 + 5−log 5 4 .
Lời giải.
√
√
1
log2 4 10
log 160
log2 4 + log2 10
1
a)
=
= 2 2
= .
log2 20 + log2 8
log2 160
log2 160
2
3
log2 24 − 12 log2 72
log2 (8.3) − 12 log2 (8.9)
9
b)
=
= 24 = .
1
1
8
log 18 − 3 log3 72
log3 (2.9) − 3 log3 (9.8)
3
3
1
log 7 = log 7.log7 2 + log 7.log7 5 = log 2 + log 5 = 1.
c) log7 2 +
log5 7 !
√
√
47
5
173
a2 . 3 a. a4
a 15
173
√
d) loga
= loga 1 = loga a 60 =
.
4
60
a
a4
rq
√
5 5
1
1
5
... 5 = log5 log5 5 5n = log5 n = −n.
e) log5 log5
5
| {z }
n dấu căn
f) 92log3 4+4log81 2 = 9log3 16+log3 2 = 9log3 32 = 3log3 32
1+log4 5
1
2 log2 3+3log5 5
log4 5
g) 16
+4
= 16.16
1 1
h) 81 4 − 2 log9 4 + 25log125 8 49log7 2 =
+2
log2 3
2
= 1024.
3
.4 = 16. 4log4 5
!
2
+ 3.64 = 448.
81
3
log5 2
log7 2 2
+ 4 4 = 19.
=
+ 25
7
1
4
81 2 log9 4
log 9
1
1
1
7 7
9
45
√
i) 72 49 2 log7 9−log7 6 + 5−log 5 4 = 72
+
+
.
=
72
=
log7 6
log
16
5 5
36 16
2
49
Bài tập 5.7. So sánh các cặp số sau:
a) log3 65 và log3 56 .
d) log5 3 và log0,3 2.
1
4
b) log 12 e và log 21 π.
c) log2 10 và log5 30.
f) log3 10 và log8 57.
e) log3 5 và log7 4.
Lời giải.
5
6
5
6
> và 3 > 1 nên log3 > log3 .
5
6
5
6
1
b) Vì e < π và < 1 nên log 12 e > log 12 π.
2
c) Ta có: log2 10 > log2 8 = 3 và log5 30 < log5 125 = 3. Do đó log2 8 > log5 30.
d) Ta có: log5 3 > log5 1 = 0 và log0.3 2 < log0.3 1 = 0. Do đó log5 3 > log0.3 2.
e) Ta có: log3 5 > log3 3 = 1 và log7 4 < log7 7 = 1. Do đó log3 5 > log7 4.
f) Ta có: log3 10 > log3 9 = 2 và log8 57 < log8 64 = 2. Do đó log3 10 > log8 57.
a) Vì
Bài tập 5.8. Tính log4 1250 theo a, biết a = log2 5.
Lời giải. Ta có: log4 1250 = 12 log2 2.54 = 12 (1 + 4log2 5) =
1
2
(1 + 4a).
Bài tập 5.9. Tính log54 168 theo a, b, biết a = log7 12, b = log12 24.
log7 (3.7.23 )
log7 168
log7 3 + 1 + 3log7 2
=
.
Lời giải. Ta có: log54 168 =
=
3
log
log7 (2.3 ) log7 2 + 3log7 3
7 54
log7 2 = ab − a
a = 2log7 2 + log7 3
a = log7 (22 .3)
a = log7 12
.
⇔
⇔
⇔
Lại có:
log7 3 = 3a − 2ab
ab = 3log7 2 + log7 3
ab = log7 (23 .3)
ab = log7 24
3a − 2ab + 1 + 3(ab − a)
ab + 1
Từ đó ta có: log54 168 =
=
.
ab − a + 3(3a − 2ab)
a(8 − 5b)
Bài tập 5.10. Tính log140 63 theo a, b, c, biết a = log2 3, b = log3 5, c = log7 2.
log2 63
log2 (9.7)
2log2 3 + log2 7
2log2 3 + log2 7
=
=
=
.
log2 140
log2 (4.5.7)
2 + log2 5 + log2 7
2 + log2 3.log3 5 + log2 7
2a + 1c
2ac + 1
Theo giả thiết a = log2 3, b = log3 5, c = log7 2, do đó: log140 63 =
1 = 2c + abc + 1 .
2 + ab + c
Lời giải. Ta có: log140 63 =
3
Bài tập 5.11. Tính log √
25 135 theo a, b, biết a = log4 75, b = log8 45.
VINAMATH.COM
9
VINAMATH.COM
Nguyễn Minh Hiếu
3
3 log2 135
3 log (27.5)
3 3log2 3 + log2 5
3
= . 2
= .
.
Lời giải. Ta có: log √
25 135 = .log5 135 = .
2
2
log
5
2
log
5
2
log
2
2
25
a = 12 log2 (3.25)
a = log4 75
a = 21 log2 3 + log2 5
log2 3 = 2b − 23 a
⇔
Lại có:
⇔
⇔
.
1
2
1
b = log8 45
b = 3 log2 (9.5)
b = 3 log2 3 + 3 log2 5
log2 5 = 43 a − b
4
2
3 3 2b − 3 a + 3 a − b
3 15b − 2a
3
Do đó: log √
= .
.
25 135 =
4
2
2 4a − 3b
3a − b
Bài tập 5.12. Chứng minh rằng ab + 5 (a − b) = 1, biết a = log12 18, b = log24 54.
1 + 2log2 3
2a − 1
log2 18
=
⇒ log2 3 =
.
log2 12
2 + log2 3
2−a
log2 54
1 + 3log2 3
3a − 1
Và b = log24 54 =
=
⇒ log2 3 =
.
log2 24
3 + log2 3
3−a
2a − 1
3b − 1
Do đó:
=
⇔ (2a − 1) (3 − b) = (2 − a) (3b − 1) ⇔ ab + 5 (a − b) = 1 (đpcm).
2−a
3−b
Lời giải. Ta có: a = log12 18 =
1
1
1
Bài tập 5.13. Cho y = 10 1−log x , z = 10 1−log y . Chứng minh rằng x = 10 1−log z .
1
1
log z − 1
⇔ log y = 1 −
=
.
1 − log y
log z
log z
1
1
1
log z
1
⇔ log y =
⇔ log x = 1 −
= 1−
=
⇔ x = 10 1−log z (đpcm).
1 − log x
log y
log z − 1
1 − log z
1
Lời giải. Ta có: z = 10 1−log y ⇔ log z =
1
Lại có: y = 10 1−log x
Bài tập 5.14. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng (abc)
a+b+c
3
≤ aa bb cc .
Lời giải. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
h
i
a+b+c
a+b+c
ln (abc) 3
(ln a + ln b + ln c) ≤ a ln a + b ln b + c ln c
≤ ln aa bb cc ⇔
3
⇔ 3(a ln a + b ln b + c ln c) ≥ a ln a + a ln b + a ln c + b ln a + b ln b + b ln c + c ln a + c ln b + c ln c
⇔ (a ln a + b ln b − a ln b − b ln a) + (b ln b + c ln c − b ln c − c ln b) + (c ln c + a ln a − c ln a − a ln c) ≥ 0
⇔ (a − b)(ln a − ln b) + (b − c)(ln b − ln c) + (c − a)(ln c − ln a) ≥ 0
Xét hàm số y = ln x đồng biến trên (0; +∞) nên với mọi x, y > 0 ta có: (x − y)(ln x − ln y) ≥ 0.
Từ đó ta có bất đảng thức cần chứng minh.
§3. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit
Bài tập 5.15. Tìm tập xác định của các hàm số sau
−2
2
a) y = x2 − 2
.
b) y = 2 − x2 7 .
d) y = log2 (5 − 2x).
e) y = log3 x2 − 2x .
c) y = x2 − x − 2
f) y = log0,4 3x+2
1−x .
Lời giải.
√
a) D = R\ ± 2 .
d) D = −∞; 52 .
c) D = (−1; 2).
f) D = − 32 ; 1 .
√ √
b) D = − 2; 2 .
e) D = (−∞; 0) ∪ (2; +∞).
Bài tập 5.16. Tính đạo √hàm của các hàm số sau
2
b) y = 3x2 − ln x + 4 sin x.
a) y = 3x2 − 4x + 1
.
ex
e) y = ln 1+e
d) y = log x2 + x + 1 .
x.
π
ln x+1
h) y = 42 ln
g) y = e4x + 1 − ln x .
x−5 .
√2
.
c) y = 2xex + 3 sin 2x.
f) y = x2 − 41 e2x .
i) y = ln 2ex + ln x2 + 3x + 5 .
Lời giải.
√
√2−1
.
a) y 0 = 2 (6x − 4) 3x2 − 4x + 1
b) y 0 = 6x − x1 + 4 cos x.
c) y 0 = 2ex + 2xex + 6 cos 2x.
2x + 1
d) y 0 = 2
.
(x + x + 1) ln 10
ex
1
e) y = x − ln (1 + ex ) ⇒ y 0 = 1 −
=
.
x
1
+
e
1
+
ex
1
x 1 2x
f) y 0 = e2x + 2
−
e = xe2x .
2
2 4
π−1
g) y 0 = π 4e4x − x1
.
VINAMATH.COM
10
VINAMATH.COM
Chuyên đề 5. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit
h) y 0 =
2
x
(4 ln x − 5) −
4
x
(2 ln x + 1)
=−
14
2.
x(4 ln x − 5)
2ex x2 + 3x + 5 + 2x + 3
i) y 0 = x
=
−
.
2e + ln (x2 + 3x + 5)
(x2 + 3x + 5) (2ex + ln (x2 + 3x + 5))
(4 ln x − 5)
2ex + x22x+3
+3x+5
2
Bài tập 5.17. Tìm giá trị lớn nhất và
a) y = x − e2x trên [0;1].
d) y = ln 3 + 2x − x2 trên [0; 2].
g) y = x2 e−x trên [0; ln 8].
giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau
b) y = e2x − 2ex trên [−1;
2].
e) y = ln 4 − 3x2 − x4 .
h) y = x2 ln x trên [1; e].
c) y = (x + 1) ex trên [−1; 2].
f) y = x2 − ln (1 − 2x) trên [−2; 0].
i) y = 5x + 51−x trên [0; log5 8].
Lời giải.
a) Ta có: y 0 = 1 − 2ex ; y 0 = 0 ⇔ x = ln 21 (loại).
Lại có: y(0) = −1; y(1) = 1 − e2 . Vậy max y = y(0) = −1; min y = y(1) = 1 − e2 .
[0;1]
[0;1]
b) Ta có: y 0 = 2e2x − 2ex ; y 0 = 0 ⇔ x = 0 (thảo mãn).
Lại có: y(−1) = e−2 − 2e−1 ; y(2) = e4 − 2e2 ; y(0) = −1. Vậy max y = y(2) = e4 − 2e2 ; min y = y(0) = −1.
[−1;2]
[−1;2]
c) Ta có: y 0 = (x + 2)ex ; y 0 = 0 ⇔ x = −2 (loại).
Lại có: y(−1) = 0; y(2) = 3e2 . Vậy max y = y(2) = 3e2 ; min y = y(−1) = 0.
[−1;2]
[−1;2]
2 − 2x
d) Ta có: y =
; y 0 = 0 ⇔ x = 1 (thảo mãn).
3 + 2x − x2
Lại có: y(0) = ln 2; y(2) = ln 3; y(1) = ln 4. Vậy max y = y(1) = ln 4; min y = y(0) = y(2) = ln 3.
0
[0;2]
[0;2]
−6x − 4x3
e) Tập xác định: D = (−1; 1). Ta có: y =
; y 0 = 0 ⇔ x = 0 (thỏa mãn).
4 − 3x2 − x4
Vậy ta có max y = y(0) = ln 4; hàm số không có giá trị nhỏ nhất.
D
2
x = 1(loại)
0
0
; y =0⇔
.
f) Ta có: y = 2x +
x = − 12
1 − 2x
1
1
Lại có: y(−2) = 4 − ln 5; y(0) = 0; y − 2 = 4 − ln 2. Vậy max y = y(−2) = 4 − ln 5; min y = y(0) = 0.
[−2;0]
[−2;0]
x
=
0
g) Ta có: y 0 = 2xe−x − x2 e−x ; y 0 = 0 ⇔
(thỏa mãn).
x=2
2
8
Lại có: y(0) = 0; y(ln 8) = − ln8 ; y(2) = 4e−2 . Vậy max y = y(2) = 4e−2 ; min y = y(ln 8) = − ln8 8 .
[0;ln 8]
[0;ln 8]
x=0
0
0
h) Ta có: y = 2x ln x + x; y = 0 ⇔
(loại).
x = √1e
0
Lại có: y(1) = 0; y(e) = e2 . Vậy max y = y(e) = e2 ; min y = y(1) = 0.
[1;e]
[1;e]
i) Ta có: y 0 = 5x ln 5 − 51−x ln 5; y 0 = 0 ⇔ x = 12 (thỏa mãn).
√
1
Lại có: y(0) = 6; y (log5 8) = 69
8 ; y 2 = 2 5. Vậy max y = y (log5 8) =
[0;log5 8]
69
min y
8 ; [0;log
8]
=y
1
2
√
= 2 5.
5
§4. Phương Trình & Bất Phương Trình Mũ
Bài tập 5.18. Giải các phương trình sau
a) 22x−1 = 3.
2
c) 2x −x+8 = 41−3x .
e) 32x−1 + 32x = 108.
√ x+1
√ 2x+8
g) 3 + 2 2
= 3−2 2
.
2
b) 2x −x = 4.
d) 3x .2x+1 = 72.
f) 2x + 2x+1 + 2x+2 = 3x + 3x−1 + 3x−2 .
√ x2 −3x+2
√ 1−x2
h) 5 − 2 6
− 5 + 2 6 2 = 0.
Lời giải.
a) 22x−1 = 3 ⇔ 2x − 1 = log2 3⇔ x = 12 + 21 log2 3.
2
x=2
.
b) 2x −x = 4 ⇔ x2 − x = 2 ⇔
x = −1
c) 2x
2
−x+8
= 41−3x ⇔ 2x
2
−x+8
= 22−6x ⇔ x2 − x + 8 = 2 − 6x ⇔ x2 + 5x + 6 = 0 ⇔
x = −2
.
x = −3
d) 3x .2x+1 = 72 ⇔ 3x .2x .2 = 72 ⇔ 6x = 36 ⇔ x = 2.
e) 32x−1 + 32x = 108 ⇔ 32x . 31 + 32x = 108 ⇔ 43 .32x = 108 ⇔ 32x = 81 ⇔ x = 2.
2 x
13
x
2
f) Phương trình tương đương 2x + 2.2x + 4.2x = 3x + 13 .3x + 19 .3x ⇔ 7.2x = 13
= 13
9 .3 ⇔ 3
63 ⇔ x = log 3 63 .
√ x+1
√ 2x+8
√ x+1
√ −2x−8
g) 3 + 2 2
= 3−2 2
⇔ 3+2 2
= 3+2 2
⇔ x + 1 = −2x − 8 ⇔ x = −3.
√ x2 −3x+2
√ x22−1
2
x=1
h) Phương trình tương đương 5 − 2 6
= 5−2 6
⇔ x2 − 3x + 2 = x 2−1 ⇔
.
x=5
VINAMATH.COM
11
VINAMATH.COM
Nguyễn Minh Hiếu
Bài tập 5.19. Giải các bất phương trình sau
2
a) 2−x +3x < 4.
x+2
c) 2
− 2x+3 − 2x+4 > 5x+1 − 5x+2 .
b) 3x+2 + 3x−1 ≤ 28.
d) 2x + 2x+1 + 2x+2 < 3x + 3x−1 + 3x−2 .
√
√
x−1
x−1
5+2
≥
5 − 2 x+1 .
f)
2
2
2
h) 2x .7x +1 < 7.142x −4x+3 .
2
e) x2x−1 < xx .
x+17
x+5
g) 32 x−1 > 0, 25.128 x−3 .
Lời giải.
2
a) 2−x +3x < 4 ⇔ −x2 + 3x < 2 ⇔ 1 < x < 2.
x
b) 3x+2 + 3x−1 ≤ 28 ⇔ 9.3x + 31 .3x ≤ 28 ⇔ 28
3 .3 ≤ 28 ⇔ x ≤ 1.
x
x+2
x+3
x+4
x+1
x+2
x
x
c) 2
−2
−2
>5
−5
⇔ 4.2 −8.2 −16.2x > 5.5x −25.5x ⇔ −20.2x > −20.5x ⇔ 25 < 1 ⇔ x > 0.
2 x
13
x
2
d) Bất PT tương đương 2x + 2.2x + 4.2x < 3x + 31 .3x + 19 .3x ⇔ 7.2x < 13
< 13
9 .3 ⇔ 3
63 ⇔ x > log 3 63 .
2
e) Điều kiện x > 0; x 6= 1. Khi đó x2x−1 < xx ⇔ (x − 1) 2x − 1 − x2 < 0 ⇔ x − 1 > 0 ⇔ x > 1.
√
√
x−1
1−x
−2 ≤ x < −1
x2 +x−2
f) Bất PT tương đương
5+2
≥
5 + 2 x+1 ⇔ x − 1 ≥ 1−x
⇔
≥
0
⇔
.
x+1
x+1
x≥1
5
5x+125
5x+25
x < 11
5x+125
−110x+50
.
g) Bất PT tương đương 2 x−1 > 2 x−3 ⇔ 5x+25
x−1 > x−3 ⇔ (x−1)(x−3) > 0 ⇔
13
.
h) 2x .7x +1 < 7.142x −4x+3 ⇔ 14x < 142x −4x+3 ⇔ x2 < 2x2 − 4x + 3 ⇔
x<1
Bài tập 5.20. Giải các phương trình sau
a) 64x − 8x − 56 = 0.
c) 22+x − 22−x = 15.
2
2
e) (D-03) 2x −x − 22+x−x = 3.
b) (TN-08) 32x+1 − 9.3x + 6 = 0.
1−x
d) (TN-07) 7x + 2.7
− 9 = 0.
√
2x+1
x+2
f) 3
=3
+ 1 − 6.3x + 32(x+1) .
Lời giải.
8x = 8
⇔ x = 1.
8x = −7(vô nghiệm)
x
3 =1
x=0
2x+1
x
2x
x
b) 3
− 9.3 + 6 = 0 ⇔ 3.3 − 9.3 + 6 = 0 ⇔
⇔
.
3x = 2
x = log 2
x 3
2 =4
⇔ x = 2.
c) 22+x − 22−x = 15 ⇔ 4.2x − 24x = 15 ⇔ 4.22x − 15.2x − 4 = 0 ⇔
2x = − 14 (vô nghiệm)
x
7 =7
x=1
d) 7x + 2.71−x − 9 = 0 ⇔ 7x + 714x − 9 = 0 ⇔ 72x − 9.7x + 14 = 0 ⇔
⇔
.
7x = 2
x = log7 2
" 2
2
2
2
x=2
2x −x = 4
⇔ x2 −x = 2 ⇔
.
e) PT ⇔ 2x −x − 2x24−x = 3 ⇔ 4x −x −3.2x −x −4 = 0 ⇔
2
x = −1(vô nghiệm)
2x −x = −1
√
2
f) Đặt 3x = t, t > 0. Phương trình trở thành:
+ 9t2 − 6t + 1 ⇔ 3t2 − 9t = |3t − 1| (1).
" 3t = 9t
√
33
√
√
t = 6+√
3
Với t ≥ 13 , ta có: (1) ⇔ 3t2 − 9t = 3t − 1 ⇔
⇒ 3x = 6+3 33 ⇔ x = log3 6+3 33 .
6− 33
t = 3 (loại)
x
x
a) 64 − 8 − 56 = 0 ⇔
Với 0 < t < 13 , ta có: (1) ⇔ 3t2 − 9t = −3t + 1 ⇔ t =
Vậy phương trình có nghiệm x =
√
log3 6+3 33 .
Bài tập 5.21. Giải các bất phương trình sau
a) 4x − 3.2x + 2 > 0.
c) 5x + 51−x > 6.
√
3±2 3
3
(loại).
b) 32.4x√
+ 1 < 18.2x .√
x
x
d) 2 + 3 + 2 − 3 > 4.
Lời giải.
x>1
2x > 2
.
⇔
a) 4 − 3.2 + 2 > 0 ⇔
x<0
2x < 1
1
1
b) 32.4x + 1 < 18.2x ⇔ 16 < 2x < 2 ⇔ −4 < x < −1.
x
x
x
x>1
5 >5
.
⇔
> 6 ⇔ 52x − 6.5x + 5 > 0 ⇔
x<0
5x < 1
√
√ x
√ 2x
√ x
x>1
2 + √3 > 2 + √3
x
d) BPT ⇔ 2 + 3
− 4. 2 + 3 + 1 > 0 ⇔
⇔
.
x < −1
2+ 3 <2− 3
c) 5x + 51−x > 6 ⇔ 5x +
5
5x
Bài tập 5.22.
các phương
√ Giải
√ x trình sau
x
a) 5 − 2 6 + 5 + 2 6 = 10.
√ x
√ x
c) 7 + 3 5 + 5. 7 − 3 5 = 6.2x .
√ x
√ x
e) 7 + 4 3 − 3 2 − 3 + 2 = 0.
√
√
√
x
x
b) (B-07)
2−1 +
2 + 1 − 2 2 = 0.
p
√ x p
√ x
d)
5+2 6 +
5 − 2 6 = 10.
√ x
√ x
√ x
f) 26 + 15 3 + 2 7 + 4 3 − 2 2 − 3 = 1.
VINAMATH.COM
12
VINAMATH.COM
Chuyên đề 5. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit
Lời giải.
√ x
√
5 − 2√6 = 5 + 2√6
x = −1
x
.
⇔
x=1
5−2 6 =5−2 6
x √
√
√
√ √
2x
x
√2 − 1x = √2 + 1 ⇔ x = −1 .
b) PT ⇔
2−1
− 2 2. 2 − 1 + 1 = 0 ⇔
x=1
2−1 = 2−1
"
√
√
√
√
√
x
x
2x
x
x = log2 7+32√5
7+3 5
7−3 5
7+3 5
7+3 5
c) PT ⇔
.
+ 5.
=6⇔
− 6.
+5=0⇔
2
2
2
2
x = log3 7+32 5
p
√ x
√
p
p
5+2 6 =5+2 6
√ 2x
√ x
x=2
p
d) PT ⇔
5+2 6
5+2 6 +1=0⇔
− 10.
√ x
√ ⇔ x = −2 .
5+2 6 =5−2 6
√ x
√ 3x
√ x
√ x
√ x
+2 2 + 3 − 3= 0 ⇔ 2 + 3 = 1 ⇔ x = 0.
e) PT ⇔ 7 + 4 3 − 3 2 − 3 + 2 = 0 ⇔ 2 + 3
√ 4x
√ 3x
√ x
√ x
√ 3x
f) PT ⇔ 2 + 3
+2 2+ 3
− 2+ 3 −2=0⇔ 2+ 3 +2
− 1 = 0 ⇔ x = 0.
2+ 3
√ 2x
√ x
a) PT ⇔ 5 − 2 6
− 10. 5 − 2 6 + 1 = 0 ⇔
Bài tập 5.23. Giải các phương trình sau
a) 3.4x√− 2.6x = 9x . √
2
2
c) 4x+ x −2 − 5.2x−1+ x −2 − 6 = 0.
x
x
x
e) 27 + 12 = 2.8 .
x+1
b) 2.16x+1 +
= 5.36x+1 .
√ 3.81
x
x
d) 5.2 = 7 10 − 2.5x .
f) (A-06) 3.8x + 4.12x − 18x − 2.27x = 0.
Lời giải.
2 x
3 x
2
3
=1
⇔ x = 0.
= − 13 (vô "nghiệm)
4 x+1
x = −1
=1
16 x+1
4 x+1
x+1
x+1
x+1
9
.
b) 2.16
+ 3.81
= 5.36
⇔ 2. 81
⇔
− 5. 9
+3=0⇔
4 x+1
3
x = − 23
=2
9
c) Ta có phương trình tương đương
"
√
2
√
p
5 x+√x2 −2
2x+√x −2 = 4
x+ x2 −2
4
⇔ x + x2 − 2 = 2
− .2
−6=0 ⇔
2 −2
3
x+
x
2
2
= −2
3
x≤2
⇔
⇔x=
2
2
x − 2 = x − 4x + 4
2
q x
2
q x
=1
√
x
x=0
2
q 5 x
+
2
=
0
⇔
d) 5.2x = 7 10x − 2.5x ⇔ 5. 52 − 7.
⇔
.
5
x=2
2
2
=
5
5
3x
x
x
e) 27x + 12x = 2.8x ⇔ 23
+ 32 − 2 = 0 ⇔ 32 = 1 ⇔ x = 0.
2 x
2
3x
2x
x
3 = 3
f) 3.8x + 4.12x − 18x − 2.27x = 0 ⇔ 3. 32
+ 4. 23
− 32 − 2 = 0 ⇔
⇔ x = 1.
2 x
= −1
3
a) 3.4x − 2.6x = 9x ⇔ 3.
2 2x
3
− 2.
2 x
3
−1=0⇔
Bài tập 5.24. Giải các bất phương trình sau
a) 27x + 12x < 2.8x .
1
1
1
c) 9 x − 13.6 x −1 + 4 x < 0.
x
4−5
e) 52x −5
x+1 +6 ≤ 1.
Lời giải.
a) 27x + 12x < 2.8x ⇔
3 3x
2
3 x
2
2
2
3 x
2
< 1 ⇔ x < 0.
2
0 ≤ x ≤√
2
5 2x−x
2
2
2
≥1
2x − x ≥ 0
2x−x
5 2x−x
3
x
≥
1
+
⇔
−
34.
+
9
≥
0
⇔
⇔
b) PT ⇔ 25. 25
2
9
3
√3 .
9
5 2x−x
2x − x2 ≤ −2
≤
3
25
x≤1− 3
x1
x1
x1
1
1
1
x>1
9
13
2
3
1
3
3
−1
.
c) 9 x − 13.6 x + 4 x < 0 ⇔ 4 − 6 . 2 + 1 < 0 ⇔ 3 < 2
< 2 ⇔ −1 < x < 1 ⇔
x < −1
x
x<2
3 −9<0
x
x
0 ≤ x ≤ log3 2
9
−
3.3
+
2
≥
0
0 ≤ x ≤ log3 2
d) BPT ⇔
⇔
.
⇔
x≥2
3x − 9 ≥ 0
x≥2
79
x
x
x
x
9 − 3.3 + 2 > 9 − 18.3 + 81
x > log3 15
√
x
x
5
≤
−3
−
7
x
x
2x
√
4−5
−5 − 6.5 − 2
5 <2
x < log5 2
x
e) 2x
≤
1
⇔
≤
0
⇔
⇔
⇔
.
−3 + 7 ≤ 5 < 2
x
5
>
3
x
> log5 3
5 − 5x+1 + 6
52x − 5.5x + 6
x
5 >3
x
5 ≤ − 12
x
2x
x
4 − 7.5
2
−10.5 + 3.5 + 4
log5 52 < x < log5 54
2
4
x
<
5
≤
f) 2x+1
≤
⇔
≤
0
⇔
⇔
.
5
5
x > log5 2
5
− 12.5x + 4
3
5.52x − 12.5x + 4
5x > 2
+
−2<0⇔
2
2x−x +1
b) 25
+ 92x−x +1 ≥ 34.152x−x .
√
d) 9x − 3x+1 + 2 > 3x − 9.
x
2
f) 52x+14−7.5
−12.5x +4 ≤ 3 .
"
VINAMATH.COM
13
VINAMATH.COM
Nguyễn Minh Hiếu
Bài tập 5.25. Giải các phương trình sau
a) 12 + 6x = 4.3x + 3.2x .
2
2
c) 2x −5x+6 + 21−x = 2.26−5x + 1.
2
2
2
e) 4x +x + 21−x = 2(x+1) + 1.
b) 52x+1 + 7x+1 − 175x − 35 = 0.
2
2
d) (D-06) 2x +x − 4.2x −x − 22x + 4 = 0.
f) x2 .2x−1 + 2|x−3|+6 = x2 .2|x−3|+4 + 2x+1 .
Lời giải.
x=1
3x = 3
.
⇔
x=2
2x = 4
x
x = log7 5
7 =5
⇔
b) PT ⇔ 52x (5 − 7x ) + 7 (7x − 5) = 0 ⇔ (7x − 5) 7 − 52x = 0 ⇔
.
52x = 7
x = 21 log5 7
x = ±1
2
2
2
2
2
c) PT ⇔ 2x −5x+6 1 − 21−x + 21−x − 1 = 0 ⇔ 1 − 21−x
2x −5x+6 − 1 = 0 ⇔ x = 2 .
x=3
2
2
2
2
x −x
x=0
2
=1
d) PT ⇔ 22x 2x −x − 1 − 4 2x −x − 1 = 0 ⇔ 2x −x − 1 22x − 1 = 0 ⇔
.
⇔
x=1
22x = 1
"
2
2
2
2
2
2
x = ±1
21−x = 1
.
e) PT ⇔ 4x +x 1 − 21−x + 21−x − 1 = 0 ⇔ 1 − 21−x
4x +x − 1 = 0 ⇔
⇔
2
x=0
4x +x = 1
x = ±2
.
f) PT ⇔ x2 2x−1 − 2|x−3|+4 + 4 2|x−3|+4 − 2x−1 = 0 ⇔ 2x−1 − 2|x−3|+4 x2 − 4 = 0 ⇔
x=4
a) PT ⇔ 4 (3 − 3x ) + 2x (3x − 3) = 0 ⇔ (3x − 3) (2x − 4) = 0 ⇔
Bài tập 5.26. Giải các bất phương trình sau
a) 12 + 6x > 4.3x + 3.2x .
c) 52x+1 + 6x+1 > 30 + 5x .30x .
2
2
2
b) 4x +x + 2√1−x ≥ 2(x+1) + 1. √
d) 52x−10−3 x−2 − 4.5x−5 < 51+3 x−2 .
Lời giải.
3x − 3 > 0
2x − 4 > 0
x>2
x
x
x
x
x
a) BPT ⇔ 4 (3 − 3 ) + 2 (3 − 3) > 0 ⇔ (3 − 3) (2 − 4) > 0 ⇔
⇔
.
3x − 3 < 0
x<1
2x − 4 <0 (
2
21−x ≤ 1
2
2
4x +x ≥ 1
x≥1
x +x
1−x2
1−x2
x2 +x
1−x2
(
4
−1 ≥0⇔
+2
−1 ≥ 0 ⇔ 1 − 2
b) BPT ⇔ 4
1−2
⇔
.
1−x2
x≤0
2
≥1
2
4x +x ≤ 1
x
6 <5
2x
5
2x
x
x
x
2x
x >6
c) BPT ⇔ 5 (5 − 6 ) + 6 (6 − 5) > 0 ⇔ (5 − 6 ) 5 − 6 > 0 ⇔
⇔ 21 log5 6 < x < log6 5.
6 >5
52x < 6
d) Ta có bất phương trình tương đương
√
52(x−5−3
x−2)
√
− 4.5x−5−3
x−2
√
√
− 5 < 0 ⇔ 5x−5−3 x−2 < 5 ⇔ 3 x − 2 > x − 6
x<6
x≥2
2≤x<6
⇔
⇔ 2 ≤ x ≤ 18
⇔
x≥6
6 ≤ x < 18
2
9x − 18 > (x − 6)
Bài tập 5.27. Giải các phương trình sau
a) 3x = 11 − x.
c) 3x + 4x = 5x .
2
2
2
e) 5x −2x+2 + 4x −2x+3 + 3x −2x+4 = 48.
b) 2x = x + 1.
x
d) 1√+ 8 2 = 3x .
f) 2 3−x = −x2 + 8x − 14.
Lời giải.
a) Ta có y = 3x là hàm số đồng biến trên R còn y = 11 − x là hàm số nghịch biến trên R.
Do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
b) Ta có phương trình tương đương 2x − x − 1 = 0.
Xét hàm số f (x) = 2x − x − 1 có f 0 (x) = 2x ln 2 − 1; f 0 (x) = 0 ⇔ log2 ln12 .
Vì f 0 (x) có một nghiệm nên f (x) có tối đa hai nghiệm.
Hơn nữa f (0) = f (1) = 0, do đó phương
hai nghiệm x = 1 và x = 0.
x trình có
x
c) Ta có phương trình tương đương 35 + 45 = 1.
x
x
Lại có y = 35 + 45 là hàm số nghịch biến trên R còn y = 1 là hàm hằng.
Do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
VINAMATH.COM
14
VINAMATH.COM
Chuyên đề 5. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit
x √ x
d) Ta có phương trình tương đương 13 + 2 3 2 = 1.
x √ x
Lại có y = 13 + 2 3 2
là hàm số nghịch biến trên R còn y = 1 là hàm hằng.
Do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = 2.
e) Đặt x2 − 2x + 2 = t, phương trình trở thành 5t + 4.4t + 9.3t = 48 (∗).
Ta có y = 5t + 4.4t + 9.3t là hàm số đồng biến trên R còn y = 1 là hàm hằng.
Do đó phương trình (∗) có nghiệm duy nhất t = 1. Với t = 1 ⇒ x2 − 2x + 2 = 1 ⇔ x = 1.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x√= 1.
f) Ta có phương trình tương đương
x2 − 8x + 2 3−x + 14 = 0.
√
3−x
2
+ 14 trên (−∞; 3].
Xét hàm số f (x) = x − √
8x + 2
3−x
ln 2
2 √
0
Ta có f (x) = 2x − 8 − 2 3−x < 0, ∀x < 3 nên f (x) nghịch biến trên (−∞; 3].
Lại có y = 0 là hàm hằng, do đó phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.
Bài tập 5.28. Giải các phương trình sau
a) 4x + (2x − 17) .2x + x2 − 17x + 66 = 0.
2
2
c) 9x + x2 − 3 .3x − 2x2 + 2 = 0.
b) 9x + 2 (x − 2) .3x + 2x − 5 = 0.
d) 32x − (2x + 9) .3x + 9.2x = 0.
Lời giải.
a) Đặt 2x = t, t > 0, phương trình trở thành t2 + (2x − 17) t + x2 − 17x + 66 = 0 (∗).
t = 11 − x
2
.
Ta có: ∆ = (2x − 17) − 4 x2 − 17x + 66 = 25. Do đó phương trình (∗) có hai nghiệm
t=6−x
Với t = 11 − x ⇒ 2x = 11 − x ⇔ x = 3; với t = 6 − x ⇒ 2x = 6 − x ⇔ x = 2.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 3 và x = 2.
b) Đặt 3x = t, t > 0, phương trình trở thành t2 + 2 (x − 2) t + 2x − 5 = 0 (∗).
t = −1(loại)
2
.
Ta có: ∆0 = (x − 2) − (2x − 5) = (x − 3)2 . Do đó phương trình (∗) có hai nghiệm
t = 5 − 2x
Với t = 5 − 2x ⇒ 3x = 5 − 2x ⇔ x = 1. Vậy phương trình đã
cho nghiệm duy nhất x = 1.
2
c) Đặt 3x = t, t > 0, phương trình trở thành t2 + x2 − 3 t − 2x2 + 2 = 0 (∗).
2
t=2
2
2
2
2
Ta có: ∆ = x − 3 − 4 −2x + 2 = (x + 1) . Do đó phương trình (∗) có hai nghiệm
.
t = 1 − x2
p
2
2
Với t = 2 ⇒ 3x = 2 ⇔ x = ± log3 2; với t = 1 − x2 ⇒ 3x = 1 − x2 ⇔ x = 0.
p
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm x = 0 và x = ± log3 2.
d) Đặt 3x = t, t > 0, phương trình trở thành t2 − (2x + 9) t + 9.2x = 0 (∗).
t=9
2
2
Ta có: ∆ = (2x + 9) − 36.2x = (2x − 9) . Do đó phương trình (∗) có hai nghiệm
.
t = 2x
Với t = 9 ⇒ 3x = 9 ⇔ x = 2; với t = 2x ⇒ 3x = 2x ⇔ x = 0.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 2 và x = 0.
Bài tập 5.29.
√ Giải các phương trình sau
a) 22x − 2x +√6 = 6.
c) 27x + 2 = 3 3 3x+1 − 2.
√
b) 32x + 3x + 7 = 7.
d) 7x−1 = 6log7 (6x − 5) + 1.
Lời giải.
√
(
22x − u = 6
(1)
.
2
x
u −2 =6
(2)
Trừ theo vế (1) và (2) ta có: 22x − u2 − u + 2x = 0⇔ (2x − u) (2x + u + 1) = 0 ⇔ u = 2x .
√
2x = 3
⇔ x = log2 3.
Với u = 2x ⇒ 2x + 6 = 2x ⇔ 4x − 2x − 6 = 0 ⇔
2x = −2(loại)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = log2 3.
(
√ x
32x + u = 7
(1)
b) Đặt u = 3 + 7, u > 0, phương trình đã cho trở thành
.
2
x
u −3 =7
(2)
x
x
Trừ theo vế (1) và (2) ta có: 32x − u2 + u + 2x = 0 ⇔ (3x +
u)x (3 − u + 1) = 0 ⇔ u = 3 + 1.
√
3
=
2
⇔ x = log3 2.
Với u = 3x + 1 ⇒ 3x + 7 = 3x + 1 ⇔ 9x + 3x − 6 = 0 ⇔
3x = −3(loại)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = log3 2.
(
√
33x + 2 = 3u
(1)
3
x
c) Đặt u = 3.3 − 2, u > 0, phương trình đã cho trở thành
.
3
x
u + 2 = 3.3
(2)
Trừ theo vế (1) và (2) ta có: 33x − u3 = 3u − 3.3x ⇔ (3x − u) 32 x + 3x .u + u2 + 3 = 0 ⇔ u = 3x .
√
3x = 1
Với u = 3x ⇒ 3 3.3x − 2 = 3x ⇔ 27x − 3.3x + 2 = 0 ⇔
⇔ x = 0.
3x = −2(loại)
a) Đặt u =
2x
+ 6, u > 0, phương trình đã cho trở thành
VINAMATH.COM
15
VINAMATH.COM
Nguyễn Minh Hiếu
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.
(
7x−1 = 6u − 5
(1)
d) Đặt u − 1 = log7 (6x − 5), phương trình trở thành
.
7u−1 = 6x − 5
(2)
Trừ theo vế (1) và (2) ta có: 7x−1 − 7u−1 = 6u − 6x ⇔ 7x−1 + 6x = 7u−1 + 6u (∗).
Xét hàm số f (t) = 7t−1 + 6t trên R có f 0 (t) = 7t−1 ln 7 + 6 > 0, ∀t ∈ R nên đồng biến trên R.
Do đó (∗) ⇔ f (x) = f (u) ⇔ x = u ⇒ 7x−1 = 6x − 5 ⇔ 7x−1 − 6x + 5 = 0.
Xét g(x) = 7x−1 − 6x + 5 có g 0 (x) = 7x−1 ln 7 − 6; g 0 (x) = 0 ⇔ x = 1 + log7 ln67 .
Vì g 0 (x) có một nghiệm nên g(x) có tối đa hai nghiệm.
Nhận thấy g(1) = g(2) = 0, do đó phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = 2.
Bài tập 5.30. Giải các phương trình sau
2
a) 2x = 3x .
x−1
c) 5x .8 x = 500.
2
b) 2x −4 = 3x−2 .
x
d) 8 x+2 = 4.34−x .
Lời giải.
x2
a) 2
x
2
= 3 ⇔ x = xlog2 3 ⇔ x (x − log2 3) = 0 ⇔
x=0
.
x = log2 3
x=2
.
x = −2 + log2 3
x−1
x−3
x=3
c) 5x .8 x = 500 ⇔ 5x−3 .2 x = 1 ⇔ x − 3 + x−3
.
x log5 2 = 0 ⇔ (x − 3) (x − log5 2) = 0 ⇔
x = log5 2
x−4
x
x=4
.
d) 8 x+2 = 4.34−x ⇔ 2 x+2 = 34−x ⇔ x−4
x+2 log3 2 = 4 − x ⇔ (x − 4) (log3 2 + x + 2) = 0 ⇔
x = −2 − log3 2
b) 2x
2
−4
= 3x−2 ⇔ x2 − 4 = (x − 2) log2 3 ⇔ (x − 2) (x + 2 − log2 3) = 0 ⇔
Bài tập 5.31. Giải các phương trình sau
2
a) 3x = cos 2x.
2
2
c) 2x−1 − 2x −x = (x − 1) .
b) 2|x| = sin x.
d) 22x+1 + 23−2x =
8
log3 (4x2 −4x+4) .
Lời giải.
2
2
3x ≥ 1
3x = 1
a) Ta có
. Do đó phương trình tương đương với
⇔ x = 0.
cos 2x ≤ 1
cos 2x = 1
|x|
|x|
2 ≥1
2 =1
. Do đó phương trình tương đương với
b) Ta có
(vô nghiệm).
sin x ≤ 1
sin x = 1
2
2
c) Ta có: (x − 1)2 ≥ 0 ⇒ x2 − x ≥ x −1 ⇒ 2x −x ≥ 2x−1 ⇒ 2x−1 − 2x −x ≤ 0.
2
2x−1 − 2x −x = 0
⇔ x = 1.
Do đó phương trình tương đương với
(x − 1)2 = 0
√
d) Theo bất đẳng thức AM − GM ta có: 22x+1 + 23−2x ≥ 2 22x+1 .23−2x = 8.
Lại có: 4x2 − 4x + 4 = (2x − 1)2 + 3 ≥ 3 ⇒ log3 (4x4 − 4x + 4) ≥ 1 ⇒ log (4x48−4x+4) ≤ 8.
3
2x+1
2
+ 23−2x = 8
Do đó phương trình tương đương với
⇔ x = 12 .
8
log (4x4 −4x+4) = 8
3
§5. Phương Trình & Bất Phương Trình Lôgarit
Bài tập 5.32. Giải các phương trình sau
a) log3 (x − 2) = 2.
c) log2 x2 − 1 = log 12 (x − 1).
e) log2 x2 + 8 = log2 x + log2 6.
g) log3 x + log4 x = log5 x.
b) log3 (5x + 3) = log3 (7x + 5).
d) log2 x + log2 (x − 2) = 3.
f) log3 (x + 2) + log3 (x − 2) = log3 5.
h) log2 x + log3 x + log4 x = log20 x.
Lời giải.
a) log3 (x − 2) = 2 ⇔ x − 2 = 9 ⇔ x = 11.
b) Điều kiện: x > − 35 . Khi đó log3 (5x + 3) = log3 (7x + 5) ⇔ 5x + 3 = 7x + 5 ⇔ x = −1 (loại).
c) Điều kiện: x > 1. Khi đó ta có phương trình tương đương:
x = 0(loại)
√
log2 x2 − 1 + log2 (x − 1) = 0 ⇔ log2 x2 − 1 (x − 1) = 0 ⇔ x3 − x2 − x = 0 ⇔ x = 1+2√5
x = 1−2 5 (loại)
Vậy phương trình có nghiệm x =
√
1+ 5
2 .
VINAMATH.COM
16
VINAMATH.COM
Chuyên đề 5. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit
d) Điều kiện: x > 2. Khi đó ta có phương trình tương đương:
log2 [x (x − 2)] = 3 ⇔ x2 − 2x − 8 = 0 ⇔
x=4
x = −2(loại)
x=4
(thỏa mãn)
x=2
Vậy phương trình có nghiệm x = 4.
e) Điều kiện: x > 0. Khi đó ta có phương trình tương đương:
2
2
log2 x + 8 = log2 (6x) ⇔ x − 6x + 8 = 0 ⇔
f) Điều kiện: x > 2. Khi đó ta có phương trình tương đương:
2
2
log3 x − 4 = log3 5 ⇔ x = 9 ⇔
x=3
x = −3(loại)
Vậy phương trình có nghiệm x = 3.
g) PT ⇔ log3 5.log5 x + log4 5.log5 x = log5 x ⇔ log5 x (log3 5 + log4 5 − 1) = 0 ⇔ log5 x = 0 ⇔ x = 1.
h) PT ⇔ log20 x (log2 20 + log3 20 + log4 20 − 1) = 0 ⇔ log20 x = 0 ⇔ x = 1.
Bài tập 5.33. Giải các bất phương trình sau
a) log8 (4 − 2x) ≥ 2.
c) log 15 (3x − 5) > log 15 (x + 1).
b) log3 x2 + 2 + log 13 (x + 2) < 0.
d) log2 (x + 3) < log4 (2x + 9).
Lời giải.
a) log8 (4 − 2x) ≥ 2 ⇔ 4 − 2x ≥ 64 ⇔ x ≤ −30.
b) log3 x2 + 2 < log3 (x + 2) ⇔ x2 + 2 < x + 2 ⇔ 0 < x < 1.
c) Điều kiện: x > 53 . Khi đó ta có bất phương trình tương đương: 3x − 5 < x + 1 ⇔ x < 3.
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm: S = 53 ; 3 .
d) Điều kiện: x > −3. Khi đó ta có bất phương trình tương đương:
log2 (x + 3) <
1
2
log (2x + 9) ⇔ log2 (x + 3) < log2 (2x + 9) ⇔ x2 + 4x < 0 ⇔ −4 < x < 0
2 2
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm: S = (−3; 0).
Bài tập 5.34. Giải các phương trình sau
a) log2 x2 + 3x + 2 + log2 x2 + 7x + 12 = log2 24.
8
c) 12 log√2 (x + 3) + 14 log4 (x − 1) = log2 4x.
√
3
e) log√2 x + 1 − log 21 (3 − x) − log8 (x − 1) = 0.
√
√
g) log2 8 − x2 + log 12
1 + x + 1 − x − 2 = 0.
b) log x3 + 8 = log (x + 58) + 21 log x2 + 4x + 4 .
2
3
3
d) 23 log 14 (x + 2) − 3 = log 14 (4 − x) + log 41 (x + 6) .
f) log 12 (x − 1) + log 12 (x + 1) − log √1 (7 − x) = 1.
2
h) log2 (4x + 15.2x + 27) + 2log2 4.2x1−3 = 0.
Lời giải.
x > −1
a) Điều kiện: −3 < x < −2 . Khi đó ta có phương trình tương đương:
x < −4
2
x + 3x + 2
2
4
3
2
x + 7x + 12 = 24 ⇔ x + 10x + 35x + 50x = 0 ⇔
x=0
(thỏa mãn)
x = −5
b) Điều kiện: x > −2. Khi đó ta có phương trình tương đương:
x=9
log x3 + 8 = log [(x + 58) (x + 2)] ⇔ x3 + 8 = x2 + 60x + 116 ⇔ x = −2(loại)
x = −6(loại)
Vậy phương trình có nghiệm x = 9.
c) Điều kiện: x > 0; x 6= 1. Khi đó ta có phương trình tương đương:
log2 (x + 3) + log2 |x − 1| = log2 4x ⇔ (x + 3) |x − 1| = 4x (∗)
x = −1(loại)
2
Với x > 1, ta có: (∗) ⇔ (x + 3)(x − 1) = 4x ⇔ x − 2x − 3 = 0 ⇔
.
x=3
√
x = −3 + 2√3
Với 0 < x < 1, ta có: (∗) ⇔ (x + 3)(−x + 1) = 4x ⇔ −x2 − 6x + 3 = 0 ⇔
.
x = −3 − 2 3(loại)
VINAMATH.COM
17
VINAMATH.COM
Nguyễn Minh Hiếu
√
Vậy phương trình có nghiệm: x = 3 và x = −3 + 2 3.
d) Điều kiện: −6 < x < 4; x 6= −2. Khi đó ta có phương trình tương đương:
log 14 |x + 2| + log 41 4 = log 14 (4 − x) + log 14 (x + 6) ⇔ 4 |x + 2| = (4 − x)(x + 6) (∗)
x=2
x = −8(loại)
√
x = 1 − √33
Với −6 < x < −2, ta có: (∗) ⇔ 4(−x − 2) = (4 − x)(x + 6) ⇔ x2 − 2x − 32 = 0 ⇔
.
x = 1 + 33(loại)
√
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 và x = 1 − 33.
e) Điều kiện: 1 < x < 3. Khi đó ta có phương trình tương đương:
"
√
17
x = 1+√
2
2
log2 (x + 1) + log2 (3 − x) = log2 (x − 1) ⇔ (x + 1)(3 − x) = x − 1 ⇔ x − x − 4 = 0 ⇔
x = 1−2 17 (loại)
2
Với −2 < x < 4, ta có: (∗) ⇔ 4(x + 2) = (4 − x)(x + 6) ⇔ x + 6x − 16 = 0 ⇔
√
Vậy phương trình có nghiệm x = 1+2 17 .
f) Điều kiện: 1 < x < 7. Khi đó ta có phương trình tương đương:
2
2
log 12 x2 − 1 = log 12 (7 − x) + log 12 2 ⇔ x2 − 1 = 2(7 − x) ⇔ x2 − 28x + 99 = 0 ⇔
√
x = 14 + √97(loại)
x = 14 − 97
√
Vậy phương trình có nghiệm x = 14 − 97.
g) Điều kiện: −1 ≤ x ≤ 1. Khi đó ta có phương trình tương đương:
√
√
√
√
log2 8 − x2 = log2
1 + x + 1 − x + log2 4 ⇔ 8 − x2 = 4 1 + x + 1 − x (∗)
Đặt
√
1+x+
√
1 − x = t, t ∈
√
2; 2 ⇒ 1 − x2 =
t4 −4t2 +4
.
4
Phương trình (∗) trở thành:
t4 − 4t2 + 4
t=2
4
2
3
= 4t ⇔ t − 4t − 16t + 32 = 0 ⇔ (t − 2)(t + 2t − 16) = 0 ⇔
7+
t3 + 2t − 16 = 0 (∗∗)
4
√
√
Xét f (t) = t3 + 2t − 16 trên
2; 2 có f 0 (t) = 3t2 + 2 > 0, ∀t ∈
2; 2
√
Suy ra f (t) đồng biến trên
2; 2 ⇒ f (t) ≤ f (2) = −4 ⇒ (∗∗) vô nghiệm.
√
√
√
√
Với t = 2 ⇒ 1 + x + 1 − x = 2 ⇔ 2 + 2 1 − x2 = 4 ⇔ 1 − x2 = 1 ⇔ x = 0.
h) Điều kiện: 2x > 43 . Khi đó ta có phương trình tương đương:
x
2 =3
2
x
x
x
x
x
⇔ x = log2 3
log2 (4 + 15.2 + 27) = log2 (4.2 − 3) ⇔ 15.4 − 39.2 − 18 = 0 ⇔
2x = − 25 (loại)
Bài tập 5.35. √
Giải cácphương trình √
sau
2
a) log2 x − x2 − 1 + 3log2 x + x2 − 1 = 2.
b) (A-08) log2x−1 2x2 + x − 1 +logx+1 (2x − 1) = 4.
√
√
√
c) log2 x − x2 − 1 .log3 x + x2 − 1 = log6 x − x2 − 1 .
Lời giải.
a) Ta có phương trình tương đương:
p
p
p
− log2 x + x2 − 1 + 3log2 x + x2 − 1 = 2 ⇔ log2 x + x2 − 1 = 1
x≤2
p
5
x2 − 1 ≥ 0
⇔ x + x2 − 1 = 2 ⇔
⇔x=
2
4
x − 1 = x2 − 4x + 4
b) Điều kiện: x > 12 ; x 6= 1. Khi đó ta có phương trình tương đương:
log2x−1 [(2x − 1) (x + 1)] + 2logx+1 (2x − 1) = 4 ⇔ 1 + log2x−1 (x + 1) +
2
=4
log2x−1 (x + 1)
⇔ log22x−1 (x + 1) − 3log2x−1 (x + 1) + 2 = 0
log2x−1 (x + 1) = 1
x + 1 = 2x − 1
⇔
⇔
log2x−1 (x + 1) = 2
x + 1 = 4x2 − 4x + 1
x=2
⇔ x = 0 (loại)
x = 45
VINAMATH.COM
18
VINAMATH.COM
Chuyên đề 5. Hàm Số Lũy Thừa. Hàm Số Mũ & Hàm Số Lôgarit
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 và x = 54 .
c) Ta có phương trình tương đương:
p
p
p
log2 x − x2 − 1 .log3 x + x2 − 1 = log6 2.log2 x − x2 − 1
p
p
⇔ log2 x − x2 − 1 log3 x + x2 − 1 − log6 2 = 0
√
√
log2 x − √x2 − 1 = 0
x − √x 2 − 1 = 1
⇔
⇔
log3 x + x2 − 1 = log6 2
x + x2 − 1 = 3log6 2
x≥1
x=1
x2 − 1 = x2 − 2x + 1
log6 2
⇔
⇔
+3−log6 2
x ≤ 3log6 2
x= 3
2
x2 − 1 = x2 − 2x3log6 2 + 9log6 2
Bài tập 5.36. Giải các bất phương trình sau
a) (A-07) 2log3 (4x − 3) + log 31 (2x + 3) ≤ 2.
x2 −3x+2
x
c) (D-08) log 12
≥ 0.
x−1
−1
log2 3.2
≥ 1.
e)
x
g) (B-02) logx [log3 (9x − 72)] ≤ 1.
b) log 12 x + 2log 41 (x − 1) + log2 6 ≤ 0.
x+1
> 1.
d) log0,5 2x−1
log2 (1 − 3log27 x) − 1
< 0.
f)
log2 x
x−1
h)
≤ 1.
log3 (9 − 3x ) − 3
Lời giải.
a) Điều kiện: x > 43 . Khi đó ta có bất phương trình tương đương:
3
2
2
log3 (4x − 3) ≤ log3 (2x + 3) + log3 9 ⇔ (4x − 3) ≤ 9(2x + 3) ⇔ 16x2 − 42x − 18 ≤ 0 ⇔ − ≤ x ≤ 3
8
3
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = 4 ; 3 .
b) Điều kiện: x > 1. Khi đó ta có bất phương trình tương đương:
x≥3
log 12 x + log 21 (x − 1) ≤ log 21 6 ⇔ x(x − 1) ≥ 6 ⇔
x ≤ −2 (loại)
Vậy bất phương
trình có tập nghiệm S = [3; +∞).
02
√
√
x2 − 3x + 2
≤ 1 ⇔ x2 − 3x + 2 ≤ x ⇔ 2 − 2 ≤ x ≤ 2 + 2
x
√
√
Kết hợp điều kiện
bất phương trình có tập nghiệm S = 2 − 2; 1 ∪ 2; 2 + 2 .
x > 12
. Khi đó ta có bất phương trình tương đương:
d) Điều kiện:
x < −1
x+1
1
3
1
< ⇔
<0⇔x<
2x − 1
2
2 (2x − 1)
2
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −1).
e) Điều kiện: x > 1 − log2 3; x 6= 0.
Với x > 0, ta có bất phương trình tương đương: log2 3.2x−1 − 1 ≥ x ⇔ 32 .2x − 1 ≥ 2x ⇔ x ≥ 1 ⇒ S1 = [1; +∞).
Với 1 − log2 3 < x < 0, BPT tương đương: log2 3.2x−1 − 1 ≤ x ⇔ 32 .2x − 1 ≤ 2x ⇔ x ≤ 1 ⇒ S2 = (1 − log2 3; 0).
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = S1 ∪ S2 = (1 − log2 3; 0) ∪ [1; +∞).
f) Điều kiện: 0 < x < 3; x 6= 1.
Với 1 < x < 3, ta có BPT tương đương: log2 (1 − log3 x) − 1 < 0 ⇔ 1 − log3 x < 2 ⇔ x > 31 ⇒ S1 = (1; 3).
Với 0 < x < 1, ta có BPT tương đương: log2 (1 − log3 x) − 1 > 0 ⇔ 1 − log3 x > 2 ⇔ x < 31 ⇒ S2 = 0; 13 .
Kết hợp bất phương trình có tập nghiệm S = S1 ∪ S2 = 0; 13 ∪ (1; 3).
g) Điều kiện: x > log9 73. Khi đó ta có bất phương trình tương đương:
log3 (9x − 72) ≤ x ⇔ 9x − 72 ≤ 3x ⇔ −8 ≤ 3x ≤ 9 ⇔ x ≤ 2
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = (log3 73; 2].
h) Điều kiện: x < 2. Nhận xét rằng log3 (9 − 3x ) − 3 < 0 nên ta có bất phương trình tương đương:
x − 1 ≥ log3 (9 − 3x ) − 3 ⇔ 9 − 3x ≤ 3x+2 ⇔ 3x ≥
9
⇔ x ≥ 2 − log3 10
10
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = [2 − log3 10; 2).
VINAMATH.COM
19
VINAMATH.COM
Nguyễn Minh Hiếu
Bài tập 5.37. Giải các bất phương
trình sau
x2 +x
a) (B-08) log0,7 log6 x+4 < 0.
x+1
b) log 12 log3 x−1
≥ 0.
√
√
x2 + 1 + x > log3 log 51
x2 + 1 − x .
d) log 13 log5
x+1
1
1
c) log3 log4 3x−1
x+1 ≤ log 3 log 4 3x−1 .
Lời giải.
a) log0,7
2
+x
log6 xx+4
<0⇔
2
+x
log6 xx+4
>1⇔
x2 +x
x+4
>6⇔
x2 −5x−24
x+4
>0⇔
−4 < x < −3
.
x>8
b) Điều kiện: x > 1. Khi đó ta có bất phương trình tương đương:
x+1
x+1
−2x + 4
log3
≤1⇔
≤3⇔
≤0⇔
x−1
x−1
x−1
x≥2
x<1
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm S = [2; +∞).
x>1
. Khi đó ta có bất phương trình tương đương:
c) Điều kiện:
x < −1
3x − 1
3x − 1
3x − 1
−x − 5
log3 log4
≤ 0 ⇔ log4
≤1⇔
≤4⇔
≤0⇔
x+1
x+1
x+1
x+1
x > −1
x ≤ −5
Kết hợp bất phương trình có tập nghiệm S = (−∞; −5] ∪ (1; +∞).
d) Điều kiện: x > 0. Khi đó ta có bất phương trình tương đương:
p
p
12
x≤5
2
2
log3 log5
x +1+x <0⇔ x +1+x<5⇔
2 ⇔x<
x2 + 1 < (5 − x)
5
Kết hợp điều kiện bất phương trình có tập nghiệm: 0; 12
5 .
Bài tập 5.38. Giải các phương trình sau
a) log22 x − 3log2 x + 2 = 0.
3
c) p
2log2 x − log
p x = 2 − log x.
e) log3 x + 4 − log3 x = 2.
g) log3 (3x + 1) .log3 3x+2 + 9 = 3.
b) log 21 x + log22 x = 2.
√
d) log2 x3 − 20 log x + 1 = 0.
f) log2 (2x + 1) .log2 2x+1 + 2 = 2.
h) log2 (5x − 1) .log4 (2.5x − 2) = 1.
Lời giải.
log2 x = 2
⇔
log2 x = 1
x=4
.
x=2
log2 x = −1
x = 12
2
2
.
b) log 21 x + log2 x = 2 ⇔ log2 x − log2 x − 2 = 0 ⇔
⇔
log2 x = 2
x=4
x = 10
log x = 1
1
c) 2log2 x − log3 x = 2 − log x ⇔ log3 x − 2log2 x − log x + 2 = 0 ⇔ log x = −1 ⇔ x = 10
.
log x = 2
x = 100
√
x = 10
log x = 1
√
⇔
.
d) log2 x3 − 20 log x + 1 = 0 ⇔ 9log2 x − 10 log x + 1 = 0 ⇔
log x = 19
x = 9 10
p
e) Đặt log3 x = t, t ≥ 0. Phương trình trở thành:
p
t=0
t≤2
⇔
t + 4 − t2 = 2 ⇔
t=2
4 − t2 = 4 − 4t + t2
p
p
Với t = 0 ⇒ log3 x = 0 ⇔ x = 1; với t = 2 ⇒ log3 x = 2 ⇔ x = 81.
f) Ta có phương trình tương đương: log2 (2x + 1) .log2 [2 (2x + 1)] = 2 ⇔ log2 (2x + 1) . [1 + log2 (2x + 1)] − 2 = 0.
t=1
.
Đặt log2 (2x + 1) = t, t > 0. Phương trình trở thành: t(1 + t) − 2 = 0 ⇔ t2 + t − 2 = 0 ⇔
t = −2 (loại)
Với t = 1 ⇒ log2 (2x + 1) = 1 ⇔ 2x + 1 = 2 ⇔ x = 0.
x
g) Ta có phương trình tương đương: log3 (3x + 1) .log3 [9 (3x + 1)] = 3 ⇔ log3 (3x + 1) [2 + log
3 (3 + 1)] − 3 = 0.
t=1
.
Đặt log3 (3x + 1) = t, t > 0. Phương trình trở thành: t(2 + t) − 3 = 0 ⇔ t2 + 2t − 3 = 0 ⇔
t = −3 (loại)
Với t = 1 ⇒ log3 (3x + 1) = 1 ⇔ 3x + 1 = 3 ⇔ x = log3 2.
h) Ta có phương trình tương đương: log2 (5x − 1) . 21 log2 [2 (5x − 1)] = 1 ⇔ log2 (5x −1) [1 + log2 (5x − 1)]−2 = 0.
t=1
Đặt log5 (5x − 1) = t. Phương trình trở thành: t(1 + t) − 2 = 0 ⇔ t2 + t − 2 = 0 ⇔
.
t = −2
Với t = 1 ⇒ log5 (5x − 1) = 1 ⇔ 5x − 1 = 5 ⇔ x = log5 6;.
1
Với t = −2 ⇒ log5 (5x − 1) = −2 ⇔ 5x − 1 = 25
⇔ x = log5 26
25 .
a) log22 x − 3log2 x + 2 = 0 ⇔
VINAMATH.COM
20
.PDF 
26 
1205 
119 
