Tài liệu Chuyên đề điện trường trong chất điện môi (2)

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TỈNH BẮC GIANG. TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC GIANG CHUYÊN ĐỀ: ĐIỆN TRƯỜNG TRONG CHẤT ĐIỆN MÔI Tác giả (Nhóm tác giả): Tổ Vật Lý Trường THPT chuyên Bắc Giang I. Cơ sở lý thuyết 1. Chất điện môi phân cực và chất điện môi không phân cực. Các chất điện môi là các chất mà trong các điều kiện bình thường gần như không có các hạt tích điện có thể di chuyển tự do. Các chất điện môi bao gồm tất cả các chất khi khi không bị ion hoá, một số chất lỏng và một số chất rắn. Tất cả các phân tử của chất điện môi đều trung hoà về điện: số điện tích âm của các electron bằng số điện tích dương của hạt nhân nguyên tử có trong phân tử. Tuy nhiên, sự phân bố của các electron trong phân tử của chất điện môi có momen lưỡng cực điện hay không. +) Nếu sự phân bố của các electron sao cho "trọng tâm" của electron trong phân tử và "trọng tâm" của các điện tích dương của các hạt nhân +q u r d -q Hình 1 nguyên tử không trùng nhau mà cách nhau một khoảng d (hình 1) thì mỗi phân tử có thể xem như một lưỡng cực điện với momen uur ur điện pe  qd , trong đó q là điện tích dương tổng cộng của tất cả các hạt nhân nguyên tử trong phân tử, d là vectơ vẽ từ "trọng tâm" của electron trong phân tử đến "trọng tâm" của các điện tích dương của các hạt nhân nguyên tử. Ví dụ cho các phân tử loại này là các phân tử H2O, rượu,… Các chất điện môi trong đó các phân tử có sẵn momen điện như vậy được gọi là các chất điện môi có phân tử phân cực (hay chất điện môi phân cực). Trong chất điện môi thuộc loại này, tuy từng phân tử có thể xem là một lưỡng cực điện, nhưng do chuyển động nhiệt hỗn loạn, sự định hướng của các lưỡng cực đó hoàn toàn ngẫu nhiên. Kết quả là momen điện tổng cộng của tất cả các phân tử khi không có điện trường ngoài bằng 0. 1 +) Nếu sự phân bố của các electron sao cho "trọng tâm" của electron trong phân tử và "trọng tâm" của các điện tích dương của các hạt nhân nguyên tử trùng nhau d = 0. Khi đó, các phân tử không có momen điện. Ví dụ cho các phân tử thuộc loại này là các phân tử H2, N2, O2, CCl4, Si,…Các chất điện môi có các phân tử như vậy được gọi là các chất điện môi có các phân tử không phân cực hay chất điện môi không phân cực. 2. Sự phân cực của chất điện môi. Khi không có điện trường ngoài, chất điện môi, bất kể thuộc loại nào, không có momen điện tổng cộng bằng không. Bây giờ, ta hãy xét một chất điện môi khi đặt nó vào trong một điện trường ngoài. Dưới tác dụng của điện trường, chất điện môi sẽ có momen điện tổng cộng khác không. Hiện tượng xuất hiện momen điện tổng cộng trong chất điện môi khi đặt nó trong điện trường ngoài được gọi là sự phân cực điện môi. Khi đặt một chất kim loại hoặc một chất điện môi vào trong một điện trường, ở trên mặt của chúng đều xuất hiện các điện tính cảm ứng. Tuy nhiên có một sự khác nhau quan trọng giữa hai trường hợp này. Đó là, trong các kim loại, các điện tích âm tồn tại dưới dạng linh động (electron tự do) có thể di chuyển khá xa. Do đó, các điện tích cảm ứng trong kim loại có thể tách nhau ra. Trong các chất điện môi, các điện tích trái dấu liên kết với nhau và chỉ có thể dịch chuyển một khoảng cách rất ngắn. Có hai cơ chế phân cực trong chất điện môi. 2.1. Chất điện môi được cấu tạo từ các phân tử vốn không bị phân cực (không có momen lưỡng cực điện). Trong điện trường ngoài, sự phân bố của các điện tích bị thay đổi, "trọng tâm" của electron trong phân tử và "trọng tâm"của các điện tích dương của các hạt nhân nguyên tử trỡ nên không trùng nhau nữa mà dịch đi một khoảng d. Như vậy, phân tử vốn không có momen điện, trong điện trường ngoài đã trở thành một lưỡng cực điện với momen điện cảm ứng p e tỷ lệ với cường độ điện trường ngoài E . Chuyển động nhiệt của các phân tử không ảnh hưởng đến các momen lưỡng 2 cực điện cảm ứng: vectơ p e bao giờ cũng cùng chiều với E và độ phân cực không phụ thuộc nhiệt độ. 2.2. Chất điện môi phân cực, gồm các phân tử có momen lưỡng cực điện xác định (pe = const). Trong điện trường ngoài đều, các lưỡng cực điện chịu tác dụng của momen ngẫu lực  = [ p e  E ] làm cho chúng định hướng theo chiều của E . Ở T = 0K ngay với điện trường yếu, tất cả các lưỡng cực điện đều định hướng theo chiều của điện trường. Tuy nhiên, khi T 0 K, năng lượng nhiệt của các lưỡng cực điện có thể làm cho chúng quay đi một góc nào đó so với chiều của điện trường ngoài. Khi đó, nhìn chung các lưỡng cực điện định hướng có tự hơn theo hướng ưu tiên dọc theo chiều của điện trường. Mức độ trật tự của sự sắp xếp các lưỡng cực điện quyết định đến độ lớn của momen điện tổng cộng của chất điện môi. Như vậy, khi đặt chất điện môi phân cực vào trong một điện trường ngoài, momen điện tổng cộng xuất hiện khi có độ lớn phụ thuộc vào nhiệt độ. 3. Vectơ phân cực. Để đặc trưng cho sự phân cực của một chất điện môi, người ta dùng một đại uu r lượng vật lí, được gọi là vectơ phân cực. Vectơ phân cực p của một chất điện môi được định nghĩa là momen lưỡng cực điện của một đơn vị thể tích chất điện môi. Nếu chất điện môi có thể tích bằng V trong đó chứa N nguyên tử (hay phân tử), thì 1 N P   P ei V i l (1) trong đó P ei là momen lưỡng cực điện của nguyên tử (phân tử) thứ i. Nếu chất điện môi là đồng nhất, và độ dịch chuyển d của các điện tích là như ur nhau ở mọi điểm, vectơ phân cực p có cùng độ lớn và cùng chiều tại mọi điểm của chất điện môi. Sự phân cực như vậy được gọi là sự phân cực đều. Với cả hai cơ chế phân cực vừa nói đến ở trên, ta thấy: trong điện trường ngoài, mỗi phân từ có thể xem như một lưỡng cực điện với momen lưỡng cực điện. pe = q d (2) 3 Ở trong thể tích chất điện môi, các điện tích dương và âm triệt tiêu lẫn nhau. Chỉ có hai mặt đối diện dọc theo phương của điện trường, hiệu ứng dịch chuyển đó mới được thể hiện bởi sự xuất hiện của các điện tích phân cực mặt ngoài. Các điện tích đó liên kết chặt với các phân tử của chất điện môi do đó được gọi là điện tích liên kết. Khác với các điện tích tự do, các điện tích liên kết không tham gia vào quá trình dẫn điện. Tuy nhiên, các điện tích liên kết không cân bằng đó cũng tạo nên điện trường như các điện tích tự do không cân bằng. Ta có thể dễ dàng tính mật độ điện tích mặt  của các điện tích đó với chất điện môi có phân tử không phân cực vì trong chất này, tất cả các lưỡng cực đều như nhau và đều định hướng theo chiều của điện trường ngoài. Xét một yếu tố thể tích dV ở mặt ngoài có chiều dài d và tiết diện dS và giả sử trong yếu tố đó có dN phân tử và các vectơ p ei vuông góc với mặt ngoài Với sự phân cực đều, từ (27) và (28), ta có uu r 1 p  dV uur dN ur pei  qd hay � NV i P = qd (3) trong đó  = là mật độ điện tích thể tích Điện tích ở trong lớp mặt ngoài dày d bằng dQ =  dS d Do đó, mật độ điện tích mặt  = =  d (4) ur ur Từ định nghĩa của p , ta thấy trong trường hợp đang xét, vectơ p  mặt. Kết hợp (3) và (4), ta có mật độ điện tích mặt  = p = p (5) ur Trong trường hợp tổng quát hơn, khi p không vuông góc với mặt ngoài, ta hãy xét một yếu tố thể tích dưới dạng một khối hình hộp xiên có đáy bằng dS và ur cạnh d song song với p . Giả sử trên một đáy có điện tích phân cực âm với mật độ -  và ở đáy đối diện điện tích dương với mật độ +  . Momen điện của khối chất điện môi bằng p =  dS d ur Nếu góc giữa pháp tuyến của đáy và vectơ p là  , thể tích của yếu tố thể tích dV = dS d cos  4 Số lưỡng cực có trong yếu tố thể tích đó dN = n.d.cos  .dS (n là nồng độ của phân tử trong chất điện môi) và điện tích phân cực mặt ngoài có trong yếu tố thể tích. dQ = q dN = n.q.d.cos  .dS = p dS trong đó p = p.cos  . Do đó, mật độ điện tích mặt của điện tích phân cực mặt ngoài  = = p (6) trong đó ur P là thành phần của p vuông góc với mặt. Như vậy, mật độ mặt của điện tích phân cực ở một điểm bằng thành phần vuông ur góc của vectơ phân cực p ở điểm đó. 5 II. Bài tập Bài 1. Một điện tích điểm q đặt tại tâm của một quả cầu điện môi bán kính a với hằng số điện môi 1. Quả cầu được bao bọc bằng một điện môi lớn vô hạn, có hằng số 2. Hãy tìm mật độ điện mặt của các điện tích liên kết tại mặt ranh giới của hai điện môi. Lời giải Xét điểm M nằm trên bề mặt quả cầu Giả sử chỉ có điện môi 1 và chân không (tức không có 1 ) thì theo bài tập trên điện tích liên kết trên mặt cầu là q '1  1  1 q '2 q � 1� � 1� q �  '1   1  �  � 1 � � 2 1 4 a 4 a 2 � 1 � � 1 � (1) Giả sử chỉ có điện môi 2 và chân không ( không có 1 ) thì điện tích liên kết trên mặt cầu là q'2 ngược dấu với q: q '2  � �1 �  2 1 q '2 q �1 q �  '2    1�  �  1� 2 2 � 2 4 a 4 a � 2 � � 2 � (2) Nếu có cả 2 điện môi 1 2 thì mật độ điện tích liên kết ' trên mặt cầu tâm O, bán kính a là    '1   '2  q �1 1 � q (1   2 ) �  � 4 a 2 � 2  1 � 4 a 21 2 Bài 2. Hãy chứng minh rằng tại một giới hạn của một điện môi đồng tính với một vật dẫn, mật độ điện mặt của các điện tích liên kết là ' = -(-1)/1 với  là hằng số điện môi,  là mật độ điện mặt của các điện tích trên vật dẫn. Lời giải 6 Dùng công thức (2) của bài trên, coi chất điện môi như môi trường 2 của bài đó nghĩa là mật độ điện tích liên kết ' bao giờ cũng ngược dấu với  của vật dẫn. Như vậy ta thu được: �1 � �  1 �  '   �  1�  � � � � � � (đpcm) Bài 3. Một vật dẫn có dạng tuỳ ý điện tích q = 2,5C được bao bọc bằng một điện môi có hằng số điện môi  = 5,0 (hình 2). Hãy tính tổng điện tích liên kết bề mặt ở các mặt trong và ngoài của điện môi. Lời giải Xét trường hợp đặc biệt, vật dẫn là quả cầu kim Hình 2 loại đặc bán kính a mang điện q đặt trong điện môi  (hình 2). Mật độ điện mặt trên mặt cầu là .  q 4 a 2 Cường độ điện trường E q   2 4 0 a  0  Ta có |  ' | Pn  P   0  E   0 (  1)    0  (  1)    1 � �  1 � q � � � � � � � 2 2 � Điện tích liên kết | q ' ||  ' | S  4 a  '  4 a  �  1 � q � �2 � � vì q' trái dấu với q nên q '   � Đặt q'' là điện tích liên kết ở mặt ngoài khối điện môi. Từ định luật bảo toàn điện tích: �  1 � q ' q ''  0 � q ''   q '  � � q � � 5 1 � 2,5  2  C � �5 � � Thay số q ''   q '  � 7 Trường hợp tổng quát: Khi vật dẫn có hình dạng bất kì Xét một điểm M trên mặt vật dẫn, tại đó bán kính chính khúc của mặt là R. Lấy 1 điện tích nguyên tố dS bao quanh M; có thể coi dS là một phần mặt cầu bán kính R. Điện tích liên kết dq' trên dS là dq '   ' dS    (  1) �  1 � dS   � � dq  � �  1 � �  1 � dq   � �q �� �  �s � � � dq '   � Vậy q '  � s Và q ''   q   1 q  M b Bài 4. Một chất điện môi có dạng một lớp cầu có bán kính trong là a, bán kính ngoài là b (a < b). Tìm môđun của vectơ cường độ điện trường E và điện thế  theo r, với r là khoảng b O a cách tính từ tâm hệ nếu điện môi có điện tích dương phân bố đều a) theo mặt trong của lớp. Hình 3 b) theo thể tích của lớp. Lời giải 1) Điện tích q phân bố đều trên mặt cầu a) Với r < a thì E = 0 suy ra  = const (vì A  E 0, 6.20.109.2002  1,5.103 J  1,5 mJ ) 2(1  0, 6)2 q 0 b) Với a < r < b thì E    4  r 2 0  q d E (vì ) 4 0 r dr q q c) Với b < r thì E  E0  4 r 2 và   4 r 0 0 2) Điện tích q phân bố giữa 2 mặt cầu a) Với r < a thì E = 0 nên  = const b) Với a < r < b. Tính điện tích chứa trong mặt cầu đi qua M 8 qr  Vr  4 r 3  a3 .  (r 3  a3 )  q 3 3 4 b a  (b3  a 3 ) 3 3 q � a3 � E0 qr q (r 3  a 3 ) q   r � Vậy E   �  4 0 r 2 4 0 r 2 (b3  a 3 ) 4 0 (b3  a 3 ) � r 2 � Và E   �r 2 a 3 � d q �  �  � dr 4 0 (b3  a 3 ) �2 r � q q c) Với b < r thì E  E0  4 r 2 và   4 r 0 0 Bài 5. Gần điểm A của một mặt phẳng ngăn cách giữa thuỷ tinh và chân không, cường độ điện trường trong chân không là E0  10, 0 uur V ; góc giữa m r vectơ E0 và pháp tuyến n của mặt ranh giới là 0 = 300. Hãy tìm cường độ điện trường E trong Hình 4 r ur thuỷ tinh ở gần điểm A, góc  giữa E và n và mật độ điện mặt của các điện tích lên kết tại điểm A. Lời giải a) Ta có môi trường 1: thuỷ tinh 1 =  = 6 Môi trường 2 là không khí 0 = 1 và 2 = 0 và E2 = E0 = 10V/m Ta có E1t  E2t � E1t  E0 sin  0 (1) Ta cũng có D1n  D2n �  01E1n   01E2n � 1E1n  Eon  E0 cos  0 E02 102 2 Vậy E  E  E  E sin  0  2 cos   102 sin 2 300  2 cos 2 300  27, 08 1 6 2 1 2 1t 2 2t 2 0 � E1  27, 08  5, 2 b) tg1  2 V m E1t E2t  6 �6 �   1 tg 0   tg 0  6tg 300  � 1  arctg � � 73,90 E1n � 2 � 2 3 �3� � �E2 n �1 � 9 (2) c)  '  Pn  P cos 1   0 1 cos 1   0 (  1) E1 cos  Thay số:  '  0,885.1011 (6  1).5, 2 cos 73,90  63, 7.10 12 C pC  63, 7 2 2 m m Bài 6. l I  một góc  với pháp Tại bề mặt phẳng của một chất điện môi có hằng số điện môi , cường độ điện trường trong chân không là E 0, hơn nữa vectơ uur R E0 tạo r 5 điện môi tuyến n của bề mặt điện môi. Coi điện trường ở bên trong và bênHình ngoài là như nhau, hãy tính: ur a) Thông lượng của vectơ E qua mặt cầu bán kính R với tâm trên bề mặt của điện môi. ur b) Lưu số của vectơ D theo chu tuyến I dài l mà bề mặt của nó vuông góc với bề uur mặt của điện môi và song song với vectơ E0 . Lời giải a) Ta có ur ur ur u r   C  C0  E.S  E 0 .S (1)   ( E cos   E0 cos  ) R 2 Theo bài tập 78: �E � E  � 0 � cos 2    2 sin 2  � � (2) Và tg = tg (3) 1 1  2 1  tg  1   2tg 2 cos t  (4) Thay (2) và (4) vào (1): �E    R � 0 �  � 2 D � cos 2    2 sin 2  �  1 �  E cos  cos  �  R 2 E0 � � 0 2 2 � 1   tg  � � �  t b) Chú ý D  l 0t Ta tính I0  ur uu r D 0 dl   0 E0 l sin   D0 t l � AB 10 Il  uruu r �Ddl    E sin  l   D l   D 0 t 0t l CD Vậy Il = -I0 nên uruu r Ddl �  I0  I1  I 0 (1   )  (  1) 0 E0l sin  Bài 7. Một bản điện môi lớn vô hạn có hằng số điện môi  tích điện đều với mật độ điện thể tích . Độ dày của bản là 2d. Hãy tính. a) Môđun của vectơ cường độ điện trường và điện thế theo khoảng cách l từ tâm bản (điện thế ở tâm bản được tính bằng không). b) Mật độ mặt và mật dộ thể tích của điện tích liên kết. Lời giải a) Đặt O là tâm bản. Xét điện trường tại M với OM = l. Xét hình trụ đáy S, độ cao 2l. 1) Khi l < d. Tính uruur �DdS  q (1) uruur �DdS  2DS (2) q là điện tích chứa trong hình trụ. Q = V = 2Sl (3) Thay vào (1) rút ra: l = D = 0E (4) l Vậy E    0 (5) 2) Khi l > d, tức M nằm ngoài điện môi (nằm trong chân không) d (4) thành  d   0 E � £   0 (6) Tính . ur uuur Ta có E   grad � El   d dt (7) 11 Từ (5) suy ra  l 2 2 0 (8) d Từ (7) và (6) suy ra    2 l  const (9) 0 Hãy xác định const trong (9). Xét một điểm N ở bề mặt chất điện môi tức l = d. Thay vào (8) và (9) d 2 d 2     const 2 0 0 d 2 � 1 � 1 � Suy ra const  0 � � 2 � (10) d d � � 1 d  Vậy (9) thành    � � 2 � 0 � b) Ta có  '  Pn  P cos   P   0  E   0 (  1) E (11) d với E theo (5) E    0 d Thay vào (11)  '   0 (  1)    0  d (  1)  (12) Tính : Cắt lấy trong khối điện môi một hình trụ tròn đứng, đáy S, độ cao 2d bằng độ dày của khối điện môi. Theo định lí O – G, điện thông gửi qua bề mặt bao hình trụ là:  D '  2 D ' S  q ' , với D' = ' 2'S = sS|'|d (13) '   '  (  1)  d  Vì ' ngược dấu với  nên  '  (14)  (  1)  12 Bài 8. Các điện tích được phân bố đều với mật độ thể tích  > 0 trong một hình cầu bán kính R làm bằng điện môi đồng tính đẳng hướng với hằng số điện môi . Hãy tính: a) Môđun của vectơ cường độ điện trường theo khoảng cách r tính từ tâm quả cầu. b) Mật độ thể tích và mật độ bề mặt của các điện tích liên kết. Lời giải Điện trường tại M bên trong quả cầu C tương đương với điện trường do quả cầu nhỏ Cm gây ra EM  r 1 q 4 2  rM  � EM  M 2 Với q  4 0 rM 3 0 3 Điện trường tại N ngoài quả cầu C là EN  q 4 0 rN2 r 4 với q   Rr 3  � EN  3 0 rN2 3 3 Tính  E d dt ur ur ur E  E 0  E ' � E  E0  E ' (1)  R3  const 3 0 rN (2) N   Tính const: Tại một điểm trên mặt cầu C. (1) và (2) thành  R2  R2  R2 � 1 �    const � const  1 � � 6 0 3 0 3 0 � 2 � Vậy (2) thành  N  ur ur ur  R 3 �1 1 1 � �   � 3 0 �rN R 2 R � ur ur a) Ta có E  E 0  E ' � E  E0  E ' (vì E ngược chiều với E 0 ) Với quả cầu điện môi mang điện q, và điện tích liên kết q' thì E q q | q'| E0  E' 2 ; 2 và 4 0 r 4 0 r 4 0 r 2 13 (3) q q ur  2 2 dF 4 0 r 4 0 r | q ' | q  q � 1 � �  1 �  q� 1  � q � �  �  � � �  1 � � � � � Vì q' ngược dấu với q nên q '  q � q'  4 3 4 �  1 � R  '    R3 � � 3 3 � � �  1 �  '   � � � � Suy ra (4) b) Ta có S' = V', với S và V là diện tích và thể tích quả cầu hay 4 R ' 4 R 3 '   R 3  ' �  '  3 3 R 3 thay (4) vào (5):  '    (5)  1  Bài 9. Một đĩa tròn bằng điện môi bán kính R bề dày d bị phân cực sao cho độ uu r uu r phân cực bằng p đồng đều ở mọi nơi và vectơ p nằm trong mặt phẳng của đĩa. ur Hãy tính vectơ cường độ điện trường E ở tâm đĩa nếu d << R. Lời giải Xét diện tích dS = Rdd bao quanh M, dS mang điện tích liên kết dq' = 'Rd.d Nhưng: ' = Pncos dq' = PRdcos d dq' gây ra tại O một điện trường dE: dE  1 dq ' PRd cos  d  4 0 R 2 4 0 R 2 ur ur r d Ese nằm trên Ox. Vì lí do đối xứng nên điện trường tổng hợp tại O: E  � Ta tính dE  dE cos   E� dEx  PRd cos 2  d PRd (1  cos 2 )d (2 )  4 0 R 2 16 0 R 2 Pd 16 0 R 2 2 Pd 0 0 (1  cos 2 )dl  � 4 R 14 ur ur ur ur Pd Vì E và P ngược chiều nhau nên E   4 0 R Bài 10. Ở một số điều kiện nào dó, độ phân cực của một tấm điện môi không rất uu r uur � x 2 � ur 1  2 �trong đó P 0 là một vectơ vuông rộng, không mang điện, có dạng p  p0 � � d � góc với tấm điện môi, x là khoảng cách tính từ tâm của tấm, d là độ dày của tấm. Hãy tính cường độ điện trường ở bên trong của tấm và hiệu điện thế giữa hai mặt của tấm. Lời giải p p0 � x 2 �  ' pn   1 � Ta có: E   � 0 0 0 0 � d 2 � ur uuur Vì E   grad � E  Ex   Từ (1) suy ra:   p0 0 d dx p0 � x 2 � �x  � const  0 � 3d 2 �    B   A    (1) p0 � xB3 � p0 � x 3A � x   x  �B � �A �  0 � 3d 2 �  0 � 3d 2 � � d3 � � 4dp0 (d 3 ) � d    d  � � � 2 2 � 3d � � 3d � � 3 0 Bài 11. Lúc đầu không gian giữa các bản của một tụ điện phẳng chứa không khí và cường độ điện trường trong đó bằng E0. Sau đó một nửa khe hở được lấp đầy điện Hình 6 môi và đẳng hướng có hằng số điện môi là . Hãy tìm ur ur môđun của các vectơ E và D trong cả 2 phần 1 và 2 của khe hở nếu khi đặt điện môi vào. a) Hiệu điện thế giữa các bản không đổi b) Các điện tích trên các bản không đổi. 15 Lời giải ur uuur a) Từ E   grad � E   d � U AB  E0 .2d dl (1) Với 2d là khoảng cách giữa 2 bản A và B Ta có D1 = D2 =  D ' D ' E 1 2 1 Suy ra E1      và E2         0 1 0 0 2 0 (2) Ta có UAB = UAH + UBH (3) 2 E0 d  E2d  E1d  Suy ra E1  E1d  E1d  (4) 2 E0 2E E và E2  1  0  1   1 b) Khi q (hay ) không đổi. Ta có  = D = 0E=const (5) Mặt khác D = D1 = D2 = 0.E1 = 0E2 Từ (5) và (6): E1 = E0 và E2  (6) E0  Bài 12. Giải bài tập 11 khi lấp đầy điện môi như hình vẽ. Lời giải a) Khi chưa đặt điện môi E0  Khi đặt điện môi: E1  U AB 2d (1) U AB U và E2  AB 2d 2d Hình 7 (2) Vậy E1 = E2 = E0 (3) D1 = 01E1 = 0E0 và D2 = 02E2 = 0E0 (4) Suy ra D2 = D1 (5) b) Khi q không đổi. Nếu chưa đặt điện môi thì mật độ điện mặt  = q/S. Khi đặt điện môi vào, sự phân bố điện tích trên mỗi bản sẽ không đều. Nửa 1 không có điện môi, mỗi bản có mật độ 1 = D1 = 0E1 (6) 16 Nửa 2 có điện môi, mật độ điện tích là: 2 = D2 = D1 = 1= 0E2 (7) q  q1  q2 �  S   1 S S   2 �  1   2  2 2 2 (8) Với  = D = 0E0 (9) Vậy 2 = 1 + 1 = 1(+1) 2 0 E0  (  1) 0 E1 � E1  2 E0  1 (10) Bài 13. Một nửa không gian giữa hai bản cực đồng tâm của một tụ điện cầu được lấp đầy điện môi đồng tính, đẳng hướng có hằng số điện môi . Điện tích của tụ điện là q. Hãy tìm môđun của vectơ cường độ điện trường giữa các bản theo Hình 8 khoảng cách r tính từ tâm cong của hai bản cực của tụ điện. Lời giải Bài toán 85 là trường hợp riêng của bài toán này (khi R1 và R2  ) Vì vậy ta vẫn dùng công thức (10) của bài toán 85. E2  E1  2 E0  1 Với E0 là điện trường tại M(r) khi trong tụ điện là chân không ( = 1) E0  q q E2  E1  2 và 4 0 r 4 0 (  1) r 2 Bài 14. Hai quả cầu nhỏ giống hệt nhau, mang điện cùng tên được treo bằng các sợi dây cách điện dài bằng nhau vào một điểm. Khi lấp đầy môi trường xung quanh bằng dầu hoả thì góc tạo bởi 2 sợi dây không thay đổi. Tính khối lượng riêng của chất làm các quả cầu. Lời giải Quả cầu C chịu tác dụng 2 lực: trọng lực theo phương thẳng đứng và lực Cu - lông theo phương ngang. 17 1) Khi chưa có điện môi tg  F F  p V g Khi có điện môi, lực Cu - lông giảm  lần, đồng thời điện môi còn tác dụng lên quả cầu C lực đẩy Acsimet FA = V0g. F' F / F / F / Vậy tg '  p '  P  F  V  g  V  g  V (    ) g A 0 0 Theo đề bài ' = tg' = tg  Vg = V( - 0)g  0 Vậy    (   0 ) �   (  1) Bài 15. Người ta tạo ra ở bên trong một quả cầu bằng điện môi đồng tính, đẳng hướng có hằng số điện môi  = 5,00 một điện trường đều có cường độ E = 100 V/m. Bán kính của quả cầu R = 3,0 cm. Hãy tính mật độ điện mặt cực đại của các điện tích liên kết và điện tích liên kết toàn phần dương (hoặc âm). Lời giải a) Ta có  '  Pn  P cos    0 (  1) E cos  Ta có ' = 'max khi cos = 1 'max = 0( - 1)E Thay số: 'max = 0,885.10-11(5 - 1).100 = 3,54.109 C/m2. Xét diện tích dS ở xung quanh M(R,,): dS = Rd.Rsind ur Điện tích trên dS là dq' = dS = 0( - 1)R2dsincosd; E thẳng đứng hướng lên trên nên nửa mặt cầu trên mang điện tích q', nửa dưới mang điện tích -q'.   /2 0 0 q'  � dq '   0 (  1) R E � d 2 q '   0 (  1) R 2 E sin 2   /2 sin  cos  d �   0 (  1) R 2 E  10 pC 0 Bài 16. 18 Một điện tích điểm q được đặt trong chân không, cách một mặt phẳng của một chất điện môi đồng tính đẳng hướng lấp đầy không gian. Hằng số điện môi là . Hãy tính a) Mật độ điện mặt của các điện tích liên kết theo khoảng cách r tính từ điện tích điểm q. Xét trường hợp l  0 b) Tổng diện tích liên kết trên bề mặt của điện môi. Lời giải a) Xét điểm M ngay sát mặt ngăn cách P giữa chân không và điện môi  và cách ur ur điện tích q là AM = r. Điện trường tại E là tổng hợp điện trường E 0 do q gây ra và ur ur E ' do điện tích cảm ứng trên mặt P, có mật độ ' tại M: E 0 (1) Suy ra E1n = E0cos1 + E' (2) q l ' �  4 0 r 2 r 2 0 (3) '  0E ' 2 (4) Eln  vì D '  và Dln   0 Eln  ' ql  4 r 3 2 (5) Mặt khác ta có Dln = D2n (6) Với D2n = 0E2n (7) Ta cũng có ' = Pn = 0E2n = 0(-1)E2n (8) Thay (5) (7) và (8) vào (6) ' |q|l  '    0 3 4 r 2  0 (  l ) �  �  ' (  l ) ql   ' � � 4 r 3 �2(  l ) � 2(  l ) ql (  l ) Vậy  '  2 r 3 (  l ) 19 ql (  l ) Vì ' ngược dấu với q nên  '  2 r 3 (  l ) (9) Khi l  0 thì '  0 b) Tính điện tích cảm ứng q' trên mặt ngăn cách P Xét hình vành khăn tâm O, bán kính x, dày dx, điện tích của nó là dS = 2xdx, và điện tích trên dS là dq '   ' dS   ql (  l ) �2 xdx 2 r 3 (  l ) (10) Ta có: x2 = r2  2xdx = 2rdr ql (  l ) dr Thay vào (10): dq '   (  l ) r 2 (11) ql (  l ) dr ql (  l ) 1 q'  � dq '    � (  l ) � r2 (  l ) r l � �  l q(  l ) (  l ) (12) Bài 17. Dùng các điều kiện và lời giải của bài tập trên, hãy tính môđun của lực tác dụng lên điện tích q gây ra bởi các điện tích liên kết trên mặt chất điện môi. Lời giải Xét diện tích nguyên tố S của hình vành khăn (ứng với góc d)  S  dS . d 2 S mang điện tích nguyên tố d q 2l (  l ) dr  q '  dq.  d 4 2 2 0 (  l ) r ur Hình chiếu dFz của d F lên phương Oz  mặt P là: ur l d F z  dF cos   dF . r q 2l 2 (  l )dr dr dFz  d 8 2 0 (  l ) r 5 � 2 q 2l 2 (  l ) dr F� dFz   2 d 8  0 (  l ) � r5 � l 0 (1) 20