Chuyên đề giải phương trình vô tỉ
CHUYÊN ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Phương pháp 1: NÂNG LUỸ THỪA
Phương pháp 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI
Phương pháp 3: ĐẶT ẨN PHỤ
Phương pháp 4: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
Phương pháp 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Phương pháp 6: SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC
Bài tập tổng hợp:
PHƯƠNG PHÁP 1: NÂNG LUỸ THỪA
I-KIẾN THỨC:
1/
f ( x) 0
f ( x) g ( x ) ۳ g ( x ) 0
f ( x) g ( x )
g ( x) 0
f ( x) g ( x)
2
f ( x) g ( x )
2/
f ( x) 0
3/ f ( x) g ( x) h( x) ۳ g ( x) 0
f ( x ) g ( x ) 2 f ( x).g ( x) h( x)
f ( x) 0
g ( x) 0
(n N * )
(n N * )
4/ 2 n f ( x) ۳2n g ( x) g ( x) 0
5/ 2 n f ( x) g ( x)
2n
f ( x ) g ( x)
f ( x) g ( x)
6/ 2 n 1 f ( x) 2n1 g ( x) f ( x) g ( x) (n N * )
II-BÀI TẬP
Bài 1: Giải phương trình: x 1 x 1 (1)
7/
2 n 1
f ( x) g 2 n 1 ( x) (n N * )
f ( x) g ( x)
x 1 0
x 1
x 1
x3
2
2
x 3
x 1 (x 1)
x 3x 0
Bài 2: Giải phương trình: x 2 x 3 0
HD:Ta có: x 2 x 3 0
x 0
x 0
x 0
2
x 1 x 3
2
2x 3 x
x 2x 3 0
x 3
HD: (1)
Bài 3:Giải pt: x 4 1 x 1 2 x HD: Ta có: x 4 1 x 1 2 x
1 2 x 0
1 x 0
x 4 1 2 x 1 x 2 (1 2 x)(1 x)
1
1
x
2
2
2
x 7x 0
1
1
2 x 2
x0
x0
x 7
x 2 3 ( x 2)( x 2) 0
x 4 1 2x 1 x
1
x
1
2
x 2
2x 1 0
2 x 1 2 x 2 3x 1
(2 x 1) 2 2 x 2 3 x 1
x 2 0
۳ x 2 (1)
2
x 4 0
x 2
x2 0
x 2. 1 3 x 2 0
(2)
x 17
1 3 x 2 0
9
Bài 4: Giải phương trình: x 2 3 x 2 4 0
2x 3 x
HD:ĐK:
Kết hợp (1) và (2) ta được:x = 2
1
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ
Bài 5. Giải pt :
3x x 3x
HD:Đk: 0 x 3 khi đó pt đã cho tương đương:
3
3
1
10
10 1
x
x 3x x 3 0 x
3 3 3
3
Bài 6. Giải phương trình sau : 2 x 3 9 x 2 x 4 HD:Đk: x 3 phương trình tương đương :
x 1
x 3 1 3x
2
2
1 3 x 9x
x 5 97
x 3 1 3 x
18
3
2
Bài 7. Giải pt sau : 2 3 3 9 x 2 x 2 2 x 3 3 3x x 2 HD: pt
2
Bài 8. Giải và biê ên luâ nê phương trình: x 2 4 x m
x m
3
x 2 3 3x
3
0 x 1
x m
HD: Ta có: x 2 4 x m 2
2
2
2
x 4 x 4xm m
2mx (m 4) 0
– Nếu m = 0: phương trình vô nghiê êm
m2 4
m2 4
– Nếu m ≠ 0: x
. Điều kiê ên để có nghiê êm: x ≥ m
≥m
2m
2m
+ Nếu m > 0: m2 + 4 ≥ 2m2 m2 ≤ 4 0 m 2
+ Nếu m < 0: m2 + 4 ≤ 2m2 m2 ≥ 4 m ≤ –2
Tóm lại: – Nếu m ≤ –2 hoă êc 0 < m ≤ 2: phương trình có mô êt nghiê êmx
m2 4
2m
– Nếu –2 < m ≤ 0 hoă êc m > 2: phương trình vô nghiê êm
Bài 9. Giải và biện luận phương trình với m là tham số: x 2 3 x m
x m
x m
2
2
2
2
x 3 x m 2mx
2mx (m 3) 0
2
HD: Ta có: x 3 x m
– Nếu m = 0: phương trình vô nghiê êm
m2 3
m2 3
m
. Điều kiê ên để có nghiê êm: x ≥ m
2m
2m
+ Nếu m > 0: m2 + 3 ≥ 2m2 m2 ≤ 3 0 m 3
– Nếu m ≠ 0: x
+ Nếu m < 0: m2 + 3 ≤ 2m2 m2 ≥ 3 m ≤ 3
Tóm lại: – Nếu 0 m 3 hoă êc m 3 . Phương trình có mô êt nghiê êm: x
m2 3
2m
– Nếu 3 m 0 hoă êc m 3 : phương trình vô nghiê êm
Bài 10. Giải và biê ên luâ ênpt: x x m m
HD: Điều kiê ên: x ≥ 0
– Nếu m < 0: phương trình vô nghiê êm
– Nếu m = 0: phương trình trở thành x ( x 1) 0 có hai nghiê êm: x1 = 0, x2 = 1
x m 0
– Nếu m > 0: Pt đã cho tương đương với ( x m)( x m 1) 0
x 1 m
+ Nếu 0 < m ≤ 1: phương trình có hai nghiê êm: x1 = m; x2 = (1 m) 2
+ Nếu m > 1: phương trình có mô êt nghiê êm: x = m
III-Bài tập áp dụng:
Bài 1:Giải các phương trình sau:
1/ x x 1 13
2/ 3 x 34 3 x 3 1
3/ 2 x 5 3x 5 2
5/ x 3 5 x 2
6/ x 1 x 7 12 x
4/ 1 x x 2 4 x 1
7/ x x 1 x 4 x 9 0 8/ x 2 5 0
9/ 3 = 6x x 2
2
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ
10/
5x 1 2
1
0
2
11/ 3 2 x 3
19
6
12/
13/ 16 x 17 8 x 23
14/ 3x 1 2 x 3
Bài 2: Giải phương trình:
b) x 2 x 3 0
a) x 2 1 x 1
d) 3 x 6 x 3
e) 3x 2 x 1 3
g) x 9 5 2 x 4
h) 3x 4 2 x 1 x 3
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a/ x 7 x 3 9 0 d/ 1 x 1 9 x 1 3 x 1 17
2
b/
2x 1 1
2
x 5 2 0
3
15/ 20 3 2 x 2 x 3
c) x 2 x 1 1
f) 3 x 2 x 1
i) x 4 x 3 2
g/
2
e/ x 3
8
5
3
9 x 27
4 x 12 1
3
2
x 2
6 x
x 4 7 x
h/ x 5 5 x 1 0
c/ 3x 7 x 4 0
i/ 5 x 7 x 12 0
f) ( x 3) 10 x 2 x 2 x 12
PHƯƠNG PHÁP 2: ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TUYỆT ĐỐI
I-KIẾN THỨC:
2
Sử dụng hằng đẳng thức sau: f ( x) g ( x )
f ( x ) g ( x) ( f ( x) 0)
f ( x) g ( x)
f ( x ) g ( x ) ( f ( x) 0)
II-BÀI TẬP:
Bài 1: Giải pt: x 2 4x 4 x 8 (1)
HD: (1) (x 2) 2 8 x |x – 2| = 8 – x
– Nếu x < 2: (1) 2 – x = 8 – x (vô nghiê êm)
– Nếu x 2 : (1) x – 2 = 8 – x x = 5 (thoả mãn) Vậy: x = 5.
Bài 2: Giải phương trình: x 2 2 x 1 x 10 6 x 1 2 x 2 2 x 1 (2)
x 1 0
HD: (2)
x 1 2 x 1 1 x 1 2.3 x 1 9 2 x 1 2 x 1 1
x 1
(*)
x 1 1 | x 1 3 | 2.| x 1 1 |
Đă êt y = x 1 (y ≥ 0) phương trình(*) đã cho trở thành: y 1 | y 3 | 2 | y 1|
– Nếu 0 ≤ y < 1: y + 1 + 3 – y = 2 – 2y y = –1 (loại)
– Nếu 1 ≤ y ≤ 3: y + 1 + 3 – y = 2y – 2 y = 3
– Nếu y > 3: y + 1 + y – 3 = 2y – 2 (vô nghiê êm)
Với y = 3 x + 1 = 9 x = 8 (thoả mãn) Vâ êy: x = 8
Bài 3:Giải phương trình: x 2 2 x 5 x 2 3 2 x 5 7 2
PT
2 x 5 2 2 x 5 1 2 x 5 6 2 x 5 9 14
2x 5 1
5
2
2 x 5 3 14
HD:ĐK: x
2 x 5 5 x 15 (Thoả mãn) Vậy:x = 15
Bài 4:Giải phương trình:
x 2 x 1 x 2 x 1 2
HD:ĐK: x 1
Pt x 1 2 x 1 1 x 1 2 x 1 1 2 x 1 1 x 1 1 2
Nếu x 2 pt x 1 1 x 1 1 2 x 2 (Loại)
Nếu x 2 pt x 1 1 1 x 1 2 0 x 0 (Luôn đúng với x )
Vậy tập nghiệm của phương trình là: S Σx R | 1 x 2
III-Bài tập áp dụng:
Giải các phương trình sau:
1/ x 2 2 x 1 5
2/ x 4 x 4 3
3
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ
3/ x 2 6 x 9 2 x 1
5/ x 2 2 x 1 x 2 4 x 4 4
7/ x 2 6 x 9 2 x 2 8 x 8 x 2 2 x 1
9/ x 2 x 1 x 2 x 1 2
11/
x 6 2 x 2 x 11 6 x 2 1
13/ x 2 2 x x 2 2 x 1 5 0
4/
x 4 x 4 5x 2
6/ x 2 x 1 x 4 x 4 10
8/
x2 4 x 4 x2 6 x 9 1
10/ x 3 2 x 4 x 4 x 4 1
12/ x 2 2 x 5 x 2 3 2 x 5 7 2
14/
2x 4 6
15/ x 2 4 x 4 2 x 10
17/
19/
x x
2x 4 2
2x 5 4
16/ x 2 2 x 1 2 x 8
1
1
x 2
2
4
x 2 x 1 x 2 x 1
2x 5
18/
x3
2
21/ ( x 1) 4 4 x 1 x 1 6 x 1 9 1
1 2
x x 1
4
62 5 0
20/ x 2 4 x 4 2 x
22/ x 8 6 x 1 4
4
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ
PHƯƠNG PHÁP 3: ĐẶT ẨN PHỤ
1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường
Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ , để giải chúng ta có thể đặt t f x và chú ý điều kiện
của t nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến t quan trọng hơn ta có thể
giải được phương trình đó theo t thì việc đặt phụ xem như “hoàn toàn ” .
Bài 1. Giải phương trình:
Nhận xét.
HD:Điều kiện: x 1
x x2 1 x x2 1 2
x x 2 1. x x 2 1 1
1
Đặt t x x 2 1 thì phương trình có dạng: t 2 t 1 Thay vào tìm được x 1
t
HD:Điều kiện: x
Bài 2. Giải phương trình: 2 x 2 6 x 1 4 x 5
Đặt t 4 x 5(t 0) thì x
4
5
t2 5
. Thay vào ta có phương trình sau:
4
t 4 10t 2 25 6 2
(t 5) 1 t t 4 22t 2 8t 27 0 (t 2 2t 7)(t 2 2t 11) 0
16
4
Ta tìm được bốn nghiệm là: t1,2 1 2 2; t3,4 1 2 3
2.
Do t 0 nên chỉ nhận các gái trị t1 1 2 2, t3 1 2 3
Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình l: x 1 2 vaø x 2 3
Cách khác: Ta có thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện 2 x 2 6 x 1 0
Ta được: x 2 ( x 3) 2 ( x 1)2 0 , từ đó ta tìm được nghiệm tương ứng.
Đơn giản nhất là ta đặt : 2 y 3 4 x 5 và đưa về hệ đối xứng (Xem phần đặt ẩn phụ đưa
về hệ)
Bài 3. Giải phương trình sau: x 5 x 1 6
HD:Điều kiện: 1 x 6
Đặt y x 1( y 0) thì phương trình trở thành: y 2 y 5 5 y 4 10 y 2 y 20 0 ( với
1 21
1 17
(loaïi), y
2
2
11 17
Từ đó ta tìm được các giá trị của x
2
y 5) ( y 2 y 4)( y 2 y 5) 0 y
Bài 4. Giải phương trình sau : x 2004 x 1 1 x
Đặt y 1 x thì phương trình trở thành: 2 1 y
2
y
1
3x 1
x
1
1
Chia cả hai vế cho x ta nhận được: x 2 x 3
x
x
Bài 5. Giải phương trình sau : x 2 2 x x
2
2
HD: ĐK: 0 x 1
y 1002 0 y 1 x 0
HD:Điều kiện: 1 x 0
1
x
Đặt t x , ta giải được.
Bài 6. Giải phương trình : x 2 3 x 4 x 2 2 x 1
1
1
HD: x 0 không phải là nghiệm , Chia cả hai vế cho x ta được: x 3 x 2
x
x
Đặt t= 3 x
1
1 5
, Ta có : t 3 t 2 0 t 1 x
x
2
Bài 7.Giải phương trình: 3x 2 21x 18 2 x 2 7 x 7 2
HD:Đặt y = x 2 7 x 7 ; y 0
5
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ
5
y
3 y 1
Phương trình có dạng: 3y + 2y - 5 = 0
y 1
x 1
Với y = 1 x 2 7 x 7 1
Là nghiệm của phương trình đã cho.
x 6
2
Nhận xét : Đối với cách đặt ẩn phụ như trên chúng ta chỉ giải quyết được một lớp bài đơn giản,
đôi khi phương trình đối với t lại quá khó giải
2. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :
Chúng ta đã biết cách giải phương trình: u 2 uv v 2 0 (1) bằng cách
2
u
u
Xét v 0 phương trình trở thành : 0
v
v
v 0 thử trực tiếp
Các trường hợp sau cũng đưa về được (1)
a. A x bB x c A x .B x
u v mu 2 nv 2
Chúng ta hãy thay các biểu thức A(x) , B(x) bởi các biểu thức vô tỉ thì sẽ nhận được phương
trình vô tỉ theo dạng này .
a) . Phương trình dạng : a. A x b.B x c A x .B x
P x A x .B x
Q x aA x bB x
Như vậy pt Q x P x có thể giải bằng phương pháp trên nếu:
Xuất phát từ đẳng thức :
x 3 1 x 1 x 2 x 1 ;
x 4 x 2 1 x 4 2 x 2 1 x 2 x 2 x 1 x 2 x 1
x4 1 x2 2 x 1 x2 2 x 1 ;
4 x 4 1 2 x 2 2 x 1 2 x 2 2 x 1
Hãy tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như: 4 x 2 2 2 x 4 x 4 1
Để có một phương trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình bậc hai
at 2 bt c 0 giải “ nghiệm đẹp”
Bài 1. Giải phương trình : 2 x 2 2 5 x 3 1 HD: Đặt u x 1 (u 0) ; v x 2 x 1 (v
3
)
2
u 2v
5 37
phương trình trở thành : 2 u v 5uv 1 Tìm được: x
u v
2
2
3 4
x x 2 1 (*)
Bài 2. Giải phương trình : x 2 3x 1
3
4
2
4
2
2
2
2
HD:Dễ thấy: x x 1 x 2 x 1 x x x 1 x x 1
2
2
Ta viết x 2 x 1 x 2 x 1 3
x
2
x 1 x 2 x 1
Đồng nhất vế trái với (*) ta được : 3 x 2 x 1 6 x 2 x 1 3
x
2
x 1 x 2 x 1
3
3
2
2
Đặt : u x x 1 u ; v x x 1 v
4
4
phương trình trở thành :-3u+6v=- 3. uv u 3v Từ đây ta sẽ tìm được x.
Bài 3: Giải phương trình sau : 2 x 2 5 x 1 7 x3 1 (*)
HD:Đk: x 1
Nhận xét : Ta viết x 1 x 2 x 1 7
x 1 x 2 x 1
6
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ
Đồng nhất vế trái với (*) ta được : 3 x 1 2 x x 1 7
x 1 x 2 x 1
v 9u
Đặt u x 1 0 , v x x 1 0 , ta được: 3u 2v 7 uv 1 Ta được : x 4 6
v u
4
2
Bài 4. Giải phương trình : x 3 3x 2 2
x 2
3
6x 0
HD:Nhận xét : Đặt y x 2 ta biến pt trên về phương trình thuần nhất bậc 3 đối với x và y :
x y
x 3 3 x 2 2 y 3 6 x 0 x3 3 xy 2 2 y 3 0
Pt có nghiệm : x 2,
x 2 y
x 22 3
Bài 5:Giải phương trình: 10 x3 1 3 x 2 2 HD:ĐK: x 1
Pt 10 x 1. x 2 x 1 3( x 2 2)
u x 1
Đặt
2
v x x 1
Nếu u = 3v
(u , v 0) Pt trở thành:10uv = 3(u2+v2)
3u v u 3v 0
u 3v
v 3u
x 1 3 x 2 x 1 9 x 2 10 x 8 0 (vô nghiệm)
x 5 33
x 2 x 1 3 x 1 x 2 10 x 8 0
là nghiệm.
x 5 33
Nếu v = 3u
b).Phương trình dạng : u v mu 2 nv 2
Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưg nếu ta bình phương
hai vế thì đưa về được dạng trên.
Bài 1. Giải phương trình : x 2 3 x 2 1 x 4 x 2 1
u x 2
u, v 0; u v khi đó phương trình trở thành : u 3v u 2 v 2
HD:Ta đặt :
2
v
x
1
hay: 2(u + v) - (u - v)= u v u v
Bài 2.Giải phương trình sau :
HD:Đk x
x
2
x 2 2 x 2 x 1 3x 2 4 x 1
1
. Bình phương 2 vế ta có :
2
2 x 2 x 1 x 2 1
x
2
2 x 2 x 1 x 2 2 x 2 x 1
u x 2 x
khi đó ta có hệ :
v 2x 1
2
Ta có thể đặt :
1 5
v
u
2
uv u v
1 5
v
u
2
1 5
1 5
v x2 2x
Do u, v 0 . u
2 x 1
2
2
Bài 3. Giải phương trình : 5 x 14 x 9 x 2 x 20 5 x 1
2
x x 20 x 1
5 x 2 x x 20 x 1 vậy ta không thể
HD:Đk x 5 . Chuyển vế bình phương ta được: 2 x 2 5 x 2 5
2
Nhận xét : Không tồn tại số , để : 2 x
2
2
u x 2 x 20
đặt :
.
v x 1
2
2
Nhưng may mắn ta có : x x 20 x 1 x 4 x 5 x 1 x 4 x 4 x 5
7
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ
Ta viết lại phương trình: 2 x 2 4 x 5 3 x 4 5 ( x 2 4 x 5)( x 4) . Đến đây bài toán được
giải quyết .
3. Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn
Từ những phương trình tích x 1 1 x 1 x 2 0 , 2 x 3 x 2 x 3 x 2 0
Khai triển và rút gọn ta sẽ được những phương trình vô tỉ không tầm thường chút nào, độ khó
của phương trình dạng này phụ thuộc vào phương trình tích mà ta xuất phát .
Từ đó chúng ta mới đi tìm cách giải phương trình dạng này .Phương pháp giải được thể hiện
qua các ví dụ sau .
2
2
2
Bài 1. Giải phương trình : x 3 x 2 x 1 2 x 2
t 3
2
HD:Đặt t x 2 2 ; t 2 , ta có : t 2 x t 3 3x 0
t x 1
Bài 2. Giải phương trình : x 1 x 2 2 x 3 x 2 1
HD:Đặt : t x 2 2 x 3, t 2
Khi đó phương trình trở thnh : x 1 t x 1 x 1 x 1 t 0
Bây giờ ta thêm bớt , để được phương trình bậc 2 theo t có chẵn :
2
2
t 2
x 2 2 x 3 x 1 t 2 x 1 0 t 2 x 1 t 2 x 1 0
t x 1
Bài 3:Giải phương trình: x 2 3 x 1 x 3 x 2 1
HD:Đặt t x 2 1; t 1
t x
Phương trình trở thành:t2 - (x + 3)t + 3x = 0 (t - x)(t - 3) = 0
t 3
Nếu t = x x 2 1 x (Vô lý)
Nếu t = 3 x 2 1 3 x 2 2
Vậy: x 2 2
4. Đặt nhiều ẩn phụ đưa về tích
Xuất phát từ một số hệ “đại số “ đẹp chúng ta có thể tạo ra được những phương trình vô tỉ mà
khi giải nó chúng ta lại đặt nhiều ẩn phụ và tìm mối quan hệ giữa các ẩn phụ để đưa về hệ
3
Xuất phát từ đẳng thức a b c a 3 b3 c3 3 a b b c c a , Ta có
a 3 b 3 c3 a b c
3
a b a c b c 0
Từ nhận xét này ta có thể tạo ra những phương trình vô tỉ có chứa căn bậc ba .
7 x 1 3 x2 x 8 3 x2 8x 1 2
3
3x 1 3 5 x 3 2 x 9 3 4 x 3 0
Bài 1. Giải phương trình : x 2 x . 3 x 3 x . 5 x 5 x . 2 x
3
HD:ĐK: x 2
u 2 x ; u 0
2 u 2 uv vw wu
2
Đặt v 3 x ; v 1 , ta có : 3 v uv vw wu
5 w2 uv vw wu
w 5 x ;w 3
30
239
x
giải hệ ta được: u
60
120
u v u w 2
u v v w 3 ,
v w u w 5
Bài 2. Giải phương trình sau : 2 x 2 1 x 2 3x 2 2 x 2 2 x 3 x 2 x 2
8
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ
a
b
HD:Ta đặt :
c
d
2x2 1
x 2 3x 2
2x 2x 3
2
a b c d
, khi đó ta có :
2
2
2
2
a b c d
x 2
x2 x 2
Bài 3. Giải các phương trình sau : 4 x 2 5 x 1 2 x 2 x 1 9 x 3
a 4 x 2 5 x 1
HD:Đặt
b x 2 x 1
a; b 0
a 2 4b 2 9 x 3
Ta được hệ phương trình:
a 2b 9 x 3
a 2b
Từ đó ta có: a2 - 4b2 = a - 2b (a - 2b)(a + 2b - 1) = 0
a 1 2b
Nếu a = 2b
4 x 2 5x 1 2 x 2 x 1 x
1
(thoả mãn)
3
Nếu a = 1 - 2b 4 x 2 5 x 1 1 2 x 2 x 1 (*)
Ta có : VT(*) 0 (1)
2
1
3
VP(*) = 1 2 x x 1 1 2 x 1 3 0 (2)
2 4
2
Từ (1) và (2) suy ra phương trình (*) vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x
1
3
Bài tập áp dụng:
Giải các phương trình sau : x 4 x 1 x 4 1 x 1 x 4 x 3 4 x 2 1 x
3
5. Đặt ẩn phụ đưa về hệ:
5.1 Đặt ẩn phụ đưa về hệ thông thường
Đặt u x , v x và tìm mối quan hệ giữa x và x từ đó tìm được hệ theo u,v
3
3
3
3
Bài 1. Giải phương trình: x 35 x x 35 x 30
HD:Đặt y 3 35 x3 x3 y 3 35
xy ( x y ) 30
, giải hệ này ta tìm được
3
3
x y 35
( x; y ) (2;3) (3;2) . Tức là nghiệm của phương trình là x {2;3}
1
2 1 x 4 x 4
Bài 2. Giải phương trình:
2
HD:Điều kiện: 0 x 2 1
2 1 x u
0 u
2 1,0 v 4 2 1
Đặt
4
x v
1
u 4 v
1
2
u v 4
2
Ta đưa về hệ phương trình sau:
2
u 2 v4 2 1 1 v v4 2 1
4 2
Khi đó phương trình chuyển về hệ phương trình sau:
9
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ
2
1
Giải phương trình thứ 2: (v 1) v 4 0 , từ đó tìm ra v rồi thay vào tìm nghiệm của
2
2
2
phương trình.
Bài 3. Giải phương trình sau: x 5 x 1 6
HD:Điều kiện: x 1
Đặt a x 1, b 5 x 1(a 0, b 5) thì ta đưa về hệ phương trình sau:
a 2 b 5
(a b)( a b 1) 0 a b 1 0 a b 1
2
b
a
5
11 17
Vậy x 1 1 5 x 1 x 1 5 x x
2
6 2x 6 2x 8
Bài 4. Giải phương trình:
5 x
5 x 3
HD:Điều kiện: 5 x 5
Đặt u 5 x , v 5 y 0 u , v 10 .
u 2 v 2 10
Khi đó ta được hệ phương trình: 4 4
8
2(
u
v
)
3
u v
Bài 5. Giải phương trình:
HD:ĐK: 77 x 629
u 4 629 x
Đặt
v 4 77 x
4
(u v) 2 10 2uv
2 4
(u v) 1
uv 3
629 x 4 77 x 8
(u; v 0)
u v 8, u 4 v 4 706
Đặt t = uv
t 15
t 2 128t 1695 0
t 113
Với t = 15 x = 4
Với t = 113 x = 548
Bài 6. Giải phương trình: x3 x 2 1 x3 x2 2 3
HD:Với điều kiện: x3 x 2 1 0 x3 x 2 2 0
(1)
u x 3 x 2 1
Đặt
Với v > u ≥ 0
v x3 x 2 2
Phương trình (1) trở thành u + v = 3
Ta có hệ phương trình
uv 3
2
2
v u 3
uv 3
u v 3 u 1
v 2
(v u )(v u ) 3 v u 1
3
2
x3 x 2 1 1
x x 1 1
3
3
2
2
x x 2 4
x x 2 2
x3 x 2 2 0 ( x 1)( x 2 2 x 2) 0 x 1 (do x 2 2 x 2 0 x )
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {1}
2
Bài 7. Giải phương trình: 1 x x
3
2
2
1 x 2 0
1 x 1
x 0
x 0
HD: Điều kiện:
Với điều kiện (*),đặt
u
x ;v
2
3
x,
0
x 1
với u ≥ 0,
(*)
v
2
3
10
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ
1 x2 1 u4
2
Ta có: 2
2
x
v
3
Do dó ta có hệ
2
2
uv 3
uv
3
4
4
1 u4 v2
u v 1
2
uv
3
2
2
2
2
2
u v 2u .v 1
2
uv
3
2
u v 2 2u.v 2u 2 v 2 1
2
u v 3
2
8 194
2
uv
u.v
uv
3
18
3
2
2
4 2u.v 2u 2 .v 2 1 2u 2 .v 2 16 u.v 65 0
uv
9
9
81
5
8 194
u.v
18
u và v là nghiệm của phương trình
2 2
8 194
0( a )
y y
3
18
y 2 2 y 8 194 0(b)
3
18
(b) vô nghiệm
(a) có 2 nghiệm
97
3
1
2
; y2
2
u1 y1 u 2 y 2
v1 y 2 v 2 y1
1
y1
Do đó:
Vì u ≥ 0 nên ta chọn
97
3
2
3
1
u y2
97
3
2
3
1
x
97
3
2
3
1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 1
9
4
4
Bài 8. Giải phương trình: 18 5 x 64 5 x 4
HD:Với điều kiện
18
18 5 x 0 x 5
18
64
x
64
5
5
64 5 x 0 x
5
Đặt
u
4
18 5 x , v
4
64 5 x
1
x
97
3
2
97
3
2
3
2
2
(*)
, với u ≥ 0, v ≥ 0
u 18 5 x
4
v 64 5 x
4
Suy ra
Phương trình đã cho tương đương với hệ:
11
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ
uv 4
uv 4
4 4
2 2 2
2
u v 82 u v 2(uv) 82
v 0, v 0
v 0, v 0
Đặt A = u + v và P = u.v, ta có:
S 4
2
2
2
S 2 P 2P 82
P 0, S 0
S4
2
p 32 P 87 0
P 0
S4
P 3 P 29
P 0
(1) Với S = 4, P = 3
u và v là nghiệm của phương trình:
y 1
y2 4 y 3 0
y 3
Do đó ta có:
u 1 u 3
v 3 v 1
4 18 5 x 1 4 18 5 x 3
Suy ra 4
4
64
5
x
3
64 5 x 1
18 5 x 1 18 5 x 81
64 5 x 81 64 5 x 1
x
17
63
x
5
5
thoả mãn (*)
(2) Với S = 4, P = 29 không tồn tại u và v
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là:
17
x1 5
x 63
2
5
5.2 Giải phương trình vô tỉ bằng cách đưa về hệ đối xứng loại II
Ta hãy đi tìm nguồn gốc của những bài toán giải phương trình bằng cách đưa về hệ đối xứng
loại II
x 1 2 y 2
Ta xét một hệ phương trình đối xứng loại II sau :
2
y 1 x 2
đơn giản
Bây giờ ta sẽ biến hệ thành phương trình bằng cách đặt y f x
(1)
(2)
việc giải hệ này thì
sao cho (2) luôn đúng ,
y x 2 1 , khi đó ta có phương trình : x 1 ( x 2 1) 1 x 2 2 x x 2
2
Vậy để giải phương trình : x 2 2 x x 2 ta đặt lại như trên và đưa về hệ
x 2 ay b
Bằng cách tương tự xét hệ tổng quát dạng bậc 2 :
, ta sẽ xây dựng được
2
y ax b
phương trình dạng sau : đặt y ax b , khi đó ta có phương trình :
a
2
x ax b b
a
n
Tương tự cho bậc cao hơn : x n ax b b
Tóm lại phương trình thường cho dưới dạng khai triển ta phải viết về dạng :
n
x p n a ' x b ' đặt y n ax b để đưa về hệ , chú ý về dấu của ???
12
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ
n
Việc chọn ; thông thường chúng ta chỉ cần viết dưới dạng : x p n a ' x b ' là
chọn được.
Bài 1: Giải phương trình: x 2 2 x 2 2 x 1
HD:Điều kiện: x
1
2
Ta có phương trình được viết lại là: ( x 1) 2 1 2 2 x 1
x 2 2 x 2( y 1)
Đặt y 1 2 x 1 thì ta đưa về hệ sau: 2
y 2 y 2( x 1)
Trừ hai vế của phương trình ta được ( x y )( x y ) 0
Giải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là: x 2 2
Cách 2: Đặt 2 x 1 t a 2 x 1 t 2 2at a 2
Chọn a = -1 ta được:t2 - 2t = 2x - 2
2
x 2 x 2t 2
kết hợp với đầu bài ta có hệ phương trình: 2
t 2t 2 x 2
Giải hệ này ta sẽ tìm được x.
Bài 2. Giải phương trình: 2 x 2 6 x 1 4 x 5
HD:Điều kiện x
5
4
Ta biến đổi phương trình như sau: 4 x 2 12 x 2 2 4 x 5 (2 x 3) 2 2 4 x 5 11
(2 x 3) 2 4 y 5
( x y )( x y 1) 0
Đặt 2 y 3 4 x 5 ta được hệ phương trình sau:
2
(2
y
3)
4
x
5
Với x y 2 x 3 4 x 5 x 2 3
Với x y 1 0 y 1 x 2 x 1 4 x 5 (vô nghiệm)
Kết luận: Nghiệm của phương trình là x 2 3
Bài 3:Giải phương trình: x 2 x 5 5
HD:ĐK: x 5
Pt x 2 5 x 5 ; x 5 (*)
Đặt x 5 t a x 5 t 2 2at a 2
Chọn a = 0 ta được:t2 - 5 = x và kết hợp với (*) ta được hệ phương trình:
x2 5 t
2
từ đây ta sẽ tìm được nghiệm.
t 5 x
4x 9
( x 0) .
Bài 4:Giải phương trình: 7x2 + 7x =
28
4x 9 2
4x 9
t 2at a 2
ta
HD:Đặt
28
28
1
4x 9 2
1
1
t t 7t 2 7t x
Chọn a ta được:
2
28
4
2
1
2
7
x
7
x
t
2
Kết hợp với đầu bài ta được hệ phương trình:
1
7t 2 7t x
2
Giải hệ phương trình trên ta tìm được nghiệm.
Bài tập áp dụng:
Giải phương trình: 2 x 2 2 x 1 4 x 1
13
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ
PHƯƠNG PHÁP 4: PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ
I-KIẾN THỨC:
1.Bất đẳng thức Bunhiakôpxki:
Cho hai bộ số : ( a , b), (x , y) thì ta có: (ax + by)2 (a 2 b 2 )( x 2 y 2 )
a
b
Dấu ‘‘=’’ xảy ra x y
2.Bất đẳng thức côsi:
a) Với hai số a, b 0 thì ta có:
Dấu ‘‘=’’ xảy ra a b
ab
2
b) Với ba số a, b, c 0 thì ta có:
Dấu ‘‘=’’ xảy ra a b = c
ab
abc
3
c) Với bốn số a, b, c, d 0 thì ta có:
Dấu ‘‘=’’ xảy ra a b = c = d
e) Với n số a1, a2,…, an 0 thì ta có:
Dấu ‘‘=’’ xảy ra a1 a2 ... an
3.GTLN,GTNN của biểu thức:
a/ A = m + f2(x) m
3
abc
abc d
4
4
abcd
a1 a2 ... an
n
n
a1.a2 ....an
b/ A = M - g2(x) M
A m
MinA m
A M
MaxA M
Dấu ''='' xảy ra f(x) = 0
Dấu ''='' xảy ra g(x) = 0
4. Dùng hằng đẳng thức :
Từ những đánh giá bình phương : A2 B 2 0 , ta xây dựng phương trình dạng A2 B 2 0
Từ phương trình
2
5x 1 2 x
2
9 5x 2 x 1 0
2
ta khai triển ra có phương trình : 4 x 12 x 1 4 x 5 x 1 9 5 x
5. Dùng bất đẳng thức
A m (1)
B m (2)
Một số phương trình được tạo ra từ dấu bằng của bất đẳng thức:
nếu dấu bằng ở (1) và (2) cùng đạt được tại x0 thì x0 là nghiệm của phương trình A B
Ta có : 1 x 1 x 2 Dấu bằng khi và chỉ khi x 0 và
x 1
chỉ khi x = 0. Vậy ta có phương trình: 1 2008 x 1 2008 x
1
2 , dấu bằng khi và
x 1
1
1 x
x 1
A f x
Đôi khi một số phương trình được tạo ra từ ý tưởng :
khi đó : A B
B f ( x)
A f x
B f x
Nếu ta đoán trước được nghiệm thì việc dùng bất đẳng thức dễ dàng hơn, nhưng có nhiều
bài nghiệm là vô tỉ việc đoán nghiệm không được, ta vẫn dùng bất đẳng thức để đánh giá được.
II-BÀI TẬP:
Bài 1. Giải phương trình :
HD:Đk: x 0
2 2
x x9
x 1
14
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ
2
2
1
x
x9
x 1
x 1 x 1
1
1
x
7
x 1
2 2
x 2 2
Ta có :
x 1
Dấu bằng
2 2
x 1
2
Bài 2. Giải phương trình : 13 x 2 x 4 9 x 2 x 4 16
HD:Đk: 1 x 1
Biến đổi pt ta có : x 2 13 1 x 2 9 1 x 2
2
256
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki:
13. 13. 1 x 2 3. 3. 3 1 x 2
2
13 27 13 13 x 2 3 3 x 2 40 16 10 x 2
Áp dụng bất đẳng thức Côsi: 10 x 16 10 x
2
2
2
16
64
2
2
x
1 x2
2
5
1 x
Dấu bằng
3
2
10 x 2 16 10 x 2
x
5
3`
2
Bài 3. Giải phương trình: x 3x 8 x 40 8 4 4 x 4 0
HD:Ta chứng minh : 8 4 4 x 4 x 13 và x3 3x 2 8 x 40 0
Bài 4: Giải phương trình: 7 x x 5 x 2 12 x 38
HD:Ta có :VT2=( 7 x x 5 )2 (1 + 1).(7- x + x - 5) = 4
Nên : 0 < VT 2
Mặt khác:VP = x2 - 12x + 38 =2 + (x - 6)2 2
Theo giả thiết dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi:x = 6
Vậy x = 6 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Bài 5: Giải phương trình: x 2 3x 2 x 1 2
HD:ĐK: x 1; 2 (1) PT x 2 3x 2 2 x 1 (2)
x 1
2
x 1 2
x 1 (3)
Từ (2) ta có: 2
� x1 0
Từ (1) và (3) Ta có x = 1 thế vào (2) thoả mãn.Vậy :x = 1
Bài 6:Giải phương trình :
HD: Điều kiê ên x
x 3 x 3 x 13
2
x
4x 1
2
x
4x 1
1
4
Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có:
x
4x 1
Theo giả thiết dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
4x 1
2
x
x
x
4x 1
4x 1
2.
x
4x 1
x
4x 1
x 2 4x 1 0 (x 2) 2 3 x 2 3
Dấu “=” xảy ra x 4x 1 x 2 4x 1 0
x 2 4x 4 3 0 (x 2) 2 3 x 2 3 x 2 3 (Thoả mãn) Vậy : x 2 3
Bài 7:Giải phương trình : x 1 5x 1 3x 2
HD: Cách 1. điều kiê ên x ≥ 1
Với x ≥ 1 thì: Vế trái: x 1 5x 1 vế trái luôn âm
Vế phải: 3x 2 ≥ 1 vế phải luôn dương
15
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ
Vâ êy: phương trình đã cho vô nghiê êm
Cách 2. Với x ≥ 1, ta có:
x 1 5x 1 3x 2 x 1 8x 3 2 (5x 1)(3x 2) 2 7x 2 (5x 1)(3x 2)
Vế trái luôn là mô tê số âm với x ≥ 1, vế phải dương với x ≥ 1 phương trình vô nghiê êm
Bài 8:Giải phương trình : 3x 2 6x 7 5x 2 10x 14 4 2x x 2 (1)
HD: Ta có (1) 3 x 2 2x 1 5 x 2 2x 1 (x 2 2x 1) 5
3
5
4
9
3(x 1) 4 5(x 1) 9 5 (x 1)
Ta có: Vế trái ≥ 4 9 2 3 5 . Dấu “=” xảy ra x = –1
Vế phải ≤ 5. Dấu “=” xảy ra x = –1
Vâ êy: phương trình đã cho có mô êt nghiê êm x = –1
2
2
Bài 9:Giải phương trình :
2
1
x7
8 2x 2 2x 1 HD: điều kiê ên x ≥
2
x 1
Dễ thấy x = 2 là mô êt nghiê êm của phương trình
– Nếu
1
x 2 : VT =
2
– Nếu x > 2: VP = 2x2 +
6
8 8 3 . Mà: VP > 8 3
x 1
2x 1 > 2.22 + 3 = 8 3 . VT < 8 3
1
x 2 x 1 2 1 1
6
6
1
3
x 1
2 1
Vâ êy: phương trình đã cho có mô êt nghiê êm duy nhất là x = 2
6
8
6
3 x
2x
3
HD: ĐK: x < 2. Bằng cách thử, ta thấy x = là nghiệm của phương trình. Ta cần chứng minh đó
2
3
6
8
6
8
2 và
4
6.
là nghiệm duy nhất. Thật vậy:Với x < :
2
3 x
2x
3 x
2 x
3
6
8
6
Tương tự với < x < 2:
2
3 x
2x
Bài 10:Giải phương trình :
Bài 11:Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
1
1
1
1
1.2 2.3 3.4
x. x 1
4x 4
4 x 5
HD:ĐK: x 4 (1)
1
Ta có:1 x 1 1
1
4 x x 4 (*)
4 x 5
Ta có: VP(*) = x 4 0 x 4 (2)
Từ (1) và (2) ta có:x = 4 là nghiệm duy nhất.
III-BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Bài 1: Giải các phương trình sau :
1 2x 1 2x
1 2x
1 2x
1 2x
1 2x
2x4 8 4 4 x4 4 x4 4
x 3` 3x 2 8 x 40 8 4 4 x 4 0
4
x 4 1 x x 1 x 2 4 8
2 x2 2
1
1
4x
2
x
x
16 x 4 5 6 3 4 x3 x
8 x 3 64 x3 x 4 8 x 2 28
x 3 5 x x 2 8 x 18
Bài 2: Giải các phương trình sau :
16
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ
1/ x - 2 + 6 - x = x 2 - 8x + 24
3/ 6 x x 2 x 2 6 x 13
5/ 2 x 3 5 2 x 3x 2 12 x 14
2/ x 4 6 x x 2 10 x 27
4/ 1 x 4 x 3
6/ x 2 10 x x 2 12 x 40
PHƯƠNG PHÁP 5: PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
Sử dụng các tính chất của hàm số để giải phương trình là dạng toán khá quen thuộc.
Ta có 3 hướng áp dụng sau đây:
Hướng 1: Thực hiện theo các bước:
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f ( x) k
Bước 2: Xét hàm số y f ( x)
Bước 3: Nhận xét:
Với x x0 f ( x) f ( x0 ) k do đó x0 là nghiệm
Với x x0 f ( x) f ( x0 ) k do đó phương trình vô nghiệm
Với x x0 f ( x) f ( x0 ) k do đó phương trình vô nghiệm
Vậy x0 là nghiệm duy nhất của phương trình
Hướng 2: Thực hiện theo các bước
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng: f ( x ) g ( x )
Bước 2: Dùng lập luận khẳng định rằng f ( x) và g(x) có những tính chất trái ngược nhau và xác
định x0 sao cho f ( x0 ) g ( x0 )
Bước 3: Vậy x0 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Hướng 3: Thực hiện theo các bước:
Bước 1: Chuyển phương trình về dạng f (u ) f (v )
Bước 2: Xét hàm số y f ( x) , dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu
Bước 3: Khi đó f (u ) f (v) u v
2
2
Ví dụ: Giải phương trình : 2 x 1 2 4 x 4 x 4 3 x 2 9 x 3 0
HD:pt
2 x 1
2
2 x 1
2
3 3 x 2
3 x
2
f 2 x 1 f 3 x
3
2
Xét hàm số f t t 2 t 3 , là hàm đồng biến trên R, ta có x
Ví Dụ 2: Giải phương trình: 3 x 6 3 x 2 3 x 3 0
HD: nhận thấy x = -2 là một nghiệm của phương trình
Đặt f x 3 x 6 3 x 2 3 x 3
Với x1 x2 f x1 f x2 vậy hàm số f(x) đồng biến trên R.
Vậy x = -2 là nghiệm duy nhất của phương trình.
Bài tập áp dụng:
Giải phương trình:
c) x 1 3 x x 2
e)
a) 4 x 1 4 x 2 1 1
b)
x 1 x3 4 x 5
d)
x 1 2x 2x2 x3
f)
1
5
x 1 x 2 3
2 x 1 x2 3 4 x
PHƯƠNG PHÁP 6: SỬ DỤNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP - TRỤC CĂN THỨC
Một số phương trình vô tỉ ta có thể nhẩm được nghiệm x0 như vậy phương trình luôn đưa về
được dạng tích x x0 A x 0 ta có thể giải phương trình A x 0 hoặc chứng minh A x 0 vô
nghiệm , chú ý điều kiện của nghiệm của phương trình để ta có thể đánh gía A x 0 vô nghiệm
Bài 1:Giải phương trình: x x 2 x x 1 2 x 2 (1)
HD: C1: ĐK x 2; x 1
17
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ
1
x2 x x2 2x
x x 1 x x 2
3x
2 x
x x 1 x x 2
2
2 x
3
2 2 x x 1 2 x 3
2
x x 2 2x
x x 1
Nếu x 1 ta có
x x 1
x x 1
Nếu x -2 ta có
x x 1
x
2;
x
1
C2: ĐK:
x x 2
x x 2
3
2
x x 2 2 x
2 x x 1 2 x
3 Giải (3) ta tìm được x
3
2
4 Giải (4) ta tìm được x
Nếu x 1 ta chia cả hai vế cho x ta được: x 2 x 1 2 x
Bình phương hai vế sau đó giải phương trình ta tìm được x
Nếu x -2 Đặt t = -x t 2 Thay vào phương trình ta được
t t 2 t t 1 2
t
2
t t 2 t t 1 2
t
2
Chia cả hai vế cho t ta được t 2 t 1 2 t
Bình phương hai vế tìm được t. Sau đó tìm ra x.
Trong C1 ta đã sử dụng kiến thức liên hợp. Còn trong C2 ta vận dụng kiến thức miền xác định
về ẩn của phương trình.nhìn chung thì việc vận dụng theo C2 đơn giản hơn.
3 x 2 5 x 1 x 2 2 3 x 2 x 1 x 2 3 x 4
Bài 2 . Giải phương trình sau :
2
2
2
2
HD: Ta nhận thấy : 3x 5 x 1 3x 3x 3 2 x 2 v x 2 x 3 x 4 3 x 2
2 x 4
Ta có thể trục căn thức 2 vế :
3 x 2 5 x 1 3 x 2 x 1
3x 6
x 2 2 x 2 3x 4
Dể dàng nhận thấy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình .
Bài 3. Giải phương trình sau: x 2 12 5 3x x 2 5
5
3
Ta nhận thấy : x = 2 là nghiệm của phương trình , như vậy phương trình có thể phân tích về dạng
x 2 A x 0 , để thực hiện được điều đó ta phải nhóm , tách như sau :
x2 4
x2 4
x 2 12 4 3x 6 x 2 5 3
3 x 2
x 2 12 4
x2 5 3
HD: Để phương trình có nghiệm thì :
3x 5 0
x
3 0 x 2
2
x2 5 3
x 12 4
x2
x2
5
3 0, x
Dễ dàng chứng minh được :
3
x 2 12 4
x2 5 3
Bài 4. Giải phương trình : 3 x 2 1 x x3 1
HD :Đk x 1
Nhận thấy x = 3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình
2
x3
x 3 x 3 x 9
3
3 2
x 1 2 x 3 x 2 5 x 3 1
2
3 2
3 x2 1
x3 2 5
2 x 1 4
x 2 ۳
12
x2 5
x 2
x2
Ta chứng minh :
x 1
x3
1
3
x
2
1 2 3 x 2 1 4
2
1
x3
3
2
2 x 3x 9
x2 1 1 3
x3 2 5
2
Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 3
18
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ
Bài 5:Giải phương trình sau:
x2 3
x x 3
2
x2 3
x x 3
2
x
HD:ĐK: x 2 3
Nhân với lượng liên hợp của từng mẫu số của phương trình đã cho ta được:
x
2
3 x x 2 3 x 2 3 x x 2 3 3.x
x
3
2
3
x
2
3
3
3 3.x
x 0
2
x 3
x
3
3
2
3
2
x
4
3 27 x 2
3
2
4
x 0
x 0 ; x 9 2x 0
Giải hệ trên ta tìm được x 2
4
3
2
4
4
3
4
4 2
2 ( x 3) x 9 2 x
4( x 3) x 9 2 x
9
2 x2
x
x
9
2
2
Bài 6:Giải phương trình:
HD:ĐK:
3 9 2x
x 0
9 2x
2x2 3
Pt
3
9 2x
3
2
2
9 2x
6 9 2x 0 x
3x
3 x 10
2 x 2 18 2 x 6 9 2 x
4x
2
x9
9
là nghiệm
2
Bài tập vận dụng:
1) x x 3 x x 4 2 x 2
3)
2
x9
2) x 3 x 2 x 3 x 1 2 x 3
2
3x 1 1
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1: Tìm tất cả các số thực x1; x2; …; x2005 thoả mãn:
x1 12 2 x2 22 ... 2005 x2005 20052
Bài 2: Tìm các số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện:
1
x1 x2 ... x2005
2
x y 1 z 2
1
x y z
2
Bài 3: Giải các phương trình sau:
x 1 2x 3 2
3
x2
3( x 2 x 1) ( x x 1) 2
x 1 3
x2 x 5 5
x 2 48 4 x 3 x 2 35
2( x 2 2) 5 x 3 1
x 3 4 x 9 x
3 x x.
27 .x 10 5 x 6 5 864 0
x 2 3 2 x 2 1
( x 2)( x 4) 5( x 2).
x 17 x 2 x. 17 x 2 9
4 3 10 3 x x 2
5
3
3 x
3x 2 2 x 2 x 2 x 1 x
x4
6
x2
5 x 6 3 3x 4 2 1
x2 x 1 x2 x 1
1
2
x2 x 1 x x2 1 x2 x 2
x 2 24 1 3 x
x2 8
Bài 4: Giải các phương trình sau:
25 x 2 10 x 2 3
7 x .
7 x x 5 . x 5
7 x x5
x 3
10 x 2 x 2 x 12
2x 3 x
x2 4x 5 x2 4x 8 x2 4 x 9 3 5
2
x 3 x 1 4 x 3
x 1
3 0
x 3
x 2 9 x 20 2 3x 10
x2 4 x 5 2 2 x 3
19
Chuyên đề giải phương trình vô tỉ
x 5 1 4 x 20 1
3x 2 3x 2 x 2 x 1
7 x 1 x 2
3
3 x 2 5 3 x 2 5 x 12 48 5 x
2x
2x
5 1
5 3
3 1
1
1
x 4 x
6 0
x
x
2 x
2 x
2 2 x
4x 4 2
5
x5 1
9 x 45 4
9
3
4 x 20 3
2 2 x
x x2 5
7 x .
2
5
x x2 5
4
7 x x 5 . x 5
7 x x 5
1
9x 9 4
2
x=
x4 + x 2 2005 2005 .
3x
3x
2
.
a b 1 x 1 a b 1 x (a , b > 0)
64x6 - 112x4 + 56x2 - 7 = 2 1 x 2 .
x 2 5 x 4 5 x 2 5 x 28 0
Bài 5: Ký hiệu [x] là phần nguyên của x
3 3
Giải phương trình sau: 3 1 3 2 ... x 1 855
Bài 6:Cho phương trình: x 2 .6 x 6 x 2 x 2 .6 x 62 x
Gọi tổng các nghiệm của phương trình là S,tính S15 .
Bài 7:Giải phương trình nghiệm nguyên sau:
a/ x y 1960 . b/ x y 1980 .
c/ 2 x 3 y 48
Bài 8:Giải phương trình nghiệm nguyên sau:
1
x2
d/
x y 2000
1
1225
74 x 2 y 1 z 771.
y 1
z 771
Bài 9:Giải các phương trình sau :
5 x 2 14 x 9 x 2 x 20 5 x 1
x 1
1
1
2x
1 3 x
x
x
x
6 x 1 8x3 4 x 1
15
30 x 2 4 x 2004
2
4 x 1
4 x 2 4 x 10 8 x 2 6 x 10
3
x3 1 2 x 3 2 x 1
2 x 2 1 1 x 1 3x 8 2 x 2 1
3
x 2 x 12 x 1 36
2 3 1 x 3 3 1 x2 3 1 x 0
2008 x 2 4 x 3 2007 4 x 3
x (2004 x )(1 1 x ) 2
( x 3 x 2)( x 9 x 18) 168 x
2
4
3
2
3
2
30060 x 1 1
x 1 x3 x 2 x 1 1 x 4 1
4 2 x 4 16 2 4 x 2 16 2 x 9 x 2 16
x 1 x 1 4 x3 x 2
4 x 2 3x 3 4 x x 3 2 2 x 1
2 x 2 16 x 18 x 2 1 2 x 4
12 x 2 x 1 3 x 9
x 2 1 3x3 2 3 x 2
2 x 2 11x 21 3 3 4 x 4 0
2 x 5 x
x
2 x 10 x
3
x2 4 x 1 2x 3
4 x 5 3x 1 2 x 7 x 3
x 2 3 x 1 x 3 x 2 1
x 1 3 x 1 x 3 2
3
x3
1 x
2 3
x 2 2x2
Bài 10: Giải phương trình:
a) x 2 x 2 2 x 8 12 2 x
x 3 x 1 2x 1
3x 2 3x 2
x2 x 2
3x 1
b) 2 x 2 5 2 x 2 3x 9 3x 3
20
- Xem thêm -
.DOC 
23 
232 
94 
