Tài liệu Chuyên đề bài toán cơ nhiệt

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TỈNH LÀO CAI TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÀO CAI CHUYÊN ĐỀ: BÀI TOÁN CƠ NHIỆT Tác giả (Nhóm tác giả): Tổ Vật lý Trường THPT Chuyên Lào Cai A. Cơ sở lý thuyết. I. Lý thuyết về nhiệt và nhiệt động lực học * Khí lý tưởng: Chất khí được coi là khí lý tưởng khi có thể bỏ qua tương tác giữa các phân tử khí chỉ kể đến các tương tác này khi chúng va cham với nhau hoặc với thành bình.(tuân theo đúng định luật Bôilơ- Mariot và Saclơ) 1. Các đẳng quá trình . + Quá trình đẳng nhiệt: T = Const: Pttt: p.V = const + Quá trình đẳng tích: V = Const: Pttt: = const + Quá trình đẳng áp : p = Const: Pttt: = const 2. Phương trình trạng thái KLT: 3. Phương trình Mendeleep_ Craperon: pV = nRT. 4. Nguyên lý thứ nhất của NĐLH: Q = A+ U Q > 0; A > 0; U > 0: Khi khí nhận nhiệt, thực hiện công và nội năng của khí tăng. Q < 0; A < 0; U < 0: Khi khí nhả nhiệt,nhận công và nội năng của khí giảm. U: Nội năng và U = n.Cv.T vậy U = n.Cv.T 5. áp dụng nguyên lý I cho các quá trình biến đổi của KLT: b/ Quá trình đẳng tích: V= Const suy ra: A = 0; vậy: Q= U c/ Quá trình đẳng áp : p= Const suy ra: A = p. V; vậy: Q= A+ U d/ Quá trình đẳng nhiệt: T= const ; Q = A+ U e/ Quá trình đoạn nhiệt: Khí không trao đổi nhiệt lượng với môi trường bên ngoài: Q = 0 Vậy: A + U = 0 6. Khái niệm về nhiệt dung, nhiệt dung riêng. a/ Nhiệt dung của một vật: Là đại lượng vật lý có giá trị bằng nhiệt lượng cần cung cấp cho vật để nhiệt độ của nó tăng thêm 10. b/ Nhiệt dung riêng của một chất bất kỳ là đại lượng vật lý có giá trị bằng nhiệt lượng cần truyền cho một đơn vị khối lượng chất nói chung và một đơn vị khối lượng khí nói riêng đó để làm tăng nhiệt độ của nó thêm 10. c= c/ Nhiệt dung kmol của một chất bất kỳ là đại lượng vật lý có giá trị bằng nhiệt lượng cần truyền cho 1kmol chất nói chung và một kmol khí nói riêng để nhiệt độ của nó tăng lên 10. C= d/ Nhiệt dung kmol đẳng tích và đẳng áp. + Nhiệt dung kmol đẳng tích: Là nhiệt lượng cần cung cấp cho một kmol chất khí để nhiệt độ tăng lên 1 độ trong điều kiện thể tích không đổi: CV = V= const Theo nguyên lý I ta có: dQ = dU+ dA = dU Vậy CV = = + Nhiệt dung kmol đẳng áp : Là nhiệt lượng cần cung cấp cho một kmol chất khí để nhiệt độ tăng lên 1 độ trong điều kiện áp suất không đổi: Cp = p = const Ta có: dQ = dU+ dA vậy Cp = Theo M-C ta có: = Vậy Cp = e/ Mối quan hệ giữa nhiệt dung riêng đẳng tích và đẳng áp: Theo nguyên lý 1 cho 1mol khí quá trình đẳng áp ta có : dQ = dU + dA (1) dQ = Cp.dT; dU = CV.dT; dA = pdV Thay vào (1) ta có: Cp = Cv + p (2) Mắt khác ta có: pV= RT vậy pdV = RdT vậy p =R Vậy từ (1) ta có: Cp = Cv + R. + Hằng số Poatxong:  = = 7/ Công thực hiện trong một quá trình biến đổi. + Công nguyên tố thực hiện trong một quá trình biến đổi nhỏ: dA = pdV Vậy A = + Công xác định theo đồ thị pOV: Công có giá trị bằng diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi đường biểu diễn quá trình biến đổi và trục hoành OV. p M N A= SMNPQ O Q P V + Công trong quá trình đẳng nhiệt: dA = pdV-> A = = p 1 V1 = p2V2 + Quá trình đoạn nhiệt: Là quá trình biến đổi trạng thái khí trong đó khí không trao đổi nhiệt lượng với môi trường bên ngoài: Q = 0 ; và ta có: A = U + Công thực hiện trong quá trình đoạn nhiệt: Ta có dA = - dU vậy A = Mắt khác có  = = -n =-n (T2 - T1) = nCVT1(1- ) Vậy A = n (1- ) 8. Mối quan hệ giữa các thông số trạng thái trong quá trình đoạn nhiệt. Có dA = - dU hay pdV + nCVdT = 0  n RT + nCV dT = 0 CV + =0 Lấy tích phân hai vế ta có: CV +R = 0 hay lnT + lnV-1 = 0 hay T.V-1 = const pV = const II. Lý thuyết về động học và động lực học 1. Định luật II Newton: F = ma 2. điều kiện cân bằng của chất điểm: =0 3. Các lực cơ học: - Trọng lực : P = mg - Lực ma sát: Fms=  N - Lực đàn hồi: F = K. l 4. Khối tâm vật rắn : là một điểm được coi là mang toàn bộ khối lượng của vật. n Công thức xác định khối tâm vật rắn :  mi xi xG  i 1 M n ;  mi yi yG  i 1 M n ;  mi zi z G  i 1 M  1  xG  P xdp  1   1 Nếu vật rắn phân bố liên tục rG   r dp   yG  ydp P  P  1  zG  P zdp  HỆ THỐNG BÀI TẬP Bài 1. Một bình có thể tích V chứa một mol KLT và có một cài van bảo hiểm là một xilanh(có kích thước rất nhỏ so với bình) trong có một pittông diện tích S, giữ bằng lò xo có độ cứng k. Khi nhiệt độ khí là T1 thì pittông ở cách lỗ thoát khí một đoạn L. Nhiệt độ của khí tăng tới giá trị T2 nào thì khí thoát ra ngoài? HD: Khi nhiệt độ trong bình tăng thì áp suất khí trong bình cũng tăng theo tác dụng lực vào pittông, đẩy pittông sang phải, đồng thời pittông còn chịu tác dụng của lực đần hồi. Khí thoát ra khi pittông đến cửa thoát khí nghĩa là áp lực do sự tăng áp suất gây ra thắng lực đàn hồi làm pittông đi được quãng đường S. KT sử dụng: Điều kiện về lực để pittông dịch chuyển được, ph M-C cho sự biến đổi trạng thái khí trong pittông. Giải: Vì thể tích của xilanh rất nhỏ có thể bỏ qua nên L coi sự biến đổi trạng thái khí trong bình là đẳng tích. Để khí thoát ra ngoài (p2- p1)S  k.L p2- p1 k.L/S (1) p1: áp suất ban đầu; p2: áp suất khí khi tăng nhiệt độ. Dấu “ = ” xảy ra khi khí bắt đầu thoát ra ngoài. Mặt khác theo pt M-C ta có: p2 = RT2/V; p1 = RT1/V (2) Từ (1) và (2) suy ra: T2 - T1  k.L.V/SR T2  T1+ k.L.V/SR Bài 2. Một mol khí lý tưởng đơn nguyên tử được giữ trong một xilanh cách nhiệt nằm ngang và một pittông P cũng cách nhiệt. Pittông P gắn vào đầu một lò xo L, lò xo L nằm dọc theo trục của xilanh, đầu kia của lò xo L gắn vào cuối của xilanh. Trong xilanh ngoài phần chứa khí là chân không. Ban đầu giữ cho pittông P ở vị trí lò xo không bị biến dạng, khi đó khí trong xilanh có áp suất p1 = 7kPa và nhiệt độ T1= 308K. P Thả cho pittông chuyển động thì thấy L khí giãn ra, đến trạng thái cân bằng cuối cùng p , T 1 1 thì thể tích của khí gấp đôi thể tích ban đầu. Tìm nhiệt độ T2 và áp suất khí p2 khi đó. Giải: Vì xilanh và pittông đều cách nhiệt nên sự biến đổi trạng thái khí trong xi lanh là đoạn nhiệt. TT đầu : p1 = 7kPa, T1 = 308K, V1= V0 TT sau : p2 = ? , T1 = ? , V1= 2V0 Gọi tiết diện của pittông là S và chiều dài phần xikanh chứa khí ban đầu là h. Do nhiệt độ tăng nên nội năng của khí biến đổi một lượng: U = Cv. T= R(T2- T1) Công mà khí sinh ra làm nén lò xo một đoạn x đúng bằng công của lực đàn hồi nên có: A = kx2 Theo nguyên lý I của NĐLH ta có: U = -A (1)  R(T2- T1) = kx2 Mặt khác khi pittông ở trạng thái cânbằng ta có: p2S = kx Và V2 = 2x.S vật x = V2/2S Từ đó có A = kx2 = .k.x.x = .p2S.x= .p2S . = .p2.V2 = RT2 Thay vào (1) ta có: R(T2- T1) = RT2 vậy T2 = T1 = 264K Theo pttt ta có: Vậy p2 = p1= 3kPa. Bài 3. Một bình hình trụ tròn nằm ngang, dài 2l. Một pitong mỏng không dẫn nhiệt ngăn bình thành hai phần bằng nhau. Mỗi phần chứa n mol KLT ở nhiệt độ T. Hai lò xo chưa biến dạng nối pitong với hai đầu bình đều có độ cứng k. Phần khí bên phải hấp thụ một nhiệt lượng Q làm cho pitong dịch chuyển sang trái 2l k n,T k n,T một khoảng x = l/2. Hãy tính nhiệt lượng Q’ được truyền cho phần khí bên trái. HD: Nếu nhiệt lượng phần khí bên phải được cấp là Q mà nhiệt lượng phần khí bên trái được truyền là Q’. Vậy tổng nhiệt lượng mà hệ hấp thụ là Q – Q’ = A + U Với U: Tổng độ biến thiên nội năng của hệ= n. R.T. A là công mà khí thực hiện đúng bằng độ dự trữ thế năng của lò xo= 2. . KT: công của lực đàn hồi+ điều kiện cân bằng của pitong+ nguyên lý I của NDLH Giải. Khi phần khí bên phải hấp thụ một nhiệt lượng thì pitong từ vị trí ở giữa, ban đầu di chuyển khoảng cách y. Gọi áp suất bình phải lúc đó là p 2, và áp suất bình bên trái khi đó là p1. Pitong cân bằng khi: (p2-p1)S – 2ky = 0. (1) Xét sự dịch chuyển nhỏ của pitong : y, khi đó tổng công mà hệ thực hiện: W= p2yS- p1yS (bên phải sinh công, bên trái nhận công). Hay (p2 - p1)yS = 2ky (2) Như vậy công mà khí thực hiện đúng bằng thế năng dự trữ của lò xo. Khi x = l/s thì W= 2. . (3) Nếu nhiệt lượng phần khí bên phải được cấp là Q mà nhiệt lượng phần khí bên trái được truyền là Q’. Vậy tổng nhiệt lượng mà hệ hấp thụ là Q – Q’ = A + U Với U : tổng độ biến thiên nội năng của hai phần khí và U = n. R.T. Vì khí bên trái biến đổi đẳng nhiệt nên T: Độ tăng nhiệt độ của phần khí bên phải Từ phương trình trạng thía KLT ta có: Áp suất khí bên phải: P = của phần bên trái : p’ = Ta có: p = p’ + Fdh/S hay = + suy ra T= 2T+ Vậy Q’ = Q – 3nRT Bài 4. Trong một bình hình trụ thẳng đứng, thành xung quanh cách nhiệt, có hai pittông: pít tông A nhẹ ( trọng lượng có thể bỏ qua ) và dẫn nhiệt, pít tông B nặng và cách nhiệt. Hai pít tông tạo thành hai ngăn trong bình ( xem hình vẽ 0. Mỗi ngăn chứa một mol khí lý tưởng lưỡng nguyên tử và có chiều cao là h = 0,5m. Ban đầu hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt. Làm cho khí trong bình nóng lên thật chậm B h A h bằng cách truyền cho khí ( qua đáy dưới ) một nhiệt lượng Q = 100J. Pít tông A có ma sát với thành bình và không chuyển động, pít tông B chuyển động không có ma sát với thành bình. Tính lực ma sát tác dụng lên pít tông A. Biết rằng nội năng U của một mol khí lý tưởng lưỡng nguyên tử lý tưởng phụ thuộc vào nhiệt độ T của khí theo công thức ( R là hằng số lý tưởng ) HD: Khí phía trên biến đổi đẳng áp, khí phía dưới biến đổi đẳng tích, vì pitong A đứng yên nên Fms+ pB= pA từ đó tìm được Fms. Giải: Gọi nhiệt độ ban đầu của hệ là T0, nhiệt độ sau cùng là T. Áp suất khí trong hai ngăn ban đầu p0. Áp suất cuối cùng của ngăn dưới: p1= po. , thể tích cuối cùng của ngăn trên:V1= Vo. Độ tăng thể tích ngăn trên: V = Vo.( – 1) Công sinh ra: A = p0. V = R (T1-T0) Độ tăng nội năng: U = 2CV. (T1-T0) =5 R (T1-T0) Theo nguyên lý I: Q = U+ A hay 6R (T1-T0)= 100 Lực ma sát tác dụng lên A: F = Q/6h = 33,3N Bài 5. Có một xi lanh như hình vẽ, trong xi lanh có một pitong có thể chuyển động không ma sát đồng thời chia xi lanh thành hai phần A và B . Phía dưới xi lanh nối với phần C thông qua một ống nhỏ có khóa K điều khiển. Pitong được nối với thành trên của xilanh bằng một lò xo, khi pitong nằm sát thành dưới của xilanh thì lò xo không biến dạng. Lúc đầu khóa K đóng, trong B có chứa một lượng khí nhất định, trong A và C là chân không, bề cao của phần B là l 1= 0,1m. thể tích của B và C bằng nhau và lực của lò xo tác dụng lên pitong bằng trọng lượng của pitong. Sau đó mở khóa K đồng thời lật ngược hệ lại. Tính chiều cao l2 của phần B khi pitong cân bằng. Các lực tác dụng vào pitong : trọng lực P, Áp lực của không khí A trong phần B ; lực đàn hồi của lò xo Fdh Fdh - Khi K đóng. f * Gọi p1 là áp suất khí trong phần B. B Điều kiện cân bằng của pitong : l 1 P Hay P+ Fdh= f 2kl1= p1.S A B l1 K C l1 C l1 B Fdh A f P K C l1 L2 - Khi K mở và lật ngược xi lanh : Gọi p2 là áp suất trong ngăn B+ C. Pitong cân bằng : P+ f’ = Fdh hay kl1 + p2.S= kl2 Khí biến dổi đẳng nhiệt nên ta có : P1V1= p2V2 hay : Vậy l2= l1 = 0,17m. Bài 6. Trong bình kín B có chứa hỗn hợp khí ôxi và hêli. Khí trong bình có thể thông với môi trường bên ngoài bằng một ống có khoá K và một ống hình chữ U hai đầu để hở, trong đó có chứa thuỷ ngân (áp kế thuỷ ngân như hình vẽ). Thể tích của khí trong ống chữ U nhỏ không đáng kể so với thể tích của bình. Khối khí trong bình cân bằng nhiệt với môi trường bên ngoài nhưng áp suất thì cao hơn nên sự chênh lệch của mức thuỷ ngân trong hai nhánh chữ U là h = 6,2 cm. Người ta mở khoá K cho khí trong bình thông với bên ngoài rồi đóng lại ngay. Sau một thời gian đủ dài để hệ cân bằng nhiệt trở lại với môi trường bên ngoài thì thấy độ chênh lệch của mức thuỷ ngân trong hai nhánh là h' 2,2cm . Cho O = 16; He = 4. 1. Hãy xác định tỷ số khối lượng của ôxi và hêli có trong bình. 2. Tính nhiệt lượng mà khí trong bình nhận được trong quá trình nói trên. Biết số mol khí còn lại trong bình sau khi mở khoá K là n = 1; áp suất và nhiệt độ của môi trường lần lượt là p 0 10 5 N / m 2 ; T0 300 K , khối lượng riêng của thuỷ ngân là  13,6 g / cm 3 ; gia tốc trọng trường g 10m / s 2 . Giải. Lúc chưa mở khoá K, khí có áp suất đoạn nhiệt và có áp suất p0 : T0 p1 1   p1  p 0  gh . 1   1 0 T p Khi mở khoá K, khí giãn nở 1  , suy ra  p  T1  1  T0  p0   (1) Khi đóng khoá, quá trình là đẳng tích. Khi cân bằng khí có áp suất 1  (1   ) gh  p0 p 2  p 0  gh2 và  gh2  p0 T1 p0  ( 2)   1  T0 p 2 p 0  gh2  p 0   gh2   1   gh1  1   1   (3) Từ (1) và (2) ta được: p  p 0  0    nhiệt độ T1 . Ta có:  h 1   h2  h1    1  h1  h2 Thay số ta tính được:  1,55 . Xét một mol hỗn hợp, gọi hệ số mol He là x, số mol H 2 là y. Nhiệt dung mol đẳng tích của He là 3R/2, của H2 H2 là 5R/2. Nhiệt dung mol đẳng áp của He là 5R/2, của là 7R/2, nên ta hệ phương trình: x  y 1 (4)  Giải ra ta được x 0,68 . 2,5 Rx  3,5Ry 1,55 1,5Rx  2,5 Ry (5) Từ đó ta tính được: mH 1  x 32 g 3,8  . m He x4 g 2).Tính nhiệt lượng: Quá trình biến đổi trạng thái khí là đẳng tích Nhiệt dung mol đẳng tích của hỗn hợp khí là CV  R  1, ta có: Q = nCV(T0- T2)=nCVT0(1- T2/T0) = n RT  p  nRgh T = n   01 1  p  0 gh     1 2p 0 0 2  0  Bài 7. 135,6 J m1 m2  Một ống nghiệm có khối lượng m1đặt trong chân không. Trong ống nghiệm có n mol KLT đơn nguyên tử khối lượng mol là µ. Khối khí được giữ bởi nút nhỏ có khối lượng m 2(chiều dày không đáng kể) ở vị trí chia ống thành hai phần thể tích bằng nhau. Ống nghiệm được đặt nằm ngang trên mặt phẳng bóng loáng . nút được giải phóng khỏi ống nghiệm. Tìm vận tốc của ống nghiệm ở thời điểm nút vừa thoát khỏi ống ? bỏ qua sự trao đổi nhiệt, ma stá giứa nút và ống nghiệm, động lượng của nút trước khi thoát khỏi ống. Bài 3. HD: Chuyển động của nút trong ống là do quá trình giãn nở đoạn nhiệt của khí trong ống gây nên. TT đầu: p0, V0, T0. Tt sau: p, V = 2V0, T. PT đoạn nhiệt: TV-1= T0 V0-1=> T = T0/22/3(= 5/3) Độ biến thiên nội năng của khí: U= (1) Công A = v1: vận tốc ống và khí lúc nút bắn ra; v2: vận tốc nút bắn ra. Áp dụng định luật bảo toàn động lượng cho hệ ta có: vậy v2= vậy A = (2) Do A = - U nên từ (1) và (2) ta có: = Vậy v1= Bài 8. Một bình kín hình trụ nằm ngang chứa đầy khí lý tưởng . Khoảng cách giữa hai đáy bình là l. Ban đầu nhiệt độ của khí là đồng đều ở T 0. áp suất của khí là p0. Sau đó người ta đưa nhiệt độ của một đáy lên T 0+T.( T<< T) còn nhiệt độ của đáy kia vẫn gữ ở T0. Nhiệt độ của khí biến đổi tuyến tính theo khoảng cách tới đáy bình. a, Tính áp suất p của khí. b, Tính độ dời khối tâm của lượng khí trong bình cho biết : ln(1+x) = x x 2 x3 x4 x5     ..............( x  1) 2 3 4 5 Hướng dẫn a. Xét một lớp khí hiới hạn bởi hai mặt phẳng song song và cách đáy có nhiệt độ T0 những đoạn x+dx. T Nhiệt của lớp khí là :  T x  T x  T0  1  .  T0 l   T0+ dx Từ pt M-C :  .PV P.V  -> m  Rt ln m pdV pdV p.S .dx T R.T  dm    (a  ) M RT R(T0  ax) R(T0  ax) T0 .l T0  T T0 (1) Phương trình trạng thái cho khí ở nhiệt độ T0 và áp suất P0: P V m R.T0  m  0 (2) M RT0 P0V  .P.V T0  T Từ (1 ) và ( 2 ) suy ra: R.T  R.T ln T 0 0 T P0 T0  P  T   ln1  T0   P0 .V   T  T 1  T Vì T  T0  ln1  T   T  2  T 0  0   0   1 1 T   P  P0  P0 1  1 T 2 T0   1 2 T0    2 b. Gọi xG là khoảng cách từ đáy có nhiệt độ T0 đến khối tâm G của lượng khí. Khi nhiệt độ khí đồng đều và = T0 thì xG dm  x m với P dm  dv RT xG  l 2 P dx S = SR T  x T 0 l Khi một đáy có nhiệt độ T0+T thì:  xG  PS l xdx T  a ta có RT0 0 1  T x Với T0 l T0 l l => l xdx dx    1  ax 0 a 0 l dx a.1  ax  0 l 1   2 ln mn1  al  a a   T    T 2 T = l 0 1  0 ln1     T  T  T0     T T 1  0 ln1  T  T0  1 T 1  T     3  T0  2 T0    2 3  T  Lấy phép tính gần đúng đến  T   0  2 PS 2 T  1 T 1  T       xG  l   mRT0 T  2 T0 3  T0       1 1 T  1 T  với P  P0 1  2 T   xG l  2  12 T  0  0    Như vậy, khi tăng nhiệt độ của một đáy lên T0+T thì khối tâm chuyển dời một đoạn l T xG  12 T0 về phía đáy có nhiệt độn T0 không đổi. Bài 9. Khí lý tưởng chứa tong chai lớn thể tích V. Một ống thủy tinh tiết diện ngang là A trong chứa một viên bi lắp vừa khít với chai , áp suất cân bằng trong chai hơi cao hơn áp suất khí quyển p0 do có trọng lượng của viên bi. Nếu viên bi bị kéo ra khổi vị trí cân bằng một khoảng nhỏ thì nó sẽ dao động điều hòa (bỏ qua ma sát ). Nếu các trạng thái của chất khí biểu diễn một quá trình đoạn nhiệt chuẩn tĩnh, hãy tìm tần số dao động của viên bi. HD: Khi kéo cầu ra khỏi vị trí cân bằng một đoạn nhỏ do có sự chênh lêch áp suất nên có lực tác dụng kéo quả cầu về vị trí cân bằng quá trình tiếp theo giống như một vật dao động điều hòa. KT sử dụng: Lập phương trình vi phân chứng minh vật dao động điều hòa. Giải: pttt cho chất khí pV = const hay = 0 (1) MẶt khác ta có: lực tác dụng vào bi làm nó dao động F = Adp. Độ dịch chuyển của bi x = dV/A Vậy từ 1 ta có: Adp = - A2. . (2)với p = p0+ mg/A Đặt k =A2. . (2) được viết lại dưới dạng: F = -kx Vậy bi dao động điều hòa với tần số : f = Bài 10. Một pitong nặng có diện tích S khi thả xuống tự do đẩy khí từ một bình hình trụ thể tích V qua một lỗ nhỏ ở đãy vào một bình có cùng thể tích, các thông số trạng thaí của khí ban đầu ở cả hai bình đều như nhau và đều bằng các giá trị ở điều kiện tiêu chuẩn. Hỏi pitong có khối lượng cực tiểu bằng bao nhiêu để nó có thể đẩy hết khí ra khỏi bình thứ nhất. Xác định M min nếu khí trong bình là khí lưỡng nguyên tử. các bình và pitong cách nhiệt tốt. HD: pitong sẽ đẩy được hết khí trong bình ra khi lực do pitong và áp suất khí quyển gây ra lớn hơn lực do áp suất khí trong bình gây ra tại thời điểm khi mà khí đã đượn dồn sang bình còn lại. Khí trong bình được nén đoạn nhiệt từ thể tích 2V đến thể tích V. TTđầu: p02V = nRT0 (1); TT sau: p1V = nRT1 (2); Công thực hiện lên pitong: A = Mg + p0S. = (Mg+ p0S) (3) Theo nguyên lý I: A’+ U = 0 hay A = - 0,5inR(T1- T0) (4) Từ 1,2, 4 ta có: A = - (p1- p0).V (5) Từ 3 và 5 ta có : (Mg+ p0S) Vậy p1= 2p0 + = (p1- p0).V (6) Để pitong có thể đẩy hết khí sang bình 2 thì p1S  Mg+ p0S(7) Coi khí trong bình là khí lưỡng nguyên tử i = 5 thì M  . Bài 11. Một lượng khí được giữ trong xi lanh bởi một pittong nhẹ tiết diện S có thể chuyển động không ma sát. Pitong nối với đáy xi lanh bằng một dây cao su. Ban đầu khí trong xi lanh S k P0 có áp suất p0. Pitong cách đáy một khoảng l0. Truyền nhiệt lượng cho khí trong xi lanh với tốc độ không đổi thì nhiệt độ của khí tăng đều theo thời gian. Tìm đọ cứng k của dây cao su. Chọn gốc thời gian là lúc bắt đầu truyền nhiệt , ở thời điểm T nhiệt độ của khí là: T = T0+ αt. (α: Hằng số) Bỏ qua khối lượng của pitong áp suất khí trong xi lanh: p = p0+ x: Độ dịch chuyển của P, cùng là độ giãn của S dây cao su. k P0 Theo PTTT ta có: x (1) Công mà khí thực hiện: A = + p0Sx Tốc độ truyền nhiệt không đổi và nội năng tăng đều nên theo nguyên lý I của NĐLH: suy ra dx/dt = (2) Từ (1) và (2) ta có: klo= p0S => k = poS/l0 Bài 12. Một xi lanh như hình vẽ (h.3) chứa khí lý tưởng, được đóng kín bằng một pittông khối lượng M, tiết diện S, có thể chuyển động trong xilanh. Lúc đầu giữ pittông ở vị trí sao cho áp suất trong bình bằng áp suất khí quyển bên ngoài. Thành xilanh và pittông đều cách nhiệt. Buông pittông, pittông chuyển động từ vị trí ban đầu đến vị trí cuối cùng có độ cao h so với đáy xilanh. Tuy nhiên, trước khi Hình 3 đạt đến vị trí cân bằng này, pittông đã thực hiện những dao động nhỏ. Giả sử trong giai đoạn pittông dao động nhỏ, quá trình biến đổi của khí là thuận nghịch, hãy tính chu kỳ dao động nhỏ đó. HD: Do pitong và xi lanh cách nhiệt nên khí biến đổi đoạn nhiệt KT: phương trình DLH viết cho pitong và phương trình đoạn nhiệt cho khí Bài 1. Khi cân bằng pittông nằm cách đáy h thì khí trong xy lanh có áp suất p1: p1 = p0 + Mg S . Khi pittông ở vị trí có li độ là x thì khí có áp suất p. Vì quá trình là đoạn nhiệt nên: p(Sh  Sx )  p1 (Sh )  (1), ở đây  là tỷ số giữa các nhiệt dung đẳng áp và đẳng tích. p= thì:   1  1 x  p1  h     p1  1   x  h     . Nếu bỏ qua lực ma sát giữa pittông và thành bình x  x   p 0 S  p 1 1   Mx" S  Mg Mx"   p 1 S h  h   x"  p1  S x Mh Dao động là điều hoà với tần số góc:  (Mg  p 0 S) Mh Bài 13. Một bình hình trụ cách nhiệt được phân làm hai ngăn bởi một pitong nhệ. Pitong này có khả năng truyền nhiệt yếu và có thể trượt không ma sát dọc theo thành bình. Biết rằng một ngăn của bình có có chứa 10gam hêli ở nhiệt độ 500K, còn ngăn kia có chứa 3gam khí Hidro ở nhiệt độ 400K. Hỏi nhiệt độ trung bình khi hệ cân bằng là bao nhiêu và áp suất thay đổi bao nhiêu lần ? Xác định nhiệt dung của mỗi khí lúc đầu của quá trình cân bằng nhiệt độ . Bỏ qua nhiệt dung của pitong và bình. HD: Kí hiệu V1, T1, p1, V’1, T’1, p’1, V2, T2, p2, V’2, T’2, p’2 là các thông số của hai khí ở trạng thái đầu và trạng thái cuối, V0 là thể tích của bình. Áp suất của hai khí luôn bằng nhau. Khi hệ cân bằng nhiệt ta có: T’1= T’2= T. Từ các phương trình trạng thái và điều kiện cân bằng của pitong: p1V1= n1RT1 và p2V2= n2RT2 với p1= p2 và V2= V0- V1 tìm được V1= V0; V1’= V0 Do xi lanh cách nhiệt nên ta có: U1+ U2= 0 hay n1CV1(T – T1) = n2CV2(T – T2) Suy ra T = = 450Kcung từ pttt ta tìm được p1/p1’ = 36/37; CV1= CV2 Do xi lanh cách nhiệt nên dU1= -dU2 hay dT1= -dT2 Xét một trạng thái rất gần trạng thái đầu ta có: p1 = p2 hay : => (1) (do n1T1V2= n2T2V1) Theo nguyên lý I của NDLH ta có:C1 = CV1 + p. suy ra C1= R Bài 14. Xi lanh có tiết diện S = 100cm2 cùng với pittông p và vách ngăn V làm bằng chất cách nhiệt. Nắp K của vách mở khi áp suất bên phải lớn hơn áp suất bên trái. Ban đầu phần bên trái của xi lanh có chiều dài l = 1,12m chứa m1 = 12g khí Hêli, phần bên phải cũng có chiều dài l = 1,12m chứa m2 = 2g khí K P0 Hêli và nhiệt độ cả hai bên đều bằng T0 = 273K. Ấn từ từ pittông sang trái, ngừng một chút khi nắp mở và đẩy V H.4 pittông tới sát vách V. Tìm công đã thực hiện biết áp 5 2 suất không khí bên ngoài P0 = 10 N/m nhiệt dung riêng đẳng tích và đẳng áp của Hêli bằng: Cv =3,15.103J/(kg. độ); Cp = 5,25.103( J/kg.độ). HD: Công do lực tác dụng lên pitong và áp suất p o thực hiện làm tăng nội năng của chất khí bị nén đoạn nhiệt: A= U = cv(m1+ m2)(T- T0) với T là nhiệt độ sau cùng của khí nén. Tìm T để tìm được A. Lúc đầu áp suất bên trái lớn hơn áp suất bên phải lên K chưa mở. Khí bên phải bị nén đoạn nhiệt thể tích giảm đến V1 nhiệt độ khí lúc này là T1 áp suấ là p2 thì nắp mở lúc này hai lượng khí trộn vào nhau và có nhiệt T 2. Khi đó nội năng một bên giảm còn một bên tăng độ thay đổi này là như nhau: c Vm1(T2-T0)= cVm2(T1-T2) từ đó ta tìm được T2. Sau đó khối khí m1+ m2 bị nén đoạn nhiệt từ thể tích V = V0+ V1 xuốngV0 v à nhiệt độ tăng từ T2 đến nhiệt độ cuối T từ đó tìm được T . Mặt khác ta có A = A 1+ A2 với A2 = po.S.l là công do áp suất ngoài thực hiện từ đó tìm được A1 là công do lưc ngoại đã thưc hiện m R.T Lúc đầu áp suất khí bên trái P1 = μ1 . lS 0 lớn hơn áp suất bên phải vách P2 = m 2 R.T0 . μ lS . Khối khí bên phải bị nén đoạn nhiệt từ thể tích V0 = lS xuống V1, áp suất của nó tăng lên đến P1 : 1 P2V0 = P1 V1  V1 =  P2     V0  P1  1 =  m2  V0  m1    (1) 1     m2 P1V1   T0 m Khi đó nhiệt độ ở bên phải: T1 = P2 V0 = T0  1  (2) Sau khi nắp K mở hai khí hoà trộn vào nhau và có cùng nhiệt độ T2: Cvm1(T2- T0) = Cvm2(T1 - T0) m1T0  m 2 T1  T2 = m  m = 1 2 T0  m1 1   m 2 m m1  m 2   1  1  γ      (3) Sau đó lượng khí m = m1 + m2 bị nén đoạn nhiệt từ thể tích V = V0 + V1 đến V0 , nhiệt độ tăng từ T2 đến T, ta có : T. V0g -1 = T2(V0 + V1)g -1 (4) Thay (1) và (3) vào (4) ta được:  V0  V1     V0  γ 1  m m1.T0   1   2 m1  m 2   m1  1  γ      γ T = T2 (5) Công do lực tác dụng lên pittông và áp suất khí quyển P0 thực hiện làm tăng nội năng của chất khí bị nén đoạn nhiệt. A= A1 + A2 = U = Cv(m1 + m2) (T- T0) (6), với A1 = P0S.l. Thay (5) vào (6), rồi thay số vào ta được A2 = 3674 (J). Tài liệu tham khảo. 1. Tạp chí vật lý tuổi trẻ. 2. Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi phần nhiệt học. 3. Đề thi học sinh giỏi quốc gia. 4. tuyển tập đề thi olympic vật lý 30-4 5. Một số tư liệu của đồng nghiệp.