Tài liệu Chuyên đề 4 tích phân

Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – TÍCH PHAÂN  Chuyeân ñeà 4:  Vaán ñeà 1: BIEÁN ÑOÅI VEÀ TOÅNG – HIEÄU CAÙC TÍCH PHAÂN CÔ BAÛN A. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI Söû duïng ba tích chaát sau ñeå bieán ñoåi tích phaân caàn tính thaønh toång – hieäu caùc tích phaân cô baûn 1/ b b a a  k.f(x)dx  k  f(x)dx b c b a a c 2/ b b b a a a   f(x)  g(x)dx   f(x)dx   g(x)dx 3/  f(x)dx   f(x)dx   f(x)dx BAÛNG NGUYEÂN HAØM CÔ BAÛN Nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sô caáp Nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá hôïp (u = u(x)) 1.  dx  x  c; 2.  x dx  3.   kdx  kx  c x1  c, (  1)  1 dx  ln x  c x 4.  ex dx  ex  c 5.  ax dx  ax  c (0  a  1) ln a 1.  u u'dx  2. u1  c ; (  1)  1 u'  u dx  ln u  c 3.  eu u'dx  eu  c 4.  au u'dx  au  c (0  a  1) ln a 5.  u'cos udx  sin u  c 6.  cosxdx  sin x  c 6.  u'sin udx   cos u  c 7.  sin xdx   cosx  c 7.  cos2 udx  tan u  c 8.  sin2 u dx   cot u  c 8. 9. dx  cos2 x  tan x  c dx  sin2 x   cot x  c 10.  tan xdx   ln cosx  c 11.  cot xdx  ln sin x  c 124 u' u' 9.  u'tan udx   ln cos u  c 10.  u'cot udx  ln sin u  c TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Ñaëc bieät: u(x) = ax + b;  f(x)dx  F(x)  c  1.  (ax  b) dx  2. dx 1 (ax  b)1 c a  1 7. 1  ax  b  a ln ax  b  c dx 1  cos2 (ax  b)  a tan(ax  b)  c 8. 1 3.  eax  b dx  eax  b a 1 4.  axdx  ln x    c  1 5.  cos(ax  b)dx  sin(ax  b)  c a 1 6.  sin(ax  b)dx   cos(ax  b)  c a 1  f(ax  b)dx  a F(ax  b)  c dx 1   cot(ax  b)  c a sin (ax  b) 2 1 ln cos(ax  b)  c a 1 10. cot(ax  b)dx  ln sin(ax  b)  c a dx 1 xa 11.  2  ln c 2 2a x a x a 9. tan(ax  b)dx  B – ÑEÀ THI Baøi 1: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2011 Tính tích phaân I   2 1 2x  1 dx x(x  1) Giaûi I= 2 (x  1)  x  x(x  1) dx = 1 2  1 1 2 6   x  1  x dx =  ln x(x  1)1  ln 2  ln3 . 1 Baøi 2: CAO ÑAÚNG KHOÁI A, B, D NAÊM 2010 1 2x  1 dx x 1 0 Tính tích phaân: I   Giaûi 1 1 1 2x  1 3   dx =   2   dx =  2x  3ln x  1  0 = 2 – 3ln2. x 1 x 1 0 0 I Baøi 3: CAO ÑAÚNG GTVT III KHOÁI A NAÊM 2007 2 Tính caùc tích phaân sau: I   1 x4  x3  3x2  2x  2 x2  x dx Giaûi Chia töû cho maãu, ta ñöôïc: 125 Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – x4  x3  3x2  2x  2  x2  3  2 x x 2 1 2  I    x2  3    dx  x 1 x  1 x2 2 x x = x2  3  1 2  x 1 x 2  x3    3x  ln x  1  2 ln x   3 1 16 3  ln 3 8 I= Baøi 4: CAO ÑAÚNG KINH TEÁ – COÂNG NGHIEÄP TPHCM NAÊM 2007 Tính tích phaân: I(x)   x 1 dt , vôùi x > 1. Töø ñoù tìm lim I(x) x t(t  1) Giaûi I(x) = x x x dt 1  t 1  t  t  1    t  t  1  dt =  ln t  ln  t  1  1  ln t  1 1 1 1 = ln  x x 1  ln x 1 2 x 1  lim I  x   lim ln  ln   ln 2 x x  x  1 2 Baøi 5: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 - ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2005  4   tan x  e Tính tích phaân: sin x  cos x dx 0 Giaûi  4    4  4 0 0  4 0  ln 2  e I   tan x  esin x .cos x dx   tan xdx    sin x  'esin x dx 0  =   ln cosx  4 + 0  e sin x  2 2 1. Baøi 6: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2 Tính tích phaân: I  3  1 dx x  x3 Giaûi I 1 126 3 dx x  x3  1 3 1 x 2 x 2 x(1  x2 ) dx   1 3 1 3  1 1 2x  x  x  2 dx  1  x  2 2 dx  x  1  x  1 TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 1 3   3    ln x  ln(x2  1)  ln x  ln x2  1      2 1  1 x  ln 3 1 x 1 2 3 1 6  ln  ln 2 2 2  ln Baøi 7: Tính tích phaân : I = 2 x 2  x dx . 0 Giaûi 2 1 0 0  2    Tính I   x2  x dx   x2  x dx   x2  x dx Do : x 0 1 1 2 x x 2 0  + 21  3 22  3 I    x  x    x  x   1. 2 0  3 2 1  3 Baøi 8: ÑEÀ DÖÏ BÒ 3 a Cho haøm soá: f(x) = 3  x  1  bxex . Tìm a vaø b bieát raèng f’(0) =  22 vaø 1  f(x)dx  5 0 Giaûi Ta coù: f(x)   f (x)   1  a (x  1)3 3a 4 (x  1) 1  bx.ex  bex (x  1)  f (0)  3a  b  22 (1) 1 1  a 3a x x   f(x)dx   a(x  1) dx  b xe   2(x  1)2  b(xe  e )  8  b  5 (2)  0 0 0 0 3 x 3a  b  22 a  8  (1) vaø (2) ta coù heä:  3a .  b5 b  2  8 127 Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –  Vaán ñeà 2: TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP ÑOÅI BIEÁN SOÁ A. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI ÑOÅI BIEÁN SOÁ LOAÏI I 1. Söû duïng coâng thöùc: b  a   f[u(x)].u(x)dx   f(u)du b 2. Phöông phaùp: Xeùt tích phaân I   f(x)du a - Ñaët t = u(x)  dt = u'(x)dx Ñoåi caän u(a) = t1 ; u(b) = t2 Suy ra: I  t2 t2  g(t)dt  g(t) t 1 t1 (g(t)  f[u(x)].u(x)) Thöôøng ñaët aån phuï t laø  caên thöùc, hoaëc muõ cuûa e, hoaëc maãu soá, hoaëc bieåu thöùc trong ngoaëc. dx  coù sinxdx  ñaët t = cosx, coù cosxdx  ñaët t = sinx, coù ñaët t = lnx. x ÑOÅI BIEÁN SOÁ LOAÏI II  b  a /  f((t)) (t)dt   f(x)dx ; x  (t); ()  a, ()  b  Coâng thöùc: b  Tính: I   f(x)dx a Ñaët x  (t)  dx  (t)dt Ñoåi caän: x  (t); ()  a, ()  b b  Khi ñoù: I   f((t)).(t)dt   f(x)dx a  Caùc daïng thöôøng gaëp: 1. b  a2  x2 dx ñaë t x  asin t a 2. b  a dx a2  x2 ñaë t x  asin t 3. b dx  a2  x2 a B. ÑEÀ THI Baøi 1: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2011 128 ñaë t x  a tan t TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN  4 Tính tích phaân : I   xsin x   x  1 cos x xsin x  cos x 0 dx. Giaûi  4  4 xsin x  cos x  x cos x x cos x   dx    1   dx xsin x  cos x x sin x  cos x   0 0 Ta coù: I     x 04  4  4 x cos x  x cos x dx    dx xsin x  cos x 4 xsin x  cos x 0 0  Ñaët t = xsinx + cosx  dt = xcosxdx. Khi x = 0 thì t = 1, x =  Suy ra: I   4  2  thì t =   1 2 4  4 2    1 2 4   1 dt    ln t t 4 2    1 2 4  1   2   ln   1 . 4 2 4  Baøi 2: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2011 4 Tính tích phaân: I   0 4x  1 2x  1  2 dx. Giaûi Ñaët: t  2x  1  2  2x  1  t  2  2x  1  t 2  4t  4 t 2  4t  3  dx = (t – 2)dt. 2 x = 0  t = 3, x = 4  t = 5. x  54 Suy ra: I   3 = t 2  4t  3 1 2  t  2  dt = t 5 5  3  2t2  8t  5 t  2  dt t 5 2t 3  12t 2  21t  10 10   dt =   2t 2  12t  21   dt  t t  3 3  2t 3 =  6t 2  21t  10 ln t  3  5  34 3  10 ln .  = 3 5 3 Baøi 3: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2010 129 Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – Tính tích phaân: I = e ln x  x(2  ln x)2 dx 1 Giaûi 1 Ñaët u  ln x  du  dx , x = 1  u = 0, x = e  u = 1 x 1 1  1 2 2     du   du  ln 2  u      2  u  2  u 2  2 2 u0  0  2  u 0  1 I u 2  3 1   ln3     ln 2  1  ln    . 3   2 3 Baøi 4: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2009 3 dx 1e x Tính tích phaân: I   1 . Giaûi dt Ñaët t = ex  dx = ; x = 1  t = e; x = 3  t = e3 t I e3  e e3 dt 1 e3  1     dt  ln t  1  ln t e t  t  1 e  t  1 t  e3 e  Baøi 3: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2008  6 tan 4 x dx cos2x 0 Tính tích phaân: I   Giaûi Caùch 1:  Ñaët t = tanx  dt = (1 + tan2x)dx  cos2x  1  t2 1  t2  Ñoåi caän: x = 0  t = 0; x   Khi ñoù: I  3 3 3 3   1  t 2 dt    t 0 130 t 4  3 t 6 3 0 2 1 1   dt 1  t2    ln e2  e  1  2 dt 1  t2  dx TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN  t3 1 1 t     t  ln 2 1 t  3  3 1 3  1 10   3  ln 2 3 1 9 3  0 Caùch 2:  6  6 4  6 tan x tan x tan 4 x dx   dx   cos2 x(1  tan2 x) dx 2 2 cos2x 0 0 cos x  sin x 0 Ta coù: I   Ñaët: t = tanx  dt  4 dx cos2 x Ñoåi caän: x = 0  t = 0; x  Khi ñoù: I  3 3 t4  3 t 6 3 1  1  t 2 dt  2 ln 0 3 1 3 1  10 9 3 Baøi 4: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2008   sin  x   dx 4  Tính tích phaân: I   sin 2x  2(1  sin x  cos x) 0  4 Giaûi    sin  x   dx 4  Tính tích phaân: I   sin 2x  2(1  sin x  cos x) 0  4   Ñaët t = sinx + cosx  dt  (cosx  sin x)dx   2 sin  x   dx 4   Ñoåi caän: x = 0  t = 1; x   t  2 4 2 2 2 Ta coù: t = sin x + cos x + 2sinxcosx = 1 + sin2x  sin2x = t2 – 1 Khi ñoù: I    2 2 2  1 dt 2 t  1  2(1  t)  2 2 2 dt  (t  1)2 1 2 1 2 1 1 43 2 2 .    . 2 t 1 1 2  2  1 2  4 Baøi 5: ÑAÏI HOÏC SAØI GOØN KHOÁI B NAÊM 2007 1 Tính tích phaân: I   0 1 2 x  x 1 dx 131 Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – Giaûi 1 1  I = dx 2 1 3 0 x    2 4  Ñaët x  1 3 3     tan t, t    ;   dx  1  tan2 t dt 2 2 2  2 2  3  I=  6     3 1  tan 2 t  2 dt  3 3 3 1  tan2 t 4   Baøi 6: CAO ÑAÚNG XAÂY DÖÏNG SOÁ 2 NAÊM 2007 Tính tích phaân: I = e dx 1 x 3 1  ln x Giaûi Ñaët: t  3 1  ln x  lnx = t3 – 1, dx  3t 2 dt x Ñoåi caän: x = 1  t = 1; x = e  t  3 2  I 32 1 3tdt  3t 2 3 2 33 4  3  2 1 2 Baøi 7: CAO ÑAÚNG COÂNG NGHIEÄP THÖÏC PHAÅM NAÊM 2007 Tính tích phaân: 1 x 1 0 x2  1 dx Giaûi 1 1 1 xdx 1 dx 1 I 2   I1  I2 ; I1  ln(x2  1)  ln 2 . 0 x  1 0 x2  1 0 2 2 dt   Ñaët x = tant, t   0,  , dx   4 cos2 t  I2   4 dt  0  1  . Vaäy I  ln 2  2 4 4 Baøi 8: CAO ÑAÚNG TAØI CHÍNH – HAÛI QUAN NAÊM 2007  2 sin x dx cos2x  cos x  Tính tích phaân: I   3 132 TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Giaûi Ñaët t = cosx  dt = sinxdx   x 3 2 1 0 t 2 I= 0 dt  2t 2  t  1 1 2 1 2 1 2 1 2   3 dt     3  dt 2 2t  t  1 0 0  t  1 2t  1  1  1 1 1  I =  ln t  1  ln 2t  1  02   ln 4 3 3 Baøi 9: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 - ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2006 Tính tích phaân: I = 6 dx  2x  1  2 4x  1 Giaûi Ñaët t  4x  1  x  2 t 1 1  dx  tdt 4 2 t 5 5 dt  1 t 1   dt    I 2 2   dt  2 t  1 (t  1)2  3 2. t  1  1  t 3 (t  1) 3 4 1 5 3 1    ln t  1   3  ln 2  12 t  1   5 Baøi 10: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 - ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2006 Tính tích phaân: I = 10 dx  x2 5 x 1 Giaûi  Ñaët t = x  1  t  x  1  dx  2tdt vaø x = t2 + 1 x 5 10  Ñoåi caän t 2 3 2 Khi ñoù: I = 3 1 1   2  t 2  2t  1   t  1   t  12  dt 2 2  3 2tdt 3 2   =  2 ln t  1    2 ln 2  1 t  1 2  133 Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – Baøi 11: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2006  2 sin2x Tính tích phaân: I   2 cos x  4sin2 x 0 dx Giaûi  2 Ta coù: I   0  2 sin2x sin2x dx =  cos2 x  4sin2 x 1  3sin2 x 0 dx Ñaët t = 1 + 3sin2x  dt = 3sin2xdx. Vôùi x = 0 thì t = 1, vôùi x = 4 4 1 dt 2 2  thì t = 4  I    t  31 t 3 1 3 2 Baøi 12: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2006 Tính tích phaân: I  ln 5 dx  ln 3 e x  2e x  3 Giaûi I ln 5  ln 3 e ln 5 dx x  2e x 3   x e dx 2x ln 3 e  3ex  2 Ñaët t = ex  dt = ex dx . Vôùi x = ln3  t = 3 ; vôùi x = ln5  t = 5. 5 5 dt 1  t2  1     dt = ln (t  1)(t  2) 3  t  2 t  1  t 1 3  I Baøi 13: ÑAÏI HOÏC KHOÁI A NAÊM 2005 Tính tích phaân: I =  2  sin 2x  sin x 0 1  3cos x dx Giaûi  2 I 0 (2 cos x  1)sin x 1  3cos x dx .  t2  1 cos x   3 Ñaët t = 1  3cos x   3sin x dt   dx  2 1  3cos x  x = 0  t = 2, x =  t = 1. 2 134 5 3  ln 3 2 TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 1 2 t2  1   2  2 I = 2  1    dt   2t 2  1 dt   3  3 91  2   2  2  2t 3 2  16   2   34 =   t     2     1    .  9  3 9 3   3   27  1 Baøi 14: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2005  2 sin 2x cos x dx . 1  cos x 0 Tính tích phaân: I   Giaûi  2 sin 2x cos x dx . Ñaët t = 1 + cosx  dt = sinxdx. 1  cos x 0 Ta coù I  2    t = 1. 2 x = 0  t = 2, x = 1 2 (t  1)2 1  (dt)  2  t  2   dt t t 2 1 I  2 2   1   = 2 (2  4  ln 2)    2    2 ln 2  1 . 2   1  t2 = 2   2t  ln t 2  Baøi 15: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1  3 Tính tích phaân: I   sin2 x.tan xdx 0 Giaûi  3 sin2 x tan xdx 0 I  sin x 3 sin2 x dx 0 cosx  Ñaët t = cosx  dt = sinxdx  dt = sinxdx, sin2x = 1 – t2 Ñoåi caän  x 0 3 1 t 1 2 1 I   2 1 1  11 (1  t 2 ) t2  3  dt  1   t  dt   ln t    ln 2  t t  2  1 8  2 2 135 Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – Baøi 16: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2 7 x2 Tính tích phaân: I   3 dx 0 x 1 Giaûi 7 x2 I3 dx 0 x 1 Ñaët t  3 x  1  t3  x  1  3t 2dt  dx  x  2  t 3  1 x 0 7 Ñoåi caän: t 1 2 2 3 2 2  t5 t2  t 1 2 231 I 3t dt  3 t 4  t dt  3       t  5 2  1 10 1 1   Baøi 17: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 Tính tích phaân: I  e3 x 1 ln2 x lnx  1 dx . Giaûi I 2 e3 1 ln x x ln x  1 dx  dx   2tdt Ñaët t  ln x  1  t = lnx + 1   x . ln x  1  t 2  2 Ñoåi caän I x 1 e3 t 1 2 2 (t 2 1  t5 2  2 76 2  1)2 2tdt  2 (t 4  2t 2  1)dt = 2   t 3  t   5 3  1 15 1 t   Baøi 18: 2 Tính tích phaân: I   1 x 1 x 1 dx. Giaûi Ñaët t = 136 x  1  t = 0 x  1  t2 = x  1  2tdt = dx. Ñoåi caän  x = 2  t = 1 TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 1 Vaäy I    t2  1 2t dt  21 t3  t dt  21  t2  t  2   1 t 0 0   t 1 0 2   dt t 1 1  t3 t 2  11 I  2    2t  2ln | t  1|   4ln2 . 3 2   0 3 Baøi 19: e Tính tích phaân: I   1 1  3lnx.ln x dx . x Giaûi Ñaët t  1  3lnx  t 2  1  3lnx  2tdt = 3dx x x  e  t = 2 Ñoåi caän  x  1  t = 1 2  2 2 t  1  2tdt 2 4 2 2  t 5 t 3  2 116 I  t   t  t dt        3  3 91 9  5 3  1 135  1    Baøi 20: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2 2 Tính tích phaân: I   0 x4  x  1 x2  4 dx. Giaûi I= 2  0 2 x4  x  1 x 17   dx    x2  4  2  2  dx 2 x 4 x  4 x  4 0  x3 1 =   4x  ln x2  4 2  3  Tính: I1 = 2  2 2  dx .   17 2  0 0x 4 dx 2  x2  4 . Ñaët x = 2tant  dx = 2(tan x + 1)dt 0 x 0 Ñoåi caän: t 0  4 2  4 2 tan t  1  1 4  dt   dt    I1 = 2  2  2 2 8 4 tan t  1 0 0 0 4   x3 1 Vaäy I =   4x  ln x2  4 2  3    2   17 16    ln 2   17. = 8 3 8  0 137 Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – Baøi 21: 2 3  Tính tích phaân: I  5 dx x x2  4 . Giaûi Tính tích phaân I  2 3 dx  2 x x 4 5 . Ta coù I  2 3  5 dx 2 x x 4 2 3   5 xdx x 2 x2  4 xdx Ñaët t  x2  4  t 2  4  x2  dt = x2  4 x  2 3  t = 4 Ñoåi caän   x  5  t = 3 4 dt Vaäy I   3t 2 4  1 t 2 4 1 1 1 1 5 ln   ln  ln   ln . 4 t 2 3 4 3 5 4 3 Baøi 22: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 Tính tích phaân: I  ln3  e2x dx ex  1 ln2 . Giaûi I ln 5  ln 2 e 2x dx . Ñaët t = e 1 x x ln 2 Ñoåi caän: t 1 ex  1  t2 = ex – 1  2tdt = exdx vaø ex = t2 + 1   2 2 t 2  1 .2tdt ln 5  t3  20  I  2   t  2 t 3  3  1 1 Baøi 23:  4 1  2sin2 x dx . 1  sin 2x 0 Tính tích phaân: I   Giaûi  4  4  cos2x 1 d 1  sin 2x  1 1 dx    ln 1  sin 2x  4  ln2 . 1  sin 2x 2 1  sin 2x 2 2 0 0 0 Ta coù I   Baøi 24: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2 Tính tích phaân: I  138 ln3 ex dx 0  e  1  x 3 . TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Giaûi I ln 3 ex 0  ex  1  3 4 Khi ñoù I   dt 3 2 2 t dx . Ñaët t  ex  1  dt  ex dx ; Ñoåi caän:  x 0 ln3 t 2 4 4 2 t  2 1 2 Baøi 25: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1  2 6 Tính tích phaân: I   1  cos3 x sin x cos5 xdx 0 Giaûi  2  2 6 6 I   1  cos3 x sin x cos5 xdx   1  cos3 x.cos3 x.sin x.cos2 xdx 0 0 6 Ñaët t  1  cos3 x  t 6  1  cos3 x  6t 5dt  3sin x cos2 xdx  2t5dt = sinxcos2xdx vaø cos3x = 1 – t6 Ñoåi caän; x 0 t 0  2 1 1   I   t. 1  t 0 6 1  2t dt   2t 5 0 6 12  2t  1 2 2t13  12 dt   t 7    13  91  7 0 Baøi 26: CAO ÑAÚNG KINH TEÁ TP. HCM  2 Tính tích phaân: I   x sin 2xdx 0 Giaûi  du  dx u  x   cos2x dv  sin2xdx  v     2  2  2    1 s in2x  2  x cos2x   cos2xdx     Vaäy: I =  20 4 2  2  0 4 2 0 139 Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc –  Vaán ñeà 3: TÍNH TÍCH PHAÂN BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP TÍCH PHAÂN TÖØNG PHAÀN A. PHÖÔNG PHAÙP GIAÛI b  u(x).v(x)dx  u(x).v(x) Coâng thöùc: b a a b b a  udv  uv Vieát goïn: a b   v(x).u(x)dx a b   vdu a B. ÑEÀ THI Baøi 1: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2011  3 Tính tích phaân: I   1  x sin x cos2 x 0 dx. Giaûi  3 Ta coù: I   0 1  xsin x 2 cos x  3 0 Tính J = x sin x 1 dx   2 0 cos x  3   tan x     3  3 0  cos2 x dx xsin x 2 cos x  3 dx   xsin x 2 0 cos x  3 dx  3   0 xsin x cos2 x dx dx . baèng phöông phaùp tích phaân töøng phaàn. 0 Ñaët: u = x  du = dx sin x 1 dv = dx, choïn v = 2 cos x cos x  3  3  3 1 2 1  x Suy ra: J =     cos x dx = 3   cos x dx cos x  0 0 0 Tính K =  3 1  3 cos x  cos x dx   1  sin2 x dx 0 0 Ñaët t = sinx  dt = cosxdx. 140 baèng phöông phaùp ñoåi bieán soá. TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN Suy ra: K  3 2  0 1 1 t  ln 2 2 1 t 1 t  Vaäy I = 3 2 dt 0  1 2 3  ln   2  2  3  2  1  2 3   ln   ln 2  3 . 2  4  3    2 3  ln 2  3 . 3     Baøi 2: ÑAÏI HOÏC KHOÁI B NAÊM 2009 3 Tính tích phaân: I   1 u  3  ln x  dv  I 3 3  ln x  x  12 dx  x  12 dx Giaûi 1 1 ; du  dx  v   x x 1 3 3  ln x dx  x  1 1 1 x  x  1 3  3 3  ln3 1 27  3  ln3 3 1 dx 3 3   ln x  ln x  1   3  ln     dx   1 1 4 2 1x x 1 4 4 16  1 Baøi 3: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2008 2 Tính tích phaân: I   1 ln x x3 dx . Giaûi 2 Tính tích phaân: I   1 I  u  ln x dx 1  dx . Ñaët:  , choïn v   2 dx  du  3 x 2x x dv  3  x ln x 2 2 1 1 1 2 1 3 3  2 ln 2 ln x   3 dx =  ln 2  2   ln 2  .  2 1 1 2x 8 8 16 16 2x 4x 1 1 Baøi 4: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2007 e Tính tích phaân: I   x3 ln2 xdx 1 Giaûi 141 Höôùng daãn giaûi CDBT töø caùc ÑTQG Toaùn hoïc – Tính tích phaân x4 2 ln x . dx; dv = x3dx  v  x 4 Ñaët u = ln2x  du  Ta coù: I  e x4 dx , dv = x3dx, choïn v  . Ta coù x 4 Ñaët u = lnx  du  e e x4 2 e 1 3 e4 1 3 .ln x   x ln xdx   x ln xdx 1 4 21 4 2 1 e e x4 1 3 e4 1 4 x ln xdx  ln x  x dx   x  4 4 1 4 16 1 3 1 Vaäy I  e  1 3e4  1 . 16 5e4  1 32 Baøi 5: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2006 1 Tính tích phaân: I   (x  2)e2x dx . 0 Giaûi Tính tích phaân. 1  1 u  x  2 I   (x  2)e2x dx . Ñaët   du  dx, choï n v = e2x 2x 2  dv  e dx 0 1 I  (x  2)e2x 2 1 1  0 1 2x e2 1 e dx =   1  e2x  20 2 4 1 0 Baøi 6: ÑEÀ DÖÏ BÒ 1 - ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2006  2 Tính tích phaân: I =  (x  1)sin 2x dx 0 Giaûi u  x  1 1 Ñaët   du  dx, choï n v   cos2x 2 dv  sin 2xdx I  x 1  cos2x 02 2   2 1  cos2xdx   1 2 0 4 Baøi 7: ÑEÀ DÖÏ BÒ 2 - ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2006 142  5  3e2 4 TT Luyện Thi Đại Học VĨNH VIỄN 2 Tính tích phaân: I =  (x  2)ln xdx 1 Giaûi  1 x2  u  ln x Ñaët   du  dx, choï n v   2x x 2  dv   x  2  dx 2 2  x2  5 x  I=   2x  ln x     2  dx  2 ln 2   2  4 2    1 1 Baøi 8: ÑAÏI HOÏC KHOÁI D NAÊM 2005  2 Tính tích phaân: I    2x  1 cos2 xdx . 0 Giaûi  2  2 I   (2x  1)cos2 x.dx   (2x  1) 0  0  2  2 1 1 (2x  1)dx   (2x  1)cos2x.dx  20 20  2  1  cos2x dx 2  Tính I1   (2x  1)dx   x2  x  02  0 2   4 2  2  Tính I2   (2x  1)cos2x.dx . 0 u  2x  1 1 Ñaët   du  2dx choï n v  sin2x 2 dv  cos2xdx  2  2  1 1 2 I2  (2x  1)sin 2x   sin 2xdx  cos2x  1 2 2 0 0 0 1 1 2  1 I  I1  I2    . 2 2 8 4 2 143