Tài liệu Chinh phục tích phân lượng giác

Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác được thực hiện bởi đội ngũ tác giả Lovebook: Một số thông tin: NXB: ĐH quốc gia HN Số trang: 328 trang khổ A4. Giá: 129000 VND Ngày phát hành toàn quốc: 25/09/2015 ______________________________________________________________ Ước mơ của bạn - Sứ mệnh của chúng tôi! 💰 Đặt sách: http://lovebook.vn/ - https://goo.gl/XeHwk5 ☎ Tổng đài hỗ trợ đặt sách, thắc mắc đơn hàng: 0466 860 849 - 0462857197. Hotline: 0963 140 260 📩 Trung tâm giải đáp thắc mắc trong sách: goo.gl/A7Dzl0 🎦 Tổng hợp video bài giảng: goo.gl/OAo45w 🏩 Kho tài liệu Lovebook: goo.gl/nU0Fze 📨 Đăng ký nhận tài liệu thường xuyên: goo.gl/ol9EmG Chữ ký và lời chúc của tác giả hoặc thành viên Lovebook .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. Sách gốc phải có chữ ký của tác giả hoặc của thành viên Lovebook. Bất kể cuốn ........................................... sách nào không có chữ ký đều là sách lậu, không phải do Lovebook phát hành. Lời chúc & kí tặng .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................. ............... LOVEBOOK.VN Chinh phục bài tập tích phân lượng giác Đời phải trải qua giông tố nhưng không được cúi đầu trước giông tố! Đặng Thùy Trâm Hãy phấn đấu vươn lên không chỉ bằng khối óc mà bằng cả con tim của mình nữa! Lương Văn Thùy LOVEBOOK tin tưởng chắc chắn rằng em sẽ đỗ đại học một cách tự hào và hãnh diện nhất! Bản quyền thuộc về Công Ty Cổ Phần Giáo Dục Trực Tuyến Việt Nam – VEDU Corp Không phần nào trong xuất bản phẩm này được phép sao chép hay phát hành dưới bất kỳ hình thức hoặc phương tiện nào mà không có sự cho phép trước bằng văn bản của công ty. GIA ĐÌNH LOVEBOOK CHINH PHỤC BÀI TẬP TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC Sách dành cho:        Học sinh lớp 12 chuẩn bị cho kì thi Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng (KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016) Học sinh lớp 10, 11: Tự học Toán, chuẩn bị sớm và tốt nhất cho KÌ THI THPT QUỐC GIA Học sinh mất gốc Toán, học kém Toán, sợ Toán, thiếu phương pháp và kĩ năng giải toán Toán Học sinh muốn đạt 9,10 trong kì thi Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng (KÌ THI THPT QUỐC GIA 2016) Học sinh thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố cấp trung học cơ sở và trung học phổ thông Thí sinh đại học muốn ôn thi lại môn Toán Người yêu thích môn Toán, muốn tìm kiếm một cuốn sách chứa những phân tích, tìm tòi thú vị, sáng tạo và độc đáo. NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI LỜI MỞ ĐẦU Các bạn cảm thấy:  Hoang mang khi lần đầu tiếp xúc với các kiến thức về tích phân lượng giác ?  Kiến thức về tích phân lượng giác nói chung và hình giải tích nói riêng khá là phức tạp và rộng, hơn nữa các dạng bài trong đề thi khác xa với kiến thức trong SGK.  Không hình dung được phương pháp, ý tưởng làm một bài tích phân lượng giác ?  Giá như có cuốn sách với đầy đủ kiến thức lý thuyết và phương pháp giải cụ thể, dễ hiểu để mình có thể tự tin học?  …. Nếu bạn gặp phải những vấn đề trên, chắc chắn Chinh phục bài tập tích phân lượng giác là cuốn sách DÀNH CHO BẠN!!!! Trong cuốn sách này bạn sẽ: 1. Thử thách bản thân với hàng loạt bài tập được các tác giả chọn lọc kĩ càng. Các bài tập trong cuốn sách đều là những bài tập điển hình và quen thuộc nhất trong các đề thi. Ngoài các ví dụ giúp các bạn định hình dạng toán, cuốn sách còn bao hàm rất nhiều bài tập tự luyện có đáp án, giúp các bạn có một kĩ năng làm bài tốt phục vụ cho kì thi sắp tới. 2. Tiếp cận các nội dung, phương pháp giải bài toán một cách tối ưu nhất. Các phương pháp và nội dung trong cuốn sách đều là các phương pháp được chọn lọc kĩ càng, đồng thời được trình bày cẩn thận và rõ ràng với lời hướng dẫn chi tiết… Cuốn sách dễ hiểu, dễ học ngay cả với những bạn mới bắt đầu tiếp xúc với tích phân lượng giác . 3. Được hỗ trợ trực tuyến ngay khi cầm trên tay cuốn sách. Nếu có khúc mắc trong quá trình sử dụng sách, bạn có thể hỏi trực tiếp đội ngũ tác giả trên diễn đàn chăm sóc sử dụng sách của nhà sách: vedu.vn/forums/ Cuốn sách là tập hợp những kinh nghiệm, kiến thức về tích phân lượng giác của các tác giả; là quá trình làm việc nghiêm túc, miệt mài của các tác giả. Cuốn sách cũng là tâm huyết của đội ngũ tác giả với mong muốn bạn đọc có thể đạt được kết quả tốt nhất, chinh phục được tích phân lượng giác trong đề thi THPT Quốc gia sắp tới. Mặc dù đã dành rất nhiều thời gian và tâm huyết để hoàn thiện cuốn sách nhưng cuốn sách chắc chắn sẽ không thể tránh khỏi sai sót vì thời gian và kiến thức còn hạn chế. Chúng tôi rất mong nhận được các ý kiến đóng góp về nội dung của cuốn sách từ các bạn học sinh, sinh viên, các thầy cô giáo để những lần tái bản tiếp theo cuốn sách sẽ được hoàn thiện hơn. Mọi ý kiến đóng góp của các bạn, các thầy cô xin vui lòng gửi về địa chỉ o Thư điện tử: [email protected] o Diễn đàn chăm sóc sử dụng sách: vedu.vn/forums/ Đội ngũ tác giả xin chân thành cảm ơn!!! HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG SÁCH 1. Bạn nên học theo thứ tự các chủ đề. Cuốn sách này khác với các cuốn sách khác, tác giả khuyên các bạn nên ĐỌC THẬT KĨ ĐÁP ÁN vì đáp án trong cuốn sách sẽ trình bày và phân tích các sai lầm mà các bạn sẽ hay gặp phải cũng như phần bình luận, mở rộng thêm bài toán đó. Các bạn không nên lướt qua đáp án vì đáp án chính là một trong những phần thú vị và giá trị nhất của cuốn sách. 2. Đọc có phần bạn không hiểu, bạn nên làm gì? Đừng ngại ngần, hãy đi hỏi !!! - Hỏi bạn bè cùng lớp. Học thầy không tày học bạn. - Hỏi thầy cô giáo trên lớp. - Hỏi bạn bè trên cộng đồng mạng. - Bạn hãy đăng những thắc mắc trong quá trình sử dụng sách lên diễn đàn chăm sóc sử dụng sách của nhà sách Lovebook để được hỗ trợ tốt nhất: vedu.vn/forums/ 3. Ghi chú, đánh dấu Trong quá trình đọc cuốn sách, bạn nên lấy bút màu đánh dấu vào những phần kiến thức mà bạn hay quên, còn nhầm lẫn, những bài toán mà các bạn làm sai và những phần mà bạn thấy quan trọng. Trước khi thi 2 tháng, bạn nên đọc lại toàn bộ cuốn sách vì cuốn sách đã tổng hợp toàn bộ những thứ bạn cần về phần tích phân – lượng giác, đặc biệt bạn cần xem lại những phần mình đã đánh dấu bằng bút màu trước đây để tránh việc lặp lại sai lầm khi bước vào kì thi chính thức. 4. Kết hợp với bộ đề. Trong quá trình sử dụng sách, để đạt được hiệu quả cao nhất, tốt nhất bạn nên có một bộ đề để luyện tập. Vì sao lại thế ? Các bài tập tự luyện bên dưới sau mỗi chuyên đều là các bài tập cùng dạng đã trình bày nhằm củng cố kiến thức dạng bài tập đó. Do đó, để có thể nhớ lâu và có kĩ năng tư duy tổng hợp các kiến thức, các chuyên đề với nhau thì cần phải có một bộ đề để làm. Khi làm đề mà có nhiều phần chưa học, hãy làm những phần mình đã học rồi chứ không nên để đến lúc học xong hết chương trình rồi mới làm. Ví dụ bạn đọc hết cuốn sách này, hãy cứ bỏ đề ra và đặt bút làm, làm hết tất cả các câu thuộc phần tích phân – lượng giác. Bạn sợ thiếu đề? Bạn yên tâm rằng, Lovebook có 80 bộ đề nằm trong 2 tập của bộ sách Chinh phục đề thi THPT Quốc gia môn Toán với đáp án và lời giải chi tiết cho bạn. MỤC LỤC Chương I: Giá trị lượng giác của một cung 14 I. GÓC LƯỢNG GIÁC – CUNG LƯỢNG GIÁC 15 1. Đơn vị đo góc lượng giác 15 2. Khái niệm góc lượng giác 15 3. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác 15 4. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác 15 II. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG 16 1. Định nghĩa giá trị lượng giác của cung 16 2. Giá trị lượng giác của một số cung – góc đặc biệt 16 III. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 21 1. Công thức cộng 21 2. Công thức bội 22 3. Công thức biến đổi tổng thành tích 23 IV. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 39 Chương II: Phương trình lượng giác 61 I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 62 1. Hàm số tuần hoàn 62 2. Hàm số lượng giác 62 II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 63 1. Phương trình lượng giác cơ bản (cơ bản 1) 63 2. Phương trình đa thức bậc thấp đối với một hàm số lượng giác (cơ bản 2) 67 3. Phương trình asinx + bcosx = c (cơ bản 3) 70 4. Phương trình đẳng cấp với sinx và cosx (cơ bản 4) 77 5. Phương trình hỗn hợp a(sinx + cosx) +b.sinx.cosx = c (cơ bản 5) 80 III. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 83 1. Đưa phương trình lượng giác về 5 dạng cơ bản 83 2. Đưa phương trình lượng giác về dạng phương trình tích 96 IV. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN 176 Phương pháp 1: Phương pháp biểu diễn điều kiện và nghiệm thông qua cùng một hàm số lượng giác 178 Phương phap 2: Loại nghiệm bằng giải phương trình nghiệm nguyên 182 Chương III: Nguyên hàm – Tích phân 185 I. NGUYÊN HÀM 186 1. Định nghĩa 186 2. Định lý 186 3. Tính chất 186 4. Bảng nguyên hàm 186 II. TÍCH PHÂN 197 1. Định nghĩa 197 2. Tính chất của tích phân 197 3. Phương pháp tích phân từng phần 215 TÍCH PHÂN CỦA MỘT SỐ DẠNG HÀM CƠ BẢN 225 1. Tích phân của hàm hữu tỉ - Kĩ thuật khai triển Taylor 225 2. Kỹ thuật khai triển Taylor 239 3. Tích phân của hàm vô tỉ - phương pháp thế Euler 240 4. Tích phân của hàm lượng giác 250 5. Biến đổi nâng cao về tích phân 270 6. Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 279 III. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 301 Trước khi bắt đầu chính thức trải nghiệm cuốn sách, anh chị Lovebook xin gửi tặng các em câu chuyện: Bài học từ câu chuyện “Tái ông thất mã” Một câu chuyện của Trung Quốc về một nông dân Bình tĩnh. “Một ông lão ở gần biên giới giáp với nước Hồ phía Bắc nước Tàu, gần Trường thành, có nuôi một con ngựa. Một hôm con của ông lão dẫn ngựa ra gần biên giới cho ăn cỏ, vì lơ đễnh nên con ngựa vọt chạy qua nước Hồ mất dạng. Những người trong xóm nghe tin đến chia buồn với ông lão. Ông lão là người thông hiểu việc đời nên rất bình tỉnh nói: – Biết đâu con ngựa chạy mất ấy đem lại điều tốt cho tôi. Vài tháng sau, con ngựa chạy mất ấy quay trở về, dẫn theo một con ngựa của nước Hồ, cao lớn và mạnh mẽ. Người trong xóm hay tin liền đến chúc mừng ông lão, và nhắc lại lời ông lão đã nói trước đây. Ông lão không có vẻ gì vui mừng, nói: – Biết đâu việc được ngựa Hồ nầy sẽ dẫn đến tai họa cho tôi. Con trai của ông lão rất thích cỡi ngựa, thấy con ngựa Hồ cao lớn mạnh mẽ thì thích lắm, liền nhảy lên lưng cỡi nó chạy đi. Con ngựa Hồ chưa thuần nết nên nhảy loạn lên. Có lần con ông lão không cẩn thận để ngựa Hồ hất xuống, té gãy xương đùi, khiến con ông lão bị què chân, tật nguyền. Người trong xóm vội đến chia buồn với ông lão, thật không ngờ con ngựa không tốn tiền mua nầy lại gây ra tai họa cho con trai của ông lão như thế. Ông lão thản nhiên nói: – Xin các vị chớ lo lắng cho tôi, con tôi bị ngã gãy chân, tuy bất hạnh đó, nhưng biết đâu nhờ họa nầy mà được phúc. Một năm sau, nước Hồ kéo quân sang xâm lấn Trung nguyên. Các trai tráng trong vùng biên giới đều phải sung vào quân ngũ chống ngăn giặc Hồ. Quân Hồ thiện chiến, đánh tan đạo quân mới gọi nhập ngũ, các trai tráng đều tử trận, riêng con trai ông lão vì bị què chân nên miễn đi lính, được sống sót ở gia đình.” Người đời sau lập ra thành ngữ: Tái ông thất mã, an tri họa phúc. Nghĩa là: ông lão ở biên giới mất ngựa, biết đâu là họa hay là phúc. Bài học: Việc đời, hết may tới rủi, hết rủi tới may, nên bắt chước tái ông mà giữ sự thản nhiên trước những biến đổi thăng trầm trong cuộc sống.Ta không bao giờ thực sự biết được những điều còn ở phía phía trước sẽ xảy ra như thế nào. Cuộc sống không phải lúc nào cũng như chúng ta mong đợi. Dẫu có đôi lúc làm bài không như mong đợi, các em cũng đừng vội nản, vội bỏ cuộc nhé. Biết đâu, đó lại là cú hích cho các em vươn xa hơn ở các kỳ thi sắp tới.  Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác Your dreams – Our mission LƯỢNG GIÁC Có thể nói rằng, Lượng Giác là một thành phần xuất hiện khá sớm trong lịch sử Toán Học. Nó xuất hiện nhằm đáp ứng các nhu cầu về đo đạc diện tích cũng như tính toán thiên văn… Làm việc với Lượng Giác, chúng ta sẽ làm việc với góc và tính chất của góc. Sự biến đổi qua lại theo tính chất giữa các góc sẽ tạo thành một hệ linh hoạt thống nhất. Trong phần Lượng Giác này, chúng tôi sẽ lần lượt trình bày theo các phần: CHƯƠNG I: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG. Bài 1: Góc Lượng Giác – Cung Lượng Giác Bài 2: Giá trị Lượng Giác của một cung. Bài 3: Công thức Lượng Giác. Bài 4: Hệ thức lượng trong Tam Giác. CHƯƠNG II: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC. Bài 1: Hàm số lượng giác. Bài 2: Phương trình Lượng Giác cơ bản. Bài 3: Các phương pháp giải phương trình lượng giác. Bài 4: Phương trình Lượng Giác có điều kiện. ĐỌC THÊM: TẢN MẠN VỀ LƯỢNG GIÁC. LOVEBOOK.VN | 13 Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác Your dreams – Our mission Chương I: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG Trong chương này, kiến thức được trình bày chủ yếu nói về các tính chất biến đổi qua lại giữa các góc nói chung và các góc trong tam giác nói riêng. Riêng về tam giác, ngoài sự biến hóa giữa các góc, chúng ta còn làm việc với các yếu tố về cạnh cũng như diện tích và chu vi. Chúng tôi đã trình bày bố cục chương này theo các phần: Bài 1: Góc Lượng Giác – Cung Lượng Giác Bài 2: Giá trị Lượng Giác của một cung. Bài 3: Công thức Lượng Giác. Bài 4: Hệ thức lượng trong Tam Giác. Trong mỗi bài, các kiểu bài tập sẽ được đưa ra dần dần theo mức độ như Tính toán thông thường, chứng minh, rút gọn, các kiểu bài tập nâng cao. Nắm tốt phần này, chúng ta có thể hiểu được thế nào là LƯỢNG GIÁC. Trước khi vào các phần cụ thể, chúng ta hãy cùng đọc câu chuyện dưới đây và suy ngẫm nhé… HAI ANH EM Có hai anh em nhà nọ cùng làm việc trên một nông trại của gia đình. Người anh đã lập gia đình, còn người em vẫn còn độc thân. Mỗi khi kết thúc một ngày làm việc mệt nhọc, hai anh em lại chia đều những gì mình đã làm được trong ngày, cả phần lúa gạo cũng như lợi nhuận. Một ngày nọ, người em bỗng nghĩ thầm trong bụng: “Thật không công bằng khi chia đôi mọi thứ với anh. Mình chỉ có một thân một mình, có cần gì nhiều đâu cơ chứ!”. Nghĩ thế, nên từ đó trở đi, cứ mỗi tối, anh lại lấy bớt phần thóc của mình, băng qua cánh đồng nhỏ giữa hai nhà và đổ vào kho thóc của người anh. Trong khi ấy, người anh cũng thầm nghĩ trong lòng: “Thật không công bằng khi mình chia đều mọi thứ với em. Mình đã có vợ, có con, không còn phải lo lắng điều gì nữa, còn em mình chỉ có một mình, đâu có ai để lo cho tương lai”. Và thế là người anh, vào mỗi tối, cũng lấy bớt phần thóc của mình và đổ vào kho của người em. Cả hai anh em đều rất ngạc nhiên khi lượng thóc của mình vẫn không vơi đi chút nào so với trước đó. Rồi một tối nọ, cả hai anh em va phải nhau trong lúc thực hiện kế hoạch của mình. Và họ đã hiểu ra mọi chuyện. Bỏ rơi bao thóc trên tay, hai anh em xúc động ôm chầm lấy nhau… Chính những điều chúng ta cho đi sẽ là những gì chúng ta nhận lại ! LOVEBOOK.VN | 14 Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác Your dreams – Our mission I - GÓC LƯỢNG GIÁC – CUNG LƯỢNG GIÁC 1. Đơn vị đo góc lượng giác 1.1. Độ 10 = 1 góc bẹt; 10 = 60′ ; 1′ = 60" 180 1.2. Radian Cung tròn có độ dài bằng bán kính gọi là cung tròn 1 radian. 180 ⇒ 1rad = độ ≈ 570 17′45" π π π π π π rad; 900 = rad; 600 = rad; 450 = rad; 300 = rad 10 = 180 2 3 4 6 1.3. Độ dài cung tròn Độ dài cung tròn α (rad) trên đường tròn bán kính R là: l = R.α 2. Khái niệm Góc Lượng Giác � , tia Oz di động quay quanh O. Khi Oz xuất phát từ Ox và dừng ở Oy thì Oz quét được một góc lượng Cho xOy giác (Ox; Oy) Sđ(Ox; Oy) = α + k2π (k ∈ ℤ) sđ(Ox; Oy) = a0 + k. 3600 (k ∈ ℤ) ⇒ a0 = α rad 3. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác � vào đường tròn tâm O; khi đó giả sử Ox, Oy, Oz cắt đường tròn (O) tại lần lượt A, B và M. Gắn xOy Khi Oz quay quanh O từ Ox đến Oy để tạo nên góc gọi là góc lượng giác (Ox; Oy) thì điểm M di chuyển trên  đường tròn (O) từ A đến B để tạo nên một cung lượng giác có điểm đầu A và điểm cuối B, ký hiệu AB  = sđ(Ox; Oy) = � α + k2π (k ∈ ℤ) sđ AB a0 + k. 3600 (k ∈ ℤ) α là góc đại diện. Để xác định một góc, cung lượng giác trên đường tròn lượng giác, ta cần xác định góc α. 4. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác. Đường tròn lượng giác là đường tròn có bán kính bằng 1, có chỉ ra 1 điểm đầu cho mọi cung lượng giác và 1 chiều đi gọi là chiều dương. BT1 : Cho M là điểm cuối của cung định hướng AM. Xác định số đo cung định hướng AM  (lớn hoặc nhỏ) B1: Tìm số đọ cung AM  để suy ra giá trị lượng giác để suy ra giá trị lượng giác α B2: Kết hợp chiều đi từ A đến M và số đo cung AB B3 : Số đo cung định hướng AM bằng α + k2π BT2 : Cho cung lượng giác định hướng AM có số đo α + k B1: Từ k 2π cho trước; tìm M là điểm cuối. n 2π : Đường tròn bị chia thành n điểm. Có nghĩa là sẽ có N điểm cuối M cách đều nhau trên đường n tròn. Nên n điểm đó sẽ tạo thành một n giác đều. B2: Để xác định, ta chỉ cần thay n giá trị k vào biểu thức để tìm ra n điểm cuối. • Chú ý: 2 cung có số đo là α và α + k2π thì có cùng điểm đầu và điểm cuối. LOVEBOOK.VN | 15 Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác Your dreams – Our mission II - GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG 1. Định nghĩa giá trị lượng giác của cung α Định nghĩa: Cho α ∈ ℝ. Khi đó ∃ duy nhất một điểm M thuộc đường tròn lượng giác sao cho số đo cung định hướng AM bằng α. Trên mặt phẳng Oxy, điểm M có tọa độ M(xm ; ym ) với: ym = sin α ; xm = cos α sin α M≠B Nếu xm ≠ 0 ⇔ � gọi là tan α thì M ≠ B′ cos α sin α π �α ≠ + k2π, k ∈ ℤ� ⇒ tan α = cos α 2 cos α M≠A Nếu ym ≠ 0 ⇔ � gọi là cot α ′ thì M≠A sin α cos α (α ≠ kπ, k ∈ ℤ) ⇒ cot α = sin α Hệ quả: −1 ≤ xm ; ym ≤ 1 ⇒ −1 ≤ sin α ; cos α ≤ 1 sin α = sin(α + k2π) ; cos α = cos(α + k2π) 2. Giá trị lượng giác của một số cung – góc đặc biệt Các em tham khảo sách giáo khoa. BÀI TẬP: Bài 1: Cho sin α + cos α = m. Tính: A = sin α . cos α B = sin3 α + cos 3 α Ta có: sin α + cos α = m Lời giải: m2 − 1 2 B = sin3 α + cos 3 α = (sin α + cos α)3 − 3 sin α . cos α (sin α + cos α) m2 − 1 3m − m3 3 .m = = m − 3. 2 2 ⇒ sin2 α + cos 2 α + 2 sin α . cos α = m2 ⇒ A = Bài 2: Cho sin α . cos α = m. Tính: C = sin α + cos α D = sin4 α + cos 4 α Lời giải: Ta có C = (sin α + cos α) = sin α + cos α + 2 sin α . cos α = 1 + 2m 1 ⇒ C = ±√1 + 2m �m ≥ − � 2 4 4 Có D = sin α + cos α = (sin2 α + cos 2 α)2 − 2 sin2 α . cos 2 α = 1 − 2m2 2 2 2 Bài 3: Cho tan α + cot α = m. Tính: E = tan2 α + cot 2 α F = tan3 α + cot 3 α LOVEBOOK.VN | 16 2 Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác Your dreams – Our mission Lời giải: π Ta có E = (tan α + cot α)2 − 2 tan α . cot α = m2 − 2 �α ≠ k ; k ∈ ℤ� 2 π F = (tan α + cot α)3 − 3 tan α . cot α (tan α + cot α) = m3 − 3m �α ≠ k ; k ∈ ℤ� 2 Bài 4: Cho tan α = 2. Tính: cos 3 α + cos α . sin2 α − sin α M= cos 3 α − sin3 α Lời giải: sin α π Ta có tan α = 2 ⇒ = 2 ⇒ sin α = 2 cos α �α ≠ + kπ; k ∈ ℤ� cos α 2 Khi đó ta có: cos 3 α + cos α . sin2 α − sin α cos 3 α + cos α . 4 cos 2 α − 2 cos α M= = cos 3 α − sin3 α cos 3 α − 8 cos 3 α 3 3 2 2 cos α + 4 cos α − 2 cos α (sin α + cos α) cos 3 α + 4 cos 3 α − 2 cos α . 5 cos 2 α = = −7 cos 3 α −7 cos 3 α 3 5 5 cos α =− =− 3 7 −7 cos α Bình luận: Nhận thấy với những biểu thức mà có độ lệch bậc giữa các hạng tử với nhau là bội số của 2, chúng ta có thể nhân thêm một lượng lũy thừa của (sin2 α + cos 2 α) để thực hiện cân bằng bậc. Ngoài cách biến đổi về một ẩn sin hoặc cos như trên, vì biểu thức M đã cho là dưới dạng đẳng cấp, nên ta còn có thể đưa về một ẩn là tan hoặc cot như sau: sin α sin2 α 1+ 1 + tan2 α − sin α (sin2 α + cos 2 α) 5 2 α − cos 3 α cos = =⋯= M= 3 3 sin α 1 − tan α 7 1− cos 3 α Bài 5: Cho 2 cos 4 α + sin4 α = 1. Tính P = 6 sin6 α − 8 cos 8 α Ta có: Lời giải: sin4 α 1 π �α ≠ + kπ� +2= 4 4 cos α 2 cos α ⇔ tan4 α + 2 = (1 + tan2 α)2 ⇔ tan4 α + 2 = tan4 α + 2 tan2 α + 1 1 ⇔ tan2 α = 2 Ta có: P = 5 sin6 α − 8 cos 8 α = 5 sin6 α (sin2 α + cos 2 α) − 8 cos 8 α sin8 α sin6 α 1 8 (5 tan8 α + 5 tan6 α − 8) + 5 − 8� = = cos α �5 (tan2 α + 1)4 cos 8 α cos 6 α 5 24 −113 113 1 5 � + − 8� = . 4 =− = 4 24 3 4 2 2 81 3 1 �1 + � 2 2 sin4 α + cos 4 α = 1 ⇔ LOVEBOOK.VN | 17 Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác Bài 6: Chứng minh: a) sin2 α + tan2 α = Your dreams – Our mission 1 − cos 2 α cos 2 α cos 2 α − sin2 α = sin2 α . cos 2 α cot 2 α − tan2 α 1 (1 + cot 2 α) � 2 − 1� cos α c) =1 1 + tan2 α cos 2 α sin2 α − = sin α . cos α d) 1 − 1 + cot 2 α 1 + tan2 α 1 1 + tan α� �1 − + tan α� = 2 tan α e) �1 + cos α cos α 1 − cos α 1 + cos α 1 � �1 + �= f) �1 + 1 + cos α 1 − cos α sin2 α b) a) Ta có: Lời giải: VT = sin2 α + tan2 α = (sin2 α − 1) + (1 − tan2 α) = − cos 2 α + 1 = VP cos 2 α Vậy đẳng thức được chứng minh. b) Ta có: cos 2 α − sin2 α (cos 2 α − sin2 α)(cos 2 α + sin2 α) VT = = cos 2 α sin2 α cot 2 α − tan2 α − sin2 α cos 2 α cos 4 α − sin4 α = sin2 α . cos 2 α = VP = cos 4 α − sin4 α sin2 α . cos 2 α Vậy đẳng thức được chứng minh. c) Ta có: 1 (1 + cot 2 α) � 2 − 1� tan2 α (1 + cot 2 α) cos α VT = = 1 + tan2 α 1 + tan2 α 2 2 2 2 tan α + tan α . cot α tan α + 1 = = = 1 = VP tan2 α + 1 tan2 α + 1 Vậy đẳng thức được chứng minh. d) Ta có: sin2 α cos 2 α sin3 α cos 3 α VT = 1 − − = 1 − − cos α sin α sin α + cos α sin α + cos α 1+ sin α 1 + cos α sin3 α + cos 3 α =1− = 1 − (sin2 α + sin α . cos α + cos 2 α) = sin α + cos α = VP sin α + cos α Vậy đẳng thức được chứng minh. e) Ta có: 1 1 1 VT = �1 + + tan α� �1 − + tan α� = (1 + tan α)2 − cos α cos α cos 2 α 2 2 = tan α + 2 tan α + 1 − (1 + tan α) = 2 tan α = VP Vậy đẳng thức được chứng minh. f) Ta có: 1 + cos α 1 + cos α 1 − cos α 1 − cos α � �1 + �=1+ VT = �1 + + +1 1 − cos α 1 − cos α 1 + cos α 1 + cos α (cos α + 1)2 + (cos α − 1)2 2 cos 2 α + 2 4 = 2 + = = VP =2+ 2 2 sin2 α 1 − cos α sin α Vậy đẳng thức được chứng minh. LOVEBOOK.VN | 18 Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác Your dreams – Our mission Bài 7: Chứng minh các biểu thức sau có giá trị không phụ thuộc vào α: A = 3(sin8 α − cos 8 α) + 4(cos 6 α − 2 sin6 α) + 6 sin4 α B = (1 + cot α). sin3 α + (1 + tan3 α). cos 3 α − sin α − cos α Lời giải: A = 3(sin8 α − cos 8 α) + 4(cos 6 α − 2 sin6 α) + 6 sin4 α = 3(sin4 α + cos 4 α)(sin4 α − cos 4 α) + 4 cos 6 α − 8 sin6 α + 6 sin4 α (sin2 α + cos 2 α) = 3(sin4 α + cos 4 α)(sin2 α − cos 2 α) + 4 cos 6 α − 8 sin6 α + 6 sin4 α (sin2 α + cos 2 α) = 3 sin6 α − 3 cos 6 α − 3 sin4 α . cos 2 α + 3 sin2 α . cos 4 α + 4 cos 6 α + 6 sin6 α + 6 sin4 α . cos 2 α = sin6 α + cos 6 α + 3 sin4 α . cos 2 α + 3 sin2 α . cos 4 α = (sin2 α + cos 2 α)3 = 1 Do đó giá trị của A không phụ thuộc vào α. B = (1 + cot α). sin3 α + (1 + tan3 α). cos 3 α − sin α − cos α cos α sin α � . sin3 α + �1 + � . cos 3 α − sin α − cos α = �1 + sin α cos α = sin3 α + cos 3 α + sin2 α . cos α + sin α . cos 2 α − sin α − cos α = sin α (sin2 α + cos 2 α) + cos α (cos 2 α + sin2 α) − sin α − cos α = sin α + cos α − sin α − cos α = 0 Do đó giá trị của A không phụ thuộc vào α. Bài 8: Rút gọn: sin2 α + sin2 α . tan2 α A= cos 2 α + cos 2 α . cot 2 α 4 tan2 α B = 1 − cos α + 3 sin α − tan2 α + 1 2 2 cos α − cot α + 1 C= sin2 α + tan2 α − 1 2 2 Lời giải: sin2 α (1 + tan2 α) sin2 α sin2 α sin2 α + sin2 α . tan2 α = = . = tan4 α cos 2 α + cos 2 α . cot 2 α cos 2 α (1 + cot 2 α) cos 2 α cos 2 α 4 tan2 α B = 1 − cos 2 α + 3 sin2 α − tan2 α + 1 2 2 2 = sin α + cos α − cos α + 3 sin2 α − 4 tan2 α . cos 2 α = 4 sin2 α − 4 sin2 α = 0 cos 2 α 2 cos 2 α − cot 2 α + 1 cos α − sin2 α + 1 = C= sin2 α sin2 α + tan2 α − 1 −1 sin2 α + cos 2 α 2 2 2 2 sin α . cos α + sin α − cos α cos 2 α sin2 α = = = cot 2 α sin2 α . cos 2 α + sin2 α − cos 2 α sin2 α cos 2 α A= LOVEBOOK.VN | 19 Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác Your dreams – Our mission Bài 9: Cho ∆ABC. Chứng minh các hệ thức: B+C A 1) sin = cos 2 2 B+C A 2) tan = cot 2 2 3) sin(A + B) = sin C ; cos(A + B) = − cos C A + B + 3C = cos C 4) sin 2 A + B − 2C 3 5) tan = cot C 2 2 1) Theo đề bài, ta có: A+B+C=π⇒B+C=π−A⇒ B+C π A = − 2 2 2 Lời giải: A B+C π A = sin � − � = cos 2 2 2 2 2) Theo 1, ta có: A B+C B+C π A π A = − ⇒ tan = tan � − � = cot 2 2 2 2 2 2 2 3) Ta có: A+B+C=π⇒A+B=π−C ⇒ sin(A + B) = sin(π − C) = sin C ; cos(A + B) = cos(π − C) = − cos C 4) Ta có: A + B + 3C π + 2C π sin = sin = sin � + C� = cos(−C) = cos C 2 2 2 5) Ta có: A + B − 2C π − 3C 3 π 3 tan = tan = tan � − C� = cot C 2 2 2 2 2 ⇒ sin Trước khi sang phần tiếp theo, các em dành chút thời gian suy ngẫm câu chuyện sau nhé… CÁT VÀ ĐÁ Có hai người bạn đang dạo bước trên sa mạc. Trong chuyến đi dài, hai người nói chuyện với nhau và đã có một cuộc tranh cãi gay gắt. Không giữ được bình tĩnh, một người đã tát người bạn của mình. Người kia rất đau nhưng không nói gì. Anh chỉ lặng lẽ viết lên cát rằng: "Hôm nay, bạn tốt nhất của tôi đã tát vào mặt tôi." Họ tiếp tục bước đi cho tới khi nhìn thấy một ốc đảo, nơi họ quyết định sẽ dừng chân và tắm mát. Người bạn vừa bị tát do sơ ý bị trượt chân xuống một bãi lầy và ngày càng lún sâu xuống. Nhưng người bạn kia đã kịp thời cứu anh. Ngay sau khi hồi phục, người bạn suýt chết đuối khắc lên tảng đá dòng chữ: "Hôm nay, bạn tốt nhất của tôi đã cứu sống tôi." Người bạn kia hết sức ngạc nhiên bèn hỏi: "Tại sao khi tớ làm cậu đau, cậu lại viết lên cát còn bây giờ lại là một tảng đá?" Và câu trả lời anh nhận được là: "Khi ai đó làm chúng ta đau đớn, chúng ta nên viết điều đó lên cát nơi những cơn gió của sự thứ tha sẽ xóa tan những nỗi trách hờn.” Nhưng "Khi chúng ta nhận được điều tốt đẹp từ người khác, chúng ta phải ghi khắc chuyện ấy lên đá nơi không cơn gió nào có thể cuốn bay đi." Hãy học cách viết những nỗi đau lên cát và khắc tạc những niềm vui và hạnh phúc bạn tận hưởng trong cuộc đời lên tảng đá để mãi không phai. LOVEBOOK.VN | 20 Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác Your dreams – Our mission III - CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1. Công thức cộng Cho a, b ∈ ℝ, ta có các công thức sau: cos(a + b) = cos a . cos b − sin a . sin b cos(a − b) = cos a . cos b + sin a . sin b sin(a + b) = sin a . cos b + cos a . sin b sin(a − b) = sin a . cos b − cos a . sin b tan a + tan b (5) tan(a + b) = 1 − tan a . tan b tan a − tan b tan(a − b) = (6) 1 + tan a . tan b (1) (2) (3) (4) Các công thức (5) và (6) cần đi kèm điều kiện xác định tương ứng vần thiết cho tan và cot cũng như các mẫu số trong công thức. Bài 1: Tính: 9 cos α = − π 41 A = tan �α − � biết � 3 4 π<α< π 2 1 √3 B= − sin 100 cos 100 5π 7π π sin ; tan ; cos 12 12 12 Ta có: cos α = − Lời giải: 1 1681 1681 40 9 ⇒ = ⇒ tan α = ±� −1=± 2 81 81 9 41 cos α 3 40 π ⇒ tan α = 2 9 π tan α − tan π 4 = 31 ⇒ A = tan �α − � = π 49 4 1 + tan α . tan 4 Ta có: 1 √3 cos 100 − sin 100 sin 300 . cos 100 − cos 300 . sin 100 cos 100 − √3 sin 100 2 2 = 2 = 2 B= sin 100 . cos 100 sin 100 . cos 100 sin 100 . cos 100 0 0 0) 0 0) 2 sin 20 2 sin(10 + 10 4(sin 10 . cos 10 = = = =4 0 0 0 0 sin 10 . cos 10 sin 100 . cos 100 sin 10 . cos 10 Ta có: π π π π √2 + √6 5π π π = sin � + � = sin . cos + cos . sin = sin 6 4 6 4 12 4 6 4 π π tan + tan 7π π π 3 4 = 1 + √3 tan = tan � + � = π π 1− 12 3 4 √3 1 − tan . tan 3 4 π π π π √2 + √6 π π π = cos � − � = cos . cos + sin . sin = cos 3 4 3 4 12 4 3 4 Mà π < α < LOVEBOOK.VN | 21 Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác Your dreams – Our mission Bình luận: Mục đích của các bài tập tính toán này là đưa góc lượng giác về biểu diễn theo các góc đặc biệt trên đường tròn lượng giác. Ngoài ra cần vận dụng các công thức lượng giác đã có sẵn để biến đổi linh hoạt giữa các biểu thức lượng giác. Bài 2: π �0 < a < � 4 √5 . Tính a + b a) Cho 1 π ⎨sin b = �0 < b < � 2 ⎩ √10 ⎧ sin a = b) Cho � 1 tan(a + b) = 5 . Tính tan 2a ; tan 2b tan(a − b) = 3 Lời giải: a) Ta có: 1 2 sin a = ⇒ cos a = ±√1 − sin a = ± √5 √5 π 2 Do 0 < a < ⇒ cos a = 4 √5 3 1 ⇒ cos b = ±√1 − sin b = ± sin b = √10 √10 π 3 Do 0 < b < ⇒ cos b = 2 √10 1 π ⇒ cos(a + b) = cos a . cos b − sin a . sin b = ⇒ a + b = (vì 0 < a + b < π) 4 √2 b) Ta có: tan(a + b) + tan(a − b) 4 tan 2a = tan[(a + b) + (a − b)] = =− 1 − tan(a + b) . tan(a − b) 7 tan(a + b) − tan(a − b) 1 tan 2b = tan[(a + b) − (a − b)] = = 1 + tan(a + b) . tan(a − b) 8 2. Công thức bội 2.1. Công thức nhân đôi Trong các công thức (1), (3), (5) của phần I, nếu cho a = b thì ta sẽ thu được: cos 2a = cos 2 a − sin2 a (7) = 2 cos 2 a − 1 (7a) = 1 − 2 sin2 a (7b) sin 2a = 2 sin a . cos a (8) 2 tan a (9) tan 2a = 1 − tan2 a 1. Công thức hạ bậc: Từ các công thức (7a), (7b); ta có: 2. Công thức nhân ba: LOVEBOOK.VN | 22 1 + cos 2a 2 1 − cos 2a 2 sin a = 2 cos 2 a = cos 3a = 4 cos 3 a − 3 cos a (10) sin 3a = 3 sin a − 4 sin3 a (11) Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác Your dreams – Our mission Ví dụ: Chứng minh các đẳng thức: 1 − 2 sin2 a a) =1 π π 2 cot � + a� . cos 2 � − a� 4 4 1 + cos a + cos 2a + cos 3a b) = 2 cos a 2 cos 2 a + cos a − 1 cos 3 a − cos 3a sin3 a + sin 3a + =3 c) cos a sin a sin4 a + 2 sin a . cos a − cos 4 a d) = cos 2a tan 2a − 1 Lời giải: a) Ta có: π π π π π 2 cot � + a� . cos 2 � − a� = 2 tan � − � + a�� . cos 2 � − a� 4 4 4 2 4 π π π π π 2 = 2 tan � − a� . cos � − a� = 2 sin � − a� . cos � − a� = sin � − 2a� = cos 2a 4 4 4 2 4 1 − 2 sin2 a = 1 = VP ⇒ VT = cos 2a Vậy đẳng thức được chứng minh. b) Ta có: 1 + cos a + cos 2a + cos 3a VT = 2 cos 2 a + cos a − 1 1 + cos a + 2 cos 2 a − 1 + 4 cos 3 a − 3 cos a 4 cos 3 a + 2 cos 2 a − 2 cos a = = (cos a + 1)(2 cos a − 1) 2 cos 2 a + cos a − 1 2 cos a (2 cos a − 1)(cos a + 1) = = 2 cos a = VP (cos a + 1)(2 cos a − 1) Vậy đẳng thức được chứng minh. c) Ta có: cos 3 a − cos 3a sin3 a + sin 3a VT = + cos a sin a cos 3 a − 4 cos 3 a + 3 cos a sin3 a + 3 sin a − 4 sin3 a = + cos a sin a 3 cos a − 3 cos 3 a 3 sin a − 3 sin3 a = + cos a sin a = 3 − 3 cos 2 a + 3 − 3 sin2 a = 6 − 3(sin2 a + cos 2 a) = 3 = VP Vậy đẳng thức được chứng minh. d) Ta có: sin4 a + 2 sin a . cos a − cos 4 a (sin4 a − cos 4 a) + sin 2a VT = = tan 2a − 1 tan 2a − 1 2 2 2 2 (cos sin 2a − a − sin a)(cos a + sin a) sin 2a − cos 2a = = cos 2a = VP = sin 2a sin 2a − cos 2a −1 cos 2a cos 2a Vậy đẳng thức được chứng minh. 3. Công thức biến đổi giữa tổng và tích 3.1. Công thức biến đổi tích thành tổng Từ các công thức (1), (2), (3), (4), ta có: LOVEBOOK.VN | 23 Chinh phục bài tập tích phân – lượng giác Your dreams – Our mission 1 [cos(a + b) + cos(a − b)] (12) 2 1 sin a . sin b = − [cos(a + b) − cos(a − b)] (13) 2 1 sin a . cos b = [sin(a + b) + sin(a − b)] (14) 2 cos a . cos b = 3.2. Công thức biến đổi tổng thành tích m+n a= a+b=m 2 Từ các công thức cộng, bằng cách đặt � ⇒� m−n a−b=n b= 2 Ta rút ra các công thức sau: m+n m−n (15) cos m + cos n = 2 cos . cos 2 2 m+n m−n (16) cos m − cos n = −2 sin . sin 2 2 m+n m−n (17) sin m + sin n = 2 sin . cos 2 2 m−n m+n (18) . sin sin m − sin n = −2 cos 2 2 sin(m + n) (19) tan m + tan n = cos m . cos n sin(m − n) (20) tan m − tan n = cos m . cos n BAI TẬP TỔNG HỢP Bài 1 : Rút gọn: sin a + sin 3a + sin 5a A= cos a + cos 3a + cos 5a B = (1 + 2 cos 2a + 2 cos 4a + 2 cos 6a). sin a 2(sin 2a + 2 cos 2 a − 1) C= cos a − sin a − cos 3a + sin 3a sin2 (a + b) − sin2 a − sin2 b D= sin2 (a + b) − cos 2 a − cos 2 b Lời giải: Ta có: sin a + sin 3a + sin 5a sin 3a + 2 sin 3a . cos 2a A= = cos a + cos 3a + cos 5a cos 3a + 2 cos 3a . cos 2a sin 3a 1 + 2 cos 2a = . = tan 3a cos 3a 1 + 2 cos 2a B = (1 + 2 cos 2a + 2 cos 4a + 2 cos 6a). sin a = sin a + 2 sin a . cos 2a + 2 sin a . cos 4a + 2 sin a . cos 6a = sin a + (sin 3a − sin a) + (sin 5a − sin 3a) + (sin 7a − sin 5a) = sin 7a 2(sin 2a + cos 2a) 2(sin 2a + 2 cos2 a − 1) = C= cos a − sin a − cos 3a + sin 3a (cos a − cos 3a) + (sin 3a − sin a) 2(sin 2a + cos 2a) 1 2(sin 2a + cos 2a) = = = 2 sin 2a . sin a + 2 cos 2a . sin a 2 sin a (sin 2a + cos 2a) sin a sin2 (a + b) − sin2 a − sin2 b D= sin2 (a + b) − cos 2 a − cos 2 b (sin2 a . cos 2 b − sin2 a) + (cos 2 a . sin2 b − sin2 b) = (sin2 a . cos 2 b − cos 2 b) + (cos 2 a . sin2 b − cos 2 a) LOVEBOOK.VN | 24