LTDH
GV VÕ SĨ KHUÂN
BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (1)
BÀI TOÁN 1
Trên 3 tia Ox, Oy,Oz vuông góc với nhau từng đôi ,lấy lần lượt các điểm A,B,C sao cho
OA = a;OB = b;OC = c
a) Tính khoảng cách từ O đến mp(ABC)
b) Giả sử A cố định còn B,C thay đổi nhưng luôn luôn thỏa OA = OB + OC .Hãy xác định
vị trí B,C sao cho thể tích tứ diện OABC lớn nhất (ĐH Ngoại thương)
HD:
a) mp(ABC) :
x y z
abc
1 ; d (o;( ABC ))
a b c
b 2 c 2 c 2 a 2 a 2b 2
1
1
1 bc
a3
abc a.(bc ) a.
6
6
6 2
24
2
b) VOABC
( đẳng thức khi b = c = a/2 )
BÀI TOÁN 2
Cho 3 tia Ox, Oy,Oz vuông góc với nhau từng đôi ,một mặt phẳng (P) đi qua điểm N cố
định cắt Ox,Oy,Oz lần lượt tại các điểm A,B,C .Giả sử N nằm trong tam giác ABC và
khoảng cách từ N đến các mp(OBC) ,(OCA) ,(OAB) lần lượt là a,b,c .
a) Chứng minh răng :
a
b
C
1
OA OB OC
b) Tính OA,OB,OC để thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất
c) Tính OA,OB,OC để tổng S = OA + OB + OC nhỏ nhất (ĐHHH95)
HD:
C
b
O
N
a
c
B
A
Chọn hệ trục Oxyz sao cho N(a,b,c) .Phương trình mặt phẳng (P) qua N là:
(x - a) + (y - b) + (z - c) = 0
Suy ra : A(
a b c
;0;0) ; B(0;
a b c
;0) ; C (0;0;
a b c
)
3
b) VOABC
1
1 (a b c )3 1 3. 3 (a .b .c )
9
abc
abc
6
6
6
2
min VOABC
9
abc khi a =b =c suy ra OA = 3a ; OB = 3b ;OC = 3c
2
Thư viện tài liệu trực tuyến miến phí - Chủ kiến thức
http://chukienthuc.com
1
LTDH
GV VÕ SĨ KHUÂN
c) Ta có : OA + OB + OC
a b c
a b c
a b c
b a c a c b
abc
a b c 2 ba 2 ac 2 cb ( a b c ) 2
2
2
2
min (OA + OB + OC) a b c OA a ab ac …
BÀI TOÁN 3
Cho tứ diện SABC có SC CA AB a 2 ; SC (ABC) ,tam giác ABC vuông tại A ,các
điểm M thuộc SA , N thuộc BC sao cho AM = CN = t (0 < t < 2a)
a) Tính độ dài đoạn MN.Tìm t để MN ngắn nhất
b) Khi MN ngắn nhất chứng minh rằng MN là đường vuông góc chung của SA và BC
(ĐH Đà Nẳng 2001)
S
M
N
C
B
A
HD: Chọn hệ trục C O ; A(a;a;0) ; B(2a;0;0); S(0;0; a 2)
t
2
t
2
Viết phương trình SA và MSA suy ra M : M (a ; a ;
min MN
t
) ; N(t;0;0)
2
a 6
2a
khi t=
3
3
BÀI TOÁN 4
Cho tứ diện ABCD.Tìm điểm M sao cho S = AM2 + BM2 + CM2 + DM2 nhỏ nhất
HD:
Gọi G là trọng tâm của tứ diện
,ta có:
MA MG GA MA2 MG 2 GA2 2MG.GA
Tương tự:
MB 2 MG 2 GB 2 2 MG.GB ; MC 2 MG 2 GC 2 2 MG.GC ; MD 2 MG 2 GD 2 2 MG.GD
Suy ra: MA2 MB 2 MC 2 MD 2 4MG 2 GA2 GB 2 GC 2 GD 2
Vậy S nhỏ nhất MG nhỏ nhất M G
Thư viện tài liệu trực tuyến miến phí - Chủ kiến thức
http://chukienthuc.com
2
LTDH
GV VÕ SĨ KHUÂN
BÀI TOÁN 5
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a .Trên cạnh AA’ kéo dài về phía A’ lấy điểm
M ,trên cạnh BC kéo dài về phía C lấy điểm N sao cho MN cắt cạnh C’D’ .Tìm giá trị nhỏ
nhất của MN
M
A'
B'
I
D'
C'
K
A
B
D
C
HD:
N
Chọn hệ trục M(0;0;m) N(a;n;0)
n 2 an a 2
a
am
an
m
Vì MD’//NC’ nên:
. Suy ra : MN = m + n – a =
na
an
a
na
2
2
n an a
(n>a) . MinMN = 3a khi n =2a
Xét hàm số : f (n)
na
BÀI TOÁN 6
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a .Xác định thiết diện đi qua một đường chéo
và tìm diện tích nhỏ nhất của nó theo a
A'
B'
N
D'
C'
A
B
M
D
C
Thư viện tài liệu trực tuyến miến phí - Chủ kiến thức
http://chukienthuc.com
3
LTDH
GV VÕ SĨ KHUÂN
HD:
Đặt AM = y B’N = a – y
Chọn hệ trục sao cho : A(0;0;0) B(a;0;0) D(0;a;0) A’(0;0;a) .Khi đó M(0;y;0) N(a;a-y; a)
a2 6
a
Std A ' M , A ' N a 2 (a y ) 2 a 4 a 2 y 2
y
2
2
BÀI TOÁN 7
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ tâm I có : AB a ; AD 2a ; AA'=a 2 .Trên AD
lấy điểm M và gọi K là trung điểm của B’M .Đặt AM = m (0 ≤ m < 2a).Tìm vị trí điểm M
để thể tích khối tứ diện A’KID lớn nhất (ĐHSP 2001)
A'
D'
z
B'
C'
K
A
I
M
x
D
y
B
C
HD: Đặt AM = m
Chọn hệ trục sao cho : A(0;0;0) B(0;a;0) D(2a;0;0) D '(0; 0; a 2 ) .
m a a 2
; ;
2
2 2
Khi đó M(m;0;0) ; K
VA ' KID
1
6
maxVA ' KID
a 2 2
A ' K , A ' I .A ' D
.(2a m)
24
a2 2
khi m=0 M A
12
BÀI TOÁN 8
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a .Trên cạnh BD và B’A lấy lần lượt các điểm
M,N sao cho BM = B’N = t ,gọi , lần lượt là các góc tạo bởi MN với BD và B’A
a) Tính MN theo a và t.Tìm t để MN nhỏ nhất
1
2
2
b) Chứng minh rằng : cos cos
2
c) Tính , khi MN nhỏ nhất ĐHSP (Vinh 2001)
Thư viện tài liệu trực tuyến miến phí - Chủ kiến thức
http://chukienthuc.com
4
LTDH
GV VÕ SĨ KHUÂN
A'
D'
z
B'
C'
N
D
x
A
y
M
B
C
HD: Chọn hệ trục sao cho : A(0;0;0) B(0;a;0) D(a;0;0) A’(0;0;a) .
Viết phương trình BD và B’A suy ra M(a-u ; u;0) N(0;v ; v)
Theo giả thiết BM =B’N = t u =v
2
a
a2 a2
MN2 = (a-u)2 + (u-v)2 + v2 = 2u2 – 2au + a2 = 2 u
min MN
2
2
2
a
a
a
khi u= t
2
2
2
c) = =600
BÀI TOÁN 9
Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ cạnh đáy bằng 1 và đường cao bằng x .
Tìm x để góc tạo bới đường thẳng B’D và mp(B’D’C) lớn nhất
A'
B'
z
D'
C'
x
A
B
y
D
C
Thư viện tài liệu trực tuyến miến phí - Chủ kiến thức
http://chukienthuc.com
5
LTDH
GV VÕ SĨ KHUÂN
HD: Chọn hệ trục sao cho : A(0;0;0) B(1;0;0) D(0;1;0) A’(0;0;x) B ' D ( 1;1; x )
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (B’D’C) là : n CB ', CD ' ( x; x; 1)
| B ' D.n |
x
Gọi là góc tạo bởi B’D và mp(B’D’C) : sin
| B 'D |.| n |
2x4 5x2 2
x
(x > 0)
Xét hàm số : y
4
2x 5x2 2
M ax(sin )=
1
khi x=1 . Khi đó ABCD.A’B’C’D’ là một hình lập phương
3
BÀI TOÁN 10
Cho khối cầu có bán kính R .Tìm khối trụ nội tiếp khối cầu có thể tích lớn nhất.Tính thể
tích khối trụ đó
HD: Gọi chiều cao của khối trụ là 2x (0 < x < R)
suy ra bán kính của khối trụ là :
r R 2 x 2 Vk .tru 2 ( R 2 x x 3 )
Xét hàm số : y R 2 x x3 x (0;R)
BÀI TOÁN 11
Trong số các hình chóp tam giác đều ngoại tiếp mặt cầu có bán kính r cho trước .Tìm hình
chóp đều có diện tích toàn phần nhỏ nhất
HD:
Giả sử hình chóp đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h và thể tích V .Ta có:
3V
3V
r
STP
STP
r
Vậy STP nhỏ nhất V nhỏ nhất
3V
ah
Ta có : r
STP a a 2 12h 2
Gọi M là trung điểm của BC và là góc giữa mặt bên và đáy hình chóp suy ra :
a 3
h
.tan
6
Khi đó : a
6r (cos +1)
r (cos +1)
(cos +1) 2
r(1+t) 2
; V 3r 3
;h
= 3r 3
cos
cos (1 cos )
t(1-t)
3 sin
Xét hàm số : f (t )
r(1+t) 2
t(1-t)
(0
- Xem thêm -
.PDF 
11 
1444 
51 
