Tài liệu Chuyên đề cực trị của hàm số bậc 3 phần 1 luyện thi đại học-đặng việt hùng

VINAMATH.COM Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng Tài liệu bài giảng: 02. CỰC TRỊ HÀM BẬC BA – P1 Thầy Đặng Việt Hùng I. BIỆN LUẬN SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Tóm tắt lí thuyết cơ bản : Xét hàm số bậc ba y = ax3 + bx3 + cx + d ⇒ y′ = 3ax 2 + 3bx + c
Nếu a = 0 , khi đó hàm suy biến thành bậc hai, ta có y′ = 3bx + c ⇒ y′ = 0 ⇔ x = − c 3b Trong trường hợp này hàm số có 1 cực trị.
Nếu a ≠ 0 thì dấu của y’ phụ thuộc vào dấu của biệt thức ∆ + Hàm số không có cực trị khi y′ không đổi dấu, tức là phương trình y′ = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép, tức là ∆ ≤ 0. + Hàm số có 2 điểm cực trị khi y′ đổi dấu hai lần, tức là phương trình y′ = 0 có hai nghiêm phân biệt. Từ đó ta có điều kiện để hàm số có hai cực trị là ∆ > 0. Vậy, với hàm bậc ba thì hàm số chỉ có hai cực trị hoặc không có cực trị. Ví dụ 1: Biện luận số cực trị của hàm số y = x3 + ( m + 1) x 2 + 2mx − 3 + m tùy theo giá trị của tham số m. 1 Ví dụ 2: Biện luận số cực trị của hàm số y = − (m + 1) x3 + ( 2m − 1) x 2 + mx + 3m − 2 tùy theo giá trị của tham 3 số m. II. MỘT SỐ CÁC TÍNH CHẤT CỰC TRỊ THƯỜNG GẶP Phương pháp chung : + Tìm điều kiện tồn tại cực đại, cực tiểu. + Giải điều kiện về tính chất K nào đó mà đề bài yêu cầu. + Kết hợp nghiệm, kết luận về giá trị của tham số cần tìm. Dạng 1. Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm có hoành độ x = x0 cho trước.  Phương pháp 1: (Sử dụng y’’)  y ′ ( x0 ) = 0 + Hàm số đạt cực đại tại x = x0 ⇔   y ′′ ( x0 ) < 0  y ′ ( x0 ) = 0 + Hàm số đạt cực tiểu tại x = x0 ⇔   y ′′ ( x0 ) > 0  y ′ ( x0 ) = 0 Chú ý: Hàm số đạt cực trị tại x = x0 ⇔   y ′′ ( x0 ) ≠ 0  Phương pháp 2: (Sử dụng điều kiện cần và đủ) Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM VINAMATH.COM Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng + Hàm số đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x = x0 ⇔ y′ ( x0 ) = 0  → m. + Với m tìm được, thay vào hàm số rồi khảo sát, từ bảng biến thiên ta có kết luận về hàm số đạt cực đại, hay cực tiểu tại điểm x0 hay không. Ví dụ 3: Cho hàm số y = x3 + (m − 2) x 2 + (m + 1) x + 3 − m a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. b) Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = –1 c) Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0. Dạng 2. Một số dạng câu hỏi về hoành độ điểm cực đại, cực tiểu.
Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho x1 − x2 = k
Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho ax1 + bx2 = c x1 < x2 < α
Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho β < x1 < x2 x1 < γ < x2 Ví dụ 4: Cho hàm số y = x3 − 3(m + 1) x 2 + 9 x − m Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho x1 − x2 ≤ 2. Ví dụ 5: Cho hàm số y = 2 x3 + 9mx 2 + 12m 2 x + 1 Tìm m để hàm số có cực đại tại x1, cực tiểu tại x2 sao cho x12 = x2 . 1 3 1 x − (m − 1) x 2 + 3(m − 2) x + 3 3 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho x1 + 2 x2 = 1. Ví dụ 6: Cho hàm số y = Đ/s : m = −4 ± 34 4 m 3 x + (m − 2) x 2 + (m − 1) x + 2 3 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho x1 < x2 < 1. Ví dụ 7: Cho hàm số y = Đ/s : 5 4 2. Ví dụ 11: Cho hàm số y = m > 1 Đ/s :   −1 < m < 0 Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM VINAMATH.COM Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng Tài liệu bài giảng: 02. CỰC TRỊ HÀM BẬC BA – P3 Thầy Đặng Việt Hùng II. MỘT SỐ CÁC TÍNH CHẤT CỰC TRỊ THƯỜNG GẶP Phương pháp chung : + Tìm điều kiện tồn tại cực đại, cực tiểu. + Giải điều kiện về tính chất K nào đó mà đề bài yêu cầu. + Kết hợp nghiệm, kết luận về giá trị của tham số cần tìm. Dạng 4. Phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu
Phương pháp: Thực hiện phép chia đa thức y cho y’ ta được y = y '.h( x) + r ( x) trong đó r(x) là phần dư của phép chia. Khi đó y = r(x) được gọi là phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số. Ý nghĩa : Phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu có tác dụng giúp ta lấy ra tọa độ của các điêm cực đại, cực tiểu, trong các bài toán xử lí có liên quan đến tung độ cực đại và cực tiểu. Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của hàm số y = x3 − 3 x 2 + 1 bằng hai cách. Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của hàm số y = x3 − 3 x 2 + m 2 . Dạng 5. Bài toán về tính đối xứng của các điểm cực trị.
Phương pháp: Gọi hai điểm cực trị của hàm số là A( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 ). Ta có một số kết quả sau : + A, B nằm về hai phía của trục Oy khi x1 x2 < 0. + A, B nằm cùng phía với trục Oy khi x1 x2 > 0. + A, B nằm về hai phía của trục Ox khi y1 y2 < 0. + A, B nằm cùng phía với trục Ox khi y1 y2 > 0.  AB ⊥ d + A, B nằm đối xứng qua đường thẳng d khi  , với I là trung điểm của AB. I ∈ d + A, B cách đều đường thẳng d khi AB // d hoặc trung điểm I của AB thuộc đường thẳng d. Chú ý : Trong một số bài toán có đặc thù riêng (nếu phương trình y = 0 nhẩm được nghiệm) thì với yêu cầu tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu nằm hai phía trục Ox ta có thể sử dụng điều kiện là phương trình y = 0 có ba nghiệm phân biệt. Ví dụ 3: Cho hàm số y = x3 + 3 x 2 + mx + m − 2 a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm cùng phía với Oy. c) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm cùng phía với Ox. d) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm khác phía với Oy. Ví dụ 4: Cho hàm số y = x3 + 3mx 2 + 2m3 Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM VINAMATH.COM Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại các điểm A, B sao cho A, B đối xứng nhau qua đường thẳng d : x – 2y + 9 = 0 BÀI TẬP LUYỆN TẬP 1 Bài 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của hàm số y = − x3 + 2 x 2 + 3 x + 2 bằng hai 3 cách. Bài 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu của hàm số a) y = x3 + (m + 1) x 2 + 2 x − m b) y = − x 3 + 3mx 2 + 3(1 − m 2 ) x + m3 − m 2 . Bài 3: Cho hàm số y = − x 3 + (2m + 1) x 2 − (m2 − 3m + 2) x − 4 a) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm khác phía với Oy. Bài 4: Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 + m 2 x + m Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng d : y = 1 5 x− 2 2 Đ/s : m = 0 Bài 5: Cho hàm số y = x3 − 3mx 2 + 4m3 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng d : y = x. Đ/s : m = ± 2 . 2 Bài 6: Cho hàm số y = x3 − 3(m + 1) x 2 + 9 x + m − 2 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng d : y = 1 x 2 Đ/s : m = 1 Bài 7: Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + mx Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này đối xứng nhau qua đường thẳng d : x − 2 y − 5 = 0 Đ/s : m = 0 Bài 8: Cho hàm số y = x3 − 3mx + m Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. Khi đó chứng minh rằng các điểm này nằm về hai phía của trục Oy. Bài 9: Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 − mx + 2 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này cách đều đường thẳng d : x − y − 1 = 0 Đ/s : m = 0 Hướng dẫn : m  2m  + Phương trình đường thẳng qua CĐ, CT là y =  − 2 x + 2 + 3  3  + A, B cách đều d nên xét hai trường hợp : AB // d và trung điểm I của AB thuộc d. Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM VINAMATH.COM Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng Tài liệu bài giảng: 02. CỰC TRỊ HÀM BẬC BA – P4 Thầy Đặng Việt Hùng II. MỘT SỐ CÁC TÍNH CHẤT CỰC TRỊ THƯỜNG GẶP Phương pháp chung : + Tìm điều kiện tồn tại cực đại, cực tiểu. + Giải điều kiện về tính chất K nào đó mà đề bài yêu cầu. + Kết hợp nghiệm, kết luận về giá trị của tham số cần tìm. Dạng 6. Một số ứng dụng cơ bản của phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu
Phương pháp: + Tìm đk để hàm số có cực đại, cực tiểu. + Viết được phương trình đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu (chú ý cách chứng minh nhanh). Giả sử đường thẳng viết được có dạng ∆ : y = ax + b . Ta có một số trường hợp thường gặp a = A  ∆ song song với đường thẳng d : y = Ax + B khi  b ≠ B  ∆ vuông góc với đường thẳng d : y = Ax + B khi a. A = −1



 nd .n∆ aA + bB  ∆ tạo với đường thẳng d : y = Ax + B một góc φ nào đó thì cos φ =



 = nd . n∆ a 2 + b 2 . A2 + B 2 Cuối cùng, đối chiếu với đk tồn tại cực đại, cực tiểu ta được giá trị cần tìm của tham số m. x3 Ví dụ 1: Cho hàm số y = − mx 2 + (5m − 4) x + 2 3 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng d : 8 x + 3 y + 9 = 0. Ví dụ 2: Cho hàm số y = x3 + mx 2 + 7 x + 3 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng d : 9 x + 8 y + 1 = 0. Ví dụ 3: Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 − mx + 2 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng d : x + 4 y − 5 = 0 góc 450. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 − mx + 2 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng d : 4 x + y − 3 = 0. Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM VINAMATH.COM Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng Đ/s : m = 3. Bài 2: Cho hàm số y = x3 + mx 2 + 7 x + 3 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng d : 3 x − y − 7 = 0. Đ/s : m = ± 3 10 . 2 Bài 3: Cho hàm số y = x3 − 3(m − 1) x 2 + (2m 2 − 3m + 2) x − m 2 + m Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng d : 4 x + y − 20 = 0 góc 450. Đ/s : m = 3 ± 15 . 2 Bài 4: Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 + 2 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu tiếp xúc với đường tròn (C ) : ( x − m) 2 + ( y − m − 1) 2 = 5 . 4 Đ/s : m = 2; m = − . 5 Bài 5: Cho hàm số y = x3 + 2(m − 1) x 2 + (m 2 − 4m + 1) x − 2(m 2 + 1) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng d:y= 9 x + 5. 2 Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM VINAMATH.COM Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng Tài liệu bài giảng: 02. CỰC TRỊ HÀM BẬC BA – P5 Thầy Đặng Việt Hùng II. MỘT SỐ CÁC TÍNH CHẤT CỰC TRỊ THƯỜNG GẶP Phương pháp chung : + Tìm điều kiện tồn tại cực đại, cực tiểu. + Giải điều kiện về tính chất K nào đó mà đề bài yêu cầu. + Kết hợp nghiệm, kết luận về giá trị của tham số cần tìm. Dạng 7. Tổng hợp, nâng cao cực trị hàm bậc ba Ví dụ 1: Cho hàm số y = x3 + 6mx 2 + 9 x + 2m Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu bằng 4 . 5 Đ/s : m = ±1. 1 3 x − mx 2 − x + m + 1 3 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm này nhỏ nhất. Ví dụ 2: Cho hàm số y = Đ/s : m = 0; ABmin = 2 13 . 3 Ví dụ 3: Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 − mx + 2 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm này cắt các trục tọa độ tạo thành một tam giác cân. 3 Đ/s : m = − . 2 1 5 Ví dụ 4: Cho hàm số y = x 3 − mx 2 − 4mx − 4 3 2 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1 ; x2 sao cho biểu thức A = m2 x22 + 5mx1 + 12m + đạt x12 + 5mx2 + 12m m2 giá trị nhỏ nhất. Ví dụ 5: Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 + mx + 1, với m là tham số thực.  1 11  Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách từ điểm I  ;  đến đường thẳng đi qua hai điểm 2 4  cực đại và cực tiểu là lớn nhất. Hướng dẫn giải: Ta có y = x3 − 3 x 2 + mx + 1 ⇒ y ' = 3 x 2 − 6 x + m + Hàm số có cực trị khi m < 3. Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM VINAMATH.COM Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng m m  x 1  2m   2m  + Chia y cho y ' ta được y =  −  y '+  − 2  x + +1 ⇒ y =  − 2  x + + 1 là phương trình đường 3 3  3 3  3   3  thẳng qua các điểm cực trị. m  2m  Đặt ∆ : y =  − 2  x + +1. 3  3  Ta có d ( I ; ∆ ) = Đặt u = t − Đặt 1  2m  11 m − 2  − + +1  2 3  4 3 2  2m  − 2  +1   3  = 2m 11 − 3 4 2  2m  − 2  +1   3  =  2m  3 − 2 −   3  4 2  2m  − 2  +1   3  t− = 3 4 t2 +1 u 3 1 ⇒d = = 2 4 3 25 3  1+ +  u +  +1 2u 16u 2 4  1 =a⇒d = u 1 1+ 3a 25a + 2 16 Dâu bằng xảy ra khi a = − 2 1 = 1+ 3a 25a + 2 16 2 1 = 2  5a 3  16  +  +  4 5  25 ≤ 5 5 ⇒ d max = 4 4 12 25 3 4 2m 4 ⇔u=− ⇔t =u+ =− ⇔ − 2 = − ⇔ m = 1. 25 12 4 3 3 3 Vậy m = 1 là giá trị cần tìm. Bài này còn một cách giải khác khá hay và độc đáo, đó là sử dụng điểm cố định. Các em tìm hiểu thêm nhé! BÀI TẬP LUYỆN TẬP 1 1 Bài 1: Cho hàm số y = x 3 − mx 2 + (m 2 − 3) x + 2 3 2 Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x1, cực tiểu tại x2 đồng thời x1 ;x2 là hai cạnh góc vuông của một tam giác có độ dài cạnh huyền bằng Đ/s : m = 10 . 2 14 , các em lưu ý về tìm đk cho x1 ; x2 dương nhé ! 2 Bài 2: Cho hàm số y = x3 − 3mx 2 + 3(m + 6) x + 1 Tìm m để điểm A(3 ; 5) nằm trên đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. Đ/s : m = 4 1 3 m x + mx 2 + x + 3 3 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm cùng phía với đường thẳng d : 2x + y = 0. Bài 3: Cho hàm số y =  m > 1 Đ/s :  m ≠ ±2 1 Bài 4: Cho hàm số y = x 3 + x 2 + mx + m 3 Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM VINAMATH.COM Luyện thi Đại học môn Toán năm học 2012 – 2013 Thầy Đặng Việt Hùng Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa hai điểm này bằng 2 15. Đ/s : m = –2. Bài 5: Cho hàm số y = 2 x3 + 3(m − 1) x 2 + 6m(1 − 2m) x Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm này nằm trên đường thẳng d : 4x + y = 0. 1 3 x − 2 x 2 + 3x 3 Gọi A, B là hai điểm cực trị của hàm số. Tìm điểm M trên Ox sao cho tam giác ABM có diện tích bằng 2. Bài 6: Cho hàm số y = Đ/s : M(1 ; 0) và M(5 ; 0). Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831 VINAMATH.COM