Tài liệu Chuỗi Fourier và các loại hội tụ của nó

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỖ THANH KHUYÊN CHUỖI FOURIER VÀ CÁC LOẠI HỘI TỤ CỦA NÓ Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN MINH TUẤN HÀ NỘI- 2014 Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chuỗi Fourier 1.1 1.2 5 Mở đầu về giải tích Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 Nhắc lại về phương trình đạo hàm riêng . . . . . . . . 5 1.1.2 Phương trình truyền sóng . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3 Phương trình truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.1.4 Phương trình Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.2.1 Chuỗi Fourier và khai trển hàm thành chuỗi Fourier . 22 1.2.2 Tính duy nhất của chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . 25 2 Hội tụ của chuỗi Fourier 2.1 3 30 Hội tụ điểm của chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.1.1 Tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.1.2 Phương pháp trung bình cộng trong chuỗi Fourier . . 32 Hội tụ của chuỗi Fourier theo nghĩa bình phương khả tích . . 43 2.2.1 Tích trong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.2 Chứng minh sự hội tụ bình phương khả tích . . . . . . 46 2.3 Hội tụ đều của chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.4 Trở lại sự hội tụ điểm của chuỗi Fourier . . . . . . . . . . . . 57 2.2 1 2.5 Hiện tượng Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.5.1 Ví dụ về hiện tượng Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.5.2 Hiện tượng Gibbs của các hàm tổng quát . . . . . . . 70 2.5.3 Khắc phục hiện tượng Gibbs . . . . . . . . . . . . . . 77 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2 LỜI NÓI ĐẦU Giải tích Fourier là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của Toán học nói chung và của Giải tích nói riêng. Lý thuyết này được hình thành từ những yêu cầu của thực tế và có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau. Luận văn này đề cập tới lý thuyết chuỗi Fourier và sự hội tụ của nó. Việc nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi Fourier có ý nghĩa rất lớn đối với ứng dụng chuỗi Fourier vào giải quyết những bài toán khác nhau. Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương một sẽ nhắc lại một số khái niệm về phương trình vi phân đạo hàm riêng. Giới thiệu các bài toán tiêu biểu cho các phương trình đạo hàm riêng thường gặp như phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt và phương trình Laplace. Qua đó dẫn ta tới những vấn đề đầu tiên về giải tích Fourier. Tiếp theo, ta sẽ nghiên cứu về khái niệm chuỗi Fourier và các tính chất cơ bản của nó. Chương hai sẽ trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản của tích chập, nhân tốt, nhân Dirichlet, nhân Poisson, nhân Fejer. Từ đó xét sự hội tụ điểm của chuỗi Fourier. Tiếp sau đó là nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi Fourier theo nghĩa bình phương khả tích thông qua các xác định một không gian vecto với tích trong và chuẩn tương ứng, và về sự hội tụ đều của chuỗi Fourier. Cuối cùng ta sẽ nêu ra hiện tượng Gibbs của các hàm có điểm gián đoạn và cách khắc phục. Luận văn này được thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn 3 Minh Tuấn. Toàn thể ban lãnh đạo và các thầy cô trong khoa Toán - Cơ Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà nội đã giúp tôi có thêm nhiều kiến thức để có thể hoàn thành luận văn và khóa học một cách tốt đẹp. Các thầy cô phòng Sau Đại học đã tạo những điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành các thủ tục bảo vệ luận văn cũng như học tập. Các thầy và các bạn trong seminar Toán Giải Tích về những góp ý để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả những sự giúp đỡ và đóng góp quý giá ấy. Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn. Hà Nội, tháng 10 năm 2014 Đỗ Thanh Khuyên 4 Chương 1 Chuỗi Fourier Trong chương này, luận văn sẽ nhắc lại một số bài toán phương trình đạo hàm riêng tiêu biểu và phương pháp tìm nghiệm của chúng. Trong quá trình này sẽ xuất hiện một vài điều thú vị, khơi nguồn cho sự phát triển của giải tích Fourier. Qua đó ta đưa ra khái niệm về chuỗi Fourier và tính duy nhất của nó. 1.1 1.1.1 Mở đầu về giải tích Fourier Nhắc lại về phương trình đạo hàm riêng Phương trình vi phân đạo hàm riêng (hay phương trình đạo hàm riêng) được bắt nguồn từ những bài toán thực tế như chuyển động sóng của âm thanh, bức xạ điện từ, sự lan truyền nhiệt,... Định nghĩa 1.1.1 (Phương trình vi phân đạo hàm riêng, [1]). Phương trình vi phân đạo hàm riêng là một phương trình liên hệ giữa hàm ẩn u (x1 , x2 , ..., xn ) và các đạo hàm riêng của nó, trong đó x1 , x2 , ..., xn là các biến độc lập. 5 Cụ thể, phương trình đạo hàm riêng có dạng F (x1 , x2 , ..., xn , u, ∂u ∂u ∂ku ) = 0. , ..., , ..., k1 ∂x1 ∂xn ∂ x1 ...∂ kn xn (1.1) Cấp của phương trình đạo hàm riêng là cấp cao nhất của đạo hàm riêng của hàm u có mặt trong phương trình (1.1). Ví dụ 1.1.1. • Phương trình cấp một của hàm hai biến F (x, y, u, ∂u ∂u , ) = 0. ∂x ∂y • Phương trình cấp hai của hàm hai biến F (x, y, u, ∂u ∂u ∂ 2 u ∂ 2 u ∂ 2 u , , , , ) = 0. ∂x ∂y ∂x2 ∂xy ∂y 2 Định nghĩa 1.1.2. Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính là phương trình đạo hàm riêng tuyến tính đối với ẩn hàm và tất cả các đạo hàm riêng của nó. Ví dụ 1.1.2. a(x, y) ∂2u ∂2u ∂2u ∂u ∂u + 2b(x, y) + c(x, y) + d(x, y) + e(x, y) ∂x2 ∂x∂y ∂y 2 ∂x ∂y + f (x, y)u = g(x, y), là phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai trong trường hợp hàm hai biến. Xét phương trình tuyến tính cấp hai với hệ số thực trong trường hợp hai biến a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + F (x, y, u, ux , uy ) = 0. (1.2) Trong luận văn, chúng ta sẽ chỉ đề cập tới các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai dạng (1.2). Đối với phương trình này, ta sẽ nghiên cứu cụ thể về phương trình truyền sóng và phương trình truyền nhiệt trong R2 . Đây là các phương trình đạo hàm riêng mà ta thường gặp trong lý thuyết và thực tế. 6 Định nghĩa 1.1.3 (Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai). Xét phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai (1.2) và điểm (x0 , y0 ) bất kỳ trong tập E nào đó thuộc R2 . • Phương trình (1.2) thuộc loại phương trình elliptic nếu b2 (x0 , y0 ) − a(x0 , y0 )c(x0 , y0 ) < 0. • Phương trình (1.2) thuộc loại phương trình hyperbolic nếu b2 (x0 , y0 ) − a(x0 , y0 )c(x0 , y0 ) > 0. • Phương trình (1.2) thuộc loại phương trình parabolic nếu b2 (x0 , y0 ) − a(x0 , y0 )c(x0 , y0 ) = 0. 1.1.2 Phương trình truyền sóng Để đơn giản trong việc tính toán, trong phần này chúng ta sẽ chỉ đề cập tới phương trình dao động của dây trong trường hợp một chiều. a. Phương trình dao động của sợi dây Nghiên cứu sự chuyển động của một sợi dây căng thẳng theo chiều của trục Ox. Nhờ một tác động nào đó làm cho sợi dây dao động trong mặt phẳng thẳng đứng. Ta coi mỗi điểm của dây dịch chuyển thẳng góc với trục Ox và trong cùng một mặt phẳng (x, u). Gọi u là độ lệch của các phần tử vật chất so với vị trí cân bằng, nếu vậy thì u = u(x, t), tức là, u là hàm phụ thuộc thời gian t và hoành độ của các phần tử vật chất x. Xét sợi dây đồng chất, không có ngoại lực tác động vào dây sau thời điểm 7 ban đầu. Khi đó hàm u(x, t) thỏa mãn phương trình 2 ∂2u 2∂ u = a . ∂t2 ∂x2 (1.3) Phương trình (1.3) được gọi là phương trình truyền sóng. Và nó thuộc vào loại phương trình hyperbolic. Hệ số a được gọi là vận tốc truyền sóng, a = q T ρ, trong đó T là lực căng của sợi dây và ρ là mật độ phân bố vật chất theo chiều dài sợi dây. b. Công thức nghiệm của phương trình truyền sóng Nghiên cứu nghiệm của phương trình dao động của sợi dây ở phần trên ta đã xét. Bài toán Cauchy đối với phương trình 2 ∂2u 2∂ u = a , ∂t2 ∂x2 −∞ < x < +∞ (1.3) thỏa mãn các điều kiện ban đầu: u(x, 0) = f (x), (1.4) ut (x, 0) = g(x). (1.5) Ta sẽ xây dựng công thức nghiệm cho bài toán này. Đầu tiên, ta sử dụng phương pháp đổi biến để tìm nghiệm của bài toán Cauchy trên. Đặt η = x − at, ξ = x + at; thì ∂2u ∂2u ∂2u ∂2u = + 2 + , ∂x2 ∂ξ 2 ∂ξ∂η ∂η 2 2 ∂2u ∂2u ∂2u 2 ∂ u = a ( − 2 + ). ∂t2 ∂ξ 2 ∂ξ∂η ∂η 2 Thế vào (1.3) ta được ∂2u = 0. ∂ξ∂η 8 Lấy tích phân hai lần ta được u(ξ, η) = F (ξ) + G(η), hay nghiệm của phương trình truyền sóng là u(x, t) = F (x + at) + G(x − at). Kết hợp với (1.4) và (1.5) ta có   F (x) + G(x) = u(x, 0) = f (x)  aF 0 (x) − aG0 (x) = ut (x, 0) = g(x). Lấy đạo hàm phương trình thứ nhất, sau đó nhân hai vế với a, ta thu được   aF 0 (x) + aG0 (x) = af 0 (x)  aF 0 (x) − aG0 (x) = g(x). Do đó    F 0 (x) =  G0 (x) = 0 1 2a (af (x) 0 1 2a (af (x) + g(x)), − g(x)). Lấy tích phân hai vế hai phương trình trên với cận từ 0 đến x ta được: Z x 1 F (x) = [af (x) + g(y)dy] + C1 , 2a 0 Z x 1 G(x) = [af (x) − g(y)dy] + C2 , 2a 0 trong đó, C1 , C2 là các hằng số. Theo trên ta có F (x) + G(x) = f (x) nên C1 + C2 = 0. Do đó, nghiệm của bài toán truyền sóng (1.3) với các điều kiện ban đầu (1.4), (1.5) có dạng 1 1 u(x, t) = (f (x + at) + f (x − at)) + 2 2a 9 Z x+at g(y)dy. x−at (1.6) Công thức nghiệm trên được gọi là công thức D’Alembert. Ngoài ra, ta có thể sử dụng phương pháp tách biến để tìm nghiệm của bài toán trên. Ta tìm nghiệm không tầm thường u(x, t) của bài toán rung động của sợi dây (1.3) với các điều kiện biên (1.4) - (1.5) bằng phương pháp tách biến. Và giả sử sợi đây của ta được cố định hai đầu mút x = 0 và x = L, với L là hằng số. Ta tìm nghiệm dưới dạng u(x, t) = X(x)T (t), trong đó X(x) là hàm chỉ phụ thuộc vào x và T (t) là hàm chỉ phụ thuộc t. Thế nghiệm trên vào (1.3) ta được 00 00 X(x)T (t) = a2 X (x)T (t), và do đó 00 00 T (t) a2 X (x) = . T (t) X(x) Ta thấy, vế trái của phương trình trên chỉ phụ thuộc vào t, vế phải chỉ phụ thuộc x. Vì vậy, phương trình trên chỉ có thể xảy ra nếu và chỉ nếu tồn tại hằng số λ sao cho 00 00 X (x) T (t) = = −λ, 2 a T (t) X(x) hay   T 00 (t) + λa2 T (t) = 0 (1.7)  X 00 (x) + λX(x) = 0. Từ điều kiện ban đầu (1.4)-(1.5)   u(x, 0) = X(x)T (0) = f (x)  ut (x, 0) = X(x)T 0 (0) = g(x). Do sợi dây được gắn cố định hai đầu nên ta có u(0, t) = u(L, t) = 0, t > 0, 10 (1.8) hay   X(0)T (t) = 0  X(L)T (t) = 0. Do T (t) 6= 0 nên ta được X(0) = X(L) = 0. (1.9) Xét phương trình 00 X (x) + λX(x) = 0. (1.10) • λ < 0: phương trình có nghiệm tổng quát √ X(x) = C1 e Ta có −λx + C 2 e− √ −λx , C1 , C2 là các hằng số.   X(0) = C1 + C2 √ √  X(L) = C1 e −λL + C2 e− −λL . Mặt khác, kết hợp (1.9) thì có C1 = C2 = 0 hay u(x, t) là nghiệm tầm thường. 00 • λ = 0: phương trình trở thành X (x) = 0. Do đó phương trình có nghiệm tổng quát X(x) = ax + b, a, b là các hằng số. Kết hợp với (1.9) ta được a = b = 0 hay u(x, t) là nghiệm tầm thường. • λ > 0: phương trình có nghiệm tổng quát √ √ X(x) = C cos( λx) + D sin( λx), C, D − hằng số, khi đó X(0) = C = 0 √ X(L) = D sin( λL) = 0. 11 Để phương trình (1.10) có nghiệm không tầm thường thì D 6= 0. Khi đó, √ √ sin λL = 0 hay λL = nπ. Từ đó, phương trình (1.10) có các giá trị riêng λn = Xn (x) = Dn sin nπx , L (nπ)2 L2 và các hàm riêng n = 1, 2, 3, . . . Thay λn vào phương trình thứ nhất của hệ (1.7) ta được 00 T (t) + (nπ)2 2 a T (t) = 0. L2 Phương trình này có nghiệm tổng quát T (t) = En cos nπa nπa t + Fn sin t, L L En , Fn − hằng số. (1.11) Vậy, các nghiệm riêng của bài toán dao động sợi dây của ta là un (x, t) = X(x)T (t) = Dn sin nπx nπa nπa (En cos t + Fn sin t). L L L Ta biết rằng phương trình truyền sóng là tuyến tính, tức nếu u, v là nghiệm của phương trình truyền sóng thì với mọi hằng số α, β ta có αu + βv cũng là nghiệm của phương trình. Do đó ta có thể xây dựng nghiệm của bài toán (1.3) bằng nguyên lý chồng nghiệm - lấy tổ hợp tuyến tính của các hàm riêng un . Đặt An = Dn En và Bn = Dn Fn , thì un (x, t) = (An cos nπat nπat nπx + Bn sin ) sin . L L L (1.12) Ta có nghiệm chuỗi hình thức của bài toán là u(x, t) = ∞ X (An cos n=1 nπat nπx nπat + Bn sin ) sin . L L L (1.13) Với điều kiện nào thì u(x, t) được xác định trong (1.13) là nghiệm đúng của bài toán? Giả sử rằng u(x, t) là tất cả các nghiệm của bài toán. Do điều kiện (1.5) nên 12 chuỗi trong biểu thức (1.13) có các số hạng khả vi. Khi đó thay vào biểu thức (1.4) và (1.5) ta được u(x, 0) = ut (x, 0) = ∞ X An sin n=1 ∞ X nπx L = f (x), nπa nπx Bn sin L L n=1 = g(x). Vậy các hàm f (x) và g(x) của ta phải có điều kiện gì để ta có các hệ số An và Bn sao cho ∞ X An sin n=1 ∞ X nπx = f (x), L (1.14) nπa nπx Bn sin = g(x). L L n=1 Trong phần sau ta sẽ xây dựng câu trả lời một cách chính xác. Đây là vấn đề cơ bản khởi xướng nghiên cứu giải tích Fourier. Với cách đánh giá đơn giản sau cho phép ta có thể dự đoán công thức tính An và Bn . Thật vậy, ta nhân cả hai vế của phương trình đầu trong (1.14) với sin mπx L sau đó lấy tích phân hai vế cận từ 0 đến L ta được Z 0 L ∞ LX Z mπx dx = f (x) sin L 0 n=1 ∞ X = An sin L Z An n=1 sin 0 nπx mπx sin dx L L nπx mπx sin dx. L L Mặt khác, Z L sin 0   0 nπx mπx sin dx =  L L  nếu m 6= n, L/2 nếu m = n, nên Z L f (x) sin 0 mπx Am L dx = . L 2 Hay Am 2 = L Z L f (x) sin 0 13 mπx dx. L Tương tự 2 Bn = nπa 1.1.3 Z L g(x) sin 0 mπx dx. L Phương trình truyền nhiệt Bây giờ ta xét bài toán về sự khuếch tán nhiệt bằng cách tương tự như với phương trình truyền sóng. Cụ thể, ta xuất phát từ phương trình truyền nhiệt phụ thuộc thời gian sau đó ta nghiên cứu các phương trình truyền nhiệt ở trạng thái ổn định trong đường tròn đơn vị mà dẫn ta trở lại câu hỏi như phần trên. a. Phương trình truyền nhiệt Ta xét một vật rắn trong R3 và gọi u(x, y, z, t) là nhiệt độ của nó tại điểm (x, y, z) tại thời điểm t, và tại thời điểm t = 0 ta đưa vào vật thể một phân bố nhiệt ban đầu. Nếu tại những điểm khác nhau của vật có nhiệt độ khác nhau thì nhiệt sẽ truyền từ điểm nóng đến điểm ít nóng hơn. Trong trường hợp đặc biệt khi nhiệt truyền đi trong một vật liệu đẳng hướng và đồng nhất trong không gian 3-chiều, phương trình này là ∂2u ∂2u ∂2u ∂u = a2 ( 2 + 2 + 2 ) = a2 (uxx + uyy + uzz ), ∂t ∂x ∂y ∂z (1.15) trong đó • u = u(x, y, z, t) là hàm nhiệt độ; • ∂u ∂t là mức độ thay đổi của nhiệt tại một điểm nào đó theo thời gian; • uxx , uyy , uzz là các đạo hàm cấp hai (lưu chuyển nhiệt) của nhiệt độ theo hướng x, y, z; • a là hệ số phụ thuộc vào độ dẫn nhiệt, mật độ và dung tích nhiệt của vật liệu. Phương trình (1.15) được gọi là phương trình truyền nhiệt của vật thể, và nó thuộc phương trình parabolic. 14 Nếu chúng ta chỉ xét sự truyền nhiệt trong một thanh dài,nhỏ (trường hợp một chiều) và không có sự trao đổi nhiệt giữa thanh này và môi trường xung quanh thì phương trình truyền nhiệt của thanh là ∂u ∂2u = a2 2 . ∂t ∂x (1.16) b. Nghiệm của phương trình truyền nhiệt Xét sự truyền nhiệt trong thanh dài, nhỏ, đồng chất. Bài toán hỗn hợp đối với phương trình này 2 ∂u 2∂ u =a , ∂t ∂x2 0 ≤ x ≤ L, t ≥ 0, (1.16) với điều kiện ban đầu và các điều kiện biên u(x, 0) = f (x), 0 ≤ x ≤ L, (1.17) u(0, t) = u(L, t) = 0, t > 0. Giả sử chúng ta tìm nghiệm của (1.16) không phải là nghiệm tầm thường và thỏa mãn các điều kiện biên (1.17) theo phương pháp tách biến, tức là u(x, t) = X(x)T (t). Khi đó, để T (t) không tầm thường thì từ (1.17)   X(0)T (t) = 0 ⇒ X(0) = X(L) = 0.  X(L)T (t) = 0 (1.18) (1.19) Thay thế u vào phương trình (1.16), T 0 (t) X 00 (x) = . a2 T (t) X(x) Bởi vì vế phải phụ thuộc vào x và vế trái chỉ phụ thuộc vào t, nên cả 2 về phải bằng một hằng số −λ nào đó. Do vậy T 0 (t) = −λa2 T (t), 15 (1.20) và X 00 (x) = −λX(x). (1.21) Chúng ta sẽ chỉ ra rằng các nghiệm của (1.21) cho các giá trị khác nhau của λ ≤ 0 là không thể xảy ra • Giả sử rằng λ < 0. Sẽ có 2 số thực B, C sao cho √ X(x) = Be −λx + Ce− √ −λx . Từ (1.19) chúng ta có X(0) = 0 = X(L), và do đó B = 0 = C dẫn đến u hoàn toàn bằng 0. • Giả sử λ = 0. Sẽ có các số thực B, C sao cho X(x) = Bx + C. Từ (1.19) ta kết luận cũng giống như trường hợp trên là u bằng 0 mọi nơi. Do đó, ta phải có λ > 0. Có các số thực A, B, C sao cho 2 và T (t) = Ae−λa t , (1.22) √ √ X(x) = B sin( λx) + C cos( λx). (1.23) √ Từ (1.19) ta có C = 0 và B sin( λL) = 0. Để bài toán có nghiệm không tầm thường thì B 6= 0. Do λ > 0 nên tất cả các giá trị của λ để phương trình (1.23) có nghiệm không tầm thường được cho bởi công thức λn = π 2 n2 L2 , n = 1, 2, . . . Các giá trị riêng này tương ứng với các hàm riêng Xn = Dn sin nπx L . 16 với Khi đó, thay λn vào λ ở (1.22) được Tn (t) = An e− n2 π 2 a2 t L2 . Thay vào (1.18) thì được các nghiệm riêng của bài toán dạng (Đặt En = An Dn ) un (x, t) = Xn (x)Tn (t) = En  nπx  − n2 π22a2 t L sin e . L Tương tự phương trình truyền sóng, ta xây dựng hình thức chuỗi u(x, t) = ∞ X un (x, t) = n=1 ∞ X  nπx  − n2 π22a2 t L En sin e . L n=1 (1.24) và ta đi xác định hệ số En sao cho chuỗi trên là nghiệm của bài toán hỗn hợp đã cho. Nếu chuỗi ở trên là nghiệm của phương trình truyền nhiệt thì u(x, 0) = f (x) = ∞ X n=1 En  nπx  sin . L (1.25) Tương tự như khi xét phương trình truyền sóng, ta cũng xác định được Z nπx 2 L dx. (1.26) f (x) sin En = L 0 L Vậy với điều kiện nào của hàm số f (x) thì ta có các hệ số En thỏa mãn (1.26)? Trước khi trả lời câu hỏi này, chúng ta sẽ xét thêm phương trình Laplace để thấy được sự tương tự với hai loại phương trình ta đã xét. 1.1.4 Phương trình Laplace Trong phần này, ta nhắc lại thế nào là phương trình Laplace và tìm nghiệm của chúng bằng phương pháp tách biến dựa trên tài liệu [2]. Nghiên cứu nhiệt độ của tấm kim loại phẳng mỏng, đồng chất (trường hợp hai chiều) trong môi trường đẳng hướng và không có nguồn nhiệt. Ta giới hạn sự chú ý vào trạng thái ổn định - sau một thời gian thì nhiệt độ của vật u(x, y, t) không còn phụ thuộc vào thời gian. Khi đó ∂u ∂t = 0. Vậy, phương trình truyền nhiệt lúc này có dạng ∂2u ∂2u + 2 =0 ∂x2 ∂y 17 (1.27) Định nghĩa 1.1.4. Trong không gian hai chiều, bài toán tìm một hàm thực u(x, y) khả vi hai lần sao cho ∂2u ∂2u + 2 = 0. ∂x2 ∂y (1.28) Phương trình dạng (1.28) được gọi là phương trình Laplace. Phương trình trên còn được viết tổng quát lại là ∆u = 0. Trong đó: • ∆u: toán tử Laplace hay Laplacian, • u thỏa mãn phương trình (1.28) được gọi là hàm điều hòa. Dễ thấy, phương trình Laplace thuộc loại phương trình đạo hàm riêng elliptic. Bây giờ ta xét hình tròn đơn vị trong mặt D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 1}, có biên là đường tròn đơn vị C = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1}. Trong hệ tọa độ cực (r, θ) với 0 ≤ r ≤ 1 và 0 ≤ θ ≤ 2π, ta có D = {(r, θ) : 0 ≤ r < 1} và C = {(r, θ) : r = 1}. Bài toán Dirichlet cho hình tròn đơn vị Xét nhiệt độ ở trạng thái ổn định trong hình tròn đơn vị bán kính r = 1. Tìm nghiệm không tầm thường u của bài toán   ∆u =0 trên D,  u(1, θ) = f (θ) Trong đó: • u(r, θ) là hàm khả vi hai lần, • f (θ) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2π. 18 trên C. (1.29) Trong hệ tọa độ cực, phương trình Laplace có dạng ∂ 2 u 1 ∂u 1 ∂2u ∆u = + + 2 2 = 0. ∂r2 r ∂r r ∂θ (1.30) Ta dùng phương pháp tách biến để tìm nghiệm của bài toán Dirichlet này. Nghiệm bài toán dạng u(r, θ) = R(r)Θ(θ). (1.31) Chú ý rằng, Θ(θ) là hàm tuần hoàn chu kỳ 2π. Thế vào (1.30) ta được r2 R00 + rR0 Θ00 =− . R Θ Thấy rằng, vế trái của phương trình chỉ phụ thuộc vào r, còn vế phải của phương trình chỉ phụ thuộc vào θ. Do vậy, tồn tại một hằng số λ sao cho Θ00 r2 R00 + rR0 =− = λ. R Θ Hay   r2 R00 + rR0 − λR = 0 (1.32)  Θ00 + λΘ = 0. Ta tìm nghiệm của phương trình vi phân Θ00 + λΘ = 0. • λ < 0: phương trình có nghiệm √ Θ(θ) = Ae −λθ + Be √ − −λθ . Từ tính tuần hoàn của hàm Θ thì ta phải có A = B = 0 nên bài toán chỉ có nghiệm tầm thường. • λ = 0: phương trình có nghiệm Θ(θ) = A + Bθ. Để Θ tuần hoàn thì B = 0 nên bài toán chỉ có nghiệm hằng Θ(θ) = A. 19